6.《极坐标系--圆的极坐标方程》
圆方程化极坐标
圆方程化极坐标一、介绍在数学中，极坐标是一种描述平面上点位置的方式，它以点到原点的距离（称为极径）和点与正半轴的夹角（称为极角）来表示点的位置。
圆方程化极坐标指的是将圆的方程表达式转换为极坐标形式。
本文将深入探讨圆的方程在极坐标系下的表示方法及其应用。
二、圆的方程圆的常见方程为(x−x0)2+(y−y0)2=r2，其中(x0,y0)为圆心坐标，r为半径。
现在我们来考虑如何将这个方程转换为极坐标系下的表示形式。
三、极坐标系下的表示在极坐标系下，点的位置由极径和极角来确定。
我们可以使用极坐标转换公式x= r⋅cos(θ)和y=r⋅sin(θ)来将直角坐标系中的变量转换为极坐标系下的变量。
考虑圆心在原点的情况，我们有x=r⋅cos(θ)和y=r⋅sin(θ)。
将这两个式子代入圆的方程(x−x0)2+(y−y0)2=r2中，可以得到：(r⋅cos(θ))2+(r⋅sin(θ))2=r2经过化简，最终可得圆在极坐标系下的方程形式：r2=r2⋅cos2(θ)+r2⋅sin2(θ)通过进一步化简，我们可以得到更简洁的极坐标下的圆方程：r2=r2这个结果非常有趣，因为它表明在极坐标系下，圆的方程仅仅是一个恒等式。
换句话说，在极坐标系下，圆的方程对于所有的r和θ都成立。
这是因为极坐标系是以圆心为中心的，所以圆的方程在该坐标系下总是成立的。
四、应用极坐标方程的推导虽然简洁，但它在实际应用中非常重要。
以下是一些应用示例：1. 绘制圆的图形在极坐标系下，我们可以使用参数方程r=a来绘制圆。
其中a为半径，r为极径。
参数方程表示了通过参数化的方式绘制图形，通过改变参数t的值，我们可以绘制不同的圆。
2. 解决极坐标下的问题在某些问题中，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。
例如，极坐标系可以简化极坐标方程的求解过程，使得解题更加简单和直观。
3. 研究极坐标下的关系在数学研究中，极坐标方程可以帮助我们更好地理解圆和其它曲线的性质。
圆的极坐标方程
如图，在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用 一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(,)满足的条件？
M
O
C(a,0)
x
复习：曲线的极坐标方程
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系：
（1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解； （2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上
D、圆
解：该方程可以化为＝cos( )
4
以(1 , )为圆心，1 为半径的圆。
24
2
解：＝c sin即
2
2
x2 y2 2 x 2 y 0 22
(x 2 )2 (y 2 )2 1
4
44
4、圆＝10cos( )的圆心坐标是（ C ）
ρ 2a cosθ就是圆心在C(a,0)(a 0), 半径为a的圆的极坐标方程.
M
例1、已知圆O的半径为r， 建立怎样的极坐标系，
可以使圆的极坐标方程 简单？
Or
x
解：如果以圆心O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如图），那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r .
