高三数学12月阶段性质量检测试题 文
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷
2024—2025学年度上学期高三12月联合教学质量检测高三数学试卷满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设为虚数单位，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知的值为（ ）AB ．CD ．3．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……这就是著名的斐波那契数列，该数列的前2024项中有（ ）个奇数A ．1012B ．1348C ．1350D ．13524．在中，为的中点，为的中点，若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．6．某人有两把雨伞用于上下班，如果一天上班时他也在家而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把去办公室，如果一天下班时他也在办公室而且天下雨，只要有雨伞可取，他将拿一把回家.；如果天不下雨，那么他不带雨伞.假设每天上班和下班时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且与过去情况相互独立.现在两把雨伞均在家里，那么连续上班两天，他至少有一天淋雨的概率为（ ）i 32i i z -=z =2i+2i -12i +12i -cos 1sin αα=+cos sin 1αα-ABC V H BC M AH AM AB AC λμ=+ λμ+231216133log 5a =2log 3b =4ln 3e c =a b c <<c b a <<b c a <<c a b<<1323A ．B ．C ．D ．7．已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（ ）AB ．C ．D．8．在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．[0,1]二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．对任意，记，并称为集合的对称差．例如：若，则．下列命题中，为真命题的是（ ）A ．若且，则B ．若且，则C ．若且，则D ．存在，使得10．在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）A ．平面B ．C ．异面直线，所成的角为D ．与平面11．随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．168120818272881:4350l x y ++=22:(4)(3)4C x y -+-=,P Q l P C ,A B PA QAQB +ABCD DA DB =E ABCD DE DA DE DB DA DB⋅⋅= CE xCB yCD =+ x y +[]1,231,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦,A B ⊆R {},A B x x A B x A B ⊕=∈⋃∉⋂A B ⊕,A B {}{}1,2,3,2,3,4A B =={}1,4A B ⊕=,A B ⊆R A B B ⊕=A =∅,A B ⊆R A B ⊕=∅A B=,A B ⊆R A B A ⊕⊆A B⊆,A B ⊆R A B A B⊕≠⊕R R ððABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE V 1A DE △1A DE C --P 1AC //BP 1A DEDP EC⊥PB 1A D π31A B PBD A B ()12P A =()23P B =()34P A B =()()()P AB P A P B =()38P AB =()34P A B +=()()()()()22P AB A B P AB P A P B +=三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 .13．已知函数在区间上的值域为，且，则的值为 .14．欧拉，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，将复数表示成（为虚数单位）的形式 ；若，则，这里，称为1的一个n 次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，则的值是 ．四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.（本小题13分）已知数列的前项和，，且．(1)求；(2)求数列的前项和；(3)设数列的前项和，且满足16.（本小题15分）在中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，{}n a 271717,2842,2n n tn t n n a t n ⎧⎛⎫-++≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪>⎩{}n a t π()2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭[]0,1[],m n 3n m -=ω(17071783)-cos sin i e i θθθ=+θπi e 10π+=e πi cos sin i e i θθθ=+πi i π3e e +i a b +,R,i a b ∈1n z =(0,1,2,,1)k z z k n ==- 2π2πcos isin k k k z n n =+(0,1,2,,1)k n =- k z ()543211(1)1x x x x x x -=-++++2πi5e z =()()()()2342222z z z z ----{}n a n 3(1)n n S na n n =--*n ∈N 317a =1a {}n a n n S {}n b n n T n b =n T <ABC V ,,A B C ,,a b c cos cos 2C A c a b -=+C 2AC BC ==,D E AB DCE ∠30o CED α∠=α的面积取到最小值，并求出最小值.17.（本小题15分）如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，对的中点.(1)证明：平面平面；(2)求平面与平面所成角的正弦值；(3)设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.18.（本小题17分）已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，，且.(1)求双曲线C的方程；(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上.19.（本小题17分）已知函数.(1)求函数y=f(x)的单调区间；(2)若曲线与存在两条公切线，求整数的最小值；(3)已知，函数有3个零点为：，且，证明：.CDE,,,,,A B C D E F ABCD CDEF,,2,4,AB CD CD EF AB DE EF CF CD AD BC AE=======∥∥M CDABCD⊥CDEFAEM BEMN ADM△0ND NM⋅=AN EN BF2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>()P n1k2k12||4k k AB==(4,0):4l x my=+AD BE()()2,e lnxf x xg x x==e x my+=()1y g x=+m1,0ea⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()11ah x x g xx=---123,,x x x123x x x<<1232ex x x++>。
高三数学第一次教学质量监测12月试题文含解析试题
卜人入州八九几市潮王学校2021届高三数学第一次教学质量监测〔12月〕试题文〔含解析〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题有且只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．112A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，那么A B =〔〕．A.10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.[)1,0-C.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.[]1,1-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集运算法那么直接求解.【详解】由题：集合112A x x ⎧⎫=-≤<⎨⎬⎩⎭，{}01B x x =<≤，应选：A【点睛】此题考察集合的交集运算，属于简单题目，根据运算法那么直接求解.11az i=--为纯虚数，那么实数a =〔〕． A.2- B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】 【分析】根据复数运算法那么化简11azi=--，纯虚数，即实部为零，虚部不为零. 【详解】由题：(1)11111(1)(1)222a a i a ai a a z i i i i ++=-=-=-=-+--+为纯虚数，那么10202aa ⎧-=⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩解得：2a =.故答案为：D【点睛】此题考察复数的根本运算和概念辨析，需要注意纯熟掌握运算法那么，弄清相关概念，纯虚数必须实部为零且虚部不为零.α的终边过点()3,4A -，那么()sin α-=〔〕．A.45-B.35C.35D.45【答案】D 【解析】 【分析】根据角α的终边过点()3,4A -求出sin α，再根据正弦函数的奇偶性求出()sin α-【详解】由题：角α的终边过点()3,4A -，那么4sin 5α=-， 由正弦函数是奇函数，所以()4sin sin 5αα-==. 应选：D【点睛】此题考察三角函数的定义，根据角的终边上的点求角的正弦值，再根据正弦函数的奇偶性求值，或者者得出α-的终边上的点，根据三角函数定义求值也可.cos y x x =+的大致图象是〔〕A. B.C. D.【答案】B 【解析】 由于()()cos ,cos f x x x f x x x =+∴-=-+，()()f x f x ∴-≠，且()()f x f x -≠-，故此函数是非奇非偶函数，排除,A C ；又当2x π=时，满足cos x x x +=，即()f x 的图象与直线y x =的交点中有一个点的横坐标为2π，排除D ，应选B ．0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除{}n a 中，2a ，14a 是方程2860x x ++=的根，那么3138a a a 的值是〔〕． A.410-+6C.6-D.6-6【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质结合韦达定理求出：2214214313880,6a a a a a a a +=-<===，讨论8a 的符号即可求得. 【详解】在等比数列{}n a 中，2a ，14a 是方程2860x x ++=的根，6424400∆=-=>由韦达定理：21421480,6a a a a +=-<=，所以214,a a 同为负数，等比数列所有偶数项符号一样，所以80a <根据等比数列的性质：221431386a a a a a ===，86a =-所以3138a aa==应选：C【点睛】此题考察等比数列的性质，结合二次方程韦达定理解决项的关系.R的函数()f x是偶函数，且对任意()12,0,x x∈+∞，()()1212f x f xx x-<-．设()2a f=，()πb f=，()1c f=-，那么〔〕．A.b a c<< B.c a b<< C.c b a<< D.a c b<<【答案】A【解析】【分析】根据题意，函数为偶函数且在0,单调递减，将所求函数值转化成0,的函数值进展比较即可.