不等式的性质
不等式的性质
学习目标
1、理解不等式的性质，掌握不等式的解法。
2、渗透数形结合的思想
3．能熟练的应用不等式的基本性质实行不等式的变形。
学习重点与难点
重点：不等式的性质和解法.
难点：不等号方向的确定.
学习过程
一、课前预习部分
用圈、点、勾、划、记的方法有效预习P123—127，完成下列问题：
1、（1) 5>3 , 5+2 3+2, 5-2 3-2
（2) -1<3, -1+2 3+2, -1-3 3-3
（3) 6>2, 6×5 2×5, 6×(-5) 2×(-5)
（4) -2<3, (-2)×6 3×6, (-2)×(-6) 3×(-6)
（5）－4 ＞－6 （－4）÷2 （－6）÷2，（－4）×（－2）（－6）×（－2）
2、从以上练习中，你发现了什么规律？
（1）当不等式的两边同时加上或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向__________。
（2）当不等式的两边同时乘上或除以同一个正数时，不等号的方向
______________。
（3）当不等式的两边同时乘上或除以同一个负数时，不等号的方向
______________。
（4）当不等式的两边同时乘上0时，不等式__________________。
请你再用几个例子试一试，还有类似的结论吗？请把你的发现告诉同学们并与他们交流：
你能总结出不等式的性质了吗？
不等式性质1：。
用数学式子表示为：。
不等式性质2：。
用数学式子表示
为：。
不等式性质3：。
（5）∵－a < 0 ∴3a < 0
四、小结与反思：
本节课我学会
了：
；
我的困惑
是：
.。
不等式的基本性质
不等式的基本性质不等式是数学中常见的一种数值关系表示方法，它可以描述数字之间的大小关系。
与等式不同，不等式中的符号可以表示大于、小于、大于等于或小于等于的关系。
本文将介绍不等式的基本性质，包括不等式的性质、解不等式的方法以及一些常见不等式的应用。
一、1. 传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
这意味着如果不等式的两个数之间有大小关系，那么这种关系可以传递给第三个数。
2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c。
这表示在不等式两边同时加上相同的数，不等式的方向不改变。
3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c。
这表示在不等式两边同时减去相同的数，不等式的方向不改变。
4. 乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
对于两个正数的乘法和两个负数的乘法，不等式的方向不改变。
5. 除法性：如果a>b且c>0，那么a/c>b/c。
对于两个正数的除法和两个负数的除法，不等式的方向不改变。
这些基本性质在解不等式及推导数学证明中有重要的应用，帮助我们简化运算和判断。
二、解不等式的方法要解决不等式，我们需要找出满足不等式条件的数值范围。
以下是常见的解不等式的方法：1. 加减法解不等式：通过加减法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。
2. 乘除法解不等式：通过乘除法改变不等式两边的值，将未知数分离出来，并确定不等式方向。
需要注意的是，若乘除以负数，则需要反转不等式的方向。
3. 绝对值不等式的解法：当不等式中含有绝对值时，需要分情况讨论。
通常，将绝对值分为正数和负数两种情况，分别解出不等式。
4. 求解复合不等式：当不等式中存在多个不等关系时，需要将其分解为多个简单的不等式，并找出它们的交集或并集。
解不等式的过程中，保持不等式的严格性是很重要的。
当遇到平方、开方等操作时，需注意方程根与不等式的关系。
三、常见不等式的应用1. 一次不等式：一次不等式是指变量的指数为1的不等式，如ax+b>0。
不等式的性质
不等式的性质不等式是数学中一种重要的关系表达方式。
它描述了数值大小之间的关系，常用于解决优化问题、证明数学定理等。
在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的性质，这有助于我们更好地理解和应用不等式。
1. 不等式的传递性不等式的传递性是指，如果一个不等式A > B成立并且B > C成立，那么A > C 也一定成立。
同样地，如果A < B成立并且B < C成立，那么A < C也一定成立。
传递性在解决不等式问题时起到了重要的作用。
通过利用不等式的传递性，我们可以将一个复杂的不等式问题转化为一系列简单的不等式问题，从而更容易求解。
2. 不等式的加法性和减法性不等式的加法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A + C > B + C也一定成立。
类似地，不等式的减法性是指，如果一个不等式A > B成立，那么A - C > B - C也一定成立。
加法性和减法性使得我们可以在不等式两边加上或减去相同的数，从而得到等效的不等式，方便我们进行问题的变形和求解。
3. 不等式的乘法性和除法性不等式的乘法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A * C >B * C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A * C < B * C也一定成立。
乘法性使得我们可以在不等式两边乘以正数或负数，从而改变不等式的方向。
需要注意的是，当乘以负数时，不等式的方向会颠倒。
除法性是乘法性的逆运算。
不等式的除法性是指，如果一个不等式A > B成立，并且C > 0，那么A / C > B / C也一定成立。
类似地，如果A > B成立，并且C < 0，那么A / C < B / C也一定成立。
乘法性和除法性在求解不等式时起到了重要的作用。
它允许我们在不改变不等式的基本性质的情况下，对不等式进行一些操作，从而得到更简单的形式。
不等式的性质
【解】 (1)∵a>b，c>0.∴ac>bc， ∴－ac<－bc.∵f<e，∴f－ac<e－bc. (2)∵bc－ad≥0，∴ad≤bc，bd>0. ∴ab≤dc， ∴ab＋1≤dc＋1. ∴a＋b b≤c＋d d.
