上海交通大学2011-2期中高等数学试卷
高等数学II半期考试试卷参考解答
交通大学20 －20 学年第2学期半期测试课程代码 MATH011512 课程名称 高等数学II 考试时间 60 分钟注意：本试卷共9道大题，需要详细解答过程，将答案写在答题纸上，考试结束前拍照上传。
要求独立完成，诚信参考！一（10分） 、判断直线1212:012+--==-x y z L 与222:2+=⎧⎨+-=⎩x y L x y z 的位置关系，并给出理由。
解 法一 化2L 为对称方程12:121-==--x y zL （不唯一） 故12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，（不唯一）分别过点()()122,1,20,2,0=-=、M M计算121201212110212-⎡⎤=--=-⎣⎦-，，s s M M （8分）（不唯一，只要最终表明混合积不为零即可）这表明直线异面（而且12⊥s s 表明其异面垂直）法二 1L 的参数为2122=-⎧⎪=+⎨⎪=-⎩x y t z t ，（不唯一）代入2L 得41221222-++=⎧⎨-++-+=⎩t t t （*），（*）无解，这表明12、L L 无交点，故它们要么平行要么异面，注意到12、L L 方向向量分别为()()120,1,21,2,1=-=--、s s ，它们不平行，这表明12、L L 异面。
二 （10分）、 设函数()22,=z f xy x y ，其中f 具有二阶连续偏导数，求d z 及22∂∂zx。
解2122∂''=+∂zy f xyf x，2122∂''=+∂z xyf x f y ，故()()221212d =2d 2d ''''+++z y f xyf x xyf x f y()221222∂∂∂∂⎛⎫''==+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭z z y f xyf x x x x ()()2122∂∂''=+∂∂y f xyf x x()()2221112221222222'''''''''=++++y y f xyf yf xy y f xyf 43222111222=244'''''''+++yf y f xy f x y f 三 （10分）、 设函数(),=z f x y 是由方程(),=-z g y x yz 确定，求,∂∂∂∂z zx y。
西南交通大学2010-2011年第(2)学期期中考试试卷高等数学II解答
西南交通大学2010－2011学年第(2)学期期中考试试卷解答2011．4一、选择题（每小题3分，共计 15 分）1、函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在(0, 0)点 B . (A) 连续，偏导函数都存在； (B) 不连续，偏导函数都存在； (C) 不连续，偏导函数都不存在； (D) 连续，偏导函数都不存在。
2、二重积分Dxydxdy ⎰⎰ ()20,01D y x x ≤≤≤≤其中：的值为（ B ）。
（A ）16 （B ）112 （C ）12 （D ）143、 设f 为可微函数，)(bz y f az x -=-，则=∂∂+∂∂yzb x z aA 。
(A )．1； (B )．a ； (C )．b ； (D )．b a +。
4、 设D 是以原点为圆心，R 为半径的圆围成的闭区域，则 d Dxy σ=⎰⎰C 。
(A )．44R ； (B )．34R ； (C )．24R ； (D )．4R 。
5、设),(y x f 在10 10≤≤-≤≤x x y D ,:上连续，则二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 D 。
(A )．12 0 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰； (B )．cos sin 2 0 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθθ+⎰⎰； (C )．1cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ-⎰⎰；(D )．12cos sin 0d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθθ+⎰⎰。
二、填空题（每小题4分，共计24 分）1、设x yxy z )(=，则=z d dy x xy xy dx x xy y xy xyxy )ln(1)())ln(1()(2++-，在点),(2 1P 处的梯度=P z grad ) ln2)4(1 , )2ln 1(8 (+-。
上海市交大附中高三数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= ．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= ．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= ．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= ．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于时，S n取得最大值．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．2015-2016学年上海市交大附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共14题，每题4分，共56分）1．已知，则cos（π﹣2α）= 0 ．【考点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式的作用．【专题】计算题．【分析】把所求式子先利用诱导公式cos（π﹣α）=﹣cosα化简，然后再利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，把sinα的值代入即可求出值．