简单的排列组合问题
排列与组合典型问题及方法（含答案）
排列与组合典型问题及方法（含答案）排列与组合——四类典型问题一、摸球问题1、袋中装有6只黑球，4只白球，现从中任取4只球（1）正好2只黑球，2只白球的不同取法共多少种？90（2）至少有3只黑球的不同取法共有多少种？95（3）至多有1只黑球的不同取法共有多少种？252、从0，1，2，…，9这十个数字中任取五个不同数字（1）正好两个奇数，三个偶数的不同取法有多少种？100（2）至多有两个奇数的取法有多少种？126（3）取出的数中含5但不含3的取法有多少种？70二、排队问题1、某排共有七个座位，安排甲乙丙三人就坐（1）共有多少种不同就坐方法？210（2）三人相邻（即三个座位相连）的就坐方法有多少种？30（3）三人不相邻（任意两人中间都有空位）的就坐方法共多少种？602、袋中装有5只白球，6只黑球，依次取4只（1）每次取1只（取后不放回）则共有多少种不同取法？7920（2）每次取1只（取后放回）则共有多少种不同取法？14641（3）每次取1只（取后不放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？3600（4）每次取1只（取后放回）则第二次取到白球的取法共有多少种？66553、由0,1,2,3,4,5,（1）可组成多少个无重复数字的不同三位偶数？52（2）可组成多少个不同的三位偶数（允许有重复数字）？90（3）可组成多少个能被5整除的三位数（允许有重复数字）？60三、分房问题（n个人生日问题、投信问题）1、10个人进入8个房间，共有多少种不同的进入方法？8102、从4名候选人中，评选出1名三好学生，1名优秀干部，1名先进团员，若允许1人同时得几个称号，则不同的评选方案共有多少种？43四、分组问题1、分配9个人去完成甲、乙、丙三项任务（1）甲任务需2人，乙任务需3人，丙任务需4人，则不同的选派方法共有多少种？C C C （2）甲任务需2人，乙任务需2人，丙任务需5人，则不同的选派方法共有多少种？225975（3）甲、乙、丙三项任务各需3人，则不同的选派方法共有多少种？2、将9个人以下列三种方式分为三个小组，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259752!C C C （3）将9个人以3，3，3分为三组.3、将将9个人以下列三种方式分为三个小组，去完成三项不同的任务，则不同的分组方法各为多少种？（1）将9个人以2，3，4分为三组.（2）将9个人以2，2，5分为三组. 2259753!2!C C C ? （3）将9个人以3，3，3分为三组.解题方法一、正难则反，等价转化在解决某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂、分类较多时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理，即先求总的排列组合数，再减去不符合要求的排列组合数，从而使问题获得解决办法。
排列与组合
P77
种方法
P77 − 2 P66 + P55 = 3720
(3)二分法
个数字中任取3个 从1,3,5,7这4个数字中任取 个，从0，2,4 这 个数字中任取 ， 个数字中任取2个 这3个数字中任取 个，可以组成多少个无重复数 个数字中任取 字的五位数？ 字的五位数？
第一类：取0，有
3 1 C4 C2
名同学中选出2名去参加一项 （2）从甲、乙、丙3名同学中选出 名去参加一项 ）从甲、 名同学中选出 活动，有多少种不同的选法？ 活动，有多少种不同的选法？
一、组合的概念
一般地， 个不同的元素中取出m(m≤n) m(m≤n)个元 一般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 一个组合。 一个组合。 排列与组合的联系与区别： 排列与组合的联系与区别： 都是从n个不同的元素中取出m个元素， 1、都是从n个不同的元素中取出m个元素，且m≤n 2、有序问题是排列，无序问题是组合。 有序问题是排列，无序问题是组合。 同一组合只要元素完全相同。 3、同一组合只要元素完全相同。
2 5辆汽车从停车场分五班开出，其中甲车 辆汽车从停车场分五班开出， 辆汽车从停车场分五班开出 必须在乙车之前开出， 必须在乙车之前开出，则发车方案种数为 （c ） A.24
题目分析： 题目分析： 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键， 以甲车必须在乙车之前开出为解题关键，考虑甲车和乙车的 开出顺序。 开出顺序。
种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
P41 P44 个五位数。
3 1 ∴ N1 = C4 C2 P41 P44
第二类：不取0，有 C4 C2 种取法，每一种（如1,3,5,2,4）可组成
小学数学解决简单的排列组合问题
