全等三角形知识结构图 (2)
《全等三角形》ppt课件人教版初中数学3
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、 “公共边”、“对顶角”
二.角的平分线：
1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB, ∴ △EBC≌△EBD (AAS)
（可简写成“ASA”) 如图，在R△ABC中，∠ACB=450，∠BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且
平分DE. 用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与
“对角”的不同含义；
如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由。
D AC=DF
（3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
（1）全等三角形的对应边相等、对应角相等。
2.角平分线的判定：
角的内部到角的两边的距离相等的点 在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．
三.练习：
1、如图：在△ABC中，∠C =900，AD 平分∠ BAC，DE⊥AB交AB于E， BC=30，BD：CD=3：2，则 DE= 12 。
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第12章全等三角形复习 课
全章知识结构图
三角形全等 （全等的判定）
S.S.S. S.A.S. A.S.A. A.A.S. H.L.（RtΔ）
八年级各章知识结构图
知识结构图
第二十五章概率初步
知识结构图
第二十六章二次函数
知识结构图
第二十七章相似
知识结构图
第二十八章锐角三角函数
知识结构图
第二十九章投影与视图
知识结构图
第一章有理数
知识结构图
第二章整式的加减
知识结构图
知识结构图
第四章图形的认识初步
知识结构图
第五章相交线与平行线
知识结构图
第六章平面直角坐标系
知识结构图
第七章三角形
知识结构图
第八章二元一次方程组
知识结构图
第九章不等式与不等式组
知识结构图
第十章数据的收集、描述与整理
知识结构图
第十一章全等三角形
知识结构图
第十二章轴对称
知识结构图
等十三章实数
知识构图
第十四章一次函数
知识结构图
第十五章整式的乘除与因式分解
知识结构图
第十六章分式
知识结构图
第十七章反比例函数
知识结构图
第十八章勾股定理
知识结构图
第十九章四边形
知识结构图
第二十章数据的分析
知识结构图
第二十一章二次根式
知识结构图
第二十二章一元二次方程
知识结构图
第二十三章旋转
知识结构图
全等三角形的判定知识点
学习重点：三角形全等的条件．难点：三角形全等的条件的探索．知识点：1．三角形全等的条件．2了解三角形的稳定性．一、三角形全等的条件首先我们看只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？只给定一条边时(如图中的实线)由图可知：这三个三角形不全等．只给定一个角时夹角(如图中的实线)．由画图可知：这三个三角形也不全等．因此，只给出一个条件时，不能保证所画出的三角形一定全等．接下来我们探索：给出两个条件时，所画的三角形一定全等吗？（1）三角形的一个内角为30°，一条边为3厘米（如图）．这三个三角形不全等．（2）三角形的两个内角分别为30°和50°（如图）．它们看起来的形状一样，但大小不一样．这两个三角形不能重合，所以也不全等．（3）三角形的两条边分别为4cm、6cm（如图）．它们也不全等．我们通过画图、观察、比较知道，只给出一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等．那么给出三个条件时，又怎样呢？如果给出三个条件画三角形，有四种可能．即：三条边，三个角，两边一角和两角一边．下面我们来逐一探索．1．已知三角形的三个内角如果已知一个三角形的三个内角分别为40°、60°、80°．能画出这个三角形，但有的能完全重合，有的不重合，所以它们不一定重合（如图）．通过比较得知：给出三角形的三个内角，得到的三角形不一定全等．