圆的极坐标方程
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程1 .曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f（ p , e ） = 0,并且坐标适合方程f（ p , e ）=0的点都在曲线C上，那么方程f（ p , e） =0叫做曲线C的极坐标方程.2 .圆的极坐标方程（1）特殊情形如下表（2）一般情形：设圆心q P0, 0 0）,半径为r, M P, 0）为圆上任意一点，则|CM=r, / coivt | e —e 0|,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p2— 2 p 0 p cos（ e - e 0） + p2- r2 = 0,1.极坐标方程P =4表示的曲线是（）化简整理得x —平+ y —平=1,表示圆•选D. 4.极坐标方程p =2cos 0表示的曲线所围成的面积为解析：由p=2cos 0 =2X1 x cos 0知，曲线表示圆，且圆的半径 所以面积8=兀 答案：Tt圆的极坐标方程A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直线 B .过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线C.以（4, 0）为圆心，半径为 4的圆 D解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方程.以极点为圆心，半径为 4的圆 p =4表不以极点为圆心，以 4为半径的圆.2.圆心在（1 , 0）且过极点的圆的极坐标（）A. p = 1 B p = cos 0 C . p = 2cos 0 D . p = 2sin 0解析：选C.经过极点O 且半径为 a 的圆的极坐标方程为=2acos e ,因圆心在（1 ,0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p =2cos 0 ,故选 C.3.极坐标方程兀 =cos —4 表示的曲线是（）A.双曲线・椭圆解析: 选D. P =cos兀T-e 71 71=cos —cos 0 + sin —sine+*si 『e,所以p cose +斗即X 2+ y 2=¥x+2122y.例fl 求圆心在C2, 3— 处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点5兀—2, sin — 6是否在这个圆上.［解］如图，由题意知, 圆经过极点 O OA 为其一条直径，设 M P , 0）为圆上除点 OA 以外的任意一点，则|OA = 2r,连接AM 则OML MA, , 一3 兀在 Rt^OA 汕,10M= | OA cos / AOM 即 p=2r cos-20所以p = —4sin 0 ,经验证，点 0（0 , 0） , A 4, 2^-的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极坐标方程为 p = - 4sin 9 .所以 p = - 4sin 9 = - 4sin -6-= — 2, 5兀所以点 一2, sin --在此圆上.6求曲线的极坐标方程的五个步骤（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点 M P , e ） ； （3）根据曲 线上的点所满足的条件写出等式；（4）用极坐标（p , e ）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； （5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）.[注意]求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标 表本. 凶JR 踪训练求圆心在C 版 彳，半径为1的圆的极坐标方程.解：设圆C 上任意一点的极坐标为 MP , 8）,如图，在^ OCMK 由余弦定理，得 |OM 2+| OC 2—2| OM • | OC - cosZ COM | CM 2,即 p 2 - 2\[2 p cos 9 — 4 +1=0. 当O, C, M 三点共线时，点M 的极坐标 后 1, A 也适合上式， 所以圆的极坐标方程为 p 2- 2\[2 p cos 0 - ~ +1=0.圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化 EE ）进行直角坐标方程与极坐标方程的互化：因为sin5兀 1⑴ y 2=4x ；(2)x 2+y 2—2x —1 = 0;(3)［解］(1)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y 2= 4x, 得(P sin 8 )2=4 p cos 9 .化简，得 p sin 2 0 = 4cos 0 .(2)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y 2 +x 2— 2x- 1= 0, 得(p sin 0)2+( pcos 0 )2 — 2 pcos 0 —1 = 0,2-化间，得 p — 2 p cos 8—1 = 0.一、，1⑶因为P =2^TT' 所以 2 p — p cos 9=1. 所以 242 + y 2 — x= 1. 