概率论随机函数概率及其分布
高中数学概率论中的随机变量与分布函数
高中数学概率论中的随机变量与分布函数在高中数学的概率论领域中，随机变量与分布函数是两个极为重要的概念。
它们不仅是解决概率问题的有力工具，也为我们理解和描述随机现象提供了严谨的数学语言。
首先，我们来聊聊什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是一个把随机试验的结果与实数对应起来的函数。
比如说，掷一枚骰子，出现的点数就是一个随机变量。
它的取值可能是 1、2、3、4、5 或者 6。
再比如，一批灯泡的使用寿命，也是一个随机变量，其取值范围是大于零的实数。
随机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是可以一一列举出来的，像上面提到的掷骰子的点数。
而连续型随机变量的取值则充满了某个区间，比如灯泡的使用寿命，它可以是 1000 小时，也可以是 10001 小时，100001 小时等等，取值是连续不断的。
那么，为什么要引入随机变量这个概念呢？这是因为通过将随机现象转化为数学上的变量，我们可以运用数学工具对其进行更深入的研究和分析。
有了随机变量，我们就能够更方便地计算概率、描述分布特征等等。
接下来，我们再看看分布函数。
分布函数是一个非常重要的概念，它完整地描述了随机变量的概率分布情况。
对于一个随机变量 X，其分布函数 F(x) 定义为 F(x) ＝P(X ≤ x)，也就是随机变量 X 取值小于等于 x 的概率。
分布函数具有一些重要的性质。
首先，它是单调不减的。
这意味着随着 x 的增大，F(x) 不会减小。
其次，它的取值范围在 0 到 1 之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1。
而且，当 x 趋向于负无穷时，F(x) 趋近于 0；当 x 趋向于正无穷时，F(x) 趋近于 1。
对于离散型随机变量，其分布函数是一个阶梯函数。
比如说，对于一个取值为 1、2、3，概率分别为 02、05、03 的离散型随机变量，当x ＜ 1 时，F(x) ＝ 0；当1 ≤ x ＜ 2 时，F(x) ＝ 02；当2 ≤ x ＜ 3 时，F(x) ＝ 07；当x ≥ 3 时，F(x) ＝ 1。
概率分布与随机变量的分布函数计算
概率分布与随机变量的分布函数计算随机变量是概率论和统计学中一个重要的概念，它被用来描述随机试验的结果。
概率分布是随机变量的可能取值及其相应概率的分布。
在本文中，我们将讨论如何计算概率分布和随机变量的分布函数。
一、概率分布的计算概率分布可以通过概率质量函数（probability mass function，简称PMF）或概率密度函数（probability density function，简称PDF）来描述。
这取决于随机变量是离散型还是连续型。
1. 离散型随机变量的概率分布计算对于离散型随机变量，其概率分布可以通过概率质量函数来计算。
概率质量函数给出了每个可能取值的概率。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ... , xn}，对应的概率分布为{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}。
其中P(X=xi)表示X取值为xi的概率。
2. 连续型随机变量的概率分布计算对于连续型随机变量，其概率分布可以通过概率密度函数来计算。
概率密度函数是一个函数，描述了随机变量在某个取值点附近的概率密度。
假设随机变量X的概率密度函数为f(x)，则X在区间[a, b]上的概率可以通过计算f(x)在该区间上的面积来得到，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫(a to b)f(x)dx。
二、随机变量的分布函数计算随机变量的分布函数是一种用来描述随机变量取值分布情况的函数。
对于离散型随机变量和连续型随机变量，它们的分布函数的计算方式是不同的。
1. 离散型随机变量的分布函数计算离散型随机变量的分布函数（cumulative distribution function，简称CDF）定义为随机变量小于等于某个取值的概率。
CDF可以通过累加概率质量函数来计算。
对于随机变量X的概率分布{P(X=x1), P(X=x2), ... , P(X=xn)}，其对应的分布函数为F(x) = P(X≤x) = ∑(xi≤x) P(X=xi)。
第二章随机变量及其概率分布(概率论)
当 x ≥ 1 时,F ( x) = P( X ≤ x) =P( X = 0) + P( X = 1) =1 ⎧0 x < 0
所以 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1. ⎪⎩1 1 ≤ x
⎧0 x < 0 分布函数为 F ( x) = ⎪⎨0.3 0 ≤ x < 1
⎪⎩1 1 ≤ x
分布函数图形如下
F(x) 1 0.3
x 01
3
例 设X的概率分布律如下,求X的分布函数. X012 P 0.4 0.35 0.25
解
⎧0
x<0
F
(
x)
=
⎪⎪ ⎨
⎪
0.4 0.75
0≤ x<1 1≤ x<2
⎪⎩ 1
x≥2
由此可见
(1)离散型随机变量的分布函数是分段函数,分 段区间是由X的取值点划分成的左闭右开区间; (2)函数值从0到1逐段递增,图形上表现为阶梯 形跳跃递增; (3)函数值跳跃高度是X取值区间中新增加点的 对应概率值.
