08第八讲：分布参数系统的动力响应(II)
10分布参数体系
10分布参数体系分布参数体系是电磁场理论中非常重要的概念，它用于描述电磁场在介质中传播的特性。
在电磁场理论中，通常将介质中的电磁场描述为一系列分布参数，这些参数可以包括介电常数、导磁率、电导率等。
这些参数描述了介质中的电磁性质，对电磁场的传播和传输起着至关重要的作用。
分布参数体系主要包括以下几种参数：1.介电常数：介电常数是描述介质中电场与外加电场的关系的参数。
介质中的原子或分子在外加电场的作用下会发生极化现象，产生极化电荷，这样会改变介质的电场分布。
介电常数可以表示介质的极化程度，通常用ε表示。
2.导磁率：导磁率是描述介质对磁场的响应的参数。
在磁场的作用下，介质中的原子或分子会发生磁化现象，产生磁性。
导磁率可以表示介质的磁化程度，通常用μ表示。
3.电导率：电导率是描述介质对电流导电的能力的参数。
在介质中施加电场时，介质会产生电流，电导率描述了这种电流的程度。
电导率通常用σ表示。
4.磁导率：磁导率是描述介质对磁感应强度的响应的参数。
在磁场的作用下，介质中会发生磁化现象，产生磁场。
磁导率可以表示介质对磁场的敏感程度，通常用μ表示。
5.电极化强度：电极化强度是描述介质中极化电荷密度与外加电场之间关系的参数。
电极化强度可以表示介质对电场的响应程度，通常用P表示。
6.磁化强度：磁化强度是描述介质中磁性体积密度与外加磁场之间关系的参数。
磁化强度可以表示介质对磁场的响应程度，通常用M表示。
7.极化率：极化率是描述介质中极化程度的参数。
极化率可以表示介质对电场的响应程度，通常用χ表示。
8.磁化率：磁化率是描述介质中磁化程度的参数。
磁化率可以表示介质对磁场的响应程度，通常用χm表示。
9.折射率：折射率是描述介质中电磁波传播速度变化的参数。
在不同介质中，电磁波的传播速度会发生改变，折射率可以表示介质对电磁波速度的影响程度。
10.导纳：导纳是描述介质中传导电流的能力的参数。
在交流电场作用下，介质中会发生电流传导，导纳可以表示介质对电流传导的程度。
受迫振动之动力响应(含精细积分知识与程序)
式（9.20）对应的线性插值是一种粗糙的近似，也可采用其他插值形式，如： （1）多项式 （2）指数函数 （3）正弦或余弦函数 （4）上述函数的乘积 等。 对于齐次方程， F (t ) = 0 ，由式(9.15)得 f = 0 ，故计算出上式中的指数矩阵 T，就可 得到齐次微分方程的时程积分。即 V1 = TV0 , V2 = TV1 , L,V n = TVn −1 为求出其中的指数矩阵，把指数函数写成如下形式 exp( Hτ ) = [exp( H∆t / s)] s (9.22) (9.23)
(9.4)
其中 θ 是常数，其值介于 1/2 和 1 之间。 考虑到阻尼矩阵的关系式（9.2），在积分区间上的前后两个时刻存在动力学方程如 下 d 2 u0 du M + (αM + βK ) 0 + Ku0 = f 0 (9.5) 2 dt dt d 2u du M 21 + (αM + βK ) 1 + Ku1 = f1 (9.6) dt dt 联立上述方程，可得下面三个类推关系： 1 M + (β + θ∆t )K u1 = θ∆tf1 + (1 − θ )∆tf 0 + α + ∆ θ t (9.7) du0 1 1 α + θ∆t M + (β + θ∆t − ∆t )K u0 + θ M dt du1 1 1 − θ du 0 = (u1 − u0 ) − (9.8) dt θ∆t θ dt d 2u1 1 du1 du 0 1 − θ d 2u 0 = − (9.9) − θ∆t dt dt θ dt 2 dt 2 特别地，当 θ = 1 / 2 时，这种方法就是纽马克法中的“ β = 1 / 4 ”法，也是最常用的积 分方法。
08-动力响应分析
其中 ω1 = 0.3559
k , m
ω2 = 1.1281
k , m
ω3 = 1.7609
k m
