含参函数的单调性讨论ppt课件
合集下载
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第四章第二节利用导数研究函数的单调性pptx课件北师大版
第四章
第二节 利用导数研究函数的单调性
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.结合实例,借助几何直观了
解函数的单调性与导数的关
系.
2.能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数
单调性有关的问题.
衍生考点
核心素养
1.研究不含参函数的
单调性
数学抽象
+1
(2)若-1≤a<0,由于 ≤0,所以
+1
(- )
.
2
+1
,
+∞
+1
0,
.
f'(x)<0,即 f(x)的单调递减区间是(0,+∞).
;
+1
(3)若 a<-1, >0,当 x∈
当 x∈
+1
, +∞
+1
0,
时,f'(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间是
且g(-2)=g(2)=2f(2)=0,g(0)=0.因为f(x)>0,所以当x>0时,由g(x)=xf(x)>0得
2.讨论含参函数的单
逻辑推理
调性
数学运算
3.与导数有关的函数
数学建模
单调性的应用
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的单调性与其导数的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数
第二节 利用导数研究函数的单调性
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.结合实例,借助几何直观了
解函数的单调性与导数的关
系.
2.能利用导数研究函数的单
调性,会求函数的单调区间.
3.能够利用导数解决与函数
单调性有关的问题.
衍生考点
核心素养
1.研究不含参函数的
单调性
数学抽象
+1
(2)若-1≤a<0,由于 ≤0,所以
+1
(- )
.
2
+1
,
+∞
+1
0,
.
f'(x)<0,即 f(x)的单调递减区间是(0,+∞).
;
+1
(3)若 a<-1, >0,当 x∈
当 x∈
+1
, +∞
+1
0,
时,f'(x)>0,所以 f(x)的单调递增区间是
且g(-2)=g(2)=2f(2)=0,g(0)=0.因为f(x)>0,所以当x>0时,由g(x)=xf(x)>0得
2.讨论含参函数的单
逻辑推理
调性
数学运算
3.与导数有关的函数
数学建模
单调性的应用
强基础 增分策略
知识梳理
1.函数的单调性与其导数的关系
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系:
(1)若在某个区间内,函数y=f(x)的导数f'(x)>0,则在这个区间内,函数
高中数学优质PPT课件含参函数的单调性与导数
x (1,1)时,3x2 [0,3).a 0.
解得a 0.
[变式1]函数f (x) ex (x2 ax a)在R 上单调递减,求实数a的值.
解 :
f (x)
x2
ax ex
a
,
f '(x)
(2x a) ex
(x2 e2x
ax a) ex
x2
(2 a)x 2a
ex
.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
[练3]函数f (x) 1 x3 1 ax2 (a 1)x 1 在区间(1,4)上单调递减, 32
在(6, )上单调递增, 求实数a的范围.
(法2) 析 : f (x) x2 ax a 1 (x 1)[ x (a 1)],
依题意, 在 (1,4) 内 f (x) 0, 在 (6,) 内 f (x) 0，
a 0是f (x) x3在(2,1)上递增,不合题意.a 0.
解 : f '(x) 3x2 a. 由题意得存在x (2,1), 使f '(x) 3x2 a 0.
即x (2,1)使a 3x2. x (2,1)时,3x2 [0,12). a 0.
1.已知函数的单调性求参数
例2.函数f (x) x3 ax在(2,1)内存在单调减区间,求a的取值范围.
1.已知函数的单调性求参数【类型一】
练1.函数f (x) 1 x2 9 ln x在区间[m 1, m 1] 上单调递减,则实数m的 2
取值范围是___________ .
析 :即f '(x) x 9 x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立. xx
即x2 9 0在[m 1, m 1]上恒成立.
由题意得f '(x) 0在R上恒成立.又ex 0,x2 (2 a)x 2a 0在R上恒成立.
《函数单调性的概念》PPT课件
内某个区间D上的图象，对于该 f(x2)
区间上任意两个自变量x1和x2，f(x1)
当x1<x2 时，f(x1)与 f(x2)的大 o
小关系如何？
y f (x)
f (x2)
f (x1)
x1 x2 x
思考4: 如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
O
x 精选课件ppt
5
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数．
精选课件ppt
17
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性.
