高考模拟练习—重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题(含答案解析)
2021-2022学年重庆市七校联盟高三第二次联考数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++>⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +>2．已知复数552iz i i=+-，则||z =（ ）A B ．C ．D ．3．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+B ．32i +C ．32i --D ．32i -4．在四面体P ABC -中，ABC 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ）A ．B ．C ．24D ．5．若集合M ＝{1，3}，N ＝{1，3，5}，则满足M ∪X ＝N 的集合X 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．46．若2nx⎛⎝的二项式展开式中二项式系数的和为32，则正整数n 的值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．47．明代数学家程大位（1533~1606年），有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y 的值为2，则输入的x 的值为（ ）A ．74B ．5627C ．2D ．164818．2(1ii +=- ) A ．132i +B ．32i+ C ．32i- D ．132i-+ 9．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-10．某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）A ．6.25%B ．7.5%C ．10.25%D ．31.25%11．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A ．23B ．33C ．22D ．3212．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱11A D ，1D D ，11A B 的中点，给出下列命题：①1AC EG ⊥；②//GC ED ；③1B F ⊥平面1BGC ；④EF 和1BB 成角为4π.正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022年重庆市高考数学二模试卷及答案解析
2022年重庆市高考数学二模试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3＜0}，B ={x|14≤(12)x ≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（2，3）B ．[2，3）C ．（1，2]D ．（0，1]2．设复数z 满足（2﹣3i ）z ＝3+2i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√2C ．1D ．√223．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A ．√28B ．12C ．14D ．√244．“a ＝﹣4”是“2x +ay ﹣1＝0与直线（a +3）x +2y +2＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件5．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线4x +3y +1＝0垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．√72B ．√73C ．54D ．536．（2x +a ）（x +2x ）6的展开式中x 2的系数为﹣120，则该二项式展开式中的常数项为（ ）A ．320B ．﹣160C ．160D ．﹣3207．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，f （α）＝﹣1，f （β）＝3，若|α﹣β|的最小值为3π2，且的图像关于点(π4，1)对称，则函数f （x ）的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．x =−3π4B ．x =−π2C ．x =π12D ．x =π48．已知函数f （x ）＝（a +3）e 2x ﹣（a +1）xe x +x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则(1−x 1e x 1)2(1−x 2e x 2)(1−x 3e x 3)的值为（ ） A ．3B ．4C ．9D ．16二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分． （多选）9．下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据x 1，x 2，x 3，⋯，x 10的方差为3，则x 1+2，x 2+2，x 3+2，⋯，x 10+2的方差也为3B ．对具有线性相关关系的变量x ，y ，其线性回归方程为y =0.3x −m ，若样本点的中心为（m ，2.8），则实数m 的值是4C ．已知随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），若P （X ＞﹣1）+P （X ≥5）＝1，则μ＝2D ．已知随机变量X 服从二项分布B(n ，13)，若E （3X +1）＝6，则n ＝6（多选）10．已知向量a →=(√2，1)，b →=(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是（ ）A ．若a →⊥b →，则tanθ=√2 B ．若b →在a →上的投影向量为−√36|a →|，则向量a →与b →夹角为2π3C ．与a →共线的单位向量只有一个为(√63，√33) D ．存在θ，使得|a →+b →|=|a →|+|b →|（多选）11．在平面直角坐标系xOy 中，过直线x +y ﹣2＝0上任一点P 做圆O ：x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列说法正确的是（ ） A ．边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为（1，1）B ．四边形OAPB 面积的最小值为1C ．∠APB 不可能为钝角D ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为（2，0）（多选）12．如图①，矩形ABCD 的边AB =2√3，设AD ＝x ，x ＞0，三角形ABE 为等边三角形，沿AB 将三角形ABE 折起，构成四棱立E ﹣ABCD 如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若M 为AB 中点，则在线段EB 上存在点P ，使得PC ∥平面EDMB ．当x ∈(3，2√3)时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD ⊥平面ABCDC ．若使点E 在平面ABCD 内的射影落在线段DC 上，则此时该四棱锥的体积最大值为3√3 D ．若x =√6，且当点E 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段DC 上时，三棱锥E ﹣HAD 的外接球半径与内切球半径的比值为3√2+√6+22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设O 为坐标原点，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点．若|PF |＝3，则△OPF 的面积为 ． 14．2√3−tan12°= ．15．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，满足对任意x 1，x 2∈[0，+∞），其中x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，且f （2）＝3，则不等式f(x)＞6x 的解集为 ． 16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用S k 表示，由题意知S 1=πR 22，S 2=3πR 24，则S 4＝ ；如果对折n 次，则∑ n k=1S k = ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣n（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）记b n=a n+1a n a n+1，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．请在①b+bcosC=√3csinB；②（2b﹣a）cos C＝c cos A；③a2+b2−c2=4√33S，这三个条件中任选一个，完成下列问题：（1）求角C；（2）若a＝5，c＝7，延长CB到点D，使cos∠ADC=√217，求线段BD的长度．19．（12分）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n ．如果n ＝2，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果n ＝3，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品概率为13，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为13，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X 元，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值是√63，求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，且C 过点(√22，√32)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求F 2A →⋅F 2B →的最大值．22．（12分）已知函数f（x）＝e﹣x（x+1）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）设t1，t2为两个不等的正数，且t2lnt1﹣t1lnt2＝t1﹣t2，若不等lnt1+λlnt2＞0恒成立，求实数λ的取值范围．2022年重庆市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x |x 2﹣4x +3＜0}，B ={x|14≤(12)x ≤1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（2，3）B ．[2，3）C ．（1，2]D ．（0，1]解：由已知可得集合A ＝{x |x 2﹣4x +3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |0≤x ≤2}， 则∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞2}，所以A ∩（∁R B ）＝{x |2＜x ＜3}， 故选：A ．2．设复数z 满足（2﹣3i ）z ＝3+2i ，则|z |＝（ ） A ．12B ．√2C ．1D ．√22解：∵（2﹣3i ）z ＝3+2i ， ∴z =3+2i 2−3i =(3+2i)(2+3i)(2−3i)(2+3i)=i ， ∴|z |＝1， 故选：C ．3．已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A ．√28B ．12C ．14D ．√24解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ， ∵圆锥的侧面展开图为一个半圆， ∴2πr ＝πl ， 解得rl=12．故选：B ．4．“a ＝﹣4”是“2x +ay ﹣1＝0与直线（a +3）x +2y +2＝0平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解：当直线“2x +ay ﹣1＝0与直线（a +3）x +2y +2＝0平行时， 则4﹣（a +3）a ＝0，整理得a 2+3a ﹣4＝0， 解得a ＝﹣4或1．故当a ＝﹣4或1是直线“2x +ay ﹣1＝0与直线（a +3）x +2y +2＝0平行的充要条件； 进一步得到“a ＝﹣4”是“2x +ay ﹣1＝0与直线（a +3）x +2y +2＝0平行”的充分不必要条件． 故选：A ． 5．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线4x +3y +1＝0垂直，则双曲线的离心率为（ ） A ．√72B ．√73C ．54D ．53解：因为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线与直线4x +3y +1＝0垂直，所以渐近线的斜率为34，即ba=34， 解得b =34a ， 所以b 2=916a 2， 又b 2＝c 2﹣a 2， 所以c 2﹣a 2=916a 2， 解得ca=54，所以双曲线的离心率为e =54． 故选：C ．6．（2x +a ）（x +2x ）6的展开式中x 2的系数为﹣120，则该二项式展开式中的常数项为（ ）A ．320B ．﹣160C ．160D ．﹣320解：(x +2x)6 的展开式通项为T r +1=C 6r ⋅x 6−r ⋅(2x)r =C 6r⋅2r ⋅x 6−2r ， 2xT r +1=C 6r ⋅2r+1⋅x 7−2r ，由r ∈N ，则7﹣2r ≠2，故不成立，aT k +1=aC 6k ⋅2k ⋅x 6−2k ，令6﹣2k ＝2，解得k ＝2，则aC 62⋅22=60a =−120，解得a ＝﹣2，∵7﹣2r ≠0，在﹣2T k +1 中，令6﹣2k ＝3，解得k ＝3，∴展开式中的常数项为−2C 63⋅23=−320．故选：D ．7．已知函数f(x)=2sin(ωx +φ)+1(ω＞0，|φ|＜π2)，f （α）＝﹣1，f （β）＝3，若|α﹣β|的最小值为3π2，且的图像关于点(π4，1)对称，则函数f （x ）的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程是（ ） A ．x =−3π4B ．x =−π2C ．x =π12D ．x =π4解：函数f （x ）的最大值为2+1＝3，最小值为﹣2+1＝﹣1， 由f （α）＝﹣1，f （β）＝3，且|α﹣β|的最小值为3π2，得T2=3π2，得T ＝3π，即2πω=3π，得ω=23，函数的图像关于点(π4，1)对称， 即23×π4+φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π−π6，k ∈Z ，∵|φ|＜π2，∴当k ＝0时，φ=−π6， 即f （x ）＝2sin （23x −π6）+1，由23x −π6=k π+π2，得x =32k π+π，k ∈Z ， 则当k ＝﹣1时，对称轴距离原点最近，此时x =−π2， 故选：B ．8．已知函数f （x ）＝（a +3）e 2x ﹣（a +1）xe x +x 2有三个不同的零点x 1，x 2，x 3，且x 1＜x 2＜x 3，则(1−x 1e x 1)2(1−x 2e x 2)(1−x 3e x 3)的值为（ ） A ．3B ．4C ．9D ．16解：f(x)=e 2x [(x ex )2−(a +1)⋅xe x+(a +3)]， 因为e 2x ＞0，所以(x ex )2−(a +1)⋅xe x+(a +3)=0有三个不同的零点x 1，x 2，x 3， 令g(x)=xe x ，g′(x)=1−x e x ，g （x ）在（﹣∞，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减， 所以g(x)max =g(1)=1e ，且当x ＞0时，x e x＞0，令t =xe x ∈(−∞，1e ]，则t 2﹣（a +1）t +（a +3）＝0必有两个根，t 1，t 2，且t1＜0，0＜t2＜1e，且t1+t2＝a+1，t1•t2＝a+3，t1=x e x有一个解x1＜0，t2=x e x有两个解x2，x3，且0＜x2＜1＜x3，故(1−x1e x1)(1−x2e x2)(1−x3e x3)=(1−t1)2(1−t2)2=[1−(t1+t2)+t1t2]2=[1﹣（a+1）+a+3]2＝9，所以(1−x1e x1)(1−x2e x2)(1−x3e x3)=9，故选：C．二、多项选择题本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全得3分，有选错的得0分．（多选）9．下列说法正确的的有（）A．已知一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，则x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3B．对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为y=0.3x−m，若样本点的中心为（m，2.8），则实数m的值是4C．已知随机变量X服从正态分布N（μ，σ2），若P（X＞﹣1）+P（X≥5）＝1，则μ＝2D．