2．已知三角形的三条边如果已知一个三角形的三条边分别是4cm，5cm和7cm．画出这个三角形如图．比较可知：这样的所有三角形都是全等的．由此可知：已知三角形的三边，则画出的所有三角形都全等．这样就得到了三角形全等的条件：三边对应相等的两个三角形全等．简写为：“边边边”或“SSS”．如下图．这是用符号语言来表示该三角形全等的条件．注意：三边对应相等是前提条件，三角形全等是结论．3．已知三角形的“两角一边”如果“两角一边”条件中的边是两角所夹的边．如：三角形的两个内角分别是60°和80°，它们所夹的边为2cm，我们来画出这个三角形（如图）．经过比较，它们全等．也就是说已知一个三角形的两个内角及其夹边，那么由此得到的三角形都是全等的．由此我们得到了判定三角形全等的另一条件：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．简写为：“角边角”或“ASA”．如图，在△ABC和△DEF中．在“两角一边”中，除“两角及其夹边”外，还有两角及一角的对边．如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边，如：三角形的两个角分别为60°和45°，一边长为3cm（如图）．已知两角及一角的对边画三角形时，不容易画，但如果把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”时，就可以了．因为三角形的内角和为180°，已知两个内角，那么第三个内角就可求出，这样就把“两角及一角的对边”转化为“两角及其夹边”．（1）如果60°角所对的边为3cm时，画出的图形如下：经比较：这样得到的三角形都全等．（2）如果45°角所对的边为3cm时，画出的图形如下．经比较：这样条件的所有三角形都全等．由此我们又得到了判定三角形全等的另一条件：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．简称“角角边”或“AAS”．如图．在△ABC和△DEF中．4．已知三角形的两边及一角如果已知一个三角形的两边及一角，有两种情况：两边及这两边的夹角，两边及一边的对角．先看第一种情况下，两个三角形是否全等．如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角．如：三角形的两条边分别为2.5cm、3.5cm．它们的夹角为40°（如图）．经过比较，如果已知三角形的两边及其夹角，那么所得的三角形都全等．由此我们得到了三角形全等的条件：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．简称“边角边”或“SAS”．如图，在△ABC和△DEF中．接下来我们研究第二种情况．如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角．如：两条边分别为2.5cm、3.5cm．长度为2.5cm的边所对的角为40°（如图）．按上述条件画的三角形不唯一，存在不同的三角形满足上述条件，如图．由图可知：这两个三角形不全等．所以，两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等．因此可知：“两边及一角”中的两种情况中只有一种能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．二、三角形的稳定性如果我们取三根长度适当的木条，用钉子钉成一个三角形的框架，所得到的框架的形状固定吗？用四根木条钉成的框架的形状固定吗？图(1)是用三根木条钉成的三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．三角形的稳定性在生产和生活中是很有用的．如：房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固和稳定．图(2)的形状是可以改变的，它不具有稳定性．那么要使图(2)的框架不能活动，在相对的顶点上钉一根木条，使它变为两个三角形框架即可．在生活中经常会看到采用三角形的结构去建筑．就是用到了它的稳定性．小结：通过上表可以看出，两个三角形全等至少要有三个条件对应相等；我们常用主要是“SSS”、“ASA”、“AAS”、“SAS”．。
