2007年上海交通大学自主招生选拔测试试卷(数学篇)
高校自招数学试题及答案
高校自招数学试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333…（循环）B. πC. √2D. 1答案：B、C2. 已知函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。
A. 7B. 4C. 1D. 2答案：A3. 若a > b > 0，下列不等式中正确的是：A. a^2 > b^2B. a + b > 2√(ab)C. a/b > b/aD. a^3 > b^3答案：D4. 已知等差数列的首项为1，公差为2，求第10项的值。
A. 19C. 17D. 16答案：A5. 圆的半径为5，求圆的面积。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：B6. 已知三角形ABC，∠A = 90°，AB = 3，AC = 4，求BC的长度。
A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A7. 函数y = x^2 - 4x + 4的顶点坐标是什么？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)答案：A8. 已知正弦函数sin(x)的周期为2π，求余弦函数cos(x)的周期。
B. 2πC. 4πD. 8π答案：B9. 根据勾股定理，直角三角形的斜边长度是两直角边长度的平方和的平方根。
设a和b是直角边，c是斜边，下列哪个表达式是正确的？A. c = √(a^2 + b^2)B. a = √(c^2 + b^2)C. b = √(c^2 - a^2)D. c = √(b^2 - a^2)答案：A10. 已知一个数列的前三项为1, 1, 2，且每一项都是前两项的和，求第5项的值。
A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 根据二项式定理，展开式(a + b)^3的通项公式是________。
答案：T_{r+1} = C_{3}^{r}a^{3-r}b^{r}12. 如果一个函数是奇函数，那么f(-x)等于________。
历年自主招生考试数学试题大全-2007年上海复旦大学自主招生数学试题Word版缺答案
2007年复旦大学自主招生考试数学试题选择题（每题5分，共150分，答对得5分，答错扣2分，不答得0分） 1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个． A ．20B ．26C ．30D ．362．若a>1，b>1且lg （a+b ）=lga+lgb ，则lg （a −1）+lg （b −1）= ． A ．lg2B ．1C ．不是与a 、b 无关的常数D ．03．已知z ∈C ，若∣z ∣＝2－4i ，则z1的值是 ． A ．3＋4i B ．i 5453+ C ．i 154153+ D ．i 254253- 4．已知函数f （x ）=cos （x k 2316++π）+cos （x k 2316--）=23sin （x 23+π），其中x 为实数且k 为整数．则f （x ）的最小正周期为 ．A ．3πB ．2π C ．πD ．2π5．已知A ＝｛（x ，y ）∣y ≥x 2｝，B={（x ，y ）∣x 2+（y −a ）2≤1}．则使A∩B＝B 成立的充分必要条件为 ．A ．a=45B ．a≥45 C ．0<a<1 D ．a≥16．已知平面上三角形ABC 为等边三角形且每边边长为a ，在AB 和BC 上分别取D ，E 两点使得AD ＝BE ＝3a，连接A ，E 两点以及C ，D 两点．则AE 和CD 之间的最小夹角为 ． A ．9πa B ．3πa C ．3π D ．以上均不对7．已知数列｛a n ｝满足3a n+1+a n =4，（n≥1），且a 1=9， 其前n 项之和为S n ，则满足不等式∣S n −n −6∣<1251的最小整数是45． A ．6B ．7C ．8D ．98．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 ．A ．120B ．260C ．340D ．4209．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3．已知从甲袋中摸到红球的概率为31，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为32．则从乙袋中摸到红球率为 ． A ．97 B ． 4519C ．3013D ．4522 10．方程f （x ）=543423322212321---------x x x x x x x x x =0 的实根的个数是 ．A ．1个B ． 2个C ．3个D ．无实根11．已知a ，b 为实数，满足（a+b ）59=−1，（a −b ）60=1，则∑=-601)(n n nb a＝ ．A ．0121B ．−49C ．0D ．2312．a=21是“直线（a+2）x +3a y +1=0与直线（a −2）x +（a+2）y −3=0相互垂直”的 ． A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件13．设函数y =f （x ）对一切实数x 均满足f （2+x ）=f （2−x ），且方程f （x ）=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 ．A ．0B ．10C ．12D ．1414．已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan 2βα+=sin γ，则下列四个表达式:（1）tan αtan β=1 （2）0<sin α+sin β≤2 （3）sin 2α+sin 2β=1 （4）cos 2α+cos 2β=sin 2γ中，恒成立的是 ．A ．（1）（3）B ．（10（4）C ．（2）（3）D ．（2）（4）15．设S n =1+2+…+n，n ∈N ．则∞→n lim1)32(2++n nS n nS ＝ ．