• 变式：求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上 是增函数．
• 证明：设0≤x1<x2，则 • f(x1)－f(x2)＝2x－2x • ＝2(x1－x2)(x1＋x2)． • ∵0≤x1<x2， • ∴x1－x2<0，x1＋x2>0. • ∴f(x1)<f(x2)． • ∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．
用特值法，即给变量赋予特殊值．不过在这里
为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2
＋(x1－x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，
顺利地放缩即可． 精选课件ppt
24
我们如何用数学观点进行解释？
知识探究（一）
考察下列两个函数:
(1) f(x)=x;
y
(2) f(x)=－x 2
区间上任意两个自变量x1和x2，f(x1)
当x1<x2 时，f(x1)与 f(x2)的大 o
小关系如何？
y f (x)
f (x2)
f (x1)
x1 x2 x
思考4: 如何用x与f(x)来描述上升的图象？
y
O
x 精选课件ppt
5
如何用x与f(x)来描述上升的图象？
∴函数 f(x)＝x12在(－∞，0)上是增函数．
精选课件ppt
17
小结
利用定义确定或证明函数f(x)在给定的 区间D上的单调性的一般步骤：
1.取数:任取x1，x2∈D，且x1<x2； 2.作差:f(x1)－f(x2)； 3.变形:通常是因式分解和配方; 4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负; 5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的
单调性.
• 变式：求证：函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上 是增函数．
• 证明：设0≤x1<x2，则 • f(x1)－f(x2)＝2x－2x • ＝2(x1－x2)(x1＋x2)． • ∵0≤x1<x2， • ∴x1－x2<0，x1＋x2>0. • ∴f(x1)<f(x2)． • ∴函数f(x)＝2x2在[0，＋∞)上是增函数．
用特值法，即给变量赋予特殊值．不过在这里
为了比较f(x1)与f(x2)的大小，往往需要把x1用x2
＋(x1－x2)来代替，再注意到题目中所给的条件，
顺利地放缩即可． 精选课件ppt
24
我们如何用数学观点进行解释？
知识探究（一）
考察下列两个函数:
(1) f(x)=x;
y
(2) f(x)=－x 2
利用导数研究含参函数的单调性【公开课教学PPT课件】
3
2
y
y
y
-1 0 x
-1 a 0 x a -1 0 x
①当a=-1时
②当a>-1时
③当a<-1时
小结：当两根的大小不确定时，应进行分类讨论.
探究二
变式二：讨论函数f ( x) 1 x2 +(1 a)x a ln x的单调性. 2
y
y
0a
x a0 x
①当a>0时
②当a≤0时
小结：当根大小不确定时，应讨论根的大小及根是否在定义域内.
2、已知函数f ( x) ln x a ，求f ( x)的单调区间 x
3、已知函数f ( x) 1 ax2 x (a 1)ln x,讨论f ( x)的单调性 2
感谢您的指导
邱奉美
第三章 导数应用
利用导数研究含参函数的单调性
（第1课时）
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
3
2
探究一
变式一：讨论函数f ( x) 1 x3 1 a x2 ax 1的单调性.
0，x2
1
1)当 1 1即a 1时，f (x)在（0， ）上递增.
a
10 0a1 00
10
1 1
x 11
xx
1
xx
aa
2)当1 1即a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（ 1 ，1）上递减.
a
a
a
3)当1 1即0 a 1时，f (x)在（0，1）和（1， )上递增; f (x)在（1，1 ）上递减.
