上海交通大学 自主招生 数学试题
2019年上海交通大学自主招生数学试题解析
年上海交通大学自主招生试题解析福建省厦门市叶超杰1.已知解：因为，则2.已知，试解：易知当时则3.已知方程各个实根为，同侧，求的取值范围解：因为，则与两点，则易知4.已知复数满足，求负实数的值解：，因为，则情形一：当时，则解得情形二：当时，则，所以此时无解综上所述：5.若方程的三个根可以作为三角形的三边长，求的范围解：因为，则，令且，解得情形一：当，满足题意，则此时情形二：当即解得6.对于的最小值解：，所以时，又则所以时，即，此时7.已知数列，若，求的最小值解：因为所以的最小值为8.展开式中奇次幂的项的和为解：由题意可知则9.解：而所以，当且仅当时，等号成立10.，在线段上，在线段上，在线段上，且满足，若解：设，则而此时由三元均值不等式可知当且仅当时，等号成立11.对定义域内任意的，，则称为凸函数，下列函数是凸函数的是（）解：易知选12.已知复数所对应的点为，，且满足的面积解：设，因为，则情形一：当而情形二：当13.实数解：解得当且仅当时，等号成立14.15.数列是的末两位数，求解：易知数列的周期为，而所以16.，则（）解：因为则所以同理可得17.定义平面上两点，若平面上一点到，的折线距离之和最小，则点坐标为解：设点，则折线距离之和由绝对值的几何意义可知此时点坐标为18.已知的充要条件是（）解：由题意可知当抛物线与圆相切时整理可得而，解得故选。
2022年上海交通大学强基校测数学试题及参考答案
2022年上海交通大学强基校测数学试题及参考答案1.等比数列{}n a ，31-=a ，8736=S S ，=∞→n n S lim （）A .不存在B.32 C.32-D.2-2.集合{}t A ,2,1=，{}A a aB ∈=2，B A C =，C 中元素和为6，则元素积为（）A .1 B.1- C.8D.8-3.z y x ,,为正整数，求xzyz xy z y x ++++2221010的最小值为.4.直线14=+y kx 垂直⎩⎨⎧+=-=ty tx 4132（t 为参数），k 值为（）A .3B.3- C.31 D.31-5.()()06cos >⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ωπωx x f ，()⎪⎭⎫⎝⎛≤4πf x f 对R x ∈∀恒成立，则ω的最小值为（）A .23B.1C.31 D.326.椭圆C ：144222=+b y x ，B A P ,,在椭圆C 上，AP k ，BP k 为相反数（k 与k -），则AB k 与（）A .k b ,有关，与P 点无关B.P 点，k b ,有关C.k P ，有关，与b 无关D.b P ,有关，与k 无关7.03cos 3cos 2=--θρθρ表示（）A .一个圆B.一个圆与一条直线C.两个圆D.两条线8.1===c a b ，21=⋅b a ，则()()c b b a-+2的最小值为（）A .33+ B.33- C.22+ D.22-9.()551051x a x a a x +++=- ，求()()53112a a a a a +++的值.10.正四面体装水到高度的21，问倒置后高度至何处.11.使()()()03cos 3sin 333=-+--+-x k x x x 有唯一解得k 有（）A .不存在B.1个C.2个D.无穷多个12.两个圆柱底面积21S S ，，体积21V V ，，侧面积相等，2321=V V ,求21S S的值.13.双曲线112422=-y x ，焦点为B A ,，点C 在双曲线上，53cos =∠ACB ，求ABC ∆周长.14.{}100,21 ，，=A ，{}A x x B ∈=3，{}A x x C ∈=2，求CB 中元素的个数.15.()()()0ln 22122>++-=a x x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，中有极大值，则a 的取值范围为（）A .()2,1 B.()∞+，1 C.()∞+，2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e16.☉1O ,☉2O 与kx y =，x 轴正半轴均相切，221=r r ，交点()22，P ，则=k （）A .1B.34C.43 D.2117.偶函数()x f 满足()()()224f x f x f +=+，求()2022f .18.()22022sin x x =π实根个数为.19.求方程6cos sin π=+x x 的根为.20.21F F ，为双曲线两焦点（焦点在x 轴），直线AB 经过1F 且与双曲线左右两支交于点A ,B ,︒=∠=1202211AF F AB AF ，，求双曲线的离心率.21.()21--++=x x x x f ，()()01=+x f f 根的个数为（）A .1 B.2 C.3 D.022.ABC ∆，M 为平面上一点，AC AB AM 4132+=，=∆∆BCM ABM S S （）A .3 B.8C.38D.8323.已知集合(){}Z y Z x y x y x A ∈∈≤+=,,2,22，则A 中元素的个数为（）A .4 B.5 C.8 D.924.=︒+︒15sin 2215tan （）A .3 B.2C.2D.125.空间中到正方体1111D C B A ABCD -棱11D A ，AB ，1CC 距离相等的点有（）A .无数B.0C.2D.326.0>>b a ，则ba b a a -+++14的最小值为（）A .32 B.2103 C.23 D.427.多项式()()x g x f ，，问两命题“()x f 是()x g 因式”，“()()x f f 是()()x g g 因式”充分必要条件.28.等势集合指两个集合间一一对应，下列为等势集合的是（）A .