A ．2B ．321C ．161 D ．6416．复数z =iia 212+-（a ∈R ，i=1-）在复平面上对应的点不可能位于 ． A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限17．已知f （x ）=asin x +b 3x ＋4（a ，b 为实数）且f [lg （lg 310）]=5，则f [lg （lg3）]= ．A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值18．已知四棱锥P －ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB ＝3π，PD ⊥平面ABCD ，线段PD ＝AD ，点E 是AB 的中点，点F 是PD 的中点，则二面角P －AB －F 的平面角的余弦值＝ ．A ．21 B ．552 C ．1475D ．1473 19．在（32-）50的展开式中有 项为有理数． A ．10B ．11C ．12D ．1320．棱长为a 的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切．则两球半径之和为为 ．A ．无法确定B ．aC ．a 233-D ．a 255- 21．在集合{1，2，…11}中任选两个作为椭圆方程12222=+by a x 中的a 和b ，则能组成落在矩形区域{（x ，y ）||x |<11，|y |<9}内的椭圆个数是 ．A ．70B ．72C ．80D ．8822．设a ，b ，c 为非负实数，且满足方程02562684495495=+⨯-++++cb a cb a ，则a+b+c的最大值和最小值 ．A ．互为倒数B ．其和为13C ．其乘积为4D ．均不存在23．给定正整数n 和正常数a ，对于满足不等式a 12+a n+12≤a 的所有等差数列a 1，a 2，a 3，…，和式∑++=1211n n i a的最大值＝ ．A ．)1(210+n aB ．n a210 C ．)1(25+n aD ．n a 2524．设z 0（z 0≠0）为复平面上一定点，z 1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z 1−z 0|=|z 1|，z 为复平面上另一个动点满足z 1z =−1．则z 在复平面上的轨迹形状是 ．A ．一条直线B ．以01z -为圆心，01z 为半径的圆 C ．焦距为012z 的双曲线 D ．以上均不对25．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积为 ．A ．3123a π B ．343a π C ．3242a π D ．3243a π 26．已知函数f （x ）的定义域为（0，2），则函数g （x ）=f （x +c ）+f （x −c ） 在 0＜21时的定义域为 ．A ．（1−c ，2+c ）B ．（c ，2−c ）C ．（1−c ，2−c ）D ．（c ，2+c ） 27．设函数f （x ）=sin （2x +ϕ），（−π<ϕ<0），y =f （x ）图象的一条直线x =8π．则ϕ的值为 ．A ．4πB ．43πC ．－43πD ．2π28．设f （x ）是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数．已知当x ∈[2，3]时，f （x ）=−x ，则当x ∈[－2，0］时，f （x ）的表达式为 ．A ．−3+|x +1|B ．2−|x +1|C ．3−|x +1|D ．2+|x +1|29．当a 和b 取遍所有实数时，则函数f （a ，b ）=（a+5−3|cosb|）2+（a −2）|sinb|）2所能达到的最小值为 ．A ．1B ．2C ．3D ．430．对任意实数x ，y ，定义运算x ºy 为x ºy ＝a x +b y +c xy ，其中a ，b ，c 为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算．已知1º2＝3，2º3＝4且有一个非零实数d ，使得对于任意实数x 均有x ºd=x ，则d= ．A ．－4B ．－2C ．1D ．4历年自主招生考试数学试题大全专题下载链接：/a760682.html链接打开方法：1、按住ctrl键单击链接即可打开专题链接2、复制链接到网页。
2007年上海市普通高等学校春季招生考试数学试卷
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——培根 学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜·日·法拉兹2007年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有21道试题，满分150分.考试时间120分钟. . 填空题 (本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接 填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.1．计算=++∞→)1(312lim 2n n n n . 2．若关于x 的一元二次实系数方程02=++q px x 有一个根为i 1+(i 是虚数单位)，则=q .3．若关于x 的不等式01>+-x a x 的解集为),4()1,(∞+-∞- ，则实数=a . 4．函数2)cos sin (x x y +=的最小正周期为 .5．设函数)(x f y =是奇函数. 若3)2()1(3)1()2(++=--+-f f f f ，则=+)2()1(f f .6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线x y 42=上的点P 到该抛物线的焦点的距离为6，则点P 的横坐标=x .7．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线24y x -=与直线m x =有且只有一个公共点，则实数=m .8．若向量a ，b 满足2=a ，1=b ，()1=+⋅b a a ，则向量a ，b 的夹角的大小为 . 9．若21x x 、为方程11212+-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x 的两个实数解，则=+21x x .10．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随机挑选一人表页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
