离散数学第一单元练习题
第一单元练习题
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，b ，{ a ，b }}，则（ ） A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．A ∈B ，但A ⊄B C ．A ⊂B ，但A ∉B D ．A ⊄B ，且A ∉B 2. 若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A ．100 B ．10 C ．1024 D ．1 3. 设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)= 2x ，则f 是（ ） A ．满射函数
B ．单射函数
C ．双射函数
D ．非单射非满射
4. 设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ．32 ； B ．23； C ． 3
32
⨯； D ． 2
23
⨯
5.设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．
A ．{2}∈
B B ．{2, {2}, 3, 4}⊂B
C ．{2}⊂B
D ．{2, {2}}⊂B 6. 集合}}}{,{},{,{ΦΦΦΦ=B 的幂集为（ ）。
A 、}},},{{},{{ΦΦΦΦ；
B 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}}},{,{{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；
C 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}},{,{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；
D 、},}}},{,{},{{}}},{{,{}},{,}{{{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ，
二、填空题（每小题4分，共20分）
7．设有集合A={a,b,c,d,e},B={d,e,f,g,h},则A/B=______________ ，
A △B=________________.
8.设集合A B
12312，则A B= ，
==
{,,},{,}
A B= ，A-B= ，P(A)-P(
B )= ．
9.设集合A ={ 1, 2 }，B={ a, b }，那么集合A到B的双射函数是
．
10. A，B，C表示三个集合，文氏图中阴影部分的集合表达式
为。
11. 设集合A ={0, 1, 2}，B ={0, 2, 4},R是A到B的二元关系，
∈
R⋂
y
x
∈
∈
=且
<
>
且
y
{B
,
x
}
A
,
y
A
B
x
M＝
则R的关系矩阵
R
．
三、证明题（每小题8分，共16分）
12.证明：A (B-A)=A B
13. 设A，B是任意集合，试证明：若A A B B
⨯=⨯，则A=B．
四、计算题（14、15题各5分，16、17、18、19题各8分，20题10分）
14.已知A={ 1,3,5,7 }，写出集合A上大于关系的关系矩阵。
15.求从1到500之间能被2、3、7任何一个数整除的整数的个数。
P上的包含关系
16.已知A={ a，b，c }，求
()A
17.设A={ 0，1 }，B={ 1, 2 }，试确定下面的集合： (1）A ⨯{ 1 }⨯B ； （2）2A ⨯B ； (3)2(B A)⨯； (4)(A ⨯B) (B A)⨯.
18.设集合A={ a ，b ，c ，d }，A 上的关系1R ={(a ，a)，(a ，c)， (b ，d)}，2R ={（a ，d ）（c ，b ）（d ，c ）}，求12R R ∙，21R R ∙，
1
1
R R ∙，2
2
R R
∙，112()R R R ∙∙，121()R R R ∙∙。
第一章测试题答案
离散数学第一章测验一、下列那些是命题?是命题的指出其真值。
1.√5是无理数。
2.3是素数或4是素数。
3.2x+3<5。
4.你去图书馆吗?5.刘红与魏新是同学。
6.吸烟请到吸烟室去!7.2015年元旦下大雪。
8.只有6是偶数，3才能是2的倍数。
9.8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。
