数值积分与微分方法
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分与数值积分是现代计算机科学中非常重要的数学工具。
它们可以用来处理各种研究。
在本文中，我们将讨论这两种方法的基础原理，以及它们在不同领域中的应用。
什么是数值微分？数值微分是指对给定函数进行求导的一种数值方法。
在实际应用中，函数的导数通常很难求得解析解，这时需要使用数值微分的方法来进行近似计算。
数值微分通常是通过在函数的某个点进行差分计算来完成的。
考虑一个函数$f(x)$在某个点$x_0$进行微分的情况。
我们可以计算$f(x_0+h)$和$f(x_0-h)$，其中$h$是一个小的正数。
然后，我们可以计算$[f(x_0+h) - f(x_0-h)]/2h$来得到$f'(x_0)$的近似值。
数值微分的应用非常广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算物理量相关的导数。
例如，流体力学中的速度梯度、量子力学中的波函数导数，都可以使用数值微分进行近似计算。
此外，在金融领域中，数值微分也可用于计算期权价格等任意变量导数的近似解。
什么是数值积分？数值积分是指对给定函数进行积分的一种数值方法。
与数值微分类似，函数的积分通常很难求得解析解，而不得不使用数值积分的方法来近似计算。
在数值积分中，我们通常使用数值积分公式来计算定义在一个区间$[a,b]$上的函数（如果积分问题是无限积分，我们需要进行变形，将其转化为有限积分问题）。
数值积分公式通常基于插值方法，即将函数转化为一个多项式，并对多项式进行积分。
数值积分也应用广泛。
在科学和工程领域中，它通常用于计算面积、物质质量，以及探测信号的峰值等。
在金融领域中，数值积分也可用于计算期权定价公式的近似解。
数值微分和数值积分的误差分析在应用数值微分和数值积分时，误差是一个重要的考虑因素。
误差源可以来自于采样、采样噪声、近似方法等。
通常，我们使用误差分析来评估误差大小。
数值微分的误差通常归因于选取的$h$值。
当$h$太大时，我们会失去一些重要的信息，如函数的局部斜率。
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值计算_第7章数值微分和数值积分
数值计算_第7章数值微分和数值积分数值微分和数值积分是数值计算中的两个重要内容，它们在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
本文将详细介绍数值微分和数值积分的概念、方法和应用，并分析其优缺点。
数值微分是通过数值方法来近似计算函数的导数。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的导数，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值微分方法有中心差分法、向前差分法和向后差分法。
中心差分法是一种通过利用函数在特定点两侧的数据点来计算函数的导数的方法。
具体方法是用函数在该点两侧的差值来估计导数。
中心差分法具有较高的精度和稳定性，适用于函数光滑的情况。
向前差分法和向后差分法是一种通过利用函数在该点的数据点来计算函数的导数的方法。
向前差分法用函数在该点的后一点数据来估计导数，向后差分法用函数在该点的前一点数据来估计导数。
这两种方法的精度相对较低，但计算简单，适用于函数不太光滑的情况。
数值微分方法的优点是计算简单、直观易懂、易于实现。
缺点是对函数的平滑性和间隔大小要求较高，误差较大。
数值积分是通过数值方法来近似计算函数的积分。
在实际问题中，往往很难直接计算函数的积分，因此需要使用数值方法来进行近似计算。
常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和数值积分公式。
梯形法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用梯形面积来近似计算积分的方法。
辛普森法则是一种通过将区间划分为多个小区间，在每个小区间上用抛物线面积来近似计算积分的方法。
这两种方法的精度较高，适用于函数较光滑的情况。
数值积分公式是通过选取节点和权重，将积分转化为对节点函数值的加权求和。
常用的数值积分公式有高斯求积公式和牛顿-寇茨公式。
这些公式具有较高的精度和稳定性，适用于计算复杂函数的积分。
数值积分方法的优点是适用范围广、精度较高、计算稳定。
缺点是计算量较大、计算复杂、需要选取合适的节点和权重。
数值微分和数值积分在科学、工程和经济等领域有着广泛的应用。
数值积分与微分方程数值解法
数值积分与微分方程数值解法数值积分和微分方程数值解法是数值计算中的重要组成部分，在科学计算、工程分析和实际问题求解中起着不可或缺的作用。
本文将介绍数值积分的基本概念和常用方法，以及微分方程数值解法的应用和实现过程。
一、数值积分的基本概念和常用方法数值积分是求解定积分近似值的方法，通过将连续函数的积分转化为离散形式的求和，以达到近似计算的目的。
常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法、辛普森法等。
（1）矩形法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取点，用函数在相应点处的取值近似代替该子区间内的函数值，最后将所有子区间的函数值相加得到近似积分值。
（2）梯形法：与矩形法类似，但是将每个子区间近似为一个梯形，通过计算梯形的面积来近似计算积分值。