小学数学解决简单的排列组合问题排列组合是小学数学中一个重要的概念，它涉及到对一组元素进行有序或无序排列的问题。
在解决简单的排列组合问题时，我们可以通过确定问题的条件和采用适当的计算方法来求解。
本文将介绍如何解决简单的排列组合问题，包括计算排列数和组合数的方法，以及一些常见的应用。
一、排列的计算方法排列是指从一组元素中选取若干个进行有序排列的方式。
当元素的顺序不同时，它们所组成的排列是不同的。
我们可以通过数学的方法来计算排列数。
1.1 从n个元素中选取m个进行排列当我们需要从n个不同元素中选取m个进行排列时，可以使用以下公式计算排列数：Anm = n! / (n-m)!式中，Anm表示从n个元素中选取m个进行排列的结果，n!表示n 的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果为：A53 = 5! / (5-3)!= 5! / 2!= 5*4*3*2*1 / 2*1= 60因此，从5个不同的数字中选取3个进行排列的结果有60种。
1.2 从n个元素中选取所有进行排列当我们需要从n个不同元素中选取所有进行排列时，也可以使用阶乘的方法来计算排列数：An = n!例如，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果为：A5 = 5!= 5*4*3*2*1= 120因此，从5个不同的数字中选取所有进行排列的结果有120种。
二、组合的计算方法组合是指从一组元素中选取若干个进行无序排列的方式。
当元素的顺序不重要时，它们所组成的组合是相同的。
我们可以使用组合数来表示从一组元素中选取若干个进行组合的结果。
2.1 从n个元素中选取m个进行组合当我们需要从n个不同元素中选取m个进行组合时，可以使用以下公式计算组合数：Cnm = n! / ((n-m)! * m!)式中，Cnm表示从n个元素中选取m个进行组合的结果。
例如，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果为：C53 = 5! / ((5-3)! * 3)!= 5! / (2! * 3)!= 5*4*3*2*1 / (2*1 * 3*2*1)= 10因此，从5个不同的数字中选取3个进行组合的结果有10种。
简单的排列组合练习题及答案
简单的排列组合练习题及答案一、排列与组合1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法？2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法？3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是A.男同学2人，女同学6人B.男同学3人，女同学5人C. 男同学5人，女同学3人D. 男同学6人，女同学2人4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站，则客运车票增加了58种，那么原有的车站有A.12个B.13个C.14个D.15个5．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成多少个数字不重复的三位数？可以组成多少个数字允许重复的三位数？可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数？可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数？可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数？二、注意附加条件1.6人排成一列甲乙必须站两端，有多少种不同排法？甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法？2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数？3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是A.3761B.4175C.5132D.61574. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有A.30种B.31种C.32种D.36种5.从编号为1，2，?，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是A.230种B.236种C.455种D.2640种6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有A.240种B.180种C.120种D.60种7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是。
如何解决简单的组合与排列问题
如何解决简单的组合与排列问题组合与排列问题是数学中的一个重要分支，也是我们日常生活中经常遇到的一类问题。