——培根学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。
——阿卜·日·法拉兹演节目. 若选到男教师的概率为209，则参加联欢会的教师共有 人. 11．函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥+=0,2,0,12x xx x y 的反函数是 .二．选择题 (本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得 4分，否则一律得零分.12．若集合{}2,1m A =，{}4,2=B ，则“2=m ”是“{}4=B A ”的(A) 充分不必要条件. (B) 必要不充分条件.(C) 充要条件. (D) 既不充分也不必要条件.[答] ( )13．如图，平面内的两条相交直线1OP 和2OP 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ (不包括边界）. 若21OP b OP a +=，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数b a 、满足(A) 0,0>>b a . (B) 0,0<>b a .(C) 0,0><b a . (D) 0,0<<b a .[答] ( )14．下列四个函数中，图像如图所示的只能是(A) x x y lg +=. (B) x x y lg -=.(C) x x y lg +-=. (D) x x y lg --=.[答] ( )15．设b a 、是正实数，以下不等式① b a ab ab +>2，② b b a a -->，③ 22234b ab b a ->+，④ 22>+abab页眉内容阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。
上海交通大学2002-2010年保送生考试数学试题
一、填空题（每小题 5 分，共 50 分）
1．方程 x2
−
px −
1 2 p2
= 0 的两根 x1, x2 满
2 ，则 p=_________（p∈R）．
2． sin8 x + cos8 x = 41 , x ∈ (0, π ) ，则 x=________________．
128
3，14 台，现在为使各小学的电脑数相等，各向相邻小学移交若干台，且要使移交的电 脑的总台数最小，因此，从第一小学向第二小学移交了________台，从第二小学向第三 小学移交了______台，从第五小学向第一小学移交了________台，移动总数是_________ 台． 二、计算与证明题（本题共 86 分） 17．（本题 12 分）（1）设 n 为大于 2 的整数，试用数学归纳法证明下列不等式：
任意正整数 n 都有 an = r [ n + s ] + t 恒成立（[x]表示不超过 x 的最大整数）．
60
又
3
2 3
3
=9
3
>8
=2
= 3log32 , 所以 b
>
c , a > b > c. 所以输出的数为 a.
例 6 (2001 年上海市高考题) 对任意函
数 f ( x ) , x ∈D 可按图所示构造一个数列发
3．f(x)=ax4+x3+(5−8a)x2+6x−9a，证明：（1）总有 f(x)=0；（2）总有 f(x)≠0．
4．
f1
(x)
=
1− x x +1
，对于一切自然数
n，都有
f n+1 (x) =
2008年上海交通大学自主招生选拔测试试卷(数学篇)
4．通信工程中常用 n 元数组( a1 , a2 , a3 , …, an )表示信息，其中 ai = 0 或 1, i, n ∈ N ．设
u = (a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn ) 表示 u 和 v 中相对碰的元素不同的个数．
2008 年上海交通大学冬令营选拔测试 数学试题
说明：考试时间 2 小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予 A 的 认定。满分 l00 分。 一、填空题 1．若 f ( x) = 2．函数 y =
2x −1 3 ， g ( x) = f −1 ( x) ，则 g ( ) = x 5 2 +1
．
．
x +1 最大值为 x2 + 8
3．等差数列中， 5a8 = 3a13 ，则前 n 项和 S n 取最大值时， n 的值为 4．复数 | z |= 1 ，若存在负数 a 使得 z − 2az + a − a = 0 ，则 a =
2 2
． ．
5．若 cos x − sin x = ，则 cos x − sin x =
(1) u = (0, 0, 0, 0, 0) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 1 ； (2) u = (1,1,1,1,1) 问存在多少个 5 元数组 v 使得 d (u , v) = 3 ； (3)令 w = ， u = ( a1 , a2 , a3 , …, an ) ， v = (b1 , b2 , b3 , …, bn) （ 0,0,0,0,0 ）
3．世界杯预选赛中，中国、澳大利亚、卡塔尔和伊拉克被分在 A 组，进行主客场比赛． 规定每场比赛胜者得三分，平局各得一分，败者不得分 比赛结束后前两名可以晋级 (1)由于 4 支队伍均为强队，每支队伍至少得 3 分于是甲专家预测：中国队至少得 10 分才能确保出线；乙专家预测：中国队至少得 1 分才能确保出线．问：甲、乙专家哪个说的 对?为什么? (2)若不考虑中条件，中国队至少得多少分才能确保出线?