变式练习 3 已知 a>b>0，c<d<0，e<0.求证：a－e c>b－e d.
证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0. ∵a>b>0，∴a－c>b－d>0. ∴0<a－1 c<b－1 d. 又∵e<0，∴a－e c>b－e d.
要点三 利用不等式性质求范围 利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一 类常见的问题，对于这类问题要注意：同向(异向)不等式的 两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题 过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围，所 以我们在解题时务必小心谨慎．
整体法：
先建立待求范围的整体与范围的整体的等量关系，最后利 用一次不等式的性质进展运算，求得待求的范围，这是防止犯错 误的一条有效途径．
例 4 已知 12<a<60,15<b<36，则 a－b 的取值范 围为________，ba的取值范围为________．
【解析】 ∵15<b<36⇒ －36<－b<－15⇒－24<a
1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得32≤a≤3，又－2≤b－a≤1. ③
不等式的基本性质
4
3
2
= 2x (x -1)+(1- x)(1+ x) 3 =(x -1)(2x - x -1) 2 = (x 1)(x 1)(2x 2x 1) 1 1 = (x -1) 2(x + 2) + 2 > 0
2 2
3
∴A>B
1、不等式的基本性质： ①对称性： a b b a
考点突破 利用不等式性质判断命题真假 运用不等式的性质判断时，要注意不等式成立的 条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意 捏造性质．解有关不等式的简单判断和选择题时，
也可采用特殊值法进行排除，注意取值一定要遵
循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简
单，便于验证计算．
对于实数 a，b，c，下列命题中的真命题 是( ) A．若 a＞b，则 ac2＞bc2 1 1 B．若 a＞b＞0，则a＞b b a C．若 a＜b＜0，则 ＞ a b 1 1 D．若 a＞b，a＞b，则 a＞0，b＜0
本专题知识结构
第一讲 不等式和绝对值不等式
不 等 式 选 讲
第二讲 证明不等式的基本方法 第三讲 柯西不等式与排序不等式 第四讲 数学归纳法证明不等式
第一讲
不等式和绝对值不等式
1.不等式的基本性质
知识回顾
A B a b b>a B b
a>b
A a
a>b a-b>0
解：
2
2
2 2 2
4 2 4
4
,
4
不等式的性质及应用
反证法
定义：反证法是一种通过假设相反的结论成立，然后推导出 矛盾的结论，从而证明原结论正确的方法。
步骤
1. 假设相反的结论成立。
2. 推导出矛盾的结论。
3. 得出原结论正确的结论。
例子：例如，要证明一个数不能被3整除，可以先假设它可 以被3整除，然后推导出一些矛盾的结论，从而证明原结论 正确。
放缩法
不等式的性质及应用
2023-11-09
contents
目录
• 不等式的基本性质 • 不等式的证明方法 • 不等式的应用 • 不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式的实际应用
01
不等式的基本性质
传递性
总结词
不等式的传递性是指如果a>b且c>d，那么ac>bd。
详细描述
不等式的传递性是基于实数的有序性质，即如果a>b且c>d ，那么ac>bd。但需要注意的是，不等式的传递性不适用于 所有的数学对象，例如在复数域上就不一定成立。
详细描述
不等式的乘法单调性是指当两个数a和b满足a>b且c>0时，那么a与c的乘积大于 b与c的乘积。这个性质在解决一些实际问题时非常有用，例如在经济学中的收益 问题。
正值不等式与严格不等式
总结词
正值不等式是指a>b时，称a>b；严格不等式是指a>b且a≠b时，称a>b。
详细描述
正值不等式是指当a大于b时，我们称a大于b；严格不等式是指当a大于b且a不等于b时，我们称a大于b。在数学 中，我们通常使用严格不等式来描述两个数之间的关系，以保证它们之间没有相等的情况。
利用不等式解决其他问题竞赛题
总结词
不等式在数学竞赛中还可以用来解决其他问题，如最 优化问题、数列问题、解析几何问题等。
不等式的基本性质
(a b)( a b ) ( a b )( a b )2 ab ab 2 1 2 1 a 2 b 2 （定号） 0 ( ) ( ) a b b a
三、例题分析：
a b 例4:已知a 0, b 0，比较 ( ) ( ) b a 与 a b 的大小。
变式练习
已知 3≤a＋b≤4,1≤4a－2b≤2，求 4a
＋2b 的取值范围．
解：方法 1：(方程组思想) 1 1 x＝ a＋ b a＝3x＋6y 令 ，则 y＝ 4a－ 2b b＝2x－ 1y 3 6
.