[]1,0与{}10≤≤E E B.[]1,0与{}d c b a ,,,C.()1,0与[]1,0 D.{}3,21，与与{}d c b a ,,,29.()()121ln 2+-+-=x m mx x x f ，对0>∀x ，()0≤x f ，求整数m 的最小值.30.数列{}n a ，22621221=+-==++n n n a a a a a ，，，求∑=202211i ia .31.椭圆()319222>=+a y a x ，弦AB 中垂线过⎪⎭⎫⎝⎛-0,5a ，离心率e 的取值范围.32.椭圆1422=+y x 的焦点21F F ，，点P 在03432=-+y x 上，当21PF F ∠最大时，则=21PF PF （）A .315 B.53 C.35 D.51533.ABC ∆中，C B A 93==，=++A C C B B A cos cos cos cos cos cos （）A .41 B.41-C.31 D.31-34.8个点将半圆分成9段弧，以10个点（包括2个端点）为顶点的三角形中钝角三角形有（）个.A .55 B.112 C.156D.12035.410=a ，n n n a a a +=+21,求⎦⎤⎢⎣⎡+∑=2022011i i a 的值.36.()xx x x f 312+++=的反函数为()x g ，()()122=xg 的根有（）个.A .1B.2C.3D.437.()2235lim2=---→x x f x ，()33=f ，()x f 在()()33f ，处切线方程为（）A .092=++y x B.092=-+y x C.092=++-y x D.092=-+-y x参考答案1.D 解析：∵等比数列{}n a ，31-=a ，8736=S S ，∴871136=--q q ，解得21-=q ，∴()⎪⎭⎫⎝⎛--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2112113n n S ，∴2lim -=∞→nn S .2.D解析：∵{}t A ,2,1=，{}A a aB ∈=2，∴B ∈1，B ∈4，B t ∈2，∴C ∈1，C ∈4，C t ∈2，若12=t ，则1=t （舍去）或1-=t ，此时{}1421-=，，，C ，符合题意，∴C 中的元素的积为()81421-=-⨯⨯⨯，若22=t ，则2=t 或2-=t ，此时{}24,2,1，=C 或{}24,2,1-=，C ，与已知C 中的元素和为6不符，若t t =2，则0=t 或1=t （舍去），此时{}0421，，，=C ，也与已知C 中的元素和为6不符，若t t ,2,12≠,则{}2421t t C ，，，，=，则64212=++++tt ，即012=++t t ,方程无解，综上，C 中元素积为8-.3.解：引入参数k 值，使之满足()()21021010102222222222z y k z z k ky kx z y x +-++-++=++()()xz yz k kxy +⋅-+≥1022，依据取等号的条件，有()t k k =-=1022,整理得4=t ，故xzyz xy z y x ++++2221010的最小值为4.4.B解析：⎩⎨⎧+=-=ty tx 4132（t 为参数），消去参数t 可得，01134=-+y x ，∵直线14=+y kx 垂直⎩⎨⎧+=-=ty t x 4132，∴1344-=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-k ，解得3-=k .5.D解析：由题意可得()x f 的最大值为⎪⎭⎫⎝⎛4πf ，且为1，则Z k k ∈=-，ππωπ264，解得Z k k ∈+=，328ω，由0>ω，可得0=k 时，ω的最小值为32.6.D解析：设()n m P ,，则直线P A 的方程为()m x k n y -=-，()⎪⎩⎪⎨⎧+-==+n m x k y by x 144222，消去y 得()()0422222222222=-+-+-++b n mkn m k x mk nk x k b，∴22222k b mk nk x m A +--=+，∴m k b mk nk x A -+--=22222，n m k b mk nk k y A +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=222222，同理可得：m k b mk nk x B -++=22222，n m k b mk nk k y B +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=222222，nmb x x y y k B A B A AB22=--=.7.B解析：∵03cos 3cos 2=--θρθρ，∴()()01cos 3=+-θρρ，解得3=ρ或1cos -=θρ，∵θρρcos 222=+=x y x ，，∴1922-==+x y x ，或，∴03cos 3cos 2=--θρθρ表示一个圆或一条直线.8.B 解析：∵1===c a b ，21=⋅b a ，可设()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==23,210,1a b ，，()[)πααα2,0sin ,cos ∈=，c，∴()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=--=-+3sin 33sin 23cos 2332παααc b b a ，∴当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα时，()()c b b a -+2的最小值为33-.9.