【解答】解：∵，∴cos（π﹣2α）=﹣cos2α=﹣（1﹣2sin2α）=﹣[1﹣2×]=0．故答案为：0【点评】此题考查了诱导公式，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．2．不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞} ．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；压轴题．【分析】由不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0⇔不等式|2x+1|＞2|x﹣1|⇔（2x+1）2＞4（x﹣1）2即可求得答案．【解答】解：∵|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0，∴|2x+1|＞2|x﹣1|≥0，∴（2x+1）2＞4（x﹣1）2，∴x＞．∴不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0的解集为{x|x＞}．故答案为：{x|x＞}．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，将不等式|2x+1|﹣2|x﹣1|＞0转化为（2x+1）2＞4（x﹣1）2是关键，着重考查转化思想与运算能力，属于中档题．3．已知与为两个不共线的单位向量，若向量+与向量k﹣垂直，则实数k= 1 ．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题．【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量为0，因此列式：（ +）（k﹣）=0，结合与为两个单位向量，整理得（k﹣1）（1﹣•）=0，再根据单位向量与不共线，得到1﹣•≠0，从而得到k=1．【解答】解：∵向量+与向量k﹣垂直，∴它们的数量积为零，即：（ +）（k﹣）=0∴k2+（k﹣1）•﹣2=0…（*）∵与为两个单位向量，∴2=2=1所以（*）式化为：k+（k﹣1）•﹣1=0即：（k﹣1）（1﹣•）=0∵单位向量与不共线，∴•＜1⇒1﹣•≠0因此：k=1故答案为：1【点评】本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数k的值，着重考查了单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，属于基础题．4．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= ．【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；压轴题．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为【点评】本题主要考查等比数列前n项和公式和等比数列的通项公式．考查了学生对等比数列基础知识点的掌握．5．设双曲线﹣=1的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为．【考点】双曲线的应用．【专题】计算题．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a、b的值，进而可得c的值，可以确定A、F的坐标，设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得B的坐标，计算可得答案．【解答】解：a2=9，b2=16，故c=5，∴A（3，0），F（5，0），不妨设BF的方程为y=（x﹣5），代入双曲线方程解得：B（，﹣）．∴S△AFB=|AF|•|y B|=•2•=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线方程的运用，注意关键在与求出B的坐标；解此类面积的题目时，注意要使三角形的底或高与坐标轴平行或重合，以简化计算．6．设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】立体几何．【分析】设出两个圆柱的底面半径与高，通过侧面积相等，推出高的比，然后求解体积的比．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．【点评】本题考查柱体体积公式以及侧面积公式的直接应用，是基础题目．7．某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为78 ．【考点】众数、中位数、平均数．【专题】概率与统计．【分析】设该年级男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a，根据“平均成绩×人数=总成绩”分别求出男生的总成绩和女生的总成绩以及全班的总成绩，进而根据“男生的总成绩+女生的总成绩=全班的总成绩”列出方程，结合高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，即可求出这次考试该年级学生平均分数．【解答】解：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a．根据题意可知：75x+80y=（x+y）×a，且=40%．所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为78．故答案为：78．【点评】本题主要考查了平均数．解答此题的关键：设该班男生有x人，女生有y人，根据平均数的意义即平均成绩、人数和总成绩三者之间的关系列出方程解决问题．8．从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= 8 ．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】概率与统计．