概率论与数理统计常用的统计分布

/ n
2
且 Y 与 2 独立，由 t 分布的定义有
X
X
S/ n
/ n (n 1)S 2 / 2
Y S2/n
~ t(n 1)
n 1
概率论与数理统计
❖ 例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X 2, , X 25 为X的一个样本,求: (1) 样本均值的数学期望与方差; (2) P{| X 21| 0.24}.
t
设 X ~ N(0,1), Y ~ 2 (n) ,且 X ,Y 相互独立,令
t X Y /n
称 t 服从自由度为 n 的 t 分布，记为 t ~ t (n). t(n) 的上侧分位点记为 t (n)
t(n) 的双侧分位点记为t / 2 (n)
t / 2 (n)
O
t / 2 (n)
概率论与数理统计
概率论与数理统计
定理 1 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 为该样本的样本均值，则有 （1） X ~ N(, 2 / n) （2）U X ~ N (0,1)
/ n
概率论与数理统计
本,则
设 X1, X2 ,, Xn 是来自总体 X ~ N(, 2 ) 的样
Review 2
设 X1, X2,, Xn 是来自总体 X ~ N( 0 ,1) 的样本,令
2
X12
X
2 2
Xn2
称 2 服从自由度为 n 的 2分布，记为 2 ~ 2(n).
2
E(2) n
D( 2 ) 2n
2 (n)的上侧分位点记为2 (n)
概率论与数理统计
O
2 (n)
Review
n(
)2
X
)2
概率论与数理统计i 1
抽样分布定理 最重要的总体： X ~ N (, 2 )
如何由样本 X1, X2,...X n 推断 ， 2 ？
分析：
对 ， 2 的推断是通过构造统计量实现的
（1）如何构造“好”的统计量 (X1, X2,...Xn ) （2） g(X1, X2,...Xn ) 服从什么分布？
1
2
n
(Xi )2
i 1
~ 2 (n)
（2）T
X S/
n
~
t(n
1)
概率论与数理统计
设 X1, X2 ,, Xn 是总体 X ~ N(, 2 ) 的样本，
X , S 2分别为样本均值和样本方差，则有
X ~ t(n 1)
S/ n
由定理一、定理二有
Y X ~ N ( 0 ,1) , 2 (n 1)S 2 ~ 2 (n 1)
计推断为小样本推断； （2） 让小样本容量趋于无穷，并求出抽样
分布的极限分布。然后，在样本容量 充分大时，再利用该极限分布作为抽 样分布的近似分布，进而对未知参数 进行统计推断，称与此相应的统计推 断为大样本推断。
概率论与数理统计
设总体 X 的均值和方差
E( X ) , D( X ) 2
都存在. X1, X2,, Xn是来自总体 X的样本，则
解 (1)由X : N (, 2 )，得
n
E( X ) 21, D( X ) 2 / n 22 / 25 0.42
(2)Q X E( X ) : N (0,1) D(X )
概率论与数理统计
❖ 例1 设 X ~ N (21,22 ), X1, X 2, , X 25 为X的一个样本,求:
Review
F
设 U ~ 2 (n1), V ~ 2 (n2 ) ,且 U ,V 相互独立,令
F
U /n1 V /n2
称 F 服从自由度为 (n1, n2) 的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2).
F(n1, n2 )的上侧分位点记为F (n1, n2 )
O
F (n1 , n2)
抽样分布的途径： （1） 精确地求出抽样分布，并称相应的统
X ~ NP|X, 2 /|n3. 0再.1从正P{态| X分布 的| 03.09性} 质99知.7%,
10
P|
X
|P 3|1X000.1|P{3|nX 9|9.07.%03.}
99.7%.
概率论与数理统计
❖例3 在设计导弹发射装置时, 重要事情之
一是研究弹着点偏离目标中心的距离的方
差.对于一类导弹发射装置, 弹着点偏离目标
本均值与样本方差，则有
（1） 2
n 1
2
S
2
1
2
n(Xi X )2 Nhomakorabeai 1~ 2 (n 1)
（2） X 与 S 2 相互独立
概率论与数理统计
定理 3 设总体 X ~ N (, ， 2 ) X1, X2,...Xn 是取自 X 的一个样本， X 与 S 2 为该样本的样本均值与 样本方差，则有
（1） 2
(1) 样本均值的数学期望与方差;
(2) P{| X 21| 0.24}.
P{| X 21| 0.24} P{21 0.24 X 21 0.24}
P{19.76 21 X 21 21.24 21}
0.4
0.4
0.4
( 21.24 21) (19.76 21) 2(0.6) 1
0.4
0.4
概率论与数理统计
例 2 假设某物体的实际重量为 , 但它是未知
的. 现在用一架天平去称它, 共称了 n 次,得到
X1, X2, , Xn . 假设每次称量过程彼此独立且没有 系统误差, 则可以认为这些测量值都服从正态分布
N(, 2) , 方差 2 反映了天平及测量过程的总精
度, 通常我们用样本均值 X 去估计 , 根据定理 1,
E(X ) ,
D( X
)
2
n
,
E(S2) 2
E(X )
E
(
1
n
n
i 1
X
i
)
1
n
n
E(Xi )
i 1
D(X )
D(
1
n
n
i 1
Xi )
1
n2
n
D(Xi )
i 1
2
n
Q
(n
1)S 2
n
( Xi
X )2
n
[( Xi
)
(
X
)]2
i 1
i 1
(n E(S
1)E(S
2 )
22iinnn)11((( XXXiinniii11E(2X)))222inn22n2(n()XX(2X(nnE))(i12)nX)12(X2ni()X2)
X
~
N (,
2
n
)
Q X1, X2,, Xn 独立同分布 N (, 2 )
由正态分布的性质知，线性组合
X
1
n
(
X1
X2
Xn )
仍服从正态分布
E(X ) ,
D(
X
)
2
n
X
~
N(,
2
n
)
概率论与数理统计
定理 2 设总体 X ~ N (, 2 ) ， X1, X 2 ,...X n 是 取自 X 的一个样本，X 与 S 2 为该样本的样