z 泊松在数学方面贡献很多。最突出的是1837 年在提出泊松分布。
z 除泊松分布外，还有许多数学名词是以他的 名字命名的，如泊松积分、泊松求和公式、 泊松方程、泊松定理。
当一个随机事件,以固定的平均瞬时速率 λ随机独立地出现时,那么这个事件在单 位时间(面积或体积)内出现的次数或个数 就近似地服从泊松分布。
解: 依题意, X可取值 0, 1, 2, 3.
设 Ai ={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
路口3
路口2
P(X=0)= P(A1)=1/2,
路口1
X=该汽车首次停下时通过的路口的个数. 设 Ai={第i个路口遇红灯}, i=1,2,3
概率论课件：第二章随机变量及其概率分布
π 3π ⎞ ⎛ π 0 ⎟ 22.设随机变量 X 的分布律为 ⎜ 2 2 ⎟ ，求 Y 的分布律： ⎜ ⎝ 0.3 0.2 0.4 0.1 ⎠
（1） Y = ( 2 X − π ) ;
2
（2） Y = cos( 2 X − π ). ⎧2 x , 0 < x < 1 f ( x) = ⎨ ⎩0 , 其它
它意味着第 i 次（ i ≥ k ）成功，且 i − 1 次试验中成功 k − 1 次，设这两个事件分别为A1 ，A2，
则A = A 1 A 2 , 且P(A) = P(A 1 A 2 ) = P(A 1 )P(A 2 )(A 1与A 2 独立 ), 而 P(A 1 ) = p,
1 k −1 1 k −1 i − k P( A2 ) = Cik−− ⋅ q i −1−( k −1) = Cik−− q . 1 p 1 ⋅ p
, ( 2,6),
, (6,1),
例如(6,1) , (6,6)} .这里，
8
5 36
9
4 36
10
3 36
11
2 36
12
1 36
PK
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
概率 P{X = k }, k = 0,1,2,3.
2、分析： 显然 X 服从离散型概率分布，而且 X 的可能取值为 0，1，2，3.问题归结为求
∴ X 的分布律为：
P{X = 0} = P ( A1 ) = 1 / 2; P{X = 1} = P ( A1 A2 ) = 1 / 2 2 ; P{X = 2} = P ( A1 A2 A3 ) = 1 / 2 3 ;
X Pi
概率论随机函数及其概率分布
XY 1 2
10
1
3
21
1
3
3
P( X 2,Y 2) 2 1 1 , 32 3
16
2020年10月21日3时50分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
且假设各次击中目标与否相互独立，射击进行到击中目标两次为止. 设以 X 表示到第一次击中目标所需要的射击次数，以 Y 表示总共
随机变量及其概率分布
若二维随机变量 (X, Y) 的全部可能取值为有限多对或可列无穷多对
则称(X, Y)为二维离散型随机变量
设二维随机变量(X, Y) 的全部可能值为 (xi , y j ) ，i, j 1,2,3, , 而 P(X x i ,Y y j ) pij , i, j 1, 2,3, ,
xn p( xn )
则随机变量函数Y=g(X)的概率分布是：
Y
P(Y yi )
y1 g( x1 )
p( x1 )
y2 g( x2 )
p( x2 )
yn g(xn )
p( xn )
2
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概率论与数理统计
例1 设随机变量X 的分布律为
随机变量及其概率分布
二维连续型随机变量，在平面内的某个区域内连续地取值 定义 设二维随机变量 (X, Y) 的联合分布函数为F(x, y) ，若存在
非负函数f (x, y) ，对任意实数 x, y ，有
F (x, y) x y f (u, v)dudv
概率论与数理统计-随机变量及其分布-随机变量与分布函数
7
01 随机变量
如何描述随机变量的统计规律呢 ？
无论是离散型随机变量，还是连续型随机变量以及其他类型 的随机变量，都需要一种统一的描述工具.
