数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章(20200511214800)
2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc
第六章 微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。
2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。
3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。
4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。
5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。
6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。
12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。
13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。
14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。
15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。
16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22
习 题 二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ， 其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16+17
1 ⎧ 2 2 ( x , y ) ≠ 0,0) ⎪( x + y ) sin 2 f ( x, y) = ⎨ x + y2 ⎪ 0 ( x , y ) = (0,0) ⎩
在 ( 0,0) 处的可微性与偏导数的连续性． 47．设函数 u = f ( x , y ) 满足拉普拉斯方程
12．求下列函数的全微分． (1) z = x y
2 3
(2) z =
xy x−y ⎛ x+ y⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 1 − xy ⎠
(3) z = arcsin 13．求 z = xy sin 14．求 z =
y x 1 x + y2
2
(4) z = arctan⎜ ⎜ 在点 (0,1) 的全微分．
y ，当 x = 2 ，y = 1，Δx = 01 . ，Δy = −0.2 时的全增量 Δz 与全 x du ； dt
2 2 2
(3) u = ln( x +
y 2 + z 2 ) 从点 A ( 1 , 0 , 1 ) 到点 B ( 3 , − 2 , 2 ) 的方向.
2 2
27. 求函数 z = x + y 在点 p ( 1 , 2 ) 处的最大方向导数. 28. 求下列函数的梯度 (1) z =
4 + x 2 + y 2 在点 ( 2 , 1 ) ;
(2) z = x y − xy ，其中 x = u cos v，y = u sin v ，求
3
∂ 2z 17．设 z = yf ( x − y ) ，求 2 ． ∂y
2 2
18．求由下列方程确定的函数 y ( x ) 的导数． (1) x + 2 xy − y = a (3) xy − ln y = a
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(00='=x f x f ，试求极限 xx x f x ∆+∆→∆)(lim00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f 在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线： （1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p xy ==7、求下列函数的导函数：⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f x x f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数）， 试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导；（3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何R x x ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
13、证明：若)(0x f '存在，则 )(2)()(lim0000x f xx x f x x f x '=∆∆--∆+→∆14、证明：若函数f 在[a,b]上连续，而且f(a)=f(b)=K ，0)()(>''-+b f a f ，则在(a,b)内至少有一点ξ，使K f =)(ξ。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章
第六章 微分中值定理与其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数,则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________. 2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ,则=a ______,=b ______. 3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________. 4．设2442-+=xx y ,则曲线在拐点处的切线方程为___________. 5．=-+→x ex xx 10)1(lim ___________. 6．设)4)(1()(2--=x x x x f ,则0)(='x f 有_________个根,它们分别位于________区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ； 9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______,极大值是_______.12．设x xe x f =)(,则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________.13．已知bx ax x x f ++=23)(,在1=x 处取得极小值2-,则=a _______,=b _____.14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点,则=k ________.15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ,n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值,则=∞→n n M lim ___________.16．设)(x f 在0x 可导,则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 与2=x 取得极值,则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______,最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小.26．曲线)1ln(x e x y +=的渐近线为__________.二.选择填空1．曲线2)5(35+-=x y 的特点是< >.A.有极值点5=x ,但无拐点B.有拐点)2,5(,但无极值点C.5=x 是极值点,)2,5(是拐点D.