《全等三角形》复习指导
ＡＡ Ｂ Ｅ ＡＡ Ｃ Ｄ（ Ｓ Ａ Ｓ ） ，． ‘ ．
长 自 由 等 转 于 动 内 ， 在 就 槽 一 做 宽 起 成 ， 一 使 ， 个 那 Ａ 测 量 么 ， 工 判 具 定 可 ， 则 以 Ａ 绕 Ｂ 点 的 ｌ Ｉ ≥ ＝ ， ． ＼ ．
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本章知 识结构 图
本章韵重 点是全 等三角 形的判定方法 ．角 平分线的性 一 ｌ ， ’ 譬
质 及 利 用 全等 三 角形的 知 识解
决实际问题 ？ 晴 。
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难点则是对全等三角形
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的知识 解决实际问题． 。
应注意禾存 在 甯角 觜（ Ａ Ａ Ａ ） ，
Ｒａ ｒ ｅ ｉ ｓ ｔ ｈ ｅ ｐ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ ｗ ｈ ｏ ｃ ａ ｎ ｗｅ ｉ ｇ ｈ ｔ ｈ ｅ ｆ ａ ｕ ｌ ｔ ｓ ｏ ｆ ｏ ｔ ｈ ｅ ｒ ｓ ｗ ｉ ｔ ｈ ｏ ｕ ｔ ｐ ｕ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ ｈ ｉ ｓ ｔ ｈ ｕ ｍｂ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｃ ａ ｌ ｅ ｓ ．
图 ２
根据 三角 形 全 等 的判定 方法 ，可填 上 Ａ Ｄ＝Ｂ Ｃ或 Ｐ Ａ ＝Ｐ Ｂ或
肋
证明
一
在 △Ａ Ｅ 和 △ＡＣ Ｄ中
＝ Ｃ． ／ ／ ＼＼
Ｄ 。
『
｛ Ａ ＿ Ｂ ＡＥ＝ Ｃ ＡＤ．
Ｉ Ａ Ｅ ＝ Ａ Ｄ ，
‘ ． ．
图 ３
＝ Ｃ ．
于 Ｃ． Ｐ Ｄ 上Ｄ 于 Ｄ， 则 Ｐ Ｃ与 Ｐ Ｄ 的
大小关 系（
Ａ．
） ．
Ｂ． ＰＣ ＇ ＝ ＰＤ ０
一 一 一 ／ ／ １ Ｐ
全等三角形PPT课件
在计算机图形学中，全等三角形被用于三维模型的构建和渲染。通过组合和变换全等三角形， 可以创建出复杂的三维物体和场景。
05
全等三角形拓展知识
相似三角形概念及性质
相似三角形定义
两个三角形如果它们的对应角相等， 则称这两个三角形相似。
相似比
相似三角形的对应边之间的比例称 为相似比。
相似三角形概念及性质
全等三角形PPT课件
目录
• 全等三角形基本概念 • 全等三角形证明方法 • 全等三角形在几何中的应用 • 全等三角形在生活中的应用 • 全等三角形拓展知识 • 课程总结与回顾
01
全等三角形基本概念
定义与性质
01
定义
能够完全重合的两个三角形叫 做全等三角形。
全等三角形的对应边相等，对应 角相等。
06
课程总结与回顾
关键知识点总结
全等三角形的定义与 性质
掌握全等三角形的基 本性质，如对应边相 等、对应角相等。
能够准确描述全等三 角形的定义。
关键知识点总结
全等三角形的判定方法 掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。
能够灵活运用判定方法解决相关问题。
关键知识点总结
段的中点、角的平分线等。
结合其他几何知识（如中心对称、 旋转对称等）来进一步探讨图形
的对称性质。
04
全等三角形在生活中的应 用
建筑设计中的应用
01
建筑设计中的对称美
全等三角形在建筑设计中常被用来创造对称美，如古希腊神庙的立面设
计，通过全等三角形的排列组合，形成和谐而富有节奏感的视觉效果。
02 03
地形测量
在工程测量中，全等三角形原理 被用于地形测量。通过观测两个 已知点和一个未知点构成的全等 三角形，可以计算出未知点的坐
八年级上第十一章至第十五章知识点梳理
7
a 按定义分
正整数
正有理数
实数有理数负零有理数负 负正分 整分数 数数有限小数或无限循环小数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
b 按大小分:
正实数 实数 零
4、如图，每个图中是由若干个盆花组成的图案，每条边（包括两个顶点）有 n 盆花， 每个图案的花盆总数是 S，求 S 与 n 之间的关系式.