设M ( ρ,θ)为圆上任意一点，则OM r,即ρ＝r
0
x
为r的圆的极坐标方程是 2 -20 cos( 0 ) 02 r2 0
训练
1、曲线的极坐标方程ρ＝4 s inθ化为直角坐标
方程是什么？ x2 ( y 2)2 4
2、极坐标方程分别是ρ＝cosθ和ρ＝s inθ的两个 圆的圆心距是多少？
解：圆ρ＝cosθ圆心的坐标是( 1 ,0) 2
(2)以B(8， )为圆心，且过极点的圆；
圆的极坐标方程和参数方程
圆的极坐标方程和参数方程1. 圆的极坐标方程圆是平面上距离一个固定点（圆心）相等的点的集合。
在极坐标系中，可以用极径和极角来表示点的位置。
对于一个以原点为圆心的圆，其极径为常数r，极角为θ。
假设圆心到某一点P的距离为d，则有d=r。
根据三角函数关系，可以得到如下关系式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)将这两个关系式整合起来，就可以得到圆的极坐标方程：r = √(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)其中，atan2(y, x)是反正切函数，返回以弧度表示的角度值。
2. 圆的参数方程除了使用极坐标来表示圆外，还可以使用参数方程来表达。
参数方程是指将x和y分别表示为与另一个变量t有关的函数。
对于一个以原点为圆心的圆，其参数方程可以表示为：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中r是半径，t是参数变量。
通过改变t的取值范围（通常是从0到2π），可以绘制出整个圆的轨迹。
3. 极坐标方程与参数方程的联系极坐标方程和参数方程是等价的，可以通过互相转换来表示同一个圆。
将极坐标方程转换为参数方程，只需将x和y用r和θ表示：x = r * cos(θ) = r * cos(t)y = r * sin(θ) = r * sin(t)将参数方程转换为极坐标方程，只需将r和t用x和y表示：r = √(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)因此，无论使用哪种方式，都可以准确地描述圆的形状和位置。
4. 圆的应用圆是数学中最基本、最简单且最重要的几何形状之一。
它在各个领域都有广泛的应用。
4.1 几何学在几何学中，圆是许多定理和性质的基础。
例如，圆是平面上所有点到一个固定点（圆心）距离相等的集合，这一性质被称为圆的定义。
根据这个定义，可以推导出许多重要定理，如切线定理、弦切角定理等。
4.2 物理学在物理学中，圆的运动是一个重要的研究对象。
例如，质点在平面上做匀速圆周运动时，可以用参数方程来描述其位置随时间的变化。
《 圆的极坐标方程》
ρ＝r
.
π (3)圆心在点(a， )处且过极点的圆的方程为 2
ρ＝2asin θ(0≤ θ≤π) ．
例2.求圆心在(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程．
[思路点拨] 结合圆的定义求其极坐标方程．
[解] 在圆周上任取一点 P(如图)
设其极坐标为(ρ，θ)． 由余弦定理知： CP2＝OP2＋OC2－2OP· OCcos∠COP， 故其极坐标方程为
的曲线。 2.圆的标准方程： (x-a)2 + (y-b)2 =r2 3.圆的一般式方程： x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 (D2 E 2 4F 0)
4.极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
x=ρcosθ, y=ρsinθ
1、曲线的极坐标方程 ＝4 sin 化为直角坐标 方程是什么？
x2 ( y 2)2 4
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos 圆心的坐标是( , 0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 2 圆＝sin 的圆心坐标是( , ), 所以圆心距是 2 2 2
二、求曲线的极坐标方程到底是求什么？
与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找
出曲线上动点Ｐ的坐标与之间的关系，然后列出方程
f(,)=0 ，再化简并说明。
三.求曲线极坐标方程步骤：
1.建极坐标系，设动点M (,)； 2.找曲线上任一点满足的几何条件； 3.把上面的几何条件转化为与关系
2 r2＝ρ2 0＋ρ －2ρρ0cos(θ－θ0)．
M ρ
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程圆是平面坐标系中最常见的几何图形，它被广泛应用于工程、科学、艺术及实际生活中。
我们知道，圆的极坐标方程是用极坐标来描述圆的一种方法，它把圆的位置和形状表示为极坐标形式的函数，从而可以用极坐标有效地表示出整个平面坐标系中的圆。
圆的极坐标方程定义如下：圆心为原点(0,0)，圆半径为r，圆上任意一点(x,y)，则存在实数θ满足：x = rcosθy = rsinθ以上方程就是圆的极坐标方程，其中r表示圆的半径，θ表示圆上任意一点的极角，其中0≤θ≤2π，当极角θ发生变化时，对应的圆上任意点发生变化，这样就可以遍历整个圆的所有点。
此外，圆的极坐标方程也与平面坐标系有着密切的关系，假设圆上任意一点(x,y)，则其直角坐标可以根据圆的极坐标方程求出：x = rcosy = rsin则有：x = rcos=> x = rcos(arcos(x/r) )=> cos(arcos(x/r)) = x/ry = rsin=> y = rsin(arcsin(y/r))=> sin(arcsin(y/r)) = y/r所以，圆的极坐标方程中的实参θ可以由直角坐标中的实参x和y求出，即：θ = arctan ( y/x )从上面可以看出，当圆上任意一点的极角θ发生变化时，其直角坐标也会发生变化，这就是圆的极坐标方程与平面坐标系之间的密切联系。
