生活中的轴对称知识要点及练习题北师大版
专题1.5 生活中的轴对称章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题1.5 生活中的轴对称章末重难点题型【北师大版】【考点1 轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【例1】（2020春•岳阳期末）2020年初，新型冠状病毒引发肺炎疫情．一方有难，八方支援，全国多家医院纷纷选派医护人员驰援武汉．下面是四家医院标志的图案部分，其中图案部分是轴对称图形的是（）A．协和医院B．湘雅医院C．齐鲁医院D．华西医院【变式1-1】（2020春•青岛期末）下列交通指示标识中，是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-2】（2020春•陈仓区期末）下列与防疫有关的图案中不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式1-3】（2020春•揭阳期末）下列图形中，是轴对称图形的有（）个．①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A．4个B．5个C．6个D．7个【考点2 生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例2】（2020春•玉门市期末）如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．【变式2-1】（2020春•禅城区期末）室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20【变式2-2】（2019秋•润州区校级月考）如图是一个经过改造的规则为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋【变式2-3】（2020春•兖州区期末）如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到长方形的边时反弹，反弹时人射角等于反射角（即：∠1＝∠2，∠3＝∠4）．小球从P点出发第1次碰到长方形边上的点记为A点，第2次碰到长方形边上的点记为B点，……第2020次碰到长方形边上的点为图中的（）A．A点B．B点C．C点D．D点【考点3 轴对称的性质与运用】【方法点拨】轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．【例3】（2020春•舞钢市期末）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝50°，点D是BC上任一点，点E 和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是（）A．140°B．135°C．120°D．100°【变式3-1】（2020秋•东城区校级期中）如图，P是∠AOB外的一点，M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若PM＝2.5，PN＝3，MR＝7，则线段QN的长为（）A．1B．1.5C．2D．2.5【变式3-2】（2020秋•海珠区校级期中）如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB＝40°，则∠MPN的度数是（）A．90°B．100°C．120°D．140°【变式3-3】（2020秋•兴宁区校级期中）如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的结论个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点4 等腰三角形中的分类讨论思想】【例4】（2020秋•淮南期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cm B．5cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm【变式4-1】（2021春•南海区校级月考）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于30°，则这个等腰三角形的顶角等于（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°【变式4-2】（2020秋•扶余市期末）如图，点P是射线ON上一动点，∠AON＝30°，当△AOP为等腰三角形时，∠A的度数一定不可能是（）A．120°B．75°C．60°D．30°【变式4-3】（2021春•浦东新区期中）已知等腰三角形的底边长为6，一条腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另外一部分长2，则三角形的腰长是．【考点5 作等腰三角形】【例5】（2020秋•随县期末）已知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【变式5-1】（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【变式5-2】（2019秋•安陆市期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【变式5-3】（2019秋•鼓楼区月考）如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，这样的点B最多有个．【考点6 角平分线的性质】【方法点拨】角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，解决此类问题的关键在于作垂线. 【例6】（2019秋•大名县期中）如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，S△ABC＝36cm2，AB＝18cm，BC＝12cm，则DE＝cm．【变式6-1】（2019秋•永嘉县校级期中）如图，AC，BC分别平分∠BAE，∠ABF，若△ABC的高CD＝8，则点C到AE，BF的距离之和为．【变式6-2】（2019秋•长沙月考）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝24，BC＝12，则DE等于（）A．10B．7C．5D．4【变式6-3】（2020春•碑林区校级期末）如图，已知△ABC的周长是16，MB和MC分别平分∠ABC和∠ACB，过点M作BC的垂线交BC于点D，且MD＝4，则△ABC的面积是（）A．64B．48C．32D．42【考点7 角平分线的性质与判定综合】【方法点拨】掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决此类问题的关键.【例7】（2020秋•兴隆县期中）如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（）A．70°B．120°C．125°D．130°【变式7-1】（2019春•福田区校级期中）如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，则下列结论中正确的个数（）①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°③∠ACB＝2∠APB；④若PM⊥BE，PN⊥BC，则AM+CN＝ACA．1个B．2个C．3个D．4个【变式7-2】（2020春•龙岗区期末）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF ＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④【变式7-3】（2020春•崇川区校级期末）如图，△ABC的角平分线AE，BF交于O点．（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝；（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上．（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数．【考点8 线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例8】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC 的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【变式8-1】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【变式8-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【变式8-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD ⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【考点9 尺规作图】【例9】（2021春•碑林区校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CD＞BC，请用尺规作图法在CD边上求作一点P，使得S△ADP＝S△ABP．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【变式9-1】（2020春•莱州市期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建设一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请确定中转站P的位置．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，标注字母P，不写作法．【变式9-2】（2020春•靖远县期末）尺规作图．如图所示，已知A、B、C是三个新建的居民小区．现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校D，试确定学校D的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【变式9-3】（2020春•广饶县期末）如图，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．【考点10 设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．【例10】（2020春•抚州期末）如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【变式10-1】（2020•宁波模拟）请在如图四个3×3的正方形网格中，画出与格点三角形（阴影部分）成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的四个图不能重复）【变式10-2】（2020春•禅城区期末）观察设计：（1）观察如图①、②中阴影部分构成的图案，请写出这2个图案都具有的2个共同特征；（2）借助后面的空白网格，请设计2个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的2个共同特征．（注意：新图案与已有的2个图案不能重合）【变式10-3】（2020春•兰州期末）如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）11。
