人教A版数学必修四《任意角的三角函数》word导学案
121任意角的三角函数(一)导学案-2021-2022学年高一数学人教A版必修4
1.2任意角的三角函数
1.2.1 任意角的三角函数（一）
一、学习目标、细解考纲
1.借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(重点、难点)
2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号．(易错点)
3掌握公式——并会应用．
4.借助单位圆给出任意角三角函数的定义，培养了学生数学抽象和数学建模的核心素养.
5.通过利用三角函数定义及符号特点求值，提升了学生直观想象和数学运算的核心素养.
二、自主学习—————（素养催化剂）
（阅读教材第11—14页内容，完成以下问题：）
1.任意角的正弦,余弦,正切是怎样定义的?明确函数定义域
2.各函数在每个象限的符号怎么判断?
3.理解公式一,明确公式一的作用
三、探究应用,“三会培养”(素养生长剂)
四、拓展延伸、智慧发展（素养强壮剂）
五、备选例题
六、本课总结、感悟思考（素养升华剂）。
人教A版高中数学必修4第一章三角函数1.2任意角的三角函数导学案(3)
C. b<c<a
D.b<a<c
答案 .D
解析
.
∵
π 4
2π <
7
π <
2
，作
27π的三角函数线，则
sin
2π7 ＝ MP，
2π cos
7
＝
OM，
tan
27π＝ AT，
∴ OM<MP<AT，
∴ b<a<c，故选 D.
4. 函数 y＝ 2cos x－ 1案 . － 3 ＋ 2kπ， 3 ＋ 2kπ ， k∈ Z
π 答案 . 当 x＝ kπ＋ 2 ， k∈Z 时，角 x 的终边在 y 轴上，此时任取终边上一点 P(0 ， yP) ，因为
yP
π
0 无意义， 因而 x 的正切值不存在 . 所以对正切函数 y＝ tan x，必须要求 x∈ R 且 x≠kπ＋ 2 ，
k∈ Z.
梳理 . 正弦函数 y＝ sin x 的定义域是 R；余弦函数 y＝ cos x 的定义域是 R；正切函数 y＝tan
π
5π
合为 { α| α＝ 2kπ＋
6 或 α＝ 2kπ＋
， k∈ Z}. 6
类型二 . 利用三角函数线比较大小
2π
4π
2π
4π
2π
4π
例 2. 利用三角函数线比较 sin 3 和 sin 5 ， cos 3 和 cos 5 ， tan 3 和 tan 5 的大小 .
2π
2π
2π
4π
4π
4π
解 . 如图， sin 3 ＝ MP，cos 3 ＝ OM，tan 3 ＝ AT，sin 5 ＝ M′ P′， cos 5 ＝ OM′， tan 5
高中数学1.2.11任意角的三角函数导学案新人教A版必修4
§ 1.2.1 任意角三角函数（1）..…学习目标1. 掌握任意角的正弦，余弦，正切的定义.2. 掌握正弦，余弦，正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号.学习过程一、课前准备（预习教材Pn~ P15，找出疑惑之处）在初中，我们利用直角三角形来定义锐角三角函数，你能说出锐角三角函数的定义吗？探探索新知问题1:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？问题2:改变终边上的点的位置这三个比值会改变吗？为什么?问题3:怎样将锐角三角函数推广到任意角?问题4:锐角三角函数的大小仅与角A的大小有关, 与直角三角形的大小无关，任意角的三角函数大小有无类似性质？问题5:随着角的确定，三个比值是否唯一确定？依据函数定义，可以构成一个函数吗？问题6:对于任意角的三角函数思考下列问题：①定义域；②函数值的符号规律③三个函数在坐标轴上的取值情况怎样？④终边相同的角相差2的整数倍，那么这些角的同一三角函数值有何关系?例1已知角的终边经过点P (2,-3), 求2sin cos tanA. (2k ,(2k 1) ) , k ZB. [2k -,(2k 1) ] , k Z2C [k 2,(k 1) ]，k Z变式训练⑴：已知角的终边经过点P (2a, -3a ) (a 0),求2sin cos tan 的值.变式训练⑵：角的终边经过点P (-X , -6 )且cos5，求X的值.13例2:确定下列三角函数值的符号7(1) cos 12 (2)s in (-465 o) (3)tan11变式训练⑴:若cos >0且tan <0，试问角为第几象限角变式训练⑵:使sin cos<0成立的角的集合为( )A.k k,k Z12B2k2k,k Z12C.2k 32k 2 ,k Z 2D.2k2k Z122动手试试1、函数、• sin x cosx的定义域是(D. [2k ,(2k 1) ] , k Z2、若B 是第三象限角，且 COS —0,则一是() 2 2 A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角 D •第四象限角3、已知点P ( tan ,cos )在第三象限，则角在 () A 第一象限B •第二象限 C.第三象限D •第四象限三角函数的定义及性质， 特殊角的三角函数值， 三角函数的符号问题 符号规律可概括为：“一正二正弦，三切四余弦” .丄 学习评价探 当堂检测(时量：5分钟 满分：10分)计分：1、若角a 终边上有一点 P(a,|a|)(a R 且a 0)，则Sin 的值为J2 &2 A 、二 B 、一二 22— C 土上2D 、以上都不对2 2、下列各式中不成立的一个是() A cos260 0 B 、tan( 1032 ) 06 17C sin 0D 、tan 1^ 0 5 3 3、已知a 终边经过 P( 5,12)，则sin .4、若a 是第二象限角，则点 A(sin ,cos )是第 几 ____________ 象限的点4、已知 sin tan> 0,则的取值集合为 各象限的三角函数的5、已知角0的终边在直线y = x 上，3贝H sin 0 = _______ ; tan = ___________ .7、(1)已知角 的终边经过点P(4, — 3)，求2sin +cos 的值; (2)已知角 的终边经过点 P(4a, — 3a)(a 丰0)，求2sin +cos(3)已知角 终边上一点P 与x 轴的距离和与y 轴的距离之比为3 ： 4 (且均不为零)， 求2sin +cos 的值. 尹课后作业6、设角x 的终边不在坐标轴上，求函数 sin x cosx tanx |sinx| | cosx| |tanx| 的值域• 的值;。
人教A版高中数学必修四 1.2.1《任意角的三角函数》导学案(1)
