河南科技大学数值分析(计算方法)期末试卷1及参考答案
数值分析期末试题及答案
数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。
答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。
答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。
答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。
答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。
解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。
拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。
数值分析期末实验试题及答案
A =
1 0 0 2
0 1 0 4
0 0 1 3
Jacobi输出结果：
N x1 x2 x3 err
2, 1.656250, 3.875000, 3.175000, 1.250000
3, 1.925000, 3.850000, 2.887500, 0.287500
4, 1.990625, 3.948437, 3.000000, 0.112500
Gauss-Seidel迭代法:
N x1 x2 x3 err
2, 1.875000, 3.937500, 2.962500, 0.437500
3, 1.993750, 3.992188, 2.999063, 0.118750
4, 1.998281, 3.999023, 2.999508, 0.006836
SOR迭代法
N x1 x2 x3 err
2, 1.721568, 3.608925, 2.679907, 0.233925
3, 1.824455, 3.629131, 2.727301, 0.102888
4, 1.812174, 3.627893, 2.720033, 0.012281
5, 1.814371, 3.628155, 2.721265, 0.002197
end
function[y,n]=sor(A,b,x0,ep,w)
D=diag(diag(A));
L=-tril(A,-1);
U=-triu(A,1);
B=(D-w*L)\((1-w)*D+w*U);
f=w*(D-w*L)\b;
y=B*x0+f;
n=1;
whileabs(norm(y-x0,inf))>=ep
数值计算方法期末考试题精选版
数值计算方法期末考试题Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x =B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。
A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。
5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 184.()()120f f <5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=--- []1,2x ∈，()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2） 对于初始值()()0,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X = 用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根，精确到.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分101dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度证明题答案1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。
数值分析期末复习题答案
数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。
答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。
例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。
2. 说明数值微分与数值积分的区别。
答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。
数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。
三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。
答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。
具体计算过程略。
2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。
答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。
具体计算过程略。
四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。
答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。
控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。
五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。
2022年河南科技大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A(有答案)
2022年河南科技大学计算机科学与技术专业《数据结构与算法》科目期末试卷A（有答案）一、选择题1、若需在O（nlog2n）的时间内完成对数组的排序，且要求排序是稳定的，则可选择的排序方法是（）。
A.快速排序B.堆排序C.归并排序D.直接插入排序2、用数组r存储静态链表，结点的next域指向后继，工作指针j指向链中结点，使j沿链移动的操作为（）。
A.j=r[j].nextB.j=j+lC.j=j->nextD.j=r[j]->next3、单链表中，增加一个头结点是为了（）。
A.使单链表至少有一个结点B.标识表结点中首结点的位置C.方便运算的实现D.说明单链表是线性表的链式存储4、在下列表述中，正确的是（）A.含有一个或多个空格字符的串称为空格串B.对n（n>0）个顶点的网，求出权最小的n-1条边便可构成其最小生成树C.选择排序算法是不稳定的D.平衡二叉树的左右子树的结点数之差的绝对值不超过l5、用不带头结点的单链表存储队列，其队头指针指向队头结点，队尾指针指向队尾结点，则在进行出队操作时（）。
A.仅修改队头指针B.仅修改队尾指针C.队头、队尾指针都可能要修改D.队头、队尾指针都要修改6、已知关键字序列5，8，12，19，28，20，15，22是小根堆（最小堆），插入关键字3，调整后的小根堆是（）。
A．3，5，12，8，28，20，15，22，19B．3，5，12，19，20，15，22，8，28C．3，8，12，5，20，15，22，28，19D．3，12，5，8，28，20，15，22，197、若元素a，b，c，d，e，f依次进栈，允许进栈、退栈操作交替进行，但不允许连续三次进行退栈操作，则不可能得到的出栈序列是（）。
8、每个结点的度或者为0或者为2的二叉树称为正则二叉树。
n个结点的正则二叉树中有（）个叶子。
A.log2nB.（n－1）/2C.log2n+1D.（n＋1）/29、已知一棵二叉树的前序遍历结果为ABCDEF，中序遍历结果为CBAEDF，则后序遍历结果为（）。
河南科技大学数值分析(计算方法)期末复习画题资料 (1)
1. 数值积分公式形如（15）1'0100()(0)(1)(0)f x dx A f A f B f =++⎰(1) 试确定求积公式中的参数010,,A A B ，使其代数精度尽可能高.并求出其代数精度。
(2) 已知该求积公式余项'''[](),(0,1),R f kf ξξ=∈试求出余项中的参数k 。
（1）解：()1f x =时，左1()1f x dx ==⎰，右01A A =+，左＝右得：011A A +=()f x x =时，左101()2f x dx ==⎰，右01B A =+，左＝右得：0112B A +=2()f x x =时，左101()3f x dx ==⎰，右1A =，左＝右得：113A =联立上述三个方程，解得：001211,,363A B A ===3()f x x =时，左101()4f x dx ==⎰，右113A ==，左≠右所以，该求积公式的代数精度是2 （2）解：过点0，1构造()f x 的Hermite 插值2()H x ，因为该求积公式代数精度为2，所以有：'212021200010(0)(0)(0)(0)(1()))(0H A H B H f A f B f H x dx A A ++++==⎰其求积余项为：1'1000()[(0)(1)(0)]()f x dx f A f f B f R A -++=⎰112201()()!))((13f H x dx x x dx f x dx η'''--==⎰⎰⎰ 120()(1)3!f x x dx ζ'''=-⎰ ()72f ζ'''=- 所以，172k =-2. 设初值问题 101)0(23<<⎩⎨⎧=+='x y yx y .写出用改进的Euler 法解上述初值问题数值解的公式，若0.2h =，求解21,y y ，保留两位小数。
(完整)数值分析学期期末考试试题与答案(A),推荐文档
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差,进行计算。
（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
数值分析计算方法期末考试(一) +答案
4. 计算积分 1 x dx , 取 4 位有效数字, 用梯形公式计算求得的值为_______,用辛普森 0.5 公式计算求得的值为_____________.