解：当0=x 时，10=a ；当1=x 时，0543210=+++++a a a a a a ；当1-=x 时，32543210=-+-+-a a a a a a ，以上两式相减得，32222531-=++a a a ，则16531-=++a a a ，又根据二项展开式可得，5151-=-=C a ，10252==C a ，则521=+a a ，则()()8053112-=+++a a a a a .10.解：设正四面体的底面积为S ，高为h ，体积为Sh V 31=，正四面体装水到高度的21，则上面无水部分也为正四面体，底面积为S 41，高为h 21，体积为V h S 81214131=⋅⋅，倒置后，下面正四面体的体积是V 87，即有水部分的体积与原正四面体的体积比为8787=V V，∴倒置后高度至原正四面体的273.11.B 解析：令t x =-3，则0cos sin 3=++t k t t t，设()t k t t t f tcos sin 3++=()R t ∈，则()()()=-+--=--t k t t t f tcos sin 3()t f t k t t t=++cos sin 3，∴()t f 为偶函数，则函数()t f 的图象关于y 轴对称，由偶函数的对称性，若()0=t f 的零点不为0=t ，则有()01=t f ，必有()01=-t f ，不满足()0=t f 的唯一性，∴只能是()00=f ，即00cos 03=++k ，解得1-=k ，故k 只有唯一一个.12.解：设两圆柱的底面半径为21,r r ，高为21,h h ，由题意可得：221122h r h r ππ=，即1221h h r r =，且232112222122212121==⨯==r r r r r r h r h r V V ππππ，从而49222121==r r S S ππ.13.解：双曲线112422=-y x ，可得42==c a ，，()()0404，，，B A -，不妨设C 在第一象限，由双曲线的定义可知42==-a CB AC ，可得16222=-+BC AC BC AC，53cos =∠ACB ，由余弦定理可得ACB BC AC BC AC AB ∠-+=cos 2222,即5326422⨯-+=BC AC BC AC ，解得10=AC ，6=BC ，8=AB ，则ABC ∆的周长为24.14.解：由题意可知，集合B 中的元素为300以内3的倍数，集合C 中的元素为200以内2的倍数，∴C B 中元素为200以内6的倍数，∴元素共有336200≈，即C B 中共有33个元素.15.A 解析：由题得()()xa ax x f 221++-='，∵()()()0ln 22122>++-=a x x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，中有极大值，∴方程()()0221=++-='x a ax x f 在⎪⎭⎫⎝⎛121，内有解，∴x a 1=在区间⎪⎭⎫⎝⎛121，有解，故()2,11∈=x a ，则a 的取值范围为()2,1.16.B 解析：如图，☉1O ,☉2O 均与kx y =相切，则两圆交点()2,2P 在直线kx y =的右下方，而OP 所在直线的侠侣为1，可得1>k ，综合选项可知，34=k .17.解：由偶函数()x f 满足()()()224f x f x f +=+，令2-=x ，则()()()2222f f f +-=，即()()022=-+f f ，又()()22f f =-，可得()02=f ，∴()()x f x f =+4，即()x f 的最小正周期为4，∴()()()022********==+⨯=f f f .18.4044解析：设()()()22022sin x x g x x f ==，π，∴()()111==-g g ，1>x 或1-<x 时，()1>x g ，()1≤x f ，两者无交点，∴()()x x f π2022sin =的周期为1011120222==ππT ，在[]1,0上有1011个周期，在[)0,1-上有1011个周期，()()02022sin 1=-=-πf ，()()02022sin 1==πf ，1-=x 在()x f 增区间上，1=x 在()x f 减区间上，因此在[]1,1-上的每个区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+-101111,10111k k ()2021,*≤∈k N k 上，()x f 与()x g 的图象都是两个交点，共4044个交点，即原方程有4044个解.19.无实数解解析：∵方程6cos sin π=+x x ，两边平方可得：36cos sin 2cos sin 222π=++x x x x ，∴362sin 12π=+x ，∴01362sin 2<-=πx ，因此方程无实数解.20.解：如图，∵︒=∠=1202211AF F AB AF ，，设x AB AF 221==，则a x BF x a AF 23222-=+=，，且︒=∠602BAF ，∴在2ABF ∆中，22222BF AB AF +=，可得()()()()︒⋅+⋅⋅-++=-60cos 2222223222x a x x a x a x ，……①在21F AF ∆中，2221221AF AF F F +=,可得()()()︒⋅+⋅⋅-++=120cos 2222222x a x x a x c ，……②可得：a x 2=且ax a x c 6434222++=，代入可得a c 7=，故离心率7=e .21.C 解析：当1-≤x 时，()()()321--=-+-+-=x x x x x f ，当01<<-x 时，()()121-=-+-+=x x x x x f ，当20≤≤x 时，()()1321-=-+++=x x x x x f ，当2>x 时，()()321+=--++=x x x x x f ，作出()x f 的图象如图：设()x