上海交通大学高等数学A下册期中试题汇编
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分2. 函数f(x)在x=a处可导，那么f'(a)等于（）A. f(a)的值B. f(x)在x=a处的斜率C. f(a)的极限D. f(a)的平均变化率3.下列函数中，奇函数是（）A. f(x) = x²B. f(x) = x³C. f(x) = cos(x)D. f(x) = e^x4. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）A. ln|x| + CB. x + CC. 1/x + CD. e^x + C5. 多元函数f(x, y)的偏导数f_x表示（）A. 仅对x求导B. 对x和y同时求导C. x和y的乘积求导D. f对x的积分二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限和右极限相等。
（）2. 一切初等函数在其定义域内都可导。
（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上单调增加，则f'(x)≥0。
（）4. 二重积分可以转化为累次积分。
（）5. 泰勒公式是麦克劳林公式的推广。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x)在点x=a处的极限为______，记作______。
2. 若f(x) = 3x² 5x + 2，则f'(x) =______。
3. 不定积分∫sin(x)dx的结果是______。
4. 二重积分∬D dA表示______的面积。
5. 泰勒公式中，f(n)(a)表示______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述导数的定义。
2. 解释什么是函数的极值。
3. 简述定积分的基本思想。
4. 举例说明如何应用微分方程解决实际问题。
5. 简述多元函数求导的基本法则。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = x²e^x的导数。
2. 计算定积分∫(从0到π) sin(x)dx。
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题
上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．计算矩阵的乘积：()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 2．计算：012393n n nn n n C C C C ++++=L _____. 3．已知sin cos 22θθ+=，则sin θ=_____. 4．若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为_____. 5．在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第________项 6．如图，二面角l αβ--的大小是3π，线段AB ⊂α，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与平面β所成的角是_____（用反三角函数表示）7．已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C -，则△ABC 面积的最大值为_____.8．已知函数()lg(1)f x x =+，()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.9．已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解，则这7个解的和为_____.10．设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，若集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N ，则A 中所有元素的和为_____. 11．已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数（*n ∈N ），127k a =⋅（k 是一个已知的正整数），若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p =_____.12．若实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.则xy 的最小值为____________ 13．已知函数()y f x =是R 上的增函数，则对任意12,x x ∈R ，“12x x <”是“12()()f x f x <”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充分必要D ．非充分非必要 14．已知11z ≠-，111i 1z b z -=+（b ∈R ），2141(+1)z z =-，则z 对应的点在（ ） A ．圆上 B ．抛物线上 C ．双曲线上 D ．椭圆上15．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v ，由点集{P |OP uuu v ＝λOA u u u v ＋μOB uuu v，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A． B．C．D．16．已知1a ，{}234,,1,2,3,4a a a ∈，()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，，，求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为（ ）A ．8732B ．114C ．17764D ．1756417．如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒．（1）求该圆锥的表面积S 和体积V ；（2）求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d ．18．已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++（0A >，，2πϕ<）的图象如下图所示（1）求出函数()f x 的解析式；（2）若将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14（纵坐标不变）得到函数()y g x =的图象，求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心.19．若函数()y f x =满足“存在正数λ，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x ，使12()()f x f x λ=成立”，则称该函数为“依附函数”．（1）分别判断函数①()2x f x =，②2()log g x x =是否为“依附函数”，并说明理由； （2）若函数()y h x =的值域为[,]m n ，求证：“()y h x =是‘依附函数’”的充要条件是“0[,]m n ∉”．20．如图，已知点P 是x 轴下方（不含x 轴）一点，抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ=uu u r uu u r ，PE EB λ=uur uu r ，其中λ为常数，且D 、E 两点均在C 上，弦AB 的中点为M ．（1）若P 点坐标为(1,2)-，3λ=时，求弦AB 所在的直线方程；（2）在（1）的条件下，如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点，过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点，求证：若1l 和2l 的斜率都存在，则1l 与2l 的交点N 在直线PM 上；（3）若直线PM 交抛物线C 于点Q ，求证：线段PQ 与QM 的比为定值，并求出该定值．21．设{}n a 是公差不为零的等差数列，满足6713a a a +=，2224967a a a a +=+，设正项数列{}n b 的前n 项和为n S ，且423n n S b +=．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1b 、11x 、2b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x ，使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列；⋅⋅⋅；在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x ，使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++L L ；② 对于①中的n T ，是否存在正整数m 、n ，使得12m n ma T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(,)m n ；若不存在，请说明理由．参考答案1．(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可.【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为：(3,)a ac【点睛】本题主要考查矩阵的乘积，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 2．4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++L ，再利用二项式定理得解.【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=L .故答案为：4n【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．13【解析】【分析】把等式sincos 22θθ+=两边同时平方化简即得解. 【详解】 由题得221sin cos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为：13【点睛】本题主要考查二倍角的正弦公式的应用，考查同角的平方关系的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=.所以双曲线的虚轴长为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．5【解析】【分析】先求出等比数列的通项，再列举出数列的前几项，比较即得解.【详解】 由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1的项是第5项.故答案为：5【点睛】本题主要考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6． 【解析】【分析】 如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC ，证明3ACO π∠=，不妨设1,AC =根据已知求出2,2AB AO ==求出sin 4ABO ∠=即得解.【详解】如图，过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥，垂足为C ,连接,OB OC .因为AO β⊥，所以AO l ⊥，因为AC l ⊥，,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A =I ,所以l ⊥平面AOC ，所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角，所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设1,2,AC AB AO =∴== 由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠,所以2sin 24ABO ∠==.所以ABO ∠=.故答案为：【点睛】 本题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算，考查空间直线和平面所成的角的作法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=-，结合余弦定理可求A 的值，由基本不等式可求4bc „，再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=-，又因为2a =， 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴=，ABC ∆面积1sin 2S bc A ==， 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴„所以1sin 2S bc A =„ABC ∆【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力． 8．310([0,lg 2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈-，0]上的解析式，再根据周期为2求出[1x ∈，2]上的解析式，最后求出反函数．【详解】当10x -剟时，01x -剟，()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+， 当12x 剟时，120x --剟，()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+． ()(3)(12)g x lg x x ∴=-+剟，()310g x x ∴-+=，()310g x x ∴=-，所以1()310x g x -=-，()(3)(12)g x lg x x =-+Q 剟是减函数，()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=-，(02)x lg 剟. 故答案为：310([0,lg 2])x x -∈【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查根据函数的奇偶性周期性求解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-=，再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】若α满足(2019)0f α+=，则取1x α=-，则(2020)(2019)0f x f α-=+=，则1α-也是原方程的一根.所以原方程的两根应满足(1)1αα+-=，既然有7个根，所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为：3.5【点睛】 本题主要考查方程的零点，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和，可得分数形式，再由列举法可得集合A ，求和可得所求．