另外，圆的极坐标方程也可以用来求解圆的面积及周长，假设圆半径r，则圆的面积为：S =r^2而圆的周长为：C = 2πr以上就是圆的极坐标方程的数学表示，从其可以看出，圆的极坐标方程既与平面坐标系有着密切联系，也可以用来求解圆的面积及周长，这一特性使得圆的极坐标方程在工程、科学、艺术及实际生活中得到了广泛应用。
总之，圆的极坐标方程是圆的一种表示方法，通过它，我们可以有效地把圆的位置和形状表示出来，而圆的极坐标方程又与平面坐标系有着密切联系，可以用来求解圆的面积及周长，这些优越的特性使得圆的极坐标方程得到广泛应用。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程1.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f (p, 0) =0,并且坐标适合方程f (p, 0) =0的点都在曲线C上，那么方程f (p, 0) =0叫做曲线C的极坐标方程.2.圆的极坐标方程(1)特殊情形如下表(2) 一般情形：设圆心C ( po, 0o),半径为r, M (p, 0)为圆上任意一点，则| CM|=r,= | 0— 0o| ,根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为p — 2popcos (0 — 00) + po— r2 = 0.o1. 极坐标方程p = 4表示的曲线是（）A.过（4, 0）点，且垂直于极轴的直銭 •过（2, 0）点，且垂直于极轴的直线C.以（4, 0）为圆心，半径为4的圆D ・以极点为圆心，半径为4的圆 解析：选D.由极坐标方程的定义可知，极坐标方暗4表示以极点为圆心，以4为 半径的圆.2. 圆心在（1, 0）且过极点的圆的极坐标（） A. p= 1 B p= cos 0 C p=2cos°D ・ p=2sin8解析：选C.经过极点0且半径为3的圆的极坐标方程为p=2acos0,因圆心在（1 ,0）,所以半径为1,所以极坐标方程为p-2cos0,故选C. 2所以 P 2= 22p COS 0+ 22 p sin 0,即 x 2 + y^=22x+ 2y ・2 2 2 2 ］_化简整理得X — 2 + y — 2 =,表不圆.选D ・ 4 4 44.极坐标方程p=2cos8表示的曲线所围成的面积为 __________ ・解析：由p = 2cos 8 = 2xlxcos 8知，曲线表示圆，且圆的半径r 为1, 所以面积S=irr =冗・ 答案：u圆的极坐标方程3TT求圆心在C 2, 2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.［解］如图，由题意知，圆经过极点0, 0A 为其一条直径，设M （p, 0）为圆上 除点0,A 以外的任意一点，贝IJ | 0A| -2r ,连接AM,则0M 丄MA.3.极坐标方p=cos4 —°表示的曲线是（）-rr-i・椭A.双曲线 B 闾C.抛物线解析：选D.pTTcos K4 —0IT =cos cos 0+sin AD ・圆K4 sin 0 = 22COS 0 + 22sin 0,5TT—2, sin 6在RtA OAM 中，| 0M| =| OA|cos zAOM,即p= 2r cos 2 —0所以p=—4sin8,经验证，点0 （0, 0） , A4,务兀的坐标满足上式. 所以满足条件的圆的极坐标方程为p = —4sin8. (1)因为sin肓O 2，._ 5TT所以p = —4sin = — 4sin — 2,5TT所以点一2, sin V在此圆上.求曲线的极坐标方程的五个步骤（1）建立适当的极坐标系（本题无需建）；（2）在曲线上任取一点M （p, 0） ; （3）根据曲线上的点所满足的条件写出等式；（4）用极坐标（p, 0）表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；（5）证明所得的方程是曲线的极坐标方程.（一般只要对特殊点加以检验即可）・［注意］求曲线的极坐标方程，关键要找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.求圆心在C 2, 4,半径为1的圆的极坐标方程.解：设圆C上任意一点的极坐标为M （p, 0）,如图，在厶OCM中，由余弦定理，得222| 0M| 2 + | 0C| 2 —2|OM|・|OC|・COSZ COM=|CM|2,即p2— 2 2pcos 0— 4 +1 = 0.当0, C, M三点共线时，TT圆的极坐标方程与直角坐标方程的互化进行直角坐标方程与极坐标方程的互化:2 2 2 ⑴ y2=4x；(2) x2+y2 —2x—1= 0；⑶p 2 — cos 0 ［解］⑴ 将x= pcos 0, y= psin 0 代入y2= 4x, 2得(psin 0］ =4pcos 0.2化简，彳專p sin 20= 4cos 0.(2)将x= p cos 0, y=psin 0 代入y +x — 2x —1 = 0,22得(psin 0) 2+(pcos 0) 2 —2pcos 0 — 1=0,化简，得p — 2pcos 0 — 1= 0. (3)SM1P2_C0S所以2p— pcos 0 = 1.所以2 x2 + y2— x= 1.化简，得3x2 + 4y2 —2x— 1=0.在进行两种坐标方程间的互化时应注意的问题(1)互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的单位长度相同.(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0< 0<2u范围内求值.(3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要注意化简.