概率论与数理统计基础知识网络结构图
概率论与数理统计知识点细分目录(标)
概率论与数理统计知识点的细分目录引言概率统计漫谈第一章概率论基础0101 随机事件※010101 随机试验，样本空间，事件010102 事件间关系与运算※0102 古典概型与概率010 古典概型，随机抽球问题010202 随机分球问题0103 概率的定义及性质010301 概率的定义（包括频率与概率，概率的公理化定义）010302 概率的性质0104 条件概率010401 条件概率的定义010402 乘法公式※010403 全概率公式※010404 贝叶斯公式0105 事件的独立性※010501 事件的独立性0106 单元小结0107 简单综合题选解0108 综合提高题选解第二章随机变量及其分布0 离散型随机变量※01 随机变量的概念，离散型随机变量※02 几个常用的离散型分布( 两点分布，贝努里试验，二项分布，泊松定理，泊松分布)03 几何分布与超几何分布0202 随机变量的分布函数0203 连续型随机变量※020301 连续型随机变量，概率密度020302 均匀分布与指数分布020303 正态分布0204 随机变量函数的分布020401 离散型随机变量函数的分布律020402 连续型随机变量函数的分布(分布函数法）4020403 连续型随机变量函数的分布（公式法）0205 单元小结0206 简单综合题选解0207 综合提高题选解第三章多维随机变量及其分布0301 二维随机变量030101 二维随机变量的分布函数030102 二维随机变量的分布律030103 二维随机变量的概率密度030104 二维均匀分布，二维正态分布0302 边缘分布030 边缘分布函数，边缘分布律030202 边缘概率密度0303 条件分布030301 离散型随机变量的条件分布律030302 条件分布函数，连续型随机变量的条件概率密度0304 随机变量的独立性030401 两个随机变量的独立性030402 多个随机变量的独立性0305 二维随机变量函数的分布030501 二维离散型随机变量函数的分布030502 和的分布030503 最大与最小值的分布0306 单元小结0307 简单综合题选解0308 综合提高题选解第四章数字特征和极限理论0401 随机变量的数学期望※040101 期望的概念040102 几种常用离散型随机变量期望的计算040103 几种常用连续型随机变量期望的计算040104 随机变量函数的期望040105 数学期望的性质0402 随机变量的方差※040 方差的定义及性质040202 几种常用离散型随机变量期望的计算040203 几种常用连续型随机变量方差的计算040204 切比雪夫不等式0403 随机变量的协方差与相关系数040301 协方差与相关系数的概念040302 相关系数的性质040303 协方差的性质040304 矩、协方差矩阵040305 多维正态分布简介0404 大数定律与中心极限定理※040401 三个大数定律※040402 Levy-Lindeberg中心极限定理040403 De Moivre-Laplace中心极限定理0405 单元小结0406 简单综合题选解※0407 综合提高题选解第五章数理统计初步0501 数理统计的基本概念050101 总体、样本、统计量050102 分布及其性质050103 t分布与F分布050104 单正态总体抽样分布定理050105 双正态总体抽样分布定理0502 点估计050 矩估计法※050202 极大似然估计的概念050203 极大似然估计的计算050204 估计量的相合性与无偏性050205 估计量的有效性0503 区间估计050301 区间估计概念050302 单正态总体均值的区间估计050303 单正态总体方差的区间估计050304 双正态总体均值差的区间估计050305 双正态总体方差比的区间估计0504 假设检验050401 假设检验原理050402 单正态总体参数的双边检验050403 单正态总体参数的单边检验（U检验法）050404 单正态总体参数的单边检验（t检验法）050505 单正态总体参数的单边检验（检验法）050406 双正态总体均值差的检验050407 双正态总体方差比的检验0505 单元小结0506 简单综合题选解0507 综合提高题选解。
概率论与数理统计ppt课件
04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。
概率论与数理统计完整ppt课件
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的
概率论与数理统计图文课件最新版-第2章-随机变量及其分布
函数 f ( x)，使得对于任意实数 x 有:
x
F ( x) f (t)dt ( P( X x))
则称 X 为连续型变量，f ( x)为 X 的概率密度函数 注 ▲ 连续型随机变量与离散型随机变量的区别
离散型： P( X xk ) 0 连续型：P( X xk ) 0
机
多，而且还不能一 一列
变 连续型随机变量 量
举，而是充满一个区间
例如，“电视机的寿命”，实际中
常 遇到的“测量误差”等等.