【详解】0.ab&&是一个循环节长度为两位的循环纯小数， 即0.0.ab =&&0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==-， 1{|0.A n ab n==&&，*110}{|99a b n N n n +∈==，*}n N ∈， a 和b 分别为10以内的非负整数，且a b ¹，0b ≠，可得0a =，1b =，99n =；0a =，3b =，33n =；0a =，9b =，11n =； 0a ≠时，不存在满足题意的n ，则A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为：143【点睛】本题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法，注意运用列举法，考查化简运算能力，属于基础题．11．1【解析】【分析】先分析出当1k =时，当2k =时，得1p =，再说明127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=列举出该数列，即得解. 【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数，所以112272722k k a a -===g g ，当1k =时，234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a =L L ，所以1p =；当2k ≥时，1227k a -=g 是偶数，所以223272k a a -==g ， 当2k =时，同理可得1p =；L L ； 所以127k a =⋅时，17k a +=，222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,L 所以1p =. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查递推数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．1.4【解析】 【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件，再根据二次函数性质求xy 的最小值. 【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+，∴10x y -+＞，()()()()2221121111111x y xyx y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+Q()1121x y x y ∴-++≥=-+,当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥Q ，当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xyx y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈，即()12k x y k Z π+==∈， 因此21124k xy π+⎛⎫=≥⎪⎝⎭（当且仅当0k =时取等号）， 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误. 13．C 【解析】 【分析】先证明充分性，再证明必要性，即得解. 【详解】当12x x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12()()f x f x <，所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分条件；当12()()f x f x <时，因为函数()y f x =是R 上的增函数，所以12x x <，所以所以“12x x <”是“12()()f x f x <”的必要条件.综合得“12x x <”是“12()()f x f x <”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，考查函数单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14．B 【解析】 【分析】先求出214+1bi z b z =-，再求出12221+1biz b+=+，代入得22z b bi =--，设,z x yi =+即得解. 【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅g 211111444()+1+1+1z bibi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1biz b z =-因为111i 1z b z -=+，所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+，代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=-， 消去b 得24y x =-. 所以z 对应的点在抛物线上. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15．D 【解析】由2OA OB OA OB u u u v u u u v u u u v u u u v==⋅=知：21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OB OA OBπ⋅===∴=⨯⨯u u u v u u u vu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v . 不妨设()(()2,0,,,OA OB OP x y ===u u u v u u u v u u u v ，则：2x y λμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得12x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎪=⎪⎝⎩由|λ|＋|μ|≤1得2y y -+≤作出可行域，如图所示．则所求面积1242S =⨯⨯=本题选择D 选项.16．D 【解析】 【分析】本题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、，然后分别计算出每一种取值所对应的概率，最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值。
高等数学期中A考卷及答案海大
专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。
A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。
A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。
A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。
A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。
（）2. 任何连续函数都一定可导。
（）3. 二重积分可以转换为累次积分。
（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。
（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。
（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。
2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。
3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。
4. 矩阵A的行列式记作______。
5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。
四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。
2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。
4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。
五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。
3. 计算不定积分∫(cos x)dx。
4. 求解微分方程y' = 2x。
5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。
上海交通大学2014-2中高数试卷(A类)
2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设24222(,)x y f x y x y -=+，则00lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。
2．函数e ,0(,)1,0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( ) （A ）0； （B ）1； （C； （D ）2。
3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( )（A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =；（B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =；（C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =；（D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。
4．设()d t F t fV Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω：0z ≤≤0t >)，()f u 为连续函数，则()F t '= ( )（A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。
5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=； ② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。
(其中0δ>。
)（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
2019-2020学年上海市交大附中高一(下)期中数学试卷(附答案解析)
2019-2020学年上海市交大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14题，每题4分，满分56分）1．（4分）若2arcsin（x﹣2）＝，则x＝．2．（4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6＝17，且a3，a11，a43成等比数列，则d ＝．3．（4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6＝4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5＝．4．（4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是．5．（4分）在△ABC中，a2+b2﹣mc2＝0（m为常数），且+＝，则m的值是．6．（4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4＝8，S8＝24，则S16＝．7．（4分）已知函数f（x）＝3sin x+4cos x，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）﹣f（x2）的最大值是．8．（4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝2，则a+4c的最小值为9．（4分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n2﹣12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则的最小值．10．（4分）在等差数列{a n}中，若S10＝100，S100＝910，S110＝．11．（4分）设函数f（x）＝，函数g（x）＝，则方程f （x）＝g（x）根的数量为个．12．（4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且＝，则使得为整数的正整数k有个．13．（4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为．14．（4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M＝a201+a202+a203+…+a401的最大值为．二、选择题（本大题共20题，每题3分，满分60分）15．（3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝5π，则cos（a2+a8）的值为（）A．﹣B．﹣C．D．16．（3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a＝6，b＝2，B，A，C 成等差数列，则B＝（）A．B．C．或D．17．（3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A．{λa n}（λ为常数）B．{a n+b n}C．{a n2﹣b n2}D．{{a n•b n}}18．（3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝15，b＝24，A＝60°，则这样的三角形解的个数为（）A．1B．2C．0D．不确定19．（3分）已知函数，下列说法中错误的是（）A．函数f（x）的定义域是B．函数f（x）图象与直线没有交点C．函数f（x）的单调增区间是D．函数f（x）的周期是220．（3分）函数y＝cos（2x+），x∈[0，]的值域为（）A．[0，1]B．[﹣1，]C．[﹣，]D．[﹣，] 21．（3分）函数y＝sin x，x的反函数为（）A．y＝arcsin x，x∈[﹣1，1]B．y＝﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]C．y＝π+arcsin x，x∈[﹣1，1]D．y＝π﹣arcsin x，x∈[﹣1，1]22．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S＝b2+c2﹣4，a＝2，则△ABC外接圆的面积为（）A．B．C．2πD．4π23．（3分）已知曲线，则下面结论正确的是（）A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C224．（3分）已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线x＝对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1﹣x2|的最小值为，则φ等于（）A．B．C．D．25．（3分）若等比数列{a n}的前n项和S n＝3（2n+m），则a12+a22+…+a n2＝（）A．B．4n﹣1C．3（4n﹣1）D．无法确定26．（3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{}的前n项和为（）A．B．C．D．27．（3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A．恒为负数B．恒为正数C．恒为0D．可正可负28．（3分）已知函数f（x）＝a sin x+cos x的一条对称轴为x＝，则函数g（x）＝sin x﹣a cos x 的一条对称轴可以为（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝。
