高考数学第一轮复习单元专题课件 两直线的位置关系
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高考数学一轮复习 第二节 两直线的位置关系课件 理 新人教A版
＋y＝1 平行”的充要条件，故选 C .
3．经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的交点 P，
且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程为________．
解析：法一
由பைடு நூலகம்
方
程
组
x－2y＋4＝0， x＋y－2＝0，
得
x＝0， y＝2，
即
P(0,2)．
∵l⊥l3，∴直线 l 的斜率 k1＝－43，
第二节
两直线的位置关系
1．两直线的位置关系
斜截式
一般式
方程 y＝k1x＋b1 y＝k2x＋b2
A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0) A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)
相交
k1≠k2
A1B2－A2B1≠0当A2B2≠0时，记为AA21≠BB12
垂直 k1＝－k12或k1k2＝－1
2．已知 p：直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行，
q：a＝－1，则 p 是 q 的
()
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由于直线 l1：x－y－1＝0 与直线 l2：x＋ay－2＝0 平行 的充要条件是 1×a－(－1)×1＝0，即 a＝－1.
k1＝k2 平行
且 b1≠b2
A1A2＋B1B2 ＝
0A当1BB2－1BA2≠20B时1＝，0，记为ABA11·1BAB222＝－－A21B 1 ＝0，
B2C1－B1C2≠0
或
A1C2－A2C1≠0
当A2B2C2≠0时，记为AA12＝BB12≠CC12
2．两直线的交点
高考数学一轮复习第七章第二讲两直线的位置关系课件
③应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x，y 的系数 分别化为相等.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大 时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时， 点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式 点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的 距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直 线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
【变式训练】 1.已知点 P(1，2)，则当点 P 到直线 2ax＋y－4＝0 的距离最大 时，a＝( )
A.1B.－41Biblioteka 1 C.4D. 5
解析：因为直线恒过定点 A(0，4)，则当 PA 与直线垂直时， 点 P 到直线的距离达到最大值，此时过点 P，A 的直线的斜率为
将点A(－1，2)的坐标代入动直线(m2＋2m＋3)x＋(1＋m－ m2)y＋3m2＋1＝0中，
(m2＋2m＋3)·(－1)＋(1＋m－m2)·2＋3m2＋1＝(3－1－2)m2 ＋(－2＋2)m＋2＋1－3＝0，
2.三个距离公式 (1)两点间的距离公式 两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离： |P1P2|＝ (x1－x2)2＋(y1－y2)2. (2)点到直线的距离公式 点 A(x0，y0)到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的距离： d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|.
(3)两条平行直线间的距离公式 l1：Ax＋By＋C＝0，l2：Ax＋By＋C′＝0(C≠C′)，l1 与 l2 间的 距离：
|2k－k32＋＋k1＋2|＝|－4k－k25＋＋1k＋2|，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得
k＝－13.所以直线 l 的方程为 y－2＝－13(x＋1)，即 x＋3y－5＝0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l的方程x＝－1，也符合题意.
答案：x＋3y－5＝0 或 x＝－1
考点三 对称问题
－2＝0互相垂直，∴(m－4)m＋m(m＋2)＝0，∴2m2－2m＝0，∴m
＝0 或 m＝1，∴“m＝1”是“直线 l1：(m－4)x＋my＋1＝0 与直 线 l2：mx＋(m＋2)y－2＝0 互相垂直”的充分不必要条件.故选 A.
高三数学一轮复习 两条直线的位置关系课件
（2）过 A1x + B1y + C1 = 0 与 A2x + B2y + C2 = 0 的交点的直线方程为：(A1x + B1y + C1) + λ(A2x + B2y + C2) = 0 (λ∈R 且不包含直 线 A2x + B2y + C2 = 0).
例1
已知两直线 l1：mx + 8y + n = 0 和 l2：2x + my –1= 0，试确定 m、n 的 值，使 （1）l1 与 l2 相交于点 P (m，–1)；
（2）l1 与 l2 的夹角是指它们相交所成的锐角 或直角θ，θ∈ [0,
2 k 2 k1 tan | | ( k1k 2 1) 1 k 2 k1
].
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
（1）设点 P(x0,,,y0),直线 l : Ax By C 0, 则 P 到 l 的距离：
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
（1）直线 l1∥l2 的充要条件是 k1=k2 且 b1≠b2.
特况： l1 l 2 A1 A2 B1 B2 0
1．两直线的位置关系的判定
方法一：
设直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ( A1、B1不同为0；A2、B2不同为0） .
例1
已知两直线 l1：mx + 8y + n = 0 和 l2：2x + my –1= 0，试确定 m、n 的 值，使 （1）l1 与 l2 相交于点 P (m，–1)；
（2）l1 与 l2 的夹角是指它们相交所成的锐角 或直角θ，θ∈ [0,
2 k 2 k1 tan | | ( k1k 2 1) 1 k 2 k1
].