1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案【学习目标】1.掌握任意角的三角函数的定义；2.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3.记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）. 【导入新课】【复习导入一】：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt ABC ∆中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为sin ,cos ,tan a b a A A A c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义. 【情境导入二】提问：锐角O 的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助直角三角形，复习回顾.引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P作x 轴的垂线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .则sin MP bOP r α==；cos OM a OP r α==;tan MP bOM aα==. 思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==;cos OM a OP α==;tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 新授课阶段1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么：（1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xr α=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，三个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小； ③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan yxα=无意义. ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、yx分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切 是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上三种函数统称为三角函数.2．三角函数的定义域、值域义{|,}2k k Z ααπ≠+∈例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求α的三个函数制值. 解： 变式训练：已知角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.解：例2 求下列各角的正弦值、余弦值、正切值：（1）0；（2）π；（3）32π．解：例3 已知角α的终边过点(,2)(0)a a a≠，求α的正弦值、余弦值、正切值. 解：变式训练：求函数xxxxytantancoscos+=的值域.解析：答案：4．三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0y r >>），对于第三、四象限为负（0,0y r <>）；②余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0x r >>），对于第二、三象限为负（0,0x r <>）；③正切值yx对于第一、三象限为正（,x y 同号），对于第二、四象限为负（,x y 异号）． 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值. 5．诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同.即有：sin(2)sin k απα+=，cos(2)cos k απα+=， tan(2)tan k απα+=，其中k Z ∈．课堂小结1．任意角的三角函数的定义； 2．三角函数的定义域、值域；3．三角函数的符号及诱导公式.作业 见 同步练习 拓展提升1.α是第二象限角，P （x ，5）为其终边上一点，且x42cos =α，则αsin 的值为（ ）A. 410B. 46C. 42D.410-2.α是第二象限角，且2cos2cosαα-=，则2α是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角3．如果,42ππ<θ<那么下列各式中正确的是（ ） A. cos tan sin θ<θ<θ B. sin cos tan θ<θ<θ C. tan sin cos θ<θ<θ D. cos sin tan θ<θ<θ 二、填空题4.已知α的终边过（-a 39，2+a ）且0cos ≤α，0sin >α，则α的取值范围是 .5.函数x x y tan sin +=的定义域为 .6.4tan 3cos 2sin ⋅⋅的值为 （正数，负数，0，不存在）. 三、解答题7.已知角α的终边上一点P的坐标为（y ）（y 0≠），且sin y 4α=，求cos tan αα和1.2.1 任意角的三角函数（1）导学案参考答案例1解：因为2,3x y ==-，所以r ==sin13y r α===-；cos 13x r α===； 3tan 2y x α==-. 变式训练 解：4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 例2解：（1）因为当0α=时，x r =，0y =，所以sin 00=， cos 01=， tan 00=；（2）因为当απ=时，x r =-，0y =，所以sin 0π=， cos 1π=-， tan 0π=；（3）因为当32πα=时，0x =，y r =-，所以 3sin12π=-， 3cos 02π=， 3tan 2π不存在. 例3解：因为过点(,2)(0)a a a ≠，所以|r a =，,2x a y a ==.当0siny a r α>====时，cosx r α===；2tan =α；当0siny a r α<===时，cosx r α===；2tan =α． 变式训练：解析：分四个象限讨论.答案：{2，-2，0}拓展提升一、选择题：1. A 2 . C 3． D二、填空题4.]3,2(- 5. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧Z∈+≠kkxx,2|ππ6. 负数三、解答题7. 解：由题意，得：sin y4α==解得：y=cos tan43α=-α=±。