f t =，由()01=+t f ，得()1-=t f ，得0=t 或2-=t ，当0=t 时，()0=x f ，有两个根；当2-=t 时，()2-=x f ，有1个根；综上，()()01=+x f f 根的个数为3个22.A 解析：如图，延长AM 交BC 于G ，则()AC AB AG λλ-+=1，∵G M A ,,三点共线，∴AM t AG =，即()⎪⎭⎫⎝⎛+=-+AC AB t AC AB 41321λλ，∴41321=-λλ，则381=-λλ，故118=λ且1112=t ，又CB CG λ=，故CB CG 118=，∴83=CG BG ，121=GA GM ,∴ABM ABM BGM BMC S S S S ∆∆∆∆=⨯==31111311311，∴=∆∆BCM ABM S S 3.23.D 解析：根据题意：()()()()()()()()()(){}1,1,0,1,1,1,1,0,0,0,1,0,1,1,0,1,1,1,------=y x A 共9个元素，是平面直角坐标系中9个点.24.D 解析：原式()()1426223313313045sin 223045tan =-⨯++-=︒-︒+︒-︒=.25.A 解析：在正方体1111D C B A ABCD -上建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为1，连接D B 1，并在D B 1上任取一点P ，∵()111，，=DB ，∴()a a a P ,,，其中10≤≤a ，作PE ⊥平面D D AA 11，垂足为E ，再作11D A EF ⊥，垂足为F ，则PF 是点P 到直线11D A 的距离，∴()221a a PF -+=，同理点P 到直线1CC AB 、的距离也是()221a a -+，∴D B 1上任一点与正方体1111D C B A ABCD -的三条棱11D A ，AB ，1CC 所在直线的距离都相等，∴与棱11D A ，AB ，1CC 距离相等的点有无数个.26.C 解析：∵0>>b a ，则ba b a b a b a b a b a a -+-++++=-+++12421423122422=-⋅-++⋅+≥ba b a b a b a ，当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=-=+222b a b a ，即22333==b a ，时取等号.27.解：不充分反例：设()()()11-=-=x x x g x x f ，，故()()2-=x x f f ，()()()()112---=x x x x x g g ，故不充分，不必要反例：设()()()121-=+=x x xg x x f ，，故()()1+=x x f f ，()()()()112+++=x x x x x g g ，故不必要.∴“()x f 是()x g 因式”是“()()x f f 是()()x g g 因式”的既不充分又不必要条件.28.A 解析：根据等势集合的定义可判断选项A 正确.29.解：当0=m 时，()1ln ++=x x x f ，此时()01>f 不合题意，当1=m 时，()1ln 2+--=x x x x f ，()()()xx x x x x x x x f --+=--+=--='121121212∴当210<<x 时，()0>'x f ，()x f 单调递增；当21>x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减.函数的最大值为016ln ln 1214121ln 2144<-=+--=⎪⎭⎫⎝⎛e f ，即1=m 满足题意，下面证明当1≥m 时，()0≤x f 对0>x 恒成立，由于()()()()x m mx x m mx x x f 21121122-+-=+-+--≤,其对称轴为0121221<-=-=mm m x ，故当0>x 时，()0<x f ，综上可得，整数m 的最小值为1.30.解：∵2212=+-++n n n a a a ，∴()()2112=---+++n n n n a a a a ，设n n n a a b -=+1，则21=-+n n b b ，且426121=-=-=a a b ，∴数列{}n b 是首项为4，公差为2的等差数列，∴()()12214+=⨯-+=n n b n ，即()121+=-+n a a n n ，∴()()()112211a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- ()()226122+-++-+= n n ()[]()()12121212+=⨯+⨯=+++-+=n n n n n n ，∴()111111+-=+=n n n n a n ，∴2023202220231120231202213121211120221=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑= i ia .31.