第2课时 算术平均数与几何平均数
精华课件算术平均数与几何平均数2
小结 3．在求某些函数的最值时，会恰当 的恒等变形——分析变量、配置系数． 4．应用平均值定理解决实际问题时， 应注意： (1) 先理解题意，设变量，把要求最 值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际 问题抽象为函数的最值问题，确定函数 的定义域． (3) 在定义域内，求出函数的最值， 正确写出答案．
作业
的最小值． 2 2+ b 2. 思考题：设a > 0，b > 0，且a 2 2 = 1，求 a 1 b 的最大值．
( x 5)( x 2) 1. 设x > 1，求函数 y = x 1
引例
y = 2x +
50 x
(x > 0)．
问题转化成为求函数y的最小值及取 得最值时的x的值.
求这个函数的最小值可用哪些方法？ 利用函数的单调性或判别式法. 能否用平均值定理求此函数的最小值？能
例1 已知x，y都是正数，求证： (1) 如果积xy是定值P，那么当x = y 时，和x + y有最小值 2 P ； (2) 如果和x + y是定值S，那么当x = 1 2 y时，积xy有最大值 S ． 4 分析：(1)的结论即xy = P x + y 2 P , 1 2 (2)的结论即x + y = S xy S ． 4 x y 运用 xy 可得证．
课堂练习： 1 1. 求函数y = (1 3x)x (0 < x < )的 3 1 最大值．
x 2. 求函数y = 2 (x > 0)的最大值． 2 x 2 4
12
3. 求函数y = 2 x 25 x 2 (0 < x < 5)的 最大值． 25 4. 设x > 0，y > 0，且3x + 4y = 12， 求lgx + lgy的最大值． lg3
算术平均数与几何平均数课件
3、复习引入：定理*1 •如果a,b c R,那么a2 +b2 > 2ab（当且仅当Q = b时取“=，，）1.指出定理适用范围：a,b e R2.强调取的条件=b定理2•如果a,b是正数，那么凹 > 4ab2（当且仅当a = b时取号）注意：1・这个定理适用的范围:w R+2.语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
关于“平均数”的概念及性质：如果a 】卫2丄.a n u/?+，〃> 1且nuN*贝归寸⑷偽人％叫做这n 个正数的几何平均数。
基本不等式：4+勺+ 人+勺 2neN\a t eR +,l<i<n基本不等式及其常用变式(10 +/?2 > lab (a,b G R)% +。
2 +A + d 刃n叫做这n 个正数的算术平均数。
(2)> \[ab (a.b G R+)a h(3)- + ->2 {ab >0) ? b a(4)亍 +/?2+C2> ab + bc + ca (a,b,c G7?)?V、 7 /(a+b 2 / z 7 D\r> (5)ab < ( ------ ) < ------------- (a, /? e 7?)?2 2女口：a,b e 试证明:二、新课讲解:例1.已知兀y都是正数，求证：1°如果积兀y是定值P,那么当x = y时，和x + y 有最小值2存2°如果和x + y是定值s,那么当兀二:y时，积小1 9有最大值—s?4证：.・.号二历1。
当xy = P^定值）时,£±2>V P x + y>2"2 _•.•上式当x=y时取“二”...盘=丁时，兀+ y有最小值2存2。
当X+y = S（定值）时^yjxy < —二xy < —S22 ]• ••上式当x = y时取m当x = y时」y有取大值二s?注意：1。
算术平均数与几何平均数(教学课件2019)
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
算术平均数与几何平均数
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
2 2
lpu48hln
自责地说：“唉，都是爹对不起你们哇！”耿英说：“爹，咱不说这些了，都过去这么多年了！再说了，咱们赢了呢！也真怪了，当时那么一 个阵势，但俺并没有觉着有多难，真就是脱口而出的，而且比说唱那些个早就编好了的词儿还来得快，来得有韵味儿！”耿老爹点点头，非常 肯定地说：“唔，小直子说得对，英子你有这个能力！以后哇，这编写剧本儿的事儿，你就当主力哇！”耿英笑着说：“俺遵命就是了！不过 哇，俺也有个想法呢，爹你应该好好儿地培养培养小直子，他将来肯定会成为咱们乡戏的台柱子的！”耿老爹笑着说：“俺早就看出来了。在 这个方面，小直子是块好材料呢！”耿正说：“那咱就这么说定了，爹和俺农闲的时候教大家乐器；英子你自己抽时间编写剧本儿，然后俺和 爹为唱词谱曲儿，咱们再商量着编排动作过门儿什么的。小直子，你就先跟着俺们学习各种乐器哇；如果有想写的东西，也试着写一些！”耿 老爹说：“好嘞，那咱们就这样分工合作哇！好在做这些事儿虽说有些个辛苦，但同时也是一件很乐呵的事情哩！下一步哇，咱们就先将那把 冷落了多年的二胡，还有那几根笛子再拾起来，老不练会手生的呢。等到过些天去省城提书的时候，再顺便置办回来所有需要的乐器、道具和 其他行头什么的！”耿直说：“俺哥还说不去提书了，让姐夫帮俺赶车，再叫上姐姐和妞儿，还有大娘大伯他们一起去转转呢。