【分析】列出从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有取法种数，求出和等于5的种数，根据取出的两数之和等于5的概率为列式计算n的值．【解答】解：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的情况有：（1，4），（2，3）共2种情况；从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数的所有不同取法种数为，由古典概型概率计算公式得：从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，取出的两数之和等于5的概率为p=．所以，即，解得n=8．故答案为8．【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了组合数公式，解答此题时既可以按有序取，也可以按无序取，问题的实质是一样的．此题是基础题．9．设m，n∈Z，已知函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，则m+n= 1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断；对数函数的定义域；对数函数的值域与最值．【专题】计算题；综合题；压轴题．【分析】由关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，我们易得m的值，然后根据函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，值域是[0，2]，结合函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的性质，可求出n的值，进而得到答案．【解答】解：∵f（x）=log2（﹣|x|+4）的值域是[0，2]，∴（﹣|x|+4）∈[1，4]∴﹣|x|∈[﹣3，0]∴|x|∈[0，3]…①若若关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解则m=﹣2又由函数f（x）=log2（﹣|x|+4）的定义域是[m，n]，结合①可得n=3即：m+n=1故答案：1【点评】本题考查的知识点是根的存在性及根的个数的判断，对数函数的定义域及对数函数的值域，其中利用关于x的方程2|1﹣x|+m+1=0有唯一的实数解，变形得到关于x的方程2|1﹣x|+1=﹣m有唯一的实数解，即﹣m为函数y=2|1﹣x|+1的最值，是解答本题的关键．10．给出下列命题：①y=1是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点有且只有1；③的解集为[2，+∞）；④“x＜1”是“x＜2”的充分非必要条件；其中真命题的序号是④．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】①根据幂函数的定义知，y=1是常数函数，不是幂函数；②函数f（x）=2x﹣log2x的零点个数即为函数y=2x与y=log2x的图象的交点个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可；③解不等式即可求得结论；④易知“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件．【解答】解；①y=1是常数函数，不是幂函数．故错；②根据指数函数和对数函数的图象和性质得：函数f（x）=2x﹣log2x没有零点，故错；③（x﹣2）≥0⇔，或x=0，解得x≥2或x=1，故（x﹣2）≥0的解集为[2，+∞）∪{0}，错；④“x＜1”⇒“x＜2”，但是“x＜2”推不出“x＜1”，因此“x＜1”是“x＜2”的充分不必要条件，正确；故答案为④．【点评】此题是个基础题．考查利用导数求函数图象在某点的切线方程，不等式的解法，函数零点问题等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再由余弦定理可得A=，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．【解答】解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得（2+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4，即b2+c2﹣4=bc，∴cosA===，∴A=．再由b2+c2﹣bc=4，利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．【点评】本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．12．设函数f（x）=x2﹣1，对任意x∈[，+∞），f（）﹣4m2f（x）≤f（x﹣1）+4f（m）恒成立，则实数m的取值范围是．【考点】函数恒成立问题．【专题】函数的性质及应用．【分析】依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立，求出函数函数的最小值即可求出m的取值．【解答】解：依据题意得在上恒定成立，即在上恒成立．令g（x）=，g′（x）=，∵，∴g′（x）＞0∴当时，函数取得最小值，所以，即（3m2+1）（4m2﹣3）≥0，解得或，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【点评】本题是较为典型的恒成立问题，难度较大，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．13．若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4}，且下列四个关系：①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是 6 ．【考点】集合的相等．【专题】计算题；集合．