1 1 2 1 8 1 ∴ 4a＋2b＝4( x＋ y)＋ 2( x－ y)＝ x＋ y， 3 6 3 6 3 3 8 32 3≤ x≤ 4 8≤3x≤ 3 又 ⇒ 1≤ y≤ 2 1≤1y≤2 3 3 3 25 8 1 34 ⇒ ≤ x＋ y≤ ， 3 3 3 3
1 2 2 a, b, , 2ab, a b 从小到大的顺序是 2
1 2 2 a 2ab a b b ______________________ 2 1 3 特殊值法: 取 a , b 4 4
三、例题分析：
2 2 2 x 4 y 1 x y 例2:(2)已知 ，比较
方法 2：(待定系数法)设 f(3)＝λf(1)＋μf(2)， ∴9a－c＝λ(a－c)＋μ(4a－c)． 5 λ ＝－ 3 9＝λ＋4μ ∴ ，解得 －1＝－λ－μ μ＝8. 3 5 8 ∴f(3)＝－ f(1)＋ f(2)．下同方法 1，略． 3 3
• 【方法总结】 本题把所求的问题用已 知不等式表示，然后利用同向不等式性 质解决．本题常用待定系数法解决，设 出方程，求出待定系数即可．
不等式的基本性质
a>b>0，c>d>0 如果a>b，c>d,那么ac>bd是否成立？ 如果a>b>0，那么1/a<1/b是否一定成立？ 如果a<b<0，那么1/a>1/b是否一定成立？ 同号倒数改向性 例：若a、bR，请写出不等式a>b和1/a>1/b同时成立的 充要条件。
正数同向相乘法性
例 求证：如果a>b>0，那么a2>b2。 如果a>b>0，那么an>bn。(nN*)
7、已知三个不等式：（1）ab>0；（2）－c/a<－d/b；
（3）bc>ad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论， 则可以组成多少个真命题？ 8、已知命题甲：a>b，命题乙：1/a<1/b， 命题丙：c/a2>c/b2。 （1）若甲是乙的必要非充分条件，求a、b应满足的条件； （2）若a<0，b<0，判断丙是甲的什么条件，并加以证明。 9、（1）设2<a5,3b<10，求a+b、a-b及a/b的取值范围； （2）若二次函数f(x)的图像过原点，且1f(-2) 2, 3f(3)
2、如果a>b，那么a+c>b+c。
3、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc。 4、如果a>b，c>d,那么a＋c>b＋d。 5、如果a>b>0，c>d>0,那么ac>bd。 6、如果a、b同号，那么1/a<1/b。
7、如果a>b>0，那么an>bn (nN*) 。
4、解关于x的不等式：（1）ax+4<2x+a2，其中a>2 （2）m(x+2)>x+m。
不等式的基本性质
不等式的基本性质
基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
注意事项：
(1)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。
简述不等式的4个基本性质
简述不等式的4个基本性质不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。
其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。
本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。
首先，让我们讨论不等式的交换性。
它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。
比如，a>b，b<c，那么有a>c的结果，即a>b，b<c的结果等价于a>c的结果。
交换性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符时，可以通过交换左右两边，得到一个不同的不等式，而其结果也是完全相同的。
其次，让我们讨论不等式的可分解性。
它的定义是：对于一个不等式，可以将其分解成几个不等式的乘积，且其中的乘法操作不会改变其结果。
比如，有一个不等式x>2，那么，可以将其分解成x+1>3和x-3>-1两个不等式的乘积，且两边乘积的结果是不变的。
可分解性的作用是，可以将一个复杂的不等式，分解成若干个相对简单的不等式，有效拆解复杂问题，达到简化分析过程的目的。
第三，让我们讨论不等式的传递性。
它的定义是：如果某一不等式的两边都有相同的运算符，并且有一个中间变量，那么这个不等式的结果可以从左到右或者从右到左传递。
比如，a>b，b>c，那么可以得到a>c的结果。
传递性的作用是，当某一不等式的两边均有相同的运算符，并且有一个中间变量时，可以以中间变量为准，从左到右或者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。
最后，让我们讨论不等式的联合性。
它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。
比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。
联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。
不等式的基本性质