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题(含解析)
上海市交大附中2020届高三数学下学期期中试题〔含解析〕一． 填空题1.计算矩阵的乘积 : ()300c ab ⎛⎫= ⎪⎝⎭_____. 【答案】(3,)a ac【解析】【分析】直接利用矩阵的乘积公式求解即可. 【详解】由题得()3(30,0)(3,)00c a b a b a c b a ac ⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为 : (3,)a ac【点睛】此题主要考查矩阵的乘积 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.2.计算 : 012393n n n n n n C C C C ++++=_____.【答案】4n【解析】【分析】先把原式写成0011223333n n n n n n C C C C ++++ , 再利用二项式定理得解. 【详解】由题得原式=0011223333(13)4n n n n n n n n C C C C ++++=+=. 故答案为 : 4n【点睛】此题主要考查二项式定理的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.已知23sincos 223θθ+= , 那么sin θ=_____. 【答案】13【解析】【分析】 把等式23sin cos 223θθ+=两边同时平方化简即得解.【详解】由题得221sincos +2sin cos ,sin 2222343θθθθθ+=∴=. 故答案为 : 13【点睛】此题主要考查二倍角的正弦公式的应用 , 考查同角的平方关系的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.假设双曲线2214x y m-=的焦距为6 , 那么该双曲线的虚轴长为_____. 【答案】25【解析】【分析】由题得243,m +=解方程即得解.【详解】由题得20,43,5m m m >+=∴=. 所以双曲线的虚轴长为25.故答案为 : 25【点睛】此题主要考查双曲线的简单几何性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.5.在首项为21 , 公比为12的等比数列中 , 最接近于1的项是第________项 【答案】5【解析】【分析】先求出等比数列的通项 , 再列举出数列的前几项 , 比拟即得解. 【详解】由题得等比数列的通项为112341212121=21(),21,,,,2248n n a a a a a -⨯∴==== 5621211.31,0.66,1632a a =≈=≈ 所以521 1.3116a =≈与1最接近. 所以最接近于1项是第5项.故答案为 : 5【点睛】此题主要考查等比数列的通项 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 , 属于基础题.6.如以下图 , 二面角l αβ--的大小是3π , 线段AB ⊂α , B l ∈ , AB 与l 所成的角为6π , 那么AB 与平面β所成的角是_____〔用反三角函数表示〕【答案】3arcsin4【解析】【分析】 如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC , 证明3ACO π∠=, 不妨设1,AC =根据已知求出32,,2AB AO ==求出3sin 4ABO ∠=即得解. 【详解】如以下图 , 过点A 作AO β⊥,垂足为O ,过点A 作AC l ⊥ , 垂足为C ,连接,OB OC . 因为AO β⊥ , 所以AO l ⊥ , 因为AC l ⊥ ,,AO AC ⊂平面AOC ,AO AC A ⋂=,所以l ⊥平面AOC , 所以l OC ⊥,所以ACO ∠就是二面角l αβ--的平面角 , 所以3ACO π∠=.由题得6ABC π∠=,不妨设31,2,,2AC AB AO =∴==由题得AB 与平面β所成的角是ABO ∠, 所以332sin 24ABO ∠==. 所以3arcsin 4ABO ∠=. 故答案为 : 3arcsin 4【点睛】此题主要考查空间二面角的平面角的作法和计算 , 考查空间直线和平面所成的角的作法和计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7.已知a 、b 、c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边 , 2a = , 且(2)(sin sin )b A B +-=()sin c b C - , 那么△ABC 面积的最大值为_____. 【答案】3【解析】【分析】由正弦定理化简已知可得222a b c bc -=- , 结合余弦定理可求A 的值 , 由基本不等式可求4bc , 再利用三角形面积公式即可计算得解．【详解】因为(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-(2)()()b a b c b c ∴+-=-2222a b ab b c bc ∴-+-=- ,又因为2a = , 所以2222222221,,cos ,223b c a a b c bc b c a bc A A bc π+--=-∴+-=∴==∴= , ABC ∆面积13sin 24S bc A bc == , 而222b c a bc +-=222b c bc a ∴+-=2242b c bc bc bc ∴+-=≥-4bc ∴所以13sin 324S bc A bc == , 即ABC ∆面积的最大值为3．故答案为 : 3．【点睛】此题主要考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式在解三角形中的应用 , 考查了计算能力和转化思想 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．8.已知函数()lg(1)f x x =+ , ()g x 是以2为周期的偶函数 , 且当01x ≤≤时 , 有()g x =()f x , 那么函数()y g x = ([1,2]x ∈)的反函数是y =_____.【答案】310([0,lg2])x x -∈【解析】【分析】先根据偶函数性质求出[1x ∈- , 0]上的解析式 , 再根据周期为2求出[1x ∈ , 2]上的解析式 , 最后求出反函数．【详解】当10x -时 , 01x - , ()()(1)f x f x lg x ∴=-=-+ ,当12x 时 , 120x -- , ()(2)[(2)1](3)f x f x lg x lg x ∴=-=--+=-+．()(3)(12)g x lg x x ∴=-+ ,()310g x x ∴-+= , ()310g x x ∴=- ,所以1()310x g x -=- ,()(3)(12)g x lg x x =-+是减函数 ,()[0,lg 2]g x ∈所以1()310x g x -=- , (02)x lg .故答案为 : 310([0,lg2])x x -∈【点睛】此题主要考查反函数的求法 , 考查根据函数的奇偶性周期性求解析式 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.已知()y f x =是定义在R 上的函数 , 方程(2019)(2020-)0f x f x +⨯=恰好有7个解 , 那么这7个解的和为_____.【答案】3.5【解析】【分析】先分析出原方程的两根应满足(1)1αα+-= , 再得到原方程的这7个根为11,,1,,1,2ααββγλ---，,即得解.【详解】假设α满足(2019)0f α+= ,那么取1x α=- , 那么(2020)(2019)0f x f α-=+= , 那么1α-也是原方程的一根. 所以原方程的两根应满足(1)1αα+-= ,既然有7个根 , 所以应有一根满足1(1),2ααα=-∴=. 所以这7个根为11,,1,,1,2ααββγγ---，, 所以它们的和为13+=3.52. 故答案为 : 3.5 【点睛】此题主要考查方程的零点 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.10.设0.ab ••是一个循环节长度为两位的循环纯小数 , 其中a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 假设集合••1{|0.,}A n ab n n *==∈N , 那么A 中所有元素的和为_____. 【答案】143【解析】【分析】由无限循环小数可写成等比数列的无穷项和 , 可得分数形式 , 再由列举法可得集合A , 求和可得所求．【详解】0.ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数 ,即0.0.ab =0.100.001991100ab a b ab ab ⨯+++⋯==- , 1{|0.A n ab n== , *110}{|99a b n N n n +∈== , *}n N ∈ , a 和b 分别为10以内的非负整数 , 且a b , 0b ≠ , 可得0a = , 1b = , 99n = ; 0a = , 3b = , 33n = ; 0a = , 9b = , 11n = ;0a ≠时 , 不存在满足题意的n ,那么A 中所有元素的和为993311143++=．故答案为 : 143【点睛】此题考查无限循环小数化为分数的方法和集合中元素的求法 , 注意运用列举法 , 考查化简运算能力 , 属于基础题．11.已知数列{}n a 满足1312n n n n n a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数〔*n ∈N 〕 , 127k a =⋅〔k 是一个已知的正整数〕 , 假设存在*m ∈N , 当n m >且n a 为奇数时 , n a 恒为常数p , 那么p =_____.【答案】1【解析】【分析】先分析出当1k =时 , 当2k =时 , 得1p = , 再说明127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=列举出该数列 , 即得解.【详解】由题得127k a =⋅是一个偶数 , 所以112272722k k a a -=== , 当1k =时 , 234567897,22,11,34,17,52,26,13,a a a a a a a a ========101112131415161718192040,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,a a a a a a a a a a a =========== 211,a = , 所以1p = ; 当2k ≥时 , 1227k a -=是偶数 , 所以223272k a a -== , 当2k =时 , 同理可得1p = ;; 所以127k a =⋅时 , 17k a += , 222,k a +=所以从第1k +项起的数列为7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1,所以1p =.故答案为 : 1【点睛】此题主要考查递推数列的性质 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.假设实数,x y 满足()()()2221122cos 11x y xy x y x y ++--+-=-+.那么xy 的最小值为____________ 【答案】1.4【解析】【分析】根据等式两边范围确定,x y 满足条件 , 再根据二次函数性质求xy 的最小值.【详解】∵()()()2221122cos 11x y xyx y x y ++--+-=-+ , ∴10x y -+＞ , ()()()()2221121111111x y xy x y x y x y x y x y ++---++==-++-+-+-+ ()()11121211x y x y x y x y ∴-++≥-+⋅=-+-+, 当且仅当11x y -+=时即=x y 时取等号()22cos 12x y +-≥ , 当且仅当()1x y k k Z π+-=∈时取等号∴()()()2221122cos 12111x y xy x y x y x y ，即++--=+-=-+=-+且()1x y k k Z π+-=∈ ,即()12k x y k Z π+==∈ , 因此21124k xy π+⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭〔当且仅当0k =时取等号〕 , 从而xy 的最小值为1.4【点睛】在利用基本不等式求最值时 , 要特别注意〞拆、拼、凑〞等技巧 , 使其满足基本不等式中〞正〞(即条件要求中字母为正数)、〞定〞(不等式的另一边必须为定值)、〞等〞(等号取得的条件)的条件才能应用 , 否那么会出现错误.二． 选择题13.已知函数()y f x =是R 上的增函数 , 那么对任意12,x x ∈R , 〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的〔 〕条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 非充分非必要【答案】C【解析】【分析】先证明充分性 , 再证明必要性 , 即得解.【详解】当12x x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12()()f x f x < , 所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分条件 ;当12()()f x f x <时 , 因为函数()y f x =是R 上的增函数 , 所以12x x < , 所以所以〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的必要条件. 综合得〞12x x <〞是〞12()()f x f x <〞的充分必要条件.应选 : C.【点睛】此题主要考查充分必要条件的判定 , 考查函数单调性的应用 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14.已知11z ≠- ,111i 1z b z -=+〔b ∈R 〕 , 2141(+1)z z =- , 那么z 对应的点在〔 〕 A. 圆上B. 抛物线上C. 双曲线上D. 椭圆上【答案】B【解析】【分析】先求出214+1bi z b z =- , 再求出12221+1bi z b+=+ , 代入得22z b bi =-- , 设,z x yi =+即得解.【详解】由题得22111111122211111123(23)31341(+1)(+1)(+1)+1+1+1z z z z z z z z bi z z z z z z --+-+-+-+=-===-=-⋅ 211111444()+1+1+1z bi bi bi bi b z z z -+=-⋅=--⋅=-. 所以214+1bi z b z =- 因为111i 1z b z -=+ , 所以21112121i(1),1b bi z b z z b-+-=+∴=+. 所以12221+1bi z b+=+ , 代入214+1bi z b z =-得22z b bi =--. 