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应 例10 三圆盘装在可以在轴承内自由转动的轴上。它们对 转轴的转动惯量均为I，各段轴的扭转刚度系数均为 ，轴重 kθ ɺ 不计。若已知运动的初始条件θ 0 = (0 0 0) T ，θ 0 = (ω 0 0) T 求系统对初始条件的响应。 解：系统的位置可由三圆盘的 转角 θ 1 ，θ 2 ，θ 3 确定， 运动微分方程是
由于初始条件与第二阶主振型一致，所以，系统将以第二固有频 率ω2作谐振动。
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多自由度系统
无阻尼系统对激励的响应 设n自由度无阻尼振动系统受到激振力的作用
f = F sin pt 它们为同一频率的简谐函数。则系统的运动微分方程为
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多自由度系统
无阻尼系统对初始条件的响应
0 − θ N (0) = AN1θ 0 = 2 I β − 1 0
0 − θɺN (0) = AN1θɺ0 = 0 0
对于半正定系统，有固有频率 ωi = 0 系统具有刚体运动振型
ɺɺN i = 0 x
ɺ x N i = x N i (0) + x N i (0)t
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机电一体化考试资料(完整答案版)
1.机电一体化：在机械的主功能、动力功能、信息与控制功能上引进了电子技术、并将机械装置与电子设备以以及软件等有机结合而成的系统的总称。
2.工业三大要素：物质、能量和信息3.机电一体化系统由机械系统、电子信息处理系统、动力系统、传感检测系统、执行元件系统等五个子系统构成。
4.机电一体化系统设计流程：（1）根据目的功能确定产品规格、性能指标（2）系统功能部件、功能要素的划分（3）接口的设计（4）综合评价（5）可靠性复查（6）试制与调试5.机电一体化系统设计的考虑方法：（1）机电互补法：利用通用或专用电子部件取代传统机械产品中的复杂机械功能部件或功能子系统。
（2）结合法：将各组成要素有机结合为一体构成专用或通用的功能部件。
（3）组合法：将用结合法制成的功能部件、功能模块，像积木那样组合成各种机电一体化产品。
6.机电一体化设计类型：（1）开发性设计：是没有产品的设计，仅仅是根据抽象的设计原理和要求，设计出在质量和性能方面满足目的要求的系统。
（2）适应性设计：是在总的方案原理基本保持不变的情况下，对现有产品进行局部更改，或用微电子技术代替原有的机械机构或为了进行微电子控制对机械结构进行局部适应性设计，以使产品的性能和质量增加某些附加价值。
（3）变异性设计：是在设计方案和功能结构不变的情况下，仅改变现有产品的规格尺寸使之适应于量的方面有所变更的要求。
7.机电一体化设计程序：（1）明确设计思想（2）分析综合要求（3）划分功能模块（4）决定性能参数（5）调研类似产品（6）拟定总体方案（7）方案对比定型（8）编写总体设计论证书8.设计准则：在保证目的功能要求与适当寿命的前提下不断降低成本。
9.设计规律：根据设计要求首先确定离散元素间的逻辑关系，然后研究其相互间的物理关系，这样就可根据设计要求和手册确定其结构关系，最终完成全部设计工作。
10.绿色设计：在新产品的开发阶段，就考虑其整个生命周期内对环境的影响，从而减少对环境的污染、资源的浪费、使用安全和人类健康等所产生的副作用。
动力响应理论
第2章 动力响应理论2.1引言机柜结构动力响应的计算机仿真分析是以设备动力响应理论为基础的，是进行设备结构动力响应研究的一种有效手段。
论文中主要研究设备动力响应两个方面的内容：设备结构固有特性分析和结构在地震波作用下的响应分析。
固有特性分析可以得到结构的固有频率和固有振型，是进行响应分析的基础；地震波响应分析将得到设备响应的时间历程变化。
在使用有限元工具对结构进行建模、分析之前必须掌握结构动力响应的理论和相关的有限元基本原理。
因此，本章重点叙述了与设备结构动力响应相关的机械振动学理论及其有限元仿真技术。
2.2结构动力响应分析相关理论2.2.1结构固有特性分析理论机柜设备结构的固有特性包括固有频率和振型，是响应分析的基础。