七年级数学生活中的轴对称单元复习(一)(北师版)(含答案)
生活中的轴对称单元复习（一）（北师版）一、单选题(共11道，每道9分)1.下列图形中，是轴对称图形的是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义，只有选项B中图形是轴对称图形．故选B．试题难度：三颗星知识点：略2.如图，∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为( )A.30°B.45°C.60°D.75°答案：C解题思路：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，则∠1=∠2．由∠3=30°，∠2+∠3=90°，得∠2=60°，所以∠1=∠2=60°．故选C．试题难度：三颗星知识点：略3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD=4，BC=6，点E，F是中线AD上的两点，则图中阴影部分的面积是( )A.6B.12C.24D.30答案：A解题思路：如图，由题意△ABC是等腰三角形，是轴对称图形，且AD为底边BC上的中线，所以AD垂直平分BC，AD所在直线是△ABC的对称轴．因此，图中阴影部分的面积即为△ABD的面积，是△ABC面积的一半，所以．故选A．试题难度：三颗星知识点：略4.如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm和6cm，那么此三角形的周长为( )A.15cmB.16cmC.17cmD.16cm或17cm答案：D解题思路：因为题中没有明确说明哪条边是腰，所以需分两种情况：①当腰长为5cm时，此时三角形的三边长为5cm，5cm，6cm，满足三角形的三边关系，此三角形的周长为16cm；②当腰长为6cm时，此时三角形的三边长为6cm，6cm，5cm，满足三角形的三边关系，此三角形的周长为17cm．综上，此三角形的周长为16cm或17cm．故选D．试题难度：三颗星知识点：略5.已知等腰三角形的周长为22，其中一边长为8，则其他两边的长度分别为( )A.3和11B.7和7C.6和8或7和7D.3和11或7和7答案：C解题思路：①当腰为8时，另一腰也为8，则底为22-2×8=6∵6+8=14＞8∴三边能构成三角形.②当底为8时，腰为（22-8）÷2=7∵7+7＞6，∴三边能构成三角形.故选C．试题难度：三颗星知识点：略6.下列说法正确的是( )A.设A，B关于直线MN对称，则AB垂直平分MN；B.若△ABC≌△，则一定存在直线，使△ABC和△关于直线对称；C.若直线同时垂直平分，则线段；D.若△ABC中的点A在对称轴上，则点A没有对称点．答案：C解题思路：根据轴对称的性质“在轴对称图形或成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等”．选项A：设A，B关于直线MN对称，则MN垂直平分线段AB，错误；选项B：若△ABC≌△A′B′C′，则△ABC和△A′B′C′并不一定关于某条直线对称，错误；选项C：若直线l同时垂直平分AA′，BB′，说明A和A′是关于直线l的对应点，B和B′是关于直线l的对应点，所以线段AB和A′B′是对应线段，因此AB=A′B′，正确；选项D：若△ABC中的点A在对称轴上，则点A的对称点为其本身，错误．故选C．试题难度：三颗星知识点：略7.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，DE垂直平分AC，交AC于D，交BC于E，连接AE，若∠BAE:∠BAC=1:5，则∠C等于( )A.40°B.45°C.50°D.60°答案：A解题思路：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∴∠C=∠CAE，设∠BAE=α，则∠BAC=5α，∴∠CAE=∠C=4α；∵∠B=90°，∴∠C+∠BAC=90°，即：4α+5α=90°，解得：α=10°，∴∠C=4α=40°．故选A．试题难度：三颗星知识点：略8.如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB于F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△DFE的面积为( )A.11B.5.5C.7D.3.5答案：B解题思路：如图：AD是△ABC的角平分线，考虑用角平分线性质定理，过点D作DH⊥AC于点H，因为AD平分∠BAC，DF⊥AB，DH⊥AC，则DF=DH，可证Rt△AFD≌Rt△AHD（HL），因为DE=DG，可证Rt△DFE≌Rt△DHG（HL），因为，，则，所以，．故选B．试题难度：三颗星知识点：略9.将正方形纸片ABCD折叠，使点A落在CD边上的点E处，折痕为MN．则下列说法错误的是( )A.AE⊥MNB.AM=EMC.∠BNO=∠FNOD.∠OEF=90°答案：D解题思路：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．正方形纸片ABCD折叠，MN所在直线为对称轴，点A与E是对应点，连接AE，则线段AE被MN垂直平分，所以AE⊥MN，AM=EM．∠BNO和∠FNO是对应角，∠BAM和∠FEM是对应角，所以∠BNO=∠FNO，∠BAM=∠FEM=90°，∠OEF=∠OAB<90°，所以选项D错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：略10.把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠，使顶点B和顶点D重合，折痕为EF．若∠CDF=38°，则∠EFD的度数是( )A.72°B.64°C.48°D.52°答案：B解题思路：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．由题意知，折痕是EF，即直线EF是对称轴，由轴对称图形的性质，可得∠EFB=∠EFD．因为∠CDF=38°，∠C=90°，所以∠DFC=90°-38°=52°．所以∠EFB=∠EFD=．故选B．试题难度：三颗星知识点：略11.如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画( )条线段.A.1B.2C.3D.4答案：D解题思路：如图所示，共有4条线段.故选D．试题难度：三颗星知识点：利用轴对称进行设计。
北师版第七章生活中的轴对称单元测试-(自动保存的)
生活中的轴对称全章复习知识点1．轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够_______，这个图形就叫_______．这条直线就是它的______．也说这个图形关于这条直线对称．2 轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与_______重合，那么就说这两个图形关于这条直线成_______，这条直线叫做_______，两个图形中的对应点叫做对称点．轴对称的性质：⑴成轴对称的两个图形全等．⑵对称轴是对称点连线的垂直平分线3．轴对称与轴对称图形的区别与联系：区别：轴对称是指_______，而轴对称图形是指_______4 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，_______ 5画轴对称图形：画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点．6等腰三角形是轴对称图形等腰三角形的性质和判定方法：性质1：_______等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）性质2：_______等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．（记作“三线合一”）判定：_______（简写成“等角对等边”）7 等边三角形的性质和判定方法：性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°．判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形．判定2：有一个叫是60°的等腰三角形是等边三角形．\8 线段的垂直平分线（也称线段的中垂线）：定义：_______经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．性质：线段垂直平分线上的点与_______这条线段两个端点的距离相等．判定：_______与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．9角是轴对称图形，_______角平分线所在直线是它的对称轴角平分线上的点_______到这个角的两边距离相等到角的两边_______距离相等的点在这个角的角平分线上题型归纳题型一轴对称图形的识别例1 下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．B变式下列图案中是轴对称图形的有（）A．1个B．2 个C．3个D．4个故选B．题型二画轴对称图形如图，直线l是一个轴对称图形的对称轴，画出这个轴对称图形的另一半．题型三“轴对称”的应用1 最短线路问题例1.如图，EFGH是一个长方形的弹子球台面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置．（1）试问：怎样撞击黑球A，使黑球A先碰撞台边EF反弹后再撞击白球B？（2）怎样撞击黑球A，使黑球先碰撞台边GH反弹后再击台边EF，最后击白球B？变式如图，在直线CD上有一动点P，P在CD上从右往左运动的过程中，找出（1）点P到A、B距离之和最小时的位置；1ABEDC2（2） 点P 到A 、B 距离相等时的位置；（3） 点P 到A 、B 的距离之差最大时P 的位置。
(完整版)第五章生活中的轴对称知识要点及练习题_北师大版