已知随机变量X服从二项分布B(n，13)，若E（3X+1）＝6，则n＝6解：对于A，因为一组数据x1，x2，x3，⋯，x10的方差为3，由方差的运算性质可知，所以x1+2，x2+2，x3+2，⋯，x10+2的方差也为3，故选项A正确；对于B，线性回归方程为y=0.3x−m，因为样本点的中心为（m，2.8）在回归方程上，所以2.8＝0.3m ﹣m ，解得m ＝14， 故选项B 错误；对于C ，因为随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2）， 则其密度曲线关于X ＝μ对称， 所以1﹣P （X ＞﹣1）＝P （X ≤﹣1）， 又P （X ＞﹣1）+P （X ≥5）＝1， 所以P （X ≥5）＝P （X ≤﹣1）， 则μ=−1+52=2， 故选项C 正确；对于D ，因为随机变量X 服从二项分布B(n ，13)， 所以E （X ）=13n ，则E （3X +1）＝3E （X ）+1＝n +1， 因为E （3X +1）＝6， 则n +1＝6， 所以n ＝5， 故选：AC ．（多选）10．已知向量a →=(√2，1)，b →=(cosθ，sinθ)(0≤θ≤π)，则下列命题正确的是（ ）A ．若a →⊥b →，则tanθ=√2 B ．若b →在a →上的投影向量为−√36|a →|，则向量a →与b →夹角为2π3C ．与a →共线的单位向量只有一个为(√63，√33) D ．存在θ，使得|a →+b →|=|a →|+|b →| 解：A 选项：若a →⊥b →，则a →⋅b →=0，∴√2cosθ+sinθ=0，∴tanθ=−√2．故A 选项错误； B 选项：∵a →=(√2，1) 即：||=√3， ∴b →在a →上的投影为−√36⋅√3=−12，又∵||=1， ∴cosθ=−12， ∴θ=2π3．故B 选项正确； C 选项：与a →共线的单位向量可设为(√2λ，λ)， ∵要求的是单位向量∴√2λ2+λ2=1， ∴λ=√33， 故此单位向量为(√63，√33)， 故C 选项正确；D 选项：要使得等式成立，即a →与b →同向．故a →=λb →(λ＞0)，{√2=λcosθ①1=λsinθ②∴①÷②得：tanθ=√22． 故存在θ使等式成立．故D 选项正确． 故选：BCD ．（多选）11．在平面直角坐标系xOy 中，过直线x +y ﹣2＝0上任一点P 做圆O ：x 2+y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列说法正确的是（ ） A ．边形OAPB 为正方形时，点P 的坐标为（1，1）B ．四边形OAPB 面积的最小值为1C ．∠APB 不可能为钝角D ．当△P AB 为等边三角形时，点P 的坐标为（2，0）解：对A ：设P （x ，2﹣x ），由题意，四边形OAPB 为正方形时，|OP|=√(x −0)2+(2−x −0)2=√2，解得x ＝1，所以点P 的坐标为（1，1），选项A 正确； 对B ：四边形OAPB 面积S OAPB =2S △OAP =2×12×|OA||AP|=|AP|=√|OP|2−1， 因为|OP|min =|0+0−2|√1+1=√2，所以(S OAPB )min =√|OP|min2−1=1，故选项B 正确；对C ：由题意，∠APB ＝2∠APO ，在直角三角形OAP 中，sin∠APO =|OA||OP|=1|OP|， 由选项B 知|OP|min =√2，所以sin∠APO =1|OP|≤√2=√22， 因为∠APO 为锐角，所以0＜∠APO ≤π4，所以0＜∠APB ≤π2，故选项C 正确；对D ：当△P AB 为等边三角形时，∠APO =π6，所以|OP |＝2，则|OP|=√(x −0)2+(2−x −0)2=2，解得x ＝2或x ＝0，此时点P 的坐标为（2，0）或（0，2），故选项D 错误； 故选：ABC ．（多选）12．如图①，矩形ABCD 的边AB =2√3，设AD ＝x ，x ＞0，三角形ABE 为等边三角形，沿AB 将三角形ABE 折起，构成四棱立E ﹣ABCD 如图②，则下列说法正确的有（ ）A ．若M 为AB 中点，则在线段EB 上存在点P ，使得PC ∥平面EDMB ．当x ∈(3，2√3)时，则在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD ⊥平面ABCDC ．若使点E 在平面ABCD 内的射影落在线段DC 上，则此时该四棱锥的体积最大值为3√3 D ．若x =√6，且当点E 在平面ABCD 内的射影点H 落在线段DC 上时，三棱锥E ﹣HAD 的外接球半径与内切球半径的比值为3√2+√6+22解：对于选项A ，如图，延长DM 交CB 的延长线于点N ，则平面EDM ∩平面ECB ＝EN ，此时CP 与EN 必有交点，则CP 与平面EDM 相交，故选项A 错误， 对于选项B ：取CD 的中点H ，连接EH ，HM ，EM ，则EH ⊥CD ，若平面ECD ⊥平面ABCD ，则有EH ⊥平面ABCD ， ∴EH ⊥HM ，∴EH =√EM 2−HM 2=(√32×2√3)2−x 2=√9−x 2，当x ∈(3，2√3)时，无解，所以在翻折过程中，不存在某个位置满足平面ECD ⊥平面ABCD ，故选项B 正确， 对于选项C ：由题意可知，此时平面ECD ⊥平面ABCD ，由B 可知x ∈（0，√3）， ∴四棱锥的体积V =13⋅2√3x ⋅EH =2√33x √9−x 2=2√33√x 2(9−x 2)≤2√33⋅x 2(9−x 2)2=3√3， 当且仅当x 2＝9﹣x 2即x =3√22时，等号成立，故选项C 正确， 对于选项D ：由题意可知，此时平面ECD ⊥平面ABCD ，且EH =√3，∵△DHA ，△EHA 都是直角三角形，∴三棱锥E ﹣HAD 的外接球的球心为EA 的中点P ，∴外接球的半径R =12EA =√3， 设三棱锥E ﹣HAD 的内切球的半径为r ，由等体积法可得13×12√6×√3×√3=13×12×√6×√3⋅r +13×12×√3×√3⋅r +13×12×3×√3r +13×12×√6×√6r ，∴r =√6√2+√3+3，∴R r=√3×√2+√3+3√6=2+√6+3√22，故选项D 正确，故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设O 为坐标原点，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，P 为抛物线上一点．若|PF |＝3，则△OPF 的面积为 √2 ．解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x ＝﹣1，焦点F （1，0）， 又P 为C 上一点，|PF |＝3，∴x P ＝2， 代入抛物线方程得：|y P |＝2√2， ∴S △POF =12×|OF |×2√2=√2． 故答案为：√2． 14．2√3−tan12°=18．解：原式=√3−tan12°=√3−sin12°cos12°=√3cos12°−sin12°=12sin24°cos24°2sin48°=14sin48°2sin48°=18． 故答案为：18．15．已知f （x ）为定义在R 上的奇函数，满足对任意x 1，x 2∈[0，+∞），其中x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0，且f （2）＝3，则不等式f(x)＞6x 的解集为 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．解：对任意x 1，x 2∈[0，+∞），当x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[x 1f （x 1）﹣x 2f （x 2）]＞0， 可得g （x ）＝xf （x ）在[0，+∞）递增， 由y ＝f （x ）为奇函数，可得g （x ）为偶函数， g （x ）在（﹣∞，0）递减，由f （2）＝3，可得2f （2）＝6，则g （2）＝g （﹣2）＝6，不等式f(x)＞6x 即为xf(x)−6x＞0，则{x ＜0xf(x)＜6或{x ＞0xf(x)＞6，即{x ＜0g(x)＜g(−2)或{x ＞0g(x)＞g(2)，即有{x ＜0x ＞−2或{x ＞0x ＞2，解得﹣2＜x ＜0或x ＞2，所以原不等式的解集为（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．16．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．现有一张半径为R 的圆形纸，对折1次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第2次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第3次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同．如果把k 次对折后得到的不同规格的图形面积和用S k 表示，由题意知S 1=πR 22，S 2=3πR 24，则S 4＝ 15πR 216 ；如果对折n 次，则∑ n k=1S k = （n ﹣1+12n ）πR 2． ． 解：对折一次有S 1=πR 22，对折二次S 2=3πR 24，且S 2﹣S 1=14πR 2，对折三次有S 3=7πR 28，且S 3﹣S 2=18πR 2；对折四次有S 4=15πR 216，且S 4﹣S 3=116πR 2；对折n 次后S n ﹣S n ﹣1=12n πR 2； 所以S n ＝（S n ﹣S n ﹣1）+⋯⋯+（S 4﹣S 3）+（S 3﹣S 2）+（S 2﹣S 1）+S 1 =12n πR 2+⋯⋯+116πR 2+18πR 2+14πR 2+12πR 2 =12πR 2[1−(12)n ]1−12=（1−12n ）πR 2， 所以∑ n k=1S k =S 1+S 2+S 3+S 4+⋯⋯+S n ＝（1−12）πR 2+（1−14）πR 2+（1−18）πR 2+⋯⋯+（1−12n ）πR 2 ＝n πR2−12πR 2[1−(12)n]1−12=n πR 2﹣（1−12n ）πR 2＝（n ﹣1+12n ）πR 2． 故答案为：15πR 216；（n ﹣1+12n ）πR 2． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＝2a n ﹣n （n ∈N *）． （Ⅰ）证明：数列{a n +1}是等比数列；（Ⅱ）记b n =a n +1a n a ，求数列{b n }的前n 项和T n ．（I）证明：∵S n＝2a n﹣n（n∈N*），∴当n＝1时，a1＝2a1﹣1，解得a1＝1；S n+1＝2a n+1﹣（n+1），∴S n+1﹣S n＝2a n+1﹣（n+1）﹣（2a n﹣n），化为a n+1＝2a n+1，变形为a n+1+1＝2（a n+1），∴数列{a n+1}是等比数列，首项为2，公比为2；（II）解：由（I）可得：a n＝2n﹣1．b n=a n+1a n a n+1=2n(2n−1)(2n+1−1)=12n−1−12n+1−1，∴数列{b n}的前n项和T n=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12n−12n+1−1)=1−12n+1−1．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S．请在①b+bcosC=√3csinB；②（2b﹣a）cos C＝c cos A；③a2+b2−c2=4√33S，这三个条件中任选一个，完成下列问题：（1）求角C；（2）若a＝5，c＝7，延长CB到点D，使cos∠ADC=√217，求线段BD的长度．解：（1）若选①：∵b+bcosC=√3csinB．∴sinB+sinBcosC=√3sinCsinB，又sin B≠0，∴1+cosC=√3sinC，即sin(C−π6)=12，又0＜C＜π，∴−π6＜C−π6＜5π6，即C−π6=π6，故C=π3．若选②：∵（2b﹣a）cos C＝c cos A，∴（2sin B﹣sin A）cos C＝sin C cos A，即2sin B cos C＝sin A cos C+sin C cos A＝sin（A+C）＝sin B，又sin B≠0，∴cosC=1 2，又0＜C ＜π， ∴C =π3．若选③：由a 2+b 2−c 2=4√33⋅S △ABC ，则有2abcosC =4√33×12absinC ， ∴tanC =√3， 又0＜C ＜π， ∴C =π3．（2）∵△ABC 中，由余弦定理：AC 2+25−2AC ⋅5⋅cos π3=49，得AC ＝8或AC ＝﹣3（舍）， 由cos∠ADC =√217，可得sin∠ADC =2√77， △ACD 中，sin∠CAD =sin(π−C −∠ADC)=sin(C +∠ADC)=√32⋅√217+12⋅2√77=5√714，由正弦定理得：CDsin∠CAD=AC sin∠ADC，即5√714=2√77，解得CD ＝10，∴BD ＝CD ﹣BC ＝5．19．（12分）唐三彩是中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔．唐三彩的生产至今已有1300多年的历史，制作工艺十分复杂，而且优质品检验异常严格，检验方案是：先从烧制的这批唐三彩中任取3件作检验，这3件唐三彩中优质品的件数记为n ．如果n ＝2，再从这批唐三彩中任取3件作检验，若都为优质品，则这批唐三彩通过检验；如果n ＝3，再从这批唐三彩中任取1件作检验，若为优质品，则这批唐三彩通过检验；其他情况下，这批唐三彩都不能通过检验．假设这批唐三彩的优质品概率为13，即取出的每件唐三彩是优质品的概率都为13，且各件唐三彩是否为优质品相互独立．（1）求这批唐三彩通过优质品检验的概率；（2）已知每件唐三彩的检验费用为100元，且抽取的每件唐三彩都需要检验，对这批唐三彩作质量检验所需的总费用记为X 元，求X 的分布列及数学期望．解：（1）设第一次取出的3件唐三彩中恰有2件优质品为事件A 1，第一次取出的3件唐三彩全是优质品为事件A 2，第二次取出的3件唐三彩都是优质品为事件B 1，第二次取出的1件唐三彩是优质品为事件B 2，这批唐三彩通过检验为事件A ，依题意有A ＝（A 1B 1）∪（A 2B 2），∴P （A ）＝P （A 1B 1）+P （A 2B 2）=C 32(13)2×23×(13)3+(13)3×13=5243． （2）X 可能的取值为300，400，600，P （X ＝300）=C 33(23)3+C 32(23)2×13=2027， P （X ＝400）=(13)3=127，P （X ＝600）=C 32(13)2×23=29．所以X 的分布列为：X 300 400 600 P202712729E （X ）＝300×2027+400×127+600×29=1000027． 20．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，已知PC ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，AB ＝2，AD ＝CD ＝1，E 是PB 的中点． （1）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P ﹣AC ﹣E 的余弦值是√63，求直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值．解：（1）PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，得AC ⊥PC ． 又AD ＝CD ＝1．在Rt △ADC ，得AC =√2， 设AB 中点为G ，连接CG ．则四边形ADCG 为边长为1的正方形， 所以CG ⊥AB ，且BC =√2，因为AC 2+BC 2＝AB 2，所以AC ⊥BC ，又因为BC ∩PC ＝C ，所以AC ⊥平面PBC ，又AC ⊂平面EAC ． 所以平面EAC ⊥平面PBC ．（2）如图，以C 为原点，取AB 中点G ，CG →，CD →，CP →分别为x 轴、y 轴、z 轴正向， 建立空间直角坐标系，则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，﹣1，0）设P （0，0，a ）（a ＞0），则E （12，−12，a2），CA →=（1，1，0），CP →=（0，0，a ），CE →=（12，−12，a2）．设面EAC 的法向量为m →=（x ，y ，z ），由{m →⋅CA →=x +y =0m →⋅CE →=x −y +az =0，取m →=（a ，﹣a ，﹣2）．可取面P AC 的法向量n →=（1，﹣1，0） 依题意，|cos ＜m →，n →＞|=2√a +2=√63，解得a ＝2．于是m →=（2，﹣2，﹣2），PA →=（1，1，﹣2）．设直线P A 与平面EAC 所成角为θ，则sin θ＝|cos ＜PA →，m →＞|=√23 即直线P A 与平面EAC 所成角的正弦值为√23．21．（12分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√22，且C 过点(√22，√32)． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求F 2A →⋅F 2B →的最大值． 