【详解】由题：对任意()12,0,x x∈+∞，()()1212f x f xx x-<-任取12120,0x x x x<<-<，因为()()1212f x f xx x-<-，那么12())0(f x f x->，即12()()f x f x>，所以函数()f x在0,单调递减函数()f x是定义域为R的偶函数，所以()()11c f f=-=，12,(1)(2)()f f fππ<<>>，所以b a c<<应选：A【点睛】此题考察通过函数的奇偶性和单调性比较函数值的大小，关键在于准确判断函数的单调性，将所求值转化到同一单调区间利用单调性比较大小.()0,8a =，()4,b m=，且()a b b-⊥，那么向量a与b夹角为〔〕．A.π3B.π6C.π4D.π2【答案】C 【解析】 【分析】()a b b -⊥即()0,0a b b a b b b -⋅=⋅-⋅=，代入坐标求出m ，根据向量夹角余弦值公式求解即可. 【详解】由题：()a b b -⊥即()20,8160a b b a b b b m m -⋅=⋅-⋅=--=，解得：4m =，()0,8a=，()4,4b =，根据向量夹角的取值范围限制在[0,]π 所以向量a 与b 夹角为π4应选：C【点睛】此题考察通过向量的垂直关系求参数值，再求向量的夹角，对根本公式通式通法的考察. 8.以下结论中正确的个数是〔〕． ①在ABC 中，假设sin 2sin 2A B =，那么ABC 是等腰三角形； ②在ABC 中，假设sin sin A B >，那么A B >③两个向量a ，b 一共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=④等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数． A.0 B.1C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=；ABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤，结合正弦函数单调性可证；③：假设0,0a b=≠④：常数列不合题意.【详解】对于①：假设sin 2sin 2A B =，那么22A B =或者22A B π+=，即A B =或者2A B π+=即ABCABC 中，假设A B ≤，那么sin sin A B ≤当02A B π<≤≤时，由正弦函数sin ,[0,]2y x x π=∈单调递增可得sin sin A B ≤；当2B ππ<<时，0,02A C A A C π<+<<<+，sin sin()sin A A C B <+=对于③：假设0,0a b =≠，满足向量a ，b 一共线，但不存在实数λ，使b a λ=对于④：常数列{}n a ，通项公式1n a =，其前n 项和公式n S n =不是二次函数，所以该选项不正确，综上：只有一个正确. 应选：B .9.正在创立全国文明城，现有甲、乙、丙、丁4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组清扫卫生，那么甲、乙不在同一组的概率为〔〕． A.12B.13C.23D.16【答案】C 【解析】 【分析】考虑根本领件总数时，按照指挥交通组选人，清扫组选人，计算根本领件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求.【详解】根据指挥交通组选人清扫组选人，根本领件总数为22426C C =，甲乙在同一组包含根本领件总数为2，其概率为13，其对立事件：“甲、乙不在同一组〞 所以甲、乙不在同一组概率为12133-= 故答案为：C【点睛】此题考察古典概型，关键在于准确算出根本领件总数和某一事件包含的根本领件个数，其中考察根本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度.2222:1x y C a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，那么双曲线的离心率为〔〕．B.2+C.2【答案】D 【解析】 【分析】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n m n >>，代入双曲线和圆的方程，根据正方形关系，求解离心率.【详解】设以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为1(,),0,0P m n mn >>，22221m n a b-=，222m n c += 以12F F 为直径的圆与双曲线的四个交点依次连线恰好构成一个正方形，那么mn =代入可得：2222122c c a b -=，22222122()c c a c a -=- 4224420c a c a -+=，两边同时除以4a 得：42420e e -+=，22e ==±21,1e e >>所以e =应选：D【点睛】此题考察通过双曲线上的点的关系求解离心率，关键在于将题目所给条件转化成代数关系求解，构造齐次式解方程.11.唐代诗人李颀的诗古从HY 行开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．〞诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将HY 饮马〞问题，即将HY 在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回HY 营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设HY 营所在区域为222xy +≤，假设将HY 从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将HY 只要到达HY 营所在区域即回到HY 营，那么“将HY 饮马〞的最短总路程为〔〕．A.D.3【答案】B 【解析】 【分析】 求出点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，所求问题即点A '到HY 营的最短间隔.【详解】由题点()3,0A 和HY 营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧，设点()3,0A 关于直线4x y +=的对称点(,)A a b '，AA '中点3(,)22a bM +在直线4x y +=上， 3422013a bb a +⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：41a b =⎧⎨=⎩，即(4,1)A '，设将HY 饮马点为P ，到达营区点为B ，那么总路程PB PA PB PA '+=+，要使路程最短，只需PB PA '+最短，即点A '到HY 营的最短间隔，即点A '到222x y +≤区域的最短间隔为：OA '=应选：B【点睛】此题结合中国优秀传统文化内容考察点关于直线对称问题，以及圆外的点到圆上点的最小间隔，对数形结合思想要求较高.()f x 在定义域R 上的导函数为fx，假设函数()y f x ='没有零点，且()20202020xf f x ⎡⎤-=⎣⎦，当()sing x x x kx =-在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上与()f x 在R 上的单调性一样时，实数k 的取值范围是〔〕．A.(],1-∞-B.(,-∞C.⎡-⎣D.)+∞【答案】B 【解析】 【分析】 函数()y f x ='没有零点，即函数()f x 的导函数恒为正或者恒为负，即()f x 在定义域内单调，()2020f t =只有唯一实根，即()2020x f x t -=，可得()2020x f x t =+可得()f x 在定义域内单调递增，()gx 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增，利用导函数恒大于等于零即可求解.【详解】函数()y f x ='没有零点，即函数0f x或者0f x恒成立，即()f x 在定义域内单调，那么()2020f x =只有唯一实根，设该实根为t 〔t 为常数〕，()20202020x f f x ⎡⎤-=⎣⎦，即()2020x f x t -=，()2020x f x t =+ 所以()f x 在定义域内单调递增，所以()g x 在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递增，()ππcos 0,,22g x x x k x ⎡⎤'=+-≥∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，ππcos ,,22x x k x ⎡⎤+≥∈-⎢⎥⎣⎦恒成立ππ2sin ,,622x k x π⎛⎫⎡⎤+≥∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，恒成立所以2sin 26x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭所以k ≤应选：B【点睛】此题考察通过导函数讨论函数单调性问题，涉及方程的根，不等式恒成立求参数范围问题，综合性比较强.二、填空题：本大题一一共4小题．把答案填写上在题中横线上．()2,01,02x x x f x x x ≥⎧⎪=⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，()()1f f -=______．【答案】6 【解析】 【分析】根据分段函数依次求解()13f -=，再求()()1(3)f f f -=的值即可.【详解】由题()111(1)32f -⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，故答案为：6【点睛】此题考察分段函数求值问题，根据分段函数解析式，依次求值即可.14.x ，y 满足约束条件3442x y y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，假设z x y =+的最大值是______．【答案】10 【解析】 【分析】作出可行域，求出顶点坐标，对目的函数表示直线进展平移，根据截距的最值求出最大值. 【详解】作出可行域如下列图，解出顶点坐标31(,),(6,4),(0,4)22A B C - 平移目的函数表示的直线y x z =-+，直线截距越大，即z 越大，由图可得当直线过(6,4)B 时直线截距最大，此时z x y =+获得最大值10. 故答案为：10【点睛】此题考察线性规划问题，关键在于准确作出可行域，求出顶点坐标，通过平移直线求得最值.{}n a 满足13a =，21n n S a =+，2n ≥，那么5a=______．【答案】16 【解析】 【分析】 根据21nn S a =+，2n ≥，求出数列{}n a 的通项公式即可.【详解】由题：21nn S a =+，2n ≥，1121n n S a --=+，3n ≥，两式相减：1122,2,3nn n n n a a a a a n --=-=≥当=2n 时，222321,2a a a +=+=所以13,12,2n n n a n -=⎧=⎨≥⎩所以45216==a .故答案为：16【点睛】此题考察通过数列前n 项和n S 与通项n a 的关系求解通项公式再求详细项的问题，关键在于根据弄清题目所给限制条件，注意适用范围，防止出错.ABC 中，8AB =，6BC =，10AC =，P 为ABC 外一点，满足PA PB PC ===，那么三棱锥P ABC -的外接球的半径为______．【答案】254【解析】 【分析】 取AC中点O ，连接,PO BO ，通过计算得出BO AO CO ==，PO ⊥平面ABC ，即O 为ABC 所在平面与球形成截面圆的圆心，球心在线段PO 上，列方程组即可求解.【详解】取AC 中点O ，连接,PO BO ，在ABC 中，8AB =，6BC =，10AC =，所以ABC 为直角三角形2ABC π∠=，所以5BO AO CO ===，O 为ABC 所在平面与球形成截面圆的圆心，又因为PA PB PC ===所以,10PO AC PO ⊥==，在PBO 中，222PO OB PB +=，所以PO OB ⊥，OB 与AC 相交，那么PO ⊥平面ABC ，那么球心M 在PO 上，设球的半径,,10R AMPM R OM R ===-在AMO 中，22222,25(10)AM AO OM R R =+=+-解得：254R=故答案为：254【点睛】此题考察通过三棱锥特征求其外接球半径大小的问题，关键在于弄清几何特征，寻找等量关系，找出球心位置，建立方程组求解半径，平常学习中有必要积累常见几何体外接球半径求法.三、解答题：解容许写出文字说明，演算步骤或者证明过程．17题-21题为必考题．22题、23题为选考题． 17.某经销商从某养殖场购进某品种河蟹，并随机抽取了100只进展统计，按重量分类统计，得到频率分布直方图如下： 〔1〕记事件A 为“从这批河蟹中任取一只，重量不超过120克〞，估计()P A ；〔2〕试估计这批河蟹的平均重量；〔3〕该经销商按有关规定将该品种河蟹分三个等级，并制定出销售单价如下：试估算该经销商以每千克至多花多少元〔取整〕收买这批河蟹，才能获利？ 