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
3．点到直线的距离，两条平行线的距离
（1）设点 P(x0,,,y0),直线 l : Ax By C 0, 则 P 到 l 的距离：
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
1．两直线的位置关系的判定
方法二：
若直线 l1 和 l2 存在斜截式方程 l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则
（1）直线 l1∥l2 的充要条件是 k1=k2 且 b1≠b2.
特况： l1 l 2 A1 A2 B1 B2 0
1．两直线的位置关系的判定
方法一：
设直线 l1 : A1 x B1 y C1 0, l 2 : A2 x B2 y C 2 0 ( A1、B1不同为0；A2、B2不同为0） .
高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第2节 两条直线的位置关系
过点(1, ),和 A,B 等距离的直线与 AB 平行,或过 AB 的中点 M,
所以所求直线的方程为 y- = (x-1)或 x=1,即 21x-28y-13=0 或 x=1.
考点三
对称问题
角度一
轴对称
[例3] 已知点A(0,2),直线l1:x-y-1=0,直线l2:x-2y+2=0.点A关于
则a=
2
,b=
-2
.
解析:将P(2,1)分别代入直线l1:x+ay-4=0与l2:bx-y+5=0的方程可
得a=2,b=-2.
5.两条平行线4x+3y-1=0与8x+6y+3=0之间的距离是
.
解 析 : 直 线 4x+3y-1=0 可 化 为 8x+6y-2=0, 直 线 8x+6y-2=0 与 直 线
B.
√
C.
D.
解析:由题意3(a-1)+1×(-a)=0,解得 a= .故选B.
3.已知点P(3,1)到直线l:x+ay-3=0的距离为
解析:由点到直线的距离公式得
|+-|
+
,则a=
±
=,解得 a=± .
.
4.若直线l 1 :x+ay-4=0与直线l 2 :bx-y+5=0的交点坐标是P(2,1),
斜率等于零.
(3)直线的一般式中有关结论记忆时要利用直线Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)的一个法向量v=(A,B),一个方向向量a=(-B,A),并结合
2025年高考数学一轮复习-9.2-两直线的位置关系【课件】
(2)点到直线的距离
| ++|
+
点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=____________.
(3)两条平行直线间的距离
| − |
+
两条平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间的距离d=___________.
微点拨
点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件
(1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式.
(2)求两平行线之间的距离时,应先将直线方程化为一般式,且x,y的系数对应相等.
常用结论
1.直线系方程
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).
(1)若两条直线斜率相等,则两直线平行.(
×
)
提示:(1)两直线有可能重合,故(1)错误.
(2)若l1∥l2,则k1=k2.(
×
)
提示:(2)可能出现两直线斜率不存在情况,故(2)错误.
(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.
(
√
)
提示:(3)若两直线中有一条直线的斜率不存在,则该直线垂直于x轴,另一条直线的斜
+1 3
AB∥CD;当kAB=kCD,即m≠0时,
= ,解得m=2,此时AB∥CD.
5.(误用两平行线间的距离公式致误)直线l1:3x+4y-7=0与直线l2:6x+8y+1=0之间的
距离为(
A.8
2025高考数学一轮复习8.2两条直线的位置关系【课件】
相等的一般式．
『基础过关』 思考辨析 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 的斜率都存在时，一定有 k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( √ ) (4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( √)
4．若三条直线 y＝2x，x＋y＝3，mx＋2y＋5＝0 相交于同一点，则 m 的值为___－， 所以点(1,2)满足方程 mx＋2y＋5＝0， 即 m×1＋2×2＋5＝0，所以 m＝－9.
易错易混 5．已知直线 l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0 和 l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0 互相垂直，则 a 的 值为__－__1____．
【解析】 ∵直线 l1 和 l2 互相垂直，∴(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，解得 a＝－1.
7 10 6．已知直线 3x＋y－3＝0 与直线 6x＋my＋1＝0 平行，则它们之间的距离为____2_0___．
【解析】 因为两条直线平行，所以63＝m1 ，得 m＝2.
此时两直线方程分别为 3x＋y－3＝0，即 6x＋2y－6＝0 与 6x＋2y＋1＝0.
＝0，故选 D.
