圆周运动及其应用

【答案】 AB
练习1.如图a、b、c质量分别2m、m、m三物体放在 旋转的水平台上，它们与台的动摩擦因数同，知ab 距轴R,C距轴2R.当圆台转动时，三物体均沿台打滑 （fmax=fμ)则（ AB ）
A.C的a向最大
C.a的a向最大
B.b受的f最小
D.c的f最小。 2.a=rω2.
a b c
分析：1.同轴转动ω 同
分析：车停瞬间，V不发生突变，由于惯性 以V大小做圆周运动。 解：受力如图 T v mg
由牛顿第二定律：F合=F向。
T-mg= 所以T=
m v
2
r
处理圆周的一般步骤：
（1）确定研究对象，找出运动轨迹和圆心
（2)正确分析受力 (3)建立直角坐标系，常以质点所在位置为圆心，沿半径指圆 心为x轴，垂直运动平面或v的方向为y轴。 （4）用牛二定律及平衡条件列方程 垂直运动平面方向合外力为0 指向圆心方向合外力为向心力 即Fy=0 Fx=F向。
圆周切线方向 飞出去的倾向。
供多近心
2．受力特点(如图所示) (1)当F＝ mrω2 时，物体做匀速圆周运动；
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供少离心
(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出； (3)当F＜
2 mrω时，物体逐渐远离圆心，F为实际
提供的向心力。 (4)当F＞mrω2时，物体逐渐向 圆心 靠近。
圆周运动和动能定理
3. 如右图所示，一物体沿光滑球面下滑，在最高点时速度为 2 m/s，球面半径为1 m，求当物体下滑到什么位置时开始脱离 球面？(g＝10 m/s2)
(2)分析此时物块受力如右图所示 由牛顿第二定律有 mgtan θ＝mrω2。 H R 其中 tan θ＝ ，r＝ ， 2 R 2gH 可得 ω＝ 。 R
mgH 【答案】 (1) H2＋R2
mgR H2＋R2
2gH (2) R
2. (2011·杭州模拟)如右图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴 线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球 A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运
3.摩擦力提供向心力：f=F向=mrω2=ma
随ω 的增大，谁先滑动？ a供=a需，稳定圆周。 a供<a需，离心圆周。 a供>a需，近心圆周。
所以c先滑动。
物理模型
轻绳模型 常见 类型 过最高 点的临 界条件
竖直面内圆周运动问题
轻杆模型
v2 由 mg＝m 得 v 临＝ gr r (1)过最高点时，v≥ gr，FN v2 ＋mg＝m ，绳、轨道对球产 r 生弹力 FN。 (2)当 v＜ gr时，不能过最高 点， 在到达最高点前小球已经 脱离了圆轨道 取竖直向下为正方向
)
【解析】 物体做匀速圆周运动时线速度大小恒定，所以相等的时 间内通过的路程相等，但位移的方向是不相同的，故A对，C错；
虽然加速度大小是不变化的，但方向是不断变化的，相等的时间
内速度的变化量大小是相等的，但方向不相同，所以相等时间内 速度的变化量不相等，故B错；由于做匀速圆周运动的物体的角速 度是恒定的，所以相等的时间内转过的角度是相等的，故D对。 【答案】 AD
【解析】 设物体下滑到某点的半径与竖直半径成θ角时，开 始脱离球面。设开始脱离时的速度为v。
1 2 1 2 由动能定理得： mv － mv0＝mgr(1－cos θ)① 2 2 脱离球面时，重力沿圆半径方向的分力等于需要的向心力。 v2 球面对物体的支持力为 0 即 N=0 所以 m ＝mgcos θ② r 4 由①②式可得：cos θ＝ ，θ＝37 ° 5
第三节 圆周运动及其应用
一：匀速圆周运动 1.定义：任意相等的时间内通过的弧长相等。 1）运动特征：速度大小不变，方向时刻变化。
2）运动性质：变速运动（变速曲线运动）。非匀变曲线运动。
3）受力特点：合外力大小不变，方向时刻变化。 F合⊥V，方向指圆心。变力。 即不改变V大小，只改变V方向。
二、描述圆周运动的物理量及其相互关系
如下图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中 心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和 H，筒内壁A点的高度为筒高的一半。内壁上有一质量为m的 小物块。求
(1)当筒不转动时，物块静止在 筒壁A点受到的摩擦力和支持 力的大小； (2)当物块在A点随筒匀速转动，且其受到的摩擦力为零时， 筒转动的角速度。 【解题切点】 对物块进行受力分析，分别根据共点力平衡 和圆周运动所需向心力利用正交分解列方程求解。
V F向 F合=F向 F合只提供F向。 只改变V方向，不 改变V大小 F合 V F合 F切 F向
V F切 F合提供F向只改变V方向，F切只改变V大 小。
2．小球质量为m，用长为L的悬线固定在O点，在O点正下方 L/2处有一光滑 圆钉C(如右图所示)。今把小球拉到悬线呈水平后无初速地释放，当悬线呈竖 直状态且与钉相碰时( ) A．小球的速度突然增大 C．小球的向心加速度不变 B．小球的向心加速度突然增大 D．悬线的拉力突然增大
【解析】 开始球绕O点做圆周运动，当悬线与钉子相碰后， 球绕C点做圆周运动，球的转动半径突然变小，而速度大小 v2 并没有发生突变，由 an＝ r 得，小球的向心加速度突然变 大，悬线的拉力F＝mg＋man，所以拉力突然变大。
故B、D正确。
【答案】 BD
四、离心运动
1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着
CD
分析：1.va=vc,ω b=ω c,v=rω . ∴vc=2vb. ωa=2ωc.
