平面上两点间的距离
两点间的距离公式
两点间的距离公式两点间的距离是指在数学上，即几何空间中两点之间的直线距离。
在二维平面中，两点间的距离可以使用勾股定理来计算。
而在三维空间中，两点间的距离可以通过空间中的坐标来计算。
这篇文章将会详细介绍两点间距离的公式以及它们的推导过程。
首先，我们从二维平面开始讨论。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离记为d。
根据勾股定理d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式也可以写成：d=√(Δx²+Δy²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1这个公式是由勾股定理推导而来，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。
在计算机、几何学和物理学中，这个公式被广泛使用。
接下来我们来看三维空间中两点间距离的计算。
假设有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)，它们之间的距离记为d。
我们可以使用三维空间中的向量来推导计算公式。
首先，我们可以将A和B的坐标表示为向量形式：A=(x1,y1,z1)B=(x2,y2,z2)然后，我们可以定义从A到B的向量为V：V=B-AV=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)注意，这个向量的起点是A，终点是B。
根据向量的定义，我们可以使用向量的模长来计算A和B之间的距离。
向量的模可以表示为：V，=√(Δx²+Δy²+Δz²)其中，Δx=x2-x1，Δy=y2-y1，Δz=z2-z1这个公式给出了三维空间中两点间距离的计算方法。
与二维平面的情况一样，只需将点A和点B的坐标代入公式即可计算出两点之间的距离。
最后，我们来看一些与两点间距离有关的常见应用。
在数学中，这个公式常常用于计算平面上两点的距离，或者计算线段、直线的长度。
同样，在几何学和物理学中，这个公式也被广泛应用。
在计算机图形学中，这个公式用于计算点之间的距离，从而实现线段、多边形之间的相交判断、碰撞检测等。
平面上两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式在平面上，两点之间的距离可以通过使用勾股定理或坐标公式来计算。
一、勾股定理勾股定理适用于直角三角形，根据该定理，直角三角形斜边的长度可以通过其两条直角边的长度计算得出。
在平面上，两点之间的直线可以看做是直角三角形的斜边，因此我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
设两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则PQ的距离为d。
根据勾股定理，d的计算公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，^表示乘方运算，√表示开方运算。
这个公式代表了将两点之间的直线看作斜边，利用两条直角边的长度计算斜边的长度。
二、坐标公式坐标公式是通过计算两点间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
这种方法适用于不确定两点坐标的直角坐标系。
假设P(x1,y1)和Q(x2,y2)是两点，横坐标之间的差为Δx，纵坐标之间的差为Δy，d是两点之间的距离，则d的计算公式如下：d=√(Δx^2+Δy^2)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式表示了通过计算两点之间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
无论使用勾股定理还是坐标公式，最终的计算结果都是两点之间的距离。
这个距离表示了两点之间的直线长度。
这些公式在计算机图形学、几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
它们提供了一种简单而有效的方法来计算平面上两点之间的距离。
最后，值得注意的是，上述的距离公式适用于平面上的欧几里得距离。
在一些特殊情况下，如曼哈顿距离或切比雪夫距离等，计算方法可能会有所不同。
这些距离公式适用于特定的应用场景，根据实际情况选择合适的距离公式进行计算。
两点间的距离公式
