2015开封二模 河南省开封市2015届高三第二次模拟考试 数学(文)试卷及答案
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试试卷 语文 Word版含答案
河南省开封市 2015届高三第二次模拟考试 语 文 试 题 ,当自求诸心, 不当求诸事物,?然曰:“道在是矣。
”遂笃信不疑。
其为教,专以致良知为主。
学者翕然从之, 弟子盈天下, 世遂有“阳明学”云。
十一年擢右佥都御史,巡抚南、 赣。
当是时,南中盗贼蜂起。
守仁至, 亲率锐卒屯上杭,佯退师, 出不意捣之,连破四十余寨,俘斩七千有奇, 远近惊为神。
十四年, 命勘福建叛军。
行至丰城而宁王宸濠反。
守仁急趋吉安,征调兵食, 治器械舟楫,传檄暴宸濠罪, 俾守令各率吏士勤王。
守仁计取南昌,宸濠惧, 尽发南康、 九江兵。
丙辰复战, 官军却,守仁斩先却者。
诸军殊死战, 贼复大败。
明日,宸濠方晨朝其群臣, 官军奄至。
以小舟载薪, 乘风纵火, 焚其副舟, 宸濠舟胶浅,仓卒易舟遁, 王冕所部兵追执之。
凡三十五日而贼平。
初, 京师闻变, 诸大臣震惧。
兵部尚书王琼曰:“王伯安居南昌上游,必擒贼。
”至是, 果奏捷。
当是时,谗邪构煽, 祸变叵测。
微守仁,东南事几殆,世宗深知之,甫即位, 趣召入朝受封。
思恩、 田州土酋卢苏、 王受反,乃诏守仁以原官兼左都御史, 总督两广兼巡抚。
乱平,守仁已病甚, 疏乞骸骨。
行至南安卒,丧过江西, 军民无不缟素哭送者。
隆庆初,廷臣多颂其功。
诏赠新建侯, 谥文成。
（ 节选自《明史·王守仁传》 ） 4．对下列句子中加点的词语的解释,不正确的一项是（ 3 分） A．遂笃信不疑 笃信:坚信深信。
B．学者翕然从之 翕然:安宁和顺。
C．官军奄至 奄至:突然到达。
D．谗邪构煽 构煽:挑拨煽动。
5 ．对文中画波浪线部分的断句,正确的一项是（ 3 分） A．龙场万山/ 丛薄苗僚杂居/ 守仁因俗化导/ 夷人喜/ 相率伐木为屋以栖/ 守仁穷荒/无书日绎旧闻/ B．龙场万山丛薄/ 苗僚杂居/ 守仁因俗化导/ 夷人喜相率/ 伐木为屋以栖/ 守仁穷荒无书/ 日绎旧闻/ C．龙场万山丛薄/ 苗僚杂居/ 守仁因俗化导/ 夷人喜/ 相率伐木为屋/ 以栖守仁/ 穷荒无书/ 日绎旧闻/ D．龙场万山/ 丛薄苗僚杂居/ 守仁因俗化导/ 夷人喜相率伐木/ 为屋以栖守仁/ 穷荒无书/ 日绎旧闻/ 6 ．下列对原文有关内容的概括和分析,不正确的一项是（ 3 分） A．王守仁天资聪明,潜心向学。
河南省开封市2015年中招第二次模拟考试数学试题(含详细答案)
河南省开封市2015年中招第二次模拟考试数学试题 考生注意：1．本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟。
2．请用黑色笔直接答在答题卡上。
3．答卷前将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（本大题共8题，每小题3分．共24分）在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案涂在答题卡上。
1．|-3|的相反数是 ( )A ．3B ．-3C ．31D ．-31 2． 2015年，我国筹备成立亚洲基础设旌投资银行（亚投行）。
据统计，2010年至2020 年，亚洲各经济体的基础设施如果要达到世界平均水平，至少需要8 000 000 000 000 美元基建投资，将8 000 000 000 000用科学记效法表示应为 ( )A ． 08³1013B ．8³l013C ．8³1012D ．80³l0113．下列几何体的主视图是三角形的是 ( )4．如右图，△ABC 中，∠A=90°，点D 在AC 边上，DE ∥BC ，若∠1=35°，则∠B 的度数为 ( )A ．25°B ．35°C ．55°D ．65°5．下列计算正确的是A ． 3a-2a=lB ． a 2 +a 5 =a 7C ． (ab)3一ab 3D ． a 2· a 4 =a 66．如右图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 袖于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为(2a ，b+1)，则a 与b 的数量关系为 ( )A ．a-bB ．2a+b=-1C ．2a- b=lD ．2a+b=l7．如右图，在菱形ABCD 中．AB=5，对角线AC=6．若过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，则AE 的长为 ( )A ．4B ．5C ．512D ．524，8．如右图矩形ABCD 中．AD=8cm ．AB= 6cm.动点E 从点C 开始沿边CB 向点B 以2cm ／s 的速度运动至点B 停止，动点F 从点C同时出发沿边CD 向点D 以1cm/s 的速度运动至点D 停止，如图可得到矩形CFHE ．设运动时间为x(单位：s)．此时矩形ABCD去掉矩形CFHE 后剩余部分的面积为y （单位：cm 2），则y 与x 之间的函数关系用图 象表示大致是下图中的 ( )二、填空题（本大题共有7题．每小题3分，共21分）9．-32+38-+()02-5= ． 10．分式方程3932-+-x x x =1的解是 11．如右图，点B 在x 轴上，∠ABO=90°，∠A= 30°，OA=4，将△OAB 绕点O 按顺时针方向旋转120°得到△OA'B ’，则点A ’的坐标是 。
河南省开封市2015届高三数学二模试卷(文科) Word版含解析
河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是“z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是__________． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是__________． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=__________． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是__________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 河南省开封市2015届高考数学二模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}，则N∩（?UM）=( ) A．{1，4，5} B．{1，5} C．{4} D．{1，2，3，4，5} 考点：交、并、补集的混合运算． 专题：集合． 分析：根据集合的基本运算求解即可． 解答：解：∵U={1，2，3，4，5，6}，N={1，4，5}，M={2，3，4}， ∴N∩（?UM）={1，4，5}∩{1，5，6}={1，5}， 故选：B 点评：本题主要考查集合关系的应用，比较基础． 2．已知复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i（a∈R），则“a=1”是 “z为纯虚数”的( ) A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件D．既非充分又非必要条件 考点：复数的基本概念． 专题：计算题． 分析：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数；当z为纯虚数时，a=±1，不能推出a=1． 解答：解：当a=1时，复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i，是一个纯虚数． 当复数z=（a2﹣1）+（a﹣2）i=﹣i是一个纯虚数时，a2﹣1=0 且a﹣2≠0，a=±1，故不能推出a=1． 故“a=1”是“z为纯虚数”的充分非必要条件，故选A． 点评：本题考查复数的基本概念，充分条件、必要条件的定义，是一道基础题． 3．若向量=（1，2），=（﹣3，4），则（?）?（+）等于( ) A．20 B．（﹣10，30）C．54 D．（﹣8，24） 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题． 分析：根据所给的条件，首先要写出两个向量的数量积和两个向量的和的坐标，再进行数乘运算，本题是一个实数和一个向量的积的运算． 解答：解：∵， ， ∴． 故选B． 点评：本题考查向量的数量积，考查向量的和的运算，考查向量的数乘运算，是一个基础题，没有易错点，是一个送分题目． 4．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( ) A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0 考点：直线与圆相交的性质． 专题：计算题；直线与圆． 分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程． 解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25， ∴圆心坐标C为（3，4）， ∵M（1，2）， ∴kCM==1， ∴kAB=﹣1， 则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0． 故选：D． 点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键． 5．某几何体的三视图如图所示，侧视图、俯视图都是边长为1 的正方形，则此几何体的外接球的表面积为( ) A．3πB．4πC．2πD． 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直，其外接球的直径2R=，即可得出． 解答：解：如图所示，该几何体是一个直三棱柱，其左侧面与底侧面都是边长为1的正方形且相互垂直， 其外接球的直径2R=， ∴外接球的表面积S==3π． 故选：A． 点评：本题考查了三棱柱的三视图及其外接球的表面积，属于基础题． 6．若，，，则cos（α+β）的值等于( ) A．B．C．D． 考点：两角和与差的余弦函数． 分析：先根据α、β的范围确定、的范围，再由所给的三角函数值确定α+β的大小，进而可得答案． 解答：解：由， 则，， 又，， 所以， 解得，所以cos（α+β）=， 故选B． 点评：本题主要考查求三角函数值的问题，这里一定要注意角的取值范围． 7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数，单位℃）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24； ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.2． 则肯定进入夏季的地区有( ) A．0 个B．1 个C．2 个D．3 个 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：根据数据的特点进行估计出甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据，分析数据的可能性进行解答即可得出答案． 解答：解：①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22， 根据数据得出：甲地连续5天的日平均温度的记录数据可能为：22，22，24，25，26． 其连续5天的日平均温度均不低于22． ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24．当5个数据为19，20，27，27，27可知其连续5天的日平均温度有低于22，故不确定． ③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，若有低于22，则取21，此时方差就超出了10.8，可知其连续5天的日平均温度均不低于22． 则肯定进入夏季的地区有甲、丙三地． 故选：C． 点评：本题考查中位数、众数、平均数、方差的数据特征，简单的合情推理，解答此题应结合题意，根据平均数的计算方法进行解答、取特值即可． 8．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：选择结构． 专题：图表型；分类讨论． 分析：由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案． 解答：解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件； 当2＜x≤5时，由2x﹣3=x得：x=3，满足条件； 当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件， 故这样的x值有3个． 故选C． 点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案． 9．若函数，则f（x）的最大值是( ) A．1 B．2 C．D． 考点：同角三角函数基本关系的运用． 分析：先对函数f（x）=（1+tanx）cosx进行化简，再根据x的范围求最大值． 解答：解：f（x）=（1+tanx）cosx=cosx+sinx=2sin（x+） ∵0≤x，∴≤x+ ∴f（x）∈[1，2] 故选B． 点评：本题主要考查三角函数求最值问题．一般都是先将函数式进行化简再求值，这里一定要注意角的取值范围． 10．三棱锥S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中： ①异面直线SB与AC所成的角为90°． ②直线SB⊥平面ABC； ③平面SBC⊥平面SAC； ④点C到平面SAB的距离是a． 其中正确的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答：解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确； 再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确； 取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确， 故选：D． 点评：本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题． 11．已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为( ) A．，3 B．C．，2 D． 考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解双曲线的渐近线方程． 解答：解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：， 双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：， ∵C1与C2的离心率之积为， ∴=， ∴（）2=，， 则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B． 点评：本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查． 12．已知函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf ′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=（30.3）?f（30.3），b=（logπ3）?f（log π3），c=（log3）?f（log3），则 a，b，c的大小关系是( ) A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b 考点：函数单调性的性质；导数的运算；不等式比较大小． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：由函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（﹣∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系． 解答：解：∵当x∈（﹣∞，0）时不等式f（x）+xf′（x）＜0成立，即：（xf（x））′＜0， ∴xf（x）在（﹣∞，0）上是减函数． 又∵函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y=f（x）是定义在R上的奇函数 ∴xf（x）是定义在R上的偶函数 ∴xf（x）在（0，+∞）上是增函数． 又∵30.3＞1＞log23＞0＞=﹣2， 2=﹣， ∴（﹣）f（﹣）＞30.3?f（30.3）＞（logπ3）?f（logπ3），即（）f（）＞30.3?f （30.3）＞（logπ3）?f（logπ3） 即：c＞a＞b 故选B． 点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．设实数x、y 满足，则z=2x+3y﹣1的最大值是9． 考点：简单线性规划． 专题：不等式的解法及应用． 分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由z=2x+3y﹣1，得y=+， 平移直线y=+，由图象可知当直线y=+， 经过点B时，直线y=+截距最大，此时z最大． 由，解得， 即B（2，2）． 