这要置办乐器、 道具和行头什么的，就必须得俺哥也去了！”耿老爹看着耿正，说：“哦，你们是这么安排的啊？”耿正说：“先前是这么想的呢，想让小直 子单独去办办事儿，也好让英子带上她公婆小姑子的去省城里玩儿玩儿。”耿英笑着说：“俺才不想去省城转悠呢，这些年都在外面跑，都腻 歪透了，就想待在家里边儿！俺公婆和妞儿也好说，以后会有很多机会的。”耿正说：“那就还是俺和小直子去哇，俺俩顺便商量着买了咱说 的那些东西，再置办一些年货什么的。”当晚，耿家院落里就再次飞扬出了久违的二胡声儿和笛子声儿„„耿英则以飞快的速度，先后编写出 了多个剧本的初稿。其中包括：以耿家父子们与武昌镇上白百大一家的崇高友谊为故事背景的《兄弟姊妹颂》；以江南小镇上李长善一家与耿 老爹的兄弟父子情义为故事背景的《感恩记》；以耿正兄妹三人艰苦创业历程为故事背景的《永不放弃追梦路》；以及反映家乡风土人情的 《邻里一家亲》；倡导尊老爱幼、家庭和睦的《婆媳情》和《翁婿义》；鼓励家乡人们刻苦学习文化知识的《父子同学共进步》，以及《天旱 修渠勿祈雨》„„刚过了小年儿，耿正和耿直就从省城返回来了。除了如数拉回了印刷装订得非常满意的所有课本之外，还顺便置办齐了一整 套的乐器和服装道具等，又另外多买了四把上
算术平均数与几何平均数
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
定理1：如果 a , b R , 那么 a
2
b 2 ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a , b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a
2
b c ab bc ca
2 2 2 c b c a
【数学课件】算术平均数与几何平均数
23． ．求已函 知a数、y=b是x+正21x数的，值且域a2+
b2 2
=1，求a 1 b2
的最大
值
4．y=3x+
x
1
3
(x
3)
的最小值
5．y=2x 1 x2 ,(0<x<1), 求y的最大值
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
好好学习，天天向上。 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
• •
xy的取值构成一个集合，但集合中 25
每个元素的数值不超过25，且在
x=y=5时，即是正方形时面积等于25，
所以面积的最大值为25
例1、 已知x、 y都是正数，
求证: (1)如果和x+y是定值S， 那么当x=y时，
积xy有最大值 s2
4
(2)如果积xy是定值P，那 么 当 x=y 时 ，
和x+y有最小值2 P
目标式 xy 6x • 5y 1 ( 6x 5y )2 81 27
30 30 2
30 10
例题1的变式
练习1、（1）已知y=x(1-x) ,(0<x<1), 求 y的最大值
（2）y=x(1-2x) ,(0<x< 1 ), 求y
算术平均数与几何平均数(2)
极值定理的应用规则:和定积最大,积定和最小
一、复习引入 4.关于“平均数”的概念：
a1 , a2 , , an R , n 1且n N * 则： ①如果
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的算术平均数。 n
n
a1 a 2 a n 叫做这n个正数的几何平均数。
②基本不等式：
四、练习 1.求解下面的问题： 5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5 1 9 (2)已知:x, y R , 且 1, 求x y的最小值. x y
b2 2 2 (3)已知:a, b R , 且a 1, 求a 1 b 的最大值. 2
1 当且仅当 x 1 x 1
1 有最小值1 即 x0 时 x x 1
三、例题讲解
a b 例3 已知 a, b, x, y R 且 1， x y
x y 的最小值 解： x y ( x y ) 1 ( x y )( a b ) a b ay xb
2 2
五、小结
2.等号成立的条件不能满足时,可以再从单调性 a 的角度考虑,力图转化为y x (a 0)的形式. x 3.利用极值求最大(小)值时, (1)x, y (0 ,+ ),且xy = P(定值), 那么当x = y时,x + y有最小值2 P ; (2)x, y (0 ,+ ),且x + y = S(定值), S2 那么当x = y时,xy有最大值 . 4
四、练习
5 1 (1)已知:x , 求函数f ( x) 4 x 的最大值. 4 4x 5
5 提示：x 4 x 5<0 5 4 x >0 4 1 1 f ( x) 4 x ＝（4 x 5) +5 4x 5 4x 5 1 1 =-[（5 4 x) ]+5 2 （5 4 x) 5 3. 5 4x 5 4x 1 当（5 4 x)＝ ，即x 1时，f max ( x) f (1) 3. 5 4x
算术平均数与几何平均数优秀课件
16
注意
运用算术平均数与几何平均数的大 小关系证明不等式，关键是揭示已 知条件与目标不等式的运算结构特 征，找出差异，并将其与基本不等 式的运算结构进行类比，选择相应 的基本不等式化异为同转化证明 .