第五章生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质轴对称的应用：图案设计一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合,那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形;(2）存在一条直线（对称轴）;(3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条,有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形;二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合,那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴.可以说成:这两个图形关于某条直线对称.2、理解轴对称应注意:（1）有两个图形;（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；(3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；(4）对称轴是直线而不是线段;轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分(两个图形)，那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线,又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等.五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰;另一边叫做底边;3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角;4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形.5、等腰三角形是轴对称图形,有一条对称轴(等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
第5章生活中的轴对称 题型解读1 轴对称应用之镜面弹射问题-北师大版七年级数学下册
《生活中的轴对称》题型解读1 轴对称应用之镜面弹射问题【知识梳理】1.作轴对称图形时，利用“对应点到对称轴的垂直距离相等”这一性质作图或求解；2.镜面对称的解题技巧：把纸面翻过来从纸的背面看即可看到实际的数字；3.弹射问题的解题技巧：入射角等于反射角；【典型例题】例1.甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（）【解析】对折能重合的图形即为轴对称图形，选D.例2.下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）【解析】选项B不是轴对称图形，选项C、D都有两条对称轴，故选A.例3.如图,在10×10的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).(1)在图中作出△ABC关于直线L对称的△A1B1C1.(2)在(1)的结果下,连接AA1,CC1,求四边形AA1CC1的面积.【解析】（1）分别过点A、B、C作直线L的垂线段，并延长一倍，即可得到相应的对应点，如图；（2）由图可知，四边形AA1CC1是个梯形，所以面积=（2+4）×4÷2=12.例3.小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示,则实际时间是_________【解析】镜子中的像与实物关于镜面成轴对称，只需把纸面翻过来从纸的背面看即可看到实际的数字，故实际时间为10：51.例4.从汽车的后视镜中看见某车B牌的后5位号码是,则该车车牌的后5位号码实际是_______【解析】镜子中的像与实物关于镜面成轴对称，只需把纸面翻过来从纸的背面看即可看到实际的数字，该车车牌的后5位号码实际是BA629.例5.如图,是一个经过改造的台球桌面的示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出,该球最后落入1号袋,经过反射的次数是_____次.【解析】以网格线为对称轴，入射线与反射线成轴对称，由图可知，小球共反射6次。
例6.光线以如图所示的角度α照射到平面镜Ι上,然后在平面镜Ι、Ⅱ之间来回反射，（反射角与入射角相等）已知∠α=60°，∠β=50°，则∠γ等于______【解析】利用“入射角等于反射角”即可解题。
专题05 生活中的轴对称(考点清单)(解析版)-23-2024学年7下数学期末考点大串讲(北师大版)
专题05生活中的轴对称（考点清单）【考点1】轴对称图形【考点2】轴对称的性质【考点3】轴对称-最短路线问题【考点4】翻折变换(折叠问题)【考点5】角平分线的性质【考点6】线段垂直平分线的性质【考点7】等腰三角形的性质【考点8】等边三角形的性质【考点9】作图-轴对称变换【考点10】利用轴对称设计图案【考点11】出轨作图-角平分线和垂直平分线【考点1】轴对称图形1．（2023秋•石景山区期末）我国在环保方面取得的成就，为可持续发展奠定了基础．以下四个环保标志分别是“绿色食品”“节水”“安全饮品”“循环再生”，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、不是轴对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•海曙区校级期末）第19届杭州亚运会上，中国运动员全力以赴地参赛，最终取得骄人战绩．下列运动标识中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图形可知，选项B为轴对称图形．故选：B．3．（2023秋•徐州期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项不合题意；B．是轴对称图形，故此选项不合题意；C．不是轴对称图形，故此选项符合题意；D．是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【考点2】轴对称的性质4．（2023秋•嵊州市期末）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（）A．15°B．20°C．25°D．35°【答案】C【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，又∵∠A＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°，故选：C．5．（2023秋•定南县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°，∴∠C＝90°﹣50°＝40°，∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，∴∠AB′D＝∠B＝50°，∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′，∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°，故选：A．6．（2023秋•射洪市期末）如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，则AE的长度为（）A．12cm B．13cm C．14cm D．15cm【答案】B【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝5cm，△ABC的面积是30cm2，∴，∴BC＝12cm，∵△ACD与△AED关于AD所在的直线成轴对称，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC＝13cm．故选：B．7．（2023秋•庄浪县期末）如图，∠AOB内一点P，P1，P2分别是P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点M，交OB于点N．若△PMN的周长是5cm，则P1P2的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】C【解答】解：∵P点关于OA、OB的对称点P1、P2，∴PM＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN的周长＝PM+MN+PN＝P1M+MN+P2N＝P1P2，∵△PMN的周长是5cm，∴P1P2＝5cm．故选：C．8．（2023秋•文登区期末）如图的2×5的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形，在网格中与△ABC成轴对称的格点三角形一共有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解答】解：如图所示：都是符合题意的图形．故选：C．9．（2023秋•南康区期末）如图，AD是三角形ABC的对称轴，点E、F是AD上的两点，若BD＝2，AD＝3，则图中阴影部分的面积是3．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵AD是三角形ABC的对称轴，∴AD垂直平分BC，即AD⊥BC，BD＝DC，∴S△EFB＝S△EFC，∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝BD•AD＝×2×3＝3．故答案为3．10．（2023秋•信州区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵点A与点E关于直线CD对称，∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD，∴△ADC≌△EDC（SAS），∴AC＝EC，∵AB＝7，AC＝9，BC＝13，∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4，∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11．故答案为：11．11．（2023秋•上城区期末）按如图的方法折纸，则∠1+∠2＝90°．【答案】90．【解答】解：根据折叠的性质可知，∠1＝∠AEB，∠2＝∠FEC，∵∠1+∠AEB+∠2+∠FEC＝180°，∴2（∠1+∠2）＝180°，即∠1+∠2＝90°，故答案为：90．12．（2023秋•双辽市期末）如图，△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC于点D．若∠BOD＝46°，∠C＝20°，则∠ADC＝72°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△AOB与△COB关于边OB所在的直线成轴对称，∴△AOB≌△COB，∴∠A＝∠C＝20°，∠ABO＝∠CBO，∵∠BOD＝∠A+∠ABO，∴∠ABO＝∠BOD﹣∠ABO＝46°﹣20°＝26°，∴∠ABD＝2∠ABO＝52°，∴∠ADC＝∠A+∠ABD＝20°+52°＝72°，故答案为：72．