10.圆的面积等于半径的平方乘以π。
二、将下列命题符号化。
1.只要你学习了，你考试就能及格。
P : 你学习Q : 你考试及格2.只有天下雨了，我才不去上街。
P : 天下雨Q : 我不去上街3.实函数f(x)可微当且仅当f(x)连续。
P : 实函数f(x)可微Q : f(x)连续4.除非你努力，否则你就会失败。
P : 你努力Q : 你失败5.若不是他生病或出差了，我是不会同意他不参加学习的。
P : 他生病Q : 他出差R : 我同意他不参加学习三、下列那些是重言式，哪些是矛盾是，哪些是偶然式，哪些是可满足式。
1.P∨(¬P∧Q)2.¬(P∨Q)↔(¬P∧¬Q)3.¬P∨Q→Q4.(P∧¬(Q→P))∧(Q∧R)5.(P∧Q↔P)↔(P↔Q)6.(P∧(P→Q))→Q7.¬(P→Q)∧Q8.P∧(Q∨¬R)四、不用真值表证明下列等价式并写出对偶式。
1.(P∧Q)∨¬(¬P∨Q)⇔P2.(P→Q)∧(Q→P)⇔(P∧Q)∨(¬P∧¬Q)3.P→(Q→R)⇔Q→(P→R)五、不用真值表证明下列蕴含式。
1.P→Q⇒P→(P∧Q)2.((P∨¬P)→Q)→((P∨¬P)→R)⇒Q→R3.(Q→(P∧¬P))→(R→(P∧¬P))⇒R→Q六、求下列式子的主析取范式和主合取范式。
1.(P∨Q)∧R2.P→(P∨Q∨R)3.¬(Q→¬P)∧¬P七、某单位要从张、王、马三名同志中选派一部分人外出培训，但是由于部门工作需要，必须满足以下条件：(1) 若张去，马也去。
离散数学第1,2章习题答案
第一章习题1．下列哪些语句是命题？(1) 黄山是在安徽省。
(2) 你会做这道题目吗？(3) 月球比地球大。
(4) 请关上窗户！(5) 如果1+2=5，我就去游泳。
(6) 只有6是偶数，3才能被2整除。
解：(1)，(3) ，(5) ，(6) 是命题，(2)，(4)分别是疑问句和命令句，它们不是命题。
2．给出下面命题的否定命题。
(1) 上海是一座城市。
解：该句的否定命题为：上海不是一座城市。
(2) 1+2=5并且2×3=6。
解：该句的否定命题为：1+2≠5或2×3≠6。
(3) 2是素数或3是偶数。
解：该句的否定命题为：2不是素数并且3不是偶数。
3．将下列命题符号化。
(1) 灯泡有故障或开关有故障。
解：P表示：灯泡有故障，Q表示：开关有故障，命题符号化为：P∨Q(2) 今天下大雨和3+3=6。
解：P表示：今天下大雨，Q表示：3+3=6，命题符号化为：P∧Q(3) 虽然天气炎热，老师坚持给我们上课。
解：P表示：天气炎热，Q表示：老师坚持给我们上课，命题符号化为：P∧Q(4) 他一边走路，一边看书。
解：P表示：他走路，Q表示：他看书，命题符号化为：P∧Q(5) 如果天下大雨，他就乘公共汽车上班。
解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：P→Q(6) 只有天下大雨，他才乘公共汽车上班。
解：P表示：天下大雨，Q表示：他乘公共汽车上班，命题符号化为：Q→P(7) 2＋2＝4当且仅当雪是白色的。
解：P表示：2＋2＝4，Q表示：雪是白色的，命题符号化为：P↔Q4．判断下列各蕴涵式是真是假。
(1) 若一周有八天，则3+2=5。
解：P表示：一周有八天，Q表示：3+2=5，命题符号化为：P→Q由于P为假，Q为真，P→Q为真，故该命题为真命题。
(2) 若一周有七天，则3+2≠5。
解：P表示：一周有七天，Q表示：3+2≠5，命题符号化为：P→Q由于P为真，Q为假，P→Q为假，故该命题为假命题。
(完整版)《离散数学》同步练习答案
华南理工大学网络教育学院《离散数学》练习题参考答案第一章命题逻辑一填空题（1)设：p：派小王去开会。
q：派小李去开会.则命题：“派小王或小李中的一人去开会" 可符号化为：（p q) (p q）。
（2）设A,B都是命题公式，A B，则A B的真值是T。
（3）设:p：刘平聪明。
q：刘平用功。
在命题逻辑中，命题：“刘平不但不聪明，而且不用功”可符号化为：p q .（4）设A , B 代表任意的命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（5）设，p：径一事;q：长一智。
在命题逻辑中,命题:“不径一事，不长一智。
" 可符号化为： p q 。
（6）设A , B 代表任意的命题公式，则德摩根律为（A B）Û A B）。
（7）设，p：选小王当班长;q：选小李当班长.则命题：“选小王或小李中的一人当班长。
”可符号化为: （p q）（p q） .（8）设，P：他聪明；Q：他用功。