【答案】〔1〕()0.7P A =；〔2〕104g ；〔3〕至少163元【解析】 【分析】〔1〕由频率分布直方图求前四个小矩形面积之和即重量不超过120克的频率即为概率的估计值； 〔2〕根据频率分布直方图性质，每组小矩形面积乘以该组中间值，再求和即为平均数；〔3〕根据三个等级个数求出总售价，由〔2〕计算出总重量，再计算出平均本钱，要求本钱不超过售价才能获利.【详解】〔1〕由频率直方图可知：河蟹的重量不超过120g 的频率()200.00250.00750.01000.01500.7=⨯+++=，∴估计()0.7PA =．〔2〕由题估计平均重量为：()500.05700.15900.21100.31300.251500.05104g ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．〔3〕设该经销商收买该批河蟹每千克至多x 元，由〔2〕可知该100只河蟹的总重量为()100104100010.4kg ⨯÷=由图可知特级河蟹有200.00251005⨯⨯=只 ，一级河蟹有20(0.0150.0125)10055⨯+⨯=只， 二级河蟹有20(0.00250.00750.01)10040⨯++⨯=只， ∴10.454055204010x ≤⨯+⨯+⨯，而5405520401016310.4⨯+⨯+⨯≈，∴经销商以每千克至多花163元收买这批河蟹，才能获利【点睛】此题考察频率分布直方图相关数据求法，并根据数据作出决策，要求准确掌握频率分布直方图的众数，中位数，平均数的求法，计算准确无误.ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且向量()2,cos n a c C =-与向量(),cos m b B =一共线．〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设2BD DC =，且1CD =，AD =ABC 的面积．【答案】〔1〕π3B =；〔2〕ABC S =△【解析】 【分析】〔1〕根据向量一共线的坐标表示，即可列出等式结合正弦定理，求解未知数； 〔2〕根据向量关系求出线段长度，由余弦定理求出三角形边长，即可计算面积. 【详解】〔1〕∵向量()2,cos n a c C =-与向量一共线(),cos m b B =一共线，∴()2cos cos a c B b C -=，由正弦定理可得()2sin sin cos sin cos A C B B C -=，∴()2sin cos sinsin A B B C A =+=．∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =． 又∵0πB <<，∴π3B =．〔2〕∵2BD DC =，且1CD =，AD =，∴2BD =，3BC =，在ABD △中，由余弦定理有222cos AD BD AB BD B =-⋅，即2742AB AB =+-，解得3AB =，或者1AB =-〔舍去〕，故11sin 3322ABCS AB BC B =⋅⋅=⨯⨯=△．【点睛】此题考察解三角形，结合向量一共线的坐标表示，建立等量关系结合正弦定理求角，根据余弦定理求边，计算面积.19.如图，在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥平面ABCDE ，AB CD ∥，ACED ，AE BC ∥，45ABC ∠=︒，AB =24BC AE ==．〔1〕求证：CD ⊥平面PAC ； 〔2〕求直线PA 与平面PCD 所成的角是π4，求五棱锥P ABCDE -的体积．【答案】〔1〕见解析；〔2〕3V =【解析】 【分析】〔1〕PA ⊥平面ABCDE 可得PA CD ⊥，通过计算证明CD AC ⊥，即可证明；〔2〕结合第一问结论找出线面角，通过角度计算PA 长度，即可求出锥体体积.【详解】〔1〕在三角形ABC 中，∵45ABC ∠=︒，4BC =，AB =∴2222cos 458AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒=，∴222BC AB AC =+，∴90BAC ∠=︒，∴AB AC ⊥．由AB CD ∥得CD AC ⊥．又PA ⊥平面ABCDE ，CD ⊂面ABCDE ，故PA CD ⊥．又PAAC A =，∴CD ⊥平面PAC ．〔2〕由〔1〕知平面PAC ⊥平面PCD ，∴APC ∠就是直线PA 与平面PCD 所成角，∴π4APC∠=，得PA AC ==，∴142ABC S AB AC =⋅=△． CD AC ⊥，AC ED ，AE BC ∥，4EAC π∠=，2AE =直角梯形ACDE 中，cos 4AC AE DE π=⋅+，sin 4CD AE π=⋅所以CDDE ==，梯形ACDE 面积(32ACDES==．故五棱锥P ABCDE -的体积()13433V=+⋅=．【点睛】此题考察线面垂直的证明和通过线面角的大小求线段长度，再求锥体体积，考察通式通法，属于中档题.P 为圆226x y +=上任意一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，点M 是线段PQ 上的一点，且满足3PQ MQ =．〔1〕求点M 的轨迹C 的方程； 〔2〕过点()2,0F作直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，当OAB 的面积最大时，求直线l 的方程．【答案】〔1〕22162x y +=；〔2〕20x y ±-=【解析】 【分析】〔1〕利用相关点法设坐标(),Mx y ，()00,P x y ，()0,0Q x ，通过代换关系即可求出轨迹方程；〔2〕设直线的方程与椭圆方程联立，整理成二次方程，结合韦达定理，表示出三角形的面积，利用函数关系求面积的最值.【详解】〔1〕依题意可设(),Mx y ，()00,P x y ，()0,0Q x∵3PQ MQ =，∴00x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩．又22006x y +=，∴2236x y +=，∴点M 的轨迹为椭圆，方程为22162x y +=．〔2〕由题：要形成三角形，那么直线倾斜角不能为0， 设l 的方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，那么有()121212OABOFB OFA S S S OF y y y y =+=⋅+=-△△△，联立方程组222162x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 并整理得()223420m y my ++-=，∴1221224323m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，∴()()22212121222242443m y y y y y y m +-=+-=+． 令23tm =+，3t ≥那么有22122224484824114834t y y t t t t -⎡⎤-==-+=--+⎢⎥⎣⎦． ∴当4t =，即1m =±时OAB 面积最大，此时l 的方程为20x y ±-=．【点睛】此题考察利用相关点求轨迹方程，直线与椭圆形成图形中，结合韦达定理讨论三角形面积的最值问题，考察解析几何的通式通法，对综合才能要求较高.()23x f x xe ax =++．〔1〕假设曲线()y f x =在0x =处切线与坐标轴围成的三角形面积为92，务实数a 的值； 〔2〕假设12a =-，求证：()ln 4f x x ≥+． 【答案】〔1〕0a =或者1-；〔2〕见解析【解析】 【分析】〔1〕利用导函数求出曲线()y f x =在0x =处切线，表示出切线与坐标轴围成三角形面积即可求解；〔2〕需证明的不等式通过作差转化成证明()ln 10x h x xe x x =---≥，利用导函数单调性求出最小值即可得证. 【详解】〔1〕()()12x f x x e a '=++，那么()021f a '=+为切线斜率．又()03f =，∴切点为()0,3．∴曲线在0x =处切成方程为()321y a x -=+．当0x=时，3y =，当0y =时，321x a -=+〔易知210a +≠〕 那么切线与坐标轴围成三角形面积为13932212a -⨯⨯=+． ∴211a +=得211a +=±．所以0a=或者1-．〔2〕法一：12a =-时，()3xf x xe x =-+ 要证的不等式为3ln 4xxe x x -+≥+，即ln 10x xe x x ---≥．令()ln 1x hx xe x x =---，那么()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=+--=+- ⎪⎝⎭． 易知()h x '递增，()10h '>，)132022h ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，∴()0h x '=仅有一解0x 且001xe x =，即00ln x x =-．当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 递减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 递增．从而()hx 最小值为()0000000ln 11ln 10x f x x e x x x x =---=---=∴()()00h x h x ≥=，故原不等式成立．法二：12a =-时，要证的不等式为ln 10x xe x x ---≥．令x t xe =，那么ln ln t x x =+． 故问题化为证不等式ln 10t t --≥恒成立．()0,x ∈+∞时，()0,x t xe =∈+∞令()ln 1ht t t =--，那么()111t h t t t-'=-=，当()0,1t ∈时，()0h t '<，()h t 递减； 当()1,t ∈+∞时，()0h t '>，()h t 递增．∴()()10h t h ≥=，从而原不等式成立．【点睛】此题考察通过导函数求在某点处的切线，通过导函数证明不等式，其中用到隐零点问题解法，常用方法作差构造新函数，假设能考虑换元法由经典不等式讨论最值会更加简单. 请考生在第22、23题中任选一题答题，假设多做，那么按所做第一题计分．xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩〔θ为参数，且[]0,πθ∈〕，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 〔1〕求曲线C 的普通方程与直线的直角坐标方程；〔2〕设点M 在曲线C 上，求点M 到直线l 间隔的最小值与最大值．【答案】〔1〕曲线C ：()()221101x y y -+=≤≤，直线l ：40x +-=；〔2〕最小值为12，最大值为2 【解析】 【分析】〔1〕通过参数方程与普通方程的转化方法和直角坐标方程与极坐标方程之间的转化方法化简即可； 〔2〕用点M 的参数方程表示坐标，利用点到直线的间隔公式表示出间隔，再利用函数关系求最值. 【详解】〔1〕由[]0,πθ∈，01y ≤≤曲线C 的普通方程：()()221101x y y -+=≤≤由πsin 26ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭得ππsin cos cos sin 266ρθρθ+=，1222y x +=，直线l 的直角坐标方程40x +-=． 〔2〕设点()1cos ,sin Mθθ+到直线l 的间隔为π32sin62d θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===． ∵[]0,πθ∈，ππ7π,666θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，π1sin ,162θ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1,22d ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴点M 到直线l 间隔的最小值为12，最大值为2． 【点睛】此题考察参数方程与普通方程，直角坐标方程与极坐标方程之间的转化，通过参数方程求点到直线间隔的最值问题，注意考虑参数的取值范围限制条件，防止范围取错.()212f x x =-+，()21g x x a x =--+．〔1〕求不等式()4f x x >+的解集；〔2〕假设对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕1{3x x <-或者3}x >；〔2〕3122a -<< 【解析】 【分析】〔1〕利用零点分段讨论的方法求解不等式即可； 〔2〕对任意的12,x x R ∈，使得()()12f x g x >，只需()()min max f x g x >即可，结合绝对值不等式性质求出两个函数的最值，解不等式即可. 【详解】〔1〕将2124x x -+>+化为：122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+>+⎩，或者1421224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-+>+⎩，或者41224x x x ≤-⎧⎨-+>--⎩， 解得3x >，或者143x -<<-，或者4x ≤-． 解集为1{3x x <-或者3}x >． 〔2〕∵()2f x ≥，()212121g x x a x x a x a =--+≤---=+，由题意得，只需()()min max f x g x >即可，∴221a >+得2212a -<+<，∴3122a -<<． 【点睛】此题考察利用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式性质求绝对值最值间的大小关系，考察绝对值三角不等式，以及不等式恒成立求参数范围.。