(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常要用p去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若在，是等价变形，否则，不是等价变形.1.把下列直角坐标方程化为极坐标方程.(1) y= 3x； (2) x2— y2= 1.解：(1)将x= pcos 0, y=psin 0 代入y = 3x 得psin 8= 3pcos 8,从而(2)将火=p cos 0, y=psin 0 代入x2—y2 = 1, 得p2cos20 —p2sin 20= 1,2・把下列极坐标方程化为直角坐标方程.2⑴ p2cos 2 8= 1；TT(2) p= 2cos 0—4・2解：(1)因为p2cos2 8=l,所以p2cos20 —p2sin 20 =1.所以化为直角坐标方程为x2—y2=1.(2)因为p = 2cos 0cos 4 +2sin 0sin 4 = 2cos 0+ 2sin 0,所以p2= 2 pcos 0 + 2p sin 0 ・所以化为直角坐标方程为x2+ y2— 2x— 2y = 0. 求相关动点的极坐标方程从极点0作圆C： p= 2acos 0的任意一条弦ON,求各弦的中点M的极坐标方程.［解］法一：如图所示，圆C的圆心C (a, 0),半径r = |OC| = a,因为M为弦ON的中点，连接CM•所以CM丄ON,故M在以0C为直径的圆上，所以动点M的极坐标方程是p= acos 0.法二：设M (p, 8) , N (pi, 01)・因N 点在圆p= 2acos 0 上，pi= 2acos 0i.①为M是ON的中点，pi=2p, 01=0・所将它代入①式得2p = 2acos 0,故M的极坐标方程是p= acos 0.将本例中以所求得的中点M的极坐标方程化为直角坐标方程.I大I解：因为p =acos 0,所以p2= a- pcos 0,所以x2+y2= ax, 所以中点M的直角坐标方程为x2+y2—ax= 0.本例所涉及的问题有相关的两个动点，其中一个动点的轨迹方程已知，求另一个动点的轨迹方程.求解时找出等量关系，代入化简即可.0P2从极点0引定圆p=2cos8的弦OP,延长OP到Q使PQ= 3,求点Q的极坐标方程，并说明所求的轨迹是什么图形？p2 2 解：设Q(P，0) , P ( po, 00),则0 = 00, =,所以po= p,因为po =p— p° 3 52cos 0o.所以p= 2cos 0,即p= 5cos 0,它表示一个圆.5解析：选C ・如图所示.设M(p, 0)是圆上点，则上ONMZ MOx= e , 在 RtZkNMO 中，I 0M| =| ON|sinzONM, 即 p = 2rsin 8= asin 0.3. 把圆C 的极坐标方程p=2cos8转化为直角坐标方程为 ______________ ,圆心的直角坐标为 ______ ・解析：因为 p = 2cos8,所以 p2 = 2pcosB,将 p 2= x 2+y 2, x= pcos 8 代入得 直角坐标方程为x2+y2 = 2x,其圆心坐标为(1, 0)・答案：x?+y2 = 2x (1 , 0)4. 写出圆心在(1, -1)处，且过原点的圆的极坐标方程.解：圆的半径为r=2,圆的直角坐标方程为(x-1) 2+ (y+1) 2 = 2. 变形得x2+y2 = 2 (x-y),用坐标互化公式得p2 = 2 (pcos 0 —psin 0), 即 p = 2cos 0— 2sin 0 ・[A 基础达标]1・在极坐标系中圆心在(2,冗)且过极点的圆的方程为() A. p= 2 2cos p = _ 2 2sin解析：选B ・如图所示,P(2：),在圆上任找一点M (p 。
圆的极坐标方程
圆的极坐标方程在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。
对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。
2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。
3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。
4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。
5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。
对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angleCOM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。
例如，极坐标方程$\rho=4$表示以极点为圆心，以4为半径的圆。
又例如，过极点且圆心为$(1,0)$的圆的极坐标方程为$\rho=2\cos\theta$。
极坐标方程$\rho=\cos\frac{\pi}{4}$表示以极点为圆心，以$\frac{1}{\sqrt{2}}$为半径的圆。
高三数学教案 圆的极坐标方程公式
圆的认识•圆的定义：圆是一种几何图形。
当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹叫做圆。
在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。
相关定义:1 在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
这个定点叫做圆的圆心。
图形一周的长度，就是圆的周长。
2 连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r。