§ 2.8 两点间的距离公式课前自主预习［新知梳理］1、平面上两点间距离公式：已知Rd,%) , P2(x2,y2),则PP2 =J(N-汀+(% - y?)2•在如图所示的坐标系中，|RQ|= M - yd ,p2 (x2,y2)Q(x1,y2)| F2QH |x2 -x i | ;在RtARQP2 中，I PP2 l= J(x i —X2)2+(力—y2)2•特殊地，0(0,0) , P(x, y)之间的距离 |OP|二■ Xi2y2［思考讨论］1 . (1)已知x轴上两点A(X i,0)、BgO)，贝U I AB 戶|x^x1 |(2)已知 y 轴上两点A(0,yJ、B(0, y2)，则 |AB|= | y^ yy |2.(1)已知两点A(x，y)、B(x,,y)，则 |AB 卜凫-为| .(2)已知两点A(x, %)、B(x, y2)，则 | AB 戶| y2 - % | .3.直线与坐标轴的两交点之间的距离是洁+b2.4.在坐标系中作出两点R(1,3)，P2(5,6)，构造直角三角形，求得|PP2|= 5课堂互动学习［名师点津］1.记住两点间的距离公式的结构特征，会用公式求出三角形的边长等距离问题.2.利用三角形的边长判断三角形的等腰三角形还是直角三角形.3.利用对称性可以解决两类类似问题：①在定直线上求一点到两定点的距离之和最小；②在定直线上求一点到两定点的距离之差的绝对值最大.4.利用坐标法解决平面几何问题，首先要建立恰当的直角坐标系.建立坐标系的原则是：①以题目中的已知直线为坐标轴，以已知点为原点；②让尽可能多的点处在坐标系中的特殊位置，这样方便计算；③如果条件中有互相垂直的两条直线，可以考虑把它们昨晚坐标轴，如果图形为中心对称图形，可以将中心作为原点，如果图形为轴对称图形，可以将对称轴作为对称轴.典例精析：［典型例题1］已知A(0,1)，B(2,7)，C(4,3)，求三边的长，并判断 ABC的形状.［点拨］由距离公式求出三边的长，再由边长判断形状.［解答］由两点间距离公式得| AB |「- (2一0)2(7 一1)2=2帀，| BC 匸；(2匚4)2—(7匚3)2〉2 .. 5，| AC |= .(4 -0)2 (3 -1)2 =2 ,5，因为I ACI2• |BC|2=|AB|2, |AC|=|BC|，所以厶ABC是等腰直角三角形.［变式训练1］已知A(a,2)，B(-2,-3)，C(1,1)且AB =| AC|，求a 的值.［解答］| AB =. (a 2)2 (2 3)2二.a2 4a 29，| AC H--'：(a -1)2 (2 -1)2=J；a2 -2a 2，=AC，所以J a2 +4a 十29 = J a2 -2a +2，解得［典型例题2］在x轴上取一点P，使它与两点A(1,2)，B(5,3)的距离之和最小，并求出最小距离.| PA'I+I PB闰AB|，当P是AB与x轴交点P时，取等号, 因为 | A B F •. (1 -5)2* ( -2 -3)2二 41 为定值, 所以当P是AB与x轴交点P时，|PA［+|PB|有最小值.因为直线AB的斜率为一脊违，经过点B(5,3)，因为AB［点拨］作A关于x轴的对称点A，连AB与x轴交于点P，则F0为所求.［解答］作A关于x轴的对称点A，则A坐标为(1,-2)，设P 是x轴上的任一点，连PA ；PB、AB，则有所有直线AB的方程为y 一3 (x 一5),4令y =0，得x仝，即P的坐标为(空,0).5 5［变式训练2］x轴上的一点到定点A(0,2) , B(1,1)距离之和的最小值为(D )A.2B. 、、5C. 2、2D. .10［典型例题3］已知P为等腰 ABC的底边BC上的任意一点，求证：2 2|AB| =|AP| |BP| |PC| .［点拨］以底边所在的直线为x轴，底边的垂直平分线为y轴建立坐标系，再设出有关点的坐标，表示出有关线段的长度即可得证.［解析］取BC的中点O为原点，OA所在直线为y轴，建立坐标系.设A(0,a)，C(b,0)，则B(-b,0)，由两点间距离公式得| AB|2二a2 b2，|AP |2二a2 x2，| BP^x b，| PC |二 b-x，所以| AP |2 | BP | | PC | 二a2 x2 (x b)(b - x)二a2 b2.所以| AB |2 =| AP |2| BP | | PC |.［变式训练3］如图，D为BC中点，求证：AB2+ AC2二 D 6 吃D A^ D C证明：以D为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系，设 A(a,b)，C(c,0)，则 B(-c,0).于是| AB|^(a c)2 b2，|AC|2= (a-c)2 b2，| BD |^| CD |2-c2，|DAf = a2 b2.所以| AB|2| AC |2 = (a c)2 b2(a -c)2b2二2a22b22c2，2 . 2 . 2 2 , 2 , 2DB +2 DA +DC| =2a +2b +2c，所以 AB + AC = DB +2 DA + DC .课后分层练习反馈练习:1•以A(；,0) , B(3, 2) , C(_1,2)为顶点的三角形的形状是(C )A •等腰B •等边C •直角D .锐角三角形2.已知M(x,二)到N(1,2)的距离为5,则x二(D )A. -4B. -2C. -4 或2D. 4或 -23.已知A(-1,2) , B(3,6) , C(5, -5)，贝L ABC 的边 AB 上的中线长为.97 .4.点P在直线y =x上，且P到Q(4,；)的距离为5,则P点坐标为(0,0)或(1,1)5.已知正 ABC的边长为a,在平面上求一点P，使得|PA|2 | PB|2 | PC |2取得最小值，并求最小值.［点拨］建立直角坐标系，设P(x,y)，和A、B、C的坐标，用两点间距离公式得出函数关系.［解析］以AB边所在直线为x轴，边AB的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，如图所示.设点A(| ,0),则B(-, c(o, ；a).设P(x, y)，则|PA|2 | PB|2 I PCf= (x—|")2 y2 (x |)2 y2 x2 (y 一一|^)2=3x2 3(y 乎)2 a2 _a2.当且仅当x =0 , y二冬时，等号成立，此时点P坐标为6),是正 ABC 的中心，所求最小值为a26.在y轴上找一点M ,使得M到两定点A(2,1)、B(4,5)的距离之差的绝对值最大，并求出最大值.［点拨］连结AB延长交y轴于M。