【分析】利用集合的相等关系，结合①a=1；②b≠1；③c=2；④d≠4有且只有一个是正确的，即可得出结论．【解答】解：由题意，a=2时，b=1，c=4，d=3；b=3，c=1，d=4；a=3时，b=1，c=4，d=2；b=1，c=2，d=4；b=2，c=1，d=4；a=4时，b=1，c=3，d=2；∴符合条件的有序数组（a，b，c，d）的个数是6个．【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．14．若数列{a n}是等差数列，数列{b n}满足b n=a n•a n+1•a n+2（n∈N*），{b n}的前n项和用S n表示，若{a n}满足3a5=8a12＞0，则当n等于16 时，S n取得最大值．【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】由3a5=8a12＞0，知3a5=8（a5+7d），a5=﹣＞0，所以d＜0．由a16=a5+11d=﹣d5＞0，a17=a5+12d=＜0，知a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，由此能够推导出S n中S16最大．【解答】解：∵3a5=8a12＞0，∴3a5=8（a5+7d），即a5=﹣＞0，∴d＜0，又a16=a5+11d=﹣＞0，a17=a5+12d=＜0，∴a1＞a2＞a3＞…＞a16＞0＞a17＞a18，b1＞b2＞b3＞…＞b14＞0＞b17＞b18，∵b15=a15a16a17＜0，b16=a16a17a18＞0，∴a15=a5+10d=﹣＞0，a18=a5+13d=＜0，∴a15＜﹣a18，∴b15＞﹣b16，b15+b16＞0，∴S16＞S14，则n=16时，S n取得最大值为S16．故答案为：16【点评】本题考查数列和函数的综合运用，解题时要认真审题，注意数列综合知识的合理运用，恰当地进行等价转化．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）15．集合A={﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【考点】子集与真子集．【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解答】解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选B．【点评】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想．16．在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，∴复数z所对应的点为（﹣2，1），故选B【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．17．若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），那么必在函数y=f﹣1（x+1）图象上的点是（）A．（﹣f（t﹣1），﹣t） B．（﹣f（t+1），﹣t）C．（﹣f（t）﹣1，﹣t） D．（﹣f（t）+1，﹣t）【考点】反函数．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由f（﹣t）=﹣f（t）得f﹣1（﹣f（t））=﹣t，再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】解；∵f（x）定义在R上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t），∴f﹣1（﹣f（t））=﹣t，即（﹣f（t），﹣t）在y=f﹣1（x）的图象上，∵y=f﹣1（x+1）图象是由y=f﹣1（x）的图象向左平移1个单位得到的，∴（﹣f（t）﹣1，﹣t）在y=f﹣1（x+1）图象上．故选：C．【点评】本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换，利用互为反函数的函数图象关系是关键．18．“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】充要条件．【专题】简易逻辑．【分析】利用二倍角公式化简不等式，利用三角函数线判断充要条件即可．【解答】解：对任意x，ksinxcosx＜x，即对任意x，ksin2x＜2x，当k＜1时，ksin2x＜2x恒成立，但是对任意x，ksinxcosx＜x”，可得k=1也成立，所以“对任意x，ksinxcosx＜x”是“k＜1”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，三角函数线的应用，考查逻辑推理能力．三.解答题（本大题共5题，共12+14+14+16+18=74分）19．已知：A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}．（1）若A∪B=B，求a的值；（2）若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】计算题；分类讨论．【分析】（1）先化简集合A，再由A∪B=B知A是B的子集，由此求得a的值．（2）由A∩B=B，知B是A的子集，对集合B进行分类讨论：①若B为空集，②若B为单元集，③若B=A={﹣4，0}，由此求得a的值即可．【解答】解：（1）A={﹣4，0}若A∪B=B，则B⊇A={﹣4，0}，解得：a=1（2）若A∩B=B，则①若B为空集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8＜0则a＜﹣1；②若B为单元集，则△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）=8a+8=0解得：a=﹣1，将a=﹣1代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0得：x2=0得：x=0即B=0符合要求；③若B=A={﹣4，0}，则a=1综上所述，a≤﹣1或a=1．