(完整)上海交通大学_2007-2008学年_高等数学(高数)_期末考试_解答
1、解 22()()()0xy xx yy B AC f ab f ab f ab -=-≥，排除A 、B.(,)f x b 在点x a =处取得极小值：(,)0xx f a b ≥，同理：(,)0yy f a b ≥.答案：C2、解 0[()()()]C W F dr yzx t xzy t zz t dt π'''=⋅=-++⎰⎰u r r22200[sin cos ]2t t t t t dt tdt πππ=++==⎰⎰答案：B3、解 22:1(1)S z x y =+≤，方向为下侧，[221]S S S I y y dv dxdy -++Ω∑+=+=--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò32251133πππ=-⋅-⋅=-答案：A4、解1|(1)|nn n n a ∞∞==-=∑∑――A 错11||n n n n n a a ∞∞∞+====≥∑∑∑，发散 ――B 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===-=-≥∑∑∑，发散 ――C 错1111||||n nn n n n n a a +∞∞∞+===+=+=∑∑∑n n ∞∞===≈∑∑，收敛 ――D 对答案：D5、解 (0)(0)(3)()02S S S S ππππ-+-+===答案：D6、解1 2{(,)|cos 2}D r r θθ=≤，2.......Dxy dxdy =⎰⎰解2 ***22***Dxy dxdy dy xy dx +-==⎰⎰⎰⎰07、解()()()222222552323222cc c x xy y ds x y ds x y ds π-+=+=+=⋅=⎰⎰⎰蜒?5π8、2cos x P Qx e y y x∂∂=+=∂∂ 解1 2(2sin )(cos )0x x xy e y dx x e y dy +++= ⇒ 2(2)(sin cos )0x x xydx x dy e ydx e ydy +++= ⇒ 2()(sin )0x d x y d e y += 通解为：2sin x x y e y C +=解2 (,)2(0,0)(2sin )(cos )x y x x u xy e y dx x e y dy =+++⎰220(cos )sin y x x x e y dy x y e y =+=+⎰通解为：2sin x x y e y C +=9、()()div rot F F =∇⋅∇⨯u r u r ()5(2)(3)23xy zx y z x y z x y z yzxz xy∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂-∂-==++=∂∂∂∂∂∂-010、解1(1)n n n a x ∞=+∑的收敛半径2R =111(1)(1)(1)n n n n n n na x n a x ∞∞-+==⇒+=++∑∑的收敛半径2R =，11(1)n n n n a x ∞+=⇒+∑的收敛半径R =211、32332x x u z e yz e yz x x∂∂=+∂∂ 323232()3x x zyze yz e yz e xy+=+--+ (0,1,1)u x -∂⇒∂121232()333e e--=--=--12、解 12112xy yI dy ye dx =⎰⎰1212()y e e dy =-⎰21(2)2e e =-13、解 1C : 0y =（:15x →），11CC C C +=-⎰⎰⎰Ñ51[(2Dy dxdy xdx =+⋅--⎰⎰⎰512Ddxdy xdx =-⎰⎰⎰12512222π-=⋅⋅-212π=-14、解1(1) xzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰(2) yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰ √yzSD S dS ==⎰⎰⎰⎰（yz D ：0z =,z y =和1y =所围成的三角形区域）100dy =⎰⎰10==⎰ 解2:(01)C y x =≤≤c c S zds yds ==⎰⎰0=⎰012==⎰z 11Oz15、合一投影法：{}{}{}(cos cos cos ),,cos ,cos ,cos ,,xyD Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dSP Q R dS P Q R