对一个样本空间，当建立了随机变量后，我们感兴趣的随机 变量落在某区间或等于某特定值的概率. 为此给出分布函数的概 念.
8
本讲内容
01 随机变量 02 分布函数
02 分布函数 定义 设 X 为随机变量，x 是任意实数，称函数 为 X 的分布函数.
x
如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的
值就表示 X 落在区间
的概率.
10
02 分布函数
用分布函数计算 X 落在( a ,b ] 里的概率：
因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性 就可以得到全面的描述.
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用数 学分析的分布函数
分布函数的性质
(1) F ( x ) 单调不减，即
(3) F ( x ) 右连续，即 如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分 布函数. 也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某随机变 量的分布函数的充分必要条件.
01 随机变量
随机变量 ( random variable ) 定义 设 S 是试验E的样本空间, 若
按一定法则
ω.
X(ω)
R
4
01 随机变量
随机变量通常用
X,Y,Z或 , ,等表示
随机事件可以通过随机变 量的关系式表达出来 例如 某人每天使用移动支付的次数——随机变量X {某天至少使用1次移动支付} {某天1次也没有使用}
12
02 分布函数
例 解
《概率论》第2章§3随机变量的分布函数
面积成正比,且射击都能中靶,记 表示弹X 着
X
点与圆心的距离.求 的分布X函数.
显然当 x 时0 ,{X 故x} , 称这样的随机变量
F(x) P{X x} 0 为连续型随机变量
若 0 x 由2题, 意有 P{0 X为 常x}数 kx2 , k
Q P{0 X 2} k22 1 k 1/ 4
O
第二章
随机1 变量2及其分3布x
§3 随机变量的分布函数 3/5
r.v X的分布函数
F(x) P{X x } , x
F ( x)是单调不减函数
0 F(x) 1且
F () lim F(xx)10x,2 F() lim F(x) 1
F
(
x)
x Q {X
右连续函数即F ( x1 )
x1} {X P{X
x x2 } x1 }
当
x
时F
(
x
0)
lim
tx
F(t)P{XF
(x)x当2} x
F(x2) 时
{X x性} 质
是分布函数的本质{特X 征x} S
满r.v足的性分质布函PP{{数XX 必 xx满的}}关关足F于于(性x)质必xx 右左是连连某续续r.v的分布函数
第二章 随机变量及其分布
F(0x)当x0Px{X20,, xP时x}{X2P{存xXF0}在(0x}) P{0,令X
x}
x2 4
即 X的则若分x布由函2F, 题数(xF意)为(处有xf)F处(Ft()(x连x){)xPX续12{002/tPEX4,,,,,(N故,0xxS0x其xD})fx(t它0tx201S})d,,怎故2t第2,0,样二章理F随解(tO机1)这y变(t一量F1(x及)结0其2,t论分3布？2)x
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导
高中数学学习中的概率分布与分布函数推导在高中数学学习中，概率分布与分布函数是重要的概念，它们被广泛应用于统计学和概率论中。
本文将介绍概率分布与分布函数的概念，并推导一些常见的概率分布和分布函数。
概率分布，也被称为分布律或分布函数，是用来描述随机变量各个取值的概率的函数。
假设随机变量X的取值集合为{x1, x2, ..., xn}，则概率分布可以表示为P(X=xi) = pi，其中pi为Xi取值的概率。
对于离散随机变量，概率分布可以表示为概率质量函数pmf，对于连续随机变量，概率分布可以表示为概率密度函数pdf。
常见的离散概率分布有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。
伯努利分布是指只有两个可能结果的试验，例如抛硬币的结果可以是正面或反面。
对于伯努利分布，概率分布函数可以表示为P(X=x) = p^x * (1-p)^(1-x)，其中p为正面的概率。
二项分布适用于多次独立的伯努利试验，例如抛硬币多次或投掷骰子多次的结果。
对于二项分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为试验次数，p为正面或成功的概率，k为成功的次数。
泊松分布适用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
对于泊松分布，概率分布函数可以表示为P(X=k) = (e^-λ * λ^k) / k!，其中λ为单位时间内事件的平均发生率，k为具体的发生次数。
对于连续概率分布，常见的有均匀分布、正态分布、指数分布等。
均匀分布是指随机变量在一段区间内各个取值的概率相等，概率密度函数为f(x) = 1/(b-a)，其中a和b分别为区间的上下界。