【点评】本小题主要考查子集与交集、并集运算的转换、一元二次方程的解等基础知识，考查分类讨论思想、方程思想．属于基础题．20．设函数．（1）求f（x）的最小正周期．（2）若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当时，y=g（x）的最大值．【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】（1）f（x）解析式第一项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），根据f（x）与g（x）关于直线x=1对称，表示出此点的对称点，根据题意得到对称点在f（x）上，代入列出关系式，整理后根据余弦函数的定义域与值域即可确定出g（x）的最大值．【解答】解：（1）f（x）=sin xcos﹣cos xsin﹣cos x=sin x﹣cos x=（sinx﹣cos x）=sin（x﹣），∵ω=，∴f（x）的最小正周期为T==8；（2）在y=g（x）的图象上任取一点（x，g（x）），它关于x=1的对称点（2﹣x，g（x）），由题设条件，点（2﹣x，g（x））在y=f（x）的图象上，从而g（x）=f（2﹣x）=sin[（2﹣x）﹣]=sin[﹣x﹣]=cos（x+），当0≤x≤时，≤x+≤，则y=g（x）在区间[0，]上的最大值为g max=cos=．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB边（包括端点）上一点F，BC边（包括端点）上一点E满足线段EF分△ABC的面积为相等的两部分；（1）设BF=x，EF=y，将y表示为x的函数；（2）求线段EF长的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）过F作FG⊥BE于G，把sinB用含有x的代数式表示，得到FG=，进一步得到EG，然后利用等积法列式可得（x≤5）；（2）利用函数的单调性求得线段EF长的取值范围．【解答】解：（1）设BF=x，EF=y，∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，过F作FG⊥BE于G，则=，∴FG=，BG=，则EG=，故有．化简，得：（≤x≤5）．∴（x≤5）；（2）设f（x）=（≤x≤5）．∵f（x）在[]上为减函数，在（]上为增函数，且f（）=，f（5）=13，f（）=4，∴线段WF长的取值范围为．【点评】本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．22．已知函数f（x）=2x+a的反函数是y=f﹣1（x），设P（x+a，y1），Q（x，y2），R（2+a，y3）是y=f﹣1（x）图象上不同的三点；（1）求y=f﹣1（x）；（2）如果存在正实数x，使得y1，y2，y3成等差数列，试用x表示实数a；（3）在（2）的条件下，如果实数x是唯一的，试求实数a的取值范围．【考点】反函数．【专题】综合题；分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）（x＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，根据等差数列的性质可得2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，即可解出．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上有唯一解．分类讨论：当△=0时，当△＞0时，方程的有关根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（a）＜0即可，解出即可得出．【解答】解：（1）由y=2x+a，解得x=log2（y﹣a），把x与y互换可得：f﹣1（x）=log2（x﹣a）（x ＞a）；（2）y1=log2x，y2=log2（x﹣a），y3=log22=1，∵y1，y2，y3成等差数列，∴2log2（x﹣a）=1+log2x，化为（x﹣a）2=2x，解得a=x﹣，x∈（0，2）∪（2，+∞）．（3）由（x﹣a）2=2x，化为x2﹣2（a+1）x+a2=0在（a，+∞）上由唯一解．当△=4（a+1）2﹣4a2=0时，解得a=﹣，这时方程有唯一解x=，满足条件．当△＞0时，方程的一个根大于a，另一个根小于a（不可能出现一个跟等于a的情形），记g（x）=x2﹣2（a+1）x+a2，只需g（x）＜0即可，解得a＞0．综上可得：a＞0，或a=﹣．【点评】本题考查了对数函数的单调性、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．23．已知数列{a n}中的相邻两项a2k﹣1，a2k是关于x的方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根，且a2k≤a2k（k=1，2，3，…）﹣1（1）求a1，a3，a5，a7；（2）求数列{a n}的前2n项和S2n；（3）记，，求T n的最值．【考点】数列的求和；数列的概念及简单表示法．【专题】分类讨论；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．根据两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，即可得出．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n），分别利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．（3）由于=（﹣1）f（n+1），可得T n=+﹣+…+，可得T1=，T2=．当n≥3时，利用“放缩法”即可得出．【解答】解：（1）方程x2﹣（3k+2k）x+3k•2k=0的两个根为：x1=3k，x2=2k．∵两项a2k﹣1，a2k是此方程的两个根，且a2k﹣1≤a2k，当k=1时，x1=3，x2=2．