它们涉及到将一组元素按照一定规则进行排列组合，从而得到不同的结果。
在解决这类问题时，我们可以运用一些基本的方法和技巧，以便更加高效地求解。
首先，我们来了解一下组合与排列的概念。
组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序，而排列则是考虑元素的顺序。
例如，有3个元素A、B、C，从中选取2个元素进行排列，可能的结果有AB、AC、BA、BC、CA、CB；而进行组合时，可能的结果有AB、AC、BC。
可以看出，排列的结果要比组合多，因为排列考虑了元素的顺序。
在解决组合与排列问题时，我们可以运用一些基本的原则和方法。
首先，要明确问题的具体要求，确定需要进行排列还是组合。
其次，要明确元素的个数和选取的个数，这有助于我们确定问题的规模。
接下来，可以运用一些常用的公式和技巧进行求解。
在求解组合问题时，我们可以使用组合公式。
组合公式表示从n个元素中选取r个元素的组合数，可以用C(n, r)来表示。
组合公式的计算公式为C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)，其中n!表示n的阶乘。
例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行组合，可以计算C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10。
这意味着从5个元素中选取3个元素进行组合，共有10种可能的结果。
而在求解排列问题时，我们可以使用排列公式。
排列公式表示从n个元素中选取r个元素进行排列，可以用P(n, r)来表示。
排列公式的计算公式为P(n, r) = n! /(n-r)!。
例如，如果有5个元素，需要选取3个元素进行排列，可以计算P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
这意味着从5个元素中选取3个元素进行排列，共有60种可能的结果。
除了使用公式进行计算外，我们还可以运用一些技巧来解决组合与排列问题。
例如，可以使用递归的方法进行求解。
排列组合问题的基本解法
排列组合问题是数学中的一类问题，它涉及到从一组物品中选择出某种特定排列或组合的问题。
比如，从n个不同的物品中取出m （m≤n）个物品，求出所有可能的组合数。
排列组合问题的解决方法有多种，其中最常用的是排列组合的基本解法，也就是组合数学中的组合数公式。
组合数公式是一种计算从n个不同的物品中取出m（m≤n）个物品的所有可能组合数的方法，它的公式如下：C(n, m)=n!/(m!(n-m)!)其中，C(n, m)表示从n个不同的物品中取出m个物品的所有可能组合数，n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示(n-m)的阶乘。
举例来说，如果从5个不同的物品中取出3个物品，那么求出所有可能的组合数，可以用组合数公式来计算：C(5, 3)=5!/(3!(5-3)!)=5!/6!=5×4×3/6×5×4=10因此，从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数为10。
组合数公式是排列组合问题中最常用的解法，它可以用来计算出任意给定n个不同物品中取出m（m≤n）个物品的所有可能组合数。
但是，在某些特殊情况下，组合数公式可能会有一定的局限性，比如当n和m都比较大的时候，计算出的组合数可能会比较大，这时候可能无法用组合数公式来求解。
除了组合数公式，还可以使用枚举法来解决排列组合问题。
枚举法是一种比较简单的解决方法，它的基本思想是通过枚举出所有可能的排列或组合，然后用穷举的方法来求解问题。
举例来说，如果要求从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合，那么可以枚举出所有可能的组合，如下：ABCABDABEACDACEADEBCDBCEBDECDE从上面的例子可以看出，通过枚举法可以得到10种可能的组合，这正是从5个不同的物品中取出3个物品的所有可能组合数。
枚举法有一定的缺点，即当n和m都比较大的时候，可能会出现计算量太大的情况，导致程序运行时间过长。
除了组合数公式和枚举法，还有一种比较常用的解决排列组合问题的方法，即递归法。
简单的计数问题排列组合中的涂色问题
D1 A1
C1 B1
D A
C B
五、检测练习
5.现有4种不同颜色，要对如图所示的四个部分进行着色，要
求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方
法共有
A.24种
√ B.30种 C.36种 D.48种
解析 将原图从上而下的4个区域标为1,2,3,4.因为1,2,3之间不能同色，1 与4可以同色，因此，要分类讨论1,4同色与不同色这两种情况.故不同的 着色方法种数为4×3×2＋4×3×2×1＝48.故选D.