化简，得 3x 2 + 4y 2-2x- 1 = 0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标 系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在 0W e <2兀范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用 p 去乘方程的 两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.Q JR 踪训练1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程. 1 1) y=*x ； (2) x 2-y 2= 1.解：(1)将 x= p cos 0 , y= p sin 0 代入 y =>/3x 得 p sin 8 =43 p cos 0 ,从而(2)将 x= p cos 0 , y= p sin e 代入 x 2-y 2= 1, 得 p 2cos 2 0 — p 2sin 2 0 = 1, 2 .把下列极坐标方程化为直角坐标方程.(1) p 2cos 2 0=1;一一 八 兀(2) p = 2cos 0 --.1P = « ---- r2— cos 0化简，得 21「 cos 2 9 .解：(1)因为 p 2cos 2 0=1, 所以 p 2cos 2 0 - p 2sin 2 0 = 1. 所以化为直角坐标方程为x 2- y 2= 1.一. 兀 兀 L - — .21—(2)因为 p =2cos 0 cos — + 2sin 0 sin — = ^cos 0 +^2sin 0 ,所以 p =" p cos 8 +，2 p sin 0 .所以化为直角坐标方程为x 2+y 2—，2x —J 2y = 0.求相关动点的极坐标方程例3)从极点O 作圆C ： p =2a cos 0的任意一条弦 ON 求各弦的中点 M 的极坐标方 程. ［解］法一：如图所示，圆 C 的圆心qa, 0),半径r = |OC = a,因为M 为弦ON 的中点，连接 CM 所以CML ON 故M 在以。
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法解圆锥曲线
极坐标法可以用来解析表示圆锥曲线的方程。
圆锥曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
下面将分别介绍极坐标法在解析这些曲线方程中的应用。
1.圆：圆的极坐标方程为 r = a，其中 a 为圆的半径。
在极坐
标系下，圆心位于原点，以原点为中心半径为 a 的圆。
2.椭圆：椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - e*cosθ)，其中 a 为长
轴的一半，e 为离心率，θ 为极角。
通常情况下，取e < 1，这样才能得到椭圆。
如果 e = 0，则表示一个圆。
3.抛物线：抛物线的极坐标方程为r^2 = 2a*p，其中a 为焦
点到抛物线顶点的距离，p 为焦距的一半。
抛物线沿着对
称轴对称。
4.双曲线：双曲线的极坐标方程为 r^2 = 2a p cosθ，其中 a 为
焦点到双曲线顶点的距离，p 为焦距的一半。
双曲线有两
个分支，分别向外延伸。
对于给定的圆锥曲线方程，你可以将其转化为极坐标方程进行分析和绘制。
通过改变参数 a、e 和 p 的值，可以调整曲线的尺寸、形状和位置。
请注意，极坐标法的应用需要对极坐标系和常见曲线方程有一定的数学理解。
在进行计算和绘制时，确保使用正确的公式和技巧，以获得准确的结果。
直线与圆的极坐标方程公式
直线与圆的极坐标方程公式在数学中，直线和圆是非常常见的几何图形。
通过极坐标系，我们可以更加简洁地表示直线和圆的方程，使得问题的解析更加方便和直观。
本文将介绍直线和圆在极坐标系下的方程公式。
直线的极坐标方程在极坐标系下，直线的方程通常被表示为极坐标参数等于常数的形式。
一个通用的直线方程为：r = p·cos(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，p 表示直线到原点的距离，θ 表示角度，α 表示直线的偏转角度。
具体地，当直线与极坐标系的x 轴的交点不在原点时，直线的方程可以表示为：r = p·cos(θ − α) + d·sin(θ − α)·cot(α)其中，d 表示直线与极坐标系的 x 轴的交点到原点的距离。
圆的极坐标方程在极坐标系下，圆的方程可以表示为极坐标径向距离等于常数的形式。
一个通用的圆方程为：r = a + b·sin(θ − α)其中，r 表示极坐标径向距离，a 表示圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离，b表示圆的半径，θ 表示角度，α 表示圆的旋转角度。
需要注意的是，当圆心位于极坐标系的 x 轴上时，圆的方程可以简化为：r = a + b·sin(θ)应用示例现在我们来看一些直线和圆的极坐标方程的应用示例。
直线的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一条直线，该直线与极坐标系的x 轴的交点到原点的距离为4，直线的方向与极坐标系的 x 轴的正方向呈45度角。
那么，直线的极坐标方程可以表示为：r = 4·cos(θ − 45°) + 4·sin(θ − 45°)·cot(45°)圆的极坐标方程应用示例：假设我们现在有一个圆，该圆的圆心到极坐标系的 x 轴的交点的距离为3，圆的半径为2，圆的旋转角度为30度。