既无极值点,又无拐点2．奇函数)(x f 在闭区间[]1,1-上可导,且M x f ≤)(',则< >. A.M x f ≥)( B.M x f >)( C.M x f ≤)( D.M x f <)(3．已知方程)0(122>=+y y y x 确定y 为x 的函数,则< >.A.)(x y 有极小值,但无极大值B.)(x y 有极大值,但无极小值C.)(x y 即有极大值又有极小值D.无极值4．若)(x f 在区间),[+∞a 上二阶可导,且0)(>=A x f ,,0)('<a f 0)(<''x f )(a x >,则方程0)(=x f 在()+∞,a 内< >A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根 5．已知)(x f 在0=x 处某邻域内连续,2cos 1)(lim0=-→xx f x ,则在0=x 处)(x f < >.A.不可导B.可导且2)0('=fC.取得极大值D.取得极小值6．设函数)(x f 在区间[)+∞,1内二阶可导,且满足条件0)1()1(='=f f ,1>x 时0)(<''x f ,则xx f x g )()(=在[)+∞,1内< > A ．必存在一点ε,使0)(=εfB ．必存在一点ε,使0)(='εfC ．单调减少 D. 单调增加7．设)(x f 有二阶连续导数,且0)0(='f ,1)(lim 0=''→xx f x ,则< > A ．)0(f 是)(x f 的极大值 B.)0(f 是)(x f 的极小值C ．())0(,0f 是曲线)(x f y=的拐点 D ．)0(f 不是)(x f 的极值,())0(,0f 也不是曲线)(x f y =的拐点8．若)(x f 和)(x g 在0x x =处都取得极小值,则函数)()()(x g x f x F +=在0x x =处< >A ．必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定9．设)(x y y =由方程03223=+-by y ax x 确定,且1)1(=y ,1=x 是驻点,则< >A.3==b aB.25,23==b aC.21,23==b a D.3,2-=-=b a 10．曲线22)3()1(--=x x y 的拐点的个数为< >A.0B.1C.2D.311．)(),(x g x f 是大于0的可导函数,且0)(')()()('<-x g x f x g x f ,则当b x a <<时有< >A ．)()()()(x g b f b g x f > B.)()()()(x g a f a g x f >C.)()()()(b g b f x g x f >D.)()()()(a g a f x g x f >12．曲线()()211arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< > A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条13．q x x x f ++=2)(3的O 点的个数为< >A ．1 B.2 C.3 D.个数与q 有关14．曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==111t b t x 则曲线< > A ．只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C ．无渐近线 D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15．设)(x f y =为0sin =-'+''x ey y 的解,且0)(0='x f ,则)(x f 有< > A ．0x 的某个邻域内单调增加B ．0x 的某个邻域内单调减少C ．0x 处取得极小值D ．0x 处取得极大值16. 罗尔定理中的三个条件;)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,且)()(b f a f =是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ,使得0)(='ξf 成立的< >.)(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要17. 下列函数在],1[e 上满足拉格朗日中值定理条件的是< >.)(A );ln(ln x )(B x ln ; )(C xln 1; )(D )2ln(x -; 18. 若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且21,x x 是),(b a 内任意两点,则至少存在一点ξ使得下式成立< >.)(A )()()()(2112ξf x x x f x f '-=-),(b a ∈ξ;19. 设)(x f y =是),(b a 内的可导函数,x x x ∆+,是),(b a 内的任意两点,则< > .)(B 在x x x ∆+,之间恰有一个ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(C 在x x x ∆+,之间至少存在一点ξ,使得x f y ∆'=∆)(ξ)(D 对于x 与x x ∆+之间的任一点ξ,均有x f y ∆'=∆)(ξ20.若)(x f 在开区间),(b a 内可导,且对),(b a 内任意两点21,x x 恒有21212)()()(x x x f x f -≤-,则必有< >.)(C x x f =)()(D c x f =)( <常数>21. 已知函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ,则方程)(x f '0=有< >.)(A 分别位于区间)4,3(),3,2(),2,1(内的三个根;)(B 四个根,它们分别为4,3,2,14321====x x x x ;)(C 四个根,分别位于);4,3(),3,2(),2,1(),1,0()(D 分别位于区间)4,1(),3,1(),2,1(内的三个根;22. 若)(x f 为可导函数,ξ为开区间),(b a 内一定点,而且有0)()(,0)(≥'->x f x f ξξ,则在闭区间],[b a 上必总有< >.23. 若032<-b a ,则方程0)(23=+++=c bx ax x x f < >. )(A 无实根 )(B 有唯一实根 )(C 有三个实根 )(D 有重实根24. 若)(x f 在区间],[+∞a 上二次可微,且,0)(,0)(<'>=a f A a f 0)(≤''a f <a x >>,则方程0)(=x f 在],[+∞a 上< >.)(A 没有实根 )(B 有重实根 )(C 有无穷多实根 )(D 有且仅有一个实根25. 设)()(lim 0x g x f x x →为未定型,则)()(lim 0x g x f x x ''→存在是)()(lim 0x g x f x x →也存在的< >. )(A 必要条件 )(B 充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件26. 指出曲线23x x y -=的渐近线< >. )(A 没有水平渐近线,也没有斜渐近线;)(B 3=x 为垂直渐近线,无水平渐近线;)(C 既有垂直渐近线,又有水平渐近线;)(D 只有水平渐近线.27 曲线)2)(1(1arctan 212+-++=x x x x e y x 的渐近线有< >. )(A 1条 ; )(B 2条 ; )(C 3条 ; )(D 4条 ;28． 函数x x a x f 2cos 21cos )(-=在3π=x 取得极值,则=a 〔 〕. )(A 0 ； )(B 21 ； )(C 1 ； )(D2 . 29． 下列曲线集邮水平渐近线,又有垂直渐近线的是〔 〕.)(A xx x x f +=32sin )( ； )(B 13)(2-+=x x x f ； )(C )3ln()(xe xf -= ； )(D 2)(x xe x f -=. 30． x x x -→111lim =〔 〕.)(A 1 ； )(B 1-e ； )(C e ； )(D ∞ .三、计算题1. 