!!
17
例题
(2)
1 2 1. 设 a 、b ， b 1. 2 . 设、 a b 0 0 ， a 1 , a b 4 4 求 a b 的 最 小 值 . 求ab的最小值.
n n
3
( 1 ) 证 明 :a bb , c a b 0 ,b c 0 ( a b ) ( b c ) 0 a c 0 a c . ( 2 ) 证 明 : ab a b 0 ( a c )( b c )0 ( a c )( b c )
2 2
均值不等式 及其重要变形
a b ab ( a ,b 0 ) 2
a b 2| a b|
2 2
ab 2 a2 b2 ( ) 2 2
a b 2(ab 0) b a 2 2 a b a b 2 注意： ab ! 1 1 2 2 注意：含 是 " 和积互化 " , a b 含 是 " 和和互化 " !
15
例题
略解:
1 6 已 知 函 数 f(x )x (x 2 ) , x 2 求 此 函 数 的 最 小 值 .
x 2, x 2 0,由基本不等式
16 16 得 x ( x 2) 2 x2 x2 16 2 ( x 2) 26 x2 16 当且仅当x 2 时取 " "号. x2
4 4 4 2 2 2 2 2
高中数学 6.2算术平均数与几何平均数(第二课时) 大纲人教版必修
6.2.2 算术平均数与几何平均数（二）●教学目标 (一)教学知识点1.a 2+b 2≥2ab(a,b ∈R )；ab ba ≥+2(a>0,b>0)，当且仅当a=b时取“=”号.2.若a>0，b>0，且a ＋b ＝M ，M 为定值，则ab ≤42M ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的和为定值时，它们的积有最大值）.3.若a>0，b>0，且ab ＝P ，P 为定值，则a ＋b ≥2P ，“=”当且仅当a ＝b 时成立.（即两个正数的积为定值时，它们的和有最小值）(二)能力训练要求1.学生对问题的探索、研究、归纳，能总结出一般性的解题方法和解题规律，进一步使学生掌握所学知识点的结构特征和取“=”条件.2.强化双语教学. (三)德育渗透目标本节是探索、研究性课题，始终以学生动口、动脑、动手去探索，应用公式，激发学生的学习动机，激励学生去取得成功.在分析具体问题特点的过程中，通过寻求运用公式的适当形式和具体方式，自觉提高学生思维训练，分析问题和解决问题的能力.●教学重点基本不等式a2＋b2≥2ab和2ba+≥ab（a＞0，b＞0）的应用，应注意：(1)这两个数(或三个数)都必须是正数，例如：当xy＝4时，如果没有x、y都为正数的条件，就不能说x＋y有最小值4，因为若都是负数且满足xy＝4，x＋y也是负数，此时x＋y可以取比4小的值.(2)这两个数必须满足“和为定值”或“积为定值”，如果找不出“定值”的条件，就不能用这个定理.(3)要保证“=”确定能成立，如果等号不能成立，那么求出的值仍不是最值.●教学难点如何凑成两个(或三个)数的和或积是定值.●教学方法激励——探索——讨论——发现●教具准备小黑板或多媒体课件一：记作§6.2.2 A课件二：记作§6.2.2 B课件三：记作§6.2.2 C课件四：记作§6.2.2 D●教学过程[师]Good morning, everyone.（同学们上午好）[生]Good morning, teacher.（老师上午好）[师]Sit down, please.（请坐）Toda y we’ll learn the new lesson.（今天我们开始上新课）Are you ready?（准备好了吗？）[生]Yes.（是的）[师]OK! Now let’s begin. （好！现在开始上课） Ⅰ.课题导入上一节课，我们学习了一个重要定理：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(以下简称均值不等式).这个定理有时可以直接运用，有时用它的变形或推广形式，它的应用非常广泛，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等.它们涉及到的题目活、变形多，必须把握好凑形技巧.今天，我们共同来探索研究均值不等式的应用.Ⅱ.讲授新课 想一想 公式通（让同学们默读、联想、记忆上一节课所学内容，并加以口头回答，教师打出课件一§6.2.2 A 对照检查其正确性）[师]谁来回答我们上一节课学的定理呢？[生1]a 2＋b 2≥2ab （a ，b ∈R ），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；ab ba ≥+2（a ＞0，b ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号；[师]它有哪些推广呢？