通过进行结构的固有特性分析可以使设计有效地避开结构的共振频率。
机柜设备是一个复杂振动系统，在理论分析过程中，常常可以把机柜设备简化为多自由度集中参数系统。
一般，多自由度系统的自由振动方程可以写成如下形式：{}...[]()[]{()}[]{()}{0}M x t C x t K x t ++=(21)a -式中：[]M ， []C 和[]K 分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;()x t 、.()x t 、..()x t 分别为系统的位移列向量、速度列向量和加速度列向量。
而多自由系统的无阻尼自由振动方程可以写成如下形式:{}..[]()[]{()}{0}M x t K x t += (21)b -通常系统的自由振动是简谐振动，所以可以假设式 (21)b -的解为： {()}{}sin x t X pt = (22)- 式中：{}X 为系统的振幅列向量;p 为系统的自由振动频率。
将(22)-代入(21)b -，就可以得到系统的振型方程，其具体形式如下：2[][]{}{0}K M X p -= (23)- 可以看到，式(23)-是一个齐次线性方程组，根据线性代数知识，它具有非零解的充分必要条件为系数矩阵的行列式为零，亦即有下式成立。
动态响应及其分析PPT课件
j
主导极点
5
主导极点
10
4.2.4系统传递函数零极点分布对动态响应的影响
例4.2求单位阶跃响应 G( s )
10
( s 1)( s 10 )
j
y( t ) 1 10 et 1 e10t
99
-10
-1
1 10 et 1 et
9
10( 4 s 1)
例4.3求单位阶跃响应
G( s )
1
Ts2 2Ts 1
1, 0 1 欠阻尼 s1,2 n n 2 1 jd
d n 1 2
3
4.2.2二阶系统的动态响应
j
jd jn 1 2
y(t)
n
t
1
1 2
单位阶跃响应：Y (
s
)
G(
s )R(
s)
s2
2n 2ns
2n
1 s
y( t ) 1
1 1 2
e nt
5
( s 1)( s 10 )
j
-10
-1
y( t ) 1 2 et 7 e10t
9
9 11
r(t)
y(t)
1
t
G(s)
t
高阶 系统单位阶跃 响应类似于二阶响应
g
r
y( t ) G( 0 )
Aje pjt
A ekkt k
sin
kt
k
j 1
k1
输入模态 一阶模态
二阶模态
9
4.2.3高阶系统的动态响应
(1),高阶系统响应由一阶和二阶响应组成。 (2),离虚轴远的极点对系统影响小。 (3),高阶系统响应受零点影响。 (4),主导极点决定系统的基本性能。
衰、强、振动(zzh)
激振信号源
五、自由衰减振动实验： 自由衰减振动实验：
x A 0
Ae
-nt
振幅经过a次衰减
t1 ta
传感器 敲击 m -A
t
T △t=ta-t1
▲
●
自由衰减振动测试装置图
自由衰减振动波形图
计算公式： 计算公式：周期 T = (t − t ) / a a 1 衰减振动数据记录表： 衰减振动数据记录表：
激励 （输入） 输入）
系统
响应 （输出） 输出）
外部激振力等因素称为——激励（输入） 外部激振力等因素称为——激励（输入） ——激励 通常的研究对象称为——系统（研究对象） 通常的研究对象称为——系统（研究对象） ——系统 系统发生的振动称为——响应（输出） 系统发生的振动称为——响应（输出） ——响应 2、按三个环节可分为三类问题
第一类问题：已知激励和系统， 第一类问题：已知激励和系统，求响应
称为动力响应分析
√
激励
（输入） 输入）
系统
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ√ ?
响应 （输出） 输出）
主要任务
验算和校核结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、 验算和校核结构、产品等在工作时的动力响应（如变形、 位移、应力等） 位移、应力等）是否满足预定的安全要求和其它要求
第三类问题：已知系统和响应， 第三类问题：已知系统和响应，求激励
称为环境预测
?