在命题逻辑中，命题:“他既聪明又用功。
" 可符号化为：P Q .（9）对于命题公式A,B,当且仅当 A B 是重言式时，称“A蕴含B”，并记为A B。
（10)设:P：我们划船.Q:我们跑步.在命题逻辑中，命题:“我们不能既划船又跑步.”可符号化为：（P Q) 。
（11）设P，Q是命题公式,德·摩根律为：（P Q）P Q) 。
（12）设P:你努力.Q：你失败。
在命题逻辑中，命题：“除非你努力，否则你将失败。
”可符号化为：P Q .（13）设p：小王是100米赛跑冠军。
q:小王是400米赛跑冠军。
在命题逻辑中，命题：“小王是100米或400米赛跑冠军.”可符号化为：p q。
（14）设A，C为两个命题公式，当且仅当A C为一重言式时,称C可由A逻辑地推出。
二．判断题1.设A，B是命题公式，则蕴涵等值式为A B A B。
（）2.命题公式p q r是析取范式。
( √ )3.陈述句“x + y > 5”是命题。
离散数学-习题集
离散数学-习题集《离散数学》习题集第⼀部分判断题⼀、第⼀章—集合1、（）已知集合A的元素个数为10，则集合A的幂集的基=102。
2、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
2、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
3、( ) 已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B={Ф}。
4、（）已知两个集合A={Ф，{Ф}}，B={Ф}，则A∩B=Ф。
5、（）已知两个集合A、B，若A中的元素都是B中的元素，则记为A∈B。
6、（）已知集合A的元素个数为n，则集合A的幂集P（A）的元素个数为n2。
7、（）已知集合A的元素个数为n，则A×A的幂集的元素个数为n2。
8、（）已知两个集合A、B，则A-B是由属于B但不属于A的元素构成的集合。
⼆、第⼆章—⼆元关系1、（）若R是A上的⼆元关系，I A是A上的恒等关系，则当且仅当I A∈R时，R是A上的⾃反关系。
2、（√）若R是集合A上的⼆元关系，且当（a，b）∈R且（a，c）∈R时，就有（b，c）∈R，则R是A 上的可传递关系。
3、（）设A是集合，A1、A2、．．．A n都是A的⾮空⼦集，令S={A1，A2，．．．,A n}，则如果S是集合A的⼀个划分，那么S⼀定是集合A的⼀个完全覆盖；反之亦然。
5、（）R是⾮空集合A上的等价⼆元关系，则A关于R的商集A/R是集合A的⼀个划分，但不是A的⼀个完全覆盖。
6、（）已知集合A有4元素，易知集合A共有24个互不相同的⼦集合，所以在集合A上⼀共可定义24个互不相同的⼆元关系。
7、（）若R1和R2都是集合A上的可传递⼆元关系，则R1∪R2也是A上的传递关系。
8、（）设R是有限的⾮空集合A上的偏序关系，则A必有极⼤（⼩）元和最⼤（⼩）元。
9、（）若R1和R2都是集合A上的相容关系，则R1∩R2也是A上的相容关系。
10、（）若R1和R2都是集合A的可传递⼆元关系，则R1∩R2也是A上的传递关系。
离散数学第一章命题逻辑习题答案
习题一 5.证明下列各等价式
(4)(P Q) (Q R) (R P) (P Q) (Q R) (R P) 证明 : (P Q) (Q R) (R P) (Q (P R) ) (R P) (分配律) (Q (R P) ) (P R (R P) ) (Q R) (P Q) (R P) (分配律、吸 收律、交换律)
P1 P4 ~ P1
~P4
~P4 ~P3
~P3
P2
P2 P3 P2 J
J
习题一 23(3) 利用消解法证明蕴含式：
P (Q R), Q (R S) P (Q S) 证明: 首先把结论否定加入前提得公式集: P (Q R), Q (R S), ~(P (Q S)) 构造子句集:{~P ~Q R, ~Q ~R S, P, Q, ~S} 消解过程如下: (1) P 引入子句 (2) ~P ~Q R 引入子句 (3) ~Q R 由(1)(2)消解 (4) Q 引入子句 (5) R 由(3)(4)消解 (6) ~Q ~R S 引入子句 (7) ~Q S 由(5)(6)消解 (8) ~S 引入子句 (9) ~Q 由(7)(8)消解 (10) 由(9)(4)消解
P (R (Q P)) 1 1 1 1 0 1
1 1 0
0
0
1
1 1 1 1 解法一 (真值表法) 由对应于公式取值为0的全部解释得主合取范式： (~P Q R) (~P ~ Q R) 由对应于公式取值为1的全部解释得主析取范式：