新课引入
用红、黄、蓝、黑四种颜色涂下面三个图形，求下列 各种涂色方法数：
(1)若每种图形涂一种颜色，共有多少种涂法？ （2）若每种图形涂一种颜色,颜色不能重复，共 有多少种涂法？ （3）若每种图形涂一种颜色,相邻图形不同色， 共有多少种涂法？
一、按区域分步涂色计数法
例1：如图,要给地图A、B、C、D四个区域分 别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜 色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不 同的涂色方案有多少种？
变式思考：
若将3种颜色变为4种颜色， 按上述要求涂色,结果又怎 样呢？
答:它们的涂色方案种数是 4×3×2×2 = 48种。
跟踪练习 1：如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜
色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不
同颜色,则不同涂色方法种数为( A )
A. 180
B. 160
四、空间区域涂色问题
例4：将一个四棱锥的每个面染上一种颜色，并且使相邻 两个面异色，若只有四种颜色可供选用，则不同的染色 方案有多少种？
S
D A
CHale Waihona Puke B解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题，如右图，区域 1、2、3、4 相当于四个侧面，区域 5 相当于 底面；根据共用颜色多少分类：
排列组合问题的八种求法(免费)
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-Biblioteka 6 5 1 2 3 3 60
2 4
种分法
2 2
（ 2）有： C C C A
6 3 3
2
15
种分法
2 2 4 2 2 6
（ 3）先均分，再不指明分配，故有： C C C A
3 3
A
3 3
90
种
（ 4）不是平均分堆，故有：
C C C A
6 5 3 1 2 3 3 3
360
5 5
男？男？男？男？男？） ，共有 6 个空档可插，选其中的 3 个空档， 共有 A 种排法，由乘法原理可得：
3 6
- 2-
A A
5
5
3 6
14400
即共有 14400 种不同的排法。 六、至多、至少问题可用：间接法（或排除法） 例 6、四面体的 4 个顶点和 6 个各棱中点，从中取出 4 个不共 面的点，不同的取法有多少种？ 解：将四点共面的情形分为三类： ① 4 点位于同一表面，有 4 C 种；
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简单的排列组合问题
排列组合问题是概率论中经常会遇到的基本问题，通过对排列组合问题的学习，有助于我们更深入地理解概率论的相关概念。
本文将从什么是排列组合的基本概念入手，介绍排列组合如何求解以及应用排列组合的一些实际问题。
一、什么是排列组合
排列和组合是两种基本的计数方法。
排列和组合的区别在于是否考虑对象的顺序。
如果考虑对象的顺序，那么我们称之为排列，否则，我们称之为组合。
举个例子，如果我们有3个球（红球、绿球、蓝球），那么我们可以用多少种方式从中选择两个球呢？
我们可以按照以下两种方式来考虑：
1. 排列：红绿、红蓝、绿红、绿蓝、蓝红、蓝绿（考虑了顺序，所以有6种）
2. 组合：红绿、红蓝、绿蓝（不考虑顺序，所以有3种）
通过上面的例子，我们可以发现，在排列和组合中，计算方法是不同的，而且在解决实际问题中，我们需要根据问题的具体情况来判断是使用排列还是组合。
二、如何求解排列组合
对于排列组合问题，我们可以通过公式进行求解。
在排列问题中，假设有n个不同的物体，要从中选取k个物体，且
顺序不同，那么排列的总数为A(n,k) = n! / (n - k)!，其中“!”表示阶乘。
在组合问题中，假设有n个不同的物体，要从中选取k个物体，且
顺序不同，那么组合的总数为C(n,k) = n!/[(n-k)!k!]
举个例子，如果我们有4张卡片，分别写有A、B、C、D四个字母，那么从中任选2张卡片，可以组成多少个不同的排列和组合呢？
首先，根据排列公式，可以得到排列的总数为A(4,2) = 4!/(4-2)! = 12。
具体的排列方式为AB、AC、AD、BA、BC、BD、CA、CB、CD、DA、DB、DC。
其次，根据组合公式，可以得到组合的总数为C(4,2) = 4!/[(4-2)!2!]
= 6。
具体的组合方式为AB、AC、AD、BC、BD、CD。
通过以上例子，我们可以看到，在排列组合问题中，计算公式相对
简单，但是需要注意区分排列和组合，才能得到正确的答案。
三、应用排列组合的实际问题
排列组合不仅在理论中有应用，而且在实际问题中也有广泛的应用。
1. 在全排列问题中，需要对一组数据进行排列，以建立一些可能的
排列组合。
例如，在密码学中使用全排列生成生成密码来提高密码的
强度。
2. 在实际生活中，经常需要对某些事物进行组合的选择。
例如，选择一件衣服、餐厅的菜单组合或折扣优惠等。
这种情况下的组合选择问题可以使用组合计数法来计数。
3. 在生物学、医学、网络科学中，经常会用到度分布，而排列组合在这些领域中的应用也非常广泛。
通过以上实际问题的说明，我们可以看出，在实际中应用排列组合问题较多，而对排列组合问题的学习和掌握，有助于我们更好地理解和解决各种实际问题。
总之，排列组合问题是概率论中非常重要的基本问题，学习排列组合问题可以帮助我们更深入地理解概率论中相关的概念。
同时，排列组合问题在实际问题中也有广泛的应用，因此，掌握排列组合的基本概念和计算方法，对于我们的知识积累和解决实际问题都有很大的帮助。