设2,(,),,2z x yi x y R x b y b =+∈∴=-=- , 消去b 得24y x =-.所以z 对应的点在抛物线上.应选 : B【点睛】此题主要考查复数的运算和复数的轨迹问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.15.在平面直角坐标系中 , O 是坐标原点 , 两定点A , B 满足2OA OB OA OB ==⋅= , 由点集{P |OP ＝λOA ＋μOB , |λ|＋|μ|≤1 , λ , μ∈R }所表示的区域的面积是( )A. 22B. 23C. 42D. 43【答案】D【解析】由2OA OB OA OB ==⋅=知 :21cos ,,,2223OA OB OA OB OA OBOA OBπ⋅===∴=⨯⨯. 不妨设()()()2,0,1,3,,OA OB OP x y === , 那么 : 23x y λμμ=+⎧⎪⎨=⎪⎩.解得3123y y x μλ⎧=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩由|λ|＋|μ|≤1得3223x y y -+≤.作出可行域 , 如以下图． 那么所求面积1243432S =⨯⨯⨯=. 此题选择D 选项.16.已知1a , {}234,,1,2,3,4a a a ∈ , ()1234,,,N a a a a 为1234,,,a a a a 中不同数字的种类 ,如(1123)3N ，，，，=(1221)2N =，，， , 求所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为〔 〕A.8732B.114C.17764D.17564【答案】D 【解析】 【分析】此题首先可以确定()1234,,,N a a a a 的所有可能取值分别为1234、、、 , 然后分别计算出每一种取值所对应的概率 , 最后根据每一种取值所对应的概率即可计算出()1234,,,N a a a a 的平均值．【详解】由题意可知 :当()1234,,,1N a a a a =时 , 14114464P =⨯= ; 当()1234,,,2N a a a a =时 , ()1214442468421425664C C C P ⨯++=== ;当()1234,,,3N a a a a =时 , ()34436+3+31449425616P ⨯=== ; 当()1234,,,4N a a a a =时 , 4444243==425632A P = ,综上所述 , 所有的256个()1234,,,a a a a 的排列所得的()1234,,,N a a a a 的平均值为 :121931751+2+3+4=6464163264⨯⨯⨯⨯ , 应选D ． 【点睛】此题考查了平均值的计算 , 能否通过题意得出()1234,,,N a a a a 的所有可能情况并计算出每一种可能情况所对应的概率是解决此题的关键 , 考查推理能力与计算能力 , 是难题． 三． 解答题17.如以下图 , 用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥 , 放在水平桌面上 , 被一阵风吹倒．〔1〕求该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕求该圆锥被吹倒后 , 其最高点到桌面的距离d ． 【答案】〔1〕=50S π厘米 , 12533V π=立方厘米 ; 〔2〕53h =厘米． 【解析】 【分析】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 求出圆锥的高 , 利用公式即可求出该圆锥的外表积S 和体积V ;〔2〕根据圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米即可求出最高点到桌面的距离d ．【详解】〔1〕设底面半径为r 厘米 , 母线的长为l 厘米 , 那么10l =厘米 , 且r l 2π=π , 解得 : =5r 厘米 ,外表积=50S rl ππ=〔平方厘米〕 , 圆锥的高2253h l r =-=〔厘米〕 , ∴体积21125333V r h ππ==〔立方厘米〕． 〔2〕∵圆锥的轴截面为等边三角形 , 且边长为10厘米 , ∴最高点到底面的距离为等边三角形的高 , 53h =厘米．【点睛】此题主要考查圆锥的外表积和体积的计算 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.已知函数()sin()f x A x b ωϕ=++〔0A > ,, 2πϕ<〕的图象如以下图所示〔1〕求出函数()f x 的解析式 ; 〔2〕假设将函数()f x 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为原来的14〔纵坐标不变〕得到函数()y g x =的图象 , 求出函数()y g x =的单调增区间及对称中心. 【答案】〔1〕1()4sin()223f x x π=++ ;〔2〕[,],36k k k Z ππππ-+∈ , (,2),212k k Z ππ-∈.【解析】 【分析】〔1〕通过函数的图象求出振幅 , 周期 , 以及b ．求出函数f 〔x 〕的解析式 ;〔2〕利用平移变换的运算求出函数y ＝g 〔x 〕的解析式 , 通过正弦函数的单调增区间求解函数单调增区间及对称中心． 【详解】〔1〕 6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩由图可得212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()62,362f k k Z πππϕπ=⇒+=+∈而2πϕ<,故3πϕ=综上1()4sin()223f x x π=++〔2〕显然()4sin(2)26g x x π=++由222,262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈得()g x 的单调递增区间为[,],36k k k Z ππππ-+∈.. 由2,(,2),6212k x k k Z k Z ππππ+=∈⇒-∈. 【点睛】此题考查三角函数的解析式的求法 , 平移变换以及正弦函数的单调区间 , 对称中心的求法 , 考查计算能力．19.假设函数()y f x =满足〞存在正数λ , 使得对定义域内的每一个值1x , 在其定义域内都存在2x , 使12()()f x f x λ=成立〞 , 那么称该函数为〞依附函数〞．〔1〕分别判断函数①()2x f x = , ②2()log g x x =是否为〞依附函数〞 , 并说明理由 ; 〔2〕假设函数()y h x =的值域为[,]m n , 求证 : 〞()y h x =是‘依附函数’〞的充要条件是〞0[,]m n ∉〞．【答案】〔1〕①是 , ②不是 ; 理由详见解析〔2〕详见解析． 【解析】 【分析】〔1〕①可取1λ= , 说明函数()2x f x =是〞依附函数〞 ; ②对于任意正数λ , 取11x = , 此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , 说明2()log g x x =不是〞依附函数〞 ;〔2〕先证明必要性 , 再证明充分性 , 即得证.【详解】〔1〕①可取1λ= , 那么对任意1x ∈R , 存在21x x =-∈R , 使得12221x x ⋅=成立 ,〔说明 : 可取任意正数λ , 那么221log x x λ=-〕 ∴()2x f x =是〞依附函数〞 ,②对于任意正数λ , 取11x = , 那么1()0g x = ,此时关于2x 的方程12()()g x g x λ=无解 , ∴2()log g x x =不是〞依附函数〞． 〔2〕必要性 : 〔反证法〕假设0[,]m n ∈ ,∵()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的1x , 使得1()0h x = , ∴对任意正数λ , 关于2x 的方程12()()h x h x λ=无解 , 即()y h x =不是依附函数 , 矛盾 , 充分性 : 假设0[,]m n ∉ , 取0mn λ=> ,那么对定义域内的每一个值1x , 由1()[,]h x m n ∈ , 可得1[,][,]()m n h x n mλλλ∈= , 而()y h x =的值域为[,]m n , ∴存在定义域内的2x , 使得21()()h x h x λ= , 即12()()h x h x λ=成立 ,∴()y h x =是〞依附函数〞．【点睛】此题主要考查函数的新定义 , 考查充分必要条件的证明 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如以下图 , 已知点P 是x 轴下方〔不含x 轴〕一点 , 抛物线2:C y x =上存在不同的两点A 、B 满足PD DA λ= , PE EB λ= , 其中λ为常数 , 且D 、E 两点均在C 上 , 弦AB 的中点为M ．〔1〕假设P 点坐标为(1,2)- , 3λ=时 , 求弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕在〔1〕的条件下 , 如果过A 点的直线1l 与抛物线C 只有一个交点 , 过B 点的直线2l 与抛物线C 也只有一个交点 , 求证 : 假设1l 和2l 的斜率都存在 , 那么1l 与2l 的交点N 在直线PM 上 ;〔3〕假设直线PM 交抛物线C 于点Q , 求证 : 线段PQ 与QM 的比为定值 , 并求出该定值．【答案】〔1〕230x y -+= ; 〔2〕详见解析 ; 〔3〕证明详见解析 , 定值为1+λλ． 【解析】 分析】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 得到211230x x --=和222230x x --= , 即得,A B 的坐标 , 即得弦AB 所在的直线方程 ;〔2〕先求出1:690l x y --= , 2:210l x y ++= , 再求出交点(1,3)N - , 即得证 ;〔3〕先求出直线PM 的方程为0x x = , 得到200(12)(1)M x y y λλλ+-+= , 20Q y x = , 即得线段PQ 与QM 的比.【详解】〔1〕设11(,)A x y , 22(,)B x y , 由3PD DA = , 3PE EB = ,可得111323(,)44x y D +-+ , 221323(,)44x y E +-+ , 由D 点在C 上可得 :2112313()44y x -++= , 化简得 : 211230x x --= , 同理可得 : 222230x x --= ,∵A 、B 两点不同 , 不妨设(3,9)A , (1,1)B - , ∴弦AB 所在的直线方程为230x y -+=．〔2〕由〔1〕可知 , (3,9)A , (1,1)B - , 设11:9(3)l y k x -=- , 与2:C y x =联立 , 并令0∆= , 可得16k = , 同理2l 的斜率22k =- , ∴1:690l x y --= , 2:210l x y ++= ,解方程组得交点(1,3)N - , 而直线PM 的方程为1x = , 得证．〔3〕设00(,)P x y , 211(,)A x x , 222(,)B x x , 由PD DA λ= , 得20101(,)11x x y x D λλλλ++++ ,代入2yx , 化简得 : 22101002(1)0x x x y x λλλ-++-= , 同理可得 : 22202002(1)0x x x y x λλλ-++-= ,显然12x x ≠ , ∴1x 、2x 是方程220002(1)0x x x y x λλλ-++-=的两个不同的根 ,∴1202x x x += , 20012(1)y x x x λλ+-⋅=,∴1202M x x x x +== , 即直线PM 的方程为0x x = , ∵2220012(12)(1)2M x y x x y λλλ+-++==, 20Q y x = , ∴200(1)(1)M Q x y y y λλλ+-+-=, 200Q P y y x y -=- ,所以线段PQ 与QM 的比为200200(1)(1)1Q PM Q y y x y y x y y λλλλλ-==+-+--+∴线段PQ 与QM 的比为定值1λλ+．【点睛】此题主要考查直线和抛物线的位置关系 , 考查直线方程的求法 , 考查抛物线的定值问题 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.21.设{}n a 是公差不为零的等差数列 , 满足6713a a a += , 2224967a a a a +=+ , 设正项数列{}n b 的前n 项和为n S , 且423n n S b +=．〔1〕求数列{}n a 和{}n b 的通项公式 ;〔2〕在1b 和2b 之间插入1个数11x , 使1b 、11x 、2b 成等差数列 ; 在2b 和3b 之间插入2个数21x 、22x , 使2b 、21x 、22x 、3b 成等差数列 ; ⋅⋅⋅ ; 在n b 和1n b +之间插入n 个数1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x , 使n b 、1n x 、2n x 、⋅⋅⋅、nn x 、1n b +成等差数列．① 求11212212n n n nn T x x x x x x =+++++++ ;② 对于①中的n T , 是否存在正整数m 、n , 使得12m n ma T a +=成立 ？假设存在 , 求出所有的正整数对(,)m n ; 假设不存在 , 请说明理由． 【答案】〔1〕n a n = , 1123n nb -=⋅ ; 〔2〕①123(3)43n nn T +=- ; ②存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)． 【解析】 【分析】〔1〕求出等差数列的首项和公差即得数列{}n a 的通项公式 , 由题得当2n ≥时 ,423n n S b += , 11423n n S b --+= , 相减即得{}n b 的通项公式 ;〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ , 再利用错位相减法求和得解 ; ②假设存在正整数,m n , 使得12m n m a T a +=, 化简得2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ , 证明4n ≥时 ,2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 列举得解. 【详解】〔1〕设数列{}n a 的公差为()d d ≠0 , 那么由6713a a a +=可得1a d = ,再由2224967a a a a +=+化简得 : 244d d = , 解得 : 1d = , ∴n a n = ,当1n =时 , 11423S b +=得 : 112b =; 当2n ≥时 , 423n n S b += , 11423n n S b --+= ,两式相减得113n n b b -=, ∴1123n n b -=⋅．〔2〕①1223112()()()222n n n nT b b b b b b +=++++++ ,123121113521[35(21)][1]243333n n n n n nb b b n b nb +--=++++-+=+++++ , 设2135211333n n P --=++++ ,所以2311352133333nn P -=++++, 上面两式错位相减得23122222211++333333n nn P --=+++-, 所以1111[1()]2211211331+22()=2()(22)13333313n n n n n n n P n -----=⨯-=---⨯+- 所以13313=333n n n n P -++=-- , ∴123(3)43n n n T +=-． ②假设存在正整数,m n , 使得12m n ma T a +=, 代入化简得23(23)3n nn m -+= , 即2(23)23(23)n n m n +=+-+ , 令()33(23)n f n n =-+ ,那么由(1)()2(33)0n f n f n +-=-≥可得 : (1)(2)(3)(4)()f f f f f n =<<<<<．当4n ≥时 , ()(4)480f n f ≥=> ,∴3(23)2(23)n n n -+>+ , 即2(23)3(23)nn n +∉-+Z , 舍去 ; 当1n =时 , 3m =- , 舍去 ; 当2n =时 , 9m = , 符合题意 ;当3n =时 , 3m = , 符合题意 ;综上 : 存在符合题意的正整数对(,)m n , 它们为(3,3)和(9,2)．【点睛】此题主要考查数列通项的求法和数列求和 , 考查数列的存在性问题的求解 , 意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。
