(整理)导数与微分(一)导数的概念
高等数学 第二章 导数与微分
（2）算比值： y f (x x) f (x) ．
x
x
（3）求极限： f (x) lim y lim f (x x) f (x) ．
x x0
x0
x
四、函数可导性与连续性的关系
定理 如果函数 y f (x) 在点 x0 处可导，则函数 y f (x) 在点 x0 处一定连续． 如果函数 f (x) 在点 x0 处连续，则函数 f (x) 在点 x0 处不一定可导．
第二章
导数与微分
导学
我们在解决实际问题时，除了需要确定变量之间的函数关系外，有时 还需要研究函数相对于自变量变化的快慢程度，即函数的变化率，以及当 自变量发生微小变化时函数的近似改变量，这两个问题就是我们本章所要 讨论的主要内容——导数与微分．
第一节
导数的概念
一、导数的定义
设某物体在数轴上做变速直线运动，运动方程为 s s(t) ，现在求该物体在 t0 时刻的瞬时速度 v(t0 ) ．
当
u
C （C
为常数）时，有
C v
Cv v2
．
二、反函数的求导法则
定理 2 如果函数 x f ( y) 在区间 I y 内单调、可导且 f ( y) 0 ，那么它的反函数 y f 1(x) 在
区间 Ix {x | x f ( y) ，y I y} 内也可导，且有
[ f 1(x)] 1 或 dy 1 ．
当时间 t 由 t0 变到 t0 t 时，物体的路程 s(t) 由 s(t0 ) 变到 s(t0 t) ，
路程的增量 s 为 s s(t0 +t) s(t0 ) ，
物体在
t0
到 t0
t
这段时间内的平均速度为
v
s t
导数与微分的概念及其应用
导数与微分的概念及其应用导数和微分是微积分中非常重要的概念，它们在数学、物理、工程和经济学等领域都有广泛的应用。
本篇文章将介绍导数和微分的概念以及它们在实际问题中的应用。
一、导数的定义和性质1. 定义：导数表示函数在某一点处的变化率，可以看作函数的瞬时增量与自变量的瞬时变化率的比值。
若函数f(x)在点x处可导，则其导数记作f'(x)、dy/dx、df(x)/dx等等。
2. 几何意义：导数可以理解为函数曲线在某一点处的切线斜率。
切线的斜率等于导数的值。
导数正值表示函数在该点上升，负值表示函数下降，零值表示函数有极值。
3. 基本性质：导数的四则运算法则是导数计算中常用的工具。
导数具有可乘性、可加性、链式法则、导数的导数等性质，这些性质使得导数的计算更加简便。
二、微分的定义和性质1. 定义：微分是导数的微小变化量，即函数f(x)在点x处的微分表示为df(x)。
微分可以看作函数值的小增量与自变量的小变化量的乘积。
2. 近似代替：微分在实际问题中常用来做近似计算的代替。
当自变量的变化量很小的时候，我们可以使用微分来近似计算函数值的变化量。
3. 微分形式：微分有两种形式，即全微分和偏微分。
全微分表示函数的所有自变量的微分都要考虑进去，而偏微分仅考虑某几个自变量的微分。
三、导数和微分的应用导数和微分在各个领域中都有丰富的应用。
以下是一些应用举例：1. 极值问题：导数在解决函数的极值问题中起到重要作用。
求解极大值和极小值的方法包括使用导数的方法、二阶导数的方法和高级数学中的拉格朗日乘子法等等。
2. 物理学应用：在物理学中，导数和微分用于描述运动的速度和加速度。
例如，速度可以通过对位移函数进行微分得到，而加速度可以通过对速度函数进行微分得到。
3. 经济学应用：导数和微分在经济学中有着广泛的应用。
例如，利润最大化和成本最小化问题可以通过导数的方法来解决。
导数还可以用于弹性和边际效用的计算。
4. 工程学应用：导数和微分在工程学中有着广泛的应用。
导数与微分总结范文
导数与微分总结范文一、导数的概念与性质1.导数的定义：函数f(x)在x=a处可导的充要条件是：f'(a) = lim┬(Δx→0)〖((f(a+Δx)-f(a))/Δx)〗其中f'(a)表示f(x)在x=a处的导数。
2.导数的几何意义：导数表示函数在其中一点处的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化率。
导数大于0表示函数递增，导数小于0表示函数递减。
3.函数可导与连续的关系：函数在特定点可导，则该点一定是函数的连续点，但函数连续并不一定可导。
4.导数的运算法则：-常数的导数为0。
-幂函数的导数是原函数的幂次减1乘以导数。
-指数函数的导数是指数函数本身乘以导数。
-对数函数的导数是分子的导数除以分母。
5.高阶导数：若f'(x)存在导数，则称其为一阶导数。
若f'(x)也存在导数，则称其为二阶导数，依此类推。
f''(x)也可表示为f⁽²⁾(x)或d²y/dx²。
二、微分的概念与性质1.微分的定义：函数f(x)在x=a处连续可导，则称dy=f'(a)dx为函数f(x)在x=a点的微分。