探究二
变式三：讨论函数f ( x) 1 x2 (a 1)x a ln x的单调性. 2
《函数单调性的性质》课件
单调性在求解不等式问题中的应用
总结词
详细描述
实例
利用单调性求解不等式问题
通过分析函数的单调性，可以将不等 式问题转化为函数值的大小比较问题 ，从而简化求解过程。例如，对于形 如$f(x) > g(x)$的不等式，可以通过 分析$f(x)$和$g(x)$的单调性，找到 满足不等式的$x$的取值范围。
判定函数单调性的导数方法
01
02
03
导数大于零
若函数在某区间内的导数 大于零，则函数在此区间 内单调递增。
导数小于零
若函数在某区间内的导数 小于零，则函数在此区间 内单调递减。
ห้องสมุดไป่ตู้
导数等于零
若函数在某区间内的导数 等于零，则需要进一步分 析函数在该点的左右极限 来判断函数的单调性。
判定函数单调性的其他方法
控制工程系统的稳定性
在工程控制领域，单调性的分析可以帮助工程师了解系统的稳定性，从而更好地进行系 统设计和控制。
提高生产效率
在生产过程中，通过对生产数据的单调性进行分析，可以帮助企业优化生产流程，提高 生产效率。
THANKS
感谢观看
实例
对于函数$f(x) = x^2$，其在区间$[0, +infty)$上是单调递增的，因此在该区间内函数的最小值为0，最 大值为正无穷大。
04 函数单调性与函 数其他性质的关 系
单调性与函数奇偶性的关系
总结词
单调性与奇偶性相互影响，奇函数在区间内单调递增或递减，偶函数在区间内单调递减或递增。
详细描述
复合函数单调性判定
利用同增异减原则，即内外函数的单调性相同，则复合函 数单调递增；内外函数的单调性不同，则复合函数单调递 减。
精选 《函数的单调性》完整版教学课件PPT
么参数的这个值应舍去;假设只有在个别点处有f'(x)=0,那么由
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
f'(x)≥0(或f'(x)≤0)恒成立解出的参数取值范围为最后解.
激趣诱思
知识点拨
3.解决该类问题常用的有关结论:
m≥f(x)恒成立⇔m≥f(x)max;
m≤f(x)恒成立⇔m≤f(x)min.
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)在区间(a,b)上,假设f'(x)>0,那么f(x)在此区间上单调递增,反之也
较大
较小
函数值变化
较快
较慢
函数的图象
比较“陡峭”(向上或向下)
比较“平缓”(向上或向下)
名师点析1.原函数的图象通常只看增(减)变化,而导函数的图象通
常对应只看正(负)变化.
2.导数的绝对值大(小)对应着原函数图象的陡峭(平缓).弄清楚两个
对应就能准确快速地分析函数图象的变化趋势与导数值大小的关
系.
解:①当a=0时,f(x)=x2+1,其单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为
(0,+∞).
2
②当 a<0 时,f'(x)=-ax2+2x.令 f'(x)>0,得(-ax+2)x>0,即 - x>0,得
2
2
2
x>0 或 x< ;令 f'(x)<0,得(-ax+2)x<0,即 - x<0,得 <x<0.故 f(x)的单
(2)函数定义域为R,f'(x)=ex-1.
知识点拨
四、解析式中含参数的函数单调区间的求法
函数解析式中含有参数时,讨论其单调性(或求其单调区间)问题,往
5.3.1函数的单调性(第一课时)课件(人教版)
利用导数判断含参函数的单调性
例
2：函数
f
(
x
)
1 ＝ ax
2－(
a＋1)
x
＋lnx
，a>0，试讨论函数
f(
x
)
的单调性．
2
解：函数的定义域为(0，＋∞),
1 ax2－(a＋1)x＋1 (ax－1)(x－1)
f′(x)＝ax－(a＋1)＋ ＝
＝
，
x
x
x
1
1
1
1，
①当 0<a<1 时， >1，∴x∈(0,1)和( ，＋∞)时，f′(x)>0；x∈ a 时，f′(x)<0，
a
a
1
1
0，
，1
∴函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减，
利用导数判断含参函数的单调性
综上所述，
1
1
，＋∞
1，
当 0<a<1 时，函数 f(x)在(0,1)和 a
上单调递增，在 a 上单调递减；
当 a＝1 时，函数 f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
1
1
0，
，1
当 a>1 时，函数 f(x)在 a 和(1，＋∞)上单调递增，在 a 上单调递减．
RART 02
函数的单调性与导数
函数的单调性
思考：视察下面一些函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.