（3）辛普森法：将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间内取三个点，根据这三个点构造出一个二次函数，并用该二次函数的积分来近似计算积分值。
二、微分方程数值解法的应用和实现过程微分方程数值解法是对微分方程进行近似求解的方法，通过离散化微分方程来构造数值格式，然后通过数值计算来求解。
常用的微分方程数值解法包括常微分方程的欧拉法、改进欧拉法和龙格-库塔法，以及偏微分方程的有限差分法、有限元法等。
（1）常微分方程数值解法：- 欧拉法：根据微分方程的定义，将微分项近似为差分项，通过迭代逼近真实解。
- 改进欧拉法：在欧拉法的基础上，通过利用两个点的斜率来逼近解的变化率，提高精度。
- 龙格-库塔法：通过多次迭代，根据不同的权重系数计算不同阶数的近似解，提高精度。
（2）偏微分方程数值解法：- 有限差分法：将偏微分方程中的一阶和二阶导数近似为差分项，通过离散化区域和时间来构造矩阵方程组，然后通过求解线性方程组来获得数值解。
- 有限元法：将区域进行剖分，将偏微分方程转化为变分问题，通过选取适当的试函数和加权残差法来逼近真实解。
总结：数值积分和微分方程数值解法是数值计算中重要的工具，能够帮助我们处理实际问题和解决科学工程中的复杂计算。
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
第2章数值微分和数值积分
f '( x) D(h) O ( h) 2 f '( x) D(h / 2) O(h / 2)
f '( x) D(h) 2 f '( x) 2D(h / 2) f '( x) D(h / 2) D(h) D(h / 2)
例：
f(x)=exp(x)
h 0.10 0.09 f’(1.15) 3.1630 3.1622 R(x) -0.0048 -0.0040 h 0.05 0.04 f’(1.15) R(x) 3.1590 3.1588 -0.0008 -0.0006
f
误差
(k )
( x) Ln ( x)
(k )
f ( n1) ( ) Rn ( x) n ( x) f ( x) Ln ( x) (n 1)! k ( n 1) d f ( ) (k ) Rn ( x) k n ( x) dx (n 1)!
1 h2 f '( x0 ) L '2 ( x0 ) 3 f ( x0 ) 4 f ( x1 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 f '( x1 ) L '2 ( x1 ) f ( x0 ) f ( x2 ) f '''( ) 2h 6 1 h2 f '( x2 ) L '2 ( x2 ) f ( x0 ) 4 f ( x1 ) 3 f ( x2 ) f '''( ) 2h 3 1 h2 (4) f ''( x0 ) L ''2 ( x0 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [ hf '''(1) f (2 )] h 6 1 h2 (4) f ''( x1 ) L ''1 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) f ( ) h 12 1 h2 (4) f ''( x2 ) L ''2 ( x2 ) 2 f ( x0 ) 2 f ( x1 ) f ( x2 ) [hf '''(1 ) f (2 )] h 6 2 Taylor展开分析，可以知道，它们都是 O(h )
数值计算方法数值积分与微分方程数值解
数值计算方法数值积分与微分方程数值解数值计算是计算数值结果的一种方法，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
数值计算方法涉及到估算数学问题的解，其中包括数值积分和微分方程数值解。
本文将分别介绍数值积分和微分方程数值解的基本原理和常用方法。
一、数值积分数值积分是通过数值计算方法来估计函数的积分值。
积分是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域的问题求解中。
传统的积分计算方法，如牛顿-柯特斯公式和高斯求积法，需要解析求解被积函数，但是对于大多数函数来说，解析求解并不容易或者不可能。
数值计算方法通过离散化被积函数，将积分问题转化为求和问题，从而得到近似的积分结果。
常见的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和复化求积法。
1. 梯形法则梯形法则是最简单的数值积分方法之一。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用梯形的面积来近似原函数的面积，最后将所有小区间的梯形面积相加得到近似积分值。
2. 辛普森法则辛普森法则是一种比梯形法则更精确的数值积分方法。
它将积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上用一个二次多项式来近似原函数，最后将所有小区间的二次多项式积分值相加得到近似积分值。
3. 复化求积法复化求积法是一种将积分区间进一步细分的数值积分方法。
通过将积分区间划分为更多的小区间，并在每个小区间上应用辛普森法则或者其他数值积分方法，可以得到更精确的积分结果。
二、微分方程数值解微分方程是描述自然现象中变化的数学模型。
