2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册课件：8.3.2
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
学习目标：
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积的计算公式。 2.了解圆柱、圆锥、圆台、球的体积的计算公式。
圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积 和。根据圆柱、圆锥、圆台的展开图，你能总结出可以 得到它们的表面积公式吗？
1．圆台的上、下底面半径分别为3和4，母线长为6，则其
3．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆
柱的体积等于( )
A.π
B.2π
C.4π D.8π
答案：B [设圆柱的底面半径为r，则圆柱的母线长为2r，由 题意得S圆柱侧＝2πr×2r＝4πr2＝4π， 所以r＝1, 所以V圆柱＝ πr2×2r＝2πr3＝2π.]
4．体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，
那么截得这个圆台的圆锥的体积是( )
A．54
B．54π
C．58
D．58π
2
本节课学习了圆柱、圆锥、圆台、 球的表面积和体积的计算公式。
表面积等于( )
A．72
B．42π
C．67π
D．72π
答案：C [S表＝π(32＋42＋3×6＋4×6)＝67π.]
Байду номын сангаас
2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π. 该圆柱的
表面积为_
_．
答案：6π [由底面周长为2π可得底面半径为1，S底 ＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.]
8.3.2.2球的体积和表面积+教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
“球的体积和表面积”教学设计一、教学内容解析本节课的内容是人教A版《普通高中教科书数学必修第二册》（以下统称“教材”）“球的体积和表面积”，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，学习另一种几何体——球体的体积与表面积.研究球的体积方向很多，教材介绍了“分割、求近似值、再由近似求和转化为球体的体积”的极限思想方法，这也是球的体积的教学重点.从知识结构上讲，球是进一步研究空间组合体结构特征的基础，具有承上启下的作用；从思想方法上讲，在球的体积公式的教学中充分运用极限思想，为以后学习导数做好铺垫.这节课在章节、模块甚至数学课程的角度全面整合教材，突出学科知识的系统性和教学的方向性，形成有生命、有灵魂的整体的知识.本节课教学重点：研究球的体积和表面积.二、教学目标设置结合课标要求，本节课制定如下教学目标：1.通过类比研究圆的周长和面积的方法，能得出研究球的体积和面积的方法，发展数学抽象、直观想象等核心素养；2.通过应用祖暅原理，能推导出球的体积公式，提高数学建模、逻辑推理等核心素养；3.通过探究球的体积的过程，发展研究数学问题的思维体系.三、学生学情分析(一)已具备的认知基础1.在学习本节课内容之前，通过柱体、锥体、台体的体积和表面积的探究和学习，学生已具备了一定的空间想像能力、综合分析、归纳总结的能力；2.通过小学研究了圆的周长和面积，已经初步具备了极限、等价转化、分割的思想或方法.（二）可能存在的认知困难对球体的研究已经超越了学生能把握的直观化对象，是教材中学生最难理解的内容之一.极限法怎样分割？应用祖暅原理怎样进行等价转化？因此，本节课难点：极限法的分割方式;应用祖暅原理怎样构造组合体. 四、教学策略分析本节课贯彻以“学生为主体，教师为主导”的理念，采用主动探究、合作交流、“设置问题序列”的方式，引导学生独立思考.利用小组实验、学生讲解等方式，调动学生学习的积极性.本节课倡导学生主动参与，在师生互动、生生互动中，完成了对球体积和表面积的研究，以及公式的推导.安排学生在课前查阅资料，类比探究出球的不同切割方法.充分发挥多媒体的优势，生动形象地演示了各种研究球体积的方法，突破了传统教学不好解决的教学重、难点，实现了教学目标.五、教具准备各种球模型（实心球、空心球）、橙子、圆葱、马铃薯、自制圆形切割模板、圆规、多媒体课件、geogebra软件.六、教学过程设计（一）复习引入、提出问题1.复习引入前面我们研究了柱、锥、台体的体积和表面积，这节课我们来研究球的体积和表面积. 我们知道“半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体”. 那么我们能否借鉴研究圆的周长和面积的方法来研究球的体积和表面积呢？2.提出问题问题1：通过前期的学习和查阅资料，发现了有哪些方法可以研究圆的周长？预设回答1：测量法求周长.预设回答2：极限法求周长.【设计意图】1.通过查阅资料，让学生回顾以直代曲，转化的思想，为测量法研究球的体积做铺垫；2.引入极限思想，为极限法研究球的体积做好铺垫.问题2：你们又发现了哪些研究圆面积的方法呢？预设回答：极限法求面积.a) 如图1所示.图1b) 如图2所示.图2c) 如图3所示.图3【设计意图】自主探究圆的不同切割方法，通过对圆的面积无限分割，体现极限思想，为研究球的体积做好铺垫.（二）自主探究、合作交流问题3：刚刚同学们展示了圆的周长和面积的研究方法，那么我们能不能类比研究圆的方法来研究球的体积和表面积呢？下面请同学们分小组讨论.预设回答1：测量法求球的体积.预设回答2：极限法求球体积.a) 如图4所示.