y y＝x
O
x
(1)
y
y＝x2
O
x
(2)
y
y＝x3
O
x
y y＝x-1
O
x
(3)
函数函数的单调性课件
2023函数函数的单调性课件pptcontents •引言•函数的单调性•判定函数单调性的方法•应用•习题与练习•总结目录01引言课程简介课程名称函数函数的单调性适用对象高中数学及大学数学初学者课程目标掌握函数单调性的概念、分类、判定方法及其应用帮助学生学习函数单调性的基本知识和判定方法，能够正确判断函数的单调性，并解决相关问题。
函数单调性是函数的重要性质之一，对于理解函数的变化规律、解决函数的相关问题具有重要意义，同时也是学习微积分、概率统计等学科的基础。
目的意义目的和意义1教学方法23通过讲解、演示和图示等方法，使学生理解函数单调性的概念和判定方法。
理论教学通过典型例题的分析和求解，使学生掌握函数单调性的应用和解题技巧。
案例教学教师与学生进行互动，及时了解学生的学习情况并调整教学策略。
互动教学02函数的单调性函数的定义定义域自变量的取值范围对应关系给定自变量x，可以确定唯一因变量y函数关系一种对应关系，即对于自变量x的每一个确定的值，都有唯一确定的y值与之对应。
函数的图形表示直角坐标系以x为横轴，y为纵轴，描绘函数图形函数图形展现函数与自变量之间的变化关系单调递增单调递减单调区间当自变量x增大时，函数值y反而减小单调递增或递减的区间03单调性的定义02 01当自变量x增大时，函数值y也增大03判定函数单调性的方法最基础的判定方法总结词定义法是通过在函数定义域内任意取两个自变量，比较其对应的函数值大小，进而判断函数的单调性。
一般情况下，需要证明函数在定义域内满足以下条件：若$x_1<x_2$，则$f(x_1)<f(x_2)$，此时函数为增函数；若$f(x_1)<f(x_2)$，则$x_1<x_2$，此时函数为减函数。
详细描述总结词适用于较复杂函数的判定方法详细描述导数法是通过求出函数的导数，然后根据导数值的正负情况来判断函数的单调性。
函数在某区间内导数值大于0时，函数在该区间内单调递增；导数值小于0时，函数在该区间内单调递减。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
求函数的单调区间. 3 2
解： f，(x) x2 (2 a)x (1 a) (x 1)x (1 a)
令 f，(x) 0， x 1，x 1 a
x - 1
1a - 1 a
1
f，(x) + — +
+
—+
f (x)
综上：
(1)a 0， y f (x) 在 - ,1,1 a, ；1,1 a 。
f (1)
7
课堂总结
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的 习惯，使问题直观且有条理。 2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 是讨论 f，(x) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
x
x
令 f，(x) 0， x 1
x
0
1
f ，( x)
—+
f (x)
y f (x) 在 0,1；1， 。极小值点：x 1 3
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) x a ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域：0，
f，(x) 1 a x a xx
8
作业布置 请同学们认真完成导学案的自主练习
9
10
f ，( x)
+
—+
—
f (x)
综上：a 1
f
(1)
a
3 2
a
1 a e
a e
f (a)
a
ln a
e
1
3 2
f
(e)
1
a
a e
3 2
例题讲解
变式 2.求函数 f (x) e x 2ax 2, 在区间 0,1上的最小值
解：f，(x) ex 2a
(1)a 0； y f (x) 在0,1；f (x)min f (0) 3
(2)a 0； 令f，(x) 0， x ln(2a)
x ln(2a) 0 1 0 ln(2a) 1 0 1 ln(2a)
f ，( x)
+
—+
—
f (x)
综上：
0 a 1
2
f ( x)min
1
2
a
e 2
f (0) f ( x)min
a e 2 f (ln(2a)) f (x)min
高二数学组：吴娟
1
知识回顾
求函数 f (x)单调区间与极值的步骤如下：
(1)确定函数定义域； (2)求导数 f，(x) ；解方程 f，(x) 0 ；
（3）列表；
（4）结论应用； 单调区间:使不等式 f，(x) 0 成立的区间就是递 增区间, 使 f，(x) 0成立的区间就是递减区间。 极值:如果在 x0 附近的左侧 f，(x) 0 ，
(2)a 0， y f (x) 在 - ,1 a， 1， ；1 a,1 。
(3)a 0， y f (x) 在 R ；
5
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) ln x a , (a R)
若函数
f
(x)
在
x
1，e上的最小值是
3
，求
a
的值.