【考点3】轴对称-最短路线问题13．（2023秋•阳新县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10．如果点D，E分别为BC，AB上的动点，那么AD+DE的最小值是（）A．8.4B．9.6C．10D．10.8【答案】B【解答】解：作点A关于BC的对称点A'，作点A'E⊥AB，交BC于点D.则AD＝A'D，∴AD+DE＝A'D+DE≥A'E．即AD+DE的最小值为A'E．∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝10，AA'＝12，＝，∵S△AA'B∴A'E＝＝＝9.6，即AD+DE的最小值为9.6．故选：B．14．（2023秋•城口县期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（）A．58°B．64°C．61°D．74°【答案】B【解答】解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，此时△AMN的周长最小，∵BA＝BA′，MB⊥AB，∴MA＝MA′，同理：NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝122°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，故选：B．15．（2023秋•湖北期末）如图，∠MON＝45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B 为ON上一点，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为（）A．45°B．90°C．100°D．135°【答案】B【解答】解：如图，作出P点关于OM、ON的对称点P1，P2连接P1，P2交OM，ON 于A、B两点，此时△PAB的周长最小，由题意可知∠P1PP2＝180°﹣∠MON＝180°﹣45°＝135°，∴∠P1PA+∠P2PB＝∠P1+∠P2＝180°﹣∠P1PP2＝45°，∴∠APB＝135°﹣45°＝90°．故选：B．16．（2023秋•启东市期末）如图，∠AOB＝20°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，点P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为（）A．10°B．20°C．40°D．60°【答案】C【解答】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小，∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β），∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β），∴β﹣α＝40°，故选：C．17．（2023秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB 上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（）A．45°B．90°C．75°D．135°【答案】B【解答】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'，则ME＝ME'，ND＝ND'，∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'，∵DE长固定，∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN ＝∠DN'M+∠EM'N，由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E，∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'），设DD'与BC交于点H，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠BDH＝45°，∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°，∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°，即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°，故选：B．【考点4】翻折变换(折叠问题)18．（2023秋•腾冲市期末）如图，将长方形ABCD沿AE折叠，已知∠CED'＝50°，则∠AED的大小是（）A．50°B．55°C．65°D．75°【答案】C【解答】解：由折叠的性质，∠DEA＝∠AED′，∴∠AED＝（180°﹣∠CED′）÷2＝65°．本题选C．19．（2023秋•荔城区期末）如图，在长方形纸片ABCD中，M为AD边的中点，将纸片沿BM、CM折叠，使点A落在A1处，点D落在D1处，若∠1＝32°，则∠BMC＝（）A．74°B．106°C．122°D．148°【答案】B【解答】解：由翻折知，∠AMB＝∠BMA1，∠DMC＝∠D1MC，∵∠1＝32°，∴∠AMB+∠DMC＝74°，∴∠BMC＝74°+32°＝106°，故选：B．20.（2023秋•驿城区期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BD、BE为折痕，点B、A′、C′在同一直线上．若∠CBD＝70°，则∠ABE的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】A【解答】解：由折叠可知：∠CBD＝∠C′BD＝70°，∠ABE＝∠A′BE，∴∠ABE+∠A′BE＝2∠ABE＝180°﹣（∠CBD+∠C′BD）＝40°，∴∠ABE＝20°，故选：A．21．（2023秋•海沧区期末）如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别在边AB，CD上，连接EF．将∠BEF对折，点B落在直线EF上的点B′处，得折痕EM；将∠AEF对折，点A落在直线EF上的A′处，得折痕EN．若∠FEA＝74°，则∠BEM的度数是（）A．63°B．55°C．53°D．56°【答案】C【解答】解：由翻折的性质可知，∠AEN＝∠NEF，∠BEM＝∠FEM，∵∠FEA+∠FEM+∠BEM＝180°，∴∠BEM＝（180°﹣∠FEA）＝53°．故选：C．22．（2023秋•夏津县期末）数学活动：折纸中的数学【知识背景】我们在第四章《几何图形初步》中学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图4.3﹣11是教材第135页的探究，将纸片折叠使QP与QR重合，QM是折痕，此时∠PQM与∠RQM重合，所以∠PQM＝∠RQM，射线QM是∠PQR的平分线．【知识初探】（1）如图（1），点P，Q分别是长方形纸片ABCD的对边AB，CD上的点，连结PQ，将∠APQ和∠BPQ分别对折，使点A，B都分别落在PQ上的A′和B′处，点C落在C′处，分别得折痕PN，PM，则∠NPM的度数是90°；【类比再探】（2）如图（2），将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B分别落在点A′，B′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分没有重叠部分．①若∠A'PB'＝20°，∠APN＝30°，求∠NPM的度数；②若∠A'PB'＝α（0°≤α＜180°），求∠NPM的度数（用含α的式子表示）；【拓展探究】（3）将长方形ABCD纸片分别沿直线PN，PM折叠，使点A，B，C分别落在点A'，B'，C′处，PA′和PB′不在同一条直线上，且被折叠的两部分有重叠部分，如图（3）．若∠A'PB'＝α（0°≤α≤60°），请直接写出∠NPM的度数（用含α的式子表示）．【答案】（1）90°；（2）①100°；②∠NPM＝90°+；（3）∠NPM＝90°﹣．【解答】解：（1）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵∠APN+∠A′PN+∠BPM+∠B′PM＝180°，∴2∠A′PN+2∠B′PM＝180°，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°，即∠NPM＝90°．故答案为：90°；（2）①由折叠可知，∠APA′＝2∠APN＝2∠A′PN＝60°，∠BPB′＝2∠BPM＝2∠B′PM，∵∠A′PB′＝20°，∴∠BPB′＝180°﹣∠APA′﹣∠A′PB′＝100°，∴∠BPM＝∠B′PM＝BPB′＝50°，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝100°；②若∠A′PB′＝α（0°≤α＜180°），则∠APA′+∠BPB′＝180°﹣α，∴∠A′PN+∠A′PB′＝（∠APA′+∠BPB′）＝90°﹣，∴∠NPM＝∠A′PN+∠A′PB′+∠B′PM＝90°﹣+α＝90°+．（3）由折叠可知，∠APN＝∠A′PN，∠BPM＝∠B′PM，∵2∠A′PN+2∠B′PM＝180°+α，∴∠A′PN+∠B′PM＝90°+，∴∠NPM＝∠A′PN+∠B′PM﹣∠A′PB′＝90°+﹣α＝90°﹣．【考点5】角平分线的性质23．（2023秋•哈密市期末）三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点【答案】C【解答】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B、∠C的角平分线的交点处．故选：C．24．（2023秋•兴隆县期末）如图，已知∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，OP＝6cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOP＝30°，∵PD⊥OA，OP＝6cm，∴，过点P作PE'⊥OB于点E'，∵OC平分∠AOB，PE'⊥OB，PD⊥OA，∴PE'＝PD＝3cm，∴PE的最小值为3cm．故选：B．25．（2023秋•保定期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC 于点D，若CD＝3，AB＝10，则△ABD的面积是（）A．30B．15C．20D．27【答案】B【解答】解：过D作DH⊥AB于H，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，∴DH＝DC＝3，∵AB＝10，∴△ABD的面积＝AB•DH×10×3＝15．故选：B．26．