5. 设 f (x) 可微, 求方程 x f (x) 根的牛顿迭代格式是______________________.
=
2
x
3 k
+1 ,
(k
3xk2 − 3
= 0,
1,
2,) ,
计算得
x0 = 2, x1 = 1.8889, x2 = 1.8795, 由 | x2 − x* |≈ 1.148 ×10−4 < 5 ×10−5 ,
所以 x ≈ 1.8795
(2) 用弦截法:
xk +1
= xk
−
f
(
xk
f )
(xk −f
1 x2 式,并用它分别计算 x 1 处的值.
3 2. 求三个不同的节点 x0 , x1, x2 和常数 c ,使求积公式
1
1 f (x) dx c[ f (x0 ) f (x1) f (x2 ) ]
具有尽可能高的代数精确度.
3. 用最小二乘法求下列数据的线性拟合函数 y ax b
xi -2
Lagrange 插值多项式为
f (−1) = 1 , f (0) = 1, f (1) = 1 . 由 此 确 定 的 二 次
2
2
L2 (x)
=
x(x −1) (−1)(−1 −1)
f
(−1) +
(x + 1)(x −1) (0 + 1)(0 −1)
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7
,2]= ,2]=8
--
参考答案
一.填空 1. 舍入误差 2. 115,1,0 3.
(1)(1)011()
()
()()()
().(()())(1)!
(1)!
n n n n f f R x x x x x x x orR x w x n n ξξ+++=---=++
4. 1
5.
22
11()()()2()()2k k k k k k k k k k k k
x f x f x x x x orx x x f x f x x ++--=-=-''--
6. 有
7. 1
8. 112121
2213k k
k k
x x x x ++⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 二.计算
1.解:构造差商表:
--
所以,
22()2H x x x =+
证明:设2()()()R x f x H x =-
22
2(0)(0),(0)(0),(1)(1)f H f H f H ''=== (0)(0)(1)0R R R '∴=== 所以,可设2()()(1)R x k x x x =- 构造函数:22()()()()(1)t f t H t k x t t ϕ=
---
显然()(0)(0)(1)0x ϕϕϕϕ'====
因为函数()t ϕ在所给的插值区间至少有4个根且函数()t ϕ'''存在, 所以函数()t ϕ'''在所给的插值区间至少有1个根,即存在一点ξ,满足: ()0ϕξ'''=
又
()()3!()t f t k x ϕ''''''=-
()
()()3!()0()3!
f f k x k x ξϕξξ'''''''''∴=-=⇒=
--
所以22
()()()(1)(1)3!
f R x k x x x x x ξ'''=-=- 2.梯形公式为:
(()())2b a
T f a f b -=
+1
120.752
+
==
复化梯形公式为:
1
1
(()2()())2n n i i h
T f a f x f b -==++∑ 具体到本题中,可知0.2,0,1h a b ===
4
61
((0)2()(1))2i i h
T f f x f ==++∑=0.1(1.5 5.456)0.6956⨯+= 3.改进的Euler 公式为:
1111(,)
((,)(,))2
n n n n n n n n n n y y hf x y h
y y f x y f x y ++++=+⎧⎪
⎨=++⎪⎩ 具体到本题中,则为
21222
1()[()()()]2
n n n n n n n n n n n n n n n n y y h x x y h y y x x y x h x h y h x x y ++⎧=++-⎪
⎨=++-++++--+-⎪⎩
--
经化简为:
210.820.180.220.024n n n n y y x x +=+++
所以:
(0.2)0.024y ≈0 (0.4)0.0949y ≈
5解(1):A 为对称正定矩阵时, 线性方程组Ax b =可用平方根法求解. 由A A T =可知3,5a b ==.
(2)因为矩阵A 对称正定,所以存在下三角阵L 使得:A LL T =即:
111121312122
22323132
33333350035900591700l l l l A l l l l l l l l ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
可求得
:
112131223233l l l l l l ======
即
00
L
⎛⎫
⎪
⎪
⎪
=
⎪
所以,方程组Ax b=就转化为LL x b
T=,令L x y
T=,解下三角形方程组Ly b=得
(
y T
=;
解上三角形方程组L x y
T=得
(1,1,2)
x T
=-
所以原方程组的解为: (1,1,2)
x T
=-
5.解:Jacibo迭代公式为:
(1)()()
123
(1)()()
213
(1)()()
312
122
3
222
k k k
k k k
k k k
x x x
x x x
x x x
+
+
+
⎧=--
⎪
=++
⎨
⎪=+-
⎩
Gauss-Seidel迭代公式为:
--
--
(1)()()
123(1)
(1)()2
13(1)(1)(1)3121223222k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=--⎪=++⎨⎪=+-⎩
三.证明: 设()1,,(11)2
b a f x b a b a -=-=+=-左=右,左=右 2222(),(),()(),2b a f x x b a b a b a -=-=⨯+=-11
左=右22
左=右
33
2
(),b a f x x -=左=
3
,右322322
()()2b a b ba ab a a b -+--=⨯+=2
,左≠右 所以,该公式具有一次代数精度.。