图4b) 如图5所示.图5c) 如图6所示.图6【设计意图】1.让学生动手实验，如切割实物马铃薯和橙子及多媒体动画展示，化抽象为具体. 帮助学生提升直观想象的核心素养；2.通过小组合作，培养学生合作交流的能力，增强团队意识.（三）数学建模、公式推导以上有两名同学通过分割的方法，将球的体积等价转化为可求体积的几何体，这种等价转化的方法，我国古代数学家祖暅已经给我们提供了理论依据.祖暅原理告诉我们这样一个事实：幂势既同，则积不容异.如图7所示.图7祖暅给出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年，在欧洲，直到17世纪，意大利数学家卡瓦列里才给出上述结论. 卡瓦列里提出线是由点构成的、面是由线构成的、体是由面构成的无限细分积零为整的概念，并把面积称为体积的不可分量.卡瓦列里原理不难用现代的微积分理论给出严格证明，但是作为一名中学生，还没有学习微积分时，如果作为直观上的显然结果，而承认这个原理，就能解决许多求体积的问题.只用初等数学方法，而不需用微积分方法.师：怎样通过祖暅原理求球的体积？师：根据祖暅原理构造几何体的要点是？师：半球更容易稳定的放置在桌面上，球是关于轴截面对称的几何体，如图8所示，我们研究半球的体积V与半径R的关系，就可以得到球的体积V与半径R的关系.图8问题4：能否用已经学过的几何体组合成一个新的几何体来代替半球的体积？这个新的组合体应该怎样组合？如图9所示.图9师：为什么挖去的倒置圆锥截面圆半径为h？如图10所示.图10师：用动画演示，来更好的理解等高下截面积相等. 如图11所示.图11师：请同学们一起推导球体积与半径的关系，由学生代表到黑板前演示推导过程.生：12V球=V柱−V锥=23πR3，所以V球=43πR3.师：我们运用祖暅原理得到了球体积与半径之间的关系V球=43πR3，通过之前推导出的球体积和表面积的关系，可以得到球表面积S球=4πR2.师：还有哪些构造与球等体积的几何体的方式？可以课下再进行研究. 如图12所示.图12师：我们今天能够推导出球的体积公式，都要归功于祖暅.让我们怀着敬意，一起来回顾祖暅的生平.【设计意图】利用祖暅原理，推导出球的体积公式，进而得到球的表面积公式.介绍祖暅原理蕴含的数学思想方法. 通过介绍中国古代优秀的数学家，增强民族文化自信，激发学生勤奋好学的斗志.（四）知识总结、心得体会1.师生共同进行知识总结2.学生谈体会和收获（五）作业布置、拓广探索1.复习巩固：教材119页练习2,3,4题；2.拓广探索：教材120页9题；3.合作探究：查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式.结束语：学习是无止境的，科学探索的道路是充满艰辛、充满乐趣的，希望同学们能勤于钻研、勇于创新，创造出属于我们更加卓越的未来.。
8.2 立体图形的直观图(课件)2022-2023学年高一下学期数学(人教A版2019 必修第二册)
法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确
定底面外的点的位置？
z y
o
x
例1. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm 的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. (1)画轴.画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O，
使∠xOy=45°，∠xOz=90°.
解析:由于图形的直观图中有一条边与y′轴平行，则在 原图中，应有互相垂直的边，而其对边不应与其它边垂 直，则可排除A、D，与y′轴平行的边在右侧，故选C.
【能力提升】
1.如下图的正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的
一个平面图形的直观图,则原图形的周长为( )
A.6 cm
B.8 cm
z
y
O
x
例1. 用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm
的长方体ABCD-A'B'C'D'的直观图. (2)画底面.在x轴上取线段AB，使AB= 4 cm.在y轴上 取线段AD,使AD= 1.5 cm，分别过点D和B作x轴和y轴的 平行线交于C点，四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
斜二测画法口诀： 平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变； 眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
课后作业：
层级一 基础演练
1.下列叙述正确的个数是( )
①相等的角在直观图中仍相等
②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等
③若两条线段平行,在直观图中对应的线段仍平行
④若两条线段垂直,在直观图中对应的线段也垂直
A.0 B.1 C.2
z
D
O
A
8.3简单几何体的表面积与体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册同步讲义
如图所示：
设外接球和内切球的半径分别为R，r，由于正四面体是中心对称图形，
所以外心和内心重合，球心O在高线上，底面中心为 ,
因为正四面体棱长为2，
所以 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
因为正四面体的体积为 ,
所以 ，
解得
9、在直三棱柱 中， ， ， ， .