ndxdyαβγαβγ∑∑∑++=++=⋅=±⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰v其中 {}(,),,,1x y z z x y n z z ==--v解1 合一投影法：原式{}{}2223,,22,2,1x y yx y z x y dxdy +≤=--⋅-⎰⎰2222(1)1(622)x y x y z dxdy +-≤=-+⎰⎰222(1)18x y x dxdy +-≤=⎰⎰22222221184()u v u v u dudv u v dudv +≤+≤==+⎰⎰⎰⎰14224ππ=⋅⋅= 解2 Gauss 公式设22:2()z y x y z ∑=+≤，取上侧，则原式SS +∑∑==-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ò()31232dV xdydz ydzdx zdxdy Ω∑=-----⎰⎰⎰⎰⎰22222442z x y yx z zdxdz ydxdy +≤+≤=-+⎰⎰⎰⎰ 22222(1)1()122(1)[4(1)4]2z x y x z dxdz y dxdy -+-≤+≤-=-++-+⎰⎰⎰⎰ 2222112(1)4[1]u v u v v dudv v dudv +≤+≤=-+++⎰⎰⎰⎰22122u v dudv π+≤==⎰⎰16、解 对级数10(1)321n n nn yn +∞=-+∑，1233321n n u n u n ++=⋅→+，13R =,13y =-时，100(1)313()21321n n n n n n n +∞∞==--=++∑∑发散， 13y =时，100(1)31(1)3()21321n n n nn n n n +∞∞==--=++∑∑收敛， 得10(1)321n n nn y n +∞=-+∑的收敛域为：11(,]33-，故原级数的收敛域为：22211,332x x -⎛⎤∈- ⎥+⎝⎦， 即 (][)2,11,2x ∈--⋃.17、解()()()2111(1)11()1913nnn n n nn n n ∞∞==-+-=-++∑∑11111919nnn n n ∞∞==⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑∑ 11911|101n x n x n ∞=-==--+∑()101111111()11x n n n n n n S x x x x dx n x n x ∞∞∞+======++∑∑∑⎰011()[ln(1)]1x x dx x x x x x==----⎰ ()()21113n n n nn ∞=-⇒+∑1111109109(ln )9ln 1091099109S ⎛⎫=---=-+-=- ⎪⎝⎭18、证 (1)22343232,22.2n n a a a a a a -==+<=<假设， 121122,3:2n n n n n n n a a a a n a --+-=+<<∀><则故.(2) 11211222n n n n n a x x x ----<=,故当12x <时，级数 11n n n a x ∞-=∑（绝对）收敛.111212231()n n n n n n S x a a x a xa a x a x ∞∞-++===++=++∑∑111111n n n n n n x a xa x ∞∞+++===+++∑∑211121n n n n n n x x a xx a x ∞∞--===+++∑∑21()[()1]x x S x x S x =+++-211x x=--。
上海交通大学《高等数学》2006-2007学年期末试卷
1上海交通大学《高等数学》2006-2007 学年期末考试及答案一、 单项选择题 （每小题3分， 共 15分） 1. 设 xoy 平面上区域D ={(x , y )| x 2+y2≤1, y ≥ x }， D 1 是D 在第一象限的部分， 则∫∫(xy 3 +sin 2 x sin y )dxdy 等于 （ ）D（A ） 2 ∫∫ sin 2 x sin ydxdy ； D （C ） 4 ∫∫ (xy 3 + sin 2 x sin y )dxdy ；D 解 ∫∫(xy 3 + sin 2 x sin y )dxdyD= ∫∫ xy 3dxdy + ∫∫ sin 2x s in y dxdyD D= 2 ∫∫ sin 2x sin ydxdyD 答案： A（B ） 2 ∫∫ xy 3dxdy ；D （D ） 0 .2. 设 Ω ={(x , y , z ) | x 2+ y 2+ z2≤ 1}， 则三重积分∫∫∫e xdv = （ ）Ω（A ） ； （B ） π； （C ）； （D ） 2π .