正态分布，也被称为高斯分布，是自然界中常见的分布形态，概率密度函数可以表示为f(x) = (1/sqrt(2πσ^2)) * exp(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
指数分布适用于描述随机事件之间的时间间隔，概率密度函数可以表示为f(x) = λ * exp(-λx)，其中λ为事件发生率。
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随机变量及其概率分布
§2.7 二维随机变量的条件分布
一、二维离散型随机变量的条件分布
P( X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
yj)
pij p• j
,
i
1, 2,3,
.
P(Y y j ) 0
二、二维连续型随机变量的条件分布
f X |Y (x | y)
f (x, y) fY ( y)
可知随机变量 U与V 不互相独立.
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2020年10月21日3时49分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
随机变量及其概率分布
例3 已知二维随机变量 (X ,Y ) 的联合密度函数
4xy, 0 x 1, 0 y 1, f (x, y) 0, 其它.
试问随机变量 X与Y 是否相互独立？
P( X
m|Y
n)
P{X m,Y P{Y n}
n}
p2 (1 p)n2 (n 1) p2 (1 p)n2
1 n 1
m 1, 2, , n 1
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随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
且假设各次击中目标与否相互独立，射击进行到击中目标两次为止. 设以 X 表示到第一次击中目标所需要的射击次数，以 Y 表示总共
进行的射击次数. 试求 (X, Y) 的条件分布律. 解 (X, Y)的联合分布律为
关于X的边缘分布
当 m 1, 2, 时，在条件 X=m 下，随机变量 Y 的条件分布律为
f (x, y) fX (x) fY ( y). 或 fX|Y (x | y) fX (x)
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随机变量及其概率分布
例1 已知随机变量 (X ,Y )的 X Y 1 2
联合分布律为
试确定常数 a ,b
1 1/3 a
x2
(1
x2
),
0 x 1, 其它.
P( X
0.5)
0.5
fX
(x)dx
1
0.5
15 2
x2 (1
x2 )dx
47 64
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§2.8 随机变量的独立性
一、两个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
随机变量 X 与Y 相互独立等价于对任意实数x , y ，都有
X
1, 第一次取出的是白球 0, 第一次取出的是红球
Y
1,
0,
第二次取出的是白球 第二次取出的是红球
试在条件 X = 0 和 X = 1 下，分别求出随机变量Y 的条件分布
解
PY 0 | X 0 1
2
P Y 1| X 0 1
2
在条件 X = 0 下，随机变量Y的条件分布律为
Y|X 0 0 1
o
P(U 0,V 1) P(X Y, X 2Y) 0
12
x
P(U 1,V 0) P(X Y, X 2Y)
P(Y X 2Y)
1 4
P(U 1,V 1) 1 1 1 1 44 2
V U
0
1
pi
0 1/4 0
1/4
1 1/4 1/2 3/4
p j 1/2 1/2
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随机变量及其概率分布
所以随机变量(U ,V ) 的联合分布律和边缘分布律为
V U
0
1
pi
0
1/4 0 1/4
1 1/4 1/2 3/4
p j 1/2 1/2
由于 P(U 0,V 1) 0 P(U 0)P(V 1) 1 1 1 42 8
解 FU (u) P(U u) P( X1 u , X 2 u , , X n u)
P(X1 u)P(X2 u) P(Xn u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u)
P(Y yi | X 0) 1/2 1/2 在条件 X = 1 下，随机变量 Y 的分布律为
Y | X 1
01
P(Y yi | X 1) 3/4 1/4
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随机变量及其概率分布
例2 一射手进行射击，每次射击击中目标的概率均为p (0<p<1 )，
U max{X1, X2 , Xn} V min{X1, X2
, Xn}的分布函数.
