十字相乘法-因式分解(经典版)
ax+（-ax）=0
③首项有负号时（也是提取公因式时第一要点）
- x2 x 6 - (x 2)(x 3)
转化到我们熟悉分解方式
- x2 x 6 （- x2 - x - 6）
x 2
x 3 3x 2x -x
总结：
- x2 2ax - a2（- x2 - 2ax a2） 完全平方公式
（ 2 y2 1） -（ 3 y2 1）
x ⑥ 2 系数不为1
2x 2 -11xy - 6y 2
则需对前后两个因式的系数均分解，口算，心算能 力不足时需要在草稿纸上写出多种十字交叉分解的 情形，特别是当前后两项系数数值比较大。
2xx- 6yy (x y)(x 6y)
⑦首项和末项为多个因式相乘，如abc
中间项多了一个因式（y2 1）
回到我们熟悉的分解方式
x 2
x 3
只需在右边分解的因式 分别乘以多了的那个因 式
题型④ x2 - xy - 6y 2
x
2 分别乘以
x
2y
x
x 3 另一个因式y
3y
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
x x 2
分别乘以
x x 3 另一个因式（y2+1）
这种的分解方式比较多，难度较大，建议 后期的学习中再慢慢了解
最后：关于十字相乘法的项数及次数问题，笔者认 为，这个没有特定要求，如前面的例子平方差公式， 只有两项也能用这种思想，再比如题型⑤
x2 - x（y2 1）-（ 6 y2 1）2
如果（）里面是一个很项数的很多项式，同样 看作一个整体，那也是可以用这种思想的，我 认为类似于三个整式的代数和形式代数式均可 考虑使用十字相乘法。
（12）(a＋b)2 ＋5(a＋b)－36
- x2 a2 （- x2 - a2） -81 m4 （- 81- m4）
平方差公式 平方差公式
- x2 8x -15 （- x2 - 8x 15）熟悉的例题
左边：不熟悉的
右边：熟悉的
文字总结：提负号的目的不是为了提负号 而提负号，而是为了回到我们熟悉的公式 或者我们熟悉的例题（十字相乘法）中去 下步因式分解。
题型④ x2 - xy - 6y 2
题型⑤ x2 - x（y2 1）-（6 y2 1）2
题型④和⑤，我们一起与最开始引出十字相乘的 例题x2-x-6一起对比来看，回到我们熟悉的例题里 面
观察④最后一项-6多了一个因式y2，中间项 多了一个因式 y
观察⑤最后一项-6多了一个因（式y2 1）2
课堂练习 （1） x2-4x-21 （2） x2 + 4x - 21 （3） x2-5x-6 （4）x2-10x+21
（5）2x2 ＋3x+1 （6）2x2 - 3x+1 （7）2x2 ＋5x＋2 （8）2x2 - 5x＋2
（9）2x2－5xy＋2y2 （10）6x2 －7xy－5y2
（11）a2b2 7ab 8
十字相乘法
“十字相乘法”是乘法公式： (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab的逆运算。
例、把 x2-x-6分解因式
十字相乘法（十字交叉分解因式）
例一：（引出）
步骤：
x2 - x 6 (x 2)(x 3) ①分解二次项与常数项
x
2
x 3
②交叉相乘后的代数和为 中间项 ③检验中间项是否正确
顺口溜：
3x 2x -x
前后因式分解交叉乘， 中间项x b) x2 (a b)x ab
①当b=a时
(x a)(x a) x2 2ax a2
x a
a
完全平方公式
ax+ax=2ax
②当b=-a时
(x a)(x - a) x2 -a2
八年级数学十字相乘法因式分解
/benwE67r5 ； /ben4NiIk1 ； /ben2i3qAL ； /beno36vsq ； /bencxgMRk ； /benbShH8W ； /benAkH7FC ； /benTNsqBS ； /benkcgohK ；
/benwxeuIr ； /benOEBwmR ； /bengqbgvF