解：（1）由e =ca =√22，得a 2＝2c 2＝2b 2， 所以椭圆方程为x 22b 2+y 2b 2=1，又椭圆C 过点(√22，√32)，∴(√22)22b 2+(√32)2b 2=1，解得b 2＝1，故a 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）由（1）得F 1（﹣1，0），F 2（1，0），当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k （x +1），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线方程和椭圆方程得{x 22+y 2=1y =k(x +1)，消去y 得（2k 2+1）x 2+4k 2x +2k 2﹣2＝0， Δ＝16k 4﹣4（2k 2+1）（2k 2﹣2）＝8k 2+8＞0， 且x 1+x 2=−4k22k 2+1，x 1x 2=2k 2−22k 2+1，由已知得F 2A →⋅F 2B →=（x 1﹣1，y 1）•（x 2﹣1，y 2）=(x 1−1)(x 2−1)+k 2(x 1+1)（x 2+1） ＝（1+k 2）x 1x 2+（k 2﹣1）（x 1+x 2）+k 2+1 ＝（1+k 2）2k 2−22k 2+1+（k 2﹣1）−4k 22k 2+1+k 2+1=7k 2−12k 2+1=72−92(2k 2+1)＜72， 当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝﹣1，此时不妨设点A 在第二象限，则A(−1，√22)，B （﹣1，−√22）， ∴F 2A →⋅F 2B →=(−2，√22)⋅(−2，−√22)=72，综上所述，F 2A →⋅F 2B →的最大值为72． 22．（12分）已知函数f （x ）＝e ﹣x （x +1）．（1）讨论函数f （x ）的单调性；（2）设t 1，t 2为两个不等的正数，且t 2lnt 1﹣t 1lnt 2＝t 1﹣t 2，若不等lnt 1+λlnt 2＞0恒成立，求实数λ的取值范围．解：（1）因为f ′（x ）＝﹣xe ﹣x ，所以当x ∈（﹣∞，0），f ′（x ）＞0，f （x ）在 （﹣∞，0）上单调递增， 当x ∈（0，+∞），f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，+∞） 单调递减． （2）令x 1＝lnt 1，x 2＝lnt 2，则t 2lnt 1−t 1lnt 2=t 1−t 2⇔e x 2x 1−e x 1x 2=e x 1−e x 2⇔x 1+1e x 1=x 2+1ex 2， 依题意得实数x 1，x 2满足f （x 1）＝f （x 2）且不等式x 1+λx 2＞0恒成立， 不妨设x 1＜x 2，由（1）知﹣1＜x 1＜0＜x 2＜+∞，由不等式 x 1+λx 2＞0 恒成立知λx 2＞﹣x 1，所以λ＞0，∴x 2＞−x1λ＞0，又函数f （x ）在（0，+∞）单调递减，∴f(x 2)＜f(−x1λ)，又f （x 1）＝f （x 2），所以 f(x 1)＜f(−x 1λ)，即 x 1+1e x 1＜−x1λ+1e x 1λ，两边取对数得λln(x 1+1)−λln(1−x1λ)−(1+λ)x 1＜0 对x 1∈（﹣1，0）恒成立，设F(x)=λln(x +1)−λln(1−xλ)−(1+λ)x ，x ∈(−1，0)，则F′(x)=λx+1+11−x λ−(1+λ)=(1+λ)x(x+1−λ)(x+1)(λ−x)， ①当λ≥1 时，F ′（x ）＞0对x ∈（﹣1，0）恒成立，此时F （x ）在（﹣1，0）上单调递增，故F （x ）＜F （0）＝0恒成立，符合题意，②当λ∈（0，1）时，λ﹣1∈（﹣1，0），则x ∈（λ﹣1，0），F ′（x ）＜0，此时F （x ）在（λ﹣1，0）上单调递减，故F （x ）＞F （0）＝0，不符合题意； 综上所述，λ≥1，若x 1＞x 2，则由（1）知，﹣1＜x 2＜0＜x 1＜+∞， 则当λ≤0时，不等式x 1+λx 2＞0恒成立， 当λ＞0时，不等式x 1+λx 2＞0⇔1λx 1+x 2＞0，由上面的过程可知1λ≥1，解得0＜λ≤1，从而λ≤1，综上，只有λ＝1满足题意， 即λ的取值范围是λ＝1．。
2022普通高等学校招生全国统一考试(新高考地区)仿真模拟训练(二)数学试题 (含答案)
2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{y|y＝－x－1}，则A∩B＝()A．{1，2} B.{－2，0}C．{－2，0，1} D．{－2}2．已知a＋5i＝－2＋b i(a，b∈R)，则复数z＝a＋b i5＋2i＝()A．1 B.－iC．i D．－2＋5i3．函数f(x)＝sin xln（x2＋1）的大致图象是()4．已知(a＋2x)7的展开式中的常数项为－1，则x2的系数为()A．560 B.－560C．280 D．－2805．已知抛物线C：y2＝12x的焦点为F，经过点P(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|＋|BF|＝()A．6 B.8C．9 D．106．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝a2＋2a3，S2是S1与mS3的等比中项，则m＝()A．1 B.9 761则实数a的最小值为()A．1－1e B.2－1eC．1－e D．2－e8．过点M(a，0)作双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的平行线，交双曲线的另一条渐近线于点N，O为坐标原点，若锐角三角形OMN的面积为212(a2＋b2)，则该双曲线的离心率为()A．3 B.3或6 2C．62D． 3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．某家庭2019年的总支出是2018年的总支出的1.5倍，下图分别给出了该家庭2018年、2019年的各项支出占该家庭这一年总支出的比例情况，则下列结论中正确的是()①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他①日常生活②房贷还款③旅游④教育⑤保险⑥其他A．2019年日常生活支出减少B．2019年保险支出比2018年保险支出增加了一倍以上C．2019年其他支出比2018年其他支出增加了两倍以上D．2018年和2019年，每年的日常生活支出和房贷还款支出的和均占该年总支出的一半以上10．直线2x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交的必要不充分条件是()2C．m2＋m－12＜0 D．3m＞111．在三棱锥D－ABC中，AB＝BC＝CD＝DA＝1，且AB⊥BC，CD⊥DA，M，N分别是棱BC，CD的中点，则下列结论正确的是()A．AC⊥BDB．MN∥平面ABDC．三棱锥A－CMN的体积的最大值为2 12D．AD与BC一定不垂直12．已知函数f(x)＝2x2－a|x|，则下列结论中正确的是()A．函数f(x)的图象关于原点对称B．当a＝－1时，函数f(x)的值域为[4，＋∞)C．若方程f(x)＝14没有实数根，则a＜－1D．若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则a≥0题号123456789101112答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(一题多解)已知平面单位向量i，j互相垂直，且平面向量a＝－2i＋j，b＝m i－3j，c＝4i＋m j，若(2a＋b)∥c，则实数m＝________．14．有一匀速转动的圆盘，其中有一个固定的小目标M，甲、乙两人站在距离圆盘外的2米处，将小圆环向圆盘中心抛掷，他们抛掷的圆环能套上小目标M的概率分别为14与15，现甲、乙两人分别用小圆环向圆盘中心各抛掷一次，则小目标M被套上的概率为________．15．如图，圆锥的高为3，表面积为3π，D为PB的中点，AB是圆锥底面圆的直径，O为AB16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝30，c ＝20，若b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，则sin(2C －B )＝________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，△ABD 的面积是△BCD 的面积的3倍，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ.(1)若∠ABC ＝π2，求sin Asin C 的值； (2)若BC ＝2，AB ＝3，求AC 的长．18．(本小题满分12分)给出以下三个条件：(1)S n ＋1＝4S n ＋2；(2)3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )；(3)3S n ＝a n ＋1－2.请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且满足________，记b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .19．(本小题满分12分)如图，已知在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB 1⊥A 1D 1，A 1B ＝AB ＝BB 1＝4，AD ＝2，A 1C ＝2 5.(1)(一题多解)求证：平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ； (2)求二面角A -CA 1B 的余弦值．20．(本小题满分12分)2019年12月9日，记者走进浙江缙云北山村，调研“中国淘宝村”的真实模样，作为最早追赶电商大潮的中国村庄，地处浙中南偏远山区的北山村，是电商改变乡村、改变农民命运的生动印刻．互联网的通达，让这个曾经的空心村在高峰时期生长出400多家网店，网罗住500多位村民，销售额达两亿元．一网店经销缙云土面，在一个月内，每售出1 t 缙云土面可获利800元，未售出的缙云土面，每1 t 亏损500元．根据以往的销售统计，得到一个月内五地市场对缙云土面的需求量的频率分布直方图，如图所示．该网店为下一个月购进了100 t 缙云土面，用x (单位：t ，70≤x ≤120)表示下一个月五地市场对缙云土面的需求量，y (单位：元)表示下一个月该网店经销缙云土面的利润．(1)将y 表示为x 的函数；(2)根据直方图估计利润y 不少于67 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，将需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值时的概率(例如：若需求量x ∈[80，90)，则取x ＝85，且x ＝85的概率等于需求量落入[80，90)的频率)，求该网店下一个月利润y 的分布列和期望．21．(本小题满分12分)已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，椭圆短轴的端点B 1，B 2与椭圆的左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，MN 是经过椭圆右焦点F 2(1，0)的椭圆的一条弦，点P 是椭圆上一点，且OP ⊥MN (O 为坐标原点)．(1)求椭圆G 的标准方程； (2)求|MN |·|OP |2的最小值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝12x2ln x，函数f(x)的导函数为f′(x)，h(x)＝f′(x)－12x－mx2(m∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若函数h(x)存在单调递增区间，求m的取值范围；(3)若函数h′(x)存在两个不同的零点x1，x2，且x1＜x2，求证：e x1x22＞1.2022普通高等学校招生全国统一考试（新高考地区）仿真模拟训练(二)数学试题参考答案1．解析：选B.因为y ＝－x －1≤0，所以B ＝{y |y ≤0}．因为A ＝{－2，0，1，2}，所以A ∩B ＝{－2，0}．故选B.2．解析：选C.由a ＋5i ＝－2＋b i(a ，b ∈R )及复数相等的定义可得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝ 5.所以z ＝a ＋b i5＋2i ＝－2＋5i 5＋2i ＝（－2＋5i ）（5－2i ）（5＋2i ）（5－2i ）＝9i9＝i ，故选C. 3．解析：选 B.由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}．因为f (－x )＝sin （－x ）ln[（－x ）2＋1]＝－sin xln （x 2＋1）＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以C 不正确；又f (k π)＝0(k ∈Z ，k ≠0)，所以A 不正确；当x ∈(0，π)时，f (x )＞0，故D 不正确．故选B.4．解析：选B.由题意可知(a ＋2x )7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7⎝⎛⎭⎪⎫2x 12r a 7－r＝C r 72r a 7－rx r 2.因为展开式中的常数项为－1，所以令r ＝0，得C 0720a 7＝－1，所以a ＝－1.令r ＝4，得x 2的系数为C 47×24×(－1)7－4＝－560.5．解析：选D.分别过点A ，B ，P 向抛物线的准线x ＝－3作垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1.由抛物线的定义及梯形的中位线定理，得|P 1P |＝12(|A 1A |＋|B 1B |)＝12(|AF |＋|BF |)＝2－(－3)＝5，所以|AF |＋|BF |＝10，故选D.6．解析：选B.设数列{a n }的公比为q ，则由a 1＝a 2＋2a 3，得a 1＝a 1q ＋2a 1q 2，易知a 1≠0，所以2q 2＋q －1＝0，解得q ＝－1或q ＝12.当q ＝－1时，S 2＝0，这与S 2是S 1与mS 3的等比中项矛盾；当q ＝12时，S 1＝a 1，S 2＝32a 1，mS 3＝74a 1m ，由S 2是S 1与mS 3的等比中项，得S 22＝S 1·mS 3，即94a 21＝m ·74a 21，所以m ＝97.故选B.7．解析：选C.f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1.对任意的x ∈[1，＋∞)，f ′(x )≤a ＋e x 恒成立，即a ≥ln x ＋1－e x 对任意的x ∈[1，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x ＋1－e x (x ≥1)，则g ′(x )＝1x －e x ＜0，因而g (x )在[1，＋∞)上单调递减，g (x )≤ln 1＋1－e ＝1－e ，所以实数a 的最小值为1－e.8．解析：选D.不妨设点N 在第一象限，如图，由题意知∠1＝∠2＝∠3，所以△OMN 是以∠ONM 为顶角的等腰三角形．因为△OMN 是锐角三角形，所以∠1＞45°，即有b a ＞1，进而e 2＝1＋b 2a 2＞2.由y ＝b a x 与y ＝－b a (x －a )，得y N ＝b 2，所以12×a ×b 2＝212(a 2＋b 2)，即9a 2(c 2－a 2)＝2c 4，所以2e 4－9e 2＋9＝0，得e 2＝32(舍)或e 2＝3，所以e ＝ 3.9．解析：选BD.设2018年的总支出为x ，则2019年的总支出为1.5x ，2018年日常生活支出为0.35x ，2019年日常生活支出为0.34×1.5x ＝0.51x ，故2019年日常生活支出增加，A 错误；2018年保险支出为0.05x ，2019年保险支出为0.07×1.5x ＝0.105x ，B 正确；2018年其他支出为0.05x ，2019年其他支出为0.09×1.5x ＝0.135x ，(0.135x －0.05x )÷0.05x ＝1.7，故C 错误；由题图可知，D 正确．10．解析：选BC.若直线2x －y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相交，则|2×1－2＋m |22＋（－1）2＜1，解5＜m ＜ 5.A 项中，由m 2≤1，得－1≤m ≤1，因为{m |－1≤m ≤1}⊆{m |－5＜m ＜5}，所以m 2≤1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件；B 项中，因为{m |m ≥－3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m ≥－3是－5＜m ＜5的必要不充分条件；C 项中，由m 2＋m －12＜0，得－4＜m ＜3，因为{m |－4＜m ＜3}⊇{m |－5＜m ＜5}，所以m 2＋m －12＜0是－5＜m ＜5的必要不充分条件；D 项中，由3m ＞1，得0＜m ＜3，所以3m ＞1不是－5＜m ＜5的必要不充分条件．11．解析：选ABD.设AC 的中点为O ，连接OB ，OD ，则AC ⊥OB ，AC ⊥OD ，又OB ∩OD ＝O ，所以AC ⊥平面OBD ，所以AC ⊥BD ，故A 正确；因为M ，N 分别是棱BC ，CD 的中点，所以MN ∥BD ，且MN ⊄平面ABD ，BD ⊂平面ABD ，所以MN ∥平面ABD ，故B 正确；当平面DAC 与平面ABC 垂直时，V A －CMN 最大，最大值V A －CMN ＝V N －ACM ＝13×14×24＝248，故C 错误；若AD 与BC 垂直，因为AB ⊥BC ，AD ∩AB ＝A ，所以BC ⊥平面ABD ，所以BC ⊥BD ，又BD ⊥AC ，BC ∩AC ＝C ，所以BD ⊥平面ABC ，所以BD ⊥OB ，因为OB ＝OD ，所以显然BD 与OB 不可能垂直，故D 正确．12．解析：选BD.