[生2] baa b +≥2（ab ＞0），当且仅当a ＝b 时取“＝”号； [生3] 33abc c b a ≥++（a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b＝c 时取“＝”号；a 3＋b 3＋c 3≥3abc （a ＞0，b ＞0，c ＞0），当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”号.（注：教师可板书公式）[师]请生3回答，你是如何想到的呢？[生3]我是通过课本目录，看到P 24阅读材料与我们本节内容有关系，通过预习知道的.[师]非常好！请同学们为上述同学能主动积极回答问题加油鼓掌.试一试 寻思路[教师打出课件二§6.2.2 B ，让同学们根据公式试着做如下题目，并通过讨论（同学间讨论、师生间交流），归纳出解决问题的基本思想]［例1］已知x 、y 都是正数，求证：(1)若积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； (2)若和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值41S 2. ［生4］（1）∵x ，y 都是正数 ∴xy yx ≥+2当积xy ＝P 为定值时，有P yx ≥+2， 即x ＋y ≥2P .上式中，当x ＝y 时取“＝”号，故当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P .[生5](2) ∵x>0,y>0, ∴x+y ≥2xy ，∴xy ≤2yx + 当和x ＋y ＝S 为定值时，有2S xy ≤，即xy ≤41S 2.上式中，当x =y 时取“=”号，故当x =y 时积x y 有最大值41S 2.(生推导，师欣赏，鼓励学生，生板演，得出)（生积极主动，推导板演，师欣赏，鼓励学生勇于探索） [生6]（方法一）∵a>0,b>0,∴a 2+b 2≥2ab ，∴a 2≥2ab-b 2， ∴a 3+b 3=a ·a 2+b ·b 2≥a(2ab-b 2)+b(2ab-a 2)=a 2b+ab 2. [生7]（方法二）∵a>0,b>0,c>0, ∴a 3+b 3+c 3≥3abc ， 又∵a>0,b>0， ∴a 2b+ab2=a ·a ·b+a ·b ·b ≤33333333b b a b a a +++++=a 3+b 3，即a 3+b 3≥a 2b+ab 2.（师：做完一道题目，如果能够广开思维方向，积极进行多途径探索，将会促使你的解题能力快速提高）（让同学们进行交流、归纳，总结出上述同学们完成题目的基本思想）［生8］对例1的证明告知我们，运用均值不等式解决函数的最值问题时，有下面的方法：若两个正数之和为定值，则当且仅当两数相等时，它们的积有最大值；若两个正数之积为定值，则当且仅当两数相等时，它们的和有最小值.[生9]在利用均值不等式求函数的最值问题时，我们应把握好以下两点：(1)函数式中，各项(必要时，还要考虑常数项)必须都是正数.例如，对于函数式x ＋x1，当x ＜0时，绝不能错误地认为关系式x ＋x1≥2成立，并由此得出x ＋x1的最小值是2.事实上，当x ＜0时，x ＋x1的最大值是－2，这是因为x ＜0⇒－x ＞0，－x1＞0⇒－（x ＋x 1）＝（－x ）＋（－x 1）≥2)1()(x x -⋅-＝2⇒x ＋x1≤－2.同时还可以看出，最大值是－2，它在x ＝－1时取得.(2)函数式中，含变数的各项的和或积必须是常数，并且只有当各项相等时，才能利用均值不等式求函数的最值.[生10]在运用均值不等式时应注意：“算术平均数”是以“和”为其本质特征，而“几何平均数”是以“积”为其本质特征.[师]上述题目的解决启发我们：观察所求式，联想所学公式的结构特征，构造出符合公式结构的形式，转化为利用公式求解（数学思想方法的提炼）练一练 求稳固（打出课件三§6.2.2 C ，让同学们通过课堂练习进一步巩固本节的重要不等式——均值不等式，以达到熟练运用均值不等式解决问题的能力）Ⅲ.课堂练习1.已知x ≠0，当x 取什么值时，x 2＋281x的值最小?最小值是多少?[生11]x ≠0⇒x 2＞0，281x＞0. ∴x 2＋281x ≥22281xx ⋅＝1８，当且仅当x 2＝281x ，即x ＝±3时取“＝”号. 故x =±3时，x 2+281x的值最小，其最小值是18.2.一段长为Ｌ m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?[生12]（方法一）设矩形菜园的宽为x m ，则长为（Ｌ－2x ）m ，其中0＜x ＜21，其面积S ＝x （Ｌ－2x ）＝21·2x （Ｌ－2x ）≤218)222(22L x L x =-+，当且仅当2x ＝Ｌ－2x ，即x ＝4L 时菜园面积最大，即菜园长2Lm ，宽为4L m时菜园面积最大为82L m 2.[生13]（方法二）设矩形的长为x m ，则宽为2xL -m ，面积 S ＝2)(2)(2x L x x L x -⋅=- ≤82)2(22L x L x =-+（m 2）.