求解微分方程的解析方法并不适用于所有的情况，因此需要利用数值计算方法来估计微分方程的解。
常见的微分方程数值解方法包括欧拉法、改进的欧拉法、龙格-库塔法等。
1. 欧拉法欧拉法是最简单的微分方程数值解方法之一。
它通过将微分方程离散化，将微分运算近似为差分运算，从而得到微分方程的近似解。
2. 改进的欧拉法改进的欧拉法是对欧拉法的改进。
它通过使用两个不同的点来估计微分方程的解，从而得到更精确的近似解。
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
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数值积分与微分摘要本文首先列举了一些常用的数值求积方法，一是插值型求积公式，以Ne w t o n C o t e s -公式为代表，并分析了复合型的Newton Cotes -公式；另一个是Gauss Ledendre -求积公式，并给出几个常用的Gauss Ledendre -求积公式。
其次，本文对数值微分方法进行分析，主要是差分型数值微分和插值型数值微分，都给出了几种常用的微分方法。
然后，本文比较了数值积分与微分的关系，发现数值积分与微分都与插值或拟合密不可分。
本文在每个方法时都分析了误差余项，并且在最后都给出了MATLAB 的调用程序。
关键词：插值型积分Gauss Ledendre -差分数值微分插值型数值微分 MATLAB一、常用的积分方法计算积分时，根据Newton Leibniz -公式，()()()baf x dx F b F a =-⎰但如果碰到以下几种情况：1）被积函数以一组数据形式表示；2）被积函数过于特殊或者原函数无法用初等函数表示 3）原函数十分复杂难以计算这些现象中，Newton Leibniz -公式很难发挥作用，只能建立积分的近似计算方法，数值积分是常用的近似计算的方法。
1.1 插值型积分公式积分中的一个常用方法是利用插值多项式来构造数值求积公式，具体的步骤如下： 在积分区间上[,]a b 上取一组节点：01201,,,,()n n x x x x a x x x b ≤<<≤ 。
已知()k x f 的函数值，作()x f 的n 次插值多项式，则(1)()10()()()()()(1)!n nx n n k k n k f f L x R x f x l x w x n ++==+=++∑其中，()k l x 为n 次插值基函数，则得(1)+10()(()())1=[()]()[()](1)!bbn n aa nbb n k k n a a k f x dx L x R x dxl x dx f x f x w x dx n ξ+==+++⎰⎰∑⎰⎰（）公式写成一般形式：()()[]nbk k n ak f x dx A f x R f ==+∑⎰其中，01100110()()()()()()()()()bbk k k k a a k k k k k k x x x x x x x x A l x dx dx x x x x x x x x -+-+----==----⎰⎰(1)+11[][()](1)!b n n n aR f f x w x dx n ξ+=+⎰（） 显然，当被积函数f 为次数小于等于n 的多项式时，其相应的插值型求积公式为准确公式，即：()()nbk k ak f x dx A f x ==∑⎰1.1.1 求积公式的代数精度定义：求积公式对于任何次数不大于m 的代数多项式()f x 均精确成立，而对于1()m f x x +=不精确成立，则称求积公式具有m 次代数精度。
定理：含有1n +个节点(0,1,,)k x k n = 的插值型求积公式的代数精度至少为n 。
1.2 Newton Cotes -公式 1.2.1 Newton Cotes -公式将积分区间等分，并取分点为求积公式，这样构造出来的插值型求积公式就是Newton Cotes -公式。
()0()()nbn k k ak f x dx b a C f x ==-∑⎰（）其中，()0()nn k k b a b a C =-=-∑且Cotes 系数满足重要的关系式：()1 (k=0,1,2,,n)nn kk C==∑1n =时，求积公式为梯形公式（两点公式）：()[()()]2b ab a f x dx f a f b -≈+⎰ 梯形公式具有1阶代数精度，余项为：3()[]() [,]12T b a R f f a b ηη-''=-∈n =2时，求积公式为Simpson 公式(三点公式)：()[()4()()]62b ab a a b f x dx f a f f b -+≈++⎰ Simpson 公式具有3阶代数精度，余项为：5(4)1[]()() [,]902S b a R f f a b ηη-=-∈n =4时，求积公式为Cotes 公式（五点公式）： 01234()[7()32()12()32()7()]90b ab a f x dx f x f x f x f x f x -≈++++⎰ 其中，4k b ax a k -=+Cotes 公式具有5次代数精度，余项为：7(6)8[]()() [,]9454C b a R f f a b ηη-=-∈1.2.2 复合Newton Cotes -公式当积分区间过大时，直接使用Newton Cotes -公式所得的积分的近似值很难得到保证，因此在实际应用中为了既能够提高结果的精度，又使得算法简便且容易在计算机上实现，往往采用复合求积的方法。