(~P ~ Q ~ R) (~P ~ Q R) (~P Q ~ R) (~P Q R) (P ~ Q R) (P Q R)
离散数学第1章习题答案
#include<stdio.h>#include<stdlib.h>#include<malloc.h>#define MAX_STACK_SIZE 100typedef int ElemType;typedef struct{ElemType data[MAX_STACK_SIZE];int top;} Stack;void InitStack(Stack *S){S->top=-1;}int Push(Stack *S,ElemType x){if(S->top==MAX_STACK_SIZE-1){printf("\n Stack is full!");return 0;}S->top++;S->data[S->top]=x;return 1;}int Empty(Stack *S){return (S->top==-1);}int Pop(Stack *S,ElemType *x){if(Empty(S)){printf("\n Stack is free!");return 0;}*x=S->data[S->top];S->top--;return 1;}void conversion(int N){int e;Stack *S=(Stack*)malloc(sizeof(Stack));InitStack(S); while(N){Push(S,N%2);N=N/2;}while(!Empty(S)){Pop(S,&e);printf("%d ",e);}}void main(){ int n;printf("请输入待转换的值n：\n");scanf ("%d",&n);conversion(n);}习题1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？(1)离散数学是计算机专业的一门必修课。
离散数学第1-4章习题答案new
离散数学习题解答第一章命题逻辑习题1.1（P2）1 、a. 是命题b. 是命题c.是命题d .是命题e .是命题f .不是命题疑问句2 、a. A: 我是大学生。
b. B: 你是我的玫瑰花。
c. P: 明天是个艳阳天。
d. Q: 3+2>8。
e.R: 我喜欢离散数学这门课。
f.不是命题。
3、解：三个真命题如：8是偶数;2+8>5；太阳从东边升起；三个假命题如：3+2>8；雪是黑色的；太阳从西边升起；三个非命题如：请勿抽烟！; 春天多美好; 我正在说慌；习题 1.2（P5）1、 a. 复合命题设P :李子是酸的。
Q:李子是甜的。
则命题可表示为P∧Q。
b 简单命题设P: 张一和陈一是好朋友。
2、设P: 天下雨。
Q: 我不去游泳。
R: 我有时间。
a. P→Q。
b. P∧⌝R。
c.⌝Q↔R。
3、 a. 设P: 6是偶数。
Q: 8是奇数。
否定命题表示为:⌝P∨⌝Q。
b. 设P:北京的春天会刮沙尘暴。
否定命题表示为:⌝P 。
4、 a. 设P:王燕学过英语。
Q:王燕学过法语。
命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q） QP⊕。
b. 设P:王成在教室看书。
Q:王成在图书馆看书。
命题表示为: （⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。
5、（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）。
习题 1.3（P9）1、 a. 不是命题公式。
b．是命题公式。
c. 不是命题公式。
d. 是命题公式。
2、 a.b.c.3、 a.由表可知命题公式P∨P的真值均为真，所以此公式为重言式。
b.由表可知命题公式P∧c.由表可知命题公式P→（P∨Q）的真值均为真，所以此公式为重言式。
d.由表可知命题公式P→P）的真值均为真，所以此公式为重言式。
e.4 、5、从上述真值表可看出合取和析取是可结合的，条件和双条件不是可结合的。
习题1.4 （P13）⌝(⌝P）⇔P→P1、 a. P→⇔⌝P∨P⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。
b.⌝（P∧Q）↔（⌝P∨⌝Q）⇔（⌝（P∧Q）→（⌝P∨⌝Q））∧（（⌝P∨⌝Q）→⌝（P∧Q））⇔（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））∧（（P∧Q）∨⌝（P∧Q））⇔1∧1⇔1 因为公式与1等价，所以此公式是重言式。