2017人教a版高中数学必修四1.2.1-2任意角的三角函数导
§1.2.1 任意角三角函数（2）1.利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值别离用正弦线、余弦线、正切线表示出来，并能作出三角函数线。
2.培育分析、探讨问题的能力。
增进对数形结合思想的理解和感悟。
1517，找出疑惑的地方）咱们已学过任意角的三角函数，给出了任意角的正弦，余弦，正切的概念。
想一想能不能用几何元素表示三角函数值？（例如，能不能用线段表示三角函数值？）二、新课导学※ 探索新知问题1： 在初中，咱们明白锐角三角函数能够看成线段的比，那么，任意角的三角函数是不是也能够看成是线段的比呢？问题2：在三角函数概念中，是不是能够在角α的终边上取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简单？问题3．有向线段，有向线段的数量，有向线段长度的概念如何。
问题4．如何作正弦线、余弦线、正切线。
※ 典型例题例1：作出下列各角的三角函数线（1）611π （2）32π-例2:比较下列各组数的大小(1)sin1和sin 3π (2)cos 74π和cos 75π (3)tan 89π和tan 79π (4)sin 5π和tan 5π变式训练①：若α是锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较αααtan ,sin ,之间的大小关系。
变式训练②：按照单位圆中的正弦线，你能发觉正弦函数值有如何的转变规律。
例3：利用单位圆别离写出符合下列条件的角α的集合（1）21sin -=α， （2）21sin ->α ， (3) 3tan ≤α 。
变式训练①：已知角α的正弦线和余弦线别离是方向一正一反,长度相等的有向线段,则α的终边在 （ ）A 第一象限角平分线上B 第二象限角平分线上C 第三象限角平分线上D 第四象限角平分线上变式训练②：当角α,β知足什么条件时有βαsin sin =.变式训练③：sin α>cos α,则α的取值范围是_________。
变式训练④：已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0πθ2≤≤}, F={θtan θ<sin θ}。
人教A版精编高中数学必修4第一章三角函数1.1.1任意角导学案
1.1.1.任意角学习目标.1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一.角的相关概念思考1.用旋转方式定义角时，角的构成要素有哪些？答案.角的构成要素有始边、顶点、终边.思考2.将射线OA绕着点O旋转到OB位置，有几种旋转方向？答案.有顺时针和逆时针两种旋转方向.思考3.如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？答案.不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角.若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角.梳理.(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所成的图形.点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边.(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：知识点二.象限角思考.把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的非负半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？答案.终边可能落在坐标轴上或四个象限内.梳理.在直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合.象限角：终边在第几象限就是第几象限角；轴线角：终边落在坐标轴上的角.知识点三.终边相同的角思考1.假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？答案.它们的终边相同.－660°＝60°－2×360°，420°＝60°＋360°，故它们与60°分别相差了－2个周角及1个周角.思考2.如何表示与60°终边相同的角？答案.60°＋k·360°(k∈Z).梳理.终边相同角的表示：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.类型一.任意角概念的理解例1.(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角.其中正确说法的序号为 .(把正确说法的序号都写上)(2)将时钟拨快20分钟，则分针转过的度数是 .答案.(1)①.(2)－120°解析.(1)锐角指大于0°小于90°的角，都是第一象限的角，所以①对；由任意角的概念知，第一象限角也可为负角，第二象限角不一定是钝角，小于180°的角还有负角、零角，所以②③④错误.(2)分针每分钟转6°，由于顺时针旋转，所以20分钟转了－120°.反思与感悟.解决此类问题要正确理解锐角、钝角、0°～90°角、象限角等概念.角的概念推广后，确定角的关键是确定旋转的方向和旋转量的大小.跟踪训练1.写出下列说法所表示的角.(1)顺时针拧螺丝2圈；(2)将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角.解.(1)顺时针拧螺丝2圈，螺丝顺时针旋转了2周，因此所表示的角为－720°.(2)拨慢时钟需将分针按逆时针方向旋转，因此将时钟拨慢2小时30分，分针转过的角为900°.类型二.象限角的判定例2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解.