解 1 e xdv >dv = π， 排除答案 A 、 B ； 猜： C 或 De |x | : 1 → 2.718， 3π/ 4π = 1.125， 2π/ 4π= 1.52 3 3答案： D解 2 ∫∫∫ e xdv = ∫1 dx ∫∫ e xdydzΩ y 2 +z 2 ≤1−x 2= ∫1πe x (1 − x 2 )dx = 2π∫01e x (1 − x 2 )dx= −2π+4π∫01xe x dx= −2π+4πe − 4π(e − 1) = 2π答案： D解 3 ∫∫∫e xdv = ∫∫∫e zdv = ∫02πd θ∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρΩ Ω= 2π∫0ππππd ϕ∫01eρcos ϕρ2sin ϕd ρD 1111π= 2π∫1d ρ[∫02 e ρcos ϕρ2 sin ϕd ϕ+∫ππππππππe −ρcos ϕρ2sin ϕd ϕ] 2= 2π∫01d ρ[ −ρe ρcos ϕ02 +ρe −ρcos ϕ|ϕϕ=ππππππππ] 2= 4π∫01ρ(e ρ − 1)d ρ= 2π答案： D3. 设 F = y i + zj + x k ,则 rot F = （ ）（A ）i + j + k ； （B ）−( i + j + k )； （C ）i − j + k ； （D ）−i + j − k .解 rot F = ∂ ∂ ∂( −1, −1, −1)答案： B4. 幂级数x n 在收敛域[ −1,1) 上的和函数s (x ) = （ ）（A ）ln(1 − x )； （B ）− ln(1 − x )； （C ）− ； （D ）−x ln(1 − x ) .解x n = xx n −1 = x ∫0x(x n −2 )dx= x ∫0x()dx = −x ln(1 − x )答案： D1,π 0 ≤ x <2≤ x ≤π展开成正弦级数， 其和函数s (x ) =b n sin nx ， 则s (−) =（A ） −1； （B ） −2；（C ） 1；（ ）（D ） 2 .解 s (− 9π) = s (−π) = −s (π) = − 1 + 3= −22 2 2 2 答案： B二、 填空题 （每小题3分， 共 15分） 6. 设 u = z +,则div (grad u ) = .∂x ∂y ∂zϕ=π5. 设函数f (x ) = 45 − x , π解 div (grad u ) = div (x , y,1)x 2 + y 2 x 2 + y 2x 2 + y 2 − x ⋅ x x 2 + y 2 − y ⋅y= ( x 2 + y 2 ) + ( x 2 + y 2 ) + 0y 2 + x 2 1= =7. 设 f (x ) 是连续函数，F (t ) = ∫∫∫ f (x 2 + y 2 + z 2 )dv ，F ′(t ) = .x 2 +y 2 +z 2 ≤t 2解 F (t ) = 2π⋅ 2 ⋅ ∫0tf (ρ2 )ρ2d ρ， F ′(t ) = 4πt 2 f (t 2)8. 设 C 为曲线x = e t cos t , y = e t sin t , z = e t 上对应于t 从0 变到2 的这段弧， 则曲线积分ds = .解 该积分 = ∫02dt= ∫02dt =(1 − e −2)9. 全微分方程(x +y − 1)dx +(e y +x )dy = 0 的通解为 .解 1 (x + y − 1)dx + (e y + x )dy = 0⇒ (x − 1)dx +(ydx +xdy )+e y dy = 0⇒ d () +d (xy )+d (e y ) = 0⇒ 通解：+xy +e y = C解 2 u = ∫(x + y − 1)dx + (e y + x )dy= ∫0x(x − 1)dx + ∫0y(e y+x )dy=+ xy +e y − 1⇒ 通解：+xy +e y − 1 = Cx 2 + y 2 x 2 + y 2(x 2 + y 2 ) x 2 + y 2 x 2 + y 210. 级数 的敛散性为 .解 un +1 == n + 1 = 1， 收敛u n n ! (2n + 1)(2n + 2) 2(2n )!三、计算下列各题 （第 1小题6分， 第2 小题8分, 共 14分） 11. 设 z 是方程x +y − z = e z所确定的x , y 的隐函数， 求∂2z解 ∂z = − 1 = 1 ∂z = − 1 =1 ∂x −1 − e z 1 + e z，∂y −1 − e z 1 +e z= () y = −= − = −12. 计算曲面z = y 2 − x 2 夹在圆柱面x 2 +y 2 = 1 和x 2 +y 2 = 9 之间部分 的面积.