（2023秋•韶关期末）如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．33【答案】B【解答】解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，＝S△OAB+S△OBC+S△OAC∴S△ABC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，＝×18＝27（cm2）．∴S△ABC故选：B．27．（2023秋•曹县期末）如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：作PH⊥AB于H，∵AP是∠CAB的平分线，∴∠PAE＝∠PAH，在△PEA和△PHA中，，∴△PEA≌△PHA（AAS），∴PE＝PH，∵BP平分∠ABD，且PH⊥BA，PF⊥BD，∴PF＝PH，∴PE＝PF，∴（1）正确；（2）与（1）可知：PE＝PF，又∵PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，∴点P在∠COD的平分线上，∴（2）正确；（3）∵∠O+∠OEP+∠EPF+∠OFP＝360°，又∵∠OEP+∠OFP＝90°+90°＝180°，∴∠O+∠EPF＝180°，即∠O+∠EPA+∠HPA+∠HPB+∠FPB＝180°，由（1）知：△PEA≌△PHA，∴∠EPA＝∠HPA，同理：∠FPB＝∠HPB，∴∠O+2（∠HPA+∠HPB）＝180°，即∠O+2∠APB＝180°，∴∠APB＝90°﹣，∴（3）错误；故选：C．28．（2023秋•东城区期末）如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE相交于点P，∴PF＝PG＝3，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH＝3．故选：C．29．（2023秋•铜官区期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条公路．现要建造一个中转站P，使P到三条公路的距离都相等，则中转站P可选择的点有（）A．一处B．二处C．三处D．四处【答案】D【解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处．故选：D．【考点6】线段垂直平分线的性质30．（2023秋•钦州期末）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．9【答案】D【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长是15，∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，则，解得，AC＝9，BC＝6，故选：D．31．（2023秋•宁津县期末）如图，△ABC中，AB＝AE，且AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，若△ABC周长为16，AC＝6，则DC为（）A．5B．8C．9D．10【答案】A【解答】解：∵△ABC周长为16，∴AB+BC+AC＝16，∵AC＝6，∴AB+BC＝10，∵EF垂直平分AC，∴EA＝EC，∵AB＝AE，AD⊥BC，∴BD＝DE，∴AB+BD＝AE+DE＝×（AB+BC）＝5，∴DC＝DE+EC＝AE+DE＝5，故选：A．32．（2023秋•丹江口市期末）如图，∠BAC＝140°，若DM和EN分别垂直平分AB和AC，则∠DAE等于（）A．100°B．90°C．80°D．70°【答案】A【解答】解：∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，∠BAC＝140°，∴∠B+∠C＝40°，∴DM和EN分别垂直平分AB和AC，∴DA＝DB，EA＝EC，∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝40°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝140°﹣40°＝100°．故选：A．33．（2023秋•嵩县期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在△ABC（）A．三条中线的交点B．三条高的交点C．三条边的垂直平分线的交点D．三个角的角平分线的交点【答案】C【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条边垂直平分线的交点．故选：C．34．（2023秋•天津期末）在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．（1）AD与BD的数量关系为AD＝BD．（2）求BC的长．（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．【答案】（1）AD＝BD；（2）6；（3）5．【解答】解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，故答案为：AD＝BD；（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∵△ADE的周长为6，∴AD+DE+AE＝6，∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是线段AC的垂直平分线，OA＝OC，∴OB＝OC，∵△OBC的周长为16，BC＝6，∴OB+OC＝10，∴OA＝OB＝OC＝5．【考点7】等腰三角形的性质35．（2023秋•江陵县期末）一个等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的周长为（）A．13cm B．17cmC．7cm或13cm D．不确定【答案】B【解答】解：当3cm是腰时，3+3＜7，不符合三角形三边关系，故舍去；当7cm是腰时，周长＝7+7+3＝17cm．故它的周长为17cm．故选：B．36．（2023秋•建华区期末）若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°【答案】D【解答】解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．37．（2023春•雁塔区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACD＝50°，点D是BC 的中点，点E在AC上，且AE＝AD，则∠AED的度数为（）A．40°B．60°C．70°D．80°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∴∠C＝∠B＝50°，∴∠BAC＝180°﹣50°×2＝80°，∵点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∠CAD＝∠BAD＝∠BAC＝40°，又∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝（180°﹣40°）＝70°，故选：C．38．（2023秋•叙州区期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，故选：C．39．（2023秋•自贡期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC，AC 于点D和E，连接AD．若∠B＝40°，BA＝BD，则∠DAC为（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】C【解答】解：∵∠B＝40°，BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝＝＝70°，∵DE是AC的垂直平分线，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠C＝∠BDA＝35°，故选：C．40．（2023秋•延边州期末）【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要．如图①，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，若∠C＝58°，则∠BAD的度数为32°；【数学应用】如图②，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC 和△AEF的中线，若∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，求∠DAG的度数；【拓展】如图③，在△ABC和△ABE中，AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，AD与BE交于点O，若∠AOF＝69°，则∠CAE的度数为42°．【答案】【数学知识】32°；【数学应用】67°；【拓展】42°．【解答】解：【数学知识】∵AB＝AC，AD是中线，∠C＝58°，∴∠B＝∠C＝58°，AD⊥BC，∴∠B+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝32°，故答案为：32°；【数学应用】∵AB＝AC，AE＝AF，AD、AG分别为△ABC和△AEF的中线，∴，∠EAG＝∠EAF，∴∠DAG＝∠DAC+∠CAE+∠EAG＝∠BAC+∠CAE+∠EAF＝∠BAF+∠CAE，∵∠BAF＝110°，∠CAE＝24°，∴∠DAG＝55°+12°＝67°；【拓展】∵AB＝AC，AB＝AE，AD、AF分别为△ABC和△ABE的中线，∴AF⊥BE，∠BAF＝BAE，∠BAD＝BAC，∴∠AOF+∠OAF＝90°，∵∠AOF＝69°，∴∠OAF＝21°，∴∠BAF﹣∠BAD＝∠BAE﹣∠BAC＝21°，∴∠BAE﹣∠BAC＝42°，∵∠CAE＝∠BAE﹣∠BAC＝42°，故答案为：42°．【考点8】等边三角形的性质41．（2022春•沂源县期末）如图，a∥b，等边△ABC的顶点B在直线b上，∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，过C作CM∥直线l，∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM，∵∠ACB＝60°，∠1＝20°，∴∠1＝∠MCB＝20°，∴∠2＝∠ACM＝∠ACB﹣∠MCB＝60°﹣20°＝40°，故选：C．42．（2023秋•老河口市期末）如图所示，△ABC是边长为20的等边三角形，点D是BC 边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF＝（）A．5B．10C．15D．20【答案】B【解答】解：设BD＝x，则CD＝20﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°．