(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角.(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角.(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角. 引申探究确定αn(n ∈N *)的终边所在的象限.解.一般地，要确定αn所在的象限，可以作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次标上1，2，3，4，…，4n ，标号为几的区域，就是根据α所在第几象限时，αn的终边所落在的区域，如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观的看出.反思与感悟.判断象限角的步骤： (1)当0°≤α<360°时，直接写出结果；(2)当α<0°或α≥360°时，将α化为k ·360°＋β(k ∈Z ，0°≤β<360°)，转化为判断角β所属的象限.跟踪训练2.下列各角分别是第几象限角？请写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来. (1)60°；(2)－21°.解.(1)60°角是第一象限角，所有与60°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°.(2)－21°角是第四象限角，所有与－21°角终边相同的角的集合S ＝{β|β＝－21°＋k ·360°，k ∈Z }，S 中适合－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°. 类型三.终边相同的角命题角度1.求与已知角终边相同的角例3.在与角10 030°终边相同的角中，求满足下列条件的角. (1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)[360°，720°)的角.解.与10 030°终边相同的角的一般形式为β＝k ·360°＋10 030°(k ∈Z )，(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°≤k ·360°＋10 030°＜720°，得－9 670°≤k ·360°＜－9 310°，解得k ＝－26，故所求的角为β＝670°.反思与感悟.求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值.跟踪训练3.写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来.解.由终边相同的角的表示知，与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }. ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )， ∴31136≤k ＜61136(k ∈Z )，故取k ＝4，5，6. 当k ＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； 当k ＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； 当k ＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°. 命题角度2.求终边在给定直线上的角的集合 例4.写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合.解.终边在y ＝－3x (x <0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }； 终边在y ＝－3x (x ≥0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }.因此，终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝S 1∪S 2＝{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝300°＋k ·360°，k ∈Z }，即S ＝{α|α＝120°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝120°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.故终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝120°＋n ·180°，n ∈Z }.反思与感悟.求终边在给定直线上的角的集合，常用分类讨论的思想，即分x ≥0和x <0两种情况讨论，最后再进行合并. 跟踪训练4.写出终边在直线y ＝33x 上的角的集合. 解.终边在y ＝33x (x ≥0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝30°＋k ·360°，k ∈Z }；终边在y＝33x(x<0)上的角的集合是S2＝{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}.因此，终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝S1∪S2＝{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝210°＋k·360°，k∈Z}，即S＝{α|α＝30°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝30°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.故终边在直线y＝33x上的角的集合是S＝{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}.类型四.区域角的表示例5.如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解.(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}.终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}.