解：设()()2211,,y x B y x A ，，21x x ≠，令92=b ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+115522222222122122222121b y a x b y a x y a x y a x ，即()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=-=-+-22222222122221122221222152x a b b y x a b b y x x a y y x x ，∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-22222112152a b x x x x a，∴()2232152a b a x x -=+，∵a x a ≤≤-1，a x a ≤≤-2，∴a x x a 2221<+<-，则()a ab a 252223->-，即5422<a b ，∴511222>-=ab e ，又10<<e ，∴155<<e ，即离心率e 的取值范围为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛155，.32.A 解析：由题意可得()0,32F ，且直线03432=-+y x 与x 轴的交点()0,34B ，由平面几何知识可得：当过1F 与2F 的圆与直线03432=-+y x 相切时，切点P 满足21PF F ∠最大，此时圆心A 在y 轴上，设()t A ,0，则圆的半径2AF AP r ==,又P BF APF 12∠=∠,∴P BF BPF 12~∆∆，∴()2222222221BF AF AB BF AP AB BF PBPF PF -=-==()()31533533343342222==---+=bb .33.B 解析：∵在ABC ∆中，C B A 93==，∴13π=C ，∴AC C B B A cos cos cos cos cos cos ++()()()()()()[]C A C A C B B C B A B A -+++-+++-++=cos cos cos cos cos cos 21()C C C C C C 12cos 10cos 8cos 6cos 4cos 2cos 21+++++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++=13121310cos 138cos 136cos 134cos 132cos 21ππππππ又⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13sin 133sin 21132cos 13sinππππ；⎪⎭⎫⎝⎛-=133sin 135sin 21134cos 13sin ππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=135sin 137sin 21136cos 13sinππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=137sin 139sin 21138cos 13sin ππππ；⎪⎭⎫ ⎝⎛-=139sin 1311sin 211310cos 13sinππππ；⎪⎭⎫⎝⎛-=1311sin 1313sin 211312cos 13sin ππππ；上述各式相加得：211312cos 1310cos 138cos 136cos 134cos 132cos-=+++++ππππππ.34.B 解析：根据题意，如图：在10个点中，任意三点不共线，在其中任意3个点，可以组成120310=C 个三角形，其中没有锐角三角形，直角三角形有8个，（包含AB 两点在内个三角形），则钝角三角形有120-8=112个.35.解：∵()121+=+=+n n n n n a a a a a ，∴()1111111+-=+=+n n n n n a a a a a ，即n n n a a a 11111+-=++，∴111111112022102022++++++=+∑=a a a ai i ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=202220231201111111a a a a a a 2023202301411a a a -=-=，∵n n n n a a a a >+=+21，∴n n a a 111<+，且15>a ，∴12023>a ，∴1102023<<a ∴31411202320220=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎦⎤⎢⎣⎡+∑=a a i i .36.D 解析：∵()()122=x g ，∴()12±=x g ，当()12=xg 时，()731211=+++=f ，令72=x ，解得7±=x ；当()12-=x g 时，()31312111=++-=--f ，令312=x ，解得33±=x ；∴方程()()122=xg 的根有4个.37.B 解析：∵()2235lim2=---→x x f x ，()33=f ，令2-=∆x x ，∴()()()()()2333lim 33lim 00='-=∆--∆--=∆-∆-→∆→∆f xf x f x f x f x x ，解得()23-='f ，∴()x f 在()()33f ，处切线方程为()323--=-x y ，即092=-+y x .。
2006年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2006年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题(每题5分．共50分)
1．矩形中，，，过作相距为的平
行线，则．
2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个
正实数是．
3．的末尾有连续个零．
4．展开式中，项的系数为．
5．在地面距离塔基分别为100、200、300的处测得塔顶的仰角分别为，且，则塔高为．
6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为；在一次游戏巾，甲获胜的概率为．
7．函数在上单调递增，则实数的取值范围
是.
8．是的非实数根，．
9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成种不同的面值．
10.已知，则数列()前l00项和为.
