最大公约数

最大公约数

最大公约数

最大公约数，也称最大公因数、最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个。a，b的最大公约数记为(a，b)，同样的，a，b，c的最大公约数记为(a，b，c)，多个整数的最大公约数也有同样的记号。求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法。与最大公约数相对应的概念是最小公倍数，a，b的最小公倍数记为[a，b]。

基本信息

中文名称最大公约数外文名称Greatest Common Divisor(GCD) 别名Highest Common Factor(HCF)所属学科数论折叠编辑本段基本介绍最大公约数(greatest common divisor，简写为gcd;或highest common factor，简写为hcf)，指某几个整数共有因子中最大的一个。

最大公约数能够整除一个整数的整数称为其的约数(如5是10约数);能够被一个整数整除的整数称为其的倍数(如10是5的倍数);如果一个数既是数A的约数，又是数B的约数，称为A,B的公约数，A,B 的公约数中最大的一个(可以包括AB自身)称为AB的最大公约数[1]折叠编辑本段定义如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b 的倍数，b为a的约数。几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公约数。例：在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f(x, y)表示x，y的最大公约数，取k = x/y，b = x%y，则x = ky + b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y;而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y 的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x, y)= f(y, x%y)(y > 0)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数就是两者最大的公约数。例如，

12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和30的最大公约数。辗转相除法是古希腊求两个正整数的最大公约数的，也叫欧几里德算法，其方法是用较大的数除以较小的数，上面较小的除数和得出的余数构成新的一对数，继续做上面的除法，直到出现能够整除的两个数，其中较小的数(即除数)就是最大公约数。以求288和123的最大公约数为例，操作如下：288÷123=2余42123÷42=2余3942÷39=1余339÷3=13所以3就是288和123的最大公约数。折叠编辑本段性质重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a) (交换律)gcd(-a,b)=gcd(a,b)gcd(a,a)=|a|gcd(a,0)=|a|gcd(a,1)=1gcd(a,b)=gcd(b, a mod b)gcd(a,b)=gcd(b, a-b)如果有附加的一个自然数m,则: gcd(ma,mb)=m * gcd(a,b) (分配律)gcd(a+mb ,b)=gcd(a,b)如果m 是a和b的最大公约数，则： gcd(a/m ,b/m)=gcd(a,b)/m在乘法函数中有：gcd(ab,m)=gcd(a,m) * gcd(b,m)两个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：* 两数各分解质因数，然后取出同样有的质因数乘起来*辗转相除法(扩展版)和最小公倍数(lcm)的关系：gcd(a, b) * lcm(a, b) = aba与b有最大公约数，两个整数的最大公因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。两个整数的最大公因子和最小公倍数中存在分配律：* gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b), gcd(a, c))* lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b), lcm(a, c))

在坐标里，将点(0, 0)和(a, b)连起来，通过整数坐标的点的数目(除了(0, 0)一点之外)就是gcd(a, b)。折叠应用贝祖注意：网页中无法显示数学中的脚标! a0,a1,...，a(n-1),a(n) 是数列，r1.r2,...,r(n-1),r(n)也是数列。 r(n-1) 即数列的第(n-1)项别弄错了。对任意两个整数a、b，设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方程(称为贝祖等式)：贝祖等式，依艾蒂·贝祖命名，是线性丢番图方程。它说明若有整数a、b和其最大公因子d，必存在整数x、y使得：ax + by = d x、y称为贝祖数，可用扩展版辗转相除法求得，但结果不是唯一的。例如12和42的最大公因子是6，便可以写(-3)×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1)×42 = 6。 d其实就是最小可以写成ax + by形式的正整数。辗转相除法是用来求最大公约数的.我们用代数的形式来表

达(实质上，算术形式也是可以完全讲得清楚的).给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，写成式子 a=a0b+r，0≤rr>r1>r2>…逐步小下来，而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1).这就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法.这个方法不但给出了求最大公约数的方法，而且帮助我们找出x、y，使ax+by=d.(4)在说明一般道理之前，先看下面的例子. 从求42897与18644的最大公约数出发：42897=2×18644+5609，(i) 18644=3×5609+1817，(ii) 5609=3×1817+158，(iii) 1817=11×158+79， (iv) 158=2×79. 这样求出最大公约数是79.我们现在来寻求x、y，使42897x+18644y=79. 由(iv)可知1817-11×158=79. 把(iii)式的158表达式代入此式，得79=1817-11(5609-3×1817) =34×1817-11×5609. 再以(ii)式的1817表达式代入，得79=34×(18644-3×5609)-11×5609 =34×18644-113×5609. 再以(i)式的5609表达式代入，得79=34×18644-113×(42897-2×18644) =260×18644-113×42897. 也就是x=-113，y=260. 这虽然是特例，也说明了一般的理论.一般的理论是：把辗转相除法写成为 a=a0b+r， b=a1r+r1，r=a2r1+r2，r1=a3r2+r3，……… r(n-1)=a(n+1)r(n)+ r(n+1)，r(n)=a(n+2)r(n+1). 这样得出最大公约数d=r(n+1).由倒数第二式，r(n+1)可以表为r(n-1)、r(n)的一次式，再倒回一个可以表为r(n-2)、r(n-1)的一次式，…，最后表为a、b的一次式.即把d放在等式的一边，