由题意知，函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}，且f (－x )＝2（－x ）2－a|－x |＝f (x )，因此函数f (x )是偶函数，其图象不关于原点对称，故A 选项错误；当a ＝－1时，f (x )＝2x 2＋1|x |，而x 2＋1＝|x |＋1|x |≥2，所以f (x )＝2x 2＋1|x |≥4，即函数f (x )的值域为[4，＋∞)，B 选项正确；由f (x )＝14，得x 2－a |x |＝－2，得x 2＋2|x |－a ＝0.要使原方程没有实数根，应使方程x 2＋2|x |－a ＝0没有实数根．令|x |＝t (t ＞0)，则方程t 2＋2t －a ＝0应没有正实数根，于是需Δ＜0或⎩⎨⎧Δ≥0，－2≤0，－a ≥0，即4＋4a ＜0或⎩⎨⎧4＋4a ≥0，－2≤0，－a ≥0，解得a ＜－1或－1≤a ≤0，综上，a ≤0，故C 选项错误；要使函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，需g (x )＝x 2－a |x |在(0，＋∞)上单调递增，需φ(x )＝x 2－a x ＝x －a x 在(0，＋∞)上单调递增，需φ′(x )＝1＋ax 2≥0在(0，＋∞)上恒成立，得a ≥0，故D 选项正确．13．解析：方法一：因为a ＝－2i ＋j ，b ＝m i －3j ，所以2a ＋b ＝(m －4)i －j .因为(2a ＋b )∥c ，所以(2a ＋b )＝λc ，所以(m －4)i －j ＝4λi ＋mλj ，所以⎩⎨⎧m －4＝4λ，－1＝mλ，所以m ＝2.方法二：不妨令i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，则a ＝(－2，1)，b ＝(m ，－3)，c ＝(4，m )，所以2a ＋b ＝(m －4，－1)．因为(2a ＋b )∥c ，所以m (m －4)＝－4，所以m ＝2.答案：214．解析：小目标M 被套上包括甲抛掷的套上了、乙抛掷的没有套上；乙抛掷的套上了、甲抛掷的没有套上；甲、乙抛掷的都套上了．所以小目标M 被套上的概率P ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14×15＋14×15＝25.答案：25 15.解析：如图，连接OD ，OC ，BC ，OP ，设圆锥的底面半径为r ，由题意得，πr 2＋12×2πr ×3＋r 2＝3π，得r ＝1，则OC ＝1，PA ＝2.因为点O ，D 分别为AB ，PB 的中点，所以OD ∥PA ，且OD ＝12PA ＝1，所以∠ODC 为异面直线PA 与CD 所成的角(或其补角)．过点D 作DH ⊥AB ，垂足为H ，连接HC ，易得DH ⊥HC ，DH ＝12PO ＝32.由弧AC 与弧BC 的长度之比为2∶1，得△OCB 为等边三角ODC ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622－12×1×62＝64，所以异面直线PA 与CD 所成角的正弦值为1－⎝ ⎛⎭⎪⎫642＝104.答案：10416．解析：在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ，得b sin C ＝c sin B ．又b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以c sin B ＝c cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，所以sin B ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π6，所以tan B ＝ 3.又0＜B ＜π，所以B ＝π3.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝202＋302－2×20×30×cos π3＝700，所以b ＝107，由b ·sin C ＝20cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π6，得sin C ＝217.因为a ＞c ，所以cos C ＝277，所以sin(2C －B )＝sin 2C cos B －cos 2C sinB ＝2sinC cos C cos π3－(cos 2C －sin 2C )sin π3＝2×217×277×12－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2772－⎝ ⎛⎭⎪⎫2172×32＝3314. 答案：331417．解：(1)因为∠ABC ＝π2，∠ABD ＝2∠CBD ＝2θ，所以θ＝π6. 所以12AB ·BD sin π3＝3×12BC ·BD sin π6， 所以BC AB ＝sin A sin C ＝33.(2)因为12AB ·BD sin 2θ＝3×12BC ·BD sin θ， 即2AB cos θ＝3BC ，所以cos θ＝22，所以θ＝π4，∠ABC ＝3θ＝3π4，AC 2＝9＋2－2×3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝17，所以AC ＝17.18．解：方案一：选(1)，已知S n ＋1＝4S n ＋2 ①， 当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2 ②，①－②得，a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2， 所以a 2＝8，满足a 2＝4a 1，故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1.c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n （n ＋1）n 2（n ＋1）2＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.方案二：选(2)，已知3S n ＝22n ＋1＋λ ③， 当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ ④， ③－④得，3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1， 即a n ＝22n －1，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1， 下同方案一．方案三：选(3)，已知3S n ＝a n ＋1－2 ⑤， 当n ≥2时，3S n －1＝a n －2 ⑥，⑤－⑥得，3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n ，当n ＝1时，3a 1＝a 2－a 1，而a 1＝2，得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故{a n }是以2为首项、4为公比的等比数列， 所以a n ＝22n －1.下同方案一．19．解：(1)证明：方法一：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC .在△A 1BC 中，A 1B ＝4，BC ＝AD ＝2，A 1C ＝25， 所以A 1B 2＋BC 2＝A 1C 2，所以BC ⊥A 1B .又A 1B ，AB 1是平行四边形ABB 1A 1的两条对角线， 所以BC ⊥平面ABB 1A 1.因为BC ⊂平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面ABB 1A 1. 方法二：由题意知BC ∥A 1D 1， 因为AB 1⊥A 1D 1，所以AB 1⊥BC . 在平行四边形ABB 1A 1中，BB 1＝AB ， 所以四边形ABB 1A 1为菱形， 所以AB 1⊥A 1B .因为A 1B ∩BC ＝B ，A 1B ，BC ⊂平面A 1BC ，所以AB 1⊥平面A 1BC ， 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC . (2)由(1)知BC ⊥平面ABB 1A 1，因为BC ⊂平面ABCD ，所以平面ABCD ⊥平面ABB 1A 1，所以平面ABCD ⊥平面CDD 1C 1.在斜平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，由AB ＝BB 1＝4得四边形ABB 1A 1为菱形， 所以四边形CDD 1C 1为菱形．连接BD ，设AC ，BD 交于点E ，取DC 的中点O ，连接D 1O ，OE ，易证得D 1O ⊥平面ABCD ，故以OE ，OC ，OD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz ，则C (0，2，0)，B (2，2，0)，A (2，－2，0)，A 1(2，0，23)，所以A 1C →＝(－2，2，－23)，AC →＝(－2，4，0)，BC →＝(－2，0，0)． 设平面AA 1C 的法向量为m ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 1＋2y 1－23z 1＝0，－2x 1＋4y 1＝0，令x 1＝2，得y 1＝1，z 1＝－33，所以平面AA 1C 的一个法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，1，－33.设平面BA 1C 的法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧－2x 2＋2y 2－23z 2＝0，－2x 2＝0，令z 2＝1，得y 2＝3，所以平面BA 1C 的一个法向量为n ＝(0，3，1)． cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3－3322＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332×02＋（3）2＋12＝14.由图可知二面角A -CA 1B 为锐二面角，故二面角A -CA 1B 的余弦值为14. 20．解：(1)依题意知，当x ∈[70，100)时， y ＝800x －500(100－x )＝1 300x －50 000； 当x ∈[100，120]时，y ＝800×100＝80 000.所以y ＝⎩⎨⎧1 300x －50 000，70≤x ＜100，80 000，100≤x ≤120.(2)由1 300x －50 000≥67 000，得x ≥90，所以90≤x ≤120.由直方图知需求量x ∈[90，120]的频率为(0.030＋0.025＋0.015)×10＝0.7， 所以利润y 不少于67 000元的概率为0.7. (3)依题意可得该网店下一个月利润y 的分布列为所以利润y 的期望E (y )×0.4＝70 900. 21．解：(1)因为椭圆短轴的端点B 1，B 2与左、右焦点F 1，F 2构成边长为2的菱形，所以a ＝2， 又椭圆的右焦点F 2(1，0)，所以c ＝1， 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆G 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)①当MN ⊥x 轴时，|MN |＝2b 2a ＝3，|OP |＝a ＝2， 此时|MN |·|OP |2＝12.②当MN 不垂直于x 轴且斜率不为0时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将直线MN 的方程与椭圆G 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －1），化简并整理得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 所以x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝12（1＋k 2）4k 2＋3.因为OP ⊥MN ，所以直线OP 的方程为y ＝－1k x ， 将直线OP 的方程与椭圆G 的方程联立， 得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－1k x ，得x 2P ＝12k 23k 2＋4，y 2P＝123k 2＋4，所以|OP |2＝x 2P ＋y 2P ＝12（1＋k 2）3k 2＋4，所以|MN |·|OP |2＝12（1＋k 2）4k 2＋3×12（1＋k 2）3k 2＋4＝144（1＋k 2）2（4k 2＋3）（3k 2＋4）＝144⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋k 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫4－11＋k 2. 令11＋k 2＝t ，因为k ∈R 且k ≠0，所以0＜t ＜1， |MN |·|OP |2＝144（t ＋3）（4－t ）＝144－t 2＋t ＋12＝144－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋494， 所以当t ＝12时，|MN |·|OP |2取得最小值，且(|MN |·|OP |2)min ＝57649. ③当MN 的斜率为0时，|MN |＝4，此时|OP |2＝b 2＝3， 所以|MN |·|OP |2＝12.由①②③可知，(|MN |·|OP |2)min ＝57649. 22．解：(1)易知函数f (x )＝12x 2ln x 的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝x ln x ＋12x .令f ′(x )＞0，得x ＞e －12，令f ′(x )＜0，得0＜x ＜e －12，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫e －12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，e －12.(2)依题意得，h (x )＝x ln x －mx 2，若函数h (x )存在单调递增区间，则h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＞0在(0，＋∞)上有解，即存在x ＞0，使2m ＜ln x ＋1x .令φ(x )＝ln x ＋1x ，则φ′(x )＝－ln xx 2，当x ＞1时，φ′(x )＜0，当0＜x ＜1时，φ′(x )＞0， 所以φ(x )在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， 所以φ(x )max ＝φ(1)＝1，所以2m ＜1，所以m ＜12. 故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12.(3)证明：因为函数h ′(x )存在两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，所以h ′(x )＝ln x ＋1－2mx ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且0<x 1＜x 2， 所以ln x 1＋1－2mx 1＝0，ln x 2＋1－2mx 2＝0，所以ln x 1＋2ln x 2＝2m (x 1＋2x 2)－3，ln x 1－ln x 2＝2m (x 1－x 2)，所以ln x 1＋2ln x 2＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)－3.要证e x 1x 22＞1，只需证ln x 1＋2ln x 2＞－1，即证ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋2x 2)＞2(0＜x 1＜x 2)，即证ln x 1x 2＜2（x 1－x 2）x 1＋2x 2，即证ln x 1x 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2－1x 1x 2＋2，令t ＝x 1x 2，因为0＜x 1＜x 2，所以0＜t ＜1，即证ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．令g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2(t ∈(0，1))，则g ′(t )＝1t －6（t ＋2）2＝（t －1）2＋3t （t ＋2）2＞0在(0，1)上恒成立．所以g (t )＝ln t －2（t －1）t ＋2在(0，1)上单调递增，所以g (t )＜g (1)＝0－0＝0，所以ln t ＜2（t －1）t ＋2在(0，1)上恒成立．故e x 1x 22＞1得证．。
