数值方法 数值积分与数值微分

n +1 n +1 b − a n n A0 x0 + A1 x1n + ⋯ + An xn = n +1 方程组的系数行列式是范德蒙行列式 ,当 xk 互异时它的
值异于 0, 故求积结点给定时 , 求积公式的构造实际上是 个解线性方程组的代数问题
12/68
第0节 求积公式
三、 矩形求积公式 由 f ( x ) = f (a ) + f ′(ξ )( x − a ), a < ξ < b.
x k + x k +1 ξk = 2 x k + x k +1 )∆ x k 近似 f ( x )∆ x k 在每个小区间 [ x k , x k + 1 ]上用 f ( 2 其几何意义就是用小矩 形面积近似曲边梯形面 积 n −1 b x k + x k +1 得 : ∫ f ( x )dx ≈ ∑ f ( )∆ x k a 2 k =0 称为中矩形公式简称矩 形公式 b−a = ∆x k h= n
1/68
从高等数学知积分是和 式的极限几何意义是曲 边 梯形的面积基本分析方 法是 分割 近似 求和 取极限 前三步都比较容易做到 但取极限较困难现在求 近 似值故可省掉第四步只 经过前三步得到积分的 近 似值这就是建立数值积 分公式的基本思想
2/68
将区间 [a , b ]n 等分
分点为 x k = a + kh ( k = 0,1, ⋯ , n − 1)
b
∫
b
n
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k ).
k =0
Ak = ∫ l k ( x )dx a b ( x − x0 )⋯( x − xk −1 )( x − xk +1 )⋯( x − xn ) =∫ dx, a ( x − x )⋯( x − x k 0 k k −1 )( xk − xk +1 )⋯( xk − xn )
17/68
�求a(常数)使 ∫0
h
的代数精确度尽量高，并求其代数精确度为几？
h 2 [ ] 1 dx = h , 1 + 1 + ah ⋅0 = h =右= 解:取f(x)=1: 左=∫0 2 2 h h h 2 1 2 [ ] [1− 1] = 0 + h + ah 取f(x)=x:左= ∫ xdx = h, =右= 2 2 0 2 h 1 3 2 取f(x)=x2,左= ∫0 x dx = h 3 h 右= 0 + h2 + ah2 [0 − 2h] 2
式对于不超过 m 次的 ( R[ f ] ≡ 0 )，而对 m + 1 精确成立，则称该 求积公式的代数精度为 m .
8/68
第0节 求积公式
或：如果求积公式对于 x k ( k = 0,1, ⋯ , m )均 能够精确成立，但对于 x
1
m +1
不准确，则称
该求积公式的代数精度 为m .
4 1 1 例： ∫ f ( x )dx ≈ f ( − 1 ) + f ( 0 ) + f (1) −1 3 3 3 的代数精度为 3 .
14/68
第0节 求积公式
四、 内插求积公式
设 f ( x )有 n 次插值多项式 Pn ( x ), 即：
f ( x ) = Pn ( x ) + Rn ( x )
∴
∫
b
a
f ( x )dx = ∫ Pn ( x )dx + ∫ Rn ( x )dx .
a a
b
b
Pn ( x )为拉格朗日插值多项式 时，即：
h
h f ( x)dx ≈ [ f (0) + f (h)] + ah2 [ f ′(0) − f ′(h)] 2
[
]
由左=右
a=
1 12
18/68
4 4 h 1 h h 取f(x)=x3:左= ∫0 x 3 dx = ,=右= [0 + h3 ] = h2 [0 − 3h2 ] = 2 12 4 4 5 5 h h 1 h h 取f(x)=x4:左=∫ x 4 dx = ,右= [0 + h4 ] = h2 [0 − 4h3 ] = 0 2 12 6 5
=∫
n
0
h n t ( t − 1)⋯[t − ( k − 1)][t − ( k + 1)]⋯ ( t − n) dt n− k n ( −1) h ( n − k ! )k !