二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分)
11.,,有两个相等根，
求证：成等差数列
12．椭圆，一顶点，是否存在这样的以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，若存在，求出共有几个．若不存在，请说明理由．
13．已知，是实数，是复数，求的最大值．
14．若函数形式为，其中为关于的多项式，
为关于的多项式，则称为类函数，判断下列函数是否是类函数，并说明理由．
(1)；
(2)．
15．设，解方程．。
交大自主招生高考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与x轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)2. 已知等差数列{an}的公差d=2，若a1+a5=18，求a3的值。
A. 8B. 10C. 12D. 143. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(5, 7)，求线段AB的中点坐标。
A. (3, 5)B. (4, 6)C. (5, 7)D. (7, 9)4. 已知复数z = 3 + 4i，求z的模。
A. 5B. 7C. 9D. 115. 已知三角形ABC的边长分别为a、b、c，且满足a+b+c=12，a^2+b^2=c^2，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 8C. 10D. 126. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f(x)的极值点。
A. x=1，x=2B. x=1，x=3C. x=2，x=3D. x=1，x=47. 已知等比数列{an}的公比q=2，若a1+a3+a5=24，求a2的值。
A. 6B. 8C. 10D. 128. 在平面直角坐标系中，点P(1, 2)，点Q(4, 6)，求线段PQ的长度。
A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知复数z = 1 - 3i，求z的共轭复数。
A. 1 + 3iB. 1 - 3iC. -1 + 3iD. -1 - 3i10. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的图像与y轴的交点坐标。
A. (1, 0)，(3, 0)B. (0, 1)，(3, 1)C. (1, 3)，(3, 1)D. (0, 3)，(3, 1)11. 已知等差数列{an}的公差d=-2，若a1+a5=18，求a3的值。
2005年上海交通大学自主招生数学试题
＝ｔａ ｔ ｙ ａ ｔｇ ｎ ｎａ ａ ， ｎ
所以 ｔ ．十 ａ ｎ
１ 、
ａ ａ ｔ ｎ． 十 下丁ｔ ｎａ 乙 ｊ
１
１
不 ａ ， 二ｔ ｌ ａ 解得ｔ ａ ／ ａ ＝Ｉ 或ｔ ａ＝０不 ｎ 五 ａ ｎ （ ２ ｘ一 ） ｋ ， （１． ｋ ０ － ｋ Ｚ０ Ｔ 二以， （， ｘ１ ，Ｅ ＜ｋ ０ ｋ ｂ ０ － 公 ｒ ， 一 一 合题意， ． （ 一 ） ‘ 通项 式Ｔ ＝Ｃ。 （ ｘ ｘ１ 的 ＊ 舍去）
一ａ２ ｈ 十从了 ２ ２ ２ ａ ＋ｂ 一ｈ
ｂ 一ｈ ２ ２
、 ｜ ｜ ｜ ‘
ｒ ０ ， ， 八 ２ ５ ， ｒ ０ ， 、 ， ２ ５ ０ ０ 。 ｝ 荟＝ ！ ２ ０ ｝ 长罕 ！ １ ５ ５ ． 二 二 ＝ ＝ ２． ８ “ “““ １ ６ “ ‘ “ “’ 一’
＝ｆＸ） ｘ ， １ ｘ ＜２时，２＝ （２ ＜ ２ 当 ＜ １ ｘ ｆｘ） ， １ ２ ， （ｉ ＞ｘ ， ＜ｘ ＜２依此类推， 且 可得 数列１ｎ 的所有项均满足 ｘ ＜ ｘ ｎ〔 ｘ｝ ， ． （ ７ ＋
（） ｘ 时， ３ 若输人 。 产生的无穷数列Ｉ ｘ｝ 满足： 对任意正整数ｎ均有ｘ ＜ｘ十， ｏ ， Ｉ 求ｘ
经数列发生器输出ｘ 二ｆｘ） ， （ｏ； ②若 ｘ （ Ｄ， － 则数 输入 ， ｝ １ 列 发生器结束工作； ｘ 若 １ ＥＤ， 则将ｘ 反馈回 ， 输人 端， 再输出ｘ ２＝ｆｘ ） （＇，
并依此规律继续下去． 现
４ 一２ ｘ ｘ ＋ １’
（） （ ） 定义域Ｄ二（ ０， １ 因为ｆｘ 的 一 一 １ Ｕ（ １ 十０） 数列！ ｝ ） 一 ， ０， 所以 ｘ 只有三项：
币 、。 ０ ， ， ２０ ５ ＿
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题一、填空题(每小题5分，共50分)1 设函数f(x)满足2f(3x) f (2 3x) 6x 1，贝卩f(x) ________________________ .2.设a,b,c均为实数，且3a 6b 4，则1丄.a b3 .设a 0且a 1 ,则方程a x 1 x2 2x 2a的解的个数为____________ .4. _______________________________________________ 设扇形的周长为6,则其面积的最大值为___________________________ .5. 1 1! 2 2! 3 3! L n n! ____________________ .6•设不等式x(x 1) y(1 y)与x2 y2 k的解集分别为M和N.若M N ,贝H k的最小值为___________ .7 设函数f(x)- , 则xS 1 2 f (x) 3f2(x) L nf n1(x) _____________ .8 .