当且仅当x ＝Ｌ－x ，即x ＝2L（m ）时，矩形的面积最大.也就是菜园的长为2Lm ，宽为4L m时，菜园的面积最大，最大面积为82L m 2.3.设0＜x ＜2，求函数f （x ）＝)38(3x x -的最大值，并求出相应的x 值.[生14]∵0＜x ＜2 ∴3x ＞0，8－3x ＞0∴f （x ）＝)38(3x x -≤2)38(3x x -+＝4当且仅当3x ＝8－3x 时，即x ＝34时取“＝”号.故函数f （x ）的最大值为4，此时x ＝34.4.利用算术平均数与几何平均数的关系定理(均值不等式)，可以很容易地解决本章开始的引言中提出的问题：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元?［生15］设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为x34800m ，又设水池总造价为ｌ元.根据题意，得 ｌ＝150×34800＋120（2×3x ＋2×3×x34800）＝240000＋720（x ＋x1600）.≥240000＋720×2xx 1600＝240000＋720×2×40＝297600. 当x ＝x1600，即x ＝40时，ｌ有最小值297600.故当水池的底面是边长为40 m 的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.[师]（巡视，欣赏，帮助个别学生解决）［生16］用均值不等式解决应用题时，应按如下步骤进行： （留给学生时间进行讨论交流，让学生归纳出运用均值不等式解决应用题的一般步骤）(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.[师]同学们完成得很好！我们继续看下面的问题： 议一议 谋发展[打出课件四§6.2.2 D 通过学生探索、讨论，进一步加深对均值不等式的理解，而且激励学生参与或自主发现新知识，感受到知识的发生、发展的过程，并认识到“合情推理”是发明、发现新知识（学生变式思维和创新意识得到发展）的重要法宝][探究性学习——点击高考]1.已知a>0，b>0，x>0，y>0，yb xa +=1，求证：x+y ≥(b a +)2. [学生探索、讨论]巧用条件“1=yb xa +”的整体代入，变形后应用二元均值不等式.[生17]（常见的错误解法） 由二元均值不等式，得 1=yb xa+≥2xyab ，即ab xy 2≥，所以x+y ≥2xy ≥2·2ab =4ab ，故x+y ≥4ab .显然上述证法中未出现（b a +）2，证法错了.[师]谁勇敢地再来尝试一下呢？ [生18]（方法一）∵1=yb xa +，∴x+y=(x+y)·1=(x+y)( y b xa +)（巧用条件）=a+b+x y a+y x b ≥a+b+2b yxa x y ⋅=(b a +)2. 即x+y ≥(b a +)2.[生19]（方法二）∵yb x a +=1，∴设xa =sin 2θ，yb =cos 2θ(0<θ<2π)， 则有x=acsc 2θ，y=bsec 2θ， ∴x+y=acsc 2θ+bsec 2θ（巧换元） =a(1+cot 2θ)+b(1+tan 2θ) =a+b+(a cot θ)2+(b tan θ)2≥a+b+2a cot θ·b tan θ =(b a +)2， 故x+y ≥(b a +)2.[生20]（方法三）∵yb xa +=1，∴y=ax bx -=b+a x ab-(x>a)， ∴x+y=x+b+a x ab-（解代消元）=(x-a)+ax ab-+a+b （巧配凑）≥2)()(ax aba x -⋅-+a+b =(b a +)2， 即x+y ≥(b a +)2.[生21]（方法四）若令m=x+y ，与yb x a +=1联立消去y ，就得关于x 的一元方程.可用判别式法证之.具体步骤：略.[师]（证法的灵活关键在于条件的巧用） 2.若x ，y ，z ∈R ，x+y+z=1，求证x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索1]从所证不等式是二次式，而已知等式是一次式出发，易想到先对条件平方，再设法用二元均值不等式证之.[生22]（方法一）∵x+y+z=1， ∴1=(x+y+z)2=x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx≤x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2)=3(x 2+y 2+z 2)， ∴x 2+y 2+z 2≥31.[生23]（方法二）3(x 2+y 2+z 2)=x 2+y 2+z 2+(x 2+y 2)+(y 2+z 2)+(z 2+x 2) ≥x 2+y 2+z 2+2xy+2yz+2zx=(x+y+z)2=1， 即x 2+y 2+z 2≥31.[学生探索2]活用二元均值不等式的关键在于创设条件，进行恰当的分拆或配凑.