FU (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u)
FV (v) 1 (1 FX1 (v))(1 FX2 (v)) (1 FXn (v))
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分别以X 和Y 表示其体重和身高. 则 X 和Y 都是随机变量，
现在若限制 1.7<Y<1.8(米), 在这个条件下去求 X 的条件分布
一、二维离散型随机变量的条件分布
定义 设二维离散型随机变量(X, Y) 对于固定的j ，有P(Y y j ) 0
则称
P( X
xi
|Y
yj)
P( X xi ,Y P(Y y j )
fX |Y (x | y) f (x, y) fY ( y)
( fY ( y) 0)
在条件X=x 下，随机变量 Y 的条件密度函数
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
( fX (x) 0)
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解
fX
(x)
f
(x,
y)dy
01 4xydy, 0,
0 x 1, 2x, 0 x 1, 其它. 0, 其它.
fY
( y)
f
(x,
y)dx
2 y, 0,
0 y 1, 其它.
可见，对任意实数x, y 有 f (x, y) fX (x) fY (y)
所以随机变量 X与Y 是相互独立的.
F(x, y) FX (x)FY ( y) 二维离散型随机变量 X 与Y 相互独立的充分必要条件为
P(X xi ,Y y j ) P(X xi )P(Y y j )
或 P(X xi | Y y j ) P(X xi ), i, j 1, 2,3, 二维连续型随机变量 X 与Y 相互独立的充分必要条件为
3
pi
b a b1/ 3
使 X 与Y 相互独立
解 先求出(X ,Y)关于X 和Y 的边缘分布律
由
1
2 1/6 1/9 1/18 3
pj
1 2
a1 b 1 9 18
P(X 2,Y 2) P(X 2)P(Y 2) P(X 2,Y 3) P(X 2)P(Y 3)
1 (a 1) 1 ,
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二、n 个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
例4 设随机变量 X i (i 1, 2, , n)相互独立，且分别具有分布函数
FXi (xi ), i 1, 2, n，设U max{X1, X2 , Xn}，V min{X1, X2 , Xn} 试求随机变量U和V 的分布函数.
f
(x,
y)dy
r2
0,
r2 x2 , r x r, 其它.
于是当-r<x<r 时，在条件 {X=x} 下, Y 的条件密度函数
fY|X ( y |
x)
f (x, y) fX (x)
2 0,
1， r2 x2
r2 x2 y 其它.
r2 x2，
随机变量(X, Y) 为均匀分布，其边缘分布不一定是均匀分布，
概率论与数理统计
§2.8 随机变量的独立性
一、两个随机变量的独立性
随机变量及其概率分布
若对任意实数 x , y ，二维随机变量(X,Y ) 都有
P(X x,Y y) P(X x)P(Y y)
则称随机变量X 和 Y 是相互独立的.
随机变量 X 与Y 相互独立等价于对任意实数 x , y ，都有
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上服从均匀分布，定义随机变量 1, X Y ,
U 0, X Y.
V
1, 0,
X 2Y , X 2Y.
试求随机变量 (U ,V ) 的联合分布律，并判断 U与V 是否相互独立？
y
yx
解 P(U 0,V 0) P(X Y, X 2Y)
2y x
P(X Y ) 1 / 2 1
24
随机变量及其概率分布
例 3 设随机变量 (X, Y)在圆域 x2 y2 r2上服从二维均匀分布，求
(X, Y)的条件密度函数 fX |Y (x | y)和 fY|X ( y | x)
解
f
(x,
y)
1
r
2
,
x2
y2
r2,
0, 其它.
fY
( y)
f
( x,
y)dx
r2 y2 r2 y2
1
yj)
pij p• j