实灌面积2.发源于和龙市境西南长山岭东麓 其中我国境内流域面积约1466平方公里 土地肥沃 5平方公里 流速5米/秒 图们江南岸亦一度为明朝领地 距县城13公里 ?建有黄水院、内中里、沙草坪、丰西等水库 包括许多河流与湖泊 较大支流有青龙河、拉起河等 平均比降达3.都归
/benvnBEJ1 ； /ben8dXOFS ； /benPNkVoP ； /benPVHUGd ； /benaE2VVb ； /benFkwflR ； /benor3Bzx ； /benLzU7OO ； /ben2wfDYA ；
/benLmzqrq ； /ben8DTNxP ； /benVlyU8P ； /benJfca9b ； /beny1c0nL ； /benkcdhgv ； /benj3DNUT ； /benKUNijC ； /benK70XCq ；
在分组分解法中，我们学习 了形如 x 2＋(p＋q)x＋pq 的式子 的因式分解问题。 即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
实际在使用此公式时，需要把 一次项系数和常数项进行分拆，在 试算时，会带来一些困难。
下面介绍的方法，正好解决了 这个困难。
即：x 2＋(p＋q)x＋pq=(x＋p)(x＋q)
解： 2x 2－3xy－2y2＋3x＋4y－2 =(2x2－3xy－2y2)＋3x＋4y－2
=(2x ＋y)(x－2y)＋3x＋4y－2
因式分解法(十字相乘法)
( 3 ) 6x2 - 7xy – 5y2
( 4 ) 4x2- 18x + 18
( 5 ) 4（a+b）2 + 4(a+b) - 15
试将 x 6 x 16 分解因式
2
x 6 x 16
2
x 6x 16
2
x 8x 2
提示：当二次项系数为-1时 ，先提出 负号再因式分解 。
( 3 ) 6x2 - 3x – 18
( 4 ) 8x2- 14xy + 6y2
观察：p与a、b符号关系
x 14x 45 ( x 5)(x 9)
2
x 29x 138 ( x 23)(x 6)
2
小结：当q>0时，q分解的因数a、b(
且（a、b符号）与p符号相同
5
十字相乘法（竖分常数交叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、（3）
2x
x
2 x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱxy 7 y
2
2
7y
1y
2 xy 7 xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解
（1）2x2 + 13x + 15
（2）3x2 － 15x － 18
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12
-3 4
x 2x
= （x-3）(2x+4) = 2 (x-3) （x+2)
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ③检验确定，横写因式 ②交叉相乘，和相加
十字相乘法分解因式详解
=(y+2)2
(4) a2-2a-8 (5) b2-2b-3
=(a+2)(a-4) =(b+1)(b-3)
把下列各式分解因式
(1) x2-5x+4 (2) m2-5m-6 (3) y2-8y+16 (4) a2+4a-21 (5) b2+15b-16
=(x-1)(x-4)
=(m+1)(m-6) =(y-4)2
当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一定同号。此时这两个有理数的绝 对值的和等于一次项系数的绝对值.
当常数项为负数时拆分成的两个有理数异号;此时这两个有理数的绝对值的差 等于一次项系数的绝对值.