试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点ξ使得f ′<ξ>=0：〔1〕f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≤<0;x 0,,π1x ,0x 1xsin〔2〕f<x>=|x|, —|≤x ≤|.2. 求下列不定式极根: <1>x sin 1e lim x 0-→x ; <2> x cos 2sinx -1lim 6x x →; <3> 1-cosx x -x)1n(1lim 0+→x ; <4> sinx-x x -tgx lim 0→x ; <5> 5sec 6-tgx lim 2+→x x x ; <6> )11x 1(lim 0--→x x e ; <7> sinx 0)tgx (lim +→x ; <8> x -111lim x x →; <9> x 12)1(lim x x ++∞→; <10> x x x ln sin lim 0+→; <11> )sin 1x 1(lim 220xx -→; <12> 210)x tgx (lim x x →.3.求下列不定式极限: <1>2sin 1)1cos(ln lim 1x x x π--→; <2>x 2arctgx)ln (πlim x -+∞→; <3> x x x sin 0lim +→ <4> x tg x x tgx 24)(lim → <5> xx x x x 1)1ln(lim 2)1(0-++→ <6> )1(lim 0xctgx x -→; <7> x e x xx -+→10)1(lim ; <8> x x ln 1)arctgx 2(lim -+∞→π.4. 求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式:<1> f<x>=x 3+4x 2+5,在x=1处; <2> f<x>=,11x+在x=0处; <3> f<x>=cosx 的马克林公式.5. 求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式：〔1〕f<x>=arctgx 到含x 5的项；〔2〕f<x>=tgx 到含x 5的项.6.求下列极限: <1>⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-∞→→)11ln(lim )2(;)1(sin lim 230x x x x x x x e x x x ; <3>ctgx)x1(x 1lim 0x -→. 7. 估计下列近似公式的绝对误差: <1>21||,6sin 3≤-≈x x x x 当; <2>,82112x x x -+≈+当x ∈[0,1]. 8. 计算: <1>数e 准确到10-9;<2>lg11准确到10-5.1. 确定下列函数的单调区间:<1> f<x>=3x-x 3; <2> f<x>=2x 2-lnx; <3> f<x>=22x x -; <4> f<x>=x x 12-. 9. 求下列函数的极值.<1> f<x>=2x 3-x 4; <2> f<x>=212x x +; <3>f<x>=x nx)(|2; <4> f<x>=arctgx-21ln<1+x 2>. 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:<1> y=x 5-5x 4+5x 3+1,[-1,2];<2> y=2tgx-tg 2x, [0,2π]; <3> y=x lnx, <0,+∞>.11. 把长为1的线段截为两段, 问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大?12. 一个无盖的圆柱形容器, 当给定体积为V 时, 要使容器的表面积为最小, 问底的半径与容器的高的比例应该怎样?13. 设用某仪器进行测量时,读得n 次实验数据为a 1,a 2,…, a n .问以怎样的数值x 表达所要测量的真值,才能使它与这n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值:<1> f<x>=|x<x 2-1>|; <2> f<x>=1)1(242+-+x x x x ;<3> f<x>=<x-1>2<x+1>3. 15. 设f<x>=alnx+bx 2+x 在x 1=1,x 2=2处都取得极值;试定出a 与b 的值;并问这时f 在x 1与x 2是取得极大值还是极小值?16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上A 城运往与运河相距为BC=a 千米的B 城<见图7-1>.轮船运费的单价是α元/千米.火车运费的单价是β元/千米<β>α>,试求运河边上的一点M,修建铁路MB,使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点:<1> y=2x 3-3x 2-36x+25; <2> y=x+x 1; <3> y=x 2+x1; <4> y=ln<x 2+1>; 19. 问a 和b 为何值时,点<1,3>为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：〔1〕方程x 3—3x+c=0〔这里C 为常数〕在区间[0,1]内不可能有两个不同的实根；〔2〕方程x n +px+q=0<n 为自然数,p,q 为实数>当n 为偶数时至多有两个实根；当n 为奇数时至多有三个实根.2. 证明：〔1〕若函数f 在[a,b]上可导,且f '<x>≥m,则f<b>≥f<a>+m<b-a>;<2>若函数f 在[a,b]上可导,且|f '<x>|≤M,则|f<b>-f<a>|≤M<b-a>；〔3〕对任意实数x 1,x 2,都有|sinx 1-sinx 2|≤|x 1-x 2|.3. 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：〔1〕aa b a b n b a b -<<-1,其中0<a<b; 〔2〕21h h +<arctgh<h,其中h>0. 4. 设函数f 在[a,b]上可导.证明：存在ξ∈〔a,b 〕,使得2ξ[f<b>-f<a>]=<b 2-a 2>f '<ξ>.5. 设函数在点a 具有连续的二阶导数.证明：)('')(2)()(20lim a f ha f h a f h a f h --++→. 6. 试讨论函数f<x>=x 2,g<x>=x 3在闭区间[-1,1]上能否应用柯西中值定理得到相应的结论,为什么？7. 设0<α<β<2π,试证明存在θ∈<a,b>,使得 ctg aa =--cos cos sin sin ββθ. 8. 设h>0,函数f 在[a-h,a+h]上可导.证明：〔1〕)(f')(f'hh)f(a h)f(a h a h a θθ--+=--+,θ∈〔0,1〕； 〔2〕)('f )('f h h)f(a f(a)h)f(a h a h a θθ--+=-+-+,θ∈〔0,1〕. 9. 以S<x>记由〔a,f<a>〕,<b,f<b>>,<x,f<x>>三点组成的三角形面积,试对S<x>应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.10. 若函数f, g 和h 在[a,b]上连续,在〔a,b 〕内可导,证明存在实数ξ∈<a,b>,使得)(h' )(g' )(f'h(b) g(b) f(b)h(a)g(a) f(a)ξξ ξ=0.再从这个结果导出拉格朗日中值定理和柯西中值定理.11. 设f 为[a,b]上二阶可导函数,且f<a>=f<b>=0,并存在一点c ∈〔a,b 〕使得f<c>>0.证明至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f ''<ξ><0.12. 证明达布定理：若f 在[a,b]上可导,且f '<a>≠f '<b>,k 为介于f '<a>与f '<b>之间的任一实数,则至少存在一点ξ∈<a,b>,使得f '<ξ>=k.13. 设函数f 在〔a,b 〕内可导,且f ＇单调.证明f ＇在〔a,b 〕内连续.14. 证明：设f 为n 阶可导函数,若方程f 〔x 〕=0有n+1个相异实根,则方程f <n><x>=0至少有一个实根.15. 