∴BE＝cos60°•BD＝，同理可得，CF＝，∴BE+CF＝．故选：B．43．（2023秋•万州区期末）如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，当PA＝CQ时，连PQ交AC边于D，则DE的长为（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：过P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，∴∠PFD＝∠QCD，△APF是等边三角形，∴AP＝PF＝AF，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD＝CD，∵AE＝EF，∴EF+FD＝AE+CD，∴AE+CD＝DE＝AC，∵AC＝1，∴DE＝．故选：B．44．（2023秋•岑溪市期末）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1＝1，则△A9B9A10的边长为（）A．32B．64C．128D．256【答案】D【解答】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，∴∠2＝120°，∵∠MON＝30°，∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，又∵∠3＝60°，∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∵∠MON＝∠1＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，∵∠4＝∠12＝60°，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，…∴△A n B n A n+1的边长为2n﹣1，∴△A9B9A10的边长为29﹣1＝28＝256．故选：D．45．（2023秋•海南期末）如图，在等边△ABC中AB＝4，BD是AC边上的高，点E在BC 的延长线上，∠ACB＝2∠E，则BE的长为（）A．4.5B．5C．6D．9【答案】C【解答】解：∵△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，∴CD＝AC，∵AC＝AB＝4，∴CD＝2，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠E，∴∠CDE＝∠E，∴CE＝CD＝2，∵BC＝AB＝4，∴BE＝BC+CE＝4+2＝6．故选：C．46．（2023秋•靖宇县期末）如图，是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间最小的三角形的边长是3，则六边形的周长为（）A．90B．60C．50D．30【答案】A【解答】解：设等边△ABC的边长为a．∵9个三角形都是等边三角形，∴NA＝AW＝AB＝BN＝BC＝a，CD＝CE＝DE＝DF＝a+3，GF＝HF＝MG＝a+6，MN＝MW＝a+9．∵NW＝NA+AW，∴a+9＝2a．∴a＝9．∴拼成的六边形的周长为：NB+BC+CD+DF+GF+MG+MN＝a+a+a+3+a+3+a+6+a+6+a+9＝7a+27＝63+27＝90．故选：A．47．（2023秋•邹平市期末）如图，等边△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，把△BDE 沿直线DE翻折，使点B落在点B'处，DB'、EB'分别交边AC于点F、G．如果测得∠GEC ＝36°，那么∠ADF＝84°．【答案】84°．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∵∠GEC＝36°，∴∠BEG＝180°﹣∠GEC＝180°﹣36°＝144°，由翻折的性质得：∠BED＝∠GED，∠BDE＝∠FDE，∴∠BED＝∠BEG＝×144°＝72°，∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣60°﹣72°＝48°，∴∠BDE＝∠FDE＝48°，∴∠BDF＝∠BDE+∠FDE＝96°，∴∠ADF＝180°﹣∠BDF＝180°﹣96°＝84°．故答案为：84°．【考点9】作图-轴对称变换48．（2023秋•哈密市期末）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请写出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标；（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出P点，并直接写出点P的坐标（2，0）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵△ABC与△A1B1C1关于x轴对称，∴点A1（1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，﹣4）．（2）如图，△A2B2C2即为所求．（3）如图，点P即为所求，点P的坐标为（2，0）．故答案为：（2，0）．49．（2023秋•和平县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣4，2），点B 的坐标为（﹣3，4），点C与点A关于y轴对称．（1）写出点C的坐标，画出△ABC；（2）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；＝S△ABC，直接写出点D的坐标．（3）在y轴上存在一点D，使得S△ACD【答案】（1）C（4，2），画图见解析；（2）画图见解析；（3）D的坐标为（0，0）或（0，4）．【解答】解：（1）如图，C（4，2），△ABC即为所求作的三角形，（2）如图，△A′B′C′即为所求作的三角形，（3）∵A（﹣4，2），B（﹣3，4），C（4，2），∴，设D（0，y），∴，∴|y﹣2|＝2，∴y＝0或y＝4，∴D的坐标为（0，0）或（0，4）．50．（2023秋•南宁期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A（﹣4，1），B（﹣3，3），C（﹣1，2）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1，B1，C1的坐标；（2）在x轴上有一点D，使得△ADC≌△ABC，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）画图见解答；A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．（2）（﹣2，0）．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．A1（4，1），B1（3，3），C1（1，2）．（2）∵△ADC≌△ABC，∴AD＝AB，CD＝CB．∵点D在x轴上，∴点D的位置如图所示．∴点D的坐标为（﹣2，0）．【考点10】利用轴对称设计图案51．（2023秋•高阳县期末）如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，一共有（）种涂法．A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：如图，满足条件的三角形有三个．故选：C．52．（2023秋•徐州期末）如图，方格纸中有3个小方格被涂成黑色，若从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使所有的黑色方格构成轴对称图形，则不同的涂色方案共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解答】解：如图所示：不同的涂色方案共有4个．故选：D．53．（2023秋•四平期末）如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF 及其对称轴MN．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示；54．（2023秋•襄城区期末）如图，在3×3的正方形网格中，有一个以格点为顶点的三角形．（1）请你在图①，图②，图③中，分别画出一个与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三幅图不能重复）．（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图所示：（2）格纸中所有与该三角形成轴对称且以格点为顶点的三角形共有6个．故答案为：6．【考点11】尺规作图-角平分线和垂直平分线55．（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【答案】见试题解答内容【解答】解：如图所示：（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．。
北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学[《生活中的轴对称》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]研究目标】1.增进对身边轴对称图形的认识和欣赏，提高对数学的兴趣。
2.了解轴对称的概念，探索轴对称图形的基本性质和应用。
3.探究线段垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质及判定方法。
4.能够按照要求画出一些轴对称图形。
要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。
轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。
要点诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上。
3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释：轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的。
联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一。
同时也给出了引辅助线的方法，即遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心。
七下第五章生活中的轴对称素养集训3等腰三角形的“三线合一”作业新版北师大版
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因为∠CAE＝ ∠BAC，所以∠BAD＝∠CAE.