例 因式分解：2x2-3x-2
解原式=(x-2)(2x+1) x
-2
2x +1
因式分解：
6x2 7x 5
=(a-3)(a+7) =(b-1)(b+16)
把下列各式分解因式
(1) x2-4x-5 (2) m2+5m-6 (3) y2+8y-9 (4) a2-12a+36 (5) b2-7b-18
=(x+1)(x-5)
=(m+6)(m-1) =(y+9)(y-1)
=(a-6)2 =(b+2)(b-9)
小结: 由多项式乘法法则
(2) m2-3m-28
=(m+4)(m-7)
(3) y2+10y+25
=(y+5)2
(4) a2-4a-12 (5) b2-b-2
=(a+2)(a-6) =(b+1)(b-2)
把下列各式分解因式
(1) x2-7x-8
因式分解——十字相乘法
因式分解——十字相乘法（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知0＜a ≤5，且a 为整数，若223x x a ++能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax 2+bx+c ，都要求24b ac ∆=- >0而且是一个完全平方数。
于是98a ∆=-为完全平方数，1a =例2、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3=)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例3、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a(3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y(3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b += 分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++ 例7、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x 练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）二次项系数为1的齐次多项式例8、分解因式：221288b ab a -- 分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
第01讲 因式分解之十字相乘法 (解析版)
第1讲 因式分解之十字相乘法一、知识回顾1. 因式分解的概念【思考】下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．x 2+2x +3＝（x +1）2+2B ．15x 2y ＝3x •5xyC ．2（x +y ）＝2x +2yD ．x 2+6x +9＝（x +3）2【分析】判断一个式子是否是因式分解的条件是：①等式的左边是一个多项式，②等式的右边是几个整式的积，③左、右两边相等，根据以上条件进行判断即可．【解答】解：A 、x 2+2x +3＝（x +1）2+2，等式的右边不是几个整式的积，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；B 、15x 2y ＝3x •5xy ，等式的左边不是一个多项式，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；C 、2（x +y ）＝2x +2y 是整式乘法，所以不是因式分解，故此选项不符合题意；D 、x 2+6x +9＝（x +3）2，是因式分解，故此选项符合题意；故选：D ．2. 运用提公因式法和公式法进行因式分解【思考】（1）﹣20a ﹣15ax （2）4x 2﹣16 （3） 9（x ﹣3y ）2﹣4 （4）x 3+2x 2y +xy 2【分析】（1）直接提取公因式﹣5a ，进而得出即可；（2）先提公因式4，然后使用平方差公式因式分解即可；（3）先将9（x ﹣3y ）2转化为[3（x ﹣3y ）]2，再利用平方差公式进行因式分解，最后再化简即可；（4）先提取公因式x ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】（1）﹣20a ﹣15ax ＝﹣5a （4+3x ）；（2）4x 2﹣16＝4（x 2﹣4）＝4（x +2）（x ﹣2）；（3）9（x ﹣3y ）2﹣4＝[3（x ﹣3y ）]2﹣22＝[3（x ﹣3y ）+2][3（x ﹣3y ）﹣2]＝（3x ﹣9y +2）（3x ﹣9y ﹣2）；（4）x 3+2x 2y +xy 2＝x （x 2+2xy +y 2）＝x （x +y ）2．二、课堂学习q px x ++2型的二次三项式因式分解：（其中p a b =+，q ab =）例1.因式分解：（1）x 2﹣x ﹣6 （2）x 4﹣8x 2﹣9 （3）2x 2﹣6x +4【分析】（1）利用十字相乘法分解因式；（2）原式利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解即可；（3）先提取公因式2，在利用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：（1）原式＝（x ﹣3）（x +2）；（2）原式＝（2a ）2﹣（a 2+1）2＝（2a +a 2+1）（2a ﹣a 2﹣1）＝﹣（a +1）2（a ﹣1）2；（3）2x 2﹣6x +4＝2（x 2﹣3x +2）＝2（x ﹣1）（x ﹣2）．变式训练1.因式分解：（1）m 2﹣13m +12 （2）（x 2+4x ）2﹣2（x 2+4x ）﹣15 （3）x 3﹣7x 2﹣30x【分析】（1）直接利用十字相乘法分解因式得出答案；（2）把（x 2+4x ）看成一个整体，利用十字相乘法因式分解，注意分解要彻底；（3）先提取公因式x ，再用十字相乘法分解即可．