离散数学第一单元练习题
第一单元练习题一、单项选择题（每小题2分，共12分）1．若集合A ={a ，b }，B ={ a ，b ，{ a ，b }}，则（ ） A ．A ⊂B ，且A ∈B B ．A ∈B ，但A ⊄B C ．A ⊂B ，但A ∉B D ．A ⊄B ，且A ∉B 2. 若集合A 的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（ ） A ．100 B ．10 C ．1024 D ．1 3. 设R 为实数集，函数f ：R →R ，f(x)= 2x ，则f 是（ ） A ．满射函数B ．单射函数C ．双射函数D ．非单射非满射4. 设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A ．32 ； B ．23； C ． 332⨯； D ． 223⨯5.设B = { {2}, 3, 4, 2}，那么下列命题中错误的是（ ）．A ．{2}∈B B ．{2, {2}, 3, 4}⊂BC ．{2}⊂BD ．{2, {2}}⊂B 6. 集合}}}{,{},{,{ΦΦΦΦ=B 的幂集为（ ）。
A 、}},},{{},{{ΦΦΦΦ；B 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}}},{,{{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；C 、}}}},{,{},{{}}},{,{,{}},{,{}},{,{}},{{},{,{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ；D 、},}}},{,{},{{}}},{{,{}},{,}{{{B ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ，二、填空题（每小题4分，共20分）7．设有集合A={a,b,c,d,e},B={d,e,f,g,h},则A/B=______________ ，A △B=________________.8.设集合A B12312，则A B= ，=={,,},{,}A B= ，A-B= ，P(A)-P(B )= ．9.设集合A ={ 1, 2 }，B={ a, b }，那么集合A到B的双射函数是．10. A，B，C表示三个集合，文氏图中阴影部分的集合表达式为。
离散数学第一部分测试题-有答案 (1)
离散数学第一部分测试题 一、 填空题1．当p,q,r 分别取1，0，1时，(p→q) (p→r)的真值为 假，或02．设P ：他富有，Q ：他幸福，“他既不富有也不幸福” 的符号化为 ┐ P ∧┐ Q3．“所有的人都长着黑头发”用谓词表达式符号化为 M(x):x 为人，F(x): x 长着黑头发， x(M(x)→F(x))4．如果6大于4，则4大于5用谓词表达式符号化为 G(x,y): x ﹥y ,G(6,4) →G(4,5)二、 选择题1.2x+3<4（ C ）A.是命题也是复合命题B.是命题但不是复合命题C.不是命题D.以上都不对2. 下列语句是命题的有（ D ）A. 什么时候开会呀？B. 请快开门！C. x+y>10。
D. 苹果树和梨树都是落叶乔木。
3.设p 表示命题“天下大雨”，q 表示命题“他乘公共汽车上班”，r 表示命题“他骑自行车上班”。
则命题“如果天不下大雨，他乘公共汽车上班或者骑自行车上班。
”符号化为（ B ）A ．(⌝p ∧q) →rB ．⌝p →(q ∨r )C ．⌝p ∧(q →r )D ．p →(q ∧r )三、 计算题1．求(p ∨q) →r 的主析取范式解 本公式含有三个命题变项，所以极小项均含有三个文字。