（1）求三棱锥 的表面积；
（2）求 到面 的距离.
故选：
题型七表面积、体积与函数
例7 底面半径为2，高为 的圆锥有一个内接的正四棱柱(底面是正方形，侧棱与底面垂直的四棱柱).
（1）设正四棱柱的底面边长为 ，试将棱柱的高 表示成 的函数.
（2）当 取何值时，此正四棱柱的表面积最大，并求出最大值.
【答案】（1） ；（2） ， .
【分析】
（1）根据轴截面的三角形的比例关系，列式求函数；（2）根据 ，列出正四棱柱的表面积，并利用二次函数求最大值.
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
2、体积公式
（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝ Sh.
（3）台体：台体的上，下底面面积分别为S′，S，高为h，则V＝ (S′＋ ＋S)h.
【详解】
（1）过圆锥及其内接圆柱的轴作截面，如图所示，
因为 ，所以 ．从而 ．
（2）由（1） ，因为 ，
所以当 时， 最大，
即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
1、已知正方体外接球的体积是 ，那么该正方体的内切球的表面积为_____________．
【答案】
人教A版高中数学必修第二册教学课件：第八章8.2立体图形的直观图(共29张PPT)
知识梳理
一、 投影与直观图
1.投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这 种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫 做投影面.
2.直观图 （1）直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形. （2）立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形.
Hale Waihona Puke ① ② ③ ④ ⑤图8-2-4
A.①② B.①②③ C.②⑤ D.③④⑤
2. C 解析：由斜二测画法知，长方形的直观图应为平行 四边形，且锐角为45°，故②⑤正确.
训练题3 如图8-2-5所示是水平放置的三角形的直观图， A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是 （ ）
下列叙述中，正确的个数为
（）
斜二测画法的位置关系与2.度用量斜特征二用测口诀画简法记为画：空间几何体的直观图的具体规则
了解空间几何体的不同表现形式.
用斜二测画法画出正六棱锥P-ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O.
九十度，画一半，横不变，纵减半，
第八章 立体几何初步
三、用斜二测画法画空间几何体的直观图
原图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的一半”的规则，确定平面图
形的关键点.
点拨：斜二测画法中“斜二测”的意思：
（1）直观图是观察者站在某一点 观 察 一个 空 间几何体获得的图形.
1
C.
① ②
训练题1.下列叙述中，正确的个数为 （ ）
①相等的角，在直观图中仍相等；
②长度相等的线段，在直观图中长度仍相等；
③若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行；
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册课件：8.4.2
直线与平面的位置关系中文字语言、图形 语言和符号语言的表示
直线在平面 位置关系
内
无数个公共 公共点个数
点
符号表示
a⊂α
直线在平面外
直线与平面相 直线与平面平
交
行
1个
0个
a∩α＝A
a∥α
图形表示
两个平面之间的位置关系有且只有两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线。
第八章 立体几何初步
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
学习目标：
1.掌握空间中直线与直线的位置关系。 2.理解异面直线的概念。 3.理解直线与平面位置关系的定义。 4.理解平面与平面位置关系的定义。
我们已经认识了空间中点、直线、 平面之间的一些位置关系，如点在 平面内，直线在平面内，两个平面 相交，等等。
3．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关
D 系是( )
A.a∥c
B.a和c异面
C.a和c相交
D.a和c平行、相交或异面
答案：D [如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，令A′D′所在直线为a，AB 所在直线为b，由题意，a和b是异面直线，b和c是异面直线．
若令B′C′所在直线为c，则a和c平行． 若令C′C所在直线为c，则a和c异面． 若令D′D所在直线为c，则a和c相交．]
2.以下选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，
C 且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
A
B
C
D
答案：C [本题容易错选A或B或D.不能严格根据异面直线的定义对两直线 的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A， B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.]