∴a1=2；当k=2时，x1=6，x2=4．∴a3=4；当k=3时，x1=9，x2=8．∴a5=8；当k=4时，x1=12，x2=16．∴a7=12．（2）S2n=a1+a2+…+a2n=3×（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=+=+2n+1﹣2．（3）∵=（﹣1）f（n+1），∴=+﹣+…+，∴T1==，T2=+=．当n≥3时，T n≥+﹣+﹣=+，同理可得：T n=﹣﹣+…+≤﹣+≤﹣+=＜．综上可得：≤T n≤．∴T n的最小值与最大值分别为：；．【点评】本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式、递推关系、“放缩法”、不等式的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．21。
2011级高数II期中考试试卷及答案
B．
∫ dy ∫
1
2
4
y
y2
f ( x, y )dx
C．∫1 dy ∫y f ( x, y)dx
y2
D． ∫1
dy ∫ 2 f ( x, y )dx
y
y
2 2 5．设L为 x=y2从y = -1到y = 1的一段弧，则 ∫L y dx − x dy =
(
A
)
2 − A． 5
1 B．− 5
1 C． 5
∫∫ xydσ = ∫ dy∫ 2 xydx
D −1 y
2
y+ 2
x2 = ∫ y dy −1 2 y2
2
Y+2
y=x-2
=
∫ [y( y + 2)
2 −1
2
− y 5 dy
]
=
45 8
2 2 4. 计算三重积分 ∫∫∫zdxdydz ，其中 Ω 是由曲面 z = x + y 与平面
∂u y = ∂y ( x + y) 2
∂ 2 u a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） ( = ∂x∂y ( x + y) 4
∂ 2 u − 2 y( x + y) = ∂y∂x ( x + y) 4
∂2u ∂2u = ∂x∂y ∂y∂x
a ( x + y) 2 − 2( x + ay）x + y） −2 y( x + y) ( =
4．若L是椭圆
x = a cos θ ，取逆时针方向，则 y = b sin θ
∫
L
y d x − x d y = − 2πab
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷
上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有22道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题（本大题满分42分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1. 1001001i i += .2. 抛物线280y x +=的焦点坐标为 .3. 双曲线2238x y -=的两条渐近线的夹角为 .4. 从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动，有 种不同的安排方案。
5. 若复数214tz t i+=-+在复平面上对应的点在第四象限，则实数t 的取值范围是 6. 6名学生排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，则共有 种排法。
7. 已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则实数a = .8. 在抛物线220y x =上有一点P ，且P 与焦点的距离等于15，,则P 点坐标为 . 9. 复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根，则=⨯b a . 10. 某抛物线形拱桥的跨度为20米，拱高是4米，在建桥时，每隔4米需用一根支柱支撑，其中最高支柱的高度是 米．（答案保留两位小数．．．．．．．．） 11. 已知焦点为(0,3)的双曲线方程是2288kx ky -=，则k = .12. 某高校食堂供应午饭，每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。
现在食堂准备了5种不同的荤菜，若要保证每位学生有200种以上不同的选择，则食堂至少还需要准备不同的素菜品种 种.（结果用数值表示）13. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且||5PF =，则MPF ∆的面积为 .14. 已知双曲线2222:1x y C a b-=，1F 、2F 分别为左右焦点，P 为C 上的任意一点，若122F PF π∠=，且124F PF S ∆=，则双曲线的虚轴长为 .二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
上海交通学期中考试试卷(A卷)-MaJia-Jun
果 φA,α ̸= φA, 令 M 为 φA,α(A) 的化零子空间. 取一个不在 M 中的向量 β. 考虑 φA,α+cβ 让 c
在 C 中变动. { φA,α+cβ | c ∈ C } 是整除 φA 的无穷多个首项系数为 1 的多项式, 所以必有
c1
̸=
c2
使得
φA,α+c1β
=
φA,α+c2β
上 海 交 通 大 学 期 中 考 试 试 卷 (A 卷)
( 2016 至 2017 学年 第 2 学期)
班级号 课程名称
学号 高等代数与解析几何 (二)
姓名 成绩
我承诺，我将 严格遵守考试纪律。
题号
得分
批阅人 (流水阅)
一二三四五六
记号
• 矩阵用大写字母记, 对应小写字母代表矩阵中的元素. 例如矩阵 A 中的第 (i, j) 个元素为 aij. AT 和 A∗ 分别代表矩阵 A 的转置和共轭转置.
构造出向量 α, 使得 φA,ξ(A) = 0. 由 (a) 和 (b), 我们得 φA 整除 φA,ξ 且 φA,ξ 整除 φA. 所以
φA,ξ = φA.