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式
平面上两点间的距离和点到直线的距离公式平面几何是几何学中的一个重要分支，它研究了平面上点、直线、圆等的性质和相互关系。
在平面上，我们经常需要计算两点之间的距离以及点到直线的距离，这些计算方法在实际生活中有着很广泛的应用。
下面我们将分别介绍两点间的距离和点到直线的距离的计算公式。
首先，考虑两点间的距离。
假设平面上有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们想要计算这两个点之间的距离d。
根据勾股定理，我们知道两点之间的距离可以通过点与坐标轴的距离的平方和来计算，即：d=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
这个公式的理解非常直观，我们可以将两点之间的直线看作是直角三角形的斜边，而点与坐标轴的距离就是直角三角形的两个直角边的长度。
因此，我们可以通过计算两个直角边的长度，然后应用勾股定理来求解斜边的长度，即两点之间的距离。
接下来，我们来讨论点到直线的距离的计算方法。
给定平面上一条直线L和一点C(x0,y0)，我们想要计算点C到直线L的距离d。
为了方便计算，我们需要确定直线L的方程。
在平面几何中，常见的直线方程形式有一般式、斜截式和点斜式。
这里我们以一般式方程为例，一般式方程的形式为Ax+By+C=0，其中A、B和C是常数。
点到直线的距离的计算方法有多种，下面我们介绍其中的一种方法，即点到直线的投影方法。
我们可以将问题转化为求点C到直线L的垂直投影点D，然后计算点C到点D的距离d。
首先，我们可以利用点斜式确定直线L的斜率k。
假设直线L经过点P(x1, y1)，斜率为k，则直线L的点斜式方程为y - y1 = k(x - x1)。
进一步化简，我们得到直线L的一般式方程Ax + By + C = 0，其中A =-k，B = 1，C = kx1 - y1接下来，我们需要求点C到直线L的垂直投影点D(xd, yd)的坐标。
根据垂直投影的性质，我们知道点D在直线L上，且点CD垂直于直线L。
因此，点D与直线L的斜率之积为-1，即k * kd = -1、由此，我们可以得到点D的坐标：xd = (B^2 * x0 - A * B * y0 - A * C) / (A^2 + B^2)yd = (A * B * x0 - A * A * y0 - B * C) / (A^2 + B^2)最后，我们可以计算点C到点D的距离d，即：d = √[(x0 - xd)^2 + (y0 - yd)^2]这个公式可以通过将点C到点D的距离看作直角三角形的斜边来进行解释。
平面内两点间的距离公式
两点间的距离公式【教学目标】1、掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算【教学重点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学难点】平面内两点的距离公式和中点公式的应用【教学过程】引入：(如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 21=-5 0 7 X在直角三角形中，怎样求出斜边的长度在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|=xy平面直角坐已知两点1P P P 21=说明(1) 如果P 12是x x 12-(2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离是y y 12-试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB .试一试2：求下列两点间的距离：（1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A（3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A -试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。
线段的中点公式点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为221x x x +=，221y y y +=。