2.微分的近似计算：函数在特定点附近可以用微分来近似计算。
设函数f(x)在x=a点可导，则有：∆y≈f'(a)∆x其中∆y为函数值的变化量，∆x为自变量的变化量。
3.微分与导数的关系：微分与导数在概念上是密切相关的。
微分是函数的自变量变化引起的函数值的变化，而导数则是函数值变化引起的自变量的变化。
4.求解微分的过程：- 对函数进行微分，可以得到函数的微分式dy=f'(x)dx。
- 根据已知条件求解微分量dy和dx。
-将得到的微分式与已知条件代入，求解未知量。
5.微分的应用：微分在物理、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
如利用微分可以求出函数的最大值和最小值，从而优化问题的解；微商的概念可应用于物理中的速度、加速度等问题等。
大一高数知识点笔记整理
大一高数知识点笔记整理一、导数与微分1. 导数的定义在数学中，导数是用来描述函数某一点附近的变化率的概念。
导数的定义是函数在某一点的极限，即函数在该点的切线斜率。
2. 常见函数的导数公式- 常数函数：导数为0- 幂函数：导数为幂次减一乘以原幂次系数- 指数函数：导数等于指数函数的自变量乘以常数函数ln的导数- 对数函数：导数等于自变量倒数乘以常数函数ln的导数- 三角函数：导数等于三角函数的导函数3. 微分的概念微分是导数的另一种表示方式。
微分表示函数在某一点附近的近似线性变化。
4. 微分的性质- 微分可加性：如果f(x)和g(x)都在某一点可微分，则(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)- 常数倍法则：如果f(x)在某一点可微分，则(c · f(x))'(x) =c · f'(x)，其中c为常数二、变化率与速度1. 平均变化率平均变化率是用来衡量函数值在一个区间内的平均变化程度的概念。
计算公式为函数在两个点上的差值除以自变量的差值。
2. 瞬时变化率瞬时变化率是用来衡量函数值在某一点上的瞬时变化程度的概念。
计算公式为函数在某一点的导数值。
3. 速度与加速度在物理学中，速度是描述物体位置变化的物理量。
速度的导数是加速度。
三、函数的极值与最值1. 函数的极值函数的极值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
极大值是函数在某一点局部最大的函数值，极小值是函数在某一点局部最小的函数值。
极值点是函数在该点的导数为0或不存在的点。
2. 求极值的方法求解函数的极值可以使用导数的概念。
具体步骤为：求出函数的导数，将导数等于0的解称为临界点，再利用导数的符号来分析临界点的性质，得出函数的极值。
3. 函数的最值函数的最值是函数在定义域内取得的最大值和最小值。
最大值是函数的最大函数值，最小值是函数的最小函数值。
四、不定积分与定积分1. 不定积分的概念不定积分是求函数的原函数的过程。
导数与微分一
lim
y x
lim
f ( x0 x ) f ( x0 ) x
dy
'
x 0
记为：y
' x x0
f ( x0 )
y ( x0 )
'
dx
x x0
变化率：函数在点 x 0 的变化速度。 定义2：导函数的概念： 如果函数f(x) 在区间 (a,b) 内都可导，则区间 (a,b) 内每一点 x，都有一个导数值与之对应，就定义了一个新的函数，即函 数 f(x) 在区间 (a,b) 内对 x 的导函数derived function。
y ( uv ) u v uv
' ' '
'
特别地，当u=c (c为常数时)，
y ( cv ) cv
' '
'
可以推广到有限多个函数的乘积的情况。
导数与微分
定理3 如果u 、v都是x的可导函数，且 v 0 则函数
y u v
也是x的可导函数，
y
'
(
u v
)
'
u v uv
1 1 x
2
f (a rc sin
'
1 x
)
导数与微分
例 ： 在 y x 上 取 x1 1, x 2 3, 作 这 两 点 的 割 线 ，
2
抛物线上哪点的切线平行与割线。？ 解 ： y x 上 两 点 A (1,1), B (3, 9 )
2
割线k x 2
9 1 3 1
sin x '
y e
'
sin x ln x
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分
大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。