设p<x>为多项式,α为p<x>=0的r 重实根.证明：α必定是p ＇<x>=0的r-1重实根.16. 证明：〔1〕设f 在〔a,+∞〕上可导,若f(x)lim +∞→x 和(x)f'lim +∞→x 都存在,则(x)f'lim +∞→x =0;<2>设f 在<a,+∞>上n 阶可导.若f(x)lim +∞→x 和(x)f lim k+∞→x 都存在,则 (x)f lim k +∞→x =0,<k=1,2,…,n>.17. 设函数f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数,试应用罗比塔法则证明:18. 对函数f 在区间[0,x]上应用拉格朗日中值定理有f<x>-f<0>=f ＇<θx>x,θ∈<0,1>. 试证对下列函数都有21lim 0=→θx ; <1> f<x>=ln<1+x>; <2> f<x>=e x .19. 设f<0>=0,f ＇在原点的某邻域内连续,且f ＇<0>=0.证明:1lim f(x)0=+→x x .20. 证明定理6.5中0g(x)lim 0,f(x)lim x x ==+∞→+∞→情形时的罗比塔法则:若<i> 0)(lim ,0fx lim ==+∞→+∞→x x x <ii> 存在M 0>0,使得f 与g 在<M0,+∞>内可导,且g ＇<x>≠0; <iii> A (x )g'(x )f'lim (x )g'(x )f'lim x x ==+∞→+∞→<A 为实数,也可为±∞或∞>,则 21. 证明:2x 3e x f(x)-=为有界函数.22. 应用函数的单调性证明下列不等式. <1> tgx>x-)3π(0,x ,3x 3∈; <2> )2π(0,x x,sinx π2x ∈<<; <3> 0x ,x )2(1x x x )n(1|2πx 22>+-<+<- 23. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0x 0,0, x ,x 1sin x f(x )24. <1> 证明:x=0是函数f 的极小值点;<2>说明在f 的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.24. 证明:设f<x>在<a,b>内可导,f<x>在x=b 连续,则当f '<x>≥0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≤f<b>,当f '<x>≤0<a<x<b>时,对一切x ∈<a,b>有f<x>≥f<b>.25. 证明:若函数f 在点x 0处有f '+<x 0><0<>0>,f '_<x 0>>0<<0>,则x 0为f 的极大<小>值点.26. 证明：若函数f,g 在区间[a,b]上可导,且f '<x>>g '<x>, f<a>=g<a>,则在(]b a ,内有f<x>>g<x>.27. 证明:,sinx x x tgx >⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2π0,x . 28. 证明:<1> 若f 为凸函数,λ为非负实数,则λf 为凸函数;<2> 若f 、g 均为凸函数,则f+g 为凸函数；<3>若f 为区间I 上凸函数,g 为J ⊃f<I>上凸的递增函数,则gof 为I 上凸函数.29. 设f 为区间I 上严格凸函数.证明:若X 0∈I 为f 的极小值点,同x 0为f 在I 上唯一的极小值点.30. 应用凸函数概念证明如下不等式:<1>对任意实数a,b,有)e (e 21e b a 2ba +≤+; <2>对任何非负实数a,b, 有 2arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a ≥arctga+arctgb. 31. 证明:若f.g 均为区间I 上凸函数,则F<x>=max{f<x>,g<x>}也是I 上凸函数.32. 证明:<1>f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点x 1<x 2<x 3,恒有)f(xx 1)f(xx 1)f(xx 1Δ332211=≥0. <2>f 为严格凸函数的充要条件是对任意x 1<x 2<x 3,△>0.33. 应用詹禁不等式证明:<1> 设a i >0<i=1,2,…n>,有n a a a a a a a 1a 1a 1nn 21n n 21n21+++≤≤+++ . <2>设a i ,b i >0<I=1,2,…,n>,有81)b (p 1)a (b a m 1i q i n1i p n 1i i i ∑∑∑===≤, 其中P>0,q>0,q1p 1+=1. 五、考研复习题1. 证明:若f<x>在有限开区间<a,b>内可导,且f(x)lim a x +→f(x)lim b x -→=,则至少存在一点ξ∈a,b>,使f '<ξ>=0.2. 证明:若x>0,则<1>)(211x x x x θ+=-+,其中21)(41≤≤x θ; <2>21)(lim ,41)(lim 0==+∞→→x x x x θθ. 3. 设函数f 在[a,b]上连续,在<a,b>内可导,且ab>0.证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f )(f f(b)f(a)b a b a 1ξξξ'-=-. 4. 设f 在[a,b]上三阶可导,证明存在ξ∈<a,b>,使得)(f a)(b 121(b)]f (a)f a)[(b 21f(a)f(b)3ξ'''--'+'-+=. 5. 对f<x>=ln<1+x>应用拉格朗日中值定理,证明:对x>0有11)1ln(10<-+<xx . 6. 证明:若函数f 在区间[a,b]上恒有f ''<x>>0,则对<a,b>内任意两点x 1,x 2,都有⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2x x f 2)f(x )f(x 2121, 其中等号仅在x 1=x 2时才成立.7. 证明:第6题中对<a,b>内任意n 个点x 1,x 2…,x n 也成立⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥∑∑--n x f )f(x n 1n 1k k n1k k , 其中等号也仅在x 1=x 2=…=x n 时才成立.8. 应用第7题的结果证明：对任意n 个正数x 1,x 2,…,x n 恒成立n n 21x x x nxn x2x1⋯≥+⋯++, 即算术平均值不小于几何平均值.9. 设a 1,a 2,…,a n 为n 个正实数,且证明：〔i 〕n n 21x a a a (x)limf =∞→〔ii 〕{}x n 21x a a ,a max f(x)lim =∞→ 10. 求下列极限：〔1〕x)ln(1121x )x (1lim -→--；〔2〕2x 0x x x )ln(1x e lim +-→；〔3〕sinx 1sinx lim 20x x →.11. 证明:若函数f 在点a 二阶可导,且f ''<a>≠0,则对拉格朗日公式f<a+h>-f<a>=f '<a+θh>h,0<θ<1 中的θ有21θlim 0h =→ 12. 设h>0,函数f 在U<a,h>内具有n+2阶连续导数,且f <n+2><a>≠0,f 在U<a,h>内的泰勒公式为f<a+h>=f<a>+f '<a>h+…++n (n)h n!(a)f 1)1()!1()(++++n n h n h a f θ,0<θ<1. 证明:2n 1θlim 0h +=→. 13. 设函数f 在[a,b]上二阶可导,0(b)f (a)f ='='.证明存在一点ξ∈<a,b>,使得14. 设a,b>0,证明方程x 3+ax+b=0不存在正根.15.设k>0,试问k 为何值时,方程arctgx-kx=0存在正根.16. 证明:对任一多项式p<x>来说,一定存在点x 1与x 2,使p<x>在<x 1,+∞>与<-∞,x 2>上分别为严格单调.17. 证明:当x ∈[0,1]时有不等式121-p ≤X p +<1+x>p ≤1<其中实数p>1>.18. 讨论函数 f<x>=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+0,x 0,0,x ,x 1sin x 2x 2 <1>在x=0点是否可导?<2>在x=0的任何邻域内函数是否单调?19. 设函数f 在[0,a]上具有二阶导数,且|f ''<x>|≤M,f 在<0,a>内取得最大值.证明:|f '<0>|+|f '<a>|≤Ma.20. 设f 在[)+∞,0上可微,且0≤f '<x>≤f<x>,f<0>=0.证明:在[)+∞,0上f<x>≡0.21. 设f<x>满足f ''<x>+f '<x>g<x>-f<x>=0,其中g<x>为任一函数.证明:若f<x 0>=f<x 1>=0<x 0<x 1>,则f 在[x 0,x 1]上恒等于0.22. 证明:f 为I 上凸函数的充要条件是对任何x 1,x 2∈I,函数ϕ<λ>=f<λx 1+<1-λ>x 2>为[0,1]上的凸函数.。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十七章（20200511214748）