精选高三数学12月阶段性质量检测试题文
高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34πD.4π或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C.1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题：①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④B ．②C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为 A ．[1，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______.12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB =. 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值；(II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数， 且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且()f θ=，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）AB CDEA 1BC 1 FB 已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
河北省邯郸市高三数学12月质量检测试题 文 新人教A版
注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。
2、全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
3.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第I 卷一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.集合}22|{<<-=x x A ,}02|{2≤-=x x x B ,则=B A A ．)2,0( B ．]2,0( C. ]2,0[ D. )2,0[ 2.复数1ii -的共轭复数为 A ．i 2121+- B ．i 2121+ C. i 2121-- D. i 2121-3.抛物线的准线方程为4-=y ，则抛物线的标准方程为A ．y x 162=B ．y x 82= C. x y 162= D. x y 82= 4.某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为 A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k > 5.等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是 A ．13 B ．26 C ．52 D ．156 6.下列说法正确的是A ．若q p ∧为假，则q p 、均为假.B ．若01,:2>++∈∀x x R x p ，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≤. C ．若1=+b a ，则ba 11+的最小值为4. D ．线性相关系数||r 越接近1，表示两变量相关性越强.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数 8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．2π B ．22π C ．3πD ．23π9.如图所示，一游泳者自游泳池边AB 上的D 点，沿DC 方向 游了10米,60CDB ∠=,然后任意选择一个方向并沿此方向 继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB 边的概率是A ．16 B ．14 C ．13 D ．1210.若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若||||OF OP =，则双曲线的离心率为101010212.若直角坐标平面内B A 、两点满足条件：①点B A 、都在)(x f 的图象上；②点B A 、关于原点对称，则对称点对)(B A 、是函数的一个“兄弟点对”(点对()A B ,与()B A ,可看作一个“兄弟点对”).已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(lg )0(cos )(x x x x x f , 则)(x f 的“兄弟点对”的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年高三12月阶段性检测数学(文)试题 含答案
2021年高三12月阶段性检测数学（文）试题含答案一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1、设集合∪={-2,-1,0,1,2},A={1,2},B={-2,-1,2},则A∪(CUB )等于( )A.{1}B.{1,2}C.{2}D.{0,1,2}2、下列命题中的假命题是（）A. B. C. D.3、设x,y为正数且x+4y=1, 则1x+14y的最小值为( ) (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D)4 。
4、将函数的图像向左平移个单位，得到函数的图像，=（）A． B． C． D．5、首项为的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是（）A. B. C. D.6、对于任意实数命题①；② ③；④；其中真命题的个数是 ( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 47、某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为( )A． B．C． D．8、函数在定义域内零点个数是（）A．3 B. 2 C． D．09、已知等比数列{a n}的前n项和为S n=3n+a,n∈N*，则实数a的值是（）A．―3 B. 3 C. -1 D. 1俯视图左视图主视图222210、已知O 是所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →+OB →+OC →=O →，则（ ） A. AO →=2OD → B. AO →=OD →C. AO →=3OD →D. 2AO →=OD →11、直线与圆相交于两点，若22，则的取值范围是( )A ．[-1，1] B ． C ． D ．12、已知a n =（13）n-1，把数列{a n }的各项排列成如下的三角形状，a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 …………………………记A （m,n ）表示第m 行的第n 个数，则A （9,10）= （ ）A ．（13）91B ． （13）90C ． （13）93D ． （13）112二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、已知函数f(x)＝⎩⎨⎧3x ＋2 x ＜1x 2＋ax x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝__ __．14、函数f(x)＝lnxx的单调递增区间是 。
2021年高三数学12月检测试题 文
2021年高三数学12月检测试题 文本试卷共5页，分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.共150分，检测时间120分钟.第I 卷（选择题，共50分）注意事项：1.答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、学号、学校、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试卷上.一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若，则A. B.C. D.2.若复数z 的实部为1，且=2，则复数z 的虚部是A. B. C. D.3.已知，命题“若，则”的否命题是A.若B.若C.若D.若4.执行如右图所示的程序框图，若输入的的值为2，则输出的的值为A.3B.126C.127D.1285.在中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为1sin cos sin cos 2a B C c B Ab a b +=<∠，且，则B= A. B.C. D.6.函数的部分图象为7.设，若的最小值为A. B.8C. D.8.下列说法正确．．的是A.样本10，6，8，5，6的标准差是3.3.B.“为真”是“为真”的充分不必要条件；C.已知点在抛物线的准线上，记其焦点为F，则直线AF的斜率等于D.设有一个回归直线方程为，则变量每增加一个单位，平均减少1.5个单位；9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是A. B. C. D.10.双曲线的离心率，则以双曲线的两条渐近线与抛物线的交点为顶点的三角形的面积为A. B. C. D.第II 卷（非选择题 共100分）注意事项：1.第II 卷包括填空题和解答题共两个大题；2.第II 卷所有题目的答案考生需用中性笔答在答题卡指定的位置上.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在横线上.11.在区间上随机选取一个数X ，则的概率等于__________.12.若实数满足的取值范围为____________.13.某三棱锥的主视图与俯视图如图所示，则其左视图的面积为___________.14.已知圆O 过椭圆的两焦点且关于直线对称，则圆O 的方程为_________.15.定义在R 上的奇函数()()()[]()402f x f x f x f x +==满足，且在，上()1,01294146sin ,12x x x f f x x π⎧-≤≤⎪⎛⎫⎛⎫+=⎨ ⎪ ⎪<≤⎝⎭⎝⎭⎪⎩，则_______.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数的最小正周期为.（I ）求的值；（II ）讨论在区间上的单调性.17.（本小题满分12分）参加市数学调研抽测的某高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题：（I ）求参加数学抽测的人数、抽测成绩的中位数及分数分别在，内的人数；（II ）若从分数在内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在内的概率.18.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为.（I ）求数列的通项公式；（II ）设，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）如图几何体中，四边形ABCD 为矩形，36,2,AB BC BF CF DE EF ======,G 为FC 的中点，M 为线段CD 上的一点，且.