重庆市2022届高三学业质量调研抽测(第二次)数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1.在平行四边形中，,,则点的坐标为A．B．C．D．2. 若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝，c＝，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是（ ）A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )3.设是等比数列的前项和，若，则（ ）A ．2B．C．D．4. 已知三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于（ ）A ．8πB ．9πC ．10πD ．11π5. 已知复数z满足，则z 的共轭复数的虚部为（ ）A．B．C．D．6. 已知复数，则复数（ ）A ．1B ．C ．0D．7. 把的图像向左平移个单位长度，可得到函数的图像，则的最小值为（ ）A．B．C．D．8. 若双曲线与直线没有交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．9. 已知定义域均为的函数与，其导函数分别为与，且，，函数的图像关于点对称，则（ ）A．函数的图象关于直线对称B ．8是函数的一个周期C．D．10. 已知函数，则（ ）A ．在处取得极值B ．若有两解，则的最小整数值为C ．若有两解，，则D．有两个零点11. 在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题(高频考点版)重庆市2022届高三学业质量调研抽测（第二次）数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题A ．图中所有小长方形的面积之和等于1B ．中位数的估计值介于100和105之间C ．该班成绩众数的估计值为97.5D ．该班成绩的极差一定等于4012.已知函数的部分图像如图所示，则（）A．B．的图像关于点对称C．的图像关于直线对称D ．函数为偶函数13.已知数列满足，则_____，_______．14.如图，在正三棱锥中，为线段的中点，在线段上，，为定长，则该棱锥的体积的最大值为________.15. 在正四棱锥中，底面是边长为2的正方形，且异面直线与所成的角为，则该正四棱锥外接球的体积为______．16. 已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1.求证：.17. 在各项均不相等的数列中，若对任意的正整数，都有，为非零常数，则称数列为“级迭代数列”，其中叫“迭代基底”.（1）若“级迭代数列”是公差为的等差数列，求的值；（2）若数列是“级迭代数列”，“迭代基底”为，且数列是等比数列，.①求数列的通项公式；②设，数列的前项和为，是否存在正整数和，使得成立？若存在，求满足条件的正整数和；否则，请说明理由.18.已知正项数列的前项和为，且，等比数列的首项为1，公比为（），且，，成等差数列．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．19. 若函数(M ＞0，＞0，0＜＜)的最小值是﹣2，最小正周期是2，且图象经过点N (，1).（1）求的解析式；（2）在△ABC中，若，，求cosC的值.20. 已知函数，．(1)求函数的图像在点处的切线方程；(2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围．21. 长春市统计局对某公司月收入在元内的职工进行一次统计，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示职工月收入在区间内，单位：元）.（Ⅰ）请估计该公司的职工月收入在内的概率；（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的中位数和平均数.。
2022年重庆市高考数学二调试卷+答案解析(附后)
2022年重庆市高考数学二调试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，其中i为虚数单位，则( )A. 10B. 5C.D.2.已知集合，，若有且只有2个元素，则a的取值范围是( )A. B. C. D.3.若非零实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是( )A. B. C. D.4.《巴黎协定》是2016年4月22日签署的气候变化协定，该协定为2020年后全球应对气候变化的行动作出了统一安排，中国政府一直致力于积极推动《巴黎协定》的全面有效落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的数量不得超过已知该工厂产生的废气在过滤过程中污染物的数量单位：毫克与过滤时间单位：小时之间的函数关系式为均为正常数，e为自然对数的底数如果在前3小时的过滤过程中污染物被排除了，那么排放前至少还需要过滤的时间是( )A. 小时B. 3小时C. 5小时D. 6小时5.若，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则下列说法正确的是( )A. “”是“”的充要条件B. “”是“”的必要不充分条件C. “”是“”的必要不充分条件D. “”是“”的充分不必要条件6.已知王大爷养了5只鸡和3只兔子，晚上关在同一间房子里，清晨打开房门，这些鸡和兔子随机逐一向外走，则恰有2只兔子相邻走出房子的概率为( )A. B. C. D.7.已知，若对任意恒成立，则实数m的最大值为( )A. 2B. 4C.D.8.已知点O，A，B是同一平面内不同的三个点，且，若的最小值为，则( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线l：，圆C：，则下列结论正确的是( )A. 直线l恒过定点B. 直线l与圆C恒有两个公共点C. 直线l与圆C的相交弦长的最大值为D. 当时，圆C与圆关于直线l对称10.设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是( )A. 是等比数列B. 是等比数列C. D.11.已知双曲线C：的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，点P 是双曲线C的右支上一点，且三角形为正三角形为坐标原点，记PA，PB的斜率分别为，，设I为的内心，记，，的面积分别为，，，则下列说法正确的是( )A. B. 双曲线C的离心率为C. D.12.半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的体现了数学的对称美．传统的足球，就是根据这一发现而制正多边形围成的多面体，成，最早用于1970年的世界杯比赛．二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，它由八个正三角形和六个正方形构成如图所示，若这个二十四等边体的棱长都为2，则下列结论正确的是( )A. 平面AEMHB. 异面直线BC和EA所成角为C. 该二十四等边体的体积为D. 该二十四等边体外接球的表面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022高三数学联合诊断性考试理科
2022届重庆市高三联合诊断性测试第二次理科数学试卷本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.共150分,测试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件A 、B 相互独立,那么 P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是P,那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k kn n P P C k P --=)1()(球的外表积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径 球的体积公式 334R V π=球 其中R 表示球的半径一、选择题：〔本大题12个小题,每题5分,共60分.〕1．集合},02|{},,01|{22R x x x x B R x x x A ∈>-+=∈>-=集合,那么A 、B 满足的关系是〔 〕A ．A ≠⊂BB ．B ≠⊂AC ．A=BD ．A ⊆B 或B ⊆A 2．x x f 26log )(=,那么)8(f 等于 〔 〕A ．21B ．34 C ．8D ．183．设)(x f 是定义在R 上的最小正周期为π35的函数,⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=),0[cos )0,32[sin )(ππx xx xx f ,那么)316(π-f 的值为〔 〕A ．－21 B ．21 C ．23-D ．23 4．函数)01(11)(2≤≤---=x x x f ,那么函数)(1x f y -=的图象是〔 〕5．设公比为q 〔|q|<1〕的等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,且n n S p ∞→=lim .那么以下命题正确的是〔 〕A ．1-⋅=n n q p aB ．)1(n n q p a -=C ．)1(n n q p S -=D ．qq p S nn --=1)1(6．设a 、b 是不共线的两个非零向量,.2,,2b a CD b a BC b p a AB -=+=+=假设A 、B 、D 三点共线,那么p 的值为〔 〕A ．1B ．2C ．－2D ．－17．在7)1(+ax 的展开式中,x 3项的系数是x 2项系数与x 5项系数的等比中项,那么a 值为〔 〕A ．510B ．925C ．35 D ．3258．平面M 、N 都垂直于平面γ,且M ∩γ=a ,N ∩γ=b.给出四个命题：①假设b a ⊥,那么M ⊥N ；②假设a //b,那么M//N ；③假设M ⊥N,那么b a ⊥；④假设M//N,那么a //b. 以上命题中,正确命题的个数为 〔 〕A ．4B ．3C ．2D ．19．计算21lim 231--+-→x x x x 的值为〔 〕A ．31 B ．0C ．－31 D ．91-10．球面上有三个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61,经过这三个点的小圆的周长为4π.那么这个球的半径为 〔 〕A ．34B ．32C ．2D ．411．椭圆E 的离心率为e ,两焦点为F 1,F 2.抛物线C 以F 1为顶点,F 2为焦点.P 为两曲线的一个交点.假设e e PF PF 则.||||21=的值为〔 〕A ．33B ．23C ．22D ．3612．某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客到达顶峰,此时旅客还在按一定的流量到达.如果只翻开三个检票口,需要半小时才能使所有滞留旅客通过检票口,如果翻开六个检票口那么只需10分钟就能让所有滞留旅客通过.现要求在5分钟内使所有滞留旅客通过,那么至少同时需要翻开的检票口数为〔假设每个窗口单位时间内的通过量相等〕〔 〕 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12第二卷〔非选择题 共90分〕二、填空题：〔本大题4个小题,每题4分,共16分,只填结果,不要过程〕.13．|163|,12++-+=z z z i z 则= . 14．设P 是等轴双曲线)0(222>=-a a y x 右支上一点,F 1、F 2是左右焦点,假设0212=⋅F F PF , |PF 1|=6,那么该双曲线的方程为 . 15．向量)2sin 5,2cos2(BA B A a +-=的模为B A tan tan ,223⋅则的值为 . 16．定义一种“*〞运算：对于*N n ∈满足以下运算性质,〔1〕2*2=1；〔2〕〔2n+2〕*2=3〔2n*2〕.那么用含n 的代数式表示2n*2为 . 三、解做题：〔本大题6个小题,共74分,必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤〕. 17．〔12分〕函数54)(23+++=bx ax x x f 的图象在x =1处的切线方程为.12x y -=〔1〕求函数)(x f 的解析式； 〔2〕求函数)(x f 在[－3,1]上的最值.18．〔12分〕函数),(23cos cos sin 3)(2R x R x x x x f ∈∈+-⋅=ωωωω的最小正周期为π,且图象关于直线6π=x 对称.〔1〕求)(x f 的解析式；〔2〕假设函数)(1x f y -=的图象与直线y=a 在[0,2π]上只有一个交点,求实数a 的取值范围.19．〔12分〕在直角梯形P 1DCB 中,P 1D//CB,CD ⊥P 1D,且P 1D=6,BC=3,DC=6,A 是P 1D 的中点,沿AB 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置,使二面角P —CD —B 成45°角.设E 、F分别是线段AB、PD的中点.〔1〕求证：AF//平面PEC；〔2〕求PC与底面所成角的正弦值.20．〔12分〕设事件A发生的概率为P,假设在A发生的条件下发生B的概率为P′,那么由A 产生B的概率为P·P′.根据这一事实解答下题.一种掷硬币走跳棋的游戏：棋盘上有第0、1、2、……、100,共101站,一枚棋子开始在第0站〔即P0=1〕,由棋手每掷一次硬币,棋子向前跳动一次.假设硬币出现正面那么棋子向前跳动一站,出现反面那么向前跳动两站.直到棋子跳到第99站〔获胜〕或第100站〔失败〕时,游戏结束.硬币出现正、反面的概率相同,设棋子跳到第n 站时的概率为P n . 〔1〕求P 1,P 2,P 3；〔2〕设)1001(1≤≤-=-n P P a n n n ,求证：数列{}n a 是等比数列； 〔3〕求玩该游戏获胜的概率.21．〔12分〕两个动点A 、B 和一个定点M ),(00y x 均在抛物线)0(22>=p px y 上.设F 为抛物线的焦点,Q 为对称轴上一点,假设|||,||,|,0)21(FB FM FA AB AB QA 且=⋅+成等差数列.〔1〕求OQ 的坐标；〔2〕假设||OQ =3,||,2||AB FM 求=的取值范围.22．〔14分〕)].([)(,*2),()(,2)(1123x g f x g N n n x f x g ax x x f n n -=∈≥=-=时且当 〔1〕假设1)1(=f 且对任意*N n ∈,都有,)(00x x g n =求所有x 0组成的集合； 〔2〕假设3)1(>f ,是否存在区间A,对*N n ∈,当且仅当A x ∈时,就有,0)(<x g n如果存在,求出这样的区间A,如果不存在,说明理由.数学试题〔理科〕评分标准及参考答案一、选择题：〔本大题12个小题,每题5分,共60分〕BACBC DBADB AC二、填空题：〔本大题4个小题,每题4分,共16分〕13．2； 14．422=-y x ； 15．91； 16．3n —1 三、解做题：〔本大题6个小题,共74分〕17．〔12分〕解：〔1〕∵1)(,212)(2==++='x x f y b ax x x f 在而处的切线方程为x y 12-=,…………2分∴.18,312541221212)1()1(12-=-=⇒⎩⎨⎧-=+++-=++⇒⎩⎨⎧-='=-=b a b a b a f f k …………5分故,.51834)(23+--=x x x x f …………6分 〔2〕∵)32)(1(618612)(2-+=--='x x x x x f 令,0)(='x f 解得驻点为 .23,121=-=x x …………7分 那么)(x f 的增减性及极值如下： ………………9分∵驻点11-=x 属于[－3,1],且,12)1(,76)3(,16)1(-=-=-=-f f f 又…………11分 ∴)(x f 在[－3,1]上的最小值为－76,最大值为16.…………12分 18．〔12分〕解：〔1〕∵23cos cos sin 32+-⋅x x x ωωω =23)2cos 1(212sin 23++-x x ωω…………2分 =1)62sin(+-πωx ………………3分由f (x )的周期为,1|2|2,±=⇒=∴ωπωππ……4分 ∴1)62sin()(+-±=πx x f ………………5分1〕当16sin)6(,1)62sin()(,1+=+-==πππωf x x f 时不是最大或最小值,其图象不x〔－∞,－1〕－1 〔－1,3/2〕3/2 〔3/2,+∞〕)(x f '的符号+ 0 － 0 + f(x)增减性递增极大值16递减极小值－61/4递增关于6π=x 对称,舍去.……………………………………………6分2〕当012sin )6(,1)62sin()(,1=+-=++-=-=πππωf x x f 时是最小值,其图象关于6π=x 对称.………………………7分故,)62sin(1)(π+-=x x f 为所求解析式.…………………………………………8分〔2〕∵)62sin()(1π+=-=x x f y 在同一坐标系中作出)62sin(π+=x y 和y=a 的图象：……………………………………10分 由图可知,直线y=a 在1)21,21[=-∈a a 或时,两曲线只有一个交点, ∴.1)21,21[=-∈a a 或……………………12分 19．〔12分〕解法一：设PC 中点为G,连FG.……1分∵FG//CD//AE,且GF=AE CD =21∴AEGF 是平行四 边形,……2分∴AF//EG,EG ⊂平面PEC,∴AF//平面PEC.…………4分 〔2〕连接AC. ∵BA ⊥AD,BA ⊥AP 1, ∴BA ⊥AD,BA ⊥AP …………5分∴BA ⊥平面PAD …………①…………6分 又CD//BA,∴CD ⊥PD,CD ⊥AD,∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角, ∴∠PDA=45°.…………8分又PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形, ∴PA ⊥AD …………②…………9分由①、② ∴PA ⊥平面ABCD,∴AC 是PC 在底面上的射影.…………10分 ∵PA=3,1563222=+=+=DC AD AC ,∴623152=+=PC , 那么46623sin ==∠PCA ,∴PC 与底面所成角的正弦值为.46…………12分 解法二：〔1〕设线段PC 的中点为G ,连结EG.…………1分 ∵)(2121CP DC BC DP BC DF AD AF ++=+=+= =EG CG EC CG BC EB CG AB BC =+=++=++21…………2分∴AF//EG,又EG ⊂平面PEC,AF ⊆平面PEC,…………3分∴AF//平面PEC.