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十七章（20200511214748）第十七章多元函数微分学、证明题 1. 证明函数J_ x 2y 2 222，x y= 0 f(x, y) = {x +yc2 , 2 c0, x +y =02. 证明函数(x 2 y 2)sin J 2,x + y 2 20, x y -0在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在原点(0,0)可微.3?证明：若二元函数f 在点p(X 0,y 。
)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(p)内连续?4.试证在原点(0,0)的充分小邻域内有arctg y - x+y.1 +xy5.试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和6.设乙/^,其中f 为可微函数,验证8.设f(x,y)可微，证明:在坐标旋转变换 x=u cos 0 -v sin 0 , y=usin 0 +v cos 07.设 Z=sin y+f(sin x-sin y), 其中f 为可微函数证明—excZsec x + ——secy=1.在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微f(x, y) = *之下.(f x 2+ (f y 2是一个形式不变量，即若g(u,v)=f(u cos 0 -v sin 0 ,u sin 0 +v cos 0 ).则必有f x 2+ f y 2= g u 2+ g v 2.(其中旋转角B 是常数) 9?设f(u)是可微函数, F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t), 试求：F x (O,O)与 F g (0,0) 10.. 若函数u=F(x,y,z)满足恒等式 kF(tx,ty,tZ)=t (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理：可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是：xF x x,y,z +yF y x, y,z + ZF X x, y,z =KF(x,y,z).11.. 设 f(x,y,z)具有性质 f tx,t k y,t m Z = t n f (x,y,z)(t>0) 证明：xJ..⑵ xf x,y,z +kyf y x,y,z + mzf z x,y,z =nf(x,y,z).12. 设由行列式表示的函数an(t ) a12(t ) ■■- am(t 】 a21(t ) a22(t ) a2n(t )a n1(t ) a n2(t ) a nn(t )其中a j t (i,j=1,2,…,n)的导数都存在证明anfi) a 12(t )am(ta n1(t ) a n2(t )a nn(t )13. 证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd( a u+ 3 v)= a grad u+ 3 grad v( a , 3 为常数); (3) grsdu v=u grad v+v grsd u; (4) grad f(u)= f (u)grad u.并证明:Z=xy 2 x 2 y 2-xy 为二次齐次函数(1)f(x,y,z)= x nf 1,ExD(t)=dD (t ), dt kda ；1(t ) a ：2(t ) a kn (t )14. 设f(x,y)可微,L i 与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明若fj x, y = 0(i=1,2)则f(x,y) 三常数? 15. 通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理证明对某丁 (0,1),有3=cos cos sin sin4 33 6 6 3 616. 证明：函数純詡2满足热传导方程：￡H=a 2—U18. 证明：若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程19. 设函数u= ：:x ，证明：2 2.u :: u : u :: u----- I --------------- =---- 1 ----------2x ；x;y ;y ；x20. 设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0)的某领域内存在,f yx 在点(X °,y 0)连续，证明f xy (X 0,y 0)也存在，且 f xy (X 0,y 0)= f yx (X 0,y 0),21. 设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(X 0,y 0)可微,则有 f xy (X 0,y 0)= f yx (X 0,y 0) 二、计算题1. 求下列函数的偏导数：u=1 2a 二t(a,b 为常数)2 217.证明：函数u=ln ： x - a ? y - b (a,b 为常数)满足拉普拉斯方程.:x 2-2 :u -+ :x-2:u—=0.则函数V=f(yx 2 y 22' 2 )也满足此方程x y=0.2.设 f(x,y)=x+(y-1)arcsin二求 f x (x^.3. 设f 1 2 2ysin -------- 2 ,x y =0f(x, y)才 x 2+y 20,x 2 +y 2 =0考察函数f 在原点(0,0)的偏导数?4. 证明函数z= ?, x 2 y 2在点(0,0)连续但偏导数不存在5. 考察函数xysin ― ,x 2 y 2 =0f(x, y) = * x + y在点(0,0)处的可微性c2 丄 2cQ,x + y =06.求下列函数在给定点的全微分；(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2 在点(0,0),(1,1);x⑵ Z= -------------- 在点(1,0),(0,1).,x 2 y 27. 求下列函数的全微分 (1) Z=ysi n( x+y); yx -z(2) u=xe +e +y、/ ( y8. 求曲面Z=arctg —在点1,1,—［处的切平面方程和法线方程x I 4丿2 2 29. 求曲面3x +y -Z =27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.2 (4) Z=ln(x+y ); (5) Z=e xy ;(6) Z=arctg -;xsin(xy)⑺ Z=xye;y Z x(8) u=;x y zzy z2(1) Z=x y; (2) Z=ycosx;⑶Z= y 2(10) u= x(9) u=(xy)311. 计算近似值：23⑴ 1.002 X 2.003 X 3.004 ;(2) sin29 ° X tg46 ° .12. 设园台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm 高h=40cm.