说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的试一试3：求下列两点的中点坐标（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A -（二）典型例题：已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度（解题过程在书240页）【自我检测】1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(222y x P ，两点距离公式为2、点),(111y x P ，),(222y x P 之间所连线段的中点P 坐标为3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标（1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2）4、已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7）6、已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.7、已知A在y轴上，B（4，-6），且两点间的距离AB=5，求点A的坐标8、已知A（a,-5），点B在y轴上，点B的纵坐标为10，AB=17，求a。
两点间的距离公式
两点间的距离公式
欧几里得距离公式
在平面上，如果给定两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，那么可以使用欧几
里得距离公式来计算这两个点之间的距离。
欧几里得距离公式如下：d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)
其中d表示两点之间的距离。
曼哈顿距离公式
曼哈顿距离公式是另一种计算两点之间距离的方法。
在平面上，给定
两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，曼哈顿距离公式可以表示为：
d=，x₂-x₁，+，y₂-y₁
曼哈顿距离公式的计算方法是将两点间的直线路径分解为水平和垂直
方向上的距离，并将它们相加。
在三维空间中，两点之间的距离可以通过类似的方法进行计算。
给定
两个点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，我们可以使用欧几里得距离公式来计算它们之间的距离。
欧几里得距离公式在三维空间中如下：
d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²)
此外，还有其他一些计算两点距离的公式。
例如，切比雪夫距离公式
可用于计算两点之间的最大绝对差异。
在平面上，切比雪夫距离公式如下：
d = max(，x₂ - x₁，, ，y₂ - y₁，)
在三维空间中，切比雪夫距离公式如下：
d = max(，x₂ - x₁，, ，y₂ - y₁，, ，z₂ - z₁，)
以上所述的公式都是用来计算点之间的直线距离的。
它们在几何学、物理学、计算机图形学和许多其他领域都有广泛的应用。
无论是在平面上还是在空间中，选择哪个公式取决于具体的问题和应用。
5《平面上两点间的距离》课件1.ppt
)
如果
x1 x2 , 那么 PP2 y2 y1 1
) 式也成立
，
y
(
y2
P2 ( x2 , y2 )
如果 y1 y2 , 那么 P P2 1
x2 x1
y1
o
(
) 式仍成立.
P1 ( x1 , y1 )
x
由此，我们得到平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的 1 距离公式
o
x2
x
合 作 探 究
因为
PQ x2 x1 , 1
P2Q y2 y1
y2
所以,在
y
P2 ( x2 , y2 )
Rt PP2Q 中, 1
x1
PP PQ P2Q 1
2 1 2 2 2
P1 ( x1 , y1 )
(
o
x2 y1
Q( x2 , y2 )
x
( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2
分析: 设出两点坐标
B(b, 0), C (0, c)
则由中点坐标公式
M
OA
b c M( , ) 2 2
由两点间距离公式易证得
B(b,0)
x
1 AM BC 2
练
习
Ｐ９２练习 １，２，３
小 结:
1. 平面上两点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 间的距离公式 1
P P2 ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) 1
一般地说，已知两点
如何求两点间的距离？
P ( x1 , y1 ), P2 ( x2 , y2 ) 1
第9课：平面上两点间距离
3 2 ＝1， 2 －0 3 2 － 0 ＝ 3， 2
1 2 －－1 ＋ 2
∵AC2＋BC2＝AB2，
∴△ABC 为直角三角形．
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2.1.5
探究点二
中点坐标公式
问题 1 已知 A(－1,3)，C(6，－1)，怎样求 AC 的中点呢？
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2.1.5
小结
一般地，对于平面上两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线
本 课 时 栏 目 开 关
x ＝x1＋x2 2 0 段 P1P2 的中点是 M(x0，y0)，则 y1＋y2 y＝ 2 0
.
