最大公约数与最小公倍数应用

最大公约数与最小公倍数应用(一)

—、知识要点：

1、性质1：如果a、b两数的最大公约数为d,则a=md, b=nd,并且(m,n)二1。例

如：(24,54) =6,24=4X6,54=9X6, (4,9)二1。

2、性质2：两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积。

a与b的最小公倍数[a,b]是a与b的所有倍数的最大公约数，并且aXb=[a, b] X (a,b)o

例如：(18, 12) = , [18, 12]= (18, 12) X[18, 12] =

3、两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数。

3、辗转相除法

二、热点考题：

例1两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。(运用性质2)

练一练：甲数是36,屮、乙两数的最大公约数是4,最小公倍数是288,求乙数。

例2两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是77, 求这两个自然数。

分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。” 例3已知a 与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是120,求a, b, Co 分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是[12, 15]=60 的倍数。再由[a, b, c]二120 知，a 只能是60 或120。[a, c]=15, 说明c没有质因数2,又因为[a, b, c]=120=23X3X5,所以c=15o

练一练：已知两数的最大公约数是21,最小公倍数是126,求这两个数的和是多少？

例4已知两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数。

例5已知两个自然数的积为240,最小公倍数为60,求这两个数。

习题四

1.已知某数与24的最大公约数为4,最小公倍数为168,求此数。

2.已知两个自然数的最大公约数为4,最小公倍数为120,求这两个数。

3.已知两个自然数的和为165,它们的最大公约数为13,求这两个数。

4.已知两个自然数的差为48,它们的最小公倍数为60,求这两个数。

5、已知两个自然数的差为30,它们的最小公倍数与最大公约数的差为450,求这两个自然数。

6、已知两个自然数的和为900,它们的最大公约数与最小公倍数的乘积为432, 求这两个自然数。

7、五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？

8、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？

9、已知A与B的最大公约数为6,最小公倍数为84,且AXB=42,求B。

10、已知A和B的最大公约数是31,且AXB=5766,求A和B。

11、有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3, 5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？

家庭练习

1.拖拉机前轮直径64厘米，后轮直径96厘米，拖拉机开动后，前轮至少转多少圈，才能使前、后轮同时着地的两点重新同时着地？

2.现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的儿个班, 每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？

3、一个数被2除余1,被3除余2,被4除余3,被5除余4,被6除余5,此数最小是儿？

4、将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。3、两个自然数的最大公约数是12,最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪儿组？

例1用自然数a去除498, 450, 414,得到相同的余数，a最大是多少?

分析与解：因为498, 450, 414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被 a 整除。498-450=48, 450-414=36, 498-414=84<■ 所求数是(48, 36, 84) =12。

例2现有三个自然数，它们的和是1111,这样的三个自然数的公约数中，最大的

可以是多少？

分析与解：只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件''它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们的公约数一立是1111的约数。因为1111=101X11,它的约数只能是1, 11, 101和1111,由于三个自然数的和是1111,所以三个自然数都小于1111, 1111不可能是三个自然数的公约数，而101 是可能的，比如取三个数为101, 101和909。所以所求数是101。

练习：

1、在1000到2000之间，能同时被6、8、10这三个自然数整除的自然数一共有儿个？

2、三个连续偶数，它们分别是12、14、16的倍数，比它们大的这样三个偶数最小各是多少？

3、四个连续自然数，它们分别是6、7、8、9的倍数，比它们大的这样四个自然数最小各是多少？

4、中、乙、丙三人沿600米的环形跑道从同一地点出发同时同向跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米。至少经过多少时间三人乂同时从出发点出发？

5、两数的乘积是9000,它们的最大公因数是13,这个两数各是多少？

6、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分13秒和1分30

秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？

7、两个小于150的数的积是2028,它们的最大公约数是13,求这两个数。

8、有一堆桔子，按每4个一堆分少1个，按每5个一堆分也少1个，按每6个

一堆分还是少1个。这堆桔子至少有多少个？

【例3】狐狸和袋鼠进行跳远比赛，狐狸每次跳4. 5米，袋鼠每次跳2・75米，它们每秒都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12. 375米设一个陷阱，当它们之中一个先掉进陷阱时，另一个跳了多少米？

【例5】用长9厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体搭一个正方体，至少需要多少块这样的长方体木块？

【例6】（1） A、B两数的乘积是216,它们的最小公倍数是36。A、B两数的最大公因数是多少？（2）屮乙两数的最小公倍数是288,最大公因数是4,屮数是36,乙数是多少？

【例7】加工某种机器零件，要经过三道工序.第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，笫三道工序每个工人每小时可完成5个，要使加工生产均衡，三道工序至少各分配儿个工人？

练习：

1.中数是乙数的三分之一，甲数和乙数的最小公倍数是54,甲数是多少？乙数是多少？

2•—块长方形地面，长120米，宽60米，要在它的四周和四角种树，每两棵之间的距离相等，最少要种树苗多少棵？每相邻两棵之间的距离是多少米？

3.已知两个自然数的积是5766,它们的最大公约数是31.求这两个自然数。

4.有一队同学去野炊，吃饭时，他们两人一个饭碗，三个人一个菜碗，四个人一个汤碗，一共用了91个碗。参加野炊的至少有多少同学？