(1)数的整除 (3)
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
数的整除的综合运用(一) 3.差系：7 11 13 能否被 7 11 …
数的整除的综合运用（一）【大海传功】 数的整除特征1．末位系：2，5；4，25；8，125能否被2或5整除是看末一位 能否被4或25整除是看末两位 能否被8或125整除是看末三位2．和系：3，9，99⑴能否被3或9整除是看数字之和是否为3或9的倍数这个数除以3或9的余数等于这个数的数字之和除以3或9的余数 弃九法⑵能否被99整除是从这个数的末位开始，两位一段，看这些数段的和能否被99整除3．差系：7，11，13 能否被7，11，13整除规律是把这个数的末三位与末三位之前的数作差(大减小)，看这个差是否为7，11，13的倍数能否被11整除规律是从右开始数奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)是否为11的倍数这个差除以余几就代表这个数除以11余几(注：计算余数时必须是奇数位的数字和去减偶数位的数字和)4．拆分系：72＝8×9，12＝3×4，1001＝7×11×13……【例1】(★★★)在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数。
⑴请随便填出一种，并检查自己填的是否正确； ⑵一共有多少种满足条件的填法？【例2】()★★★要使15ABC 6能被36整除，而且所得的商最小，那么A 、B 、C 分别是多少？【例3】()★★★ 某个七位数1993能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少？【例4】(★★★)★在523后面写出三个数字，使所得的六位数被7、8、9整除。
那么这三个数字的和是_______。
【例5】()★★从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？1【例6】(★)★★下图中最上排有五个数，将相邻两个数的乘积写在它们之间下方的圈内。
第二排的四个数填完后，再依次填第三、四、五排，第五排中的数A 的末尾共有多少个0？【例7】() ★★★★右图的方格表中已经填入了9个数，其余20个方格内的数都等于它左侧方格中的数乘以它上面方格中的数。
数的整除特征(一)教案
数的整除特征（一）新课引入：数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。
常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。
（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。
（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。
（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
如312。
新课讲授：例1．在能被2,3,5整除。
能被2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，里填能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。
小学奥数 数的整除性 知识点+例题+练习 (分类全面)
拓展、一位采购员买了72个微波炉，在记账本上记下这笔账。
由于他不小心，火星落在账本上把这笔账的总数烧掉了两个数字。
账本是这样写的：72个微波炉，共用去□679□元（□为被烧掉的数字），请你帮忙把这笔账补上。
应是__________元。
（注：微波炉单价为整数元）。
36792
例4、五位数能被12整除，这个五位数是____________。
42972
拓展、六位数7E36F5 是1375的倍数，求这个六位数。
713625
拓展、一个五位数98
3ab能被11和9整除，这个五位数是。
39798
例5、五位数
能同时被2,3,5整除，则A=______，B=______。
48
A1
B
5/2/8 0
拓展、要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？0 1 5
拓展、已知7位自然数427
62xy是99的倍数，则x= ,y=
2 4
2、若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是
3、173□是个四位数。
数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的 3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：数学老师先后填入的3个数字之和是多少？
4、判断306371能否被7整除？能否被13整除？
5、判断能否被3，7，11，13整除．
6、试说明形式的6位数一定能被11整除．。
四年级奥数第一讲数的整除性(三)
第一讲数的整除性（三）知识要点我们已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
如：837＝800＋30＋7＝8×100＋3×10＋7＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7＝8×99＋8＋3×9＋3＋7＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。
再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
2019数的整除性讲解(一)
2019数的整除性讲解（一）我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。
例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。
例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。
例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。
为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。
因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
小升初数论专项必刷题数论(1)---数的整除、数的奇偶、质数和合数
第十七讲数论（1）---数的整除、数的奇偶、质数和合数小升初考点直击数的整除：1.熟悉并掌握2、3、5、9的倍数的特征。
2.一个数的末两位数能被4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。
（4×25=100）。
3.一个数的末三位数能被8或125整除。
那么这个数就能被8或25整除。
（8×125=1000。
）4.一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。
另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。
（很常用，请牢记。
）（7×11×13=1001。
）5.如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。
即如果c︱a，c ︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。