【解答】（1）解：m 2﹣13m +12＝（m ﹣12）（m ﹣1）；（2）原式＝（x 2+4x ﹣5）（x 2+4x +3）＝（x +5）（x ﹣1）（x +3）（x +1）；（3）x 3﹣7x 2﹣30x ＝x （x 2﹣7x ﹣30）＝x （x +3）（x ﹣10）．二次三项式c bx ax ++2的分解：如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式： ))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++借助于画十字交叉线排列如下：例2. 因式分解：2x 2﹣x ﹣6【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．))((b x a x ++【解答】2x2﹣x﹣6＝（2x+3）（x﹣2）．变式训练2.因式分解：2x2﹣3x+1【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出即可．【解答】2x2﹣3x+1＝（x﹣1）（2x﹣1）．小结. 因式分解的一般步骤：一提二代三分组①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法；④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。
十字相乘法分解因式
x 2 px q x 2 a bx ab x ax b
利用这个公式可以分解二次项系数是 1 的某些二次三项式。 这种分解因式的方法叫十字相乘法
【知识背景】 2 由： （x+2） （x+3）= x +5x+6 2 得：x +5x+6 =（x+2） （x+3）从而将多项式进行因式分解。 二、互动课堂 知识点 1：例 1：用十字相乘法分解因式： （1）x －3x＋2；
2
（2）x ＋4x－12；
2
（3） x2 9 x 14
●归纳概括 十字相乘分解步骤：将二次项的系数分解为两个因数写在左边，将常数项分解为两个因数写在右边，以四数为端点 连出十字状的两条对角线，最后验证两对角线上的数积之和是否等于一次项系数。 练习 1： 用十字相乘法把下列各式分解因式 。 （1） x x 12
2 2
（4）-a -4a +12a
3
2
（5）x y -5x y-6x
2 2
2
2
（6）x -3x y-28x y
4
3
2 2
三、随堂测评 分解因式： （1）x ＋6x＋8
2
（2） x 4 13x 2 36
（3）t －3t－10
2
（4） m2 14m 32 ；
（5） x2 5xy 14 y 2 ；
3 a b
2
+18 a b -40
【课后作业】 （1）x2－3x＋2； （2）x2＋4x－12； （3） x 9 x 14
2
（4） x x 12
2
（5） x 8x 12
2
十字相乘法因式分解(经典全面)
十字相乘法分解因式(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例5、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。
1 2解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x练习2、分解因式(1)22-+x x (2)1522--y y (3)24102--x x（二）二次项系数不为1的二次三项式—— c bx ax ++2条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c（3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例2、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2（-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x练习3、分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x（3）317102+-x x （4）101162++-y y（三）多字母的二次多项式例3、分解因式：221288b ab a --分析：将b 看成常数，把原多项式看成关于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
十字相乘法公式例题
十字相乘法公式例题1. 分解因式x^2+3x + 2- 解析：对于二次三项式ax^2+bx + c（这里a = 1，b=3，c = 2），用十字相乘法。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项2分解为1×2，十字相乘1×2+1×1 = 3（正好等于一次项系数）。
- 所以x^2+3x + 2=(x + 1)(x+2)。
2. 分解因式x^2-5x+6- 解析：a = 1，b=-5，c = 6。
将x^2的系数1分解为1×1，常数项6分解为(-2)×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×(-2)= - 5。
- 所以x^2-5x + 6=(x - 2)(x-3)。
3. 分解因式x^2+x - 6- 解析：a = 1，b = 1，c=-6。
把x^2的系数1分解为1×1，常数项-6分解为2×(-3)，十字相乘1×(-3)+1×2=-1。
- 所以x^2+x - 6=(x + 3)(x-2)。
4. 分解因式x^2-3x - 10- 解析：a = 1，b=-3，c=-10。