设a 0 ,且函数f (x) (a cosx)(a sin x)的最大值为空,则2a ________________ .9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 _______________ .10. 已知函数f1(x)気」，对于n 1,2,L，定义f n 1(x) f1(f n(x))，若x 1f35 ( x) f s(x)，贝S f28(X) _____________ .二、计算与证明题(每小题10分，共50分)11.工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒O1Q2Q3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒02顶侧面的垂直深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r 10mm, h 4mm 时，R 的值.12. 设函数f(x) |sinx cosx，试讨论f(x)的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在0,2内的图像.13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x y2上，试求AB的中点M 到y轴的最短距离和此时M点的坐标.参考答案:1. 2x 12. 1丄3. 2 4. n 1 ! 1 6. 242410.7. 11. !n n 12n11 2n 1 42 2R r r ,h12.1^.21k 2d min14.略; 反证法x 08.x 060mm15. 2 29.；周期为2；3; 3 43 45222n2008年交大冬令营数学试题参考答案 1.若 f(x)2 1 3厂，g(x) f1(x)'则 g(5)2x 3 5 3x2008.1.1xH 的最大值为 ------------ .13 .等差数列中，5a 8 3^3，则前n 项和S n 取最大值时,2.函数y.204 .复数|z| 1 ,若存在负数a 使得z 2 2az a 25.若 cosx sin xcos 3x2.3sin x111613.n 的值为a 0，则6.数列a.的通项公式为a n1 nn 1 (n 1). n,则这个数列的前 99乙厂生产的占20%甲厂商品的合格率为95%乙厂商品的合格率为 90%若某人购买了此商品发现为次品，贝眦次品为甲厂生产的概率10.若曲线C i ：x 2 y 2 0与C 2：(x a)2 y 2 1的图像有3个交点，则a _______ . 1二.解答题1. 30个人排成矩形，身高各不相同.把每列最矮的人选出，这些人 中最高的设为a ;把每行最高的人选出，这些人中最矮的设为 b .(1) a 是否有可能比b 咼？ (2)a 和b 是否可能相等？1. 解：1不可能① 若a 、b 为同一人，有a b ;② 若a 、b 在同一行、列，则均有a b ;③ 若a 、b 不在同一行、列，同如图1以5*6的矩形为例，记a所在列与b 所在行相交的人为x 。
全国重点大学(清华北大复旦交大同济)自主招生数学试题
交通大学2000年保送生数学试题一、选择题(本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，把所选项的字母填在括号内)1．若今天是星期二，则31998天之后是 ( )A ．星期四B ．星期三C ．星期二D ．星期一2．用13个字母A ，A ，A ，C ，E ，H ，I ，I ，M ，M ，N ，T ，T 作拼字游戏，若字母的各种排列是随机的，恰好组成“MA THEMA TICIAN”一词的概率是 ( )A ．4813!B ．21613!C ．172813!D ．813!3．方程cos 2x -sin 2x +sin x ＝m +1有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．18m ≤B ．m >-3C ．m >-1D ．138m -≤≤4．若一项数为偶数2m 的等比数列的中间两项正好是方程x 2+px +q ＝0的两个根，则此数列各项的积是( ) A ．p mB ．p 2mC ．q mD ．q 2m 5．设f ’(x 0)＝2，则000()()limh f x h f x h h→+-- ( )A ．-2B ．2C ．-4D ．4二、填空题（本题共24分，每小题3分）1．设f (x )1，则1(2)f x dx =⎰__________．2．设(0,)2x π∈，则函数(222211sin )(cos )sin cos x x xx++的最小值是__________．3．方程316281536x x x ⋅+⋅=⋅的解x ＝__________．4．向量2a i j =+ 在向量34b i j =+上的投影()ba = __________．5．函数2y x =+__________．6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数是__________．7．方程7x 2-(k +13)x +k 2-k -2＝0的两根分别在区间(0,1)和(1,2)内，则k 的取值范围是__________．8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________． 三、证明与计算（本题61分）1．(6分)已知正数列a 1，a 2，…，a n ，且对大于1的n 有1232n a a a n +++=，1212n n a a a +=．试证：a 1，a 2，…，a n 中至少有一个小于1．2．(10分)设3次多项式f (x )满足：f (x +2)＝-f (-x )，f (0)＝1，f (3)＝4，试求f (x )．3．(8分)求极限112lim (0)pppp n np n+→∞+++> ．