2019-2020学年上海交大附中高一(下)期中数学试卷
2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___9.（填空题，4分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2-12n，数列{|a n|}的前n项和T n，则T nn的最小值___ ．10.（填空题，4分）在等差数列{a n}中，若S10=100，S100=910，S110=___ ．11.（填空题，4分）设函数f（x）= {|sinx|，x＜02x，x≥0，函数g（x）= {lg(−x)，x＜0x2，x≥0，则方程f（x）=g（x）根的数量为___ 个．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √3216.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π317.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定19.（单选题，3分）已知函数f(x)=−2tan(π2x+π3)，下列说法中错误的是（）A.函数f（x）的定义域是{x|x≠2k+13，k∈Z}B.函数f（x）图象与直线x=2k+13，k∈Z没有交点C.函数f（x）的单调增区间是(−53+2k，13+2k)，k∈ZD.函数f（x）的周期是220.（单选题，3分）函数y=cos（2x+ π3），x∈[0，π2]的值域为（）A.[0，1]B.[-1，12]C.[- √32，12]D.[- 12，12]21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1]22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π23.（单选题，3分）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin（2x+ 2π3），则下面结论正确的是（）A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C224.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π325.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+127.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负28.（单选题，3分）已知函数f（x）=asinx+cosx的一条对称轴为x= π，则函数g（x）11=sinx-acosx的一条对称轴可以为（）A.x= 9π22B.x= 13π22C.x= 10π11D.x= 13π1129.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（）A.一尺五寸B.二尺五寸C.三尺五寸D.四尺五寸30.（单选题，3分）已知等差数列{a n}、{b n}，其前n项和分别为S n、T n，a nb n =2n+33n−1，则S11T11=（）A. 1517B. 2532C.1D.231.（单选题，3分）已知S n是等比数列{a n}的前n项和，若存在m∈N+满足S2mS m =9，a2ma m=5m+1m−1，则数列{a n}的公比为（）A. √2B.2C.3D.432.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞033.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1＜0，给出下列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.435.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π）=13-94√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海交大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：36，总分：1501.（填空题，4分）若2arcsin（54 x-2）= π3，则x=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：直接利用反正弦函数的计算法则即可求解结论．【解答】：解：因为2arcsin（54 x-2）= π3，所以sin[arcsin（54 x-2）]= 12，即54 x-2= 12，所以x=2．故答案为：2．【点评】：本题考查反三角函数的应用，反三角函数的运算法则，考查计算能力，是基础题．2.（填空题，4分）在公差d不为零的等差数列{a n}中，a6=17，且a3，a11，a43成等比数列，则d=___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差．【解答】：解：a6=17，即为a1+5d=17，a3，a11，a43成等比数列，可得a3a43=a112，即为（a1+2d）（a1+42d）=（a1+10d）2，化为2d=3a1，解得a1=2，d=3，故答案为：3．【点评】：本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．3.（填空题，4分）已知等比数列{a n}中，a n＞0，a1a6=4，则log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=___ ．【正确答案】：[1]4【解析】：利用等比数列的性质求得a2a5与a3a4，再利用对数的运算法则求出结果．【解答】：解：∵a1a6=4，∴由等比数列的性质可得：a2a5=a3a4=4，∴log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2（a2a3a4a5）=log216=4．故填：4．【点评】：本题主要考查等比数列的性质与对数的运算，属于基础题．4.（填空题，4分）前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和是___ ．【正确答案】：[1]765【解析】：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列，利用求和公式即可得出．【解答】：解：前100个正整数中，除以7余数为2的所有数为：2，9，…，100，此数列是公差为7的等差数列．令100=2+7（n-1），解得n=15．∴前100个正整数中，除以7余数为2的所有数的和= 15×(2+100)2=765．故答案为：765．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.（填空题，4分）在△ABC中，a2+b2-mc2=0（m为常数），且cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，则m的值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：由已知的等式，可得sinAsinBcosC=sin2C，然后根据正弦定理化简得出abcosC=c2，再由余弦定理求出cosC代入化简，即可求出m的值．【解答】：解：∵ cosAsinA + cosBsinB= cosCsinC，∴sinAsinBcosC=sinC•sin（A+B）=sin2C根据正弦定理上式可化简为：abcosC=c2①根据余弦定理可知cosC= a 2+b2−c22ab②由① ② 得a2+b2=3c2∵a2+b2=mc2∴m=3故答案为：3．【点评】：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，把角的关系转化为边的关系，是解题的关键．6.（填空题，4分）已知等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，若S4=8，S8=24，则S16=___ ．【正确答案】：[1]120【解析】：由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，由此能求出S16．【解答】：解：∵等比数列{a n}的各项都是正数，S n为其前n项和，S4=8，S8=24，由等比数列的性质得：S4，S8-S4，S12-S8，S16-S12成等比数列，∴8，24-8，S12-24，S16-S12成等比数列，∴S12-24=32，S16-S12=64，解得S12=56，S16=120．故答案为：120．【点评】：本题考查等比数列的前16项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.（填空题，4分）已知函数f（x）=3sinx+4cosx，x1，x2∈[0，π]，则f（x1）-f（x2）的最大值是___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：本题先将函数f（x）转化成正弦函数的形式，然后结合正弦函数的图象判断出函数f（x）在区间[0，π]上的最大值和最小值，从而得出结果．【解答】：解：由题意，可知：f（x）=3sinx+4cosx=5•（35 sinx+ 45cosx）=5sin（x+θ），其中sinθ= 45，cosθ= 35．∵sinθ= 45，可知sin π4= √22≤45≤1=sinπ2，∴ π4≤θ≤π2对于函数f（x）=5sin（x+θ），可知：sinx向左平移θ个单位得到sin（x+θ），再将sin（x+θ）的图象沿y轴伸长到原来的5倍得到5sin（x+θ）．由题意，可知求f（x1）-f（x2）的最大值就是求函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的最大值与最小值之差．又函数f（x）=5sin（x+θ）在区间[0，π]上的图象如下：由图象可知，在区间[0，π]上，当x= π2−θ时，f（x）取最大值5，当x=π时，f（x）取最小值5sin（π+θ）=-5sinθ=-4．∴在区间[0，π]上，f（x1）-f（x2）的最大值是5-（-4）=9．故答案为：9．【点评】：本题考查了三角函数的转化以及函数图象的变换知识，本题要特别注意细节点不能粗心大意．属中档题．8.（填空题，4分）在△ABC中，角A、B、C所对应边分别为a、b、c，∠ABC=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，则a+4c的最小值为___【正确答案】：[1]18【解析】：根据三角形面积公式找到a，c的关系，结合基本不等式即可求得最小值．【解答】：解：根据题意，S△ABC= 12 acsinB= 12ac，因为∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2 √2，所以S△ABD= 12×BD×c×sin∠ABD=c，S△CBD= 12×BD×a×sin∠CBD=a，而S△ABC=S△ABD+S△CBD，所以12 ac=c+a，化简得2a+2c=1，则a+4c=（a+4c ）（ 2a + 2c ）=10+2a c+8c a ≥10+2 √2a c×8ca=18， 当且仅当a=2c ，即c=3，a=6时取等号，即最小值为：18． 故答案为：18．【点评】：本题考查了三角函数面积公式的应用，基本不等式在求最值中的用法，属于难题．9.（填空题，4分）已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，数列{|a n |}的前n 项和T n ，则 Tnn 的最小值___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：根据数列的递推关系，利用累加法求出数列的通项公式，然后利用分组求和法进行求和．【解答】：解：数列{a n }的前n 项和S n =2n 2-12n ，易知数列{a n }为等差数列． ∴a n =S n -S n-1=2n 2-12n-2（n-1）2-12（n-1）=4n-14， n≥4时，a n ＞0； n≤3时，a n ＜0．∴T n =|a 1|+|a 2|+|a 3|+|a 4|+…|a n |=-a 1-a 2-a 3+a 4+…a n ， ∴ T n ={−S n =−2n 2+12n ，n ≤3S n −2S 3=2(n 2−6n +18)，n ≥4，n≤3时， T nn=−2n 2+12nn=−2n +12 ，当n=3时， Tnn 的最小值为-2×3+12=6；n≥4时， Tnn =2(n 2−6n+18)n= 2(n +18n−6) ，∵n∈N *，n=4时， Tnn 的最小值为 2(4+184−6)=5 ．综上所述，则 Tnn 的最小值是5．故答案为：5．【点评】：本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，以及含绝对值的前n 项和的求解，做题时注意n 必须为正整数，属于中档题．10.（填空题，4分）在等差数列{a n }中，若S 10=100，S 100=910，S 110=___ ． 【正确答案】：[1]990【解析】：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 10=100，S 100=910，利用求和公式可得：10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992d=910，解得a 1，d ，即可得出．【解答】：解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 10=100，S 100=910， ∴10a 1+10×92 d=100，100a 1+ 100×992 d=910， 解得a 1= 1009100 ，d=- 150 ， S 110=110× 1009100 - 150 × 110×1092=990， 故答案为：990．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 11.（填空题，4分）设函数f （x ）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 ，函数g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0，则方程f （x ）=g （x ）根的数量为___ 个． 【正确答案】：[1]7【解析】：分别作函数f （x ）与g （x ）的图象，转化为图象的交点，从而利用数形结合的方法求解．