解 1 +2+ 2=， 则所求面积I = ∫∫dxdy1≤x 2 +y 2 ≤9 = ∫02πd θ∫13rdr= 2π⋅ (1 + 4r 2 ) |13 = (37 − 5)四、计算下列各题 （每小题 10分， 共30分）13. 计算曲线积分(x +e sin y )dy − (y − )dx ， 其中C 是位于第一象限中的直线x +y = 1 与位于第二象限中的圆弧x 2 +y 2 = 1 构成的曲线， 方向从A (1, 0) 经过B (0,1)， 再到C (−1, 0) .解 L ： y = 0， 方向从(−1, 0) 到(1, 0)， 并记C + L 所围区域为D ， 则所求曲线积分I = −∫C +L L= 2dxdy − ∫−1 2dx∂x ∂y .1 1π π2 214. 试求参数λ， 使当曲线C 落在区域D ={(x , y )| y > 0}时， 曲线积分(x 2 +y 2 )λdx −(x 2 +y 2 )λdy 与路径无关， 并求u (x , y ) = ∫(x 2 + y 2 )λdx −(x 2 + y 2 )λdy .解 记P =(x 2 + y 2)λ， Q = −(x 2 + y 2)λ， 则∂P2λxy 2 (x 2 + y 2)λ−1− x (x 2 + y 2)λ=∂Q 2x (x 2 + y2)λ+ 2λx 3 (x 2 + y 2)λ−1= −= ⇒ 2λxy 2 + x (x 2 + y 2 ) + 2λx 3 = 0⇒λ= −解 1 = ⇒ u =+ϕ(y )= −及 u (0,1) = 0 ⇒ u =− 1解 2 u (x , y ) = ∫dx −dy= ∫1y0dy + ∫0xdxx 2 + y 2y15. 求 ∫∫2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy ， 其中Σ 为Σz = 与 z = 所围立体表面的外侧.解 记Σ 所围立体为Ω， 则∫∫ 2xzdydz + yzdzdx − z 2dxdy = ∫∫∫ zdxdydzΣ Ω∂x y 2∂P ∂Q∂y ∂x ∂y y 2= − 1= + 1 − 1 == zdz dxdy +∫ 22 2zdz dxdyx 2 +y 2 ≤z 2 x 2 +y 2 ≤8 −z 2= ∫02z ⋅πz 2dz + 2z ⋅π(8 − z 2 )dz = 8π 五、（本题 10 分） 16. 将函数f (x ) =展开为x − 1 的幂级数.解 f (x ) =4x − 3 = 2 +12 1 1= ⋅ −3 1 +1 − (x − 1)= −n(x − 1)n −(x − 1)n=( −1)nn +1− 1 (x − 1)n， 0 < x < 2六、（本题8 分） 17. 设 f (x ) =(x − 1)n ， 求f (n ) (1) .解 f (x ) = (x − 1)nf (k ) (1) =， (k = 0,1, 2, )f (n ) (1) == e −1七、（本题8 分）18. 设 f (x ) 在(−1,1) 内具有三阶连续导数， 且f ′′′(0) ≠ 0， 证明： 级数∞ 1 1绝对收敛.(2x +1)(x − 2) 2x +1 x − 22 1 2(x − 1) +3 (x − 1) − 1 = + 证明 lim x →∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n( )( ) = lim = > 0→ lim n f n 1 − f − n 1− 2f ' 0= f ''' 0 > 0f (x ) − f ( −x ) − 2xf '(0) f ′(x ) + f ′( −x ) − 2f '(0) f ′′(x ) − f ′′( −x ) ( ) ( )x →0 6 3( ) n →∞ 1 32故由级数收敛， 可知级数∞ 1 1n lim 3 x →0 xlim 2 ∑ {n [f ( ) − f ( − )] − 2f ′(0)}n =1 n n绝对收敛.x →0 3x limx →0 6x ===f ′′′ x + f ′′′ −x f ''' 0。
2007年上海交通大学自主招生保送生测试数学试卷
2007年上海交通大学冬令营选拔测试
数学试题
说明：考试时间2小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予A的认定。
满分l00分。
一、填空题
1．设函数满足，则．
2．设均为实数，且，则．
3．设且n≠1，则方程的解的个数为．
4．设扇形的周长为6，则其面积的最大值为．
5．．
6．设不等式与的解集分别为和．若，则
的最小值为.