那么，圆的极坐标方程可以表示为：r = 3 + 2·sin(θ − 30°)通过这些示例，我们可以更好地理解直线和圆在极坐标系下的方程公式的应用。
圆的极坐标方程转化为普通方程
圆的极坐标方程转化为普通方程圆是几何学中的基本图形之一，它无论在数学上还是在生活中都有着重要的应用。
在数学中，我们可以用不同的方式来表示一个圆，其中一种方式就是使用极坐标方程来描述圆的特征。
然而，有时候我们需要将极坐标方程转化为普通方程，以便更方便地进行计算和分析。
本文将介绍如何将圆的极坐标方程转化为普通方程。
圆的极坐标方程表示为：r = a其中，r是圆点到原点的距离，a是圆的半径。
这个方程告诉我们，圆上的每个点到原点的距离都是a，这是圆的特征之一。
要将极坐标方程转化为普通方程，我们需要使用一些基本的几何知识。
首先，我们知道圆是由一组点组成的，这些点到圆心的距离都相等。
所以，我们可以将圆的极坐标方程表示为：(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2其中，(h, k)是圆心的坐标。
这个普通方程告诉我们，圆上的每个点到圆心的距离都是a，这也是圆的特征之一。
通过比较两个方程，我们可以看到它们的形式是相似的。
唯一的区别在于，极坐标方程使用了极坐标系下的坐标表示，而普通方程使用了直角坐标系下的坐标表示。
通过将极坐标方程转化为普通方程，我们可以更方便地进行计算和分析。
例如，假设我们有一个圆的极坐标方程为r = 3。
我们可以将这个方程转化为普通方程：(x - h)^2 + (y - k)^2 = a^2其中，a = 3。
由于极坐标方程没有给出圆心的坐标，我们可以任意选择一个圆心。
假设我们选择圆心的坐标为(0, 0)，那么普通方程变为：x^2 + y^2 = 3^2简化后得到：x^2 + y^2 = 9这就是圆的普通方程，它告诉我们，圆上的每个点到圆心的距离都是3。
通过这个方程，我们可以方便地计算圆上的点，进行进一步的分析和计算。
总结起来，将圆的极坐标方程转化为普通方程可以使我们更方便地进行计算和分析。
通过比较两个方程，我们可以看到它们的形式是相似的，只是使用了不同的坐标系表示。
通过选择合适的圆心坐标，我们可以将极坐标方程转化为普通方程，并方便地进行进一步的计算和分析。
直线和圆的极坐标方程
直线和圆的极坐标方程在极坐标系中，我们可以用极坐标方程来描述直线和圆。
直线可以通过极坐标系中两个特殊点之间的连线来定义，而圆则可以由一个特定的中心点和半径来确定。
本文将介绍直线和圆在极坐标系中的极坐标方程表示方法。
直线的极坐标方程在直角坐标系中，我们可以用一般形式的线性方程 y = mx + b 来表示直线，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
然而，在极坐标系中，直线的方程表达形式有所不同。
考虑极坐标系中两点之间的连线，我们可以使用直角坐标系中的斜率来找到直线的极坐标方程。
记直线的斜率为 m，两点的极坐标为(r₁, θ₁) 和(r₂, θ₂)。
则直线的极坐标方程可以表示为：θ = arctan((r₂ * sin(θ₂) - r₁ * sin(θ₁)) / (r₂ * cos(θ₂) - r₁ * cos (θ₁)))在上述方程中，θ 表示直线的极角。
通过计算两点之间的差分，我们可以得出直线在极坐标系中的方程。
圆的极坐标方程圆是极坐标系中的一种特殊情况，它由一个中心点和一个半径确定。
在直角坐标系中，我们可以用标准形式的方程 x² + y² = r²来表示圆，其中 (x, y) 是圆上的一个点，r 是半径。
然而，在极坐标系中，圆的方程要更加简洁。
对于以极点为中心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀, θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径。
这意味着，对于以极点为中心的圆，其极径始终等于圆的半径r₀。
对于以极点外的任意一点为圆心的圆，设圆的半径为 r，圆心的极坐标为(r₀,θ₀)。
则圆的极坐标方程可以表示为：r = 2d - r₀在上述方程中，r 表示圆上任意一点的极径，d 表示该点到圆心的距离。
这意味着，对于以极点为中心的圆外的任意一点，其极径与该点到圆心的距离之差等于圆的半径r₀。
总结在极坐标系中，直线的极坐标方程可以通过计算两点之间的角度来表示。
1.3.1圆的极坐标方程
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ( ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
A、 ,0) (5
C、 , ) (5 3
B、 , ) (5 3
2 D、 , ) (5 3
小节： 1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
意一点，那么 OM AM。
在RtAMO中OM OA cosMOA
即
可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式1) ( 2
＝2a cos .......... 1) .(
所以，等式1)就是圆上任意一点的极 ( 坐标( , )满足的条件，
另一方面，可以验证， 坐标适合等式1)的点都在这个圆上。 (
圆的极坐标方程定义
M
方程
O
＝2a cos
C （a, 0）
A
就是圆心在C(a,0)(a>0)，半径为a的圆 的极坐标方程.