（I ）证明：AF//面BDG ；（II ）证明：面面BFC ；（III ）求三棱锥的体积V.20.（本小题满分13分）已知函数（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（II）当时，讨论的单调性.21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为.（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆右焦点斜率为的直线与椭圆C相交于E、F两点，A为椭圆的右顶点，直线AE，AF分别交直线于点M，N，线段MN的中点为P，记直线的斜率为，求证：为定值.数学（文）参考答案及评分标准一、选择题（每小题5分，共50分）DBACA ADDBC二、填空题（每小题5分，共25分）11． 12． 13． 14． 15．三、解答题：16．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 2()4cos sin()cos 4f x x x x x x πωωωωω=⋅+=⋅+，…………3分因为的最小正周期为，且，从而有，故. ………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，，………………………8分当，即时，单调递增；当，即时，单调递减. ……………11分 综上可知，上单调递减，上单调递增；在在]28[]8,0[)(πππx f .………………12分 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）分数在内的频数为2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有人． ……………………………………………2分，由， 得 ， ……………………………………………3分茎叶图可知抽测成绩的中位数为 ． …………………………………4分分数在之间的人数为 ……………………5分参加数学竞赛人数，中位数为73，分数在、内的人数分别为 人、 人． ………………………………………6分（Ⅱ）设“在内的学生中任选两人，恰好有一人分数在内”为事件 ，将内的人编号为 ；内的人编号为，在内的任取两人的基本事件为： 共15个，…………………………………………9分 其中，恰好有一人分数在内的基本事件有共8个，故所求的概率得 ， …………………11分答：恰好有一人分数在内的概率为． (12)18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，，得． ………3分，，…………4分，两式相减，得数列为等比数列，． ………7分（Ⅱ） ，211321242()()n n n P a a a b b b ++=+++++++ …………9分……………10分 …………12分 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接交于点，则为的中点，连接,因为点为中点，所以为的中位线,所以，……2分面，面，面……………………………………5分（Ⅱ）连接,，为的中点,,，,，为矩形, ………………7分，又，为平行四边形, ………………8分，为正三角形，面,面,面面．…………………………10分（Ⅲ）11233F BMC F BMG C BMG BMG BMGV V V S FC S ---=+=⨯⨯=⨯⨯,因为，,所以,所以．…………………………12分20．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，此时，…………2分，又，所以切线方程为：，…6分在上,单调递增；…………………… 8分当时，，当,即时在恒成立，所以在单调递减；………………………10分当时，，此时在上,单调递减，在上单调递增；……………………12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. ……………………………13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由题意得，，……………………………2分所以，，所求椭圆方程为．…………………… 4分（Ⅱ）设过点的直线方程为：，设点，点，…………………………………5分将直线方程代入椭圆，整理得：………………………………… 6分因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，且…………………………8分直线的方程为：，直线的方程为：令，得点，，所以点的坐标， ………………………………… 10分直线 的斜率为)22(41130)22(21'22112211-+-=---+-=x y x y x y x y k 4)(24)(32414)(2)(241212121212121211212++-++-⋅=++-+-+=x x x x k x x k x kx x x x x y y y x x y ，……… 12分 将代入上式得：222222224128234134343'412844244343k k k k k k k k k k k k k -⋅-⋅+++=⋅=---+++， 所以为定值． ………………………………… 14分j`8AQ40262 9D46 鵆25335 62F7 拷]*722487 57D7 埗F22656 5880 墀B34989 88AD 袭。
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测(二)数学试题(含答案解析)
天津市南开区2022-2023学年高三上学期12月阶段性质量监测（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--，则S T S ð等于（）．A ．{3,2}-B ．{2,1}-C ．{1,3}-D ．{2,1,1,3}--2．函数1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．3．“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为025dB -（分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．对500人进行了听力测试，从中随机抽取了50人的测试值作为样本，制成如图频率分布直方图，从总体的500人中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为（）．A ．0.2B ．0.8C ．0.02D ．0.085．已知0.154log 2,log 3,2a b c ===，则（）．A ．c b a<<B ．c a b<<C ．a b c<<D ．a c b<<6．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎝⎭图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为3π4，则下列区间中()f x 单调递增的是（）．A ．ππ,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．30,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．用底面半径为3cm 的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（）．A ．227B ．427C ．727D ．14278．已知双曲线22:1124x y C -=，点F 是C 的右焦点，若点P 为C 左支上的动点，设点P到C 的一条渐近线的距离为d ，则||d PF +的最小值为（）A ．2+B ．C ．8D ．109．定义{},,max ,,.p p q p q q p q ≥⎧=⎨<⎩已知函数{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=．若方程3(())2f g x ax =+有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（）．A ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(1,1)-二、填空题10．若复数1ii iz a +=-+（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为________________．11．在53x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______________．12．在平面直角坐标系中，经过直线20x y +-=与两坐标轴的交点及点(0,0)的圆的方程为___________．三、双空题13．一个袋中有质地一样的小球5个，其中3个白色，2个黑色．现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，则摸球两次停止的概率为____________；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为______________．四、填空题14．已知0,0,3a b a b >>+=______．五、双空题15．已知平行四边形ABCD 中，2,45AB DAB ==∠=，E 是BC 的中点，点P 满足2AP AE AD =-，则||PD =________；PE PD ⋅=__________．六、解答题16．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．(1)求角C ；(2)若cos 4A =，求cos(2)A C +的值；(3)若c ABC =△的面积为2，求ABC 的周长．17．在如图所示的多面体中，,,AB CD AB AD AE ⊥⊥∥平面,ABCD CF ⊥平面ABCD ，1,2AB AE CF AD CD =====，M ，N 分别是,BF DE 的中点．(1)求证：MN ∥平面CDF ；(2)求DF 与平面BEF 所成角的正弦值；(3)设平面BEF I 平面CDF l =，求二面角B l C --的正弦值．18．已知数列{}n a 是公差不等于0的等差数列，其前n 项和为n S ，且11241,,,a S S S =成等比数列．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设()12n n n b n a a *+=∈⋅N ，其前n 项和为n T ．（ⅰ）若222,,m T T T 成等差数列，求m 的值；（ⅱ）求121ia ni iT =-∑．19．设椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，其左焦点到(2,1)P．(1)求椭圆E 的方程；(2)椭圆E 的右顶点为D ，直线:l y kx m =+与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 不是左、右顶点），若其满足0DA DB ⋅= ，且直线l 与以原点为圆心，半径为17的圆相切；求直线l的方程．20．已知函数()e xx f x =．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)若0x =是函数()()()sin g x f a f x x =⋅+的极值点．（ⅰ）证明：2ln 20a -<<；（ⅱ）讨论()g x 在区间()π,π-上的零点个数．参考答案：1．C【分析】求出{3,2,1,1,2,3}S T =--- ，再根据补集的定义即可求得答案.【详解】由集合{3,2,1,2},{3,1,2,3}S T =--=--可得{3,2,1,1,2,3}S T =--- ,故{1,3}S T S =- ð，故选：C 2．D【分析】通过函数的定义域与零点个数排除A 、B 、C 选项，分析D 选项符合函数的性质.【详解】令1()ln 0f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝得11x x -=即210x x --=，此有方程有两根，故()f x 有两个零点，排除A 选项；函数1()ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭有意义满足10x x->解得1x >或10x -<<，当1x <-时函数无意义，排除B 、C 选项；对D 选项：函数的定义域符合，零点个数符合，又∵当10x -<<与及1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，故单调性也符合，所以()f x 的图象可能是D ；故选：D 3．