五、 [共 15 分] 假设 V 是 C 上的一个有限维的线性空间, { Aj ∈ End(V) | j ∈ J } 是 V 上 的一族可交换的线性变换. 证明: (可假设 { Aj } 是有限集)
(b) 我们就 dim V 作归纳法.
如果 dim V = 1, 命题显然成立.
现假设命题对维数小于 n 的线性空间都成立.
取 V 中任意一个 { Aj } 的共同特征向量, 记为 ε1. 考虑商空间 Q = V/ Span { ε1 }. 则 Ai 诱
上海交通大学期中考试高数试卷b类
2011级第一学期《高等数学》期中考试试卷 (B 类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 已知数列{}n a 单调，下列结论正确的是 【 】（A ）n a n e ∞→lim 存在； （B ）211lim nn a +→∞存在； （C ）lim tan n n a →∞存在； （D ）211lim nn a -∞→存在。
2. 当+→0x 时，下列无穷小量中，与x 同阶的无穷小是 【 】（A ）11-+x ； （B ）()x x -+1ln ；（C ）()1sin cos -x ； （D ）1-x x 。
3. 设()x xe x f -=，则()()=x f n 【 】 （A ）()()x nxe n -+-11； （B ）()()x n xe n ---11； （C ）()()x n e n x -+-1； （D ）()()x ne n x ---1。
4. 若032<-b a ，则方程023=+++c bx ax x 的实根数为 【 】（A ）3个； （B ）2个； （C ）1个； （D ）0个。
5. 设()x f y =在()δ,0x U 内连续，在()δ,0x U o 内可导，以下是三个断语：（1）若()00≥x f ，则存在01>δ，使得()10,δx U x ∈∀，都有()0≥x f ；（2）若()0'x f 存在，则()x f '在0x x =连续；（3）()x f '在()δ,0x U o 内无第一类间断点。
上述三个断语中，正确的个数是 【 】（A ）0个； （B ）1个； （C ）2个； （D ）3个。
二、填空题（每小题3分，共15分）6. 已知数列{}n a 通项3412++=n n a n ，n S 为{}n a 的前n 项部分和（ ,3,2,1=n ），则∞→nn S lim7. 函数633223-+--+=x x x x x y 8. 已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=12x x f y ，()()21arctan 'x x f -=，则==0|x dy ___________。
高等数学考试试卷四套【上海交通大学】
（C） a 9 ， b 12 ；
（D） a 9 ， b 12 。
2. 设 x 0 时， ln cos x axk ，则常数 a 和 k 的值分别为
（）
（A） a 1 ， k 2 ； 2
（B） a 1 ， k 2； 2
（C） a 1 ， k 1； 2
（D） a 1 ， k 1。 2
11.
用极限定义证明：
lim
x1
2
arctan 1 x2
x
。
12.
求
lim
xln
ln ln
x1 x1
。
x0
13. 求 lim x0
1 x2 sin2 x tan2 x 。
x2 ln2 1 x
四、（每小题 8 分，共 16 分）
14. 已知 f x
e
x
,
1 2
x2
1
，求证：
（1）当 x 1,0 时， ex 1 x2 1 ；
2
（2）若函数 g x 在 R 上可导，且 g x f x ，则 g 0 1。
2
上海交通大学《高等数学》考试试卷 二
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，与 x 等价的无穷小量是
[
x ] 是取整函数），
g
x
x, 0,
x 1， x 1
则方程 g( f (x)) 0 的解集为：___________________。
7. lim( 1 1 1 1 )
。
n n2 1 n2 2 n2 3
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五、 （本题共 10 分）
15. 求曲面 z 2x 2 y 2 、 x 2 y 2 x 、 x 2 y 2 2 x 和 z 0 所围几何体的体积。 六、解答题（每小题 8 分，共 16 分） 16. 求函数 z xe
x2 y 2 2
2
的极值。
17. 已知 f ( x, y, z ) x y 2 z 2 ， g x, y, z 是 f x, y, z 在点 Px, y, z 沿方向
四、计算下列重积分（每小题 10 分，共 20 分）