…………4分〔2〕∵BA ⊥P 1D,∴BA ⊥平面PAD …………①………………6分又CD//BA,∴CD ⊥PD,CD ⊥AD,∴∠PDA 是二面角P —CD —B 的平面角,∠PDA=45°.………8分 又PA=AD=3,∴△PAD 是等腰直角三角形,∴PA ⊥AD …② 由①、② ∴PA ⊥平面ABCD,………………9分设PA 与PC 所成的角为)20(πθθ≤< 那么PC 与平面ABCD 所成的角为.2θπ-……10分∵AD AP AB AD AP AC PC 又知,-+=-=、AB 、AP 两两互相垂直, 且.6993)(||||cos 6||,3||||++-+=⋅=⇒===AP AB AD PA PC PA AB AD AP θ4666=⋅=APAP ………………11分 故知PC 与底面所成角的正弦值为46.………………12分 20．〔12分〕解：〔1〕∵P 0=1,∴.8521432121,43212121,21321=⨯+⨯==+⨯==P P P ……3分 〔2〕棋子跳到第n 站,必是从第n －1站或第n －2站跳来的)1002(≤≤n ,所以212121--+=n n n P P P ………………5分 ∴)(212121212111--------=++-=-n n n n n n n P P P P P P P …………6分 ∴.21),1002(210111-=-=≤≤-=-P P a n a a n n 且…………7分 故{}n a 是公比为21-,首项为21-的等比数列.)1001(≤≤n …………8分 〔3〕由〔2〕知,9921a a a +++ =(P 1－P 0)+( P 2－P 1)+…+ (P 99－P 98)=992)21()21()21(-++-+-= ………………10分 ).211(323)21(11009999099-=⇒-+-=-⇒P P P ………………11分 故,获胜的概率为).211(3210099-=P …………12分21．〔12分〕解：〔1〕设.2||,2||,2||),,(),,(2012211p x FB p x FM p x FA y x B y x A +=+=+=则…1分 由|||,|,||FB FM FA 成等差数列,有.2)2()2()2(2210210x x x p x p x p x +=⇒+++=+…………2分 ∵,2,2222121px y px y ==两式相减,得.2212121y y p x x y y k AB +=--=…………3分 设AB 的中点为,0)21(),2,(210=⋅++AB AB QA y y x N ∴NQ 是AB 的垂直平分线,设).0,(Q x Q …………4分 ∴.1202,1,0221021021-=+⋅--+-=⋅--+=y y p x x y y k k x x y y k Q AB NQ Q NQ 得由…………5分 ∴,0p x x Q += ∴).0,(0p x Q +…………6分〔2〕由.2,122,3,2||,3||000==⇒=+=+==p x p x p x FM OQ 且得……7分 ∴抛物线为)0)(1(2:.42≠-=-=N NN y x y y y AB x y 为又直线…………8分 ∴有.0422)14(2222=-+-⇒-=-N N N N y y y y y y y y ……9分 ∴,16)42(4411||4222N N N ABy y y k AB -=--⋅+=…………10分 由,0,220≠<<-⇒>∆N N y y 且…………11分 ∴||AB 的取值范围为〔0,4〕.…………12分22．〔14分〕解：〔1〕由.1211)1(=⇒-=⇒=a a f ………………1分∴232)(x x x f -=……2分 当,0)12(2)()(020*********=--⇒=-==x x x x x x x f x g∴.2110000-===x x x 或或…………4分由题设,,)()]([)(000102x x f x g f x g ===……5分 假设00)(x x g k =,……6分 当n=k+1时,,)()]([)(00001x x f x g f x g k k ===+∴1)(00+==k n x x g n 对时也成立.……………………………………8分 ∴当0010)(x x g x =满足时,就有.)(00x x g n =∴所有x 0组成的集合为}.21,1,0{-………………………………………………9分 〔2〕假设.132)1(-<⇒>-=a a f …………………………………………10分 令,20)2(,02)()(2231a x a x x ax x x f x g <⇔<-<-==得…………11分 对于.2)(0)]([0)(,211a x g x g f x g n n n n <⇔<⇔<≥--…………12分 ∴假设对,0)(*<∈x g N n n 有必须且只须.0)(1<x g …………13分 ∴).2,(a A -∞=…………………………………………14分。
重庆市育才中学2022届高三二诊模拟(二)数学试题(含答案解析)
重庆市育才中学2022届高三二诊模拟（二）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，i 为虚数单位，则1zi=-（ ） A ．1122-+iB ．1722i -+C ．7122i -+D ．7122i +2．已知向量()2,a λ=-，()1,2b =，若//a b ，则a b +=（ ）A B ．C D ．3．若圆锥的表面积为3π2，则该圆锥的体积为（ ）A B C D 4．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问立夏日影长为（ ） A ．七尺五寸B ．六尺五寸C ．五尺五寸D ．四尺五寸5．关于直线:10l ax by ++=，有下列四个命题： 甲：直线l 经过点(0，-1)； 乙：直线l 经过点(1，0)； 丙：直线l 经过点(-1，1)； 丁：0ab <.如果只有一个假命题，则该命题是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．有4名大学生志愿者参加2022年北京冬奥会志愿服务.冬奥会志愿者指挥部随机派这4名志愿者参加冰壶、短道速滑、花样滑冰3个项目比赛的志愿服务，则每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率（ ） A ．916 B ．34C ．227 D ．497．已知函数()f x 的图象与函数3x y =的图象关于直线y x =对称，函数()g x 是奇函数，且当0x >时，()()g x f x x =-，则(9)g -=（ ） A ．6-B ．6C ．7-D ．78．设a ，b 都为正数，e 为自然对数的底数，若1e ln a a b b b ++<，则（ ） A ．e ab >B ．1e a b +>C ．e ab <D ．1e a b +<二、多选题9．若a ＞b ＞0＞c ，则( )A ．c c a b> B ．b c ba c a->- C ．c c a b > D ．a c ->10．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 与B 互相独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A =B ．设随机变量X 服从正态分布(0,1)N .则11||1222P x P X ⎛⎫⎛⎫<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．在回归分析中，对一组给定的样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 而言，若残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好D ．若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则(23)5E ξ+=11．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，长轴长为4，点P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．124QF QF +=B 1QF 的最大值为2C ．椭圆C 离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．存在点Q 使得120QF QF ⋅=12．在矩形ABCD 中，2,AB AD ==AC 将矩形折成一个大小为θ的二面角B AC D --，若1cos 3θ=，则下列各选项正确的是（ ）A ．四面体ABCD 外接球的表面积为16πB ．点B 与点D 之间的距离为C ．四面体ABCD D ．异面直线AC 与BD 所成的角为45︒ 三、填空题13．设集合{}{}23,650A x x B x x x =≤=-+≤，则A B =________.14．已知圆C ：22230x y x +--=，直线l ：210ax y a +--=(a 为参数)截圆C 的弦长为=a ___________.15．已知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线m 与E 交于A ，B 两点，AF 的垂直平分线分别交l 和x 轴于P ，Q 两点.若AFP AFQ ∠=∠，则||AB =__________. 四、双空题16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制.一个十进制数()N n n *∈可以表示成二进制数()0122k a a a a ⋅⋅⋅，即121001212222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯，其中01,{0,1},0,1,2,,,i a a i k k N =∈=∈.用()f n 表示十进制数n 的二进制表示中1的个数，则(9)f =________；对任意121*()2,2r rf n n r N +-=∈∑=________（结果用r 表示）.五、解答题17．在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，sin A ＝2sin B . (1)若2,b c ==C ；(2)点D 在边AB 上，且AD ＝13c ，证明：CD 平分∠ACB .18．2020年是我国全面建成小康社会和打赢脱贫攻坚战的收官之年，某省为了坚决打嬴脱贫攻坚战，在100个贫闲村中，用简单随机抽样的方法抽取15个进行脱贫验收调查，调查得到的样本数据(),i i x y (1,2,,15)i =⋅⋅⋅，其中i x 和i y 分别表示第i 个贫困村中贫闲户的年平均收入（单位：万元）和产业扶贫资金投入数量（单位：万元），并计算得到15115i i x ==∑，151750i i y ==∑，()15210.82i i x x =-=∑，()15211670i i y y =-=∑，()()15135.3iii x x y y =--=∑．（1）试估计该省贫困村的贫困户年平均收入．（2）根据样本数据，求该省贫困村中贫困户年平均收入与产业扶贫资金投入的相关系数．（精确到0.01）（3）根据现有统计资料，各贫困村产业扶贫资金投入差异很大．为了确保完成脱贫攻坚战任务，准确地进行脱贫验收，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由．附：相关系数()()niix x y y r --∑37．19．已知数列{}n a 满足12121111n n na a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)在k a 和()*1k a k N +∈中插入k 个相同的数()11k k +-⋅，构成一个新数列{}n b ：1a ，1，2a ，2-，2-，3a ，3，3，3，4a ，…，求{}n b 的前100项和100S .20．如图，在三棱锥M ABC -中，MA MB MC ==，2AC AB =，3BAC π∠=，点O 是AC 的中点，点P 在线段MC 上，(1)证明：MO ⊥平面ABC ；(2)若AC AM =，直线AP 与平面ABC 所成的角为6π，求二面角P AB C 的余弦值的大小21．已知函数()21()e xf x x ax a -=+-，其中a R ∈.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)证明：0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件.22．已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b -=>>过点P，且Γ的渐近线方程为y =.(1)求Γ的方程；(2)如图，过原点O 作互相垂直的直线1l ，2l 分别交双曲线于A ，B 两点和C ，D 两点，A ，D 在x 轴同侧.请从∠∠两个问题中任选一个作答，如果多选，则按所选的第一个计分.∠求四边形ACBD面积的取值范围；∠设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD 的三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据复数的几何意义可得34z i =-+，再利用复数的除法法则可求得复数1z i-. 【详解】由于复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34z i =-+，所以，()()()()341347*********i i z i i i i i i i -++-+-+====-+---+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】根据向量共线求出参数λ，从而求出a b +的坐标，再根据向量模的坐标表示，计算可得. 【详解】因为()2,a λ=-，()1,2b =，且//a b ， 所以220λ⨯+=，解得=4λ-， 所以()2,4a =， 所以()3,6a b +=所以()23a b +==故选：D 3．A 【解析】 【分析】依题意，算出底面半径和高即可. 【详解】由题意可知母线与圆锥底面的夹角为3π， 设底面半径为r ，圆锥的高为h ，母线长为l，则2,l r h ==∠ ， 则圆锥的表面积为23S r rl πππ=+= ，将∠代入，解得1,r h ==，圆锥的体积为213V r h π== ；故选：A. 4．D 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式以及求和公式列出方程组，求出首项和公差，由此可求得立夏日影长. 【详解】从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，设十二节气第()N n n *∈个节气的日影长为n a ，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，前n 项和为n S ，则567817114223276772173.52a a a a a d S a d a d +++=+=⎧⎪⎨⨯=+=+=⎪⎩，解得12721a d ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 1012799922a a d ∴=+=-=，因此，立夏日影长为四尺五寸.故选：D. 【点睛】本题考查新文化中的等差数列问题，考查等差数列与前n 项和中基本量的计算，考查计算能力，属于基础题. 5．C 【解析】 【分析】根据题意，分别假设甲、乙、丙为假命题，则其余三个命题为真命题，分析推理，即可得答案.【详解】由题可知，命题甲､乙､丙中必有一个是假命题.若甲为假命题，则由乙､丙为真命题可得，1a =-，2b =-，此时0ab >，与丁矛盾，故不成立；若乙为假命题，则由甲､丙为真命题可得，2a =，1b =，此时0ab >，与丁矛盾，故不成立；若丙为假命题，则由甲､乙为真命题可得，1a =-，1b =，此时0ab <，丁也成立，满足题意，所以假命题为丙， 故选：C. 6．D 【解析】 【分析】先将4人分成3组，其一组有2人，然后将3个项目进行排列，可求出每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数，再求出4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数，再利用古典概型的概率公式求解即可 【详解】先将4人分成3组，其一组有2人，另外两组各1人，共有246C =种分法，然后将3个项目全排列，共有336A =种排法，所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的方法数为6636⨯=种， 因为4名志愿者参加3个项目比赛的志愿服务的总方法数4381=种， 所以每个项目至少安排一名志愿者进行志愿服务的概率为364819=， 故选：D 7．D 【解析】 【分析】先求出3()log f x x =，再求出(9)7g =-即得解. 【详解】由已知，函数()y f x =与函数3x y =互为反函数，则3()log f x x =．由题设，当0x >时，3()log g x x x =-，则3(9)log 99297g =-=-=-． 因为()g x 为奇函数，所以(9)(9)7g g -=-=. 故选：D ． 8．B 【解析】 【分析】把不等式进行变形，引入函数()ln f x x x =，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论． 【详解】 由已知，1e(ln 1)ln ea ba b b b +<-=，则e ln e ln e e a a b b <．设()ln f x x x =，则()e e ab f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭．因为0a >，则e 1a >．又(ln 1)0,0b b b ->>，则ln 1b >，即e b >，从而1eb>． 当1x >时，()ln 10f x x '=+>，则()f x 在(1,)+∞内单调递增，所以e eab<，即1e a b +>， 故选：B ． 9．ABD 【解析】 【分析】利用作差法可判断AB ，根据幂函数单调性可判断C ，根据基本不等式可判断D. 【详解】A ：()c c b a c a b ab--=，∠0a b c >>>，0,0,0ab b a c ∴>-<<， ()0b a cab -∴>，c c a b ∴>，故A 正确； B ：()()()()()a b c b a c b a cb c b a c a a c a a c a------==---， ∠0a b c >>>，∠0,0,0,0a c a b a c ->>-<<， ()0,()b a c b c ba c a a c a--∴>∴>--，故B 正确；C ：,0c y x c =<时，y 在()0,∞+单调递减，∠,c c a b a b >∴<，故C 错误；D ：∠a ＞b ＞0＞c ，∠－c ＞0，∠()a c b c b c ->-=+-≥∠a ≠b ，故等号取不到，故a c ->D 正确.故选：ABD. 10．ACD 【解析】 【分析】根据条件概率和事件的独立性即可判断选项A ，正态分布可判断选项B ，残差定义可判断选项C ，二项分布的数学期望的公式可判断选项D. 【详解】若事件A 与B 互相独立，且0()1,0()1P A P B <<<<，可得()()()P AB P A P B =⋅ 则()()()()()P A P B P A B P A P B ==，故A 正确；随机变量X 服从正态分布(0,1)N .可得20,1μσ==，则11||1222P x P X ⎛⎫⎛⎫<=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；在回归分析中，对一组给定的样本数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y 而言，残差平方和越大，则模型的拟合效果越差；反之，则模型的拟合效果越好,故C 正确；若随机变量ξ服从二项分布14,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()1E ξ=，(23)2()+35E E ξξ+==，故D 正确.故选：ACD. 11．AB 【解析】 【分析】由题意知2a =，根据椭圆定义可判断选项A 与选项B ，利用点P 在椭圆内部可得22b >，即可判断选项C ，由选项C 知，2)c ae b =∈∈，可判断选项D.【详解】由长轴长为4，故242a a =⇒=，由点Q 在椭圆上，根据椭圆的定义得124QF QF +=，故A 正确；c e c a ==⇒=1QF 的最大值为2故B 正确；点P 在椭圆内部，故22111422b b+⇒>，椭圆C 离心率为c e a ⎛== ⎝⎭，故选项C 不正确；由选项C 知，2)c ae b =∈∈ min ||OQ b c ∴=>故不存在点Q 使得120QF QF ⋅=，选项D 错误. 故选：AB. 12．ACD 【解析】 【分析】求出24R AC ==，即可判定 A 正确；分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，利用向量法求出||BD →=B 错误；证明CD ⊥平面ABD ，求出V =C 正确；利用向量法求出,45AC BD →→=︒，所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确， 【详解】解：如图，因为ABC 和ADC 都是以AC 为斜边的直角三角形，则AC 为四面体ABCD 外接球的直径．因为2,AB BC ==24R AC ==，所以四面体ABCD 外接球的表面积为2416S R ππ==，故A 正确； 分别作,BE AC DF AC ⊥⊥，垂足为E ，F ，则,EB FD θ→→=．由已知可得，1,2EB FD AE CF EF =====．因为BD BE EF FD →→→→=++，则 222||()BD BD BE EF FD →→→→→==++=2222BE EF FD BE FD →→→→→+++⋅343)8πθ=+++-=，所以||BD →=B 错误；因为22212CD BD BC +==，则CD BD ⊥．同理AB BD ⊥．又CD AD ⊥，,,AD BD D AD BD =⊂平面ABD ，则CD ⊥平面ABD，所以11122332ABDV SCD =⨯=⨯⨯⨯=C 正确； 由已知可得，30CAD ∠=︒，60CAB ∠=︒，则()442cos608AC AD AB AC AD AC AB AC BD →→→→→→→→→⋅=⋅-=⋅-⋅=⨯︒-︒⨯=，则cos ,||||AC BD AC BD AC BD →→→→→→⋅===,45AC BD →→=︒， 所以异面直线AC 与BD 所成的角为45︒，故D 正确， 故选：ACD ．13．[1,3] 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】解不等式2650x x -+≤ ，得()()150x x --≤ ，解得15x ≤≤ ， 即[]1,5B = ，[]1,3A B ∴= ； 故答案为：[]1,3 . 14．1 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再求出圆心到直线l 的距离，再由弦长、弦心距和半径的关系列方程可求出a 的值. 【详解】解：由22230x y x +--=，得22(1)4x y -+=，则圆心(1,0)C ，半径2r =，所以圆心(1,0)C 到直线l 的距离d ==因为直线l ：210ax y a +--=(a 为参数)截圆C 的弦长为所以2222+=，解得1a =.故答案为：1 15．163【解析】 【分析】根据题意可得PA PF FQ ==，由于对角线AF 与PQ 垂直，得四边形PAQF 是菱形，在由抛物线的定义即可得到APF 为等边三角形，可得直线AB 的方程，把直线和抛物线进行联立，进而求得答案. 【详解】PQ ∵垂直平分AF ，AFP AFQ ∠=∠，PA PF FQ ∴==在四边形PAQF 中，对角线AF 与PQ 垂直，∴四边形PAQF 是菱形， 由抛物线的定义可得：AF PA = 故PA AF PF == APF ∴△为等边三角形故60AFP ︒∠= 故60AFP AFQ ︒∠=∠=故直线1)AB y x =-：故把直线1)y x =-与抛物线进行联立21)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12103x x += 1216||3AB x x p =++=故答案为：163.16． 2 ()23r r N *⨯∈【解析】 【分析】根据题意可得(9)2f =，设121001212222,()1r r r r r n f n a t a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯⨯=++，则使得()1f n t =+的n 有tr C 个，即可得到答案.【详解】3210912020212=⨯+⨯+⨯+⨯ (9)2f ∴=设121001212222,()1r r r r r n f n a t a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯⨯=++，则使得()1f n t =+的n 有t rC 个，故121()1*022223()rr rf n t t r r t n C r N +-+==∑=∑⨯=⨯∈故答案为：2；()23r r N *⨯∈.17．(1)23π； (2)证明见解析﹒ 【解析】 【分析】(1)根据正弦定理可知a ＝2b ，根据余弦定理可求cos C ，由此即可求C ； (2)由正弦定理证明sin∠BCD ＝sin∠ACD 即可. (1)由sin 2sin 24A B a b =⇒==， 164281cos 2422C +-∴==-⨯⨯，∠C ()0,π∈，∠23C π=；(2)设∠BCD ＝α，∠ACD ＝β，∠sin A ＝2sin B ，∠由正弦定理得a ＝2b ，在BCD △中，由正弦定理得，23sin sin ca BDCα∠=，∠ 在ACD △中，由正弦定理得，13sin sin cb ADCβ∠=，∠sin sin BDC ADC ∠∠=，a ＝2b ，∠①②得，sin sin αβ=，∠0＜α、β＜2π， αβ∴=，即CD 平分ACB ∠.18．（1）1（万元）；（2）0.95；（3）采用分层抽样，答案见解析． 【解析】 【分析】（1）利用平均数的概念，结合已知数据，估计平均收入； （2）根据相关系数公式，结合已知数据，求相关系数；（3）由（2）所得相关系数可知平均收入与投入资金的正相关，结合分层抽样的特征，即可确定抽样方法. 【详解】（1）该省贫困村的贫困户年平均收入的估计值为151111511515i i x ==⨯=∑（万元），（2）样本(),(1,2,,15)i i x y i =⋅⋅⋅的相关系数为()()15iix x yy r --==∑35.30.9537=≈≈． （3）采用分层抽样，理由如下：由（2）知各地区贫困村的贫困户年平均收入与该村的产业投入资金有很强的正相关性，由于各贫困村产业扶贫资金投入差异很大，因此贫困村的贫困户年平均收入差异也很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该省更准确的脱贫验收估计． 19．(1)1n an =+； (2)143. 【解析】【分析】（1）令1n =可求得1a ；当2n ≥时，可得11n n n na a a a --=，进而证得数列{}n a 为等差数列，利用等差数列通项公式可求得结果； （2）设k a 和插入的k 个数()11k k +-⋅构成一组数，则前k 组共有232k k+个数，由此可确定前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，利用分组求和的方式求解即可. (1) 当1n =时，11111a a a -=，解得：12a =； 当2n ≥时，由12121111n n n a a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅⋅=得：11212111111n n n a a a a a a a ------⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 两式作比可得：11n n n na a a a --=，整理可得：11n n a a --=， ∴数列{}n a 是以2为首项，1为公差的等差数列，1n a n ∴=+； (2)设k a 和插入的k 个数()11k k +-⋅构成一组数，则前k 组共有()21322k k k kk +++=个数，令231002k k+≤，又*k N ∈，解得：12k ≤；当12k =时，23901002k k+=<， ∴{}n b 的前100项中包含前12组数和第13组数的前10个，()()()()()()22221001231112131231112139S a a a a a a ∴=++-+++⋅⋅⋅+++-++⨯()()22222121312341112117a a a =++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-+()()132143*********⨯+=-+++⋅⋅⋅++()63231041172⨯+=-+10478117143=-+=. 20．(1)证明见解析；【解析】 【分析】（1）连接BO ，由给定条件证明MOA MOB ≅，再由线面垂直的判断推理作答.（2）在平面ABC 内过O 作OD AC ⊥，再以O 为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答.(1)连接BO ，如图，由MA MC =，OA OC =，得MO AC ⊥，而3BAC π∠=，2AC AB =，在ABC 中，由余弦定理得：22222cos 3BC AB AC AB AC BAC AB =+-⋅∠=， 则有222AC AB BC =+，有2ABC π∠=，即AB BC ⊥，因此，OA OB OC ==，又MA MB MC ==，于是得MOA MOB ≅，90MOB MOA ∠=∠=，即MO OB ⊥， 又有AC BO O ⋂=，,⊂AC BO 平面ABC ， 所以MO ⊥平面ABC . (2)由（1）可得，平面AMC ⊥平面ABC ，AP 在平面ABC 内射影为AC ， 即PAC ∠为直线AP 与平面ABC 所成的角，6PAC π∠=，因AC AM MC ==，则点P 为线段MC 的中点，在Rt ABC △中，过O 作OD AC ⊥交BC 于D ，则OD ，OC ，OM 两两垂直，以点O 为原点，射线OD ，OC ，OM 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，不妨令4MA =，则()0,2,0A -，)1,0B-，()0,2,0C ，(0,0,M ，(P ，(0,3,PA =-，()3,1,0AB =，设平面P AB 的法向量(),,n x y z =，则3030n PA y n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得(1,3,3)n =-，又平面ABC 的法向量()0,0,1m =，则cos ,1m n m n m n⋅===+⋅ 而二面角P AB C 的平面角为锐角，所以二面角PAB C 21．(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得()'f x ，并对参数a 的值进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性； （2）根据（1）中所求函数单调性，从充分性和必要性的角度进行证明即可. (1)由题：函数的定义域为R ；121()(2)2[(2)()]x xf x e x a x a e x x a --⎡⎤=-+--=--+'⎣⎦.1°2a =-时，()0,()f x f x '≤在x ∈R 上单调递减；2°2a >-时，()f x 在(,),(2,)x a ∈-∞-+∞单调递减；()f x 在(,2)a -单调递增； 3°2a <-时，()f x 在(,2),(,)x a ∈-∞-+∞单调递减；()f x 在(2,)a -单调递增. (2)由（1）可知，当2a >-时，(),()f x f x '的变化情况如下表：所以，0a ≥时，()f x 的极小值为1()0a f a a e +-=-⋅≤. 又2x >时，222240x ax a a a a +->+-=+>，所以，当2x >时，()21()xf x x ax a e -=+-⋅恒成立.所以，1()a f a a e +-=-⋅为()f x 的最小值. 故0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分条件. 又当5a =-时，(),()f x f x '的变化情况如下表：因为当5x >时，()21()550xf x x x e -=-+⋅>，又1(2)0f e -=-<，所以，当5a =-时，函数()f x 也存在最小值所以， 故0a ≥不是函数()f x 存在最小值的必要条件.综上，0a ≥是函数()f x 存在最小值的充分而不必要条件. 【点睛】本题考查利用导数研究含参函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值，其中解决第二问的关键是要正确区分最小值和极小值之间的关系，属综合困难题. 22．(1)2213y x -=(2)若选∠，6S ≥；若选∠，直线AD 不存在. 【解析】 【分析】（1）求出,a b 后可得双曲线的方程.（2）若选∠，设1:l y kx =，21:l y x k=-，联立直线方程和双曲线方程后可求四边形面积的平方的表达式，从而可求其取值范围；若选∠，可得设()(),,M m N n ，其中0,0m n ><，则可求,A D 的坐标，利用它们在双曲线上及OA OD ⊥可得关于,m n 的方程组，根据方程组无解可得直线不存在. (1)因为双曲线的渐近线方程为y =，故b a=22361a b -=，解得1,a b ==2213y x -=.(2) 若选∠，由题设可知直线1l ，2l 的斜率均存在且均不为零，设1:l y kx =，21:l y x k=-，设1:l y kx =，则22{33y kx x y =-=可得2233A x k =-，其中k < 同理222331Ck x k =-，其中1k -<k <3k，故()()222221211213Ak AB kxk +=+=-，同理()2222211211211313k k CD k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--， 故四边形ACBD 的面积S 满足：()()()()()22222222212112111364331331k k k S k k k k +++=⨯⨯=⨯---- 22211363616131631k k k k k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⨯=⨯⎛⎫--+ ⎪⎛⎫⎝⎭+ ⎪⎝⎭， 令1y k k =+，则221k y k -'=，当1k <-或1k <<0y '>；当1k -<<1k <<时，0y '<；故1y k k =+在()1-，(上为增函数，在1,⎛- ⎝⎭，⎫⎪⎪⎝⎭上为减函数，故当k <3k时，12k k ≤+<或12k k<+≤-，所以211643k k ⎛⎫≤+< ⎪⎝⎭，故236S ≥即6S ≥.若选∠，先考虑,A D 在x 轴上方，且A 在第一象限，D 在第二象限，设()(),,M m N n ，其中0,0m n ><，若M ，N 为线段AD 的三等分点，答案第16页，共16页 则DN NM =可得()(),D D n x y m n --=-，故2,D D x n m y =-=-，同理2,A A x m n y =-=，所以()()()()2222213213n m m n ⎧-⎪--=⎪⎨⎪⎪--=⎩，整理得18mn =-， 而OA OD ⊥，故0A D A D x x y y +=，故(2)(2)))0n m m n -⨯--+⨯=， 整理得到222533()4432m n mn m n mn +=-⨯⇒+=⨯=-， 故无解，故满足条件的直线AD 不存在，由双曲线的对称性可得直线AD 不存在.。