B【分析】求得22R,20x x x a ∃∈-+<时的a 的取值范围，判断和“1a <”的逻辑推理关系，可得答案.【详解】由题意知22R,20x x x a ∃∈-+<，即方程2220x x a -+=的判别式2440a ∆=->，即11a -<<，故1a <时推不出11a -<<，但11a -<<时，一定有1a <成立，故“1a <”是“22R,20x x x a ∃∈-+<”的必要不充分条件，故选：B 4．A【分析】利用频率分布直方图，结合频率之和为l ，求出样本中测试值在区间(0,10]内的频率，由频率估计概率，即可得到案.【详解】根据频率分布直方图可知，样本中测试值在区间(0,10]内的频率为:1(0.060.080.02)510.80.2-++⨯=-=,以频率估计概率，故从总体的500名学生中随机抽取1人，估计其测试值在区间(0,10]内的概率为0.2,故选：A 5．C【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解.【详解】因为55441log 2log log 2log 312a b =<==<=<，又因为0.10221c =>=，所以c b a >>，故选：C .6．B【分析】求出最小正周期，进而得到2π23T ω==，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.【详解】设π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ，由题意得：13π44T =，解得3πT =，因为0ω>，所以2π23T ω==，所以2π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2πππ2π,2π,Z 3226x k k k ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得：π3π,π3π,Z 2x k k k ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，π,π2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，B 正确；当1k =-时，7π,2π2x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，当1k =时，5π4π2,x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故其他选项，均不满足要求.故选：B 7．D【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案.【详解】设球形木珠的半径为r ，圆柱形木料的底面半径为R ,由截面图可知26,3R r R r =∴=，圆柱形木料的高为2r ，故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为3322447π7π1433π2π(3)227r r R r r r ⨯⨯==⨯⨯⨯⨯，故选：D 8．A【分析】设双曲线左焦点为(40)F '-，,求出其到渐近线的距离，利用双曲线定义将||d PF +转化为2||a PE F P ++'，利用当,,P F E '三点共线时，2F a PE P ++'取得最小值，即可求得答案.【详解】由双曲线22:1124x y C -=,可得2a b ==，(40)F ，,设双曲线左焦点为(40)F '-，，不妨设一条渐近线为:3b l y x a =-=-，即0x =，作PE l ⊥，垂足为E ，即||PE d =，作F H l '⊥,垂足为H，则||2F H '=，因为点P 为C 左支上的动点，所以2PF PF a '-=，可得2PF a PF '=+，故2|2|d FP PE a PF a PE F P '+=++=++'，由图可知，当,,P F E '三点共线时，即E 和H 点重合时，2||a PE F P ++'取得最小值，最小值为2||2F H '⨯=，即||d PF +的最小值为2，故选：A ．9．B【分析】根据新定义确定函数()()f g x 的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出a 的取值范围.【详解】因为{}2()max ,32,()||f x x x g x x =-=，所以{}2(())max ,32f g x x x =-，由232x x ≤-，可得2230x x +-≤，又0x ≥，所以01x ≤≤，即11x -≤≤，所以，(){}222,1max ,3232,11,1x x f x x x x x x x ⎧<-⎪=-=--≤≤⎨⎪>⎩，作出函数()f x的图象如下图所示：因为方程()()302f x ax a =+>有四个不同的实根，则3120a a ⎧-+>⎪⎨⎪>⎩或3120a a ⎧+>⎪⎨⎪<⎩或0a =，解得1122a -<<，所以a 的取值范围是11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B.10．1-【分析】根据复数的除法运算化简1ii iz a +=-+，再根据纯虚数的概念，令实部等于0，虚部不等于0，即可求得答案.【详解】由题意得复数22221i (1i)(i)12i=i=i i 111a a a a z a a a a ++-+--=--+++++，因为复数1i i i z a +=-+为纯虚数，故令2101a a +=+且22201a a a --≠+，解得1a =-，即实数a 的值为1-，故答案为：1-11．15-【分析】在二项展开式的通项公式()53215C 3rr r r T x-+=⋅-⋅中，令x 的幂指数等于1，求出r 的值，即可求得展开式中含x 项的系数．【详解】53x ⎫⎪⎭的展开式中，通项公式为()53521553C C 3rr rr rrr T x x --+⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令5312r-=，求得1r =，可得展开式中含x 项的系数()15C 315⨯-=-，故答案为：15-．12．22220x y x y +--=【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解.【详解】令0y =，得020x +-=，解得2x =，所以直线20x y +-=与x 轴的交点为()2,0A ,令0x =，得020y +-=，解得2y =，所以直线20x y +-=与y 轴的交点为()0,2B ,设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=,则因为()2,0A ，()0,2B ，(0,0)O 三点都在圆上，所以222202200D F E F F ⎧++=⎪++=⎨⎪=⎩,解得2,2,0,D E F =-=-=故所求圆的方程为22220x y x y +--=故答案为：22220x y x y +--=.13．35##0.6310##0.3【分析】根据先分类再分步的思想，古典概型的概率公式解决概率问题即可.【详解】由题知，现从中不放回地随机摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，所以摸球两次停止是指第一次摸得白球且第二次摸得黑球，或第一次摸得黑球且第二次摸得白球两种情况，所以摸球两次停止的概率为111132231154C C C C 123C C 205P +===；停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数，说明至少得摸球3次，包括第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得黑球，或第一次摸得白球且第二次摸得白球且第三次摸得白球且第四次摸得黑球，所以停止摸球时，摸到的白球个数多于黑球个数的概率为1111111322321211111115435432C C C C C C C 12123C C C C C C C 6012010P =+=+=，故答案为：35；31014．【分析】由柯西不等式求解即可.【详解】解：由柯西不等式可得()222221112+⎡⎤⎢+⎥⎣⎦≤=，2a =，1b =时，等号成立，故答案为：15．5【分析】利用向量的线性运算得2A A P B =，将PD PE，都用AB AD ，表示，计算||PD 与PE PD ⋅即可.【详解】由题意知245AB AD DAB =∠=，12AE AB AD =+ ，22122AB AD AP AE AD AD AB =+⎛⎫=-- ⎪=⎝⎭ ，2PD AD AP AD AB =-=- ，所以2222244PD AD AB AD AB AD AB--⋅+= ＝2242cos 454210-⨯+⨯==，所以||PD = PE PD ⋅= ()()()1222AE AD AB A AP AP D AB AD AB ⎛⎫⋅=+-- ⎪⎝--⎭ ()122AD AB AD AB ⎛⎫-- ⎪⎝=⎭()22211125222AD AB PD ===-⨯= .；516．(1)π3(3)5【分析】（1）结合正弦定理、正弦和公式、三角形三角关系、诱导公式化简求值即可；（2）由平方关系、倍角公式、余弦和公式化简求值；（3）由余弦定理及面积公式化简求得a b +，即可求得周长.【详解】（1）由正弦定理得，()2cos (sin cos sin cos )2cos sin sin C A B B A C A B C +=+=，即()2cos sin π2cos sin sin C C C C C -==，∵()0,πC ∈，∴sin 0C ≠，∴1cos 2C =，∴π3C =；（2）()0,πA C Î、、∴221sin sin sin 22sin cos cos 2cos sin 4C A A A A A A A =====-=-，∴()11cos 2cos 2cos sin 2sin 42A C A C A C +=-=-⨯-（3）由余弦定理得222222cos 7c a b ab C a b ab =+-Þ=+-，由面积公式得1sin 62ab C ab =Þ=，则()2223736255a b a b ab ab a b +=+-+=+´=Þ+=，∴ABC的周长为5a b c ++=+.17．(1)详见解析；【分析】（1）建立空间直角坐标系，运用空间向量方法证明线线平行从而证明线面平行（2）运用空间向量求取线面夹角和二面角.通过解方程求得平面BEF 的法向量m，利用sin cos DF θ=< ，m > 得解;（3）通过求解cos n <，m >=，然后利用sin ,m n <>= 即可得二面角的正弦值.【详解】（1）⊥AE 平面ABCD ，且AB AD ⊥，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图;则()0,0,0A ，()0,2,0D ，()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,0,1E ，()2,2,1F ，31,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,1,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3(,0,0)2MN =- ,(2,0,0)CD =- ,由34MN CD = ,可得MN CD ∥，又CD ⊂平面CDF ，MN ⊄平面CDF ，所以MN ∥平面CDF .（2）设平面BEF 的法向量(),,m x y z = ,(2,2,0)EF = ,(1,0,1)EB =- 则·0·220m EB x z m EF x y ⎧=-=⎨=+=⎩取1,x =()1,1,1m =- ，设求DF 与平面BEF 所成角为θ，则sin cos DF θ=<，m >=所以DF 与平面BEF所成角的正弦值为5.（3）由（2）知平面BEF 的法向量()1,1,1m =- ，平面ABE ∥平面CDF ,且平面ABE 的一个法向量为()0,1,0n = ，所以平面CDF 的一个法向量为()0,1,0n = ，故cos n <，3m >=-；sin ,3m n <>= ，平面ABE 与平面CDF所成的二面角的正弦值等于3.18．(1)21n a n =-(2)（ⅰ）4；（ⅱ）1261(4918n n ++-+⨯【分析】（1）设出等差数列{}n a 的公差，根据给定条件列式计算即可作答.（2）由（1）的结论求出n b ，借助裂项相消法求出n T ，利用222,,m T T T 成等差数列建立m 方程求解，再利用错位相减法求121ia ni i T =-∑..