对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数，当自变量x在x0处取得增量Δx时，相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)，如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在，则称函数y=f(x)在x0点可导，并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。
通俗地讲，就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度，这个“速度”的单位为y每x，即每变化一个单位的x，y变化多少。
与物理学中定义米/秒是一个性质的。
把函数f(x)的导数看做是关于x的函数，即得到函数f(x)的导函数f'(x)，简称导数。
（以上的“x0”中的“0”都是x 的下标，下同。
）导数也可以用微分的形式记作dy/dx，这个后面会提及。
2.在导数的定义中，如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0，那么对应的导数被称为左导数和右导数。
只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等，才能称f(x)在x0处可导。
举个例子，绝对值函数y=|x|，其在x=0处的左导数是-1（即x每增大1，y减小1），右导数是1，两者不相等，所以该函数在x=0处不可导。
如图所示。
绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x)，但是不包含x=0（单独的符号函数y=sgn(x)，当x=0时，y=0）。
3.用定义法可以求初等函数的导数，本质上就是求极限。
比如说求y=x²在x=a处的导数，即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。
求得结果为2a了解即可，还不如求导公式来得快。
下图为求该极限的过程，也就是用定义求y=x²的导数的过程。
4.函数的可导性与连续性的关系。
我们有定理：如果函数y=f(x)在点x0处可导，则f(x)在x0处必连续。
但反过来就不一定了。
归纳为一句话：连续不一定可导，可导一定连续。
y=|x|就是一个例子。
该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导（因为左右极限不一样）。
导数与微分总结
导数与微分总结导数与微分是微积分中非常重要的概念，它们是描述函数变化率的工具。
导数和微分在实际问题中有广泛的应用，比如物理中的速度和加速度、经济学中的边际效应等等。
本文将对导数和微分的概念进行详细的阐述和总结。
一、导数的定义和性质：导数描述了函数的变化率，它反映了函数在某一点上的切线的斜率。
对于函数 y=f(x)，在其定义域内，如果极限lim (h→0) [f(x+h)-f(x)]/h存在，那么这个极限就是函数 f(x) 在点 x 的导数，记作 f'(x) 或 dy/dx。
导数的性质有以下几个重要的方面：1. 导数的存在性：函数在某一点上的导数存在与函数在该点处的连续性相关。
如果函数在某个点处可导，则该点处函数必然连续，但连续不一定可导。
2. 右导数和左导数：如果函数 f(x) 在某一点 x_0 处的右导数存在，且左导数存在，那么 f(x) 在该点处的导数存在。
3. 导数的运算法则：导数有一些特殊函数的运算法则，比如常数的导数等于 0、多项式函数的导数等于各项的导数之和、复合函数的导数等等。
二、微分的定义和性质：微分是导数的一种几何意义的解释，它与导数之间有一种积分意义上的联系。
设函数 y=f(x) 在 x0 处可导，那么函数在 (x0, x0+∆x) 区间内的增量Δy 可以近似表示为Δy = f'(x0) ∆x + o(∆x)其中o(∆x) 表示当∆x 趋近于 0 时，其值相对于∆x 的高阶无穷小。
微分的性质有以下几个重要的方面：1. 微分的应用：微分在几何学、物理学和工程学中都有广泛的应用。
比如，在几何学中，微分可以用来计算曲线的切线和曲率；在物理学中，微分可以用来计算速度和加速度；在工程学中，微分可以用来设计和分析物理系统。
2. 微分的线性性质：微分具有线性性质，即对于函数 f(x) 和g(x) 以及常数 a 和 b，有 d(af(x) + bg(x)) = a df(x) + b dg(x)。
导数与微分