因为CE⊥AE，所以∠E＝90°.所以∠ADB＝∠E.
∠＝∠，
在△ABD和△ACE中，ቐ∠＝∠，
＝，
所以△ABD≌△ACE（AAS）.所以∠ACE＝∠B.
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题型4
巧用“三线合一”说明线段相等
4.如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中
所以△EFA≌△EFC（AAS）.所以CE＝AE＝AB.
所以CD＝CE＋DE＝AB＋BD.
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所以AE＝EB＝ AB＝12.
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题型3
巧用“三线合一”说明角相等
3.如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在△ABC外，CE⊥AE
于点E，∠CAE＝ ∠BAC.试说明：∠ACE＝∠B.
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解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则∠ADB＝90°.
因为AB＝AC，
所以∠BAD＝ ∠BAC.
因为AD平分∠BAC，所以∠FAE＝∠BAE.
又因为AE＝AE，所以△AEF≌△AEB（SAS）.
所以∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
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456来自题型6巧用“三线合一”说明线段的和差关系
6.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠ABC＝2∠C.试
说明：CD＝AB＋BD.
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生活中的轴对称知识要点及练习题北师大版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN18 生活中的轴对称轴对称图形轴对称分类轴对称角平分线轴对称实例线段的垂直平分线等腰三角形等边三角形生活中的轴对称轴对称的性质轴对称的性质镜面对称的性质图案设计轴对称的应用镶边与剪纸一、轴对称图形1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
2、理解轴对称图形要抓住以下几点：（1）指一个图形；（2）存在一条直线（对称轴）；（3）图形被直线分成的两部分互相重合；（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；二、轴对称1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。
可以说成：这两个图形关于某条直线对称。
2、理解轴对称应注意：（1）有两个图形；（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；（4）对称轴是直线而不是线段；轴对称图形轴对称区别是一个图形自身的对称特性是两个图形之间的对称关系对称轴可能不止一条对称轴只有一条共同点沿某条直线对折后都能够互相重合如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。
三、角平分线的性质1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。
2、性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
四、线段的垂直平分线1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。
2、性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。
五、等腰三角形1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。
5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。
6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。
7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。
8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。
9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。
10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。
11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。
六、等边三角形1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。
2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。
3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。
4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。
七、轴对称的性质1、两个图形沿一条直线对折后，能够重合的点称为对应点（对称点），能够重合的线段称为对应线段，能够重合的角称为对应角。
2、关于某条直线对称的两个图形是全等图形。
3、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
4、如果两个图形关于某条直线对称，那么对应线段、对应角都相等。
5、类似地，轴对称图形的性质有：（1）轴对称图形对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
（2）轴对称图形的对应线段、对应角相等。
（3）根据轴对称图形的性质可求作轴对称图形的对应点、对应线段或对应角，并由此能补全轴对称图形。
八、图案设计1、作出简单平面图形经过轴对称后的图形，实际上是轴对称图形的性质的灵活运用。
2、作出简单平面图形经过轴对称后的图形的步骤:（1）首先要确定一个简单平面图形上的几个特殊点；（2）然后利用轴对称的性质，作出其相应的对称点（对应点所连的线段被对称轴垂直平分）。
（3）分别连接其对称点，则可得其对称图形。
3、表达方式（以点M为例）：（1）过点M作对称轴l的垂线，垂足为A；（2）延长MA到M’到，使M’A=MA，则点M’就是点M关于直线l的对称点。
（3）在复杂的作图中，也可以叙述为：作出点M关于直线l的对称点M’.4、在运用轴对称设计图案时，就注意以下几点：（1）要有明确的设计意图；（2）创意要新颖独特；（3）设计出的图案要符合要求；（4）能清楚地表达自己的设计意图和制作过程。
5、图案的设计除采用对称的手段外，通常还综合采用旋转、倒置、重复等手段和形式。
6、设计的图案要美观、大方，积极向上，反映时代特色。