【解答】：解：作函数f （x ）=）= {|sinx |，x ＜02x ，x ≥0 与g （x ）= {lg (−x )，x ＜0x 2，x ≥0的图象如下，，结合图象可知，y=|sinx|与y=lg （-x ）在（-∞，0）上有5个交点， 在[0，+∞）上，y=x 2与y=2x 有两个交点， 分别为（2，4），（4，16）；故方程f （x ）=g （x ）根的个数为7个； 故答案为：7．【点评】：本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用，注意基本初等函数的图象的作法及图象变换．12.（填空题，4分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，则使得a2kb k为整数的正整数k有___ 个．【正确答案】：[1]3【解析】：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．可得：a2kb k =14+ 152k+1，进而得出结论．【解答】：解：两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为S n和T n，且S nT n = 7n+36n+2，不妨设S n=n（7n+36），T n=n（n+2），n≥2时，a n=S n-S n-1=n（7n+36）-（n-1）（7n+29）=14n+29，n=1时也成立．同理可得：b n=2n+1．a2k b k = 28k+292k+1=14+ 152k+1，只有2k+1=3，5，15，即k=1，2，7时，使得a2kb k为整数．故答案为：3．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、整除理论，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.（填空题，4分）设等差数列{a n}的各项都是正数，公差为d，前n项和为S n，若数列{√S n}也是公差为d的等差数列，则{a n}的前6项和为___ ．【正确答案】：[1]9【解析】：由题意可得，化简，n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，解得即可．【解答】：解：由题意可得：S n=na1+ n(n−1)2d，a n＞0，√S n = √a1 +（n-1）d，可得：S n=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．∴na1+ n(n−1)2d=a1+（n-1）2d2+2 √a1（n-1）d．n≠1时可得：a1=（n-1）d2+2 √a1 d- n2d．分别令n=2，3，可得：a1=d2+2 √a1 d-d，a1=2d2+2 √a1 d- 32d．解得a1= 14，d= 12．∴S6=6× 14 + 12×5×6× 12=9．故答案为：9【点评】：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.（填空题，4分）若等差数列{a n}满足a12+a2012≤10，则M=a201+a202+a203+…+a401的最大值为___ ．【正确答案】：[1]1005【解析】：令a1=m，a201=n，将M=a201+a202+a203+…+a401转化为求关于m和n的式子最值，根据圆与直线的位置关系，求得32n−12m的最值，代入即可得结果．【解答】：解：∵a12+a2012≤10，令a1=m，a201=n，即m2+n2≤10，等差数列{a n}中，d= n−m200，M=a201+a202+a203+…+a401=（401-201+1）• a201+a4012=201a301=201（m+300d）=201（m+300 •n−m200）=201（m+ 3n2−32m）=201（32n−12m），令p= 32n−12m，则m-3n-2p=0，可得圆m2+n2=10上一点（m，n）也在直线m-3n-2p=0，即圆心到直线m-3n-2p=0的距离小于等于半径，∴ d=√12+(−3)2≤r=√10，解得p≤5，∴M=a201+a202+a203+…+a401≤201×5=1005．故答案为：1005．【点评】：本题考查了等差数列的求和公式，考查了点到直线的位置关系，属于综合考查类题目，需要学生有综合分析的能力和转化的思想，属于中档题．15.（单选题，3分）已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9=5π，则cos（a2+a8）的值为（）A.- 12B.- √32C. 12D. √32【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的性质和三角函数的诱导公式即可求出．【解答】：解：∵{a n}为等差数列，∴a1+a9=2a5，∵a1+a5+a9=5π，∴3a5=5π，∴a5= 5π3，∴cos（a2+a8）=cos（2a5）=cos 10π3 =- 12故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质，熟练掌握等差数列的性质和三角函数的诱导公式是解题的关键．16.（单选题，3分）△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若a=6，b=2 √3，B，A，C成等差数列，则B=（）A. π6B. 5π6C. π6或5π6D. 2π3【正确答案】：A【解析】：由B，A，C成等差数列，利用三角形内角和定理求出A的值，再利用正弦定理求出sinB和B的值．【解答】：解：△ABC中，由B，A，C成等差数列，则2A=B+C=π-A，解得A= π3；所以sinB= bsinAa = 2√3×√326= 12，又a＞b，所以B为锐角．所以B= π6．故选：A．【点评】：本题考查了正弦定理与等差数列的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．17.（单选题，3分）若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），则下列数列中不为等差数列的是（）A.{λa n}（λ为常数）B.{a n+b n}C.{a n2-b n2}D.{a n•b n}【正确答案】：D【解析】：运用等差数列的定义和通项公式，对选项一一判断差是否为常数，即与n无关，即可判断．【解答】：解：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d（d≠0），对于A，由λa n+1-λa n=λ（a n+1-a n）=λd为常数，则该数列为等差数列；对于B，由a n+1+b n+1-a n-b n=（a n+1-a n）+（b n+1-b n）=2d为常数，则该数列为等差数列；对于C，由a n+12-b n+12-（a n2-b n2）=（a n+1-a n）（a n+1+a n）-（b n+1-b n）（b n+1+b n）=d（2a1+（2n-1）d）-d（2b1+（2n-1）d）=2d（a1-b1）为常数，则该数列为等差数列；对于D，由a n+1b n+1-a n b n=（a n+d）（b n+d）-a n b n=d2+d（a n+b n）不为常数，则该数列不为等差数列．故选：D．【点评】：本题考查等差数列的定义和通项公式，注意定义法的运用，考查判断能力和推理能力，属于基础题．18.（单选题，3分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a=15，b=24，A=60°，则这样的三角形解的个数为（）A.1B.2C.0D.不确定【正确答案】：C【解析】：利用正弦定理求得sinB 的值，再根据三角函数的有界性判断B 的值不存在，即三角形无解．【解答】：解：△ABC 中，a=15，b=24，A=60°， 由正弦定理得， 15sin60° = 24sinB ， ∴sinB= 85 sin60°= 85 × √32 ≈1.39＞1， ∴B 的值不存在，此三角形无解． 故选：C ．【点评】：本题考查了利用正弦定理解三角形的应用问题，是基础题．19.（单选题，3分）已知函数 f (x )=−2tan (π2x +π3) ，下列说法中错误的是（ ） A.函数f （x ）的定义域是 {x|x ≠2k +13，k ∈Z} B.函数f （x ）图象与直线 x =2k +13，k ∈Z 没有交点 C.函数f （x ）的单调增区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z D.函数f （x ）的周期是2 【正确答案】：C【解析】：利用正切函数的图象和性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】：解：已知函数f （x ）=-tan （ π2 x+ π3 ），则 π2 x+ π3 ≠ π2 +kπ，k∈Z ；∴函数的定义域为{x |x≠2k+ 13 ，k∈Z}；故A 正确；B 正确；函数f （x ）的单调减区间是 (−53+2k ，13+2k)，k ∈Z ，故C 错误； 函数f （x ）的周期是T= ππ2=2，故D 正确．所以说法错误的是：C ； 故选：C ．【点评】：本题主要考查正切函数的图象和性质，命题真假判断，属于中档题． 20.（单选题，3分）函数y=cos （2x+ π3 ），x∈[0， π2 ]的值域为（ ） A.[0，1] B.[-1， 12 ] C.[- √32 ， 12 ]D.[- 12，12]【正确答案】：B【解析】：先根据x的范围，求出2x+ π3的范围，再借助于余弦函数的性质即可求解结论．【解答】：解：∵x∈[0，π2]，∴2x+ π3∈[ π3，4π3]，∴y=cos（2x+ π3）∈[-1，12]．故选：B．【点评】：本题考查了余弦函数的定义域和值域的求法，属于基础题．21.（单选题，3分）函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为（）A.y=arcsinx，x∈[-1，1]B.y=-arcsinx，x∈[-1，1]C.y=π+arcsinx，x∈[-1，1]D.y=π-arcsinx，x∈[-1，1] 【正确答案】：D【解析】：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，从而得到函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数．【解答】：解：由于x ∈[π2，3π2]时，-1≤sinx≤1，而arcsinx，x∈[-1，1]，表示在区间[- π2，π2]上，正弦值等于x的一个角，故函数y=sinx，x ∈[π2，3π2]的反函数为y=π-arcsinx，x∈[-1，1]，故选：D．【点评】：本题主要考查反正弦函数的定义，求一个函数的反函数，属于中档题．22.（单选题，3分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且4S=b2+c2-4，a=2，则△ABC外接圆的面积为（）A. π4B. π2C.2πD.4π【正确答案】：C【解析】：由已知利用三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式可得tanA=1，结合范围A∈（0，π），可求A= π4 ，利用正弦定理可求△ABC 外接圆的半径即可求△ABC 外接圆的面积．【解答】：解：∵△ABC 的面积为S ，且4S=b 2+c 2-4，a=2， ∴可得：4S=b 2+c 2-a 2，∴4× 12bcsinA=2bccosA ，可得：tanA=1， ∵A∈（0，π）， ∴A= π4 ，∴则△ABC 外接圆的半径R= a2sinA =2×√22= √2 ，∴则△ABC 外接圆的面积S=πR 2=2π． 故选：C ．【点评】：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．23.（单选题，3分）已知曲线C 1：y=cosx ，C 2：y=sin （2x+ 2π3 ），则下面结论正确的是（ ）A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 π6 个单位长度，得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的 12 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 π12 个单位长度，得到曲线C 2 【正确答案】：D【解析】：利用诱导公式，函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】：解：曲线C2：y=sin（2x+ 2π3）=cos（2x+ π6），把C1：y=cosx上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，可得y=cos2x的图象；再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，可以得到曲线C2：y=cos（2x+ π6）=sin（2x+ 2π3）的图象，故选：D．【点评】：本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．24.（单选题，3分）已知f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象关于直线x= π6对称，若存在x1，x2∈R，使得对于任意x都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2，则φ等于（）A. π12B. π6C. π4D. π3【正确答案】：B【解析】：由题意可得函数的半周期，代入周期公式求得ω，再利用正弦函数的单调性，结合φ的范围即可求得φ值．【解答】：解：对于函数f（x）=2sin（ωx+φ），∵对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），且|x1-x2|的最小值为π2．∴ T 2 = π2，则T=π，∴ω= 2πT = 2ππ=2，可得f（x）=2sin（2x+φ），又∵f（x）=2sin（ωx+φ）的图象关于直线x= π6对称，∴2× π6+φ=2kπ+ π2，k∈Z，可得φ=2kπ+ π6，k∈Z，∵0＜φ＜π2，∴φ= π6，故选：B．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质，考查了函数思想和数形结合思想的应用，属于基础题．25.（单选题，3分）若等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），则a12+a22+…+a n2=（）A. 4n−13B.4n-1C.3（4n-1）D.无法确定【正确答案】：C【解析】：等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），求出a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=6，a3=S3-S2=12，由a1，a2，a3是等比数列，解得m=-1，从而a n=3×2n-1．进而a n2=9×4n-1，由此能求出a12+a22+…+a n2．【解答】：解：∵等比数列{a n}的前n项和S n=3（2n+m），∴a1=S1=3（2+m）=6+3m，a2=S2-S1=3（22+m）-3（2+m）=6，a3=S3-S2=3（23+m）-3（22+m）=12，∵a1，a2，a3是等比数列，∴ a22=a1a3，∴36=12（6+3m），解得m=-1，∴a n=3×2n-1．∴ a n2 =9×4n-1，=3（4n-1）．则a12+a22+…+a n2= 9(1−4n)1−4故选：C．