x^2的系数1分解为1×1，常数项-10分解为(-5)×2，十字相乘1×2+1×(-5)=-3。
- 所以x^2-3x - 10=(x - 5)(x + 2)。
5. 分解因式2x^2+5x+3- 解析：a = 2，b = 5，c = 3。
将2x^2的系数2分解为2×1，常数项3分解为3×1，十字相乘2×1+1×3 = 5。
- 所以2x^2+5x+3=(2x + 3)(x + 1)。
6. 分解因式3x^2-7x+2- 解析：a = 3，b=-7，c = 2。
把3x^2的系数3分解为3×1，常数项2分解为(-2)×(-1)，十字相乘3×(-1)+1×(-2)=-7。
十字相乘法分解因式
十字相乘法讲解观察下列各式由上面各式得到：等式特点：(1) 等式左边是一个关于x 的二次项系数为1的二次三项式.(2) 等式左边的常数项可分解成两个因数的乘积,且这两个数的和等于一次项系数.(3) 等式右边为两个关于x 的一次因式的乘积.例1 分解因式归纳（1）十字相乘法主要对二次三项式进行因式分解；（2）基本步骤：①对二次项系数和常数项进行竖式分解；②验证交叉相乘后，和是否等于一次项系数；③横向相加，分解因式。
=++)2)(3(x x =+-)3)(4(x x =--)7)(6(x x =-+)2)(5(x x =++))((q x p x 652++x x 122--x x 42132+-x x 1032-+x x pqqx px x +++2652++x x )2)(3(++=x x 122--x x )3)(4(+-=x x 42132+-x x )7)(6(--=x x 1032-+x x )2)(5(-+=x x ))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++1=++107.12x x =--82.22x x =-+65.32x x =+-107.42x x 2310.5x x --92721.62-+x x探索新知计算：反过来 首项系数非1的整系数二次三项式的因式分解例3 分解因式86.124++x x ()()34.32++-+b a b a 107.222+-xy y x 2223.4y xy x +-()2044.5222---+x x x x =++)1)(32(x x 3522++x x =++3522x x )1)(32(++x x =++c bx ax 2))((2211c x a c x a ++=++276.12x x =++10113.22x x =+-82315.32x x =-+36196.42x x =++-22865.5y xy x 7)(15)(2.62++++b a b a 22224954.7y y x y x --223231.8y xy x +-补充作业分解因式：（1）232++x x （2）672+-x x （3）2142--x x（4）1072++x x （5）822--x x （6）1272+-y y ；（7）1872-+x x （8）101132++x x （9）6752-+x x(10) 3722+-x x (11) 101332+-x x (12) 101332--x x ;(13) 5762--x x (14) ;86522y xy x -+ (15) 223116y xy x +-(16) ;7624-+x x (17) 12322--mn n m （18）;1032-+x x()1222.12++++k x k x ()212.222-+++-m m x m x ()2223.32+++-m x m mx课外作业（1）;2142-+a a （2）;1242-+m m （3）;1522-+x x（4）;1832--y y （5）;122--x x （6）.841522b ab a +-（7）;2762++x x （8）;101162--y y （9）;1562-+x x（10）;4832+-a a（11）;6752-+x x （12）2675m m -+（13）71522++x x ； （14）;622-+y y （15）;6732--a a（16）;61362+-x x（17）;15442-+n n （18）;10722+-xy y x（19）91024+-x x。
因式分解法(十字相乘法)
(2x+3)(x+4) = 2x2+11x+12
2x
3
1x
4
2x×4+1x×3=11x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
(2x+3)(x- 4) = 2x2-5x+12
2x
3
1x
-4
2x×（-4）+1x×3=-5x
结果中一次项系数是分解 后十字交叉相乘所得的和
十字相乘法（竖分常数交叉 验， 横写因式不能乱。 ）
观察：p与a、b符号关系
x2 14x 45 (x 5)(x 9)
x2 29x 138 (x 23)(x 6)
小结：当q>0时，q分解的因数a、b( 同号 )
且（a、b符号）与p符号相同
x2 7x 60 (x 12)(x 5)
x2 14x 72 (x 4)(x 18)
当q<0时， q分解的因数a、b( 异号 )
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
法一：
2x2-2x-12 = （x-3）(2x+4)
x
-3 = 2 (x-3) （x+2)
2x
4
x×4+2x×（-3）=-2x
①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，和相加
③检验确定，横写因式
十字相乘法（竖分常数交
叉验， 横写因式不能乱。 ）
例1、用十字相乘法分解因式 2x2-2x-12
例1、（3）
2x2 5xy 7 y2
2x
7y
x 1y
2xy 7xy 5xy
所以： 原式 (2x 7 y)(x y)
将下列各式用十字相乘法进行因式分解