(2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}.反思与感悟.解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简.跟踪训练5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合.解.设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成.①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}.②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}.∴角α的集合应当是集合①与②的并集，即S＝{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}.1.下列说法正确的是(..)A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第一象限角一定不是负角D.小于90°的角都是锐角答案.B2.与－457°角终边相同的角的集合是(..)A.{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B.{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C.{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D.{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}答案.C解析.－457°＝－2×360°＋263°，故选C.3.2 017°是第象限角.答案.三解析.因为2 017°＝5×360°＋217°，故2 017°是第三象限角.4.与－1 692°终边相同的最大负角是 .答案.－252°解析.∵－1 692°＝－4×360°－252°，∴与－1 692°终边相同的最大负角为－252°.5.写出终边落在坐标轴上的角的集合S.解.终边落在x轴上的角的集合：S1＝{β|β＝k·180°，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合：S2＝{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}.∴终边落在坐标轴上的角的集合：S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}∪{β|β＝k·180°＋90°，k∈Z}＝{β|β＝2k·90°或β＝(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝n·90°，n∈Z}.1.对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意：(1)α为任意角；(2)k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍；(4)k∈Z这一条件不能少.课时作业一、选择题1.把－1 485°化成k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是(..)A.315°－5×360°B.45°－4×360°C.－315°－4×360°D.－45°－10×180°答案.A解析.可以估算－1 485°介于－5×360°与－4×360°之间.∵0°≤α＜360°，∴k＝－5，则α＝315°.2.若α是第四象限角，则180°－α是(..)A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案.C解析.可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角.3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(..)A.A＝BB.B＝CC.A＝CD.A＝D答案.D解析.直接根据角的分类进行求解，容易得到答案.4.时针走过了2小时40分，则分针转过的角度是(..)A.80°B.－80°C.960°D.－960°答案.D解析.分针转过的角是负角，且分针每转一周是－360°，故共转了－360°×(2＋4060)＝－960°.5.若α与β的终边关于x轴对称，则α可以用β表示为(..)A.2kπ＋β(k∈Z)B.2kπ－β(k∈Z)C.kπ＋β(k∈Z)D.kπ－β(k∈Z)答案.B解析.∵α与β的终边关于x轴对称，∴α＋β＝2kπ(k∈Z)，∴α＝2kπ－β(k∈Z).故选B.6.设集合A＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}，集合B ＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，则(..)A.A∩B＝∅B.A BC.B AD.A＝B答案.D解析.对于集合A，α＝45°＋k·180°＝45°＋2k·90°或α＝135°＋k·180°＝45°＋90°＋2k·90°＝45°＋(2k＋1)·90°.∵k∈Z，∴2k表示所有的偶数，2k＋1表示所有的奇数，∴集合A＝{α|α＝45°＋n·90°，n∈Z}，又集合B＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}，∴A＝B.故选D.二、填空题7.已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是 .答案.240°解析.与α＝－3 000°终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，令－3 000°＋k ·360°>0°，解得k >253，故当k ＝9时，θ＝240°满足条件.8.如图，终边落在OA 的位置上的角的集合是 ；终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是 ；终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 .答案.{α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }.{315°，－45°} {α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z } 解析.终边落在OA 的位置上的角的集合是 {α|α＝120°＋k ·360°，k ∈Z }. 终边落在OB 的位置上的角的集合是 {α|α＝315°＋k ·360°，k ∈Z }， 取k ＝0，－1得α＝315°，－45°. 故终边落在OB 的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是{315°，－45°}. 终边落在阴影部分的角的集合是{α|－45°＋k ·360°≤α≤120°＋k ·360°，k ∈Z }. 9.若α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ，则α2是第 象限角.答案.一或三解析.∵α＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴α2＝k ·180°＋22.5°，k ∈Z . 当k 为偶数，即k ＝2n ，n ∈Z 时，α2＝n ·360°＋22.5°，n ∈Z ，∴α2为第一象限角； 当k 为奇数，即k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，α2＝n ·360°＋202.5°，n ∈Z ，∴α2为第三象限角. 综上，α2是第一或第三象限角.10.集合A ＝{α|α＝k ·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B＝ .答案.{－126°，－36°，54°，144°} 解析.当k ＝－1时，α＝－126°； 当k ＝0时，α＝－36°； 当k ＝1时，α＝54°； 当k ＝2时，α＝144°.∴A ∩B ＝{－126°，－36°，54°，144°}. 三、解答题11.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P 从点A (1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P 点在1 s 内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s 到达第三象限，经过14 s 后又回到了出发点A 处，求θ.解.∵0°<θ<180°，且k ·360°＋180°<2θ<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 则一定有k ＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n ·360°(n ∈Z )， ∴θ＝n ·180°7，从而90°<n ·180°7<135°，∴72<n <214，∴n ＝4或5. 当n ＝4时，θ＝720°7；当n ＝5时，θ＝900°7.12.已知角β的终边在直线3x －y ＝0上. (1)写出角β的集合S ；(2)写出集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素.解.(1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的集合分别为S 1＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }，........S 2＝{β|β＝240°＋k ·360°，k ∈Z }，所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝60°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z }＝{β|β＝60°＋n ·180°，n ∈Z }.(2)由于－360°<β<720°，即－360°<60°＋n ·180°<720°，n ∈Z .解得－73<n <113，n ∈Z ，所以n ＝－2，－1，0，1，2，3.所以集合S 中适合不等式－360°<β<720°的元素为60°－2×180°＝－300°；60°－1×180°＝－120°；60°＋0×180°＝60°；60°＋1×180°＝240°；60°＋2×180°＝420°；60°＋3×180°＝600°.13.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小.解.由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴0°＜α＋β＜180°.取k ＝1，得α＋β＝80°.①α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β为锐角，∴－90°＜α－β＜90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°，② 由①②得α＝15°，β＝65°.。
【新导学案】高中数学人教版必修四：121《任意角的三角函数》.doc
1-21《任意角的三角函数》导学案【学习目标】（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；（2）理解任意角的三角函数不同的定义方法；（3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角u的正眩、余眩、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示岀來；（4）掌握并能初步运用公式一；（5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.［重点难点】重点:''任金角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）.难点：任意角的正弦、余眩、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解.【学法指导】1.了解三角函数的两种定义方法；2.知道三角函数线的基木做法.【知识链接】：根据课本本节内容，完成预习目标，完成以下各个概念的填空.三、提出疑惑【学习过程】（一）复习：1、初中锐角的三角函数 ______ - ___________________________ ____________________________2、在RtAABC中，设A对边为a, B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦、余弦、正切依次为（二）新课：1.