6.如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。
即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。
7.如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。
即如果a︱b，b︱c，则a︱c。
8.如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。
即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。
奇数和偶数：1.两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
2.奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
3.若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
四年级下册数学试题-思维训练专题：10分数的初步认识(一)与数的整除(学生版+教师版)全国通用
在下面图形中，用阴影表示图形下方的分数，再比较大小。
比较大小：42○43 42 43比较大小：85○8285 82 比较大小：95○9795 97◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ ◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆◆ 比较大小：1511○1561511 156比较大小：62○6562 65小结：比较分母相同的分数的大小，分子大的分数就_______，分子小的分数就_______。
用推算法比较75和72因为75是________个71，72是________个71，所以75○72；116和1110 因为_________________，_________________，所以_________________。
358和3526 因为_________________，_________________，所以_________________。
用分数表示下列各图中的阴影部分，再比较大小。
（ ）○ （ ）（ ）○ （ ）（ ）○ （ ）（ ）○ （ ）)(1○)(1小结：比较分子相同的分数的大小，分母小的分数就________，分母大的分数就________。
用推算法比较74和94 因为71○ 91，所以4个71○ 4个91，就是_______ ＞ _______。
139和119 因为_______________，所以______________________，就是_______________。
2516和`1816 因为_______________，所以______________________，就是_______________。
比较下列各数的大小53○54 72○42 178○258 3423○3411 1010○66 201○301 44○10099107○77 把下列各数按从大到小排列212、2119、2110、217（ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ） 152、62、102 （ ）＞（ ）＞（ ） 63、53、62（ ）＞（ ）＞（ ） 21、167、1 （ ）＞（ ）＞（ ） 94、124、96、122 （ ）＞（ ）＞（ ）＞（ ） 应用题有两盒糖果，每盒30个，小小拿了一盒的106，豆豆拿了另一盒的105，问谁拿的多，多多少？小胖把一只月饼平均分成4块，吃了其中的3块；小可把一只同样的月饼平均分成6块，也吃了其中的3块。
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数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
能被7整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686, 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y
解：x,y 都是0到9的整数, ∵75y 能被9整除, ∴y=6.
∵328＋92x ＝567, ∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除, 求X
解：∵五位数能被12整除, 必然同时能被3和4整除,
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时, x=2, 5, 8
当末两位X 4能被4整除时, X ＝0, 4, 8
∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234,
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4, 不能被11整除, 只调整末位数仍不行
调整末两位数为30, 41, 52, 63, 均可,
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【实战模拟】
1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除, 那么a=_______________
2若四位数a
12X能被11整除, 那么X＝__________-
3若五位数34
35m能被25整除
4当m=_________时, 5
9610能被7整除
5当n=__________时, n
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7能被4整除的最大四位数是____________, 能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125, ②756, ③1011, ④2457, ⑤7855, ⑥8104, ⑦9152, ⑧70972中, 能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9从1到100这100个自然数中, 能同时被2和3整除的共_____个,
能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1, 2, 3, 4, 5这五个自然数, 任意调换位置而组成的五位数中, 不能被3整除的数共有几个？为什么？
1234能被15整除, 试求A的值。
11己知五位数A
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。
13在十进制中, 各位数码是0或1, 并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿参考答案
1.④22×32×7×3 ⑤3×7×13×37 ⑥23×32×11×13
2. 0, 3, 6, 9
3. 0
4. 2, 7
5. 3
6. 10010, 9990
7. 9996, 9992
8. 6：B 8：F, G 9：B, D 11：G, H
9. 16；27
10.没有一个, ∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数, 与数字的位置无关
11.仿例2, a＝5
12.10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.11111111100。