若R,r,h 分别增加 3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值13. 设二元函数f 在区域 D=[a,b] X [c,d]上连续 (1) 若在intD 内有f x 三0,试问f 在D 上有何特性？ (2) 若在intD 内有f x =f y = 0,f 又怎样？(3) 在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域2 2x /y 求曲面Z= 与平面y=4的交线在x=2处的切线与 OZ 轴的交角.4测得一物体的体积 v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018，求由公式d=w 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限.v16.求下列复合函数的偏导数或导数：设 Z=arc tg(xy),y=e x ，求翌;ax2 2 x 2 ■'y 2x y飞-—z :Z设Z=e ,求，；xy:x : y、 2 2 2 cZ 设 Z=x +xy+y ,x=t ,y=t,求 ;dt、 2 U CZ 设 Z=x Iny,x= — ,y=3u-2v,求—v cu'u 设 u=f(x+y,xy),求ex23u=xy +z -xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60, ° 45° ,60 ° )的方向导数.18. 求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.14. 15.(1)之；-：v设u=f-：u cu ，求,一x :y-:u-Z17.求函数2 2 2 Z19. 求函数u=x +2y +3z +xy-4x+2y-4z在点A(0,0,0)及点B(5,-3, —)处的梯度以及它们的模点上成立等式 gradu =1.2 2 2z x y21设函数u=二22,求它在点(a,b,c)的梯度.cab22. 设 r= . r 2 y 2 z 2 試求： 1 (1)grad r;(2)grad -.r23. 设u=x 3+y 3+z 3 — 3xyz,试问在怎样的点集上 grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴 (3) 恒为零向量.24. 设f(x,y)可微丄是R 2上的一个确定向量，倘若处处有f L (x,y)三0,试问此函数f 有何特征? 25. 求下列函数的高阶偏导数：(1) Z=x 4+y 4—4x 2y 2,所有二阶偏导数；⑵Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数-3-3c z c z⑶ Z=xln( xy),2, 厂 ex 列 cxdy(4) u=xyze x+y+z2 2⑸Z=f(xy ,x y),所有二阶偏导数; ⑹u=f(x2+y 2+x 2),所有二阶偏导数;x (7)Z=f(x+y,xy, 一),Z x , z xx , Z xy .y26.求下列函数在指定点处的泰勒公式：2 2(1) f(x,y)=sin(x +y )在点(0,0)(至U 二阶为止);X⑵f(x,y)= 在点(1,1)(至U 三阶为止);y(3) f(x,y)=ln( 1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2—xy —y 2— 6x — 36+5 在点(1, — 2).20.设函数u=ln 1，其中lr 丿r=*；(x _af +(y _0『+(z _c f求u 的梯度；并指出在空间哪些27. 求下列函数的极值点3 3⑴ Z=3axy —x —y (a>0);2 2⑵ Z=x +5y —6x+10y+6;2x 2⑶ Z=e (x+y +2y).28. 求下列函数在指定范围内的最大值与最小值(1) Z= x2 _y2,x,y x2+y2乞4，;(2) Z= x2—xy +y2, ￡x, y 网+|y| <^;(3) Z=sin x+s ing —sin( x+y), 《x,y K x,y 収王0,x + y 兰2)29. 在已知周长为2P的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.30. 在xy平面上求一点，使它到三直线x=0,y=0,及x+2y —16=0的距离平方和最小.31. 已知平面上n个点的坐标分别是A1 x^y! , A2 X2』2，…A n x n ,y n.试求一点，使它与这n个点距离的平方和最小.1 1 132. 设u= x y z2 2 2x y z求(1)u x+U y+U z； (2)xU x+yU x+ZU z； (3)U xx+U yy + U zz.2 2 233. 设f(x,y,z)=Ax +By +Cz +Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幕展开f(x+h,y+k,z+L).三、考研复习题1.设f(x,y,z)=x 2y+y2z+z2x，证明f x+f y+f z=(x+y+z).2. 求函数3 3x -y 2222 ,xy f(x, y)二 X y一 +y2 =0 "0在原点的偏导数f x (O,O)与 f y (O,O),并考察 f(x,y)在(0,0)的可微3.设 u0,x 2 X 12X1n A X1n二2Xn A. nXn -证明：⑴- k =1 tX k=0n'、XkJ.:uk：：Xkn(n 2^u.4.设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数：试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数d n g(t) dt n5.设L 、 r\c ch —— k — & 勺丿(x, y,z)二 \nf(a ht, b kt).a +xb +yc +zd +ze +xf +yg +yh +z k +xfd x ) f 2(x) f 3(X )求二.:X)求.)cxcydz7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有阴=0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p °(X 0,y 。
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案06
又由于f在 上连续，在 内可导，所以 。即 。故 （矛盾）。
因此方程 （这里c为常数）在区间[0，1]内不可能有两个不同的实根。
2、（§1的第5（1）题）应用拉格朗日中值定理证明不等式 ，其中0<a<b。
证明：由于
（因为0<a<b）。
3、证明定理6、2推论2。
4、证明（1）若函数f在[a，b]上可导，且 ，则
f（b）≥f（a）+ m（b - a）；
（2）若函数f在[a，b]上可导，且 ，则
|f（b）- f（a）|≤M（b-a）；
（3）对任意实数 ， ，都有 。
5、应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：
（1） ，其中0<a<b；
（2） ，其中h>0。
。
6、设 为n个正数，且
f（x）= 。
证明：（1） ；
（2） 。
7、求下列极限：
（1） ；（2） ；
（3） 。
8、设h>0，函数f在 内具有n+2阶连续导数，且 ，f在 内的泰勒公式为
。
证明： 。
9、设k>0，试问k为何值时，方程arctanx–kx = 0存在正实根。
10、证明：对任一多项式p（x），一定存在 与 ，使p（x）在（-∞， ）与（ ，+∞）分别严格单调。
4、设f为区间I上严格凸函数。证明：若 为f的极小值点，则 为f在I上唯一的极小值点。
5、应用凸函数概念证明如下不等式：
（1）对任意实数a，b，有 ；
（2）对任何非负实数a，b，有 。
6、证明：若f，g均为区间I上凸函数，则F（x）= max{f（x），g（x）}也是I上凸函数。
