专题06 圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

专题六 圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了．根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想．模块1 整理方法 提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下3种：1．定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法．2．直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含未知数x 、y 的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法．3．参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x 、y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程，这种方法叫做参数法．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，需要找1N -个方程．常见的消参手法是：加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等．相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况．例1已知点()2,2P ，圆C ：2280x y y +-=，过点P 的动直线l 与圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．（1）求M 的轨迹方程；（2）当OP OM =时，求l 的方程及△POM 的面积．【解析】（1）法1（定义法）：圆心()0,4C ，由垂径定理可知CM PM ⊥，于是点M 在以CP 为直径的圆上，所以M 的轨迹方程为()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．法2（直接法）：设M 的坐标为(),x y ，由CM PM ⊥可得0CM PM ⋅=u u u u r u u u u r．(),4CM x y =-u u u u r ，()2,2PM x y =--u u u u r ，于是()()()2420x x y y -+--=，即()()22132x y -+-=．法3（参数法）：当l 的斜率不存在时，其直线方程为2x =，于是2840y y -+=，所以点M 的坐标为()2,4．当l 的斜率存在时，设直线方程为()22y k x -=-，(),M x y ．联立()222280y k x x y y ⎧-=-⎪⎨+-=⎪⎩消去y 可得()()()22221448120k x k k x k k +-+++-=，于是()2221k k x k +=+，将22y k x -=-代入，消去参数k ，可得2222222212y y x x x y x ⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+⎢⎥⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，整理可得()()22132x y -+-=（2x ≠）． 综上所述，M 的轨迹方程为()()22132x y -+-=．（2）法1：由OP OM =可知点M 在以原点为圆心，OP 为半径的圆上．联立()()22221328x y x y ⎧-+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得25145x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，于是点M 的坐标为214,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是直线l 的方程为()1223y x -=--，即380x y +-=．△POM的面积为11625=． 法2：由OP OM =可知点O 在PM 的垂直平分线上，而PM 的垂直平分线过圆心()1,3，所以直线l 的斜率为13-，直线方程为()1223y x -=--，即380x y +-=．因为OP =点O 到直线l的距离为d =，所以PM ==POM的面积为11625=． 【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为0，斜率乘积为1-，勾股定理．用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论．求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题．例2在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：()2259x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值．（1）求曲线1C 的方程；（2）设()00,P x y （03y ≠±）为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点A 、B 和C 、D ．证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值．【解析】（1）法1：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆2C 的圆心()5,0的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以()5,0为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，所以方程为220y x =．法2：设M 的坐标为(),x y ，由已知得()22253x x y +=-+，且点M 位于直线2x =-的右侧，于是20x +>()2255x y x -+=+，化简得曲线1C 的方程为220y x =．【证明】（2）当点P 在直线4x =-上运动时，设P 的坐标为()04,y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切的直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为()04y y k x -=+，即040kx y y k -++=025431k y kk ++=+，整理得2200721890k y k y ++-=…①．设过P 所作的两条切线PA 、PC 的斜率分别为1k 、2k ，则1k 、2k 是方程①的两个实根，所以001218724y yk k +=-=-…②． 由10124020k x y y k y x-++=⎧⎪⎨=⎪⎩可得21014020k y y y k -++=…③．设四点A 、B 、C 、D 的纵坐标分别为1y 、2y 、3y 、4y ，则1y 、2y 是方程③的两个实根，所以()01121204y k y y k +⋅=，同理可得()02342204y k y y k +⋅=．于是()()010*******40044y k y k y y y y k k ++==()()22201201200121212400416400166400y k k y k k y y k k k k k k ⎡⎤+++-+⎣⎦==．所以当P 在直线4x =-上运动时，四点A 、B 、C 、D 的纵坐标之积为定值6400．【点评】定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条件，其区别在于对所找的几何条件的理解．如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法．如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简．第（2）问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数．本题总共引进了六个参数：1k 、2k 、1y 、2y 、3y 、4y ，其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法．例3已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线1l 、2l 分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．【证明】（1）焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭．不妨设直线1l ：y a =，直线2l ：y b =，则2,2a A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,2b B b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,2P a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是1,22a b R +⎛⎫- ⎪⎝⎭．