2022高三数学联合诊断性考试2(理)2
2022届重庆市高三联合诊断性测试〔第二次〕数 学〔理科〕 2006年4月27日本试卷分第一卷(选择题)和第二卷(非选择题)两局部.共150分,测试时间120分钟.第一卷(选择题,共50分)考前须知：1．做题前,考生务必将自己的姓名、准考证号、测试科目用铅笔涂写在做题卡上. 2．选择题每题选出答案后,用铅笔把做题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试题卷上. 3．填空题的答案和解做题的解答过程直接写在做题卡Ⅱ上. 4．测试结束,监考人将本试卷和做题卡一并收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+,如果事件A 、B 相互独立, 那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅,如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 ()(1)k k n kn n P k C p p -=-球的外表积公式 24πS R = 其中R 表示球的半径 球的体积公式 34π3V R =其中R 表示球的半径 一、选择题：〔本大题10个小题,每题5分,共50分〕各题答案必需答在做题卡上.1．复数321)1(2ii -+化简后的结果为 A ．i 2 B. i 2- C. i -1 D. i 22+2. 假设实数b a ,满足21lim 223=++-+∞→nn bn an n ,那么=+b a A. 2-B. 0C. 1D. 23. 假设数列)}({*N n a n ∈的首项为14,前n 项的和为n S ,点),(1+n n a a 在直线02=--y x 上,那么以下说法正确的选项是A. 当且仅当1=n 时,n S 最小B. 当且仅当8=n 时,n S 最大C. 当且仅当1=n 或8时,n S 最大D. n S 有小值,无最大值 4. 函数)26cos()265sin(xx y +-=ππ的单调递增区间是 A. )(]672,62[Z k k k ∈++ππππ B. )(]672,62[Z k k k ∈++ππππC. )(]62,652[Z k k k ∈+-ππππ D. )(]2,2[Z k k k ∈+πππ5. 函数)(x f 和)(x g 的定义域都是R ,且0)(≥x f 的解集为)2,1(,0)(≥x g 的解集为空集,那么0)()(>x g x f 的解集是 A. )2,1( B. ),2[)1,(+∞-∞ C. ),2[)1,1(+∞- D. ]2,1[ 6．对于实数x ,规定][x 表示不大于x 的最大整数,那么不等式045][36][42<+-x x 成立的充分不必要条件是 A. )215,23(∈x B. ]7,2[∈x C. )8,2[∈x D. ]8,2[∈x 7．函数)1,0()(≠>=a a a x f x的反函数为)(1x f y -=,且)0(14)1()(1>=+--b af b f ,那么=+b aA. 7B. 8C. 9D. 108．如图,正三棱锥BCD A -中,E 、F 分别为BD 、AD 的中点,CF EF ⊥,那么直线BD 与平面ACD 所成角为A. 030 B. 060C. 2arctanD. 0459. 设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=)2(0)2(||2|lg |)(x x x x f ,假设0<b 时,那么关于x 的方程0)()(2=+x bf x f 的不同实根共有A. 4个B. 5个C. 7个D. 8个10.P 是双曲线14822=-y x 上的动点,21,F F 分别是此双曲线的左、右焦点,O 为坐标原点,ABCF DE那么||||||||21OP PF PF +的取值范围是A. )6,0[ B. ]6,0[ C. ]26,21( D. ]26,0[ 第二卷(非选择题,共100分)二、填空题：〔本大题6个小题,每题4分,共24分〕各题答案必须填写在做题卡Ⅱ上〔只填结果,不要过程〕.11．经过函数xbe ax x f +=)(图象上一点)2,1(-P 处的切线与直线x y 3-=平行,那么函数)(x f 的解析式是______________12．实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x ,那么目标函数y x z 3+=的最大值为______________13．二项式nx )sin 1(+的展开式中,末尾两项的二项式系数之和为7,且二项式系数最大的一项的值为25,那么x 在],[ππ-上的值为______________ 14．采用简单随机抽样,从含有10个个体的总体中抽取一个容量为4的样本,这个总体中的个体x 前3次没有被抽到,到第4次抽到的概率是______________ 15．假设二面角βα--l 的平面角为3π,直线α⊥m ,那么平面β内的直线与m 所成角的范围是________________16．定义在R 上的函数)(x f y =满足条件)()23(x f x f -=+,且函数)43(-=x f y 是奇函数,给出以下四个命题： ①．函数)(x f 是周期函数； ②．函数)(x f 的图象关于点)0,43(-对称； ③．函数)(x f 是偶函数； ④．函数)(x f 在R 上是单调函数.在以上述四个命题中,真命题的序号是____________〔写出所有真命题的序号〕三、解做题：〔本大题6个小题,共76分〕各题解答必需答在做题卡Ⅱ上〔必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤〕.17．〔13分〕向量)cos ,(cos ,)cos ,sin 3(x x b x x a ωωωω==→→,其中0>ω.记函数→→=b a x f )(,且)(x f 的最小正周期为π.(Ⅰ)求ω； 〔Ⅱ) 当30π≤<x 时,试求)(x f 的值域.18．〔13分〕某广场上空有一排成直线型的4盏装饰灯,晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯,每盏灯出现红灯的概率都是32,出现绿灯的概率都是31.现将这4盏灯依次记为4321，A ，A ，A A ,并令⎩⎨⎧===)4,3,2,1,(0)4,3,2,1,(1i A i A a i i i 出现绿灯灯出现红灯灯设4321a a a a +++=ξ,当这排装饰灯闪烁一次时 (Ⅰ) 求2=ξ的概率；〔Ⅱ) 求ξ的概率分布列及ξ的数学期望ξE19．〔13分〕函数)0(3231)(223>+-+-=a b x a ax x x f . (Ⅰ) 当)(x f 的极小值为37,极大值为1-时,求函数)(x f 的解析式;〔Ⅱ) 假设)(x f 在区间]2,1[上为增函数,在区间),6[∞+上为减函数,求a 的取值范围.20．〔13分〕斜三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形,090=∠ACB ,侧棱与底面成锐角α,点1B 在底面上的射影D 落在BC 边上. (Ⅰ) 求证：11CC BB AC 平面⊥;〔Ⅱ) 当α为何值时,11BC AB ⊥,且使D 点恰好为BC 的中点？(Ⅲ) 当11BC AB ⊥,且D 为BC 的中点时,假设2=BC ,四棱锥11CC BB A -的体积为332,求二面角C C B A --11的大小.21．〔12分〕正项数列}{n a 中,对于一切的*N n ∈均有12+-≤n n na a a成立.(Ⅰ) 证实：数列}{n a 中的任何一项都小于1； 〔Ⅱ) 探究n a 与n1的大小,并证实你的结论.22．〔12分〕椭圆C 的方程)0(12222>>=+b a by a x ,21,F F 分别是左右焦点,A 为右顶点,l 为左准线.过1F 的直线c my x l -=:0与椭圆相交于P 、Q 两点,且满足条件21()()2AP AQ a c c =+为半焦距.过点P 作PT l ⊥,T 为垂足.(Ⅰ)当m ≥,求证：12||||||2PT PT PT -≤<； 〔Ⅱ) 当离心率12[,]23e ∈时,求实数m 的取值范围.1C BC1B DA1A。
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所以 ，
所以 或 ，
因为 ，
所以 ，
故选：B
4．D
【解析】
【分析】
根据 原则结合正态分布的对称性即可得出答案.
【详解】
解：因为某批零件的尺寸 （单位： ）服从正态分布 ，
所以
.
故选：D.
5．D
【解析】
【分析】
以运行轨道长轴所在直线为 轴，地心 为左焦点建立平面直角坐标系，设椭圆方程为 ，根据题意列出方程组，解方程组即可．
【详解】
，
则复数z在复平面内对应的点为 ，位于第三象限.
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定是全称命题即可求解.
【详解】
命题“ ”的否定是“ ”.
故选：A.
3．B
【解析】
【分析】
由图可知，图中阴影部分表示 ，先求出集合B，再求出集合B的补集，然后再与集合A求交集
【详解】
由图可知，图中阴影部分表示
A．3B．6C．9D．12
7．已知向量 ，若 与 的夹角为 ，则 （）
A． B． C． D．
8．已知 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
评卷人
得分
二、多选题
9．已知空间中的两条直线 和两个平面 ，则 ”的充分条件是（）
A．
B．
C．
D．
10．已知 ，则（）
A． B． C． D．
11．已知点 ，过直线 上一点 作圆 的切线，切点分别为 ，则（）
22．椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，点 在椭圆 的内部（不包含边界）运动，且与 两点不共线，直线 与椭圆 分别交于 两点，当 为坐标原点时，直线 的斜率为 ，四边形 的面积为4.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若直线 的斜率恒为 ，求动点 的轨迹方程.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
根据复数的四则运算化简复数 ，即可得出答案.
【详解】
因为 ， ，
所以 或 ；
若 ，则 ，
此时 （舍）；
若 ，则 ，
此时 （符合题意），
所以 ，
即 ；
因为 且 ，
所以 且 ，
解得 ， ，
则 ，
所以 .
故选：C.
9．ACD
【解析】
【分析】
根据线面垂直或平行关系，代入分析讨论求证即可.
【详解】
对于选项 ， ，
则有 内的一条直线
因为 ，
所以
又
所以 ，
解得 ， ， ， ，
所以 ， ；
(2)
解：由题知 的前20项和
，
即 .
18．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用 、 和诱导公式、两角和差的余弦公式进行化简，再结合角的范围进行求解；
（2）利用余弦定理、三角形的面积公式、周长公式得到关于 的方程组进行求解.
(1)
解：因为 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ,
即条件“ ”能够得到 ,
所以选项 是 的充分条件；
对于选项 ， 不一定能够得出结论 ，
也可能相交或平行；因此该选项错误；
对于选项 ， ， ，
所以 ，
又因为
所以 ，
因此该选项正确；
对于选项 ，
因为
所以 或
又因பைடு நூலகம் ，
所以 .
故选：ACD.
10．BCD
【解析】
【分析】
根据指数式与对数式的互化，再利用对数的运算性质及对数大小的比较及不等式的性质即可求解.
【详解】
因为 ，
所以 ，
设切点 ，
在点 处的导数为 ，
根据导数的几何意义等于切线斜率，以及导数的比值定义式有：
整理得 ，
所以 ，
①当 时， 可化为 ，
由函数定义域知分母不为0， ，
所以只能解得 ，因此过 只能找到一条与曲线相切的直线；
②当 时， 可化为 ，
是关于 的二次方程， ，且两根之积为 ，
所以所求根之中一定不含0，此时对任意 能够找到两个 满足条件.
【详解】
对于A，
，故A不正确；
对于B， ，
，
，故B正确；
对于C，
，故C正确；
对于D，由B知， ，故D正确；
故选：BCD.
11．BC
【解析】
【分析】
利用直线与圆之间的关系，列出点到直线距离公式，逐个选项进行判断即可
【详解】
由题知，可设点 ，则由切点弦结论得直线 ，易得直线 过定点 ，故圆心 到直线 的距离不是定值， 不恒成立，故 选项不正确；
综上所述，过点 且与曲线 相切的直线可能有1或2条.
故选：BC.
13．
【解析】
【分析】
先写出抛物线的焦点坐标，再利用双曲线中的 进行求解.
【详解】
因为拋物线 的焦点为 ，
且该点也是双曲线 的焦点，
所以 ，又因为 ，
所以 .
故答案为： .
14． ## .
【解析】
【分析】
根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.
大球中的球缺高为 ， ，
故
.
故答案为： .
17．(1) ，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；
（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解.
(1)
解：设等差数列 的首项为 、公差为 ，
等差数列 的首项为 、公比为 ，
由题意，得 ，
【详解】
恰好筹集到 元慈善基金的情况为：答对第一、二张图片，答错第三张图片，
所求概率 .
故答案为： .
15． ##0.5
【解析】
【分析】
利用多项式乘多项式法则，求出 展开式中常数项及 项即可列式计算作答.
【详解】
依题意， 的展开式中 的项是由 分别与 展开式中常数项及 项相乘积的和，
因此， 的展开式中 的项为 ，
因为共检测25次，即2个感染者分在同一组；
只需考虑其中某位感染者所在的小组，
原题等价于：从99人中任选19人与他组成一组，
求选到的19人中有另一位感染者的概率，此概率为 ；
(2)
解：若2个感染者分在同一组，则
， ，
， ，
若2个感染者分在不同小组，则
， ，
， ，
， ，
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．命题“ ”的否定是（）
A． B．
C． D．
3．已知集合 ，则下图中阴影部分表示的集合为（）
A． B． C． D．
4．已知某批零件的尺寸 （单位： ）服从正态分布 ，其中 的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（）
（附：若 ，则 ， ， ）
(1)
平面 ，同理 均与平面 垂直，故可将多面体补成如图所示的长方体 ，此长方体体积为 ，三棱锥 的体积为 ，故此多面体的体积为10；
(2)
以 为坐标原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐标系，则 ，
，设平面 的法向量为 ，
则 ，令 得 ，
又 为正方形， ，故 平面 ，
为平面 的一个法向量，
，
故平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
重庆市2022届高三第二次联合诊断检测数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．已知： ，则复数z在复平面内对应点在（）
附：一个半径为 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为 ），球缺的体积公式为 .
评卷人
得分
四、解答题
17．已知各项均为正数的等差数列 的前三项和为12，等比数列 的前三项和为 ，且 ， .
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 ，其中 ，求数列 的前20项和.
A．以线段 为直径的圆必过圆心
B．以线段 为直径的圆的面积的最小值为
C．四边形 的面积的最小值为4
D．直线 在 轴上的截距的绝对值之和的最小值为4
12．已知曲线 及点 ，则过点 且与曲线 相切的直线可能有（）
A．0条B．1条C．2条D．3条
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
三、填空题
即有 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
16．
【解析】
【分析】
作出大圆截图，利用弦心距、直角三角形得到两个球缺的高，再利用球的体积公式、球缺的体积公式进行求解.
【详解】
记两球面的交线为圆 ，其大圆截面如图所示，
则 ，且 ，
解得 ， ，且圆 的半径为12，
两球体的公共部分可看作两个球缺，
小球中的球缺高为 ， ，
15． 的展开式中 的系数是 ，则 ___________.
16．无穷符号 在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距 ，则该标志的体积为___________.
20．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）先根据分组情况和检测人数得到2个感染者分在同一组，再利用组合知识和古典概型的概率公式进行求解；