易知本例所证不等式取等号的条件是x=y=z=31，此时x 2=y 2=z 2=231，则有如下证法. [生24]（方法三）∵31=231+231+231,∴x 2+y 2+z 2=(x 2+231)(y 2+231)+(z 2+231)-31≥2·31x+2·31y+2·31z-31=32(x+y+z)-31=32-31=31， 故x 2+y 2+z 2≥31.[生25]（常见的错误证法）∵x+y+z=1，∴令x=31-t ，y=31-2t ，z=31+3t （t 为参数） 则有x 2+y 2+z 2=(31-t)2+(31-2t)2+(31+3t)2=31+14t 2≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师生交流]上述证法，一方面，在条件x+y+z=1中，只要确定了x,y,z 中的两个字母的值，其第三个字母的值也就自然确定了.而另一方面，令x=31-t ，y=31-2t,z=31+3t 后，只要确定了参数t 的值即可确定出x,y,z 的值.这就是上述证法犯了以特殊代替一般的错误.[学生探索3]采用增量换元法. [生26]∵x+y+z=1，∴可设x=31+t 1，y=31+t 2，z=31+t 3，则有t 1+t 2+t 3=0， ∴x 2+y 2+z 2=(31+t 1)2+(31+t 2)2+(31+t 3)2=31+32(t 1+t 2+t 3)+(t 12+t 22+t 32)=31+(t 12+t 22+t 32)≥31， 即x 2+y 2+z 2≥31.[师]同学们能从多角度深化题目：“若x,y,z ∈R ，且x+y+z=1，求证：x 2+y 2+z 2≥31”吗？（让同学们探索、思考、讨论、解决，问题激励、语言激励）[生（齐）]能！[师]需要老师给你们举一些例子吗？[生]NO！我们自己解决！[师]好！我相信同学们一定会做得很出色！（问题再次激励同学们去探索、创新）（同学们积极探索、讨论，教师巡视、欣赏，指导并帮助个别学生举一些恰当的例子）[生27]从指数方向推广，有如下例子：1.（1）若x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求证：x3+y3+z3≥91.（2）若x，y，z∈R，x+y+z=1，求证：x4+y4+z4≥27 [生28]从项数方向推广，有如下例子：1.（1）若a，b，c，d∈R，a+b+c+d=1，求证：a2+b2+c2+d2≥4（2）若a i∈R(i=1,2,…,n)，a1+a2+…+a n=1，求证：a12+a22+…1.+a n2≥n[生29]从指数和项数两方面进行推广，有如下例子：1.若a>0，b>0，c>0，d>0，a+b+c+d=1，求证：a3+b3+c3+d3≥16 [师]棒极了！更深层次的推广，还请同学们在以后的学习中不断探索创新.[师点]培养学生探究性学习的好习惯，重在点击悟性、打开思路、启迪智慧、授之以法.让学生学会学习、学会思考、学会沟通、学会运用.注重发散思维和聚敛思维训练，脱离题海，给高考“善事”以“利器”之技巧.Ⅳ.课时小结[师]我们一起回忆，小结这节课所学的内容.[生]（总结）本节课我们用均值不等式顺利解决了函数的一些最值问题.在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件(各因式或项都取正值)；二是合理寻求各因式的和或项的积为定值；三是确定等号能够成立.同时，我们用探究性的学习方法，在分析具体问题特点的过程当中合理运用公式的适当形和具体方式，解决某些实际问题，实实在在地提高数学素质，培养我们的创新能力，能顺利面对新的挑战.Ⅴ.课后作业(一)1.预习：课本P12§6.3.1 不等式的证明.2.预习提纲：(1)用比较法证明不等式.(2)用比较法证明不等式的一般步骤：作差(或商)→变形→判断差（或商）的符号(差与零或商与1的大小)→得证.（二）做一做肯定行课本P11习题6.2 4、5、7●板书设计。
算术平均数与几何平均数2
算术平均数与几何平均数21. 算术平均数算术平均数是最常见的平均数类型，也是我们最常用的一种平均数计算方法。
算术平均数是指一组数值相加后再除以数值的个数来得到的结果。
在数学中，算术平均数也被称为平均数或均值。
算术平均数的计算公式：设有n个数值a1, a2, a3, …, an，它们的算术平均数记为mean，计算公式如下：mean = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n算术平均数在实际应用中非常广泛，常见的应用场景包括统计学、经济学、物理学、生物学等。
例如，在统计学中，我们可以通过计算某个班级的学生考试成绩的算术平均数来了解整个班级的总体水平。
2. 几何平均数几何平均数是一组数值连乘后再开根号得到的结果。
它与算术平均数不同，几何平均数更适合用于描述指数增长或衰减的情况。