9
2、函数的概念
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，
y 都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数。如果当 x=a 时，
6
第十三章
（一）本章知识结构框图
实数知识点汇总
1．本章知识的内在结构如下图所示：
2．本章知识的展开顺序如下图所示：
（二）知识点梳理： 本章主要内容包括算术平方根、平方根、立方根以及实数的有关概念和运算。本章的
重点是算术平方根和平方根的概念和求法，本章难点是平方根和实数的概念
1．有理数，无理数概念： 有理数：任何有限小数和无限循环小数都是有理数。 无理数：无限不循环小数叫做无理数。
负实数
在数轴上表示的两个实数,右边的数总比左边的数大. 5．与实数有关的概念：在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义与有理数 范围内的意义完全一致；在实数范围内，有理数的运算法则和运算律同样成立。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表 示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的。因此，数轴正好可以被实数 填满。
例 1、写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪 些量是常量？
初二数学《全等三角形》PPT课件
02
全等三角形判定方法
SSS判定法
定义
三边对应相等的两个三角 形全等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'，AC=A'C'， BC=B'C' ⟹ △ABC≌△A'B'C' （SSS）
注意事项
在应用SSS判定法时，需 要确保三个边分别对应相 等，不能只满足其中两个 边相等。
SAS判定法
注意事项
在应用AAS判定法时，需要确保两个角和其中一个角的对边分别对应相等。同时，需要注意 的是，AAS判定法和ASA判定法的区别在于，AAS判定法中的两个角不是夹边所对的角，而 是任意两个角。
03
全等三角形证明技巧
已知条件梳理与分析
已知条件分类
01
边、角、高、中线、角平分线等。
已知条件之间的关系
能够灵活运用这些判定方法解决相关问题。
关键知识点回顾与总结
全等三角形的应用 了解全等三角形在几何证明和实际问题中的应用。
能够运用全等三角形的知识解决一些实际问题。
拓展延伸：相似三角形简介
相似三角形的定义与性质 了解相似三角形的定义，即两个三角形对应角相等、对应边成比例。
掌握相似三角形的性质，如相似比、面积比等。
符号语言
在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'， AB=A'B'，∠B=∠B' ⟹ △ABC≌△A'B'C'（ASA）
注意事项
在应用ASA判定法时，需要确保 两个角和它们之间的夹边分别对
应相等。
AAS判定法
定义
《全等三角形》ppt课件
《全等三角形》ppt课件•全等三角形基本概念与性质•判定全等三角形方法探讨•辅助线在证明全等过程中作用•相似三角形与全等三角形关系探讨目录•生活中全等三角形应用举例•总结回顾与拓展延伸全等三角形基本概念与性质全等三角形定义及判定方法定义SSS（边边边）SAS（边角边）HL（斜边、直角边）ASA（角边角）AAS（角角边）对应边相等对应角相等对应关系确定030201对应边、对应角关系全等三角形性质总结判定全等三角形方法探讨SSS判定法定义应用举例注意事项应用举例SAS判定法定义在证明两个三角形全等时，若已知两边及夹角相等，则可直接应用SAS判定法。
注意事项ASA判定法定义AAS判定法定义比较分析案例分析01020304ASA和AAS判定法比较与案例分析辅助线在证明全等过程中作用构造辅助线策略与技巧分享观察图形特征在证明全等三角形时，首先要仔细观察图形，分析已知条件和目标结论，从而确定需要构造的辅助线类型。
利用基本图形熟悉并掌握一些基本图形（如角平分线、中线、高线等）的性质，可以帮助我们更快地构造出合适的辅助线。
构造平行线或垂直线根据题目条件，有时需要构造平行线或垂直线来利用相关性质进行证明。
典型辅助线构造方法剖析角平分线法01中线法02高线法03复杂图形中辅助线应用实例在复杂图形中，有时需要综合运用多种辅助线构造方法才能解决问题。
例如，可以先构造角平分线，再利用中线或高线的性质进行证明。
在一些特殊情况下，可能需要构造多条辅助线才能找到解决问题的突破口。
这时需要仔细分析图形特点，灵活运用所学知识进行构造和证明。
通过学习和掌握典型辅助线的构造方法和应用实例，可以提高学生的几何思维能力和解决问题的能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
相似三角形与全等三角形关系探讨性质面积比等于相似比的平方。
定义：两个三角形如果它们的对应角相等，则称这两个三角形相似。
周长比等于相似比；010203040506相似三角形定义及性质回顾相似三角形判定方法简介预备定理判定定理1判定定理2判定定理3相似三角形与全等三角形联系和区别联系区别全等三角形的性质在相似三角形中同全等三角形的性质更为严格和具体，而相似三角形的性质相对较为宽松和生活中全等三角形应用举例建筑设计中全等三角形应用稳定性美学效果美术创作中全等三角形构图技巧平衡感动态感其他领域（如工程、测量）中全等三角形应用工程测量机械设计地图制作总结回顾与拓展延伸全等三角形的判定方法熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS及HL等全等三角形的判定方法。