此时z的最大值为z=2×2+3×2﹣1=9， 故答案为：9． 点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 14．若函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞），则实数a的取值范围是a＞，a≠1． 考点：对数函数的图像与性质． 专题：计算题；函数的性质及应用． 分析：函数f（x）=1oga（x+﹣1）（a＞0且a≠1）的定义域为（0，+∞）可化为x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立；从而得到2＞1；从而解得． 解答：解：由题意，x+﹣1＞0在（0，+∞）上恒成立， 而x+≥2； （当且仅当x=，即x=时，等号成立） 故2＞1； 故a＞，a≠1； 故答案为：a＞，a≠1． 点评：本题考查了基本不等式的应用及恒成立问题，属于基础题． 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sinA=，c﹣a=5﹣，则b=． 考点：余弦定理；正弦定理． 专题：计算题；解三角形． 分析：由已知可求得cosA，sinB，sinC，由正弦定理得=，又因为c﹣a=5﹣，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值． 解答：解：因为C=π，sinA=， 所以cosA==， 由三角形内角和得B=， 所以sinB=sin（）=sincosA﹣cossinA==， 已知C=，所以sinC=， 由正弦定理得=， 又因为c﹣a=5﹣， 所以c=5，a=， 由sinB=， 所以b===， 故答案为：． 点评：本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查． 16．已知，是单位向量，?=0，若向量与向量、共面，且满足|﹣﹣|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1]． 考点：平面向量数量积的运算． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析：由，是单位向量，?=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|﹣+|=1，可得（x﹣1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，﹣1），半径r=1．利用|OC|﹣r≤||=≤|OC|+r即可得出． 解答：解：由，是单位向量，?=0， 可设=（1，0），=（0，1），=（x，y）， ∵向量满足|﹣+|=1， ∴|（x﹣1，y+1）|=1， ∴=1，即（x﹣1）2+（y+1）2=1． 其圆心C（1，﹣1），半径r=1． ∴|OC|=． ∴﹣1≤||=≤+1． ∴||的取值范围是[﹣1，+1]． 故答案为：[﹣1，+1]． 点评：本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤 17．等差数列{an}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列． （Ⅰ）求an； （Ⅱ）设{an}的前n项和为Sn，求：． 考点：数列的求和；等比数列的通项公式；等比数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出． 解答：解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列． ∴， ∴（3+3d）2=3（3+12d）， 化为d2﹣2d=0，d≠0， 解得d=2． ∴an=3+2（n﹣1）=2n+1． （II）由（I）可得：Sn==n（n+2）， ∴． ∴=++…+=．=﹣． 点评：本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题． 18．某种产品按质量标准分成五个等级，等级编号x依次为1，2，3，4，5，现从一批产品中随机抽取20件，对其等级编号进行统计分析，得到频率分布表如下： x 1 2 3 4 5 频率 a 0.3 0.35 b c （1）若所抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件，等级编辑为5的恰有4件，求a，b，c的值． （2）在（1）的条件下，将等级编辑为4的2件产品记为x1、x2，等级编辑为5的4件产品记为y1，y2，y3，y4，现从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件（假定每件产品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率． 考点：古典概型及其概率计算公式． 专题：概率与统计． 分析：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1，b==0.1，c==0.2，由此能求出结果． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件，所有可能的结果共15个，利用列举法能写出所有可能结果，设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同”A包含的基本事件7个，由此能求出结果． 解答：解：（1）由频率分布表得a+0.3+0.35+b+c=1， 即a+b+c=0.35， ∵抽取的20件产品中，等级编号为4的恰有2件， ∴b==0.1， 等级编号为5的恰有4件，∴c==0.2， ∴a=0.35﹣b﹣c=0.05． 故a=0.05，b=0.10，c=0.20． （2）从产品x1，x2，y1，y2，y3，y4中任取两件， 所有可能的结果为： {x1，x2}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x1，y3}，{x1，y4}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x2，y3}， {x2，y4}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共15个． 设A表示“从x1、x2，y1，y2，y3，y4，这6件产品中任取两件这两件产品的等级编号恰好相同” 则A包含的基本事件为： {x1，x2}，{y1，y2}，{y1，y3}，{y1，y4}，{y2，y3}，{y2，y4}，{y3，y4}，共7个， 故所求概率为：p=． 点评：本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要注意列举法的合理运用． 19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC． （Ⅰ）求证：AC⊥BB1； （Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比．撸啊． 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离． 分析：（Ⅰ）由已知得平面ABB1A1⊥平面ABC，从而AB⊥AC，进而AC⊥平面ABB1A1，由此能证明AC⊥BB1． （Ⅱ）设平面PAB与棱A1C1交于Q，连结AQ，PQ，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC，由此能求出平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比． 解答：（Ⅰ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中， ∵A1B⊥平面ABC，A1B?平面ABB1， ∴平面ABB1A1⊥平面ABC， ∵平面ABB1A1∩平面ABC=AB，AB⊥AC， ∴AC⊥平面ABB1A1， ∴AC⊥BB1． （Ⅱ）解：设平面PAB与棱A1C1交于Q， ∵P为棱B1C1的中点，∴Q为棱A1C1的中点， 连结AQ，PQ， 设三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面积为S，高为h，体积为V， 则Sh=V， 如图，将棱台C1PQ﹣ABC还原为棱锥S﹣ABC， 解得=V，=V﹣=， ∴平面PAB将三棱柱ABC﹣A1B1C1分成的两部分体积之比为：=． 点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查两个几何体的体积之比的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． 20．已知函数f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex（其中a∈R）． （Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式． 考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 专题：计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用． 分析：（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex，从而可得a=0； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为（x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1），即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0，令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1，从而由导数解不等式． 解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a﹣1）2x+a﹣（a﹣1）2]ex． ∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]ex， ∵x=0为f（x）的极值点， ∴f′（0）=a?e0=0， ∴a=0； 经检验成立； （Ⅱ）当a=0时，不等式可化为 （x﹣1）ex＞（x﹣1）（x2+x+1）， 即（x﹣1）（ex﹣（x2+x+1））＞0， 令g（x）=ex﹣（x2+x+1），h（x）=g′（x）=ex﹣x﹣1， h′（x）=ex﹣1； 当x＞0时，h′（x）=ex﹣1＞0，当x＜0时，h′（x）=ex﹣1＜0； 故h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0； 故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0； 故ex﹣（x2+x+1）＞0，x＞0； ex﹣（x2+x+1）＜0，x＜0； 所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}． 点评：本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题． 21．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°． （1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程； （2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值． 考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的标准方程． 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题． 分析：（1）设，则A处的切线方程为，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离概率及点A满足抛物线的方程即可得出． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P 的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值． 解答：解：（1）设，则A处的切线方程为， 可得：， ∴； ∴△AFQ为等腰三角形． 由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点， ∴|AF|=4，得： ∴p=2，C：x2=4y． （2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为 联立得到点P，联立得到点M． 同理， 设h为点P到MN的距离，则==① 设AB的方程为y=kx+b，则b＞0， 由得到x2﹣4kx﹣4b=0， 得代入①得：S△==， 要使面积最小，则应k=0，得到② 令，得=，则=， 所以当时，S（t）单调递减；当时，S（t）单调递增， 所以当时，S取到最小值为，此时，k=0， 所以，解得． 故△PMN面积取得最小值时的x1值为． 点评：本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键． 【选修4-1：几何证明选讲】 22．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC 边的中点，连接OD交圆O于点M． （1）求证：O、B、D、E四点共圆； （2）求证：2DE2=DM?AC+DM?AB． 考点：与圆有关的比例线段． 专题：证明题；直线与圆． 分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM?DH，再将DH分解为DO+OH，并利用 OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM?AC+DM?AB成立． 解答：解：（1）连接BE、OE，则 ∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC， 又∵D是BC的中点， ∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD． 又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB． 可得∠OED=∠OBD=90°， 因此，O、B、D、E四点共圆； （2）延长DO交圆O于点H， ∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线． 可得DE2=DM?DH=DM?（DO+OH）=DM?DO+DM?OH． ∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=， ∴，化简得2DE2=DM?AC+DM?AB． 点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题． 【选修4-4：坐标系与参数方程】 23．在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）． （1）求直线I被曲线C所截得的弦长； （2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值． 考点：参数方程化成普通方程． 专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程． 分析：（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长． （2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值． 解答：解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t， 可得，3x+4y+1=0； 由于ρ=cos（θ+）=（）， 即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，则有x2+y2﹣x+y=0，其圆心为（，﹣），半径为r=， 圆心到直线的距离d==， 故弦长为2=2=； （2）可设圆的参数方程为：（θ为参数）， 则设M（，）， 则x+y==sin（）， 由于θ∈R，则x+y的最大值为1． 点评：本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 【选修4-5：不等式选讲】 24．已知函数f（x）=|x﹣1| （Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8； （Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：． 考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用；推理和证明． 分析：（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=，利用分段函数分段解不等式f （2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集． （Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，?f（ab）＞|a|f（）?|ab﹣1|＞|a﹣b|，要证该不等式成立，只需证明|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2＞0即可． 解答：（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x﹣1|+|x+3|=， 当x＜﹣3时，由﹣3x﹣2≥8，解得x≤﹣； 当﹣3时，由﹣x+4≥8，解得x∈?； 当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分 所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤﹣或x≥2}…5分； （Ⅱ）证明：等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|， 因为|a|＜1，|b|＜1， 所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0， 所以，|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立…10分． 点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。