几何平均数的计算公式：设有n个数值a1, a2, a3, …, an，它们的几何平均数记为geometric_mean，计算公式如下：geometric_mean = (a1 * a2 * a3 * ... * an) ^ (1/n)几何平均数常用于计算复合增长率、平均增长率等。
它在金融领域的应用非常广泛，例如计算股票的年复合增长率、计算指数的平均收益等。
3. 算术平均数与几何平均数的关系算术平均数与几何平均数是两种不同的平均数计算方法，它们之间存在一定的关系。
首先，当给定一组正数时，算术平均数一定大于等于几何平均数。
这是因为加法和乘法的基本性质决定了算术平均数要大于等于几何平均数。
其次，当给定一组相等的正数时，算术平均数等于几何平均数。
这是因为相等的数值相乘的结果等于这些数值的幂，所以算术平均数等于几何平均数。
最后，当给定一组正数中存在至少一个数值大于1和至少一个数值小于1时，算术平均数一定大于几何平均数。
这是因为乘以小于1的数值会使几何平均数变小，而算术平均数不受影响。
4. 算术平均数与几何平均数的应用举例4.1 统计学在统计学中，我们经常会使用算术平均数和几何平均数来描述数值数据的集中趋势。
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第2课时 算术平均数与几何平均数
1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．
2．定理1 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2
2ab （当且仅当 时 取“＝”号）
3．定理2 如果a 、b ∈+R ，那么2
b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
4．已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：
(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ．
(2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ．
例1．设a 、b ∈R +，试比较2b a +， ab ，222b a +，b
a 2+的大小． 解：∵a 、
b ∈R +，∴
b a 11+≥2ab 1即b a 112
+≤ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立．
又42)2(222ab b a b a ++=+≤4
2222b a b a +++ ＝2
22b a + ∴2b a +≤222b a + 当且仅当a ＝b 时等号成立． 而ab ≤
2b a + 于是b a 112
+≤ab ≤2
b a +≤222b a +(当且仅当a ＝b 时取“＝”号)． 说明：题中的b a 112
+、ab 、2b a +、222b a +分别叫做正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数．也可取特殊值，得出它们的大小关系，然后再证明．
变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题2
22:22a b a b q ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：B.解析： a b =是22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
等号成立的条件. （2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ）
A ．2S p ≥
B ． 2p S p <<
C ．S p >
D ．2p S p ≤<
解：D ．解析：2222221()[()()()]0,2
S p a b c ab bc ac a b b c a c S p -=++-++=-+-+-≥∴≥， 又∵222222222||,||,||,2,2,2a b c b c a a c b a ab b c b bc c a a ac c b -<-<-<∴-+<-+<-+<
∴2222(),2a b c ab bc ac S p ++<++∴<。
（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y
y x x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ≤b
D ．a ≥b
解：B 。
解析：11111x y x y x y a x y x y x y x y
+==+<+++++++++。
（4）b 克盐水中，有a 克盐（0>>a b ），若再添加m 克盐（m>0）则盐水就变咸了，
试根据这一事实提炼一个不等式 .