(−1)n−k h n = t(t − 1)⋯[t − (k − 1)][t − (k + 1)]⋯(t − n)dt. ∫ (n − k )!k! 0
21/68
第一节 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
一、梯形求积公式
n = 1时的牛顿 − 柯特斯求积公式. 即：h = b − a ,
3/68
若在每个小区间上用梯 形面积近似曲边梯形面 积 f ( x k ) + f ( x k +1 ) 即: [ ]∆ x k ≈ f ( x )∆ x k 2 得梯形公式 :
∫
b
a
f ( x )dx
b−a 1 = [ n 2
f ( x k ) + f ( x k +1 ) ≈ ∑[ ]∆ x k 2 k =0 n −1 1 f ( a ) + ∑ f ( x k ) + f ( b )] 2 k =0
5/68
第八章 数值积分与数值微分
第0节 求积公式
一、 求积公式
若函数 f ( x )连续， F ′( x ) = f ( x ), 则：
b
∫
a
f ( x )dx = F ( b ) − F ( a ).
F ( x )不易求时，由
b
∫
b
n
a
f ( x )dx = lim ∑ f (ξ k )∆ x k ,
第八章 数值积分与数值微分
在高数中计算连续函数 的积分是通过求原函数 由牛顿 − 莱布尼兹公式得到 , 但实际使用时有许多 sin x 2 − x2 困难因为大量的被积函 数如 : , sin x , e , 等 x 找不到用初等函数表示 的原函数另外还有许多 表格函数也不能通过求 原函数的方法计算这说 明 用求原函数的方法计算 积分有很大的局限性 数值积分就是为了解决 这一矛盾而发展起来的 近似求积方法
4/68
n −1
这类公式的一般形式为 :
∫
b
n
a
f ( x ) dx ≈ ∑ Ak f ( xk )
k =0
(#)
其中 xk 为求积结点
Ak 为求积系数
Ak 仅与 xk的选取有关而不依赖于 f ( x )故公式 (#)
具有通用性这类求积方法称为机械求积法 其特点是直接利用某些结点上的函数值计算 积分避开了牛顿莱布尼兹公式找原函数的困难
Rn [ f ] = ∫
b
a
f (ξ ) ω ( x )dx . ( n + 1)!
16/68
( n+1)
另一方面对于任意次数 ≤ n 的多项式 f ( x )其插值多项式
p n ( x )就是它自身因此插值型 求积公式 ( 7 )至少有 n 次代
数精度反之若 ( 4 )至少有 n 次代数精度则它对基函 数
n
Pn ( x ) = ∑ l k ( x ) f ( x k ).
k =0
15/68
第0节 求积公式
则有： ∫ f ( x )dx = ∫
a b b n a
∑l
k =0
k
( x ) f ( x k )dx + ∫
b
a
f ( n + 1 ) (ξ ) ω ( x )dx . ( n + 1)!
得内插求积公式：
h
左 ≠右
1 故当a= 12
时,其代数精确度为3.
19/68
第一节 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式 牛顿 − 柯特−a 将 [ a , b ]区间 n 等分，令 h = ，记： n x 0 = a , x n = b , x k = x 0 + kh ( k = 0 ,1 , ⋯ , n ). x − x0 令： t = ，则内插求积公式： h
∫
b
n
a
f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k )中的 Ak 有：
k =0
20/68
第一节 牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式
Ak = ∫ l k ( x )dx
a b
=∫
b
a
( x − x0 )⋯( x − xk −1 )( x − xk +1 )⋯( x − xn ) dx ( xk − x0 )⋯( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )⋯( xk − xn )
λ →0 k =1 n k =1
有近似公式： ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k ).
a
6/68
第0节 求积公式
公式： ∫ f ( x )dx ≈ ∑ Ak f ( x k )称为求积公式 .
a k =1 b n
Ak ( k = 1,2, ⋯ , n)与f ( x )无关，称为求积 系数， x k ( k = 1,2,⋯ , n)为求积节点 .
11/68
一般对给定的一组求积结点 xk ( k = 0,1, 2, ⋯ , n )可确定 求积系数 Ak 使 (#)至少有 n次代数精度 令 (#)对 f ( x ) = 1, x, x 2 , ⋯ , x n A0 + A1 + ⋯ + An = b − a 准确成立得 :