2
解：
f ，( x)
1 x
a x2
xa x2
xa 1 e1 a e 1 e a
右侧 f，(x) 0，那么 f (x0 ) 是极大值； 如果在 x0 附近的左侧 f，(x) 0 ， 右侧 f，(x) 0 ，那么f (x0 ) 是极小值．
2
例题讲解
例 1.已知函数 f (x) x2 2ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域：0，
f，(x) 2x 2 2(x 1)(x 1)
x
a
0
f ，( x)
+
f (x)
0
a
—+
综上：
(1)a 0， y f (x) 在 0， ； 无极值点。
(2)a 0， y f (x) 在 0, a；在 a, 。极小值点：x 4a
例题讲解
变式 1.已知函数 f (x) 1 x3 1 (2 a)x2 (1 a)x, (a R)
解： f，(x) x2 (2 a)x (1 a) (x 1)x (1 a)
令 f，(x) 0， x 1，x 1 a
x - 1
1a - 1 a
1
f，(x) + — +
+
—+
f (x)
综上：
(1)a 0， y f (x) 在 - ,1,1 a, ；1,1 a 。
f (1)
7
课堂总结
1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的 习惯，使问题直观且有条理。 2.讨论含参函数单调性时，先要明确函数的定义 域，然后对函数求导。讨论函数的单调性其实就 是讨论 f，(x) 在定义域内各区间的正负情况，从 而影响函数的单调性。比如，含参的一元二次函 数讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方 程的根时，依据根的大小进行分类讨论；在不能 通过因式分解求出根的情况时，还要根据判别式 进行分类讨论．
x
x
令 f，(x) 0， x 1
x
0
1
f ，( x)
—+
f (x)
y f (x) 在 0,1；1， 。极小值点：x 1 3
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) x a ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域：0，
f，(x) 1 a x a xx
8
作业布置 请同学们认真完成导学案的自主练习
9
10
f ，( x)
+
—+
—
f (x)
综上：a 1
f
(1)
a
3 2
a
1 a e
a e
f (a)
a
ln a
e
1
3 2
f
(e)
1
a
a e
3 2
例题讲解
变式 2.求函数 f (x) e x 2ax 2, 在区间 0,1上的最小值
解：f，(x) ex 2a
(1)a 0； y f (x) 在0,1；f (x)min f (0) 3
(2)a 0； 令f，(x) 0， x ln(2a)
x ln(2a) 0 1 0 ln(2a) 1 0 1 ln(2a)
f ，( x)
+
—+
—
f (x)
综上：
0 a 1
2
f ( x)min
1
2
a
e 2
f (0) f ( x)min
a e 2 f (ln(2a)) f (x)min
高二数学组：吴娟
1
知识回顾
求函数 f (x)单调区间与极值的步骤如下：
(1)确定函数定义域； (2)求导数 f，(x) ；解方程 f，(x) 0 ；
（3）列表；
（4）结论应用； 单调区间:使不等式 f，(x) 0 成立的区间就是递 增区间, 使 f，(x) 0成立的区间就是递减区间。 极值:如果在 x0 附近的左侧 f，(x) 0 ，
(2)a 0， y f (x) 在 - ,1 a， 1， ；1 a,1 。
(3)a 0， y f (x) 在 R ；
5
例题讲解
例 2.已知函数 f (x) ln x a , (a R)
若函数
f
(x)
在
x
1，e上的最小值是
3
，求
a
的值.
2
解：
f ，( x)
1 x
a x2
xa x2
xa 1 e1 a e 1 e a
右侧 f，(x) 0，那么 f (x0 ) 是极大值； 如果在 x0 附近的左侧 f，(x) 0 ， 右侧 f，(x) 0 ，那么f (x0 ) 是极小值．
2
例题讲解
例 1.已知函数 f (x) x2 2ln x, (a R) ,
求函数的单调区间与极值点.
解： 函数的定义域：0，
f，(x) 2x 2 2(x 1)(x 1)
x
a
0
f ，( x)
+
f (x)
0
a
—+
综上：
(1)a 0， y f (x) 在 0， ； 无极值点。
(2)a 0， y f (x) 在 0, a；在 a, 。极小值点：x 4a
例题讲解
变式 1.已知函数 f (x) 1 x3 1 (2 a)x2 (1 a)x, (a R)