2.aa=va2/r,ad=vd2/4r,而ωd=ωc.则vd=2vc. ∴D正确
1. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是( A．相等的时间里通过的路程相等 B．相等的时间里速度变化量相等 C．相等的时间里发生的位移相同 D．相等的时间里转过的角度相等
【解题切点】 对于杆类问题在最高点时，既可产生支持 力，又可产生拉力。
【解析】 设小球以速率 v0 通过最高点时， v2 0 球对杆的作用力恰好为零，即 mg＝m ，得 L
v0＝ gL＝ 10×0.50 m/s＝ 5 m/s。 由于 v＝2.0 m/s＜ 5 m/s，可知过最高点时， 球对细杆产生压力。如右图所示，为小球的受力情况图。 v2 由牛顿第二定律 mg－FN＝m ，得 L
【解析】 (1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，
设筒壁与水平面的夹角为θ。 由平衡条件有 Ff＝mgsin θ FN＝mgcos θ
由图中几何关系有 R H cos θ＝ 2 ，sin θ＝ 2 R ＋H2 R ＋H2
mgH mgR 故有 Ff＝ 2 ，FN＝ 2 2 R ＋H R ＋H2
讨论 分析
在最高 点的 FN－v2 图线
长度为L＝0.50 m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0 kg的小 球，如右图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最 高点时小球的速率是2.0 m/s，g取10 m/s2，则此时细杆OA受到( )
A．6.0 N的拉力 C．24 N的拉力 B．6.0 N的压力 D．24 N的压力
【解析】 物体 A 经过 Q 点时，其受力情况如图所示。 由牛顿第二定律得： v2 mg＋FN＝m R 物体 A 刚好过 Q 点时有 FN＝0 解得 v＝ gR＝4 m/s 对物体从 L 到 Q 全过程，由动能定理得 1 FxLM－2mgR＝ mv2 2 解得 F＝8 N。
【答案】 8 N
1.汽车起重机用2m长的缆绳吊着1t的重物，以2m/s速度水平 行驶，若突然刹车，求此瞬间绳的拉力。
【答案】 当物体下滑到圆上某点时的半径与竖直半径成37°角时
圆周运动中的动力学问题分析
1．向心力的来源：向心力是按力的作用效果命名的，可以是
重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个
力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加向心力。 2．向心力的确定
(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置。
描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、 转速、向心加速度、向心力等，现比较如下表：
定义、意义 (1)描述做圆周运动的物体运动 ① 快慢 的物理量(v) (2)是矢量，方向和半径垂直，和圆 周② 相切 (1)描述物体绕圆心③ 转动快慢 的 物理量(ω) (2)中学不研究其方向 公式、单位 Δl 2πr (1)v＝ ＝ Δt T (2)单位：m/s
三：同轴转动角速度相等，皮带（齿轮）传动线速度相等。 固定在同一转轴上的转动的物体各点的角速度相等。 不打滑的皮带传动，皮带轮缘各处的线速度相等。
例．如右图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点， 左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮 中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上。若在转动过程中， 皮带不打滑，则( ) A．a点与b点的线速度大小相等 B．a点与b点的角速度大小相等 C．a点与c点的线速度大小相等 D．a点与d点的向心加速度大小相等
由小球能运动即可得 v 临 ＝0 (1)当 v＝0 时， N＝mg， N 为支持力， F F 沿半径背离圆心。 v2 (2)当 0＜v＜ gr时， N＋mg＝m ， －F r FN 背离圆心，随 v 的增大而减小。 (3)当 v＝ gr时，FN＝0。 v2 (4)当 v＞ gr时，FN＋mg＝m ，FN r 指向圆心并随 v 的增大而增大 取竖直向下为正方向
动，则(
)
A．球A的线速度必定大于球B的线速度 B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
【解析】 对 A、B 两球受力分析如图， 得：FN＝mg/sin θ，故 D 错误；
v2 2π F 合 ＝mgcot θ＝FA 向心＝FB 向心＝m ＝mrω2＝mr( )2 r T 分析得 r 大，v 一定大，ω 一定小，T 一定大， 故 A、B 正确，C 错误。