三角函数定义在直角坐标系屮，设a是一个任意角，a终边上任意一点P （除了原点）的坐标为（X, y）,它与原点的距离为心=+ 〉0）,那么（1）________ 比值 ________________________ 叫做U的正眩，记作,即（2）________ 比值叫做a的余弦，记作,即（3）________ 比值叫做a的正切，记作，即;2.三角函数的定义域、值域3.三角函数的符号由三角函数的定义，以及各彖限内点的坐标的符号，我们可以得知：①正弦值上对于第一、二象限为 ________ (y>0“>0),对于第三、四象限为—r(y < 0, r > 0 ):x②余弦值一对于第一、四象限为 ________ (x>0,r>0 ),对于第二、三象限为—r(x v 0,厂> 0 )；③正切值上对于第一、三象限为 __________ 同号)，对于第二、四象限为__________________ (兀y异号).4.诱导公式由三角函数的定义，就可知道：_________________________________即有：•__________________5.当角的终边上一点P(x.y)的坐标满足 _______________________ 时，有三和函数止弦.余弦、止切值的几何表示一一三角函数线。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 任意角的三角函数(第2课时)
第2课时三角函数线1.了解三角函数线的定义和意义.2.会用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.掌握三角函数线的简单应用.三角函数线(1)有向线段：带有的线段叫做有向线段.(2)定义：如图，设单位圆与x轴的正半轴交于点A，与角α的终边交于点P(角α的顶点与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合).过点P作x轴的垂线PM，垂足为M，过点A作单位圆的切线交OP的延长线(或反向延长线)于T点，这样就有sin α＝，cos α＝，tan α＝.单位圆中的有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的线、线、线，统称为三角函数线.①三角函数线的位置：正弦线为α的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中正弦线和余弦线在单位圆内，正切线在单位圆外.②三角函数线的方向：正弦线由垂足指向α的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向单位圆与α的终边(或反向延长线)的交点.③三角函数线的正负：三条有向线段凡与x轴正方向或y轴正方向同向的为正值，与x 轴正方向或y轴正方向反向的为负值.④三角函数线的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后.⑤三角函数线的意义：三角函数线的方向表示三角函数值的符号；三角函数线的长度等于所表示的三角函数值的绝对值.【做一做1－1】如图所示，P是角α的终边与单位圆的交点，PM⊥x轴于M，AT和A′T′均是单位圆的切线，则角α的()A.正弦线是PM ，正切线是A ′T ′B.正弦线是MP ，正切线是A ′T ′C.正弦线是MP ，正切线是ATD.正弦线是PM ，正切线是AT【做一做1－2】 不论角α的终边位置如何，在单位圆中作三角函数线时，下列说法正确的是( )A.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线B.总能分别作出正弦线、余弦线、正切线，但可能不只一条C.正弦线、余弦线、正切线都可能不存在D.正弦线、余弦线总存在，但正切线不一定存在答案：(1)方向 (2)MP OM AT 正弦 余弦 正切 【做一做1－1】 C 【做一做1－2】 D三角函数线的应用剖析：三角函数线是三角函数值的直观表达形式，从三角函数线的方向可看出三角函数值的符号，从三角函数线的长度可看出三角函数值的绝对值大小.三角函数线的主要作用是解三角方程和不等式、证明三角不等式、求函数定义域及比较大小，同时它也是以后画三角函数图象的基础.题型一 解三角方程【例1】 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.分析：先作出直线y ＝12与单位圆的交点P ，Q ，再连接OP ，OQ 即得.反思：形如sin α＝m ，cos α＝n ，tan α＝t 的等式，可借助于三角函数线写出α组成的集合.其步骤是：①在单位圆中画出α的终边；②在［0,2π)内找出满足条件的角；③用终边相同的角的集合写出.题型二 解简单的三角不等式【例2】 解不等式sin α≥－12.分析：由于sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin 76π＝－12，则在坐标系中画出－π6和76π，确定α的终边位置. 反思：解简单的三角不等式时，常借助于三角函数线，转化为终边在某区域内的角的范围.如本题转化为求终边在优弧AB 对应的扇形区域内角的范围.题型三 易错辨析易错点 错解函数的定义域【例3】 求函数y ＝1＋2cos x ＋lg(2sin x ＋3)的定义域.错解：要使函数有意义，则需满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sinx ＞－32.所以2k π＋4π3≤x ≤2k π＋8π3且2k π－π3＜x ＜2k π＋4π3，其中k ∈Z .其交集为空集，故无定义域.错因分析：因两个不等式中的k 各自独立，因此上述两集合是有公共部分的，如图所示.反思：解三角不等式组时，先解每个三角不等式，再取它们的交集.取交集时，要注意各自解集中k 的独立性.答案：【例1】 解：如图，作直线y ＝12交单位圆于点P ，Q ，连接OP ，OQ ，则射线OP ，OQ为角α的终边．由于sin π6＝12，sin 5π6＝12，则OP 是π6的终边，OQ 是5π6的终边．所以α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .则α组成的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π6＋2k π或α＝5π6＋2k π，k ∈Z .【例2】 解：如图所示，作直线y ＝－12交单位圆于A ，B 两点，则∠xOA ＝7π6，∠xOB＝－π6.