河南省六市高考数学二模试卷 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( )A．1 B．2 C．3 D．1或22．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x|D．f（x）=sinx4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣49506．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+67．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( )A．3 B．4 C．5 D．68．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=09．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( )A．B．C．D．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．412．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=__________．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=__________．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为__________．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是__________．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．河南省六市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2﹣3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于( ) A．1 B．2 C．3 D．1或2考点：交集及其运算．专题：集合．分析：解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．解答：解：∵集合B={x∈Z|x2﹣3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．点评：本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2．若复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，则z的虚部为( )A．﹣B．C．D．﹣考点：复数代数形式的混合运算．专题：计算题．分析：设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b﹣a）i=，利用复数相等即可得出．解答：解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2﹣i）z=|1+2i|，∴（2﹣i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b﹣a）i=，∴，解得．故选：B．点评：本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的函数是( ) A．f（x）=x2B．f（x）=﹣log2|x| C．f（x）=3|x| D．f（x）=sinx考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．解答：解：A．f（x）=x2是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=﹣log2|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（﹣∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．4．下列有关命题的说法正确的是( )A．命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”B．“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件C．若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D．存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：利用命题的否定判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；利用命题的真假判断C 的正误；幂函数的定义判断D的正误；解答：解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2﹣x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2﹣x+1＜0”，不满足特称命题与全称命题的否定关系，所以A不正确；对于B，“x=3”可以推出“2x2﹣7x+3=0”成立，但是2x2﹣7x+3=0，不一定有x=3，所以“x=3”是“2x2﹣7x+3=0”成立的充分不必要条件，所以B正确．对于C，若“p∧（￢q）”为真命题，说明P，￢q是真命题，则“p∧q”也为假命题，所以C不正确；对于D，存在m∈R，使f（x）=（m﹣1）﹣4m+3是幂函数，可得m=2，函数化为：f（x）=x0=1，所函数在（0，+∞）上是递增的是错误的，所以D不正确；故选：B．点评：本题考查命题的真假的判断，命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用，基本知识的考查．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为( )A．﹣1050 B．5050 C．﹣5050 D．﹣4950考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：由已知的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002的值，∵S=12﹣22+32﹣42+…+992﹣1002=（1﹣2）（1+2）+（3﹣4）（3+4）+…+（99﹣100）（99+100）=﹣（1+2+3+4+…+99+100）=﹣=﹣5050，故选：C．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为( )A．3+3B．8+3C．6+6D．8+6考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积解答：解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B点评：本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，则m=( ) A．3 B．4 C．5 D．6考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．解答：解：在等比数列中，∵S m﹣1=5，S m=﹣11，S m+1=21，∴a m=S m﹣S m﹣1=﹣11﹣5=﹣16，a m+1=S m+1﹣S m=21﹣（﹣11）=32，则公比q=，∵S m=﹣11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=﹣1，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．8．过点M（1，2）的直线l与圆C：（x﹣3）2+（ y﹣4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是( )A．x﹣2y+3=0 B．2x+y﹣4=0 C．x﹣y+1=0 D．x+y﹣3=0考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．解答：解：将圆的方程化为标准方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=﹣1，则此时直线l的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故选：D．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9．定义式子运算为=a1a4﹣a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n ＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为( ) A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二阶矩阵．专题：计算题；压轴题．分析：先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．解答：解：由题意可知f（x）=cosx﹣sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（﹣x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=﹣sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=﹣+kπn大于0的最小值等于故选C．点评：本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．10．已知函数f（x）=+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是( )A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．解答：解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=﹣1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．点评：本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11．已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF （O为坐标原点），则|AB|=( )A．B．C．D．4考点：直线与圆锥曲线的综合问题；抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=﹣3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．解答：解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=﹣3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2﹣4my﹣4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=﹣4．∴+==﹣2==﹣3﹣，∴m2=，∴|AB|=•=．故选：A．点评：本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．12．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=( )A．0 B．2014 C．4028 D．4031考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2﹣cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+1+﹣x3﹣sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（﹣2015）+f（﹣2014）+f（﹣2013）+…+f+f=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（t，），若﹣2与共线，则t=1．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若﹣2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．解答：解：∵=（，1），=（0，﹣1），∴﹣2=，又=（t，），且﹣2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．点评：平行问题是一个重要的知识点，在2015届高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2﹣a2b1=0，是基础题．14．设x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为3，则m=．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x﹣y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．解答：解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x﹣y+m=0，得m=y﹣x=﹣=，故答案为：．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为．考点：球内接多面体．专题：立体几何．分析：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．解答：解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：点评：本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16．对正整数n，设曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是2n+1﹣2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．解答：解：y′=nx n﹣1﹣（n+1）x n，曲线y=x n（1﹣x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n﹣1﹣（n+1）2n切点为（2，﹣2n），所以切线方程为y+2n=k（x﹣2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1﹣2．故答案为：2n+1﹣2．点评：本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=cosxcosx（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=﹣，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．考点：余弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：解三角形．分析：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．解答：解：（1）化简可得f（x）=cosxcosx（x+）=cosx（cosx﹣sinx）=cos2x﹣sinxcosx=﹣sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=﹣，∴cos（2C+）=﹣1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absinC=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=12，∴c=2点评：本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18．