75310)()()()()()()()()()()())()(()()()()()(m m m m m r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q p r q q p p r r q p rq p rq p rq p ∨∨∨∨⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔∧∧∨∧⌝∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔∧∨⌝∧∨⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔∨⌝∧⌝⇔∨∨⌝⇔→∨2．求公式的主合取范式：()()R Q Q P ∧→∨证明：()()()()P Q Q R P Q Q R ∨→∧⇔⌝∨∨∧()()P Q Q R ⇔⌝∧⌝∨∧()()()()()P Q Q P P Q R ⇔⌝∧⌝∨∧⌝∨∧∧()()()()()()R Q P P R R Q P ∧∧∨⌝∨∨⌝∧⌝∧⌝⇔()()()()R Q P R Q P R Q P R Q P ∧∧∨∧∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔四、 证明题1.用等演算法证明下面等值式。
离散数学第1章答案
离散数学第1章答案习题1.11、（1）否（2）否（3）是，真值为0（4）否（5）是，真值为12、（1）P：天下⾬ Q：我去教室┐P → Q（2）P：你去教室 Q：我去图书馆 P → Q（3）P，Q同（2） Q → P（4）P：2是质数 Q：2是偶数 P∧Q3、（1）0（2）0（3）14、（1）如果明天是晴天，那么我去教室或图书馆。
（2）如果我去教室，那么明天不是晴天，我也不去图书馆。
（3）明天是晴天，并且我不去教室，当且仅当我去图书馆。
习题1.21、（1）是（2）是（3）否（4）是（5）是（6）否2、（1）(P → Q) →R，P → Q，R，P，Q（2）(┐P∨Q) ∨（R∧P），┐P ∨ Q，R∧P，┐P，Q，R，P（3）((P → Q) ∧ (Q → P)) ∨┐(P → Q))，(P → Q) ∧(Q → P)，┐(P → Q)，P → Q，(Q → P)，P → Q，P，Q，Q，P，P，Q 3、（1）((P → Q) → (Q → P)) → (P → Q)（2）((P → Q) ∨ ((P → Q) → R))→ ((P → Q) ∧ ((P → Q) → R)) （3）(Q → P∧┐P) → (P∧┐P → Q)4、(P → Q) ∨ ((P∧Q) ∨ (┐P∧┐Q)) ∧ (┐P∨Q)习题1.31、（1）I(P∨(Q∧R)) = I(P)∨(I(Q)∧I(R)) = 1∨(1∧0) = 1（2）I((P∧Q∧R)∨(┐(P∨Q)∧┐(R∨S))) = (1∧1∧0)∨(┐(1∨1)∧┐(0∨1)) = 0∨(0∧0) = 0（3）I((P←→R)∧(┐Q→S)) = (1←→0)∧(┐1→1) = 0∧1 = 0（4）I((P∨(Q→R∧┐P))←→(Q∨┐S)) = (1∨(1→(0∧┐1)))←→(1∨┐1) = 1←→1 = 1（5）I(┐(P∧Q)∨┐R∨((Q←→┐P)→R∨┐S)) = ┐(1∧1)∨┐0∨((1←→┐1)→(0∨┐1)) = 0∨1∨1 = 13、（1）原式 <=> F→Q <=> T 原式为永真式（2）原式 <=> ┐T∨(┐(┐P∨Q)∨(┐┐Q∨┐P)) <=> (P∧┐Q)∨(Q∨┐P)<=> (P∧┐Q)∨┐(P∧┐Q) <=> T 原式为永真式（3）原式 <=> ┐(P∧Q) ←→┐(P∧Q) <=> T 原式为永真式（4）原式 <=> P∧(Q∨R) ←→ P∧(Q∨R) <=> T 原式为永真式（5）原式 <=> ┐(P∨┐Q)∨Q <=> (┐P∧Q)∨Q <=> Q 原式为可满⾜式（6）原式 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> T 原式为永真式（7）原式 <=> (┐P∨P∨Q)∧┐P <=> (T∨Q)∧┐P<=> T∧┐P <=> ┐P 原式为可满⾜式（8）原式 <=> ┐((P∨Q) ∧(┐Q∨R))∨(┐P∨R) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐R)∨(┐P∨R)<=> ((P∧┐Q)∨┐P)∨((Q∧┐R)∨R)<=>(( P∨┐P)∧(┐Q∨┐P))∨(( Q∨R)∧(┐R∨R))<=> (┐Q∧┐P)∨( Q∨R) <=> T 原式为永真式4、（1）左 <=> ┐P∨┐Q∨P <=> ┐┐P∨(┐P∨┐Q) <=> 右（2）左 <=> ┐(┐P∨Q) <=> 右（3）左 <=> ┐(P∧Q)∨P <=> ┐P∨┐Q∨P <=> T∨┐Q <=> 右（4）左 <=> ┐(P→Q)∨┐(Q→P) <=> (P∧┐Q)∨(Q∧┐P) <=> 中<=> ((P∧┐Q)∨Q)∧((P∧┐Q)∨┐P)<=> (P∨Q)∧(┐Q∨Q)∧(P∨┐P)∧(┐Q∨┐P)<=> (P∨Q)∧┐(P∧Q) <=> 右(5)左?