u0 1， u 0。 13. 求 sgnxy 1d ，其中 D ( x, y) 0 x 2,0 y 2 ， sgn(u) 0， D 1， u0
14. 计算
1 dV ，其中 x, y.z | x 2 y 2 z 2 4。 x y ( z 2) 2
l (1, 1,0) 的方向导数。
（1） 求 g x, y, z ； （2） 若 Px, y, z 在椭球面 2 x 2 y 2 z 2 1 上， 问 g x, y, z 是否有最大值？若 有，求此最大值。 七、证明题（本题共 8 分） 18. 设 u f ( x, y, z) 是可微函数。若
n （A） 4 ；
x 2 y 2 t
1 cos( x 2 y 2 ) d 是 t 的 n 阶无穷小量，则 2
（ （B） 5 ；
π 2 0 cos 0
） ）
（C） 6 ；
（D） 7 。 （
f ( x, y ) dy ； f ( x, y ) dx 。
4. 累次积分 d （A） dx
0 1 0 1 y 2 0
f (r cos , r sin ) r dr 可以写成
x x2
f ( x, y) dy ； f ( x, y) dx ；
（B） dx
0
1
1 x 2 0 y y2
（C） dy
0
1
（D） dy
0
2 2
1
0
ex y d 等于 5. 设 0 R 1 ，则二重积分 I 1 xy x2 y 2 R2
2
2
（D） 0 。
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分) 1 z z 6. 设 z f (ln x ) ，其中函数 f (u) 可微，则 x y 2 y x y
z 7. grad ( xy ) = y (2,1,1)
。
。
A 类，第 1 页
x 2 y 2 z 2 6, 8. 曲线 2 在点 2,1,1 处的切线方程为 2 2 x y z 4 10 f 9. 已知 f x, y xy xy 2 e x y ，则 5 5 x y
2. 设函数 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处连续，那么下列命题正确的是 f ( x, y) （A）若极限 lim 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微； x 0 x y y 0 （B）若极限 lim
x 0 y 0
（
）
f ( x, y) 存在，则 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微； x2 y 2
x y
x z u ln 确定的隐函数， 求 ， z y x 0,1
u 。 y 0,1
12. 设函数 z f ( xy, yg ( x)) ，其中 f 具有二阶连续的偏导数， g ( x) 可导且在 x 1 处取得极值 g (1) 1 ，求
2 z xy
。
(1,1)
x 0 y 0
（C）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 lim （D）若 f ( x, y ) 在 (0, 0) 处可微，则极限 lim
x 0 y 0
f ( x, Байду номын сангаас) 存在； x y
f ( x, y) 存在。 x2 y 2
3. 当 t 0 时， f (t )
f fx f y z ，证明： u 仅为 r 的函数，其中 x y z
r x2 y 2 z 2 。
A 类，第 2 页
2011 级第二学期《高等数学》期中考试试卷(A 类)
一、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分） 1. 设函数 f ( x, y ) 可微，且对任意 x 、 y 都有
f x, y f x, y 0 ，则使不 0， y x 等式 f ( x1 , y1 ) f ( x2 , y2 ) 成立的一个充分条件是 （ ） （A） x1 x2 , y1 y2 ； （B） x1 x2 , y1 y2 ； （C） x1 x2 , y1 y2 ； （D） x1 x2 , y1 y2 。
ex y d ； （A） 4 2 2 2 1 xy x y R
x0, y 0
2 2
（
2
）
ex y d ； （B） 2 2 2 2 1 xy x y R
x 0
2
（C） 4
ex y d ； 2 2 2 1 xy x y R
x0, y 0
之下的区域，则在球坐标下 f ( x, y, z )dV 的累次积分为：
。 。
10. 已知 是位于锥面 z x2 y 2 之上，半球面 x 2 y 2 ( z a ) 2 a 2 （ z a ）
. 三、计算下列偏导数（每小题 8 分，共 16 分） 11. 设函数 u e z 2 ， 其中 z z ( x, y ) 是由方程