某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：2010年2011年2012年2013年2014年降雨量x（毫米）1500 1400 1900 16002100发电量y（亿千瓦时）7.4 7.0 9.2 7.9 10.0 （Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉的降雨量约为1800毫米，请你预测能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．解答：解：（ I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9. 2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．其中2年发电量都低于8. 0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（ II）∵，．又直线过点，∴，解得，∴．当x=1800时，，所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．点评：本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B 上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1﹣A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．解答：解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在Rt△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在Rt△EB1D1中，得，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．点评：本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=﹣，求y1，y2的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．解答：解：（I）由已知可得e==，•2a•2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足k OA•k OB=﹣，∴=﹣．∴y1y2=﹣x1x2=﹣•=﹣，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=．∴﹣=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=﹣=﹣=﹣2，则y1y2∈（﹣2，2]．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21．已知函数f（x）=﹣1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；综合题；分类讨论；转化思想．分析：（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．解答：解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知令f′（x）=0得，1﹣lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，，当x＞e时，∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵，∴即对∀n∈N*，不等式恒成立．点评：此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．考点：相似三角形的判定；相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．专题：计算题；证明题．分析：对于（1）求证：AB2=D E•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．解答：解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB﹣PD=9，∴．∴．∴．点评：此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．考点：简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：坐标系和参数方程．分析：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．解答：解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．点评：本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．考点：绝对值三角不等式；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．解答：解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．点评：本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。
2015年河南省开封市高考数学定位模拟试卷(文科)
2015年河南省开封市高考数学定位模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，1．（5分）（2015•开封模拟）已知集合A={x|y=lg（x﹣1）}，B={y|y2﹣2y﹣3≤0}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{y|1≤y≤3} C．{x|1＜x≤3} D．{x|1≤x＜3}2．（5分）（2015•开封模拟）设，则=（）A．B．1 C．2 D．3．（5分）（2015•开封模拟）已知双曲线4x2﹣3y2=12，则双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．（5分）（2014•湖南）对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为P1，P2，P3，则（）A．P1=P2＜P3B．P2=P3＜P1C．P1=P3＜P2D．P1=P2=P35．（5分）（2015•衡阳二模）如图所示，使用模拟方法估计圆周率值的程序框图，P表示估计的结果，则图中空白框内应填入P=（）A．B．C．D．6．（5分）（2015•开封模拟）若||=，||=2，（﹣）⊥，则，的夹角是（）A．B．C．D．7．（5分）（2015•南昌校级二模）已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A．108cm3B．100cm3C．92 cm3D．84 cm38．（5分）（2015•开封模拟）已知函数f（x）=cos（2x+ϕ）满足f（x）≤f（1）对x∈R恒成立，则（）A．函数f（x+1）一定是偶函数B．函数f（x﹣1）一定是偶函数C．函数f（x+1）一定是奇函数 D．函数f（x﹣1）一定是奇函数9．（5分）（2015•开封模拟）设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=x2+y2的取值范围为（）A．[2，8]B．[4，13]C．[2，13]D．10．（5分）（2015•开封模拟）函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．[0，+∞）D．（2，+∞）11．（5分）（2013•山东）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（）A．B．C．D．12．（5分）（2015•南昌校级二模）设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）（2015•开封模拟）已知函数f（x）=，则f[f（0）]=．14．（5分）（2015•开封模拟）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最小正周期是．15．（5分）（2015•开封模拟）直线l：x+4y=2与圆C：x2+y2=1交于A、B两点，O是坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α，β，则sinα+sinβ=．16．（5分）（2015•开封模拟）如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，延长AC到D，连接BD，若∠CBD=30°且AB=CD=1，则AC=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17．（12分）（2015•开封模拟）已知数列{a n}满足a1=1，n（a n+1﹣a n）=a n+n2+n，n∈N*，证明：数列是等差数列．18．（12分）（2015•淮北二模）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查，先将800人按001，002，…，800进行编号；（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检查的3个人的编号；（下面摘取了第7行到第9行）84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54（2）抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4=42．率．19．（12分）（2015•开封模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC∥AD，BC⊥CD，BC=CD=AD．（Ⅰ）若E为PD中点，证明：CE∥平面APB；（Ⅱ）若PA=PB，PC=PD，证明：平面APB⊥平面ABCD．20．（12分）（2015•开封模拟）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个焦点在抛物线y2=8x的准线上，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）设点F（﹣2，0），T为直线x=﹣3上任意一点，过F作直线l⊥TF交椭圆C于P、Q 两点．①证明：OT经过线段PQ中点（O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（12分）（2015•保定模拟）已知函数f（x）=xlnx﹣（x﹣1）（ax﹣a+1）（a∈R）．（Ⅰ）若a=0，判断函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若x＞1时，f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．（10分）（2015•开封模拟）如图，AB为⊙O的直径，点D是⊙O上的一点，点C是弧AD的中点，弦CE⊥AB于F．GD是⊙O的切线，且与EC的延长线相交于点G，连接AD，交CE于点P．（Ⅰ）证明：△ACD∽△APC；（Ⅱ）若GD=+1，GC=1，求PE的长．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（2015•开封模拟）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．六、选修4-5：不等式选讲24．（2015•开封模拟）已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证：≥4；（Ⅱ）求的最小值．2015年河南省开封市高考数学定位模拟试卷（文科）参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，1．C；2．A；3．B；4．D；5．C；6．D；7．B；8．A；9．C；10．B；11．B； 12．C；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．0；14．π；15．；16．；三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤17．；18．；19．；20．；21．；四、选修4-1：几何证明选讲请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．；五、选修4-4：坐标系与参数方程23．；六、选修4-5：不等式选讲24．；。
2015开封二模 河南省开封市2015届高三第二次模拟考试 历史试卷及答案
河南省开封市2015届高三第二次模拟考试文科综合能力试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷和第Ⅱ卷共12 页。
全卷共300 分。
考试用时150 分钟。
注意事项:1．答卷前,考生务必将自己的学校、考场、考号、姓名、座号等填写（或涂黑）在答题卷的相应栏目内。
考试结束,仅收答题卷。
2 ．第Ⅰ卷（选择题）选出答案后,用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号,不能答在试题卷上; 把第Ⅱ卷（非选择题）的答案,填写在答题卷上的相应栏目内。
第Ⅰ卷（选择题,共140 分）24《孟子·尽心上》中提到“人之所不学而能者, 其良能也; 所不虑而知者, 其良知也。
”由此, 孟子强调A ．性本善B．教育的教化功能C．学以至圣,致良知D．民贵君轻25 ．明朝万历年间, 福建泉州府“佃农所获, 朝登垅亩,夕贸市廛”;而浙江秀水县佃农“上米贸银,别以中下者抵租”。
对材料现象解释最准确的是A．农村出现资本主义萌芽B．农村租佃经营成为主流C．农民所交地租有所下降D．农业与市场的联系加强26 ．林则徐在鸦片战后给朋友的一封信中说:“……徐尝谓剿匪八字要言,器良技熟,胆壮心齐是已。
第一要大炮得用,今此一物置之不讲,真令岳、韩束手,奈何奈何!”这表明他A ．认为维护统治依赖军事剿匪B．强调提高军备即可打败外敌C．未能找出战争失败根本原因D．传统夷狄观念没有丝毫改变27．费正清在《导论·近代中国历史的透视》中这样评价辛亥革命:“革命的主要目标一直是推翻中央集权, 它的方式本身（指各省纷纷宣布独立）就是反中央集权的。
”由此可知, 费正清认为辛亥革命A ．结束专制统治B．引发军阀割据C．强化中央集权D．实现民族独立28 ．下面统计表整理自姜涛与卞修跃所著的《抗日战争时期中国人口损失之初步估计》, 该统计表说明A ．抗战以国民党的正面战场为主B．中国是世界反法西斯战争的主战场C．日本侵略给中国人民带来巨大灾难D．中国战场抗击了绝大多数的日军29 ．下面是中国青年报的特别报道《变迁: 从“一五”到“十一五” 》的部分主题词摘要。
2015年河南省开封市高考数学二模试卷(理科)