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第六章 微分中值定理及其应用2•若 lim1 acosx -bsin ^1，则 a = X T 0 x 23.曲线y = e x在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4•设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________x6•设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________区间；7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的© = _________________8•函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________9.函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的©= ______ ;xe 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ;x311. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。
12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取得极小值 ________________________________________ 。
3 213. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____2 2一、填空题1若a 0,b0均为常数，贝U5. lim(1 x )x -ex —.Qx2XaH XX14. 曲线y =k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则k= _______ 。
15 •设 f (x)二 n (1 - x)n(n =1,2 ) , M n 是 f (x)在〔0,1 上的最大值，则lim M n = ________ 。
n —.::16.设f (x)在x 0可导，则f "(x 0)=0是f (x)在点x 0处取得极值的 ________________ 条件;17.函数 f (x) = aln x + bx 2 +x 在 x = 1 及 x = 2取得极值，则 a = ____ , b =3 318. 函数f(x) =xx 3的极小值是 2ln x19.函数f (x) 的单调增区间为x321.设点(1,2)是曲线y=(x —a) +b 的拐点，则a= __________ , b= ______22•曲线y=e 、x 的下凹区间为 ___________ ，曲线的拐点为 _________ ;2323. 曲线y=3x -x 的上凹区间为 ________________ ; 24. 曲线y=ln(1+x 2)的拐点为 __________________ ;25. _____________________ 曲线y =ln x 在点 处曲率半径最小。
126. _____________________________________ 曲线y=xln(e + —)的渐近线为 。
x二.选择填空51. 曲线y =(x -5)3 2的特点是()。
A.有极值点x = 5，但无拐点B.有拐点(5,2)，但无极值点c. x = 5是极值点，(5,2)是拐点D.既无极值点，又无拐点2. 奇函数f (x)在闭区间〔—1,1】上可导，且f'(x)兰M ，则()。
A. f (x) >M B.|f (x)|》M C. f(x)| 兰 M D.|f(x)|<M2 220. 函数 f (x)二 x - 2cosx 在0,1上的最大值为 -2________ ，最小值为3. 已知方程x y y = 1( y 0)确定y为x的函数，贝U ()。
C. y(x)即有极大值又有极小值D.无极值4 若 f(x)在区间［a,：：)上二阶可导，且f(x)=A .O , f'(ah：： 0, f (x) ： 0 (x a), 则方程f (x) =0在a, *内()A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根f ( x)5•已知f (x)在x=0处某邻域内连续，lim 2，则在x = 0处f (x)()。
71 —COSXA.不可导B.可导且f'(0)=2C.取得极大值D.取得极小值6 •设函数f (x)在区间1,= 内二阶可导，且满足条件f(1) = f (1^0 , x 1时f (x) ：：0，则g(x) = f(x^ 在1,：：内()xA •必存在一点；，使f ( ；) =0B .必存在一点；，使f ( ；) = 0C.单调减少D.单调增加f 7x)7•设f(x)有二阶连续导数，且「(0)=0, lim —=1，则()—0 xA . f(0)是f (x)的极大值 B. f (0)是f (x)的极小值C. 0, f (0)是曲线y二f (x)的拐点D. f(0)不是f (x)的极值，0, f (0)也不是曲线y= f (x)的拐点&若f (x)和g(x)在X =X0处都取得极小值，则函数F (x) = f (x) g(x)在X = X0处( )A .必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定3 2 2 39.设y =y(x)由方程x-ax y by =0确定，且y(1) =1, x = 1是驻点，贝U ()2 210. 曲线y =(x 「1) (x -3)的拐点的个数为() A.0B.1C.2D.311. f (x), g(x)是大于 0 的可导函数，且 f'(x)g(x) - f (x)g'(x) ：：：0 ,则当 a x b 时 有()A . f(x)g(b) f(b)g(x) B. f (x)g(a) f (a)g(x) C. f(x)g(x) ■ f (b)g(b) D. f (x)g(x) ■ f (a)g(a)1 2 .2x x ：： 1 12.曲线y =e x arctan 的渐近线有()(x -1'(x +2)A . 1条 B.2条 C.3条 D.4条313. f (x) = x 3 2x q 的O 点的个数为( )A . 1B.2C.3D.个数与q 有关x14.曲线《b A •只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C .无渐近线D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15.设 y 二 f(x)为 y ” • y ：e sinx =0 的解，且 f (x °) =0，则 f (x)有()A . x 0的某个邻域内单调增加B . x 0的某个邻域内单调减少C . x 0处取得极小值D . x 0处取得极大值16.罗尔定理中的三个条件 ；f(x)在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)是f(x)在(a,b)内至少存在一点 ：使得f 「)=0成立的().A. a = b = 3B. a4-5c.afbJ2 2D. a - -2,b - -3_ 1 t 则曲线(_t 1(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要17. 下列函数在［1,e］上满足拉格朗日中值定理条件的是().1(A) In (l nx); (B) In x ；(C) (D) In 2-x)；In x18. 若f (x)在开区间(a,b)内可导，且X i,X2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点•使得下式成立().(A) f(X2) - f (xj =(X1 -X2) f () :;三(a,b);(B) f (x1^ f (x2^ (x^x2) f () 论：：：：x2(C) f (捲)一 f (x2) = (x2-捲)f () 为：■匚：■x2(D) f (x2 f (x1 ^ (x2-x1) f () 捲：：::x219. 