4．已知过点 A(－2，m)和点 B(m,4)的直线为 l1，直线 2x＋y－1＝0 为 l2，直线 x＋ny ＋1＝0 为 l3.若 l1∥l2，l2⊥l3，则实数 m＋n 的值为( A )
(3)平行⇔方程组 无解 ．
(4)重合⇔方程组有 无数个解
．
3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝
高考一轮复习通用版9.2两直线的位置关系课件(48张)
答案：B
答案：C
考点三 对称问题 [应用性]
角度1 点关于点对称 [例3] 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y ＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__x_＋__4_y_－_4_＝__0____．
解析：设l1与l的交点为A(a，8－2a)， 则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，把B点坐标代入l2的方 程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以由两点式得 直线l的方程为x＋4y－4＝0.
方法三 由题意可设所求直线方程为
(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0， ① 又∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直， ∴3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0， ∴λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
名师点评 1．本例3法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根
三、必练4类基础题 (一)判断正误 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．( √ ) (4) 直 线 外 一 点 与 直 线 上 一 点 的 距 离 的 最 小 值 就 是 点 到 直 线 的 距 离．( √ )
角度3 线关于线对称 [例5] 直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是
() A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0 C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
答案：A
第2节 两条直线的位置关系--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
题组三 连线高考
7.(2006·上海,2)已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0.若l1∥l2,则
2
a=__________.
解析 由l1∥l2可知系数满足a×6=3×4,∴a=2.
8.(2021·全国乙,文
__________.
5
2
14)双曲线 4
y2
− 5 =1
的右焦点到直线 x+2y-8=0 的距离为
可以转化为点到直线的距离
应用两平行直线的距离公式时,直线方程必
须是一般式,且x,y的对应系数分别对应相等
常用结论
1.五个关于对称的结论
(1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
=
|+4|
=2,解得
5
C=6 或 C=-14.
考点三
对称问题(多考向探究预测)
考向1 中心对称问题
例4(1)直线2x+3y-6=0关于点(-1,2)对称的直线方程是( D )
A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0
C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0
解析 设对称的直线上的一点的坐标为(x,y),
|P1P2|= (2 -1 )2 + (y2 -y1 )2
点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距
| 0 +y 0 +|
d=
点线距
2
2
2 + 2
离(A +B ≠0)
2024届高考一轮复习数学课件(新教材人教A版)：两条直线的位置关系
√A.4
B.－4
C.1
D.－1
因为直线 2x＋my＋1＝0 与直线 3x＋6y－1＝0 平行，所以23＝m6 ≠－11， 解得 m＝4.
教材改编题
3.直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为_x_＋__2_y_－__3_＝__0_.
直线 x－2y－3＝0 的斜率为 k＝12且与 x 轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－12，且过点(3,0)， 其方程为 y＝－12(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对
边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是
A.相交但不垂直 C.平行
√B.垂直
D.重合
由题意可知，直线 xsin A＋ay＋c＝0 与 bx－ysin B＋sin C＝0 的斜率 分别为－sina A，sinb B， 又在△ABC 中，sina A＝sinb B， 所以－sina A·sinb B＝－1， 所以两条直线垂直.
(2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，
若l1⊥l2，则实数a的值是
√A.0或－1
B.－1或1
C.－1
D.1
由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意.
思维升华
判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况. (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论.
命题点1 点关于点的对称问题
例 3 直线 3x－2y＝0 关于点13，0对称的直线方程为
A.2x－3y＝0 C.x－y＝0
2025届高中数学一轮复习课件《两直线的位置关系》ppt
d＝
|C1－C2| A2＋B2
高考一轮总复习•数学
第8页
常/用/结/论 1．与直线 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直线方程可设为 (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. 2．与对称问题相关的四个结论 (1)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x，2b－y)；
解析 答案
高考一轮总复习•数学
第13页
4．已知直线 l1：x＋ay＝1，l2：ax＋y＝1，若 l1∥l2，则 a＝___－__1___，此时 l1 与 l2 之 间的距离为____2____．
解析：由 l1∥l2 可知 a2－1＝0，即 a＝±1.又当 a＝1 时，l1 与 l2 重合，不符合题意．所 以 a＝－1，此时 l1：x－y－1＝0，
解析
高考一轮总复习•数学
第22页
题型 距离公式 典例 2(1)若 P，Q 分别为直线 3x＋4y－12＝0 与 6x＋8y＋5＝0 上任意一点，则|PQ|的 最小值为( ) 即为两平行线间的距离． A.95 B.158 C.2190 D.259
(1)解析：因为36＝48≠－152，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平 行直线间的距离，即|－24－5|＝2190，所以|PQ|的最小值为2190.故选 C.
利用中点坐标公式． (2)点(x，y)关于直线 x＝a 的对称点为(2a－x，y)，关于直线 y＝b 的对称点为(x,2b－y)； (3)点(x，y)关于直线 y＝x 的对称点为(y，x)，关于直线 y＝－x 的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线 x＋y＝k 的对称点为(k－y，k－x)，关于直线 x－y＝k 的对称点为(k ＋y，x－k)．