2015年河南省开封市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.设全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁U M）=（）A.{x|-2≤x＜1}B.{x|0＜x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x＜1}【答案】B【解析】解：∵全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，∴C U M={x|-1≤x≤1}，∵集合N={x|0＜x＜2}，∴N∩（∁U M）={x|0＜x≤1}．故选B．由全集U=R，集合M={x|y=lg（x2-1）}={x|x＜-1或x＞1}，先求出C U M，再由集合N 能够求出N∩（∁U M）．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.若（1+2ai）i=1-bi，其中a、b∈R，i是虚数单位，则|a+bi|=（）A.+iB.5C.D.【答案】D【解析】解：∵（1+2ai）i=1-bi，∴-2a+i=1-bi，∴-2a=1，1=-b，解得a=-，b=-1．则|a+bi|=|--i|===．故选：D．利用复数的运算法则、复数相等、模的计算公式即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数相等、模的计算公式，属于基础题．3.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02-x0+1＜0”B.在△ABC 中，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件C.线性回归方程y=+a对应的直线一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的一个D.在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越大【答案】B【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x0∈R，使得x02-x0+1≤0”，故A错误；对于B，在△ABC中，由正弦定理知，sin A＞sin B⇔a＞b，又a＞b⇔A＞B，所以在△ABC中，“sin A＞sin B”是“A＞B”成立的充要条件，B正确；对于C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的一个，故C错误；对于D，在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，故D错误．综上所述，A、B、C、D四个选项中，只有B正确，故选：B．A，写出命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定，可判断A；B，在△ABC中，利用正弦定理可知sin A＞sin B⇔a＞b⇔A＞B，可判断B；C，线性回归方程y=+a对应的直线不一定经过其样本数据点（x1，y1）、（x2，y2）、…，（x n，y n）中的任何一个，可判断C；D，在2×2列联表中，ad-bc的值越接近0，说明两个分类变量有关的可能性就越小，可判断D．本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定、充分必要条件、线性回归方程及列联表的理解与应用，属于中档题．4.已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，双曲线C2的方程为=1，C1与C2的离心率之积为，则C1、C2的离心率分别为（）A.，3B.，C.，2D.，【答案】B【解析】解：a＞b＞0，椭圆C1的方程为=1，C1的离心率为：，双曲线C2的方程为=1，C2的离心率为：，∵C1与C2的离心率之积为，∴=，∴（）2=，，则C1的离心率==则C2的离心率：==故选：B．求出椭圆与双曲线的离心率，然后推出ab关系，即可求解离心率．本题考查椭圆与双曲线的基本性质，离心率以及渐近线方程的求法，基本知识的考查．5.某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此几何体的外接球的表面积为（）A.3πB.4πC.2πD.【答案】A【解析】解：如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，其表面积S=4πR2=3π．故选：A．如图所示，该几何体是正方体的内接正四棱锥．因此此几何体的外接球的直径2R=正方体的对角线，利用球的表面积计算公式即可得出．本题考查了正方体的内接正四棱锥、球的表面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.函数f（x）=sin（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，如果，，，且f（x1）=f（x2），则f（x1+x2）=（）A. B. C. D.1【答案】C【解析】解：由图知，T=2×=π，∴ω=2，因为函数的图象经过（-，），0=sin（-+ϕ）∵＜，所以ϕ=，∴，，所以．故选C．通过函数的图象求出函数的周期，利用函数的图象经过的特殊点求出函数的初相，得到函数的解析式，利用函数的图象与函数的对称性求出f（x1+x2）即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的图象的应用，函数的对称性，考查计算能力．7.给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】解：当x≤2时，由x2=x得：x=0，1满足条件；当2＜x≤5时，由2x-3=x得：x=3，满足条件；当x＞5时，由=x得：x=±1，不满足条件，故这样的x值有3个．故选C．由已知的流程图，我们易得这是一个计算并输出分段函数函数值的程序，我们根据条件，分x≤2，2＜x≤5，x＞5三种情况分别讨论，满足输入的x值与输出的y值相等的情况，即可得到答案．根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，我们要先分析流程图（或伪代码）判断其功能，并将其转化为数学问题，建立数学模型后，用数学的方法解答即可得到答案．8.有5盆菊花，其中黄菊花2盆、白菊花2盆、红菊花1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆黄菊花必须相邻，2盆白菊花不能相邻，则这5盆花不同的摆放种数是（）A.12 B.24 C.36 D.48【答案】B【解析】解：由题意，第一步将黄1与黄2绑定，两者的站法有2种，第二步将此两菊花看作一个整体，与除白1，白2之外的一菊花看作两个元素做一个全排列有A22种站法，此时隔开了三个空，第三步将白1，白2两菊花插入三个空，排法种数为A32则不同的排法种数为2×A22×A32=2×2×6=24．故选B．由题设中的条件知，可以先把黄1与黄2必须相邻，可先将两者绑定，又白1与白2不相邻，可把黄1与黄2看作是一盆菊花，与白1白2之外的菊花作一个全排列，由于此两个元素隔开了三个空，再由插空法将白1白2菊花插入三个空，由分析过程知，此题应分为三步完成，由计数原理计算出结果即可．本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是本题中所用到的绑定，与插空，不同的计数问题中所采用的技巧，将这些技巧与具体的背景结合起来，熟练掌握这些技巧．9.若sinθ+cosθ=，则tan（θ+）的值是（）A.1B.--2C.-1+D.--3【答案】B【解析】解：∵sinθ+cosθ=（sinθ+cosθ）=sin（θ+）=，∴sin（θ+）=1，∴θ+=2kπ+（k∈Z）．∴θ=2kπ+（k∈Z）．∴tan（θ+）=tan（+）====-2-．故选：B．利用三角恒等变换可得sinθ+cosθ=sin（θ+）=，于是得：θ=2kπ+（k∈Z），再利用两角和的正切计算即可．本题考查三角恒等变换的应用与两角和与差的正切函数，求得θ=2kπ+（k∈Z）是关键，考查化归思想与运算求解能力，属于中档题．10.三棱锥S-ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜边AB=a的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB与AC所成的角为90°．②直线SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④点C到平面SAB的距离是a．其中正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】解：由题意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正确；再根据SB⊥AC、SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正确；取AB的中点E，连接CE，可证得CE⊥平面SAB，故CE的长度即为C到平面SAB的距离a，④正确，故选：D．由条件根据异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查异面直线所成的角，直线和平面垂直的判定定理、性质定理，平面和平面垂直的判定定理的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．11.设实数x 、y 满足， ，则z =max {2x +3y -1，x +2y +2}的取值范围是（ ）A.[2，5]B.[2，9]C.[5，9]D.[-1，9] 【答案】 B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 2x +3y -1-（x +2y +2）=x +y -3，即z =max {2x +3y -1，x +2y +2}= ， ， ＜，其中直线x +y -3=0过A ，C 点． 在直线x +y -3=0的上方，平移直线z =2x +3y -1（红线），当直线z =2x +3y -1经过点B （2，2）时， 直线z =2x +3y -1的截距最大，此时z 取得最大值为z =2×2+3×2-1=9．在直线x +y -3=0的下方，平移直线z =x +2y +2（蓝线），当直线z =x +2y +2经过点O （0，0）时， 直线z =x +2y +2的截距最小， 此时z 取得最小值为z =0+2=2． 即2≤z ≤9， 故选：B ．作出不等式组对应的平面区域，利用作差法求出z 的表达式，然后根据平移，根据数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据z 的几何意义确定对应的直线方程是截距本题的关键．难度较大．12.已知函数y =f （x -1）的图象关于点（1，0）对称，且当x ∈（-∞，0）时，f （x ）+xf ′（x ）＜0成立（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数），若a =（30.3）•f （30.3），b =（log π3）•f （log π3），c =（log 3）•f （log 3），则 a ，b ，c 的大小关系是（ ）A.a ＞b ＞cB.c ＞a ＞bC.c ＞b ＞aD.a ＞c ＞b 【答案】 B【解析】解：∵当x ∈（-∞，0）时不等式f （x ）+xf ′（x ）＜0成立，即：（xf （x ））′＜0， ∴xf （x ）在 （-∞，0）上是减函数．又∵函数y =f （x -1）的图象关于点（1，0）对称， ∴函数y =f （x ）的图象关于点（0，0）对称， ∴函数y =f （x ）是定义在R 上的奇函数 ∴xf （x ）是定义在R 上的偶函数∴xf （x ）在 （0，+∞）上是增函数．又∵30.3＞1＞log23＞0＞=-2，2=-＞＞＞＞，∴（-）f（-）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3），即（）f（）＞30.3•f（30.3）＞（logπ3）•f（logπ3）即：c＞a＞b故选B．由函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称，知f（x）为奇函数，当x∈（-∞，0）时，f（x）+xf′（x）＜0成立，所以xf（x）为减函数，由此能判断a，b，c的大小关系．本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数函数性质的合理运用．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设a=dx，则二项式展开式中的常数项为______ ．【答案】15【解析】解：a=dx=lnx=1，∴二项式=的展开式中的通项公式为T r+1=•（-1）r•x12-3r，令12-3r=0，求得r=4，故展开式中的常数项为=15，故答案为：15．求出a，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C=π，sin A=，c-a=5-，则b=______ ．【答案】【解析】解：因为C=π，sin A=，所以cos A==，由三角形内角和得B=，所以sin B=sin（）=sin cos A-cos sin A==，已知C=，所以sin C=，由正弦定理得=，又因为c-a=5-，所以c=5，a=，由sin B=，所以b===，故答案为：．由已知可求得cos A，sin B，sin C，由正弦定理得=，又因为c-a=5-，从而可求得a，即可由正弦定理求b=的值．本题主要考查了正弦定理、两角差的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．15.若函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则实数a的取值范围是______ ．【答案】（0，1）∪（1，4]【解析】解：函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，其真数在实数集上恒为正，即＞恒成立，即存在x∈R使得≤4，又a＞0且a≠1故可求的最小值，令其小于等于4∵∴4，解得a≤4，故实数a的取值范围是（0，1）∪（1，4]故应填（0，1）∪（1，4]函数，（a＞0且a≠1）的值域为R，则其真数在实数集上恒为正，将这一关系转化为不等式求解参数的范围即可．考查存在性问题的转化，请读者与恒成立问题作比较，找出二者逻辑关系上的不同．16.已知，是单位向量，•=0，若向量与向量、共面，且满足|--|=1，则||的取值范围是______ ．【答案】[-1，+1]【解析】解：由，是单位向量，•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），∵向量满足|-+|=1，∴|（x-1，y+1）|=1，∴=1，即（x-1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，-1），半径r=1．∴|OC|=．∴-1≤||=≤+1．∴||的取值范围是[-1，+1]．故答案为：[-1，+1]．由，是单位向量，•=0．可设=（1，0），=（0，1），=（x，y），由向量满足|-+|=1，可得（x-1）2+（y+1）2=1．其圆心C（1，-1），半径r=1．利用|OC|-r≤||=≤|OC|+r即可得出．本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.等差数列{a n}中公差d≠0，a1=3，a1、a4、a13成等比数列．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设{a n}的前n项和为S n，求：．【答案】解：（I）∵a1、a4、a13成等比数列．∴，∴（3+3d）2=3（3+12d），化为d2-2d=0，d≠0，解得d=2．∴a n=3+2（n-1）=2n+1．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），∴．∴=++…+=．=-．【解析】（I）a1、a4、a13成等比数列．可得，利用等差数列的通项公式可得（3+3d）2=3（3+12d），解出即可．（II）由（I）可得：S n==n（n+2），．利用“裂项求和”即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了计算能力，属于基础题．18.某公司开发一新产品有甲、乙两种型号，现分别对这两种型号产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5（Ⅰ）画出甲、乙两产品数据的茎叶图；（Ⅱ）现要从甲、乙中选一种型号产品投入生产，从统计学角度，你认为生产哪种型号产品合适？简单说明理由；（Ⅲ）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及期望Eξ．【答案】解：（Ⅰ）由已知作出甲、乙两产品数据的茎叶图如图：（Ⅱ）甲=（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，=（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5，乙=[（8.3-8.5）2+（9.0-8.5）2+（7.9-8.5）2+（7.8-8.5）2+（9.4-8.5）2+（8.9-8.5）甲2+（8.4-8.5）2+（8.3-8.5）2]=0.27，=[（9.2-8.5）2+（9.5-8.5）2+（8.0-8.5）2+（7.5-8.5）2+（8.2-8.5）2+（8.1-8.5）乙2+（9.0-8.5）2+（8.5-8.5）2]=0.405，∵甲=乙，甲＜乙，∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小，说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B（3，），∴P（ξ=0）=（）3=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：∴Eξ==．【解析】（Ⅰ）由已知数据能作出甲、乙两产品数据的茎叶图．（Ⅱ）分别求出甲，乙，甲，乙，得到甲=乙，甲＜乙，这说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适．（Ⅲ）依题意，乙不低于8.5分的频率为，ξ的可能取值为0，1，2，3，ξ～B（3，），由此能求本题主要考查茎叶图、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．19.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，AB=A1B=AC=1，BB1=．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ABC；（Ⅱ）若P是棱B1C1的中点，求二面角P-AB-A1的余弦值．【答案】（Ⅰ）证明：∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AC⊥BB1，又AB∩BB1=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又A1B⊂平面ABB1A1，∴AC⊥A1B，∵AB=A1B=AC=1，BB1=，∴，∴A1B⊥AB，又AC∩AB=A，∴A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）解：以A1C1，A1B1，BA1所在直线为x，y，z轴建立如图A1-xyz直角坐标系，A1（0，0，0），P（，，0），B（0，0，-1），==（0，1，0），=（-，-，-1），设平面PAB的法向量=（x，y，z），则•=0，即y=0，•=（x，y，z）•（-，-，-1）=0，即-x-z=0，取z=1，x=-2，∴=（-2，0，1），设平面ABA1B1的法向量=（1，0，0），cos＜，＞=||==．