4．(10分)设2,0(),0x bx c x f x lx m x ⎧++>=⎨+≤⎩在x ＝0处可导，且原点到f (x )中直线的距离为13，原点到f (x )中曲线部分的最短距离为3，试求b ，c ，l ，m 的值．(b ,c >0)5．(8分)证明不等式：3412≤≤，[0,]2x π∈．6．(8分)两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是12．若射手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．7．(11分)如图所示，设曲线1y x=上的点与x 轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB 1A 1，△A 1B 2A 2，…，直角顶点在曲线1y x=上．试求A n 的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之和是否存在．复旦大学2000年保送生招生测试数学试题（理科）一、填空题（每小题10分，共60分）1．将自然数按顺序分组：第一组含一个数，第二组含二个数，第三组含三个数，……，第n 组含n 个数，即1；2，3；4，5，6；……．令a n 为第n 组数之和，则a n ＝________________． 2．222sin sin ()sin ()33ππααα+++-＝______________．3．222lim[(2)log (2)2(1)log (1)log ]n n n n n n n →∞++-+++＝_________________．4．已知平行六面体的底面是一个菱形且其锐角等于60度，又过此锐角的侧棱与锐角两边成等角，和底面成60度角，则两对角面面积之比为__________________．5．正实数x ,y 满足关系式x 2-xy +4＝0，又若x ≤1，则y 的最小值为_____________．6．一列火车长500米以匀速在直线轨道上前进，当车尾经过某站台时，有人驾驶摩托车从站台追赶火车给火车司机送上急件，然后原速返回，返回中与车尾相遇时，此人发现这时正在离站台1000米处，假设摩托车车速不变，则摩托车从出发到站台共行驶了______________米． 二、解答题（每小题15分，共90分）1．数列{a n }适合递推式a n +1＝3a n +4，又a 1＝1，求数列前n 项和S n ．2．求证：从椭圆焦点出发的光线经光洁的椭圆壁反射后必经过另一个焦点．你还知道其它圆锥曲线的光学性质吗？请叙述但不必证明．3．正六棱锥的高等于h ，相邻侧面的两面角等于12arcsin2，求该棱锥的体积．(1cos 124π=+)4．设z 1,z 2,z 3,z 4是复平面上单位圆上的四点，若z 1+z 2+z 3+z 4=0．求证：这四个点组成一个矩形．5．设(1nnx y+=+x n,y n为整数，求n→∞时，nnxy的极限．6．设平面上有三个点，任意二个点之间的距离不超过1．问：半径至少为多大的圆盘才能盖住这三个点．请证明你的结论．2000年交大联读班试题1. 直线y ax b =+关于y x =-的对称直线为_______________。
交大自主招生(2010-2013)●●数学●物理●英语●●试题
2010年“华约”自主招生试题解析一、选择题 1．设复数2()1a i w i +=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） （A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）322．设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（ ）（A ）2 （B （C ）1 （D 3。
缺 4。
缺5．在ABC ∆中，三边长,,a b c ，满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为（ ） （A ）15 （B ）14 （C ）12 （D ）236．如图，ABC ∆的两条高线,AD BE 交于H ，其外接圆圆心为O ，过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ，则OFG ∆与GAH ∆面积之比为（ ）（A ）1:4 （B ）1:3 （C ）2:5 （D ）1:27．设()e (0)axf x a =>．过点(,0)P a 且平行于y 轴的直线与曲线:()C y f x =的交点为Q ，曲线C 过点Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR ∆的面积的最小值是（ ）（A ）1 （B （C ）e 2 （D ）2e 48．设双曲线2212:(2,0)4x y C k a k a -=>>，椭圆2222:14x y C a +=．若2C 的短轴长与1C 的实轴长的比值等于2C 的离心率，则1C 在2C 的一条准线上截得线段的长为（ ）（A ） （B ）2 （C ） （D ）49．欲将正六边形的各边和各条对角线都染为n 种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则n 的最小值为（ ） （A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）910．设定点A B C D 、、、是以O 点为中心的正四面体的顶点，用σ表示空间以直线OA 为轴满足条件()B C σ=的旋转，用τ表示空间关于OCD 所在平面的镜面反射，设l 为过AB 中点与CD 中点的直线，用ω表示空间以l 为轴的180°旋转．设στ表示变换的复合，先作τ，再作σ。