激励
（输入） 输入）
系统
√ √
响应 （输出） 输出）
主要任务： 主要任务：
测评环境的影响
例如：为了避免产品在公路运输中的损坏， 例如：为了避免产品在公路运输中的损坏，需要通过实地行车记录汽车振动 和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境， 和产品振动，以估计运输过程中是怎样的一种振动环境，运输过程对于产品 是怎样的一种激励， 是怎样的一种激励，这样才能有根据地为产品设计可靠的减震包装 。
(完整版)混沌系统介绍及例子
专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
又称浑沌。
英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。
作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。
虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。
运动的可预测性是一个物理概念。
一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。
牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。
20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。
共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。
混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。
混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。
他提出了著名的Lorenz 方程组：。
这是一个三阶常微分方程组。
它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。
式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。
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等效刚度：k * EI ( ) 2 dx ki ( ) 2
0
，其中ki 是集中弹簧刚度
根据能量守恒定律，有最大势能等于最大动能，即 动能为
Tmax Vmax
Tmax
1 L 1 2 2 T AV 2 2 R sin 2 (Rt )dx msV 2R ( xs ) 2 sin 2 (Rt ) 2 0 2 L 1 L 1 1 2 2 2 2 2 2 AV 2 2R dx msV 2R ( xs ) 2 1 RV A dx 2 ms ( xs ) 2 0 2 2 0 1 2 2 Tmax m RV 2
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 梁中弯矩：
荷载作用点ξ = L /2 时梁的动力反应
梁的位移：
梁的弯矩：
将x=L /2 代入相应方程可得梁中点的挠度和弯矩：
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
L n 1 x xs
等效质量：m* A 2 dx ms ( )2
0
，其中m s是集中质量
V
1 L 1 2 EIV 2 ( ) 2 cos 2 ( Rt )dx kiV 2 ( xi ) cos2 ( Rt ) 2 0 2 1 L 1 2 Vmax EIV 2 ( )2 dx kiV 2 ( xi ) 2 0 2
2l
O
求导两次得 ( x)
2
4l 2
cos
2l
x
（可以验证，为容许函数）
x
l
由瑞利法有
2 n1
作为假设模态 q 求导两次得 ( x) (l x ) 2 2 EI 由瑞利法有
2 n1
EI [
0 l 0
l
2
4l 2
cos
2l
x ]2 dx x)] dx
3
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第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
五、连续体系的离散化
1、动刚度矩阵
梁结构模态函数一般 梁结构模态函数 一般表达式为 表达式为 ( x) C1 cos x C 2 sin x C3 cosh x C 4 sinh x 另写为： ( x ) D ch kx D sh kx D cos kx D sin kx 1 2 3 4 根据材料力学有
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 有阻尼强迫振动的振型叠加法 如果是经典阻尼，把振型运动方程改写为有阻尼的形式 振型阻尼系数Cn用振型阻尼比ζn表示 则有阻尼振型运动方程为
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
这是标准的有阻尼单自由度体系运动方程。 求得qn(t ) 后，同样可以求u ( x,t )、M( x,t ) 和V ( x,t ) 等。 注意 几个 问题
从而求解： 上式与单自由度的运动方程完全一样，给出了求n 阶振型坐标qn(t ) 的运 动方程。通过振型展开，把求解以 动方程。通过振型展开，把 求解以u ( x,t ) 作为未知量的偏微分运动方程， 化为以振型坐标 化为以 振型坐标qn(t )为未知量的一系列常微分方程。
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法