∴二面角P-AB-A1的余弦值为．【解析】（Ⅰ）由已知得AC⊥平面ABB1A1，从而AC⊥A1B，由勾股定理得A1B⊥AB，从而能证明A1B⊥平面ABC．（Ⅱ）以B为原点，以BC，BA，BB1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-A1的余弦值．本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知函数f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]e x（其中a∈R）．（Ⅰ）若x=0为f（x）的极值点，求a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，解不等式＞．【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=[ax2+（a-1）2x+a-（a-1）2]e x．∴f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，∵x=0为f（x）的极值点，∴f′（0）=a•e0=0，∴a=0；经检验成立；（Ⅱ）当a=0时，不等式＞可化为（x-1）e x＞（x-1）（x2+x+1），即（x-1）（e x-（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x-（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x-x-1，h′（x）=e x-1；当x＞0时，h′（x）=e x-1＞0，当x＜0时，h′（x）=e x-1＜0；故h（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以h（x）＞h（0）=0；故g（x）在R上单调递增，且g（0）=0；故e x-（x2+x+1）＞0，x＞0；e x-（x2+x+1）＜0，x＜0；所以原不等式的解集为{x|x＜0或x＞1}．【解析】（Ⅰ）求导f′（x）=[ax2+（a2+1）x+a]e x，从而可得a=0；（Ⅱ）当a=0时，不等式＞可化为（x-1）e x＞（x-1）（x2+x+1），即（x-1）（e x-（x2+x+1））＞0，令g（x）=e x-（x2+x+1），h（x）=g′（x）=e x-x-1，从而由导数解不等式．本题考查了导数的综合应用及不等式的解法的应用，属于中档题．21.已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，交直线：于点M，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：△AFQ为等腰三角形，并求抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，交直线l于点N，求△PMN面积的最小值，并求取到最小值时的x1值．【答案】解：（1）设，，则A处的切线方程为：，可得：，，，∴；∴△AFQ为等腰三角形．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ的中点，∴|AF|=4，得：∴p=2，C：x2=4y．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为联立得到点P，，联立得到点M，．同理，，设h为点P到MN的距离，则==①设AB的方程为y=kx+b，则b＞0，由得到x2-4kx-4b=0，得代入①得：S△==，要使面积最小，则应k=0，得到②令，得=，则′=，所以当，时，S（t）单调递减；当，∞时，S（t）单调递增，所以当时，S取到最小值为，此时，k=0，所以，解得．故△PMN面积取得最小值时的x1值为．【解析】（1）设，，则A处的切线方程为：，即可得到得D，Q的坐标，利用两点间的距离公式即可得到|FQ|=|AF|．由点A，Q，D的坐标可知：D为线段AQ 的中点，利用等腰三角形的性质可得FD⊥AQ，可得|AF|，利用两点间的距离公式及点A满足抛物线的方程即可得出．（2）设B（x2，y2）（x2＜0），则B处的切线方程为，与切线l1的方程联立即可得到点P的坐标，同理求出点M，N的坐标．进而得到三角形PMN的面积（h为点P到MN的距离），利用表达式及其导数即可得到最小值，即可得出x1的值．本题综合考查了利用导数的几何意义得到抛物线的切线的斜率、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、等腰三角形的性质、利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识与方法，熟练掌握其解题模式是解题的关键．22.如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DM•AC+DM•AB．【答案】解：（1）连接BE、OE，则∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，又∵D是BC的中点，∴ED是R t△BEC的中线，可得DE=BD．又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．可得∠OED=∠OBD=90°，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．可得DE2=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．∵OH=，OD为△ABC的中位线，得DO=，∴，化简得2DE2=DM•AC+DM•AB．【解析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DM•AC+DM•AB成立．本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．23.在直角坐标系xoy中，直线I的参数方程为（t为参数），若以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（1）求直线I被曲线C所截得的弦长；（2）若M（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的最大值．【答案】解：（1）直线I的参数方程为（t为参数），消去t，可得，3x+4y+1=0；由于ρ=cos（θ+）=（），即有ρ2=ρcosθ-ρsinθ，则有x2+y2-x+y=0，其圆心为（，-），半径为r=，圆心到直线的距离d==，故弦长为2=2=；（2）可设圆的参数方程为：（θ为参数），则设M（，），则x+y==sin（），由于θ∈R，则x+y的最大值为1．【解析】（1）将曲线C化为普通方程，将直线的参数方程化为标准形式，利用弦心距半径半弦长满足的勾股定理，即可求弦长．（2）运用圆的参数方程，设出M，再由两角和的正弦公式化简，运用正弦函数的值域即可得到最大值．本题考查参数方程化为标准方程，极坐标方程化为直角坐标方程，考查参数的几何意义及运用，考查学生的计算能力，属于中档题．24.已知函数f（x）=|x-1|（Ⅰ）解不等式f（2x）+f（x+4）≥8；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞．【答案】（Ⅰ）解：f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=，＜，＜，，当x＜-3时，由-3x-2≥8，解得x≤-；当-3＜时，由-x+4≥8，解得x∈∅；当x≥时，由3x+2≥8，解得x≥2…4分所以，不等式f（2x）+f（x+4）≥8的解集为{x|x≤-或x≥2}…5分；（Ⅱ）证明：＞等价于f（ab）＞|a|f（），即|ab-1|＞|a-b|，因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab-1|2-|a-b|2=（a2b2-2ab+1）-（a2-2ab+b2）=（a2-1）（b2-1）＞0，所以，|ab-1|＞|a-b|，故所证不等式成立…10分．【解析】（Ⅰ）依题意，f（2x）+f（x+4）=|2x-1|+|x+3|=，＜，＜，，利用分段函数分段解不等式f（2x）+f（x+4）≥8，即可求得其解集．（Ⅱ）|a|＜1，|b|＜1，＞⇔f（ab）＞|a|f（）⇔|ab-1|＞|a-b|，要证该不等式成立，只需证明|ab-1|2-|a-b|2＞0即可．本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考运算及推理、证明能力，属于中档题．。
2015年河南省六市高考数学二模试卷(文科)
2015年河南省六市高考数学二模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={0，b}，B={x∈Z|x2-3x＜0}，若A∩B≠∅，则b等于（）A.1B.2C.3D.1或2【答案】D【解析】解：∵集合B={x∈Z|x2-3x＜0}={1，2}，集合A={0，b}，若A∩B≠∅，则b=1或b=2，故选：D．解不等式求出集合B，进而根据A∩B≠∅，可得b值．本题考查的知识点是集合的交集及其运算，难度不大，属于基础题．2.若复数z满足（2-i）z=|1+2i|，则z的虚部为（）A.-B.C.D.-【答案】B【解析】解：设复数z=a+bi（a，b∈R），∵复数z满足（2-i）z=|1+2i|，∴（2-i）（a+bi）=，∴2a+b+（2b-a）i=，∴，解得．故选：B．设复数z=a+bi（a，b∈R），由于复数z满足（2-i）z=|1+2i|，可得2a+b+（2b-a）i=，利用复数相等即可得出．本题考查了复数的运算和相等，属于基础题．3.下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在（-∞，0）上单调递增的函数是（）A.f（x）=x2B.f（x）=-log2|x|C.f（x）=3|x|D.f（x）=sinx【答案】B【解析】解：A．f（x）=x2是偶函数，在（-∞，0）上单调递减，不满足条件．B．f（x）=-log2|x|是偶函数，在（-∞，0）上单调递增，满足条件．C．f（x）=3|x|是偶函数，在（-∞，0）上单调递减，不满足条件．D．f（x）=sinx是奇函数，不满足条件．故选：B根据函数奇偶性和单调性的定义和性质分别进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，比较基础．4.下列有关命题的说法正确的是（）A.命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2-x+1＜0”B.“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件C.若“p∧（￢q）”为真命题，则“p∧q”也为真命题D.存在m∈R，使f（x）=（m-1）-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上是递增的【答案】B【解析】解：对于A，命题“∀x∈R，均有x2-x+1＞0”的否定是：“∃x∈R，使得x2-x+1＜0”，不满足特称命题与全称命题的否定关系，所以A不正确；对于B，“x=3”可以推出“2x2-7x+3=0”成立，但是2x2-7x+3=0，不一定有x=3，所以“x=3”是“2x2-7x+3=0”成立的充分不必要条件，所以B正确．对于C，若“p∧（￢q）”为真命题，说明P，￢q是真命题，则“p∧q”也为假命题，所以C不正确；对于D，存在m∈R，使f（x）=（m-1）-4m+3是幂函数，可得m=2，函数化为：f （x）=x0=1，所函数在（0，+∞）上是递增的是错误的，所以D不正确；故选：B．利用命题的否定判断A的正误；利用充要条件判断B的正误；利用命题的真假判断C 的正误；幂函数的定义判断D的正误；本题考查命题的真假的判断，命题的否定、充要条件、复合命题的真假以及幂函数的性质的应用，基本知识的考查．5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入n的值为100，则输出S的值为（）A.-1050B.5050C.-5050D.-4950【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可知：s=0，k=1满足条件k≤100，不满足条件k是偶数，s=12，k=2满足条件k≤100，满足条件k是偶数，s=12-22，k=3…该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=12-22+32-42+…+992-1002的值，∵S=12-22+32-42+…+992-1002=（1-2）（1+2）+（3-4）（3+4）+…+（99-100）（99+100）=-（1+2+3+4+…+99+100）=-=-5050，故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为（）A.3+3B.8+3C.6+6D.8+6【答案】B【解析】解：由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，下底面为边长为2的正方形，面积为4；上底面为边长为1的正方形，面积为1；左侧面和后侧面是上底为1，下底为2，高为1的梯形，每个面的面积为右侧面和前侧面是上底为1，下底为2，高为的梯形，每个面的面积为故该几何体的表面积为4+1+2×+2×=8+3故选：B由已知中三视图可得该几何体为一个棱台，根据已知分析各个面的形状，求出面积后，相加可得该几何体的表面积本题考查的知识点是由三视图，求表面积，其中根据已知分析出几何体的形状及棱长是解答的关键．7.设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S m-1=5，S m=-11，S m+1=21，则m=（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】解：在等比数列中，∵S m-1=5，S m=-11，S m+1=21，∴a m=S m-S m-1=-11-5=-16，a m+1=S m+1-S m=21-（-11）=32，则公比q=，∵S m=-11，∴，①又，②两式联立解得m=5，a1=-1，故选：C．根据等比数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组即可解得m的值．本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式的计算和应用，考查学生的计算能力．8.过点M（1，2）的直线l与圆C：（x-3）2+（y-4）2=25交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程是（）A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+1=0D.x+y-3=0【答案】D【解析】解：将圆的方程化为标准方程为（x-3）2+（y-4）2=25，∴圆心坐标C为（3，4），∵M（1，2），∴k CM==1，∴k AB=-1，则此时直线l的方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0．故选：D．当直线AB与直线CM垂直时，∠ACB最小，由M与C的坐标求出直线CM的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1求出直线AB的斜率，由M坐标与求出的斜率即可得出此时直线l的方程．此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小关系来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r 时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．根据题意得出当直线AB与直线CM垂直时∠ACB最小是解本题的关键．9.定义式子运算为=a1a4-a2a3将函数f（x）=的图象向左平移n（n＞0）个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由题意可知f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）将函数f（x）的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到y=2cos（x+n+）为偶函数∴2cos（-x+n+）=2cos（x+n+）∴cosxcos（n+）+sinxsin（n+）=cosxcos（n+）-sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=-sinxsin（n+）∴sinxsin（n+）=0∴sin（n+）=0∴n+=kπ∴n=-+kπn大于0的最小值等于故选C．先根据题意确定函数f（x）的解析式，然后根据左加右减的原则得到平移后的解析式，再根据偶函数的性质可确定n的值．本题主要考查两角和与差的余弦公式、三角函数的奇偶性和平移变换．平移时根据左加右减上加下减的原则进行平移．