曲线的极坐标方程定义：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C 上任意一点的极坐标中 至少有一个满足方程 f ( , ) 0并且坐标适合方程 ( , ) 0的点都 f 在曲线C上，那么方程 ( , ) 0叫做曲线C的 f 极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 (1,1)为圆心， A 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
圆的极坐标方程
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半
轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
极坐标与直角坐标的互化关系式:
设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
y x y , tan ( x 0) x
2 2 2
x=ρcosθ, y=ρsinθ
C
A. 2cos 4 C. 2cos 1
B. 2sin 4 D. 2sin 1
例1: 极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ
＝sinθ的两个圆的圆心距是多少
2 2
练习： 1、曲线的极坐标方程＝4sin 化为直角坐标 方程
将下列直角坐标转化为极坐标 （1） （-1，3） （2） （-2，-2）
简单曲线的极坐标方程
圆的极坐标方程
曲线的极坐标方程
一、定义：如果曲线Ｃ上的点与方程 f(,)=0有如下关系 (1)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(,)=0 ； (2)方程f(,)=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(,)=0 。
＝r
＝2acos
＝2asin
＝２a cos( 0 )
圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
4
)
＝cos( - )
3
＝3 sin (4) ＝６
练习
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x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程。
课堂小结
1、几种特殊情况的圆的极坐标方程：
2、一般地，过极点且圆心为(r， )的圆的 极坐标方程为： =2r cos( )
3、极坐标方程与直角坐标方程的互化：
（1）直化极：将x=cos及y=sin直接代入并化简 即可。
（2）极化直：需将极坐标方程两边同乘以，构造
定义：如果曲线Ｃ上的点与方程f(, )=0 有如下关系： (１)曲线Ｃ上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(, )=0 ； (２)方程f(, )=0的所有解为坐标的点 都在曲线Ｃ上。 则曲线Ｃ的方程是f(, )=0 。
1、几种特殊情况的圆的极坐标方程：
2、一般地，过极点且圆心为(r， )的圆的 极坐标方程为： =2r cos( )
4 （4）2x 3 y 1 0
（2） = cos(
)
3、（2015安徽）在极坐标系中，圆 =8 sin 上的 点到直线 =
3
( R)距离的最大值是_______。
选做题
1、(2015江苏）已知圆C的极坐标方程为：
+2 2 sin( )-4=0，求圆C的半径。
出 2 、cos、 sin的形式，再分别换成x2 ＋ y2 、
x 、y。
必做题
当堂作业
Hale Waihona Puke 1、在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程。
（1）圆心在A(3， )，半径为3 的圆 4 （2）圆心在A( 2 ， )，且过极点的圆
2、进行极坐标方程与直角坐标方程的互化。
（1） (2cos +5sin )-4=0 （3）x 2 y 2 8 y 0
解： 2 -2 cos 1=0
高考集训
1、(2015山东） 极坐标方程分别为 = cos 和 =sin的
两个圆的圆心距是（ D ） A、2 B、 2 C、1 2 D、 2
2、(2016全国II） 在直角坐标系中，圆C 的方程 为(x +6)2 y 2 =25。以坐标系原点为极点，
2
4
自学指导
认真阅读课本P12—13例1的内容 思考： 1、根据圆的位置怎样建立极坐标系推导出圆的 极坐标方程？ 2、找出极坐标方程的定义（在文中画出来） 3、在极坐标方程定义中你是如何理解“平面曲 线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方 程f(,)=0 ”这句话的？ 5分钟后比谁能做对检测题
曲线的极坐标方程：
温故知新
圆心为(a , b),半径为r的圆的标准方程：
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆的一般方程：
x y +Dx+Ey +F 0
2 2
极坐标与直角坐标的互化关系式: 2 x2 y 2 x cos 极化直 直化极 y y sin tan ( x 0) x
解： x 2 y 2 =2x 4 y ( x 1) 2 ( y 2) 2 5
2
(x 3) y =9
2
3、将下列直角坐标方程化为极坐标方程。
(1) x2 y2 4x 0
解： 2 -4 cos =0 =4cos
(2) x2 y2 2x 1 0
2、将下列极坐标方程化为直角坐标方程，并说出 表示什么曲线。
（1） =5
解： x y =25
2 2
（2） =2sin
解： x 2 y 2 2 y x 2 ( y 1) 2 1
（3） =6cos
解： x y =6 x
2 2
（4） =2cos 4sin
1、按下列条件写出圆的极坐标方程。 (1)圆心在极点，半径为4 的圆； 解： =4
(2)以A(3,0)为圆心，且过极点的圆；
检测题
解： =6cos
(3)圆心在（3, ）,半径为3的圆。 2
解： =6 sin
(4)过极点且圆心在（5, ）的圆。 6
解： =10 cos( ) 6
1.圆的极坐标方程
老师寄语： 当困难来临时，用微笑 去面对，用智慧去解决它。
高二选修4-4（人教A版） 第三章第1节 授课人：邓乙梅 二中崇文高级中学
学习目标
1、理解极坐标方程的意义。 2、掌握特殊位置下的圆（过极点或 圆心在极点的圆）的极坐标方程． 3、掌握极坐标方程与直角坐标方程 的互化方法。