第二章 导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. . 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容.第一节 导数概念下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度；(2) 求曲线上一点处的切线；(3) 求最大值和最小值.这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容要点： 1 导数的定义 2左右导数3导数的几何意义 4函数的可导性与连续性的关系一、引例1、直线运动速度设描述质点运动位置的函数为()s f t =，匀速时：tsv 时间路程=， 平均速度：tsv ∆∆=，因平均速度≠瞬时速度，则0t 到t 的平均速度为00()()f t f t v t t -=-，而0t 时刻的瞬时速度为000()()lim t t f t f t v t t →-=-2、切线问题（曲线在一点处切线的斜率）当点N 沿曲线C 趋于点M 时，若割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线因0000()()tan y y f x f x yx x x x xφ--∆===--∆ [切线应为割线的极限]当N 沿曲线M C →时，0x x →，故0000()() lim lim x x x f x f x yk x x x ∆→→-∆==∆- 即为割线斜率的极限，即切线斜率。
瞬时速度000()()limt t f t f t v t t →-=-切线斜率000()()limx x f x f x k x x →-=-两个问题的共性:所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .二、导数的定义： 1、函数在一点处的导数设函数()y f x =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量x ∆（点0x x +∆仍在该邻域内）时，相应的函数y 取得增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；如果y ∆与x ∆之比当0x ∆→时极限存在，则称函数()y f x =在点0x 处可导，并称此极限为函数()y f x =在点0x 处的导数，记为：00000()()limlim x x x x f x x f x y y x x =∆→∆→+∆-∆'==∆∆或0()f x '，x x dy dx=或()x x df x dx =即：已知()f x ，构造yx∆∆，求此增量比的极限，若极限存在，则可导，不存在就不可导（此时切线必垂直于x 轴）。
高考数学中的导数与微分概念详解
高考数学中的导数与微分概念详解导数和微分是高中数学中的两个重要概念，也是高考数学中的常考点。
它们是数学中的基础知识，对于掌握高中数学和进一步掌握大学数学都具有重要意义。
本文将详细解析导数和微分概念及其应用，帮助同学们深入理解。
一、导数概念详解导数是微积分中的一个重要概念，指函数在某一点处的瞬时变化率。
它可用极限表示，其定义式为：$$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$这个式子可能有些抽象，但可以从几何角度去理解导数。
可以把函数看作一条曲线，瞬时变化率就表示曲线在某一点处的切线斜率。
导数的值在一定程度上反映了函数的“陡峭程度”。
比如，当导数的值越大时，表示函数在该处的变化速率越快，因此该处的函数图像越陡峭。
相反，导数的值越小表示函数在该处的变化速率越慢，函数图像相对平缓。
在一些工程和经济问题中，导数是一个重要的工具，可以帮助研究各种变化和趋势。
二、导数的计算方法在高考数学中，涉及到导数的计算方法还有一些常见的公式，包括：1. 基本导数公式这些公式是我们平时解题时用得比较多的，表述如下：（1）常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数为 $kx^{k-1}$（其中 $k$ 为常数）。
（3）三角函数的导数为 $cosx$ 的导数为 $-sinx$，$sinx$ 的导数为 $cosx$。
（4）指数函数和对数函数的导数分别为其本身。
（5）求和法和差法。
即如果 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的导数都存在，则 $[f(x)+g(x)]'$ 和 $[f(x)-g(x)]'$ 也都存在，并且：$[f(x)+g(x)]' = f'(x)+g'(x)$$[f(x)-g(x)]' = f'(x)-g'(x)$2. 链式法则链式法则通常用于求复合函数的导数。
导数与微分知识点
导数与微分知识点导数和微分是高等数学中重要的概念，它们在微积分中具有广泛的应用。
本文将介绍导数与微分的定义、性质以及它们的计算方法。
一、导数的定义与性质在数学中，导数描述了函数在某一点上的变化率。