10.已知函数f（x）=x3+ax2+cx，g（x）=ax2+2ax+c，a≠0，则它们的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：因为f（x）=，f′（x）=ax2+2ax+c，则函数f′（x）即g（x）图象的对称轴为x=-1，故可排除A，D；由选项C的图象可知，当x＞0时，f'（x）＞0，故函数在（0，+∞）上单调递增，但图象中函数f（x）在（0，+∞）上不具有单调性，故排除C．本题应选B．故选：B．求出函数f（x）的导数，判断导函数的对称轴，排除选项，利用函数的单调性排除C，推出结果．本题考查函数的图象的判断，导数的应用，考查分析问题解决问题的能力．11.已知抛物线的方程为y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若S△AOF=3S△BOF（O为坐标原点），则|AB|=（）A. B. C. D.4【答案】A【解析】解：设直线的AB的倾斜角为锐角，∵S△AOF=3S△BOF，∴y A=-3y B，∴设AB的方程为x=my+1，与y2=4x联立消去x得，y2-4my-4=0，∴y A+y B=4m，y A y B=-4．∴+==-2==-3-，∴m2=，∴|AB|=•=．故选：A．根据对称性可设直线的AB的倾斜角为锐角，利用S△AOF=3S△BOF，求得y A=-3y B，设出直线AB的方，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理表示出y A+y B和y A y B，进而求得利用+，求得m，最后利用斜率和A，B的坐标求得|AB|．本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题．要注意解题中出了常规的联立方程，用一元二次方程根与系数的关系表示外，还可考虑运用某些几何性质．12.设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f （x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=（）A.0B.2014C.4028D.4031【答案】D【解析】解：∵f（x）=x3+sinx+1，∴f′（x）=3x2-cosx，f''（x）=6x+sinx又∵f''（0）=0而f（x）+f（-x）=x3+sinx+1+-x3-sinx+1=2，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，∴f（-2015）+f（-2014）+f（-2013）+…+f（2014）+f（2015）=2×2015+f（0）=4030+1=4031．故选：D．函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，1），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，再利用倒序相加，即可得到结论本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=2，是解题的关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.已知向量=（，1），=（0，-1），=（t，），若-2与共线，则t= ______ ．【答案】1【解析】解：∵=（，1），=（0，-1），∴-2=，，，，又=（t，），且-2与共线，则，解得：t=1．故答案为：1．由向量减法的坐标运算及数乘运算求得若-2的坐标，再由向量共线的坐标表示列式求得t的值．平行问题是一个重要的知识点，在高考题中常常出现，常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别．若=（a1，a2），=（b1，b2），则⊥⇔a1a2+b1b2=0，∥⇔a1b2-a2b1=0，是基础题．14.设x，y满足，则z=2x-y的最大值为3，则m= ______ ．【答案】【解析】解：由z=2x-y，得y=2x-z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x-z，由平移可知当直线y=2x-z，经过点A时，直线y=2x-z的截距最小，此时z取得最大值3，由，解得，即A（，）．将A的坐标代入x-y+m=0，得m=y-x=-=，故答案为：．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合z=2x-y的最大值为3，利用数形结合即可得到结论．．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15.一个所有棱长均为的正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影是底面的中心）的顶点与底面的三个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为______ ．【答案】【解析】解：正三棱锥的边长为，则该正三棱锥所在的正方体也为外接球的内接几何体．所以正方体的体对角线为外接球的直径．正方体的边长为1，所以所求球的半径为：r=，所以球的体积为：V球=．故答案为：求出正四棱锥底面对角线的长，判断底面对角线长，就是球的直径，即可求出球的体积．本题是中档题，考查空间想象能力，注意正三棱锥和正方体的转化，正方体额对角线的长是球的直径是解题的关键点，考查计算能力．16.对正整数n，设曲线y=x n（1-x）在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n，则数列的前n项和的公式是______ ．【答案】2n+1-2【解析】解：y′=nx n-1-（n+1）x n，曲线y=x n（1-x）在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-（n+1）2n切点为（2，-2n），所以切线方程为y+2n=k（x-2），令x=0得a n=（n+1）2n，令b n=．数列的前n项和为2+22+23+…+2n=2n+1-2．故答案为：2n+1-2．欲求数列的前n项和，必须求出在点（1，1）处的切线方程，须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=2处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即得直线方程进而得到切线与y轴交点的纵坐标．最后利用等比数列的求和公式计算，从而问题解决．本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前n项和的公式．解后反思：应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点．否则容易出错．三、解答题(本大题共8小题，共94.0分)17.已知函数f（x）=cosxcos（x+）．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（c）=-，a=2，且△ABC 的面积为2，求边长c的值．【答案】解：（1）化简可得f（x）=cosxcos（x+）=cosx（cosx-sinx）=cos2x-sinxcosx=-sin2x=cos（2x+）+，∴f（x）的最小正周期T==π；（2）由题意可得f（C）=cos（2C+）+=-，∴cos（2C+）=-1，∴C=，又∵△ABC的面积S=absin C=ab=2，∴ab=8，∴b===4，由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=12，∴c=2【解析】（1）由三角函数公式化简可得f（x）=cos（2x+）+，由周期公式可得；（2）结合（1）可得C=，由题意和面积公式可得ab的值，进而由余弦定理可得c值．本题考查余弦定理，涉及三角函数的周期性和三角形的面积公式，属中档题．18.某市一水电站的年发电量y（单位：亿千瓦时）与该市的年降雨量x（单位：毫米）有如下统计数据：（Ⅰ）若从统计的5年中任取2年，求这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）由表中数据求得线性回归方程为=0.004x+．该水电站计划2015年的发电量不低于9.0亿千瓦时，现由气象部门获悉2015年的降雨量约为1800毫米，请你预测2015年能否完成发电任务，若不能，缺口约为多少亿千瓦时？【答案】解：（I）从统计的5年发电量中任取2年的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，9.2），（7.4，7.9），（7.4，10.0），（7.0，9.2），（7.0，7.9），（7.0，10.0），（9.2，7.9），（9.2，10.0），（7.9，10.0）共10个．（3分）其中2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件为（7.4，7.0），（7.4，7.9），（7.0，7.9），共3个．（5分）所以这2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率．（6分）（II）∵，（7分）．（8分）又直线过点，，（9分）∴，解得，∴．（10分）当x=1800时，＜，（11分）所以不能完成发电任务，缺口量为0.3（亿千瓦时）．（12分）【解析】（Ⅰ）确定从统计的5年发电量中任取2年的基本事件、2年发电量都低于8.0（亿千瓦时）的基本事件，即可求出这2年的发电量都低于8.0（亿千瓦时）的概率；（Ⅱ）先求出线性回归方程，再令x=1800，即可得出结论．本题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、抽象概括能力、运算求解能力以及应用意识，考查或然与必然思想、化归与转化思想．19.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为的正方形，AA1=3，点E在棱B1B上运动．（Ⅰ）证明：AC⊥D1E；（Ⅱ）若三棱锥B1-A1D1E的体积为时，求异面直线AD，D1E所成的角．【答案】解：（Ⅰ）如下图所示：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，∴B1B⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴B1B⊥AC，∴AC⊥平面B1BDD1．∵D1E⊂平面B1BDD1，∴AC⊥D1E．（Ⅱ）∵，EB1⊥平面A1B1C1D1，∴．∵，∴．∴EB1=2．∵AD∥A1D1，∴∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角．在R t△EB1D1中，求得．∵D1A1⊥平面A1ABB1，∴D1A1⊥A1E．在R t△EB1D1中，得∠，∴∠A1D1E=60°．∴异面直线AD，D1E所成的角为60°．【解析】（Ⅰ）首先，连结BD，可以首先，证明AC⊥平面B1BDD1，然后，得到AC⊥D1E；（Ⅱ）首先，可以得到∠A1D1B1为异面直线AD，D1E所成的角，然后，根据，求解得到，∠A1D1E=60°．本题重点考查了线面垂直、线线垂直的判定与性质、异面直线所成的角等知识，属于中档题．20.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，四个顶点所围成菱形的面积为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），O为坐标原点，且k OA•k OB=-，求y1，y2的取值范围．【答案】解：（I）由已知可得e==，•2a•2b=8，又a2=b2+c2，解得c=2，b=2，a2=8．∴椭圆的方程为+=1．（II）直线L：y=kx+m与椭圆C交于两个不同点A（x1，x2）和B（x2，y2），联立，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0，△=16k2m2-4（1+2k2）（2m2-8）＞0，化为8k2+4＞m2，①∴x1+x2=，x1x2=．∵满足k OA•k OB=-，∴=-．∴y1y2=-x1x2=-•=-，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=k2•+km•+m2=．∴-=．∴4k2+2=m2，即有y1y2=-=-=-2，则y1y2∈（-2，2]．【解析】（I）利用菱形的面积和椭圆的性质即可得出；（II）联立直线方程和椭圆方程，消去y，运用韦达定理和判别式大于0，以及直线的斜率公式，化简整理，即可得到y1y2的范围．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线的斜率公式、菱形的面积计算公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．21.已知函数f（x）=-1．（1）判断函数f（x）的单调性；（2）设m＞0，求f（x）在[m，2m]上的最大值；（3）证明：∀n∈N*，不等式ln（）e＜．【答案】解：（1）函数f（x）的定义域是：（0，+∞）由已知′令f′（x）=0得，1-lnx=0，∴x=e∵当0＜x＜e时，′＞，当x＞e时，′＜∴函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减，（2）由（1）知函数f（x）在（0，e]上单调递增，在[e，+∞）上单调递减故①当0＜2m≤e即＜时，f（x）在[m，2m]上单调递增∴，②当m≥e时，f（x）在[m，2m]上单调递减∴，③当m＜e＜2m，即＜＜时∴．（3）由（1）知，当x∈（0，+∞）时，，∴在（0，+∞）上恒有，即且当x=e时“=”成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒有，∵＞，，∴＜＜即对∀n∈N*，不等式＜恒成立．【解析】（1）利用商的求导法则求出所给函数的导函数是解决本题的关键，利用导函数的正负确定出函数的单调性；（2）利用导数作为工具求出函数在闭区间上的最值问题，注意分类讨论思想的运用；（3）利用导数作为工具完成该不等式的证明，注意应用函数的最值性质．此题是个中档题．本题考查导数在函数中的应用问题，考查函数的定义域思想，考查导数的计算，考查导数与函数单调性的关系，考查函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．22.如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E．（1）求证：AB2=DE•BC；（2）若BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．【答案】解：（1）∵AD∥BC∴AB=DC，∠EDC=∠BCD，又PC与⊙O相切，∴∠ECD=∠DBC，∴△CDE∽△BCD，∴，∴CD2=DE•BC，即AB2=DE•BC．（2）由（1）知，，∵△PDE∽△PBC，∴．又∵PB-PD=9，∴，．∴．∴．【解析】对于（1）求证：AB2=DE•BC，根据题目可以判断出梯形为等腰梯形，故AB=CD，然后根据角的相等证△CDE相似于△BCD，根据相似的性质即可得到答案．对于（2）由BD=9，AB=6，BC=9，求切线PC的长．根据弦切公式可得PC2=PD•PB，然后根据相似三角形边成比例的性质求出PD和PB代入即可求得答案．此题主要考查由相似三角形的性质解三角形的一系列问题，其中应用到弦切公式，题目属于平面几何的问题，涵盖的知识点比较多，有一定的技巧性，属于中档题目．23.在直角坐标系x O y中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【答案】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x-1）2+y2=1，∴ρ2-2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1-ρ2|=2．∴|PQ|=2．【解析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1-ρ2|即可得出．本题考查了利用极坐标方程求曲线的交点弦长，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．24.设函数f（x）=|x+1|+|x|（x∈R）的最小值为a．（I）求a；（Ⅱ）已知两个正数m，n满足m2+n2=a，求+的最小值．【答案】解：（I）函数f（x）=|x+1|+|x|=，＜，，＞，当x∈（-∞，0]时，f（x）单调递减；当x∈[0，+∞）时，f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值a=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，由m2+n2≥2mn，得mn≤，∴≥2故有+≥2≥2，当且仅当m=n=时取等号．所以+的最小值为2．【解析】（I）化简函数的解析式，再利用函数的单调性求得函数的最小值，再根据函数的最小值为a，求得a的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知m2+n2=1，利用基本不等式求得≥2，再利用基本不等式求得+的最小值．本题主要考查带有绝对值的函数，利用函数的单调性求函数的最值，基本不等式的应用，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学试题(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)-(24)题为选考题,其他题为必考题。