【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为()d d ≠0，因为124,,S S S 成等比数列，且11a =，所以4221S S S =⨯，所以2(2)1(46)d d +=⨯+，解得2d =，于是有()11221n a n n =+-⨯=-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-.（2）由(1)知，()()1221121212121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，因此，11111111335212121n T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（ⅰ）因为2T ，m T ，22T 成等差数列，则2222m T T T +=，即11111214144121m ⎛⎫-+-=- ⎪+++⎝⎭，整理得11219m =+，解得4m =；（ⅱ）由（ⅰ）知2121221(21)2()41121(1)21i a i i ii i i T i --==+⨯=+⨯---+，记11221()412i a nn i n i i i i M T ==+==⨯-∑∑，则2313572121444()4()422222n nn n n M --+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 所以234135721214444(4()422222n n n n n M +-+=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯ 两式相减得23132134(444)()422n n n n M ++-=⨯++++-⨯ 211144212616()4()414236n n n n n +++-++=+-⨯=-⨯-，所以1261()4918n n n M ++=-+⨯，即112261()41918i a n n i in T +=+=-+⨯-∑.19．(1)22143x y +=(2)321y x =-或321y x =-+【分析】（1）利用两点间的距离公式和椭圆的离心率公式，结合椭圆中,,a b c 的关系即可求解.（2）根据椭圆方程得出D 的坐标，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及点在直线上，结合向量的数量积的坐标运算及直线与圆相切的条件即可求解.【详解】（1）由题意可知，椭圆的焦点位于x 轴上，即椭圆的左焦点为()1,0F c -，因为左焦点到(2,1)P，所以1PF ==()229c +=，解得1c =或5c =-（舍），又因为椭圆E 的离心率为12，所以12c e a ==，即112a =，解得2a =，所以2223b a c =-=，故所求椭圆E 的方程为22143x y +=.（2）由题可得()2,0D ，设()()1122,,,A x y B x y ，由22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2223484120k x mkx m +++-=，所以()()()22284344120mk k m ∆=-+->，即22340k m +->，所以21212228412,3434mk m x x x x k k-+=-=++，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222224128343123344m mk k k m k k k km m -⎛⎫=⋅+-+= ⎝⎭-+++，因为0DA DB ⋅= ，所以()()()11221212122,2,240x y x y x x x x y y -⋅-=-+++=，所以2222224128343431224430m mk k k k m k -⎛-+++⎫-⋅-++= ⎪⎝⎭，即2271640m mk k ++=，解得2m k =-或27k m =-，满足22340k m +->，当2m k =-时，:2l y kx k =-过点D ，不合题意，所以27k m =-①，又直线l 与以原点为圆心半径为17的圆相切，17=②，联立①②，解得3k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以直线l的方程为321y x =-或321y x =-+.20．(1)函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值1e，无极小值.(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2【分析】（1）求导得到导函数，根据导函数的正负确定单调区间，计算极值得到答案.（2）（ⅰ）计算得到1()cos e ea x a x g x x -'=⋅+，确定e 0a a +=，设()e x F x x =+，根据函数的单调性结合()01F =，()2ln 20F -<得到证明；（ⅱ）求导得到导函数，考虑()π,0x ∈-，0x =，()0,πx ∈三种情况，构造()e sin x F x x x =-，确定函数的单调区间，根据()00F =，()00F x >，()π0F <得到零点个数.【详解】（1）()e x x f x =，1()e x x f x -'=，取1()0e xx f x -'==得到1x =，当1x <时，()0f x ¢>，函数单调递增；当1x >时，()0f x '<，函数单调递减.故函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，有极大值()11e f =，无极小值.（2）（ⅰ）()()()sin sin e e a x a x g x f a f x x x =⋅+=⋅+，1()cos e e a xa x g x x -'=⋅+，(0)10e a a g '=+=，故e 0a a +=，设()e x F x x =+，函数单调递增，()010F =>，()2ln 212ln 2e 2ln 2ln 404F --=-=-<.根据零点存在定理知2ln 20a -<<.（ⅱ）()sin e x x g x x =-+，()00g =，1()cos e x x g x x -'=+，设1()cos e x x h x x -=+，2()sin e xx h x x -'=-，当()π,0x ∈-时，20,sin 0e x x x -><，故()0h x '>，()g x '单调递增，()()0110g x g ''<=-+=，故函数()g x 单调递减，()()00g x g >=，故函数在()π,0-上无零点；当()0,πx ∈时，()1()sin e sin e e x x xx g x x x x =-+=-，设()e sin x F x x x =-，()()e sin cos 1x F x x x '=+-，设()()e sin cos 1x k x x x =+-，则()2e cos x k x x '=，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=>，当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()2e cos 0x k x x '=<故()k x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，()00k =，π2πe 102k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，()ππe 10k =--<，故存在0π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使()00k x =，当()00,x x ∈时，()0k x >，()F x 单调递增；当()0,πx x ∈时，()0k x <，()F x 单调递减.()00F =，故()00F x >，()ππ0F =-<，故函数在()0,πx 上有1个零点.综上所述：()g x 在区间()π,π-上的零点个数为2【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的单调性和极值，根据极值求参数，零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论是解题的关键，三角函数的有界性和正负交替是经常用到的关键思路.。
高三数学12月阶段性质量检测试题 文
高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34π D. 4π 或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C. 1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④ B ．② C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为A ．[1，+∞）B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______. 12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB = . 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值； (II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数，yO712π3-x6π-C x且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且3()35f θ=-，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368n T ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
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高三数学阶段性教学质量检测数学（文）试题 2016.12本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第I 卷（共50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}{1,2},2,3M N ==，则集合MN 真子集的个数是A. 7B. 8C. 15D. 16 2.已知1a =，2b =，且()a a b ⊥+，则向量a 与向量b 的夹角为A. 6πB. 4πC. 34π D. 4π 或34π3．已知倾斜角为α的直线l 与直线240x y +-=垂直，则2017cos(2)2πα-的值为 A ．2B 12-C ．45D ．45- 4．下列说法正确的是A.命题“若a b ≥，则22a b ≥”的逆否命题为“若22a b ≤，则a b ≤”B.命题“2,10x R x x ∀∈++>”的否定为“2000,10x R x x ∃∈++≤”C.若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题D.“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件5. 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十一日时，大约已经完成三十日织布总量的 A ．49% B ．53% C ．61% D ．88%6.已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的 直径为4，该几何体的体积为1V ，直径为4的球的体积 为2V ，则12:V V =A.2:1B.1:1C. 1:4D. 1:2.7.已知函数2ln ||(),x f x x x=-则函数()y f x =的大致图象为8．已知变量x ，y 满足约束条件，则z =2x +y 的最大值为A ．5B ．4C ．3D ．29．如图所示，正方体ABCD ﹣A′B′C′D′的棱长为1，E ，F 分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E ，F 的平面分别与棱BB′、DD′交于M ，N ，设BM=x ，x ∈[0，1]，给出以下四个命题： ①平面MENF⊥平面BDD′B′；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形MENF 周长L=f （x ），x ∈[0，1]是单调函数； ④四棱锥C′﹣MENF 的体积V=h （x ）为常函数； 以上命题中假命题的序号为 A.①④B ．②C ．