(?P∨Q)∧(?R∨Q)??(P∨Q)∨Q?右5.(1)左?Q??P∨Q?右(2)(P→(Q→R))→((P→Q)→(P→R))(?P∨?Q∨R)∨?(?P∨Q) ∨(?P∨R)(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q)∨?P∨R(P∧Q∧?R)∨((P∨?P)∧(?Q∨?P))∨R(P∧Q∧?R)∨(?Q∨?P∨R)(P∧Q∧?R) ∨?(P∧Q∧?R)T故P→(Q→R)?(P→Q)→(P→R)(3).(P→Q)→(P→P∧Q)(?P∨Q)∨?P∨(P∧Q)(?P∨Q)∨(?P∨P)∧(?P∨Q)(?P∨Q)∨(?P∨Q)T故P→Q?P→P∧Q(4).((P→Q) →Q) →P∨Q(?(?P∨Q) ∨Q) ∨P∨Q((P∨Q)∧?Q)∨P∨Q(P∧?Q)∨(Q∧?Q) ∨P∨Q(P∨Q)∨(P∨Q)T故(P→Q) →Q?P∨Q(5).((P∨?P)→Q)∧((P∨?P)→R)→(Q→R)((?T∨Q)∧(?T∨R)) ∨?Q∨R(Q∧R)∨?Q∨RQ∨?R∨?Q∨RQ∨TT故((P∨?P) →Q)∧((P∨?P)→R)?Q→R(6)左?(Q→F)∧(R→F)(Q∨F)∧(?R∨F)Q∧?RRR∨Q?右6.(1)原式?(?P∧?Q∧R)(2)原式??P∨?Q∨P??(P∧Q∧?P)(3)原式?P∨(Q∨?R∨P)?P∨Q∨?R??(?P∧?Q∧R)7.(1)原式??(?P∨?Q∨P)(2)原式?(?P∨Q∨?R) ∧?P∧Q??(?(?P∨Q∨?R)∨P∨?Q)(3)原式??P∧?Q∧ (R∨P) ??(P∨Q∨?(R∨P))8. (1) (P∨Q)∧((?P∧ (?P∧Q))∨R)∧?P(2)(P∨Q∨R)∧(?P∧R)(3)(P∨F)∧(Q∨T)习题1.41.(1)原式??(?P∨?Q)∨((?P∨?Q)∧(Q∨P))(?P∨?Q)∨(Q∨P)(P∧Q) ∨Q∨PQ∨P,既是析取范式⼜是合取范式(2)原式?((?P∨Q)∨(?P∨?Q))∧(?(?P∨Q) ∨?(?P∨?Q)) ?(P∧Q)∨(P∧?Q) 析取范式P∧(Q∨?Q)合取范式(3)原式??P∨Q∨?S∨ (?P∧Q)析取范式(P∨(?P∧Q))∨Q∨?SP∨Q∨?S合取范式(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R既是析取范式⼜是合取范式2.(1)原式?P∨?Q∨R为真的解释是：000，001，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为:(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?∧QR)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(2)原式?(P∧?Q) ∨R(P∧?Q∧(R∨?R))∨((P∨?P)∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q)∨( ?P∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧(Q∨?Q)∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧R) ?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(? P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)为真的解释是101，100，111，011，001(3)原式?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))((P∨ (Q∧R)) ∧P)∨(( ?P∨ (Q∧R))∧( ?Q∧?R))(P∧P)∨(Q∧P∧R)∨( ?P∧?Q∧?R)∨(Q∧R∧?Q∧?R)(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)为真的解释是：000,111(4)原式?P∨P∨Q∨Q∨R?P∨Q∨R为真的解释是：001，010，011，100，101，110，111故原式的主析取范式为：(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)3.(1)原式??P∨Q∨?P∨?Q?T主合取范式，⽆为假的解释。