【点评】：本题考查等比数列的各项的平方的和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．} 26.（单选题，3分）已知等差数列{a n}的首项为4，公差为4，其前n项和为S n，则数列{ 1S n的前n项和为（）A. n2(n+1)B. 12n(n+1)C. 2n(n+1)D. 2nn+1【正确答案】：A【解析】：利用等差数列的前n项和即可得出S n，再利用“裂项求和”即可得出数列 { 1S n}的前n项和．【解答】：解：∵S n=4n+ n(n−1)2×4 =2n2+2n，∴ 1 S n =12n2+2n=12(1n−1n+1)．∴数列 { 1S n }的前n项和= 12[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)] = 12(1−1n+1) = n 2(n+1)．故选：A．【点评】：熟练掌握等差数列的前n项和公式、“裂项求和”是解题的关键．27.（单选题，3分）已知函数f（x）是定义在R上的单调递减函数，且f（x）为奇函数，数列{a n}是等差数列，a158＞0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a313）+f（a314）+f（a315）的值（）A.恒为负数B.恒为正数C.恒为0D.可正可负【正确答案】：A【解析】：由函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，可得：f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵由列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据a1+a315=2a158＞0，可得f（a1）+f（a315）＜0．……，进而得出结论．【解答】：解：∵函数f（x）是R上的奇函数且是减函数，∴f（0）=0，且当x＞0，f（x）＜0；当x＜0，f（x）＞0．∵数列{a n}是等差数列，a158＞0，故f（a158）＜0．再根据 a1+a315=2a158＞0，∴f（a1）+f（a315）＜0．同理可得，f（a2）+f（a314）＜0，f（a3）+f（a313）＜0，…，∴f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a315）＜0，故选：A．【点评】：本题考查了等差数列的性质、函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．28.（单选题，3分）已知函数f （x ）=asinx+cosx 的一条对称轴为x= π11 ，则函数g （x ）=sinx-acosx 的一条对称轴可以为（ ） A.x= 9π22 B.x= 13π22 C.x= 10π11 D.x=13π11 【正确答案】：B【解析】：利用辅助角公式分别将f （x ）和g （x ）进行化简，结合正弦函数和余弦函数的对称性进行求解即可．【解答】：解：f （x ）= √a 2+1 （ √a 2+1sinx+√a 2+1cosx ），令cosθ=√a 2+1，sinθ=√a 2+1则f （x ）= √a 2+1 （sinxcosθ+cosxsinθ）= √a 2+1 sin （x+θ）， ∵f （x ）的一条对称轴为x= π11， ∴ π11+θ=kπ+ π2，即θ=kπ+ 9π22 ，k∈Z ， g （x ）=sinx-acosx= √a 2+1 （ √a 2+1sinx-√a 2+1cosx ）= √a 2+1 （sinxsinθ-cosxcosθ）=-√a 2+1 cos （x+θ）， 由x+θ=mπ，m∈Z ，得x=mπ-θ=mπ-kπ+ 9π22 =（m-k ）π- 9π22 ，m ，k∈Z ， 当m-k=1时，对称轴为x=π- 9π22 = 13π22 ， 故选：B ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性是解决本题的关键．难度中等．29.（单选题，3分）《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为（ ） A.一尺五寸 B.二尺五寸 C.三尺五寸D.四尺五寸 【正确答案】：B【解析】：由题意结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】：解：由题意可知，日影长构成等差数列，设为{a n }， 则 {a 1+a 4+a 7=31.59a 1+36d =85.5解可得，d=-1，a 1= 272 ， 根据题意即求a 12= 272−11 =2.5 故选：B ．【点评】：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题求解中的应用，属于基础试题．30.（单选题，3分）已知等差数列{a n }、{b n }，其前n 项和分别为S n 、T n ， a n b n=2n+33n−1 ，则 S11T 11=（ ） A. 1517B. 2532C.1D.2【正确答案】：A 【解析】：S 11= 11(a 1+a 11)2 =11a 6，同理可得：T 11=11b 6．即可得出 S 11T 11 = a 6b 6．【解答】：解：S 11=11(a 1+a 11)2=11a 6， 同理可得：T 11=11b 6． ∴S 11T 11 = 11a 611b 6 = a 6b 6 = 2×6+33×6−1 = 1517． 故选：A ．【点评】：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．31.（单选题，3分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m∈N +满足 S 2m S m=9， a2m a m=5m+1m−1，则数列{a n }的公比为（ ）A. √2B.2C.3D.4【正确答案】：B【解析】：利用等比数列的通项公式及前n项和公式即可得出．【解答】：解：设等比数列{a n}的公比为q．当公比q≠1时，∵存在m∈N+满足S2mS m=9，∴ a1(q2m−1)q−1a1(q m−1)q−1=9，∴q m+1=9，∴q m=8．又a2ma m = 5m+1m−1，∴ a1q2m−1a1q m−1= 5m+1m−1，即q m= 5m+1m−1=8，解得m=3．∴q3=8，解得q=2．q=1不满足题意．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．32.（单选题，3分）已知数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）A.若a1+a2＞0，则a1+a3＞0B.若a1+a3＞0，则a1+a2＞0C.若a1＞0，则S2021＞0D.若a1＞0，则S2020＞0【正确答案】：C【解析】：利用等比数列的性质直接求解．【解答】：解：由数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，知：在A中，若a1+a2＞0，则a1+a3可能小于0，例如等差数列-3，6，-12，24，……中，a1+a2=-3+6=3＞0，则a1+a3=-3-12=-15＜0，故A错误；在B中，若a1+a3＞0，则a1+a2可能小于0，例如等差数列3，-6，12，-24，……中，a1+a3=3+12=15＞0，则a1+a2=3-6=-3＜0，故B错误；＞0，在C中，∵a1＞0，∴当q＜0时，S2021= a1(1−q2021)1−q＞0，当0＜q＜1时，S2021= a1(1−q2021)1−q当q=1时，S2021=2021a1＞0，＞0，故C正确；当q＞1时，S2021= a1(1−q2021)1−q有可能小于或等于0，在D中，∵a1＞0，∴当q≠1时，S2020= a1(1−q2020)1−q=0，例如q=-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q＜0，故D错误．q＜-1时，S2020= a1(1−q2020)1−q故选：C．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．33.（单选题，3分）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项之积为T n，并且满足条件：a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1＜0，给出下a2020−1列结论：① 0＜q＜1；② a2019a2021-1＞0；③ T2019是数列{T n}中的最大项；④ 使T n＞1成立的最大自然数等于4039，其中正确结论的序号为（）A. ① ②B. ① ③C. ① ③ ④D. ① ② ③ ④【正确答案】：B【解析】：由题意可得a2019＞1，a2020＜1，结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．＜0，【解答】：解：∵a1＞1，a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1∴a2019＞1，a2020＜1．∴0＜q＜1，故① 正确；a2019a2021= a20202＜1，∴a2019a2021-1＜0，故② 不正确；∵a2020＜1，∴T2019是数列{T n}中的最大项，故③ 正确；T4039=a1a2•…•a4038•a4039= a20204039＜1，T4038=a1a2•…•a4037•a4038= (a2019a2020)2019＞1，∴使T n＞1成立的最大自然数等于4038，故④ 不正确．∴正确结论的序号是① ③ ．故选：B．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其性质、递推关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．34.（单选题，3分）对于无穷数列{a n}，给出下列命题：（）① 若数列{a n}既是等差数列，又是等比数列，则数列{a n}是常数列．② 若等差数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．③ 若等比数列{a n}满足|a n|≤2020，则数列{a n}是常数列．④ 若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，则数列{a n}是常数列．其中正确的命题个数是（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】：C【解析】：根据等差，等比数列的定义即可判断各选项的真假．【解答】：解：对于① ，设数列{a n}的首项为a1（a1≠0），公差为d，公比为q（q≠0），依定义有，2a2=a1+a3，即2a1q=a1+a1q2，解得q=1，所以① 正确；对于② ，若公差d＞0，等差数列{a n}是递增数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，若公差d＜0，等差数列{a n}是递减数列，存在n=N，当n＞N时，|a N|＞2020，所以d=0，即② 正确；）n，满足|a n|≤2020，但是数列{a n}不是常数列，所以③ 对于③ ，若等比数列{a n}，a n=（12错误；对于④ ，若各项为正数的等比数列{a n}满足1≤a n≤2020，设公比为q（q＞0），当0＜q＜1时，等比数列为递减数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＜1，当q＞1时，等比数列为递增数列，所以存在n=N，当n＞N时，a n＞2020，所以q=1，即④ 正确．故选：C．【点评】：本题主要考查数列的定义，单调性的应用，以及无穷数列的性质应用，属于中档题．）=13-9 35.（问答题，16分）已知函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，满足f（9π4√2．（1）求a的值；（2）求f（x）的最小正周期；）内恰有2020个根．若存在，求出n （3）是否存在正整数n，使得f（x）=0在区间[0，nπ4的值，若不存在，请说明理由．【正确答案】：时f（x）的值，从而解得a的值；【解析】：（1）计算x= 9π4（2）根据f（x+π）=f（x），求得f（x）的一个周期为π，再结合反证法证明π是最小正周期；（3）根据f（x）的最小正周期为π，先分类讨论求出函数在一个周期内有多少个零点，进而分析判断求解．【解答】：解：（1）函数f（x）=a（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9，，得√2 a+4+9=13-9 √2，解得a=-9；令x= 9π4（2）f（x+π）=-9[|sin（x+π）|+|cos（x+π）|]+4sin2（x+π）+9=-9（|sinx|+|cosx|）+4sin2x+9=f（x），所以，π是函数f（x）的一个周期．下证π是 f（x）的最小正周期：（反证法），假设存在 0＜T＜π，使得 f（x+T）=f（x）对x∈R 恒成立，取 x=0，则 f（T）=f（0）=0，即 4sin2T+9-9（|sinT|+|cosT|）=0（*）)，t∈[1，√2]，则sin2T=t2-1令t=sinT+cosT=√2sin(T+π4；于是（*）式即 4（t2-1）+9-9t=0，解得 t=1 或t=54，由 t=1，可解得T=π2由t=54可解得T=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或T=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当T∈(π2，π)时，4sin2T+9-9（sinT-cosT）=0 令t=sinT−cosT=√2sin(T−π4)，t∈(1，√2]，则sin2T=1-t2，于是（*）式即 4（1-t2）+9-9r=0，解得 t=1 （舍）或t=−134（舍）∴T 的可能值为T=π2或T=arcsin5√28−π4或T=3π4−arcsin5√28，检验：① T=π2时，f(π4)=13−9√2，f(−π4)=5−9√2≠f(π4)，∴ T=π2不是 f（x）的周期，② T=arcsin5√28−π4时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18cosT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=arcsin5√28−π4不是 f（x）的周期；③ T=3π4−arcsin5√28时，f（T）=0，f（T）+f（-T）=18-18sinT⇒f（-T）≠0，即 f（-T）≠f（T），∴ T=3π4−arcsin5√28不是 f（x）的周期；假设不成立，故π是 f（x）的最小正周期．（3）当x∈[0，π2]时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx+cosx）令t=sinx+cosx=√2sin(x+π4)，t∈[1，√2]，则sin2x=t2-1于是 f（x）=0⇒4t2-9t+5=0，得 t=1 或t=54∈[1，√2]由 t=1，可解得 x=0 或x=π2，由t=54，可解得x=arcsin5√28−π4∈(0，π4)或x=3π4−arcsin5√28∈(π4，π2)当x∈(π2，π)时，f（x）=4sin2x+9-9（sinx-cosx）令t=sinx−cosx=√2sin(x−π4)，t∈(1，√2]，则sin2x=1-t2，于是 f（x）=0⇒4t2+9t-13=0，得 t=1 或t=−134∉(1，√2]，∴f（x）=0 在x∈(π2，π)无解综上，f（x）=0 在[kπ，kπ+π2](k∈Z)上有4个根，在[kπ，kπ+π）（k∈Z）上有4个根，在[kπ，kπ+π]（k∈Z）上有5个根，而 2020=4×505，∴f（x）=0 在[0，1009π2]内有2020个根，在[0，505π]内有2020个根，在[0，505π]内有2021个根由题意，1009π2＜nπ4⩽505π⇒2018＜n⩽2020，又n∈N*∴n=2019 或 n=2020．