2016上海交通大学期末 高数试卷(A类)

2016级第一学期《高等数学》期末考试试卷 (A 类)

一、单项选择题（本题共15分，每小题3分）

1. 若3222lim 12

x ax bx x →∞++=+（其中,a b 为常数），则 （ ） （A ）0a =，b ∈R ； （B ）0a =，1b =；

（C ）a ∈R ，1b =； （D ）a ∈R ，b ∈R 。

2. 若函数()f x 的一个原函数是(2)e x x -，则'(1)f x += （ ）

（A ）e x x ； （B ）1e x x +； （C ）1(1)e x x ++； （D ）(1)e x x +。

3. 反常积分1

0ln[(1)]d x x x -⎰ （ ）

（A ）2=-； （B ）1=-； （C ）0=； （D ）发散。

4. 设OA a =和OB b =是两个不共线的非零向量，AOB ∠是向量a 与b 的夹角， 则AOB ∠的角平分线上的单位向量为 （ ） （A ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b ---； （B ）||||||||||||a b a b a a b b a a b b

+++； （C ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b ---； （D ）||||||||||||b a a b b a a b b a a b

+++。 5. 设函数()f x 为连续函数，对于两个命题：

（I ）若()00()(()())d d x u F x f t f t t u =--⎰⎰，则()F x 为奇函数；

（II ）若()f x 为奇函数，则()3

0()()d d x y x

G x f t t y =⎰⎰为奇函数， 下列选项正确的是 （ ）

（A ）（I ）和（II ）均正确； （B ）（I ）和（II ）均错误。

（C ）仅（I ）正确； （D ）仅（II ）正确；

二、填空题（每小题3分，共15分）

6. 已知函数()y f x =由参数方程3cos 2sin x t y t =⎧⎨=⎩

（0t <<π）所确定，则 ''()f x =___________________。

7. 一平面通过y 轴，且点)2,4,4(-到该平面的距离等于点)2,4,4(-到平面0z =的距离，则该平面方程是：_________________________。

8. 已知321e e x x y x =-，22e e x x y x =-，23e x y x =-是某二阶常系数非齐次线性微

分方程的3个解，则该方程的通解是y =___________________________。

9. 极限21123lim (sin 2sin 3sin sin )n n n n n n n n

→+∞++++=_____________________。 10. 设()(1)ln(2)f x x x =--，则)(x f 的最大值点是x =________。

三、（本题8分）

11. 已知平面π过直线2102210

x y z y z --+=⎧⎨-+=⎩，且π与直线12111x y z +-==--的夹角为

arcsin ，求该平面π的方程。

四、计算积分（每小题8分，共16分）

12. 计算积分20171(1d 2

x +⎰。 13. 计算积分0d 1|cos |x x x π

+⎰。

五、应用题（本题8分）

14. 求曲线23(1)y x =-与x 轴围成的封闭图形绕直线3=y 旋转一周所得的旋转

体的体积。

六、（本题10分）

15. 已知常数0a >，求函数(1)e x y x =-在闭区间[,]a a -上的最值。

七、（第16题8分，第17题12分，共20分）

16. 求微分方程4d 11(3)0d 33

y y x y x ++-=的通解。 17. 设)(x f 具有二阶导数，且()'()sin f x f x x +π-=，()02

f π=。 （1）证明：''()'()cos f x f x x -π-=；

（2）求)(x f 的表达式。

八、（本题8分）

18. 设函数()f x 在闭区间[0,1]上具有连续导数，且(0)(1)0f f ==，求证：

()

()2112001()d ()d 45

xf x x f x x '≤⎰⎰， 等号当且仅当3()()f x A x x =-时成立，其中A 为常数。