3 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。
直径所在的直线是圆的对称轴。
4 连接圆上任意两点的线段叫做弦。
最长的弦是直径,直径是过圆心的弦。
5 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。
小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。
半圆既不是优弧，也不是劣弧。
优弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。
6 由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
7 由弦和它所对的一段弧围成的图形叫做弓形。
8 顶点在圆心上的角叫做圆心角。
9 顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
10 圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。
它是一个无限不循环小数，通常用π表示，π=3.14159265……在实际应用中，一般取π≈3.14。
11圆周角等于相同弧所对的圆心角的一半。
12 圆是一个正n边形（n为无限大的正整数），边长无限接近0但不等于0。
圆的集合定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，其中定点是圆心，定长是半径。
•圆的字母表示：以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作O”。
圆—⊙；半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；弧—⌒；直径—d ；扇形弧长—L ；周长—C ；面积—S。
圆的性质:（1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。
圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。
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＝r
显然，使极点与圆心重 合时的极坐sin 化为直角坐标 方程是什么？
x ( y 2) 4
2 2
2、极坐标方程分别是 ＝cos和＝sin 的两个 圆的圆心距是多少？
1 解：圆＝cos圆心的坐标是 ( ,0) 2 圆 sin cos( ) cos( ) 2 2 1 圆＝sin 的圆心坐标是 ( , ) 2 2 2 所以圆心距是 2
所以， 2a cos就是圆心在C (a,0)(a 0),半径 为a的圆的极坐标方程。
例1、已知圆O的半径为r，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？
M
O
r x
解：如果以圆心 O为极点，从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系（如 图），那么圆上各点的 几 何特征就是它们的极径 都等于半径r. 设M ( , )为圆上任意一点，则 OM r ,即
1、圆的极坐标方程
探究： 如图，半径为 a的圆的圆心坐标为 C (a,0)(a 0) 你能用一个等式表示圆 上任意一点的极坐标 ( , )满足的条件吗？
M
O
C（a,0） A x
解：圆经过极点 O。设圆与极轴的另一个 交点 是A，那么OA＝2a, 设M ( , )为圆上除点O，A 以外的任意一点，那么 OM AM。在RtAMO 中 OM OA cos MOA即＝2a cos .......... .(1) 可以验证，点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式 (1) 2
解：原式可化为 3 1 ＝10(cos sin ) 2 2 10 cos( ) 6 所以圆心为 (5, ),半径为5 6
圆心为(a, )(a 0)半径为a 圆的极坐标方程为 ＝2a cos( ) 此圆过极点O
3、已知一个圆的方程是 ＝5 3 cos 5 sin 求圆心坐标和半径。
解：＝5 3 cos 5 sin 两边同乘以得
＝5 3 cos－5 sin 即化为直角坐标为
2
x y 5 3x 5 y
2 2
5 3 2 5 2 化为标准方程是 (x ) ( y ) 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( , ),半径是5 2 2
所以，等式(1)就是圆上任意一点的极 坐标( , ) 满足的条件，另一方面 ，可以验证，坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。
极坐标方程：
一般地，在极坐标系中 ，如果平面曲线 C上任意 一点的极坐标中至少有 一个满足方程 f ( , ) 0 并且坐标适合方程 f ( , ) 0的点都在曲线 C上， 那么方程f ( , ) 0叫做曲线C的极坐标方程。
4、以极坐标系中的点 A(1,1)为圆心， 1为半径的 圆的方程是
(
C
)
A、 2 cos( ) 4
B、 2 sin( ) 4
C、 2 cos( 1)
D、 2 sin( 1)
小节：
1、极坐标方程
2、圆的极坐标方程
作业：15页2题（3）（4）
你可以用极坐标方程直接来求吗？
三、简单曲线的极坐标方程
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方 程 f(x,y)=0表示，曲线与方程满足如下关系： （1）曲线C上点的坐标都是方程f(x,y)=0的解； （2）以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上
那么，在极坐标系中， 平面曲线是否可以用 方程f ( , ) 0表示呢？