设y=f(x)是(a,b)内的可导函数，x,x*=x是(a, b)内的任意两点，则()•(A) =y = f (x) =x(B) 在x,x—x之间恰有一个•，使得勺=(C) 在x，x»=x之间至少存在一点，使得y = f ( )(D) 对于x与x x之间的任一点'，均有迥二f ()丄x20. 若f (x)在开区间(a，b)内可导，且对(a，b)内任意两点x1，x2恒有f(X2) — f (xj 乞(X2 — xj2，则必有().(A) f(x)=O (B) f(x)=x(C) f(x)二x (D) f(x)二c (常数)21. 已知函数f(x) =(x_1)(x _2)(x _3)(x_4)，则方程f (x)=0有( ).(A) 分别位于区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内的三个根;(B) 四个根，它们分别为X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3, X4 =4;(C)四个根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);(D)分别位于区间(1,2),(1,3),(1,4)内的三个根22.若f(x)为可导函数「为开区间(a,b)内一定点，而且有 在闭区间［a,b ］上必总有().25.设lim 但为未定型,则lim 丄凶存在是lim 少也存在的().g(X)g "(X )X T X og(x)x26.指出曲线y2的渐近线( ).3-x 2(A) 没有水平渐近线，也没有斜渐近线；(B) x 二3为垂直渐近线，无水平渐近线;(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线； (D)只有水平渐近线.X 2 + X + 1 27曲线y = e x arctan 的渐近线有( ). (x-1)(x+2)(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条f ( ) . 0,(x- )f (x) _ 0,则(A) f (x) ::: 0 (B) f(x) ^0(C) f(x)_0(D) f (x) ■ 023.若 a 2-3b ：：：0,则方程 3 2f (x) = x ax bx c = 0 ().(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个实根(D)有重实根24.若f (x)在区间［a, •：：］上二次可微 ，且 f(a) = A • 0, f (a) ：：： 0, f (a)乞 0 (x • a ),则 方程 f (x) =0在［a,二］上().(A)没有实根(B)有重实根 (C)有无穷多实根 (D)有且仅有一个实根(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件丄(11)x^-s^);(12)匹(竽F.3. 求下列不定式极限28. 1 兀函数fgXCOSXpCS 在取得极值，则a =((A) 0 ；(B)㊁；(C)1 ；(D) 229. 下列曲线集邮水平渐近线， 乂有垂直渐近线的是( )°…、 s i r2xx 2 3(A) f(x) 3(B) f (x);x xX -1(C) f(x) =1 n3-e);(D) f(x) -x 2二 xe °x130. lim x 1」=( )°X 1(A) 1 ; (B) e 」； (C) e；(D)::oo二、计算题 1•试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 E 使得 f ' (E )=0 :I . 1 n (1) f(x)= xsinx" 0, X 二 0;(2) f(x)=|x|, —1< x w |. 2.求下列不定式极根： x e —1(1) limxsin x1-2s inxlim ----------- x 芒 cosx 61n (1 x) -xlim x —° cosx-1lim 型比x7x - sinxlim 皿2 x xsecx 5sinx凹」tgx)(8)(9)1蚁+x 2)x; (10) lim sinxlnx ；x T 十⑴ lim^cos —1)；X —1x1 -s in -2⑵\\mj(冗 -2arctgx)l nx ；sin xlim xx 0亠ln (1 x)(1 x) 1 2~x1^(ctgx —?;1(1 x)： -e lim x 0l x m 0 4. 5.6.(8) JIlim (— -arctgx)1 lnx求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式32(1) f(x)=x +4x +5,在 x=1 处； 1(2) f(x)= -------- ,在 x=0 处；1 +x(3) f(x)=cosx 的马克林公式.求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式： (1) f(x)=arctgx 到含 x 5 的项； (2) f(x)=tgx 到含 x 5 的项...e x si nx-x(1+x) ⑴ ------------------- -----；(2)x m x ，|n (i *)；1 1⑶x im o x(「c tgx).7•估计下列近似公式的绝对误差x3 1(1) sin x ： x ，当| x | ;6 2______ 2(2) .1 x T 一—一,当x € [0,1].2 88. 计算：(1)数e准确到10-9;(2)lg11 准确到10-.1. 确定下列函数的单调区间：x 2 -1 ⑷ f(x)=- x 9. 求下列函数的极值.3 4 (1) f(x)=2x -x ; 2x⑵ f(x)=p(4) f(x)=arctgx- - In(1+x 2).2 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 5 43 (1) y=x -5x +5x +1,[-1,2];2 兀(2) y=2tgx-tg x, [0,—]; 2⑶ y= . x lnx, (0,+ g ).11. 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大12. 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与 容器的高的比例应该怎样 ？13. 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为a 1,a 2,…,a n .问以怎样的数值x 表达所要测量 的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值: (2) f(x)= 少 21[ ; (3) f(x)=(x-1) 2(x+1)3. x -x +12 1215. 设f(x)=alnx+bx +x 在x =1,x =2处都取得极值；试定出a 与b 的值并问这时f 在X 1与X 2是取得极大值还是极小值 ？16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC=a 千米的B 城(见图7-1).轮船运费的单 价是a 元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 > a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点： 3 2 (1) y=2x -3x -36x+25;2 1 (3) y=x + - x19. 问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：3 (1) f(x)=3x-x ;2(2) f(x)=2x -lnx; ⑶ f(x)= 2x - x 2(3)f(x)=曲; x1⑵ y=x+ ; x 2 (1) f(x)=|x(x -1)|; (4) y=ln(x 2+1);3(1)方程x —3x+c=0 (这里C为常数)在区间［0, 1］内不可能有两个不同的实根;(2)方程x n +px+q=O(n 为自然数，p , q 为实数)当n 为偶数时至多有两个实根；当 为奇数时至多有三个实根。