解： m
b m a b a ++<．解析:由盐的浓度变大得． 例2. 已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），1=+
y b x a
，求x ＋y 的最小值. 解： a ＋b ＋2ab
变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10，
1=+y
b x a ，若 x ＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．
解：⎩⎨⎧==，，82b a 或⎩⎨⎧==.28b a ，． 例3. 已知a, b 都是正数，并且a ≠ b ，求证：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
解：证：(a 5 + b 5 ) - (a 2b 3 + a 3b 2) = ( a 5 - a 3b 2) + (b 5 - a 2b 3 )
= a 3 (a 2 - b 2 ) - b 3 (a 2 - b 2) = (a 2 - b 2 ) (a 3 - b 3)
= (a + b)(a - b)2(a 2 + ab + b 2)
∵a, b 都是正数，∴a + b, a 2 + ab + b 2 > 0
又∵a ≠ b ，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a 2 + ab + b 2) > 0
即：a 5 + b 5 > a 2b 3 + a 3b 2
变式训练3：比较下列两个数的大小：
（1）；与3212--
（2）5632--与；
（3）从以上两小项的结论中，你否得出更一般的结论？并加以证明
解：（1）3212->-,（2）5632->-
（3）一般结论：若231+-+>-+∈*n n n n N n 则成立
证明 欲证231+-+>-+n n n n 成立 只需证231
11
+++>++n n n n 也就是231+++<++n n n n （*）
*∈N n
从而（*）成立，故231+-+>-+n n n n )(*∈N n
例4. 甲、乙两地相距S （千米），汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度最大不得超过c （千米/小时）．已知汽车每小时的运输成本（元）由可变部分与固定部分组成．可变部分与速度v （千米/小时）的平方成正比，且比例系数为正常数b ；固定部分为a 元．
(1) 试将全程运输成本Y(元)表示成速度V(千米/小时)的函数.
(2) 为使全程运输成本最省，汽车应以多大速度行驶？
解: (1) 依题意得，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为v s ,全程运输成本为y ＝a·v
s ＋bv 2·v s
＝s(v a ＋bv)，故所求函数及其定义域为y ＝s(v a ＋bv)v ∈(0,c) (2) ∵s 、a 、b 、v ∈R +，故s(
v a ＋bv)≥2s ab 当且仅当v a ＝bv 时取等号，此时v ＝b a 若
b a ≤
c 即v ＝b a 时，全程运输成本最小． 若b
a >c ，则当v ∈(0，c)时， y ＝s(v a ＋bv)－s(c
a ＋bc)＝vc s (c －v)(a －bcv) ∵c －v≥0，且a>bc 2，故有a －bcv≥a －bc 2>0
∴ s(v
a ＋bv)≥s(c a ＋bc)，且仅当v ＝c 时取等号，即v ＝c 时全程运输成本最小．
变式训练4：为了通过计算机进行较大规模的计算，人们目前普遍采用下列两种方法： 第一种传统方法是建造一台超级计算机．此种方法在过去曾被普遍采用．但是人们逐渐发现建造单独的超级计算机并不合算，因为它的运算能力和成本的平方根成正比．
另一种比较新的技术是建造分布式计算机系统．它是通过大量使用低性能计算机(也叫工作站)组成一个计算网络．这样的网络具有惊人的计算能力，因为整个网络的计算能力是各个工作站的效能之和．
假设计算机的计算能力的单位是MIPS(即每秒执行百万条指令的次数)，一台运算能力为6000MIPS 的传统巨型机的成本为100万元；而在分布式系统中，每个工作站的运算能力为300MIPS ，其价格仅为5万元．需要说明的是，建造分布式计算系统需要较高的技术水平，初期的科技研发及网络建设费用约为600万元．
请问：在投入费用为多少的时候，建造新型的分布式计算系统更合算？
解：设投入的资金为x 万元，两种方法所能达到的计算能力为21,y y MIPS ， 则x k y 11=．
把100=x ，60001=y 代入上式得6001=k ，又)600(22-=x k y ，
当5600=-x 时，3002=y 代入上式得602=k ，
由2y ≥1y 得)600(60-x ≥x 600，即60010--x x ≥0，
解得x ≥900(万元)．
答：在投入费用为900万元以上时，建造新型的分布式计算系统更合算。
1．在应用两个定理时，必须熟悉它们的常用变形，同时注意它们成立的条件．
2．在使用“和为常数、积有最大值”和“积为常数、和有最小值”这两个结论时，必须注意三点：“一正”——变量为正数，“二定”——和或积为定值，“三相等”——等号应能取到，简记为“一正二定三相等”。