Vmax
L
1 L 2 EI ( ) 2 dx ki ( xi ) V 2 0 2
n 1 x xi
Vmax
1 2 kV 2
( x)是假定振型，是V ( x )的一种近似函数，满足位移边界条件 设：v( x, t ) V ( x ) cos(Rt ) R 表明瑞利近似表示的基频。
2. 模态叠加法 在给定外荷载p ( x,t )作用下，梁的 作用下，梁的无阻尼横向弯曲振动 无阻尼横向弯曲振动方程为 方程为 采用瑞利 采用瑞 利 (Rayleigh (Rayleigh) )法和假设模态法通常情况下
设：v( x, t ) V ( x )u (t )
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
四、简支梁在移动荷载作用下的振动
当移动荷载作用下产生的变形曲率很 小和移动速度较低时，考虑移动质量 的简支梁动力平衡方程为：
采用振型分解法（叠加）求解： 振型力为：
振型坐标的运动方程为： 而 因此： 将等式右边的未知加速度量移到等式左边，得： 当取前几阶时，一般只能采 用逐步积分的数值法求解。
设：
根据前面公式：
解： （1）简支梁模态分析 梁弯曲振动的运动微分方程：
即：
即： 振型质量： 振型刚度：
2
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第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 振型荷载： 由此得到n阶振型坐标的运动方程： （2）计算振型反应 振型坐标qn(t ) 是一个单自由度体系在突加外力p0φn(ξ) 作用下的 反应，由单自由度中给出的解法可以容易求解。 设初始条件为零，则方程的解为： （ 3 ）梁的动力反应 梁的位移：
n1
3.61 EI l2 l
与精确值
EI
l
的误差为
3.61 3.515 4% 3.515
与精确值
3.515 EI 的误差为 l2 l
3.53 3.515 0.4% 3.515
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
其中， 振型质量 振型刚度 振型外荷载 当梁的边界为铰支、固支或 自由，则振型刚度为： 分步积分
1
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第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 振型质量 振型 质量Mn和振型 振型刚度 刚度Kn之间 之间的关系 的关系 振型和频率满足的控制方程为： 振型 和频率满足的控制方程为： 乘以振型 乘以 振型φn( x) 再沿梁长积分可以得到以下关系： 其中，
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
四、简支梁在移动荷载作用下的振动
分析以上给出的位移和弯矩的级数解可以发现，位移是按n4收敛，而 弯矩仅按n2收敛，因此，为保证内力的有效计算精度，必须取比位移 更多的项计算。 为达到误差小于0.001，位移可以取前3 项，而对于弯矩则需取16 项。 这是一般位移解法的共性。
等效单自由度自由振动方程（无阻尼）： k *u 0 m*u
k* . m* 讨论：瑞利法求得的频率总是略大于精确解，即为上限;
2 R
可用来求高阶频率，但一般仅用来求一阶固有频率。
第八讲：分布参数系统的动力响应(三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法 试用瑞利法估算等截面悬臂梁的基频。 解（1）取均布载荷作用下梁的静挠度曲线
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
2. 模态叠加法 首先进行模态分析，得到 简支梁的自振频率和振型
例题 如图所示一均匀简支梁，在距端点ξ处作用一随时间阶梯变化的集 中荷载p ( t) ，试推导简支梁动力反应的位移和弯矩表达式，并给 出外荷载作用于梁中部时的结果。
( x )
M Q , ( x ) EI EI
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
五、连续体系的离散化
1、动刚度矩阵 ( x ) D1 ch kx D2 sh kx D3 cos kx D4 sin kx ( x) kD1shkx kD2 chkx kD3 sin kx kD4 cos kx
2
l [ (1 cos
3.53 EI n1 2 l l
3.515 l2
2l
EI [
0
l
l [
0
l
q 24 EI
162 EI 4 ( x 4 4lx 3 6l 2 x 2 )]2 dx 13 l l
q (l x) 2 ]2 dx 2 EI
4 EI 3 4 l l 4 32( ) 2
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第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法
即最早介绍过的假定振型法，以梁的横向振动为例
设：v( x, t ) V ( x )u (t ) V ( x)u (t )
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
q ( x) ( x 4 4lx 3 6l 2 x 2 ) 24 EI
第八讲：分布参数系统的动力响应(II) 第八讲：分布参数系统的动力响应 (II)
三、动力学的求解方法
1. 瑞利 (Rayleigh)法 （2）取 ( x) (1 cos x) 作为假设模态，其中δ为自由端的静挠度。