所谓复合求积，就是先将积分区间分成几个小区间，并从每个小区间上用低阶Newton Cotes -公式计算积分的近似值，然后对这些近似值求和，从而得到所求积分的近似值，由此得到一些具有更大实用价值的数值求积公式，统称为复合求积公式。
将[,]a b 区间n 等分，记分点为(0,1,,)k x a kh k n =+= ，其中，b ah n-=称为步长，然后在每个小区间内利用梯形公式，即可导出复合梯形公式：1111()()[()()]2k k n nb x k k a x k k h f x dx f x dx f x f x --===≈+∑∑⎰⎰ 若将所得积分近似值记为n T ，并注意到0,n x a x b ==，则复合梯形公式为：11()=[()2()()]2n bn k ak hf x dx T f a f x f b -=++∑⎰其余项为：2210()()()= () [,]1212n n k T k f b a h b a h R f a b n ηηη-=''--''=--∈∑类似可得复合Simpson 公式：111012()[()4()2()()]6n n b n k a k k k hf x dx S f a f x f x f b --+===+++∑∑⎰ 其中，1/212k k x x h +=+.其余项为：4(4)()= ()() [,]1802n S b a h R f a b ηη--∈1.2.3 Newton Cotes -公式在MATLAB 中的实现1）复合梯形数值积分：调用形式：Z=trapz(X,Y)其中，X,Y 分别代表数目相同的向量或者数值，Y 与X 的关系可以是函数形态或者离散形态；Z 代表返回的积分值。
2）自适应Simpson 公式基本调用格式：q=quad （fun ，a ，b ，tol ，trace ，p1，p2） 其中：fun 代表被积函数；a ，b 为积分的上下限； q 为积分结果；tol 为默认误差限，默认了1.e-6；trace 表示取0表示不用图形显示积分过程，非0表示用图形显示积分过程； p1，p2为直接传递给函数fun 的参数 3）自适应Lobatto 法数值积分：quadl （）Quadl 是高阶的自适应Newton Cotes -数值积分法函数，比quad 函数更有效，精度更高，使用方法与quad 完全相同。
1.3 Gauss Ledendre -求积公式1、精度较高Gauss Ledendre -公式（1）Ledendre 多项式。
以Gauss 点k x 为零点的n 次多项式：12()()()()n n p x x x x x x x =---上式称为Ledendre 多项式（2）Gauss Ledendre -求积公式。
以Ledendre 多项式的n 个实根为节点的插值求积公式为Gauss Ledendre -求积公式。
考虑在[1,1]-上Gauss 求积公式的构造 1）一个节点11()2(0)f x dx f -≈⎰2）两个节点二次Ledendre 正交多项式221()(31)2p x x =- 所以两点的Gauss Ledendre -求积公式为：11()f x dx f f -≈⎰对于一般区间的积分，可以用22a b b ax t +-=+将[,]a b 区间转化为[1,1]-，即1111()()222b a a b b a f x dx f t dt ---+-=+⎰⎰然后用相应的Gauss Ledendre -求积公式计算。
（3）一般形式的Gauss Ledendre -求积公式为：1()()()nbj j aj w x f x dx A f x =≈∑⎰其中()w x 是一个权重函数，j A 为系数，j x 为横坐标上的节点。
因为()1w x =，所以，一个n 点的求积公式具有如下形式：111()()nj j j f x dx A f x -=≈∑⎰其中，()j f x 是函数()f x 在节点j x 处的值，节点j x 是Ledendre 正交多项式的根。
222[()](1)j nj j A p x x ='-MATLAB 没有提供Gauss Ledendre -的有关计算函数，此处给出一部分的编程代码：function q=gaussL （f ，a ，b ，x ，A ） N=length （x ）； T=zeros （1，N ）；T=（a+b ）/2+((b-a)/2)*x;q=((b-a)/2)*sum(A.*feval(‘f’.T));其中，f 为被积函数；x 和A 的值可有上表查到。
二、数值微分数值微分的建立常用的三种思路：1、直接从微分的定义出发，通过近似的处理（泰勒展开），得到数值微分的近似公式；2、利用插值的基本思想，采用插值近似公式，对插值公式的近似求导得到原数值微分的近似公式3、根据已知数据，利用最小二乘拟合的方法，得到近似的函数，然后对此近似函数求微分就可以得到数值微分的近似公式。
2.1 差分法近似微分1、计算公式在微积分中，一阶微分的计算可以在相邻点x h +和x 间函数取得极限求得。
000()()()()()()22()lim lim lim h h h h h f x f x f x h f x f x f x h f x h h h→→→+--+---'=== 所以给出下列差分近似式子： 一阶向前差分：()()()f x h f x f x h+-'=一阶向后差分：()()()f x f x h f x h--'=精度较高的一阶中心差分：()()22'()h h f x f x f x h+--=2、在MATLAB 中的实现 调用形式：Y=diff(X,n)其中：X 表示求导变量，可以是向量或者矩阵。