不等式的基本性质【知识要点】1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若a ＜b ，则a +c c b +；（2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a cb ）. 3.不等式的解与解集：4.一元一次不等式：一元一次不等式的标准形式：)0(≠><a b ax b ax 或一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项变号；④合并同类项；⑤系数化为1. 【典型例题】例1 指出下面变形根据的是不等式的哪一条基本性质.（1）由5a ＞4,得a ＞54; （2）由a +3＞0,得a ＞－3; （3）由－2a ＜1,得a ＞－21; （4）由3a ＞2a +1,得a ＞1.例2 用“＜”“=”“＞”号填空.（1）如果a ＞b ，那么a －b __________0;（2）如果a =b ，那么a －b __________0;（3）如果a ＜b ，那么a －b __________0.例3 指出下列各题中不等式变形的依据.(1)由21a ＞3，得a ＞6.(2)由a －5＞0，得a ＞5.(3)由－3a ＜2，得a ＞－32.例4 根据不等式性质，把下列不等式化成x ＞a 或x ＜a 的形式.(1)x +7＞9(2)6x ＜5x －3 (3)51x ＜52(4)－32x ＞－1例5 如果a ＞ab ，且a 是负数，那么b 的取值范围是什么？* 例6 已知m ＜0，－1＜n ＜0，试将m ，mn ，mn 2从小到大依次排列.【大展身手】1．填空：（1）若3x>4，两边都除以3，得__________，依据是____________．（2）若x+6≤5，两边都减6，得__________，依据是_____________．（3）若－4y≥1，两边都除以－4，得__________，依据是____________．（4）若－23y<－2，两边都乘－32，得___________，依据是____________． 2．若a<b ，用不等号填空： （1）a －5_______b －5；（2）a+m_______b+m ； （3）－2a ______－2b ； （4）6－a_______6－b ；（5）－1+2a_______－1+2b ；（6）ac 2_______bc 2．3．（1）已知a<b ，b<c ，则a_______c ；（2）已知a<b ，则b________a ．4.若a ＜b ，则－3a +1________－3b +1.5.若－35x ＞5，则x ________－3. 6.若a ＞b ，c ≤0，则ac ________bc .7.若ba b a --||=－1，则a －b ________0. 8.若ax ＞b ，ac 2＜0，则x ________ab . 9.若a +3＞b +3，则下列不等式中错误的是( )A.－55b a -<B.－2a <－2bC.a －2＜b －2D.－(－a )＞－(－b )10.若a ＞b ，c ＜0，则下列不等式成立的是( )A.ac ＞bcB.c b c a <C.a －c ＜b －cD.a +c ＜b +c11.有理数a 、b 在数轴上的位置如图1所示，在下列各式中对a 、b 之间的关系表达不正确的是( )A.b －a ＞0B.ab ＞0C.c －b ＜c －aD.a b 11>图112.已知4＞3，则下列结论正确的是( )①4a ＞3a ②4+a ＞3+a ③4－a ＞3－aA.①②B.①③C.②③D.①②③13.下列判断中，正确的个数为( )①若－a ＞b ＞0，则ab ＜0②若ab ＞0，则a ＞0，b ＞0③若a ＞b ，c ≠0，则ac ＞bc④若a ＞b ，c ≠0，则ac 2＞bc 2⑤若a ＞b ，c ≠0，则－a －c ＜－b －cA.2B.3C.4D.5 14．已知x>y ，则下列不等中不成立的是（ ）A ．x －4>y －4B ．－2x>－2yC ．33x y >D ．－13x<－13y 15．下列不等式的变形中，正确的是（ ）A ．∵－3x>4，∴x>－43B ．∵－3x>4，∴x>－34C ．∵－3x>4，∴x<－43D ．∵－3x>4，∴x<－3416．已知x<y ，要使mx>my 成立，则（ ）A ．m>0B ．m<0C ．m=0D ．m 是任意实数17．如果x<3，则下列不等式错误．．的是（ ） A ．x －3<0 B ．2x<6 C ．－x>－3 D ．x+2008>018.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 19.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ）A.4B.5C.6D.无数个 20.不等式4x －41141+<x 的最大的整数解为（ ） A.1 B.0 C.－1 D.不存在21.与2x <6不同解的不等式是（ ）A.2x +1<7B.4x <12C.－4x >－12D.－2x <－622．用不等式的基本性质，试将下列不等式化为x>a或x<a的形式：（1）x－1>3；（2）4x<6；（3）－2x>8．23．如果a<b，则下列不等式必定成立的是（）A．am>bm B．am<bm C．am2<bm2D．am2≤bm2 24．如果a<0，则不等式ax>2可化为（）A．x<2aB．x>2aC．x<－2aD．x>－2a25．已知关于x的不等式x>32a，表示在数轴上知图，则a的值为（）A．1 B．2 C．－1 D．－226．已知a>b，比较12－3a与12－3b的大小．27．试比较a与2a的大小．。