九、镜面对称1、镜面对称的有关性质：（1）任何一个平面图形（物体）在镜子中的像与它是可以重合的。
因此，一个轴对称图形在镜子中的像仍是轴对称图形。
（2）若一个平面图形正对镜面，则其左（右）侧在镜中的像是其右（左）侧；（3）若一个平面图形（物体）垂直于镜面摆放，则靠近镜面的部分，其像也靠近镜面；2、关于数字0、1、3、8在镜面中像的两个结论：（1）如果写数字的纸条垂直于镜面摆放，则纸条上写的0、1、3、8所成的像与原来的数字完全一样。
（2）如果纸条正对镜面摆放，则纸条上写的0、1、8这三个数字在镜中的像和原来的数字完全一样。
3、像与物体到镜面的距离相等。
4、像与物体的对应点连线被镜面垂直平分。
5、由镜中的时间来判断真实时间是近几年来中考的一个热点。
时间的表示有用一般数字表示的，也有直接用钟表来表示的。
在判断时，大家要注意灵活利用镜面对称的知识来加以解决。
生活中的轴对称检测题一、选择题 (每小题3分,共30分)1.圆是轴对称图形，它的对称轴有（）.条条条 D.无数条2.如图1，∠1＝∠2，PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D、E，则下列结论中错误的是（）.=PE =BE C.∠BPD=∠BPE =BE3.如图2是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）.图2个个个个4.如图3，已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P到角的两边OA、OB的距离都等于a.作法：(1)作OB的垂线NH，使NH＝a，H为垂足；(2)过点N作NM∥OB；(3)作∠AOB的平分线OP，与MN交于点P；(4)点P即为所求.其中(3)的依据是（）.A.平行线间的距离处处相等B.到角的两边距离相等的点在角的平分线上C.角的平分线上的点到角的两边等距离D.到线段两端等距离的点在这条线段的垂直平分线上5.如图4，△ABC和△ADE关于直线l对称，下列结论:①△ABC≌△ADE。
②l垂直平分DB；③∠C＝∠E；④BC与DE的延长线的交点一定落在直线l上.其中错误的有（）.个个个个6.在下面四个图形中，如果将左边的图形作轴对称折叠，哪一个能变成右边的图形（）.图57.如图6，在桌面上坚直放置两块镜面相对的平面镜，在两镜之间图4图3图6放一个小凳，那么在两镜中共可得到小凳的象（）. 个 个 个D.无数个8.如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°,那么这个三角形是（）.A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰三角形D.含30°角的直角三角形9. 等腰三角形的底边长为10 cm,一腰上的中线把三角形周长分成两部分的差为4 cm ，则这个三角形的腰长是（）. cmcmcm 或14 cmcm 或14 cm10.如图7，直线l 1、l 2、l 3分别表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要它到三条公路的距离都相等.猜想可供选择的地址有（）. 处处处处二、填空题 (每小题3分,共30分)11.如果一个图形沿一条直线________后，直线两旁的部分能够________，那么这个图形叫做________图形，这条直线叫做________.12.“三线合一”指的是等腰三角形________、________、________重合.13.小明面对镜子站着，他从镜子里看到自己背心上的号码为801，则他背心上实际号码应为________. 14.在直线、角、线段、等边三角形四个图形中，对称轴最多的是________，它有________条对称轴；最少的是________，它有________条对称轴.15.等腰三角形两边长分别为4 cm 、9 cm ，则它的周长＝________cm ；若等腰三角形的顶角为70°，则底角=________.16.如图8，DE 是AB 的垂直平分线，交AC 于点D ，若AC ＝6 cm,BC =4 cm,则△BDC 的周长是________.17.在汉字中有许多汉字是轴对称图形，如由、田、品，请你再写出6个这样的字：________.18.用长方形纸条，折叠后剪出一个图案，展开后折痕是整个图案的________. 19.一天小刚照镜子时，在镜子中看见挂在身后墙上的时钟，如图9，猜想实际的时间应是________.20.小明在平放在桌面上的练习本上写了一个两位数，小颖拿了一个平图7图8图9面镜垂直立于桌面上且也和两位数的方向垂直，这时他们二人看到实际中两位数与镜子中的像的两位数完全相同，请你猜想小明在练习本上写下的这个两位数可能是__________.(至少写出三个.注：练习本与镜子在人的同一侧)三、解答题 (共60分)21.(6分)在一次活动中，老师出了这样一道题：“如何把纸条上+=变成一个真正的等式.”同学们都思考了好长时间.这时小颖走到纸条前，只拿出了一面镜子，很快解决了这个问题，你知道小颖是怎样做的吗22(8分)牧马人在A处放牧，现他准备将马群赶回B处的家中，但中途他必须让马到河边l饮水一次(如图11)，他应该怎样选择饮水点P，才能使所走的路程PA＋PB最短为什么图1123.(8分)一犯罪分子正在两交叉公路间沿到两公路距离相等的一条小路上逃跑，埋伏在A、B两处的两名公安人员想在距A、B相等的距离处同时抓住这一罪犯.(如图12)请你帮助公安人员在图中设计出抓捕点，并说明理由.图1224(8分)瓦工师傅盖房时，看房梁是否水平，有时就用一块等腰三角板放在梁上(如图13)，从顶点系一重物.如果系重物的线恰好经过三角板底边的中点，则瓦工师傅就判断此房梁是水平的.这种方法是否合理请阐述你的理由.图1325.(15分) 如图15，两个全等的三角板可以拼成各种不同的图形，下面已画出其中一个三角板，请你分别补画出另外一个与其全等的三角形，使每一个图形分别成不同的轴对称图形.(所画三角形与原三角形可以有重叠部分)26.(15分) 如图16，某地板厂要制作一批正方形形状的地板砖，为适应市场多样化需要，要求在地板砖上设计的图案能够把正方形四等分，请你帮助该厂设计等分图案.(至少六种)参考答案一、二、11. 折叠互相重合轴对称对称轴12. 顶角的平分线底边上的高底边上的中线 13. 10814. 直线无数角和线段 15. 22 55° 16. 10 cm17. 甲、出、山、个、美、业、兢、开…… 18. 对称轴 19. 4∶1520. 80、30、10、11、18、88、…三、21 利用平面镜成像原理,把平面镜放在纸条的前后左右均可.如图.图14图15+=+==+=++=22作点B关于直线l的对称点B′，连结AB′交l于P点，则点P为饮水点.由对称性得PB=PB′.∵在l上任取一点P′,连结AP′、P′B，由三角形两边之和大于第三边，知AP′+P′B′＞AB′=PA+PB′，即AP′+P′B′＞PA+PB.∴只有点P处才能使PA+PB最小.23. 作∠MAN的平分线OC,连结AB,作线段的垂直平分线与OC交于点P,则点P为抓捕点.理由:角平分线上的点到角两边的距离相等(即犯罪分子在∠MON的角平分线上,点P也在其上).线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(所以点P在线段AB的垂直平分线上).∴两线的交点，即点P符合要求.24. 合理.理由：根据等腰三角形三线合一的性质，系重物的线过底边的中点，此线也为底边上的高.因为线是铅直的，所以底边即房梁就是水平的.2526. 分法如图.。