③D ．③④10．设函数f （x ）在R 上存在导数f ′（x ），对任意的x ∈R 有f （﹣x ）+f （x ）=x 2，x ∈（0，+∞）时，f ′（x ）＞x ．若f （2﹣a ）﹣f （a ）≥2﹣2a ，则实数a 的取值范围为 A ．[1，+∞） B ．（﹣∞，1]C ．（﹣∞，2]D ．[2，+∞）第Ⅱ卷（共100分）二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题纸的相应位置上 11.已知0,0,lg 2lg8lg 2,xyx y >>+=则113x y+的最小值为_______. 12.如图，已知ABC ∆中，D 为边BC 上靠近B 点的三等分点，连接AD ，E 为线段AD 的中点，若CE mAB nAC =+，则m n += .13.已知ΔABC 满足,)cos(21sin sin 4322B A B A C AC BC +===⋅，，若角π则AB = . 14.已知圆C :22430x y x +++=，若直线1y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则实数k 的取值范围为 ．15.用()g n 表示自然数n 的所有因数中最大的那个奇数，例如：9的因数有1,3,9，则(9)9g =；10的因数有1,2,5,10，(10)5g =；那么2016(1)(2)(3)(21)g g g g ++++-=.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知非零向量(cos ,cos )a αα=，向量(sin ,cos 2sin )b θθθ=-，向量(1,2)c =. (I)若//a b ，求tan α的值；(II)若b c =，0θπ<<，求θ的值.17.（本小题满分12分）设函数()sin()ωϕf x A x =+（,,ωϕA 为常数， 且0,0,0ωϕπA >><<）的部分图象如图所示.（I ）求,,ωϕA 的值； （II ）设θ为锐角，且()f θ=，求()6f πθ-的值.18.（本小题满分12分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，已知D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，点F 在棱1CC 上，且1EF C D ⊥．求证：（I ）直线1A E ∥平面1ADC ； （II ）直线EF ⊥平面1ADC ．19.（本小题满分12分）AB CDEA 1BC 1 FAB C x 已知数列{}n a 是非常值数列，且满足n n n a a a -=++122(*N n ∈)，其前n 项和为ns，若570s=，2722,,a a a 成等比数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）设数列1n s ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT ≤<.20.（本小题满分13分）为美化环境，某市计划在以A 、B 两地为直径的半圆弧AB 上选择一点C 建造垃圾处理厂（如图所示）。
已知A 、B 两地的距离为10km ，垃圾场对某地的影响度与其到该地的距离有关，对A 、B 两地的总影响度为对A 地的影响度和对B 地影响度的和。
记C 点到A 地的距离为x km ，垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度为y 。
统计调查表明：垃圾处理厂对A 地的影响度与其到A 地距离的的平方成反比，比例系数为32； 对B 地的影响度与其到B 地的距离的平方成反比，比例系数为k 。
当垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对A 、B 两地的总影响度 为0.15.（Ⅰ）将y 表示成x 的函数；（Ⅱ）判断弧AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对A 、B 两地的总影响度最小？若存在，求出该点到A 地的距离；若不存在，说明理由.21.（本小题满分14分） 已知函数()ln 1,af x x a R x=+-∈. （I ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，求函数的极值； （II ）设函数1()g x x x=+.当1a =-时，若区间[1,]e 上存在0x ，使得00()[()1]g x m f x <+，求实数 m 的取值范围.（e 为自然对数底数）高三数学（文）试题参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1—5 A C C B B 6—10 D A D C B 二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 4 12. 12-3(,]4-∞ 15.2016413-三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 解：（I ）//a b ，sin cos cos (cos 2sin )0ααααα∴--=，∴23sin cos cos ααα-=0， ……3分cos 0α≠， 3sin cos 0αα∴-= ，所以1tan 3α=. ……5分 (II)由b c =可知，22sin (cos 2sin )5θθθ∴+-=， ……6分212sin 24sin 5θθ∴-+=，22sin 24sin 4.θθ∴-+=sin 2cos 2 1.θθ∴+=-sin(2)4πθ∴+=………9分 又0θπ<<，知92444πππθ<+<， 5244ππθ∴+=或7244ππθ+=. ………11分 因此2πθ=或34πθ=. ………12分17.（本小题满分12分） 解：（I）由图象，得A =最小正周期473126πππT ⎛⎫=+=⎪⎝⎭， 22Tπω∴==， …4分())ϕf x x ∴=+，由712f π⎛⎫=⎪⎝⎭722122ππϕπk ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，523πϕπk ∴=-+，k Z ∈，0ϕπ<<，3πϕ∴=. ……6分 （II ）由3()3sin(2)335f πθθ=+=-，得3sin(2)35πθ+=-，(0,)2πθ∈，42,333πππθ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，又sin(2)03πθ+<，所以42,33ππθπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 24cos(2)1sin (2)335ππθθ∴+=--+=-，……10分()3sin 23sin (2)633f πππθθθ⎡⎤∴-==+-⎢⎥⎣⎦3sin(2)cos cos(2)sin 3333ππππθθ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦314312333525⎛⎫-=-⨯+⨯= ⎪ ⎪⎭. …12分18．（本小题满分12分）（I ）连结ED ，因为D ，E 分别为BC ，11B C 的中点， 所以1B E BD ∥且1B E BD =，所以四边形1B BDE 是平行四边形， …2分所以1BB DE ∥且1BB DE =，又11BB AA ∥且11BB AA =， 所以1AA DE ∥且1AA DE =，所以四边形1AA ED 是平行四边形， ……4分所以1A E AD ∥，又因为11A E ADC ⊄平面，1AD ADC ⊂平面， 所以直线1A E ∥平面1ADC ． ……6分（II ）在正三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ， 又AD ⊂平面ABC ，所以1AD BB ⊥，又ABC △是正三角形，且D 为BC 的中点，所以AD BC ⊥， ………8分 又1,BB BC ⊂平面11B BCC ，1BB BC B =，所以AD ⊥平面11B BCC ，又EF ⊂平面11B BCC ，所以AD EF ⊥， ……10分 又1EF C D ⊥，1,C D AD ⊂平面1ADC ，1C DAD D =，所以直线EF ⊥平面1ADC ． …………12分 19.（本小题满分12分） 解：（I ）数列{}n a 是等差数列且570s =，∴151070a d +=. ① ……1分2722,,a a a 成等比数列，∴27222a a a =即2111(6)()(21).a d a d a d +=++②………3分由①，②解得16,4a d ==或114,0a d ==（舍去）,………4分∴42n a n =+ …5分（II ）证明：由（I ）可得224n s n n =+， 所以211111()2442ns n n n n ==-++. ……6分所以123111111n n nT s s s s s -=+++++111111*********()()()()()41342443541142n n n n =-+-+-++-+--++ 3111()8412n n =-+++. …8分 3111()08412n T n n -=-+<++，∴38n T <. …10分 1111()0413n n T T n n +-=->++，∴数列{}n T 是递增数列，∴116n T T ≥=11分 ∴1368n T ≤<. …12分20.（本小题满分13分）解：（I ）由题意知AC⊥BC,22100BC x =-,223(010)2100ky x x x =+<<-，……3分 其中当x =时，y=0.15,所以k =6， ……4分所以y 表示成x 的函数为2236(010)2100y x x x =+<<-. ……5分 （II ）存在. 由（I ）知22362100y x x =+-， 所以42232232236(2)123(100)'(100)(100)xx x y x x x x ⨯---=--=--, ……7分 令'0y =得422123(100)x x =-,所以21003x =,即3x =（负值舍去）,……9分当03x <<时, 422123(100)x x <-,即'0y <，所以函数为单调减函数,……10分 10x <<时, 422123(100)x x >-,即'0y >，所以函数为单调增函数. …11分因此当1033x =时, 函数2236(010)2100y x x x =+<<-有最小值. ……12分 即当C 点到A 地的距离为1033km 时,垃圾处理厂对两地的总影响度最小. ……13分 21.（本小题满分14分） 解：（I ）221()(0)a x af x x x x x-'=-=>， ……1分 因为曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y -+=垂直，所以(1)1f '=-， 即11a -=-，解得2a =.所以22()x f x x-'=， …3分 ∴当(0,2)x ∈时，()0f x '<，()f x 在(0,2)上单调递减；……4分当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(2,)+∞上单调递增；……5分∴当2x =时，()f x 取得极小值2(2)ln 21ln 22f =+-=. ∴()f x 极小值为ln 2. ……6分（II ）令欲使在区间上[1,]e 上存在0x ，使得00()(),g x mf x <只需在区间[1,]e 上()h x 的最小值小于零. ………7分,令()0h x '=得，1,x m =+或1x =-.当1,m e +≥即1m e ≥-时，()h x 在[1,]e 上单调递减，则()h x 的最小值为()h e ，1()0,mh e e m e +∴=+-<解得211e m e +>-.2111e e e +>--,211e m e +∴>-; ………9分 当11,m +≤即0m ≤时，()h x 在[1,]e 上单调递增，则()h x 的最小值为(1)h ，(1)110h m ∴=++<，解得2,m <-2m ∴<-; ………11分当11,m e <+<即01m e <<-时，()h x 在[1,1]m +上单调递减，在(1,]m e +上单调递增，则()h x 11()[()1]ln ,m h x x m f x x m x x x x=+-+=+-+2221[(1)](1)()1m m x m x h x x x x x -++'=---=的最小值为(1)h m +，0ln(1)1,m <+<0ln(1),m m m ∴<+<(1)2ln(1)2,h m m m m ∴+=+-+>此时(1)0h m +<不成立.……13分 综上所述，实数m 的取值范围为21(,2)(,)1e e +-∞-+∞-. ……14分。