过在直线AB 上方的圆弧上任一点P 作PM ⊥x 轴于M ，则MP ＝sin α.则α的终边不能与直线AB 下方的圆弧有交点，则有2k π－π6≤α≤2k π＋7π6(k ∈Z )．即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π－π6≤α≤2k π＋76π，k ∈Z .【例3】 正解：要使函数有意义，则需同时满足1＋2cos x ≥0且2sin x ＋3＞0，即cos x ≥－12，且sin x ＞－32.由cos x ≥－12，知2k π－2π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .由sin x ＞－32，知2n π－π3＜x ＜2n π＋4π3，n ∈Z ， ∴x 的取值范围是{x |2k π－π3＜x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．1．下列各式正确的是( ) A.sin 1＞sin 3πB.sin 1＜sin 3πC.sin 1＝sin3πD.sin 1≥sin3π2．已知tan x ＝1，则x ＝________.3．不等式cos x ＞0的解集是________. 4．在单位圆中画出满足cos α＝12的角α的终边，并写出α组成的集合.5．求函数y 的定义域.答案：1．B 1和π3的终边均在第一象限，且π3的正弦线大于1的正弦线，则sin 1＜πsin3. 2．x ＝π4＋k π(k ∈Z ) 3．{x |2k π－π2＜x ＜2k π＋π2，k ∈Z }． 如图所示，OM 是角x 的余弦线，则有cos x＝OM ＞0，∴OM 的方向向右．∴角x 的终边在y 轴的右方．∴2k π－π2＜x ＜2kx ＋π2，k ∈Z . 4. 解：如图所示，作直线x ＝12交单位圆于M ，N ，连接OM ，ON ，则OM ，ON 为α的终边．由于πcos 3＝12，5πcos 3＝12，则M 在π3的终边上，N 在5π3的终边上，则α＝π3＋2k π或α＝5π3＋2k π，k ∈Z .所以α组成的集合为 S ＝π5π|2π2π,Z 36k k k ααα⎧⎫=+=+∈⎨⎬⎩⎭或. 5．解：要使函数有意义，自变量x 的取值需满足－1－2cos x ≥0， 得cos x ≤12-，如图所示，则x 的终边在阴影部分的区域内． 由于2πcos3＝12-，4πcos 3＝12-，则M 在2π3的终边上，N 在4π3的终边上， 则2π3＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z .所以函数的定义域是2π4π|2π2π,Z 33x k x k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.。
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1.2.2任意角的三角函数（1）
【学习目标】
1． 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2． 会用三角函数线表示任意角三角函数的值
3． 掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】
任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】
一、复习旧知，导入新课
在初中，我们已经学过锐角三角函数：
角的范围已经推广，那么对任意角α是否也能定义其三角函数呢？
二、建构数学
1．在平面直角坐标系中，设点P 是角α终边上任意一点，坐标为(,)P x y ,它与原点的距离
||OP r ==，一般地，我们规定：
⑴比值___________叫做α的正弦,记作___________,即___________=___________； ⑵比值___________叫做α的余弦,记作___________,即___________=___________； ⑶比值___________叫做α的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当α=___________________时, α的终边在y 轴上,这时点P 的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角α,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数 值的函数,我们将它们统称为___________________.
3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数.
4.其中，sin y x =和cos y x =的定义域分别是________________； 而tan y x =的定义域是__________________.
5．根据任意角的三角函数定义将这三种函数的值在各象限的符号填入括号。
=y sin α =y cos α
=y tan α
【典型例题】
例1．已知角α的终边经过点()4,3P -，求α的正弦、余弦、正切的值。
变题1 已知角α的终边经过点()()4,30P a a a -≠，求α的正弦、余弦、正切的值。
变题2 已知角α的终边经过点()6,--x P ，且13
5
cos -=α，求x 的值
例2．已知角α的终边在直线x y 3-=上，求α的正弦、余弦、正切的值
例3．确定下列三角函数值的符号： （1）π127cos
（2）()︒-465sin （3）π3
11
tan （4）5tan 4cos 3sin ⋅⋅
例4．若ABC ∆两内角A 、B 满足sin cos 0A B <，判断三角的形状。
【巩固练习】
1、已知角α的终边过点P （－1,2）,cos α的值为
2、α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 A ．sin α B ．cos αC ．tan α D ．
tan 1
α 3、填表：
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
4、已知角α的终边过点P （4a ,－3a ）（a <0）,则2sin α＋cos α的值是
5、若点P (－3，ｙ)是角α终边上一点，且3
2
sin -=α，则ｙ的值是
6、α是第二象限角，P （x , 5 ） 为其终边上一点，且cos α=
4
2x ，则sin α的值为_______
【课堂小结】
【布置作业】。