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2.1.5
本 课 时 栏 目 开 关
题时，首先要根据题设条件建立适当的直角坐标系，然后根 据题中所给的条件，设出已知点的坐标；(2)再根据题设条件 及几何性质推出未知点的坐标；(3)另外，在证题过程中要不 失一般性．
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2.1.5
跟踪训练 3
证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离
2.1.5
2． 求点 P(2,4)关于直线 l： 2x－y＋1＝0 的对称点 P′的坐标．
解 y－4 设 P′(x，y)，∵PP′⊥l，∴ · 2＝－1. x－2 ①
本 课 时 栏 目 开 关
又∵线段 PP′的中点在直线 l 上，
x＋2 y＋4 ∴2· － ＋1＝0. 2 2
6 x＝5， 由①②组成方程组可解得 y＝22. 5 6 22 ∴P′(5， 5 )．
因此 k MP1 ＝ k MP ，所以三点 P1，M，P2 在同一直线上．
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THANKS
平面上两点间的距离
情景引入
• 已知数轴上任意两点A，B，其 中点A为a, 点B为b,我们怎样求 出它们的距离|AB|呢？ A B
|AB|=|b-a|
a
O
b
那如果是平面上任意两点，又怎样求它们的距离呢？ 我们可以借助直角坐标系来探究两点间的距离。
探究新知
平面上任意两点P1(x1, y1)， P2(x2, y2)， 如何求P1P2的距离| P1P2 |呢? (1) x1≠x2, y1=y2
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 (3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2
?
探究新知
• 如图，在直角坐标系中，已知点C （3,4）,点D(3,0)，点E（0,4）。 求:C、D间的距离|CD|, C、E间的距离|CE|, 原点O与C的距离|OC|.
|CD|=|3-0|=3
E（0,4） C（3,4）
2 2
例题
1、已知点A(7,-4) ，B(-5,6), 求线段AB的垂直平分线 的方程。
例题
2 证明：平行四边形四条 边的平方和等于两条对角 线的平方和.
y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B (a,0)
x
y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B (a,0)
x
• 在上题中，是否还有其他建系方
c
a b c
2
2
新知
已知平面上任意两点A(x1, y1)， B(x2, y2)，AB的 距离记为| AB |，那么两点间的距离公式为
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
2 2
特别地 , 原 点O与 任 一 点 P ( x , y )的 距 离: | OP | x y
o
D(3,0)
|CE|=|4-0|=4 2 2 3 4 5 在Rt△CDO中，用勾股定理解得：|OC|=
下图中，点A、C间的距离是
8
点BБайду номын сангаасC间的距离是
6
点A、B间的距离是 10
探究新知
• 在一个直角三角形中，如果知道任 意两边的长度，我们可以利用勾股 定理很容易求出另一条边的长度。
a b 2
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 )
学会用两点间的距离公式求直角坐标系中两点间的距离， 并要掌握它的一些应用． 能根据图形特点，适当建立直角坐标系，用坐标表示有关的量， 进行代数运算，然后翻译成几何关系。
课后作业
• （1）复习本节课的内容并预习下节课的内容； • （2）必做：110页 A组 6、8题； • （3）选做：110页 B组 6题；
坐标法
1 适当建立直角坐标系 2用坐标表示有关的量 3 进行代数运算
法呢?怎样建系可以使坐标更简单，
计算更简单?
• 对于一些几何问题，我们可以通 过建立直角坐标系，借助代数方 法更容易地解答。
4翻译成几何关系
y
D (b,c) C(a+b,c)
o A(0,0)
B (a,0)
x
课堂小结
平面直角坐标系中，A（x1,y1),B(x2,y2)两点间的 距离公式 2 2