概率统计
第二章知识结构图
随机变量
离散型随 机变量
连续型随 机变量
分布律
分布 函数
函数的 分布
概率 密度
分布 函数
函数的 分布
定义 常用分布
概率统计
定义 常用分布
第四节 连续型随机变量及其概率密度
0 x 0
则称 X 为服从参数 的指数分布.
概率统计
二 . 连续型随机变量的分布函数
定义: 若定义在 (, )上的可积函数 f ( x)
满足： (1). f ( x) 0
(2). f ( x)dx 1
f (x)确定了 分布函数F(x)，
则称 F ( x)
x
f ( x)dx
f (x)是F(x)的 导函数， F(x)是f (x)的一
(2) 某段时间内候车室的旅客数目为 X , 则它也是一个随机变量，它可以取 0 及一切 自然数。X 是定义在样本空间，则：
S e {人数 人数 0}
X X (e)的值域RX [0, )
概率统计
二. 随机变量的分类 离散型随机变量
概率论与数理统计基础知识
从集合的角度看
B
A
事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件 实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三 次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}； 故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。
概率论与数理统计知识回顾
若 E( X Y ) 存在，则称它为 X 与 Y 的 k + l 阶混合原点矩。 若 E{[ X E( X )] [Y E(Y )] } 存在，则称它为 X 与 YБайду номын сангаас的 k + l 阶混合中心矩。
k l
k
l
结论： 显然数学期望 E ( X ) 是 X 的一阶原点矩，方差 D( X ) 是 X 的二阶中心矩，协方差 Cov( X , Y )是
常用分布的数字特征（2）
2 N ( , ) 时， X (5) 当 服从正态分布
E( X ) , D( X ) 2 ．
2 2 N ( , , , ( X , Y ) 1 2 1 2 , ) 时， (6) 当 服从二维正态分布 E( X ) 1, D( X ) 12 ；
E(Y ) 2 , D(Y ) 22 ；
cov( X , Y ) 1 2 , XY
Thank you!
显然，协方差矩阵是对称阵。
高校大学生情况
x1 X x2 x 3
协方差矩阵为：
其中 x1 表征年龄，x2 表征身高，x3 表征月生活支出。
C11 C12 C13 C C C C 21 22 23 C31 C32 C33
常用分布的数字特征（1）
若 多 维 随 机 变 量 ( X1 , X 2 , X n ) 的 分 布 用 联 合 分 布 列
P( X1 x1i , X 2 x2i ,, X n xni ) 或 用 联 合 密度 概 率 p( x1, x2 ,, xn ) 表 示 ， 则 Y g ( X1, X 2 ,, X n ) 的数学期望为
概率论与数理统计习题
此题是2002年数学三考研试题。 年数学三考研试题。 此题是 年数学三考研试题
例9: 用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质 的效果如下: 的效果如下:若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8,若真不含有杂质检验结果为不含有杂质的概率为 0.8,若真不含有杂质检验结果为不含有杂质的概率为 0.9.据以往的资料知一产品真含有杂质和真不含有杂 0.9.据以往的资料知一产品真含有杂质和真不含有杂 质的概率分别为0.4,0.6.今独立地对一产品进行了3 0.4,0.6.今独立地对一产品进行了 质的概率分别为0.4,0.6.今独立地对一产品进行了3 次检验,结果是2次检验认为含有杂质, 次检验,结果是2次检验认为含有杂质,而有一次检验 认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率. 认为不含有杂质,求此产品真含有杂质的概率.
i =1
n
易知有：
n 1 P ( Ai ) = , ∑ P ( Ai ) = 1 n i =1 1 1 2 1 P ( Ai A j ) = ( i ≠ j ), 1 ∑ P ( Ai A j ) = C n n( n − 1) = 2! , ≤i< j≤n n( n − 1) 1 1 3 ∑kPn( Ai A j Ak ) = C n n( n − 1)(n − 2) = 3! , 1≤ i < j < ≤ 1 P ( A1 A2 ⋯ An ) = , ⋯⋯⋯⋯ n! n 1 1 n −1 1 P ( ∑ Ai ) = 1 − + − ⋯ + ( −1) n→ ∞→ 1 − e −1 2! 3! n! i =1
= P ( A1 ) + P ( A1 ) P ( B1 A1 ) P ( A2 A1 B1 ) + ⋯
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时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
THANK YOU
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概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。