当线段AB 垂直于x 轴时，不妨设a b >，则有1,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,02R ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,12Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，于是1FQ k =，1AR k =，所以AR ∥FQ ．当线段AB 不垂直于x 轴时，直线AB 的斜率为22222a b k a b a b -==+-，方程为222a y a x a b ⎛⎫-=-⎪+⎝⎭，即()20x a b y ab -++=，因为F 在线段AB 上，所以1ab =-．于是1122FQ bk b ==---，22212111122ARa bba ab b k b a a b +----====-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭，所以AR ∥FQ ．【解析】（2）△PQF 的面积为2a b -．直线AB 与x 轴的交点为,02ab ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以△ABF的面积为11222aba b ⨯+-．由1222a b ab a b -=+-，可得11ab +=，于是0ab =（舍去）或2ab =-…①．设AB 中点为(),M x y ，则224a b x +=…②，2a by +=…③．③式平方，可得22224a b ab y ++=，将①②代入，可得21y x =-．方程消去2个参数，从而得到x 与y 之间的关系．一般来说，引进了N 个未知数与参数，要得到未知数x 与y 之间的关系，一般需要找1N -个方程．找到方程后，通过加、减、乘、除、模块2 练习巩固 整合提升练习1：已知圆M ：()2211x y ++=，圆N ：()2219x y -+=，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ．（1）求C 的方程；（2）l 是与圆P 、圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求AB ．【解析】（1）设动圆P 的半径为r ，则1PM r =+，3PN r =-，两式相加，可得4PM PN +=，所以圆心P 是以M 、N 为焦点，24a =的椭圆（左顶点除外）．2a =，1c =，b ，所以C 的方程为22143x y +=（2x ≠-）．（2）由（1）可知1PM r =+，3PN r =-，所以22PM PN r MN -=-≤，于是2r ≤，当且仅当点P 为()2,0时，等号成立，所以当圆P 的半径最长时，圆P 的方程为()2224x y -+=．①当l 的斜率不存在的时候，此时显然l 就是y轴，AB =②当l 的斜率存在的时候，显然l 的斜率不为0，设l 与x 轴交于点Q ，则有12QM QP=，即1122Q Qx x --=-，由此解得4Q x =-，且k ==)4y x =+．联立)224143y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y ，可得27880x x +-=．由弦长公式，有187AB ===． 练习2：已知椭圆C ：22142x y +=，()00,P x y 为椭圆C 外一点，过点P 作椭圆C 的两条切线PA 、PB ，其中A 、B 为切点．（1）当点()00,P x y 为定点时，求直线AB 的方程； （2）若PA 、PB 相互垂直，求点P 的轨迹方程． 【解析】（1）设()11,A x y 、()22,B x y ，则切线PA 方程为11142x x y y+=，点P 在切线PA 上，所以1010142x x y y +=…①．同理，切线PB 方程为22142x x y y+=，点P 在切线PB 上，所以2020142x x y y +=…②．由①②可得直线AB 的方程为00142x x y y+=，即00240x x y y +-=． （2）①若直线PA 、PB 的斜率都存在，不妨设其斜率分别为1k 、2k ，则121k k =-．设过点()00,P x y 的直线方程为()00y y k x x -=-．由()0022142y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()()()2220000214220kx k kx y x kx y +--+--=．因为直线与椭圆相切，所以()()()2222000016421220k kx y k kx y ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，即()22200004220x k x y k y -+-+=．由PA 、PB 与椭圆相切可知1k 、2k 是该方程的两个实数根，所以2122214y k k x -==--，即22006x y +=．②若直线PA 、PB 中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0，此时点P 的坐标为(2,2±±，满足22006xy +=．综上所述，点P 的轨迹方程为226x y +=．【点评】给定圆锥曲线C 和点()00,P x y ，用0x x 、0y y 、02x x +、02y y+分别替换2x 、2y 、x 、y ，得到直线l ，我们称点P 和直线l 为圆锥曲线C 的一对极点和极线．其结论如下：当P在圆锥曲线C 上的时候，其极线l 是曲线C 在点P 处的切线；当P 在圆锥曲线C 外的时候，其极线l 是曲线C 从点P 所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）；当P 在圆锥曲线C 内的时候，其极线l 是曲线C 过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹．特别地：椭圆22221x y a b +=（0a b >>），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=．双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >），与点()00,P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b-=．抛物线22y px =（0p >），与点()00,P x y 对应的极线方程为()00y y p x x =+．在椭圆22221x y a b +=（0a b >>）中，点(),0P c 对应的极线方程为2a x c=，这就是椭圆的右准线．本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法．第（2）小问也可以引进()11,A x y 、()22,B x y 、()00,P x y ，共2个未知数x 、y 和4个参数：1x 、1y 、2x 、2y ，利用以下5个方程进行消参：1010142x x y y +=、2020142x x y y +=、2211142x y +=，2222142x y +=、121214x x y y =-． 练习3：如图，抛物线1C ：24x y =和2C ：22x py =-（0p >）． 点()00,M x y 在抛物线2C 上，过M 作1C 的切线，切点分别为A 、B （M 为原点O 时，A 、B 重合于O ）．当012x =时，切线MA 的斜率为12-．（1）求p 的值；（2）当M 在2C 上运动时，求线段AB 中点N 的轨迹方程（A 、B 重合于O 时，中点为O ）．【解析】（1）因为抛物线1C ：24x y =上任意一点(),x y 的切线的斜率为2xy '=，且切线MA 的斜率为12-，所以点A 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，故切线MA 的方程为()11124y x =-++．因为点()01M y 在切线MA 及抛物线2C 上，所以有(01132244y =-+=和(2012py =-，由此可得2p =．（2）设(),N x y ，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭． 当12x x ≠时，因为N 是线段AB 的中点，所以有122x x x +=…①，22128x x y +=…②．切线MA 的方程为()211124x x y x x =-+，即21124x x x y =-，同理MB 的方程为22224x x x y =-．解此方程组，得MA 、MB 的交点()00,M x y 的坐标为1202x x x +=，1204x xy =，由此及点M 在抛物线2C 上，得2004x y =-，即2212126x x x x +=-…③．由①②③可得243x y =，0x ≠．当12x x =时，A ，B 重合于原点O ，此时线段AB 的中点N 为原点O ，坐标也满足上述方程．因此，线段AB 的中点N 的轨迹方程为243x y =．。