高中数学第八章立体几何初步8.3.圆柱圆锥圆台球的表面积和体积习题含解析第二册
8.3。
2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积课后篇巩固提升基础达标练1。
(多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（)A。
圆柱的侧面积为2πR2B.圆锥的侧面积为2πR2C。
圆柱的侧面积与球的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2R，则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2，∴B错误；球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3，V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2，∴D正确.2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于（)A.4 B。
8 C。
8 D.8x,球半径为R,则S球=4πR2=4π，∴R=1。
∵正方体内接于球，∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8。
3。
(2019广东高二期末）设A,B,C，D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D—ABC体积的最大值为（)A。
12 B.18C.24D.54点M为三角形ABC的中心,E为AC的中点,当DM⊥平面ABC时，三棱锥D—ABC的体积最大,此时,OD=OB=R=4.∵S△ABC=AB2=9,∴AB=6.∵点M为△ABC的中心，∴BM=BE=2。
∴Rt△OMB中,有OM==2。
∴DM=OD+OM=4+2=6。
∴(V D—ABC)max=×9×6=18。
故选B。
4。
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的米约有（)A。
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第六章 平面向量及其应用
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6.1 平面向量的概念
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6.2 平面向量的运算
2020最新人教版高一数学必修第 二册(A版)全册教学课件目录
0002页 0082页 0111页 0162页 0222页 0282页 0336页 0429页 0481页 0524页 0603页 0666页
第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.4 平面向量的应用 7.1 复数的概念 7.3 * 复数的三角表示 8.1 基本立体图形 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.5 空间直线、平面的平行 第九章 统计 9.2 用样本估计总体 第十章 概率 10.2 事件的相互独立性
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圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积【新教材】人教A版高中数学必修第二册课件PPT
V＝Sh―S′―＝――S V＝13(S′＋ S′S＋S)h―S′――＝→0 V＝13Sh.
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
解析：由 2πR＝C，得 R＝2Cπ，所以 S 球面＝4πR2＝Cπ2.故选 C.
答案：C
4．一个高为 2 的圆柱，底面周长为 2π. 该圆柱的表面积为 __________．
解析：由底面周长为 2π 可得底面半径为 1.S 底＝2πr2＝2π， S 侧＝2πr·h＝4π，所以 S 表＝S 底＋S 侧＝6π.
8 ． 3 . 2 圆 柱 、圆锥 、圆台 、球的 表面积 和体积 -【新 教材】 人教A版 （201 9）高中 数学必 修第二 册课件 (共28 张PPT)
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的计算公式. 2.能利用计算公式求多面体的表面积与体积. 3.能用计算公式解决与多面体相关的简单实际问题.
棱柱、棱锥、棱台的表面积 1.多面体的表面积就是围成多面体① 各个面 的面积的和. 2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的② 各个面 的面积的和.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,
俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形.设点M,N,P分别是棱AB,BC,B1C1的中
点,则三棱锥P-A1MN的体积是
.
思路点拨 把三棱锥P-A1MN的体积转化为三棱锥A1-PMN的体积,再转化为三棱锥P-AMN 的体积.
∵AB=2EF,EF∥AB, ∴S△EAB=2S△BEF.
∴V =V = V F-EBC C-EFB
C-ABE
= VE-ABC= × VE-ABCD= . ∴V=VE-ABCD+VF-EBC =6+ = .
答案 D
如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,求四面体C-A1BC1的体积.
思路点拨 利用等底同高的棱锥体积相等可以证明三棱柱被分割成的三个部分体积相等,进而 求得答案.
思路点拨 由VC-PBD=VP-BCD,结合三棱锥的体积公式即可求解.
解析 因为PA是四棱锥P-ABCD的高, 所以PA是三棱锥P-BCD的高, 所以VC-PBD=VP-BCD= ×S△BCD×PA= × ×1×1×2= .
运用“割补法”求几何体的体积
孔明锁,也叫八卦锁、鲁班锁,是中国古代民族传统的土木建筑固定结合器,是 曾广泛流传于中国民间的智力玩具,它还有“别闷棍”“六子联芳”“莫奈何”“ 难人木”等叫法.
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.2
第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图教学设计1、教学目标1.会用斜二测法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合体）的直观图。
2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图。
3.了解空间几何体的不同表现形式。
2、教学重难点1.教学重点用斜二测画法画空间几何体的直观图。
2.教学难点斜二测画法的理解和应用。
3、教学过程1.新课导入前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识。
2.探索新知直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。
画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
在初中，我们已经学习过投影。
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。
如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法，利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O 。
画直观图时，把它们画成对应的轴x '与轴，两轴相交于点O ＇，且使=45°（或135°），它们确定的面表示水平面。
y 'x O y '''∠(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
x 'y '(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。