假设有函数y=f(x)，那么在点x处的导数可以记作f'(x)，其定义如下：f'(x) = lim┬(∆x→0)〖(f(x+∆x)-f(x))/∆x〗①其中，lim表示极限，∆x表示x的增量。
导数衡量了函数在某一点上的瞬时变化率，也可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。
导数具有以下几个重要的性质：1. 导数的存在性：函数在某一点上可导的条件是该点的左导数等于右导数，也就是导数的存在需要左右极限相等。
2. 可导性与连续性：若函数在某一点可导，则必定在该点连续；但函数在某一点连续并不意味着可导。
3. 导数与函数的关系：若函数在某一点可导，则该点必定是函数的极值点或拐点；但反之不一定成立。
二、导数的计算方法求导是计算导数的过程，常见的求导法则有以下几种：1. 基本导数法则：常数的导数为0，幂函数的导数等于幂指数乘以常数，指数函数的导数等于函数值乘以自然对数e。
2. 和、差、积、商法则：若函数g(x)和h(x)在点x处可导，则其和、差、积、商的导数分别为其导数的和、差、积、商。
3. 复合函数的导数：若函数h(x)可以表示为f(g(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则h(x)的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。
4. 反函数的导数：若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续、单调且可导，且导数不为0，则它的反函数x=f⁻¹(y)在对应区间[f(a),f(b)]上也连续、单调可导，且导数为1/f'(f⁻¹(y))。
三、微分的定义与性质微分是导数的一个应用，它可以用来描述函数在某一点上的近似变化量。
函数y=f(x)在点x处的微分可以表示为dy=f'(x)dx。
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例1求曲线在曲线上的点处切线的斜率。
图4-1
在曲线上点的附近另取一点，连接和得
割线，当沿曲线趋于时,割线的极限位置称为曲线在点的切线。
令，，则的斜率为，如果
存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。
设切线的倾角为，则
从另一角度，表示在区间（或
）的平均变化率，极限称为函数在的变化率。
例2求变速直线运动的物体的瞬时速度。
物体产生的位移是时间的函数，设
运动方程为，求在时刻的速度。
定义设函数在点的邻域内有定义，当自变量从变到时，则函数得相应的增量，如果极限
存在，则称函数在点可导，并称此极限为函数在
点的导数。
记作，或，，，
即
如果记，则上式可写为
或记
则
如果上述极限不存在，则称函数在点不可导。
例3 设在处可导
（1）
（2）则？
解（1）
（2）
例4设且则解
例5证明：在处不可导。
解
在处不可导。
注意：函数在
（0，0）
处的切线存在，斜率
为，所以函数在
处有
或
时，有时
也称在处
导数无穷大。
图4-2左、右导数左导数
右导数
显然有，在处可导的充要条件是：在的左、右导数都存在且相等。
例6讨论函数在处的可导性。
解
在可导且
如果函数在区间内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数在区间内可导，此时其导数值是随而变的函数，称为的导函数，简称导数，记作
而是的导函数在处的函数值。
用定义求函数的导数（函数），可分三步进行：
（1）求增量
（2）求比值
（3）求极限
例7求（为正整数）
解（应用二项式定理）
，所以
一般地有为任意实数。
例8求的导数。
解
所以
利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数，列于书中141 页公式表中，请大家背下来。
如：,
, ,
, ,
, ,
, ,
, ,
, .
例9设，求
解
定理如果函数在点可导，则函数在点连续。
因为在点可导，
即
，
（增量公式）
即
所以时，。
在处连续。
注：定理的逆不一定成立。
既函数在点连续，却不一定可导。
例10函数，在点连续，但不可导。
所以在连
续。
图4-3
在处不可导。
例11讨论函数
在处的连续性与可导性。
解在处连续。
在处可导，且。
例12 设问当为何值时，在连续且可导。
解在处连续，则，
在处可导，则
在点的导数是曲线在点处切线的斜率。
所以在处的切线方程为
法线方程为
例13求在(-1，1)处的切线方程和法线方程。
解，
切线方程为
法线方程为
例14 设曲线上的点处的切线平行于直线，
求点的坐标。
解因为曲线在点的切线平行于，
解出
所以点的坐标为。