考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号,非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。
3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。
4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。
5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
参考公式:样本数据x1,x2,…x n的标准差锥体体积公式s=1n[(x1-x)2+(x2-x)2+…+(x n-x)2]V=13Sh其中x为样本平均数其中S为底面面积,h为高柱体体积公式球的表面积,体积公式V=S h S=4πR2V=43πR3其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.集合U={1,2,3,4,5,6},N={1,4,5},M={2,3,4},则N∩(瓓U M)=A.{1,4,5}B.{1,5}C.{4}D.{1,2,3,4,5}2.已知复数z=(a2-1)+(a-2)i(a∈R),则“a=1”是“z为纯虚数”的A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件3.若向量a=(1,2),b=(-3,4),则(a・b)(a+b)=A.20B.(-10,30)C.54D.(-8,24)4.过点M(1,2)的直线l与圆C:(x-3)2+(y-4)2=25交于A、B两点,C为圆心,当∠ACB最小时,直线l的方程是A.x-2y+3=0B.2x+y-4=0C.x-y+1=0D.x+y-3=05.某几何体的三视图如图所示,侧视图、俯视图都是边长为1的正方形,则此几何体的外接球的表面积为A.3πB .4πC.2πD.52π6.若α,β∈(0,π2),cos(α-β2)=32,s in(α2-β)=-12,则cos(α+β)的值等于A.-32B.-12C.12D.327.气象意义上从春季进入夏季的标志为:“连续5天的日平均温度均不低于22℃”.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数,单位℃):①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22;②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24;③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.2.则肯定进入夏季的地区有A.0个 B.1个 C.2个 D.3个8.给出一个如图所示的流程图,若要使输入的x 值与输出的y 值相等,则这样的x 值的个数是A.1B.2C.3D.49.若函数f(x)=(1+3ta n x)cosx ,0≤x <π2,则f (x)的最大值为A.1 B.2C.3+1 D.3+210.三棱锥S —ABC 中,∠SBA =∠SCA =90°,△ABC 是斜边AB =a 的等腰直角三角形,则以下结论中:①异面直线SB 与AC 所成的角为90°;②直线SB ⊥平面ABC ;③平面SBC ⊥平面SAC;④点C 到平面S AB 的距离是12a.其中正确结论的个数是A.1 B.2 C.3 D.411.已知a >b >0,椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1,双曲线C 2的方程为x 2a 2-y 2b2=1,C 1与C 2的离心率之积为32,则C 1、C 2的离心率分别为A.12,3 B.22,62 C.64,2 D.14,2312.已知函数y =f (x -1)的图象关于点(1,0)对称,且当x ∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(其中f'(x)是f (x)的导函数),若a =(30.3)・f (30.3),b =(log π3)・f (log π3),c =(log 319)・f (log 319),则a ,b ,c 的大小关系是A.a >b >c B .c >a >b C.c >b >a D.a >c >b第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题～第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题～第(24)题为选考题,考试根据要求做答。
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.设实数x、y满足x+2y≤62x+y≤6x≥0,y≥0,则z=2x+3y-1的最大值是.14.若函数f(x)=log a(x+ax-1)(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞),则实数a的取值范围是.15.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且C=34π,s i nA=55,c-a=5-10,则b=.16.已知a,b,是单位向量,a・b=0,若向量c与向量a,b共面,且满足|a-b-c|=1,则|c|的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤17.本小题满分12分)等差数列{a n}中公差d≠0,a1=3,a1、a4、a13成等比数列.(Ⅰ)求a n;(Ⅱ)设{a n}的前n项和为S n,求:1S1+1S2+…+1S n.18.本小题满分12分)某种产品按质量标准分成五个等级,等级编号x依次为1、2、3、4、5,现从一批产品中随机抽取20件,对其等级编号进行统计分析,得到频率分布表如下:x12345频率a0.30.35b c(Ⅰ)若所抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,等级编号为5的恰有4件,求a,b,c的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,将等级编号为4的2件产品记为x1、x2,等级编号为5的4件产品记为y1、y2、y3、y4,现从x1、x2、y1、y2、y3、y4,这6件产品中任取两件(假定每件产品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件产品的等级编号恰好相同的概率.19.本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B⊥平面ABC,AB⊥AC.(Ⅰ)求证:AC⊥BB1;(Ⅱ)若P是棱B1C1的中点,求平面P AB将三棱柱ABC-A1B1C1分成的两部分体积之比.20.本小题满分12分)已知函数f(x)=[ax 2+(a -1)2x +a -(a -1)2]e x (其中a ∈R ).(Ⅰ)若x =0为f (x)的极值点,求a 的值;(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,解不等式f(x)>(x -1)(12x 2+x +1).21.本小题满分12分)已知抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F ,抛物线上一点A 的横坐标为x 1(x 1>0),过点A 作抛物线C 的切线l 1交x 轴于点D ,交y 轴于点Q ,交直线l ∶y =p 2于点M,当|FD |=2时,∠AF D =60°.(Ⅰ)求证:△AF Q 为等腰三角形,并求抛物线C 的方程;(Ⅱ)若点B 位于y 轴左侧的抛物线C 上,过点B 作抛物线C 的切线l 2交直线l 1于点P ,交直线l 于点N ,求△P MN 面积的最小值,并求取到最小值时的x 1值.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,△ABC 为直角三角形,∠ABC =90°,以AB 为直径的圆交AC 于点E ,点D 是BC 边的中点,连OD 交圆O 于点M.(Ⅰ)求证:O,B,D,E 四点共圆;(Ⅱ)求证:2DE 2=DM ・AC +DM ・AB.23.本题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =1+45t y =-1-35t (t 为参数),若以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+π4).(Ⅰ)求直线l 被曲线C 所截得的弦长;(Ⅱ)若M (x ,y)是曲线C 上的动点,求xy 的最大值.24.本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|x -1|(Ⅰ)解不等式f(2x)+f(x +4)≥8;(Ⅱ)若|a |<1,|b |<1,a ≠0,求证:f(ab)|a |>f (b a).高三数学试题(文科)参考答案一、选择题:1.B2.A3.B4.D5.A6.B7.C8.C9.B 10.D 11.B 12.B 二、填空题13.9 14.a >14且a ≠0 15.5 16.[2-1,2+1]三、解答题17.解:(Ⅰ)设a n =3+(n-1)d ∵a 1、a 4、a 13成等比数列,a 42=a 1・a 13,∴d =2.……2分故a n =3+2(n -1)=2n +1 ……4分(Ⅱ)S n =3+5+…+(2n +1)=n (n +2) ……6分∴1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n(n +2)=12(1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2)=12(1+12-1n +1-1n +2)=34-2n +32(n +1)(n +2)……12分18.解:(Ⅰ)由频率分布表得a +0.3+0.35+b +c =1,即a +b +c =0.35,∵抽取的20件产品中,等级编号为4的恰有2件,∴b =220=0.1, ……2分等级编号为5的恰有4件,∴c =420=0.2,∴a =0.35-b -c =0.05.故a =0.05,b =0.10,c =0.20. ……4分(Ⅱ)从产品x 1,x 2,y 1,y 2,y 3,y 4中任取两件,所有可能的结果为:{x 1,x 2},{x 1,y 1},{x 1,y 2},{x 1,y 3},{x 1,y 4},{x 2,y 1},{x 2,y 2},{x 2,y 3},{x 2,y 4},{y 1,y 2},{y 1,y 3},{y 1,y 4},{y 2,y 3},{y 2,y 4},{y 3,y 4},共15个. ……8分设A 表示“从x 1、x 2,y 1,y 2,y 3,y 4,这6件产品中任取两件,这两件产品的等级编号恰好相同”则A 包含的基本事件为:{x 1,x 2},{y 1,y 2},{y 1,y 3},{y 1,y 4},{y 2,y 3},{y 2,y 4},{y 3,y 4},共7个, ……10分故所求概率为:P (A )=715. ……12分19.解:(Ⅰ)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,因为A 1B ⊥平面ABC ,A 1B ＜平面ABB 1A 1,所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC.……2分因为平面ABB 1A 1∩平面ABC =AB ,AB ⊥AC ,所以AC ⊥平面ABB 1A 1,所以AC ⊥BB 1.……6分(Ⅱ)设平面P AB 与棱A 1C 1交于Q,因为P 为棱B 1C 1的中点,所以Q 是棱A 1C 1的中点,连接AQ ,P Q.设三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面积为S ,高为h ,体积为V ,则Sh =V.如图将棱台C 1P Q -ABC 还原为棱锥S -ABC 可求得V P QC 1-ABC =712V.……9分V AB-A1B1P Q=V-712V=512V,∴V P QC1-BACV AB-A1B1P Q=75……12分20.解:(Ⅰ)因为f(x)=[a x2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x∴f'(x)=[2ax+(a-1)2]e x+[ax2+(a-1)2x+a-(a-1)2]e x=[ax2+(a2+1)x+a]e x因为x=0为f(x)的极值点,所以由f'(0)=a e0=0,解得a=0检验,当a=0时,f'(x)=xe x,当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0.所以x=0为f(x)的极值点,故a=0.……4分(Ⅱ)当a=0时,不等式f(x)>(x-1)(12x2+x+1)Ｚ(x-1)e x>(x-1)(12x2+x+1)整理得(x-1)[e x-(12x2+x+1)]>0,即x-1>0e x-(12x2+x+1)>0或x-1<0e x-(12x2+x+1)<0……7分令g(x)=e x-(12x2+x+1),h(x)=g'(x)=e x-(x+1),h'(x)=e x-1,当x>0时,h'(x)=e x-1>0;当x<0时,h'(x)=e x-1<0,所以h(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增,所以h(x)>h(0)=0,即g'(x)>0,所以g(x)在R上单调递增,而g(0)=0;故e x-(12x2+x+1)>0Ｚx>0;e x-(12x2+x+1)<0Ｚx<0,所以原不等式的解集为{x|x<0或x>1}.……12分21.解:(Ⅰ)设A(x1,y1),则切线AD的方程为y=x1px-x212p,所以D(x12,0),Q(0,-y1),|FQ|=p2+y1,所以|FQ|=|FA|,所以△AF Q为等腰三角形,且D为AQ中点,所以DF⊥AQ,又∵|DF|=2,∠AF D =60°,∴∠QF D=60°,p2=1,得p=2,抛物线方程为x2=4y……4分(Ⅱ)设B(x2,y2)(x2<0),则B处的切线方程为y=x22x-x224由y=x12x-x214y=x22x-x224］P(x1+x22,x1x24),y=x12x-x214y=1］M(x12+2x1,1)同理N(x22+2x2,1)……6分所以面积S=12(x12+2x1-x22-2x2)(1-x1x24)=(x2-x1)(4-x1x2)216x1x2…①……8分设AB的方程为y=kx+b,则b>0由y=kx+bx2=4y］x2-4kx-4b=0,得x1+x2=4k,x1x2=-4b代入①得:S=16k2+16b(4+4b)264b=(1+b)2k2+bb,使面积最小,则k=0得到S=(1+b)2bb……②令b=t,……10分②得S(t)=(1+t 2)2t =t3+2t+1t,S′(t)=(3t2-1)(t2+1)t2,所以当t∈(0,33)时S(t)单调递减;当t∈(33,+∞)S(t)单调递增,所以当t=33时,S取到最小值为1639,此时b=t2=13,k=0,所以y1=13,即x1=233.……12分22.解:(Ⅰ)连接BE,则BE⊥EC,又D是BC的中点,所以DE=BD,又O E=O B,O D=O D,所以△ODE≌△ODB,所以∠O BD=∠O ED=90°,故D,E,O,B四点共圆.……5分(Ⅱ)延长DO交圆于点H,∵D E2=DM・DH=DM・(D O+OH)=DM・DO+DM・OH,∴DE2=DM・(12AC)+DM・(12A B),即2DE2=DM・A C+DM・A B……10分23.解:(Ⅰ)直线I的参数方程为x=1+45ty=-1-35t(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=2cos(θ+π4)=2(22cosθ-22si nθ),即有ρ2=ρcosθ-ρsi nθ,则有x2+y2-x+y=0,其圆心为(12,-12),半径为r=22,圆心到直线的距离d=|32-2+1|9+16=110,故弦长为2r2-d2=212-1100=75;……….5分(Ⅱ)可设圆的参数方程为:x=12+22cosθy=-12+22si nθ(θ为参数),则设M(12+22cosθ,-12+22si nθ),则xy=12si nθcosθ+24(s i nθ-cosθ)-14,令si nθ-cosθ=t,则t∈[-2,2]xy=14(1-t2)+24t-14=-14(t2-2t)≤18则xy的最大值为18.…….10分24.解:(Ⅰ)f(2x)+f(x+4)=|2x-1|+|x+3|=-3x-2,x<-3-x+4,-3≤x<12 3x+2,x≥12当x<-3时,由-3x-2≥8,解得x≤-103;当-3≤x<12时,-x+4≥8,无解;当x≥12时,由3x+2≥8,解得x≥2.……4分所以不等式f(2x)+f(x+4)≥8的解集为{x|x≤-103,或x≥2}.……5分(Ⅱ)f(ab)|a|>f(ba)等价于f(ab)>|a|f(ba),即|a b-1|>|a-b|.因为|a|<1,|b|<1,所以|a b-1|2-|a-b|2=(a2b2-2ab+1)-(a2-2ab+b2)=(a2-1)(b2-1)>0,所以|a b-1|>|a-b|.故所证不等式成立.……10分。