7．设函数，则．
8．设n≥0，且函数的最大值为，则
．
9．6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为．
10．已知函数，对于，若，则
=.
二、计算与证明题
11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径，工人用三个半径均为的圆柱形量棒放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面
到中间量棒顶侧面的垂直深度，试写出用表示的函数关系式，并计算当，时，的值
12．设函数，试讨论的性态(有界性、命偶性、单调性和周期性)，求其极值，并作出其在内的图像．
13．已知线段长度为3，两端均在抛物线上，试求的中点到轴的最短距离和此时点的坐标．
14．设，试证明对任意实数：
(1)方程总有相同实根；
(2)存在，恒有．
15．已知等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为，
，其中均为正整数，且．
(1)求的值；
(2)若对于，存在关系式。
试求的值；
(3)对于满足(2)中关系式的，试求.。
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x 2
． ． ．
1 1 − = a b
3．设 a＞0 且 n≠1，则方程 a + 1 = − x + 2 x + 2a 的解的个数为 4．设扇形的周长为 6，则其面积的最大值为 5． 11!+ 22!+ 33!+ … + nn ! = ． ．
6．设不等式 x( x − 1)≤y (1 − y ) 与 x 2 + y 2 ≤k 的解集分别为 M 和 N ．若 M ∈ N ，则 k 的最小值为 7．设函数 f ( x) = .
答案与解析索取 邮箱：iienglish@
| x| ，则 S = ． 1 + 2 f ( x) + 3 f 2 ( x) + … + nf n −1 ( x) = x 25 8． 设 n≥0 n≥0， 且函 数 f ( x) = 则n = (a + cos x)(a + sin x) 的最大值为 ， 2
．
9．6 名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定， 且每人答完后立即交卷离开座位， 则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生 的概率为 ． 10 ． 已 知 函 数 f ( x) =
2x −1 ， 对 于 f n +1 ( x) = f1 ( f n ( x)) ， 若 f 35 ( x) = f 5 ( x) ， 则 x +1
f 28 ( x) =
.
二、计算与证明题 11．工件内圆弧半径测量问题．为测量一工件的内圆弧半径 R ，工人用三个半径均为 r 的圆柱形量棒 O1 , O2 , O3 放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面 到 中 间 量 棒 O2 顶 侧 面 的 垂 直 深 度 h ， 试 写 出 用 R 表 示 h 的 函 数 关 系 式 ， 并 计 算 当
2007 年上海交通大学冬令营选拔测试 数学试题
说明：考试时间 2 小时，考生根据自己情况选题作答，综合优秀或单科突出给予 A 的 认定。满分 l00 分。 一、填空题 1．设函数 f ( x) 满足 2 f ( x) + f (2 − 3 x) =6 x + 1 ，则 f ( x) = 2．设 a, b, c 均为实数，且 2= 6= 4 ，则
13．已知线段 AB 长度为 3，两端均在抛物线 x = y 2 上，试求 AB 的中点 M 到 y 轴的 最短距离和此时 M 点的坐标．
14．设 f ( x) =(1 + a ) x 4 + x 3 − (3a + 2) x 2 − 4a ，试证明对任意实数 a ： (1)方程 f ( x) = 0 总有相同实根； (2)存在 x0 ，恒有 f ( x0 ) ≠ 0 ．
15 ．已知等差数列 {an } 的首项为 a ，公差为 b ，等比数列 {bn } 的= 1, 2, … ，其中 a, b 均为正整数，且 a1＜＜＜＜
(1)求 a 的值；
(2)若对于 {an },{bn } ，存在关系式 am + 1 = bn 。试求 b 的值； (3)对于满足(2)中关系式的 am ，试求 a1 + a2 + … + am .
r = 10mm ， h = 4mm 时， R 的值
答案与解析索取 邮箱：iienglish@
12．设函数 = f ( x) | sin x | + | cos x | ，试讨论 f ( x) 的性态(有界性、命偶性、单调性和 周期性)，求其极值，并作出其在 [0, 2π ] 内的图像．