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．36.（问答题，18分）已知{a n}，{b n}，前n项和分别记为S n，T n．（1）若{a n}，{b n}都是等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，求S30；（2）若{a n}是等比数列，{b n}是等差数列，b n-a n=2n，a1=1，求T30（3）数列{a n}，{b n}都是等比数列，且满足n≤3时，b n-a n=2n，若符合条件的数列{a n}唯一，则在数列{a n}、{b n}中是否存在相等的项，即a k=b1（k，l∈N*），若存在请找出所有对应相等的项，若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，分别令n=1，n=2，运用等差数列的通项公式可得a1，d，由等差数列的求和公式可得所求和；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，由等比数列的通项公式和等差数列的性质，可得q=1，求得b n，进而得到所求和；（3）设数列{a n}的公比为q1，数列{b n}的公比为q2，分别令n=1，2，3，运用等比数列的通项公式和性质，转化为a1，q1的方程，将上式中的a1看做常数，q1为变量，方程（*）的根或是相等的实根，或其中一个为0，求得首项和公比，运用等比数列的通项公式，化简整理，可得所求项．【解答】：解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，且满足b n-a n=2n，T n=4S n，可得b1-a1=2，b2-a2=4，T1=4S1，即b1=4a1，解得a1= 23，b1= 83，T2=4S2，即b1+b2=4（a1+a2），即83 +4+a2=4（23+a2），解得a2= 43，即d=a2-a1= 23，可得a n= 23 + 23（n-1）= 23n，则S30= 12×30×（23+ 603）=310；（2）设{a n}是公比为q的等比数列，b n-a n=2n，a1=1，可得a n=q n-1，b n=2n+q n-1，则q=1，（若q≠1，则{b n}不为等差数列）则b n=2n+1，T30= 12×30×（3+61）=960；。
上海交通大学2015-2中 高数试卷(A类)
2015级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设ln(1)0,(,),0xy x f x y x y x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩是定义在{(,)|1}D x y xy =>-上的二元函数，则(,)f x y 在其定义域D 内的不连续点的集合为 （ ）（A ）∅（空集）； （B ）{(0,0)}；（C ）{(,)|0}x y x =； （D ）{(,)|0x y x =或0}y =。
2. 下列二元函数中，在(0,0)点可微的是 （ ）（A（B（C ）2||x y +； （D ）2||x y 。
3. 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面4210x y z ++-=，则点P 的坐标是 （ ）（A ）(2,1,1)--； （B ）(2,1,1)-； （C ）(2,1,1)---； （D ）(2,1,1)--。
4. 设(,)f x y 在(0,0)点的邻域内连续，且22(,)(0,0)(,)4lim 1x y f x y xy x y →-=+，则（ ） （A ）(0,0)点是(,)f x y 的极小值点；（B ）(0,0)点是(,)f x y 的极大值点；（C ）(0,0)点不是(,)f x y 的极值点；（D ）所给条件不足以判断(0,0)点是否(,)f x y 的极值点。
5. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R ，二元连续函数(,)f x y 满足0(,)1f x y <<。
记()1()(,)(,)n n B r F n r f x y d σ=⎰⎰，则下列选项正确的是 （ ）（A ）1lim (,)n F n n →∞一定不存在； （B ）1lim (,)n F n n→∞不一定存在； （C ）1lim (,)n F n n →∞一定存在，且1lim (,)(0,1)n F n n→∞∈。
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2015级第二学期《高等数学》期中考试试卷 (A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设ln(1)0,(,),0xy x f x y xy x +⎧≠⎪=⎨⎪=⎩是定义在{(,)|1}D x y xy =>-上的二元函数，则(,)f x y 在其定义域D 内的不连续点的集合为 （ ） （A ）∅（空集）； （B ）{(0,0)}；（C ）{(,)|0}x y x =； （D ）{(,)|0x y x =或0}y =。
2. 下列二元函数中，在(0,0)点可微的是 （ ） （A（B（C ）2||x y +； （D ）2||x y 。
3. 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面4210x y z ++-=，则点P 的坐标是 （ ）（A ）(2,1,1)--； （B ）(2,1,1)-； （C ）(2,1,1)---； （D ）(2,1,1)--。
4. 设(,)f x y 在(0,0)点的邻域内连续，且22(,)(0,0)(,)4lim1x y f x y xyx y →-=+，则（ ）（A ）(0,0)点是(,)f x y 的极小值点； （B ）(0,0)点是(,)f x y 的极大值点； （C ）(0,0)点不是(,)f x y 的极值点；（D ）所给条件不足以判断(0,0)点是否(,)f x y 的极值点。
5. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R ，二元连续函数(,)f x y 满足0(,)1f x y <<。
记()1()(,)(,)nn B r F n r f x y d σ=⎰⎰，则下列选项正确的是 （ ）（A ）1lim (,)n F n n →∞一定不存在； （B ）1lim (,)n F n n→∞不一定存在；（C ）1lim (,)n F n n →∞一定存在，且1lim (,)(0,1)n F n n →∞∈。
（D ）以上结论(A)，(B)，(C)都错误。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 若2R 上的可微函数(,)F x y 的梯度为2222grad ,11y x F x y x y ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，且(0,0)3F =, 则(,)F x y =________________________。
7. 曲面222231x y z ++=的切平面与三个坐标平面围成的有限区域的体积的最小值=___________________。
8. 空间中曲面片z xy =（221x y +≤）的面积A =________________。
9. 设二元函数2(,)sin x y t f x y e tdt +=⎰, 则2(,)22fx y ππ∂=∂∂________________。
10.22(,)(,3)lim (1)__________x x y x y yx+→∞+=。
三、求偏导数（本题8分）11. 设方程2222222440x y z xy x y z +++---+=在点(0,1,1)附近确定隐函数(,)z z x y =，求(0,1,1)zx ∂∂，22(0,1,1)z x∂∂，2(0,1,1)z x y ∂∂∂。
四、（每小题10分，共20分）12. 设(,)z z x y =满足方程2222z z y y x y∂∂+=∂∂。
令w xz y =-，在变换x u y =，v x =下，请将方程2222z z y y x y ∂∂+=∂∂表示为w 关于u 、v 的方程。
13. 设2222(){(,)|}B r x y x y r =∈+≤R 。
若函数222()()()x y B r F r eay d σ+=-⎰⎰在(0,)r ∈+∞内单调, 其中a 为常数，求a 的最大取值范围。
五、积分计算（每小题10分，共20分）14. 记D 为平面曲线1xy =，3xy =，2y x =，23y x =所围的有界闭区域，计算二重积分232Dxd y xyσ+⎰⎰。
15.计算三次积分2110z dx dz ⎰。
六、应用题（第16题6分，第17题8分，共14分）16. 设三角形ABC ∆的一个顶点是(2,1)A ，而B 、C 分别在直线0y =和y x =上，求此类三角形周长的最小值。
17. 求区域3222222{(,,):1,1,1}x y z x y y z x z Ω=∈+≤+≤+≤R 的体积。
七、证明题（本题8分）18. 设()f x 和()g x 在R 上、(,)K x y 在2R 上都是连续的正值函数，且满足1()(,)()f y K x y dy g x =⎰，1()(,)()g y K x y dy f x =⎰，证明：（1）若01()min()x f x m g x ≤≤=，01()max ()x f x M g x ≤≤=，则1mM =；（2）当01x ≤≤时，()()f x g x =。
2014级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设24222(,)x y f x y x y -=+，则00lim (,)x y f x y →→= ( ) （A ）等于0； （B ）等于1； （C ）等于2； （D ）不存在。
2．函数e ,0(,)1,0x y xy f x y xy +⎧≠=⎨=⎩在点)0,0(处指向点(1,1)的方向导数为 ( )（A ）0； （B ）1； （C； （D ）2。
3．设有二元方程2sin()0x y xy ++=，则在(0,0)点的某邻域内，此方程 ( ) （A ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()x x y =； （B ）仅可确定一个具有连续导数的隐函数()y y x =； （C ）可确定两个具有连续导数的隐函数()y y x =和()x x y =； （D ）以上（A ）、（B ）、（C ）都不正确。
4．设()d tF t fV Ω=⎰⎰⎰，其中t Ω：0z ≤≤0t >)，()f u 为连续函数，则()F t '= ( ) （A ）22π()tf t ； （B ）22π()t f t ； （C ）24π()t f t ； （D ）24π()tf t 。
5．考虑以下命题，其中正确命题的个数为 ( )① 若可微函数(,)f x y 在区域D 内满足(,)0x f x y ≡，则有)(),(y y x f ϕ=；② 若00(,)f x y 是函数),(y x f 在区域D 内的唯一极值，且为极大值，则),(00y x f 必为),(y x f 在D 内的最大值；③ 若函数),(y x f 在00((,),)U x y δ内可偏导，且),(y x f 在点),(00y x 间断，则),(y x f x 与),(y x f y 中至少有一个在00((,),)U x y δ内无界。
(其中0δ>。
)（A ）0； （B ）1； （C ）2； （D ）3。
二、填空题（每小题3分，共15分） 6．设y z x =，则(e,1)d |z = 。
7．设{}22(,)1E x y x y =+<\0E ，其中{}0(,)0(11)E x y y x ==-<<，则E 的边界E ∂= 。
8．交换二次积分的次序：1110d (,)d d (,)d x x f x y y x f x y y --+=⎰⎰⎰⎰。
9．设,0x y ≥，且满足条件2248x y +=，则u xy =的最大值为： 。
10．设{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥，则22ln(1e )d d xy Dy x y +⎤+=⎦⎰⎰ 。
三、（本题共8分）11．求极限()102lim e sin xxyx y y x →→+。
四、（每小题8分，共16分）12．设函数(,)f u v 具有一阶连续偏导数，0(,e )d xy tz f t t =⎰，求zx∂∂，2z x y ∂∂∂。
13．设函数(,)z f x y =具有二阶连续偏导数。
令,u x y v x y =+=-，并取,u v 为新自变量，试变换方程22220z zx y∂∂-=∂∂。
五、计算下列积分（每小题10分，共20分） 14．2222316min )d d x y x y x y +≤⎫⎪+⎬⎪⎭⎰⎰。
15．2()d x y z V Ω+-⎰⎰⎰，其中Ω：z ≥222(2)4x y z ++-≤。
六、应用题（第16小题8分，第17小题10分，共18分） 16．求锥面222(1)z x y =-+被柱面221x z +=所截下部分曲面的面积。
17．过直线l ：102227x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩作曲面222327x y z +-=的切平面，求此切平面的方程。
七、证明题（本题共8分）18．已知二元函数的拉格朗日中值定理是：设函数(,)f x y 在000(,)P x y 的邻域0()U P 有一阶连续偏导函数(,)x f x y 和(,)y f x y ，则对任意0(,)()P x y U P ∈，存在0(,)()U P ξη∈，使得0000(,)(,)(,)()(,)()x y f x y f x y f x x f y y ξηξη-=-+-。
设函数(,)f x y 在R 2上具有一阶连续偏导数，且(,)f x y 在{}222(,)|D x y x y R =+≤的边界{}222(,)|x y x y R +=上取值为零，其中常数0R >。
（1）证明：对任意的(),P x y D ∈，存在(),D ξη∈，使得())(,),ff x y Rξη∂=∂l,其中OP l =,而O 为坐标原点； （2）证明：()()3,π,d d max3x y DR f x y x y ∈≤⋅⎰⎰2013级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)一、单项选择题(每小题3分，共15分)1. 函数2222sin()(,)(0,0),(,)(,)(0,0)1,x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在22{(,)|1}D x y x y =+≤上( ) (A) 有最大值，无最小值； (B) 有最小值，无最大值； (C) 既无最大值，又无最小值； (D) 既有最大值，又有最小值。
2. 设22221()sin ,(,)(0,0)(,)(,)(0,0)0,x y x y x yf x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，则 ( ) (A)(,)f x y 在(0,0)点不连续； (B)(,)f x y 在(0,0)点的偏导数不存在； (C)(,)f x y 在(0,0)点可微； (D)(,)f x y 的偏导数在(0,0)点连续。