数值分析--数值积分与数值微分详解
a
2
(1―1)
数 值
如图4.3,若用抛物线代替曲线f(x),则可得到抛物线
分 析
公式(或辛普生公式)
》
b f (x)dx b a [ f (a) 4 f ( a b) f (b)] (1―2)
a
b
2
《 数 值 分 析 》
图 4.2
第5章 数值微积分 图4.3
一般地, 求积公式
第5章 数值微积分
k 0
值
分
它是插值型求积公式.
析》四、求积公式的收敛性和稳定性
定义2 在求积公式(1.3)中, 若
lim
n
n
wk
k 0
f
( xk
)
ab
f
(x)dx,
h0
其中h max(xi xi1),则称求积公式(1.3)是收敛的.
1in
第5章 数值微积分
设f
(xk )有误差k ,
即f
(xk )
~ fk
k
析》都准确成立,而对于某一个m 1次的多项式等式不准确成
立, 则称该求积公式具有m次代数精度. 一般方法？.
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第5章 数值微积分
2 牛顿 ― 柯特斯(Newton―Cotes) 公式
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个既简
单又有足够精度的函数φ(x),用φ(x)代替被积函数f(x),于
《 是有
b
b
数 值
a f (x)dx a (x)dx
分 析
现用第2章介绍的插值多项式Pn(x)来代替被积函
》 数f(x),即有
b
b
a
(3)尽管f(x)的原函数能表示成有限形式但其表达式
《 相当复杂。例如定积分
数 值 分
b dx
a 1 x4
析 》
1 的被积函数 1 x4 的原函数就比较复杂,从数值计算角
度来看,计算量太大。
第5章 数值微积分
如图4.1,若用左矩形近似地代替曲边梯形,则得到左 矩形公式
b
a f (x)dx (b a) f (a)
题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的
计算问题。因为定积分的计算常常会碰到以下三种情
《
况:
数 值
(1)被积函数f(x)的原函数F(x)不易找到。许多很简
分 析
单的函数,例如
》
sin x , 1 , ex2
x ln x
等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
第5章 数值微积分
(2)被积函数f(x)没有具体的解析表达式。其函数关 系由表格或图形表示,无法求出原函数。
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
f1,, fn，就有拉格朗日插值多项式
n
《 数
Ln (x) lk (x) fk
k 0
值
分得到
析 》
ab f (x)dx abLn (x)dx
n
ablk (x)dx
fk ,
k 0
即得求积公式
ab f (x)dx
n
wk
fk ,
《
数 同样可得到右矩形公式
值
分
析 》
b
a f (x)dx (b a) f (b)
第5章 数值微积分
《 数 值 分 析 》
图 4.1
第5章 数值微积分
如图4.2,若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面 积,则得到计算定积分的梯形公式
《
b f (x)dx b a [ f (a) f (b)]
第5章 数值微积分
第4章 数值积分和数值微分
§4.1 引 言
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f(x)
《
数 在区间［a, b］ 上连续且其原函数为F(x) ,则可用牛顿
值 分
―莱布尼兹公式
析
》
b
a f (x) F (b) F (a)
第5章 数值微积分
来求定积分。前面公式虽然在理论上或在解决实际问
其中wk ablk (x)dx.
k 0
称为插值型求积公式.
(1.5)
第5章 数值微积分
它的余项为
b
b f (n1) ( ) n
R[ f ] a
f (x) Ln (x) dx a
(n 1)!
(x x j )dx.
j0
定理1
《 数
求积公式
ab
f
( x)dx
n
wk
fk至少具有n次代数精度
f (x)dx a
Pn ( x)dx
取基点为等距,即
a=x0＜x1＜…＜xn=b
第5章 数值微积分
h
b
n
a
xk 1
xk , k
0,1, 2,
,n 1
xi x0 ih i 0,1, 2, , n
《
利用拉格朗日插值多项式
数
值 分
f (x) pn (x) Rn (x)
析
其中
》
n
n
Pn (x) (
(k
0,1,, n),
则有
| In ( f ) In ((
xk
)
~ fk
]
.
k 0
定 义 3 若 0, 0,只要 f (xk ) ~fk (k 0,, n), 就有
《
数 值
| In ( f ) In ( ~f ) | n Ak [ f (xk ) ~f (xk )] ,
i0 k0
x xi
xk xk
)
yi
k i
(2―1)
Rn (x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n
1
(
x
)
(a,b)
(2―2)
第5章 数值微积分
这里yi=f(xi),对式(2―1)两边积分得
b
b
b
a
f (x)dx a
pn ( x)dx a
Rn (x)dx
《 数 值
n
bn
[
a
i0
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk ),
(1.3)
k 0
式中xk 称为求积节点；Ak 称为求积系数，亦称伴随节点xk的权。
权Ak仅仅与节点xk的选取有关，而不依赖被积函数f (x)的具体形式。
《 数
通常称为机 械 求 积 公 式.
二、代数精度的概念
值分定义1 若一个求积公式对于所有次数不超过m的多项式
k 0
x xi
xk xk
dx ] yi
k i
分
析 》
1
b
(n 1)! a
f (n1) ( )n1( x)dx
n
ai yi Rn ( f )
i0
第5章 数值微积分
b n
ai a k 0
x xk dx xi xk
k i
(2―3)
《
Rn (
f
)
(n
1 1)!
b a
f (n1) ( )n1( x)dx
分
k 0
析 则称求积公式(1.3)是稳定的.
》
定 理 2 若求积公式 (1.3)中系数Ak （0 0,1,, n), 则求积公式
是稳定的.
这是因为,
当 f (xk )
~ fk
(k
0,, n)时,有
| Rn |
n
Ak
f
( xk
)
~ f (xk
)
n
Ak (b a) .
k 0
k 0
第5章 数值微积分
数值分析-第4章 数值积分和数值微分
A0+A1=2 A0x0+A1x1=0 A0x02+A1x12=2/3 A0x03+A1x13=0
A0 A1 1 解得: 1 x 0 x1 3
求积公式为
1 1 1 f ( x)dx f ( ) f ( ) 3 3
x f(x)
数值分析
1 4
2 4.5
3 6
4 8
5 8.5
1
一、数值积分的基本概念 求积节点 数值积分定义如下：是离散点上的函数值的线性组合
I [ f ] f ( x)dx I n [ f ] Ai f ( xi )
b a i 0 n
称为数值积分公式
称为求积系数,与f (x)无关,与积分区间和求积节点有关
b a
Rn ( x) dx
定理：形如 Ak f ( xk ) 的求积公式至少有 n 次代数精度
A 该公式为插值型（即： k a l k ( x)dx ）
数值分析
b
5
例1 试确定参数A0,A1,A2,使求积公式
1 f ( x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
证明 因为Simpson公式对不高于三次的多项式精确成立。即
b
a
p 2 ( x)dx
ba ab [ p 2 (a) 4 p 2 ( ) p 2 (b)] 6 2
构造三次多项式H3(x),使满足 H3(a)=(a) ,H3(b)=(b),
H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), H 3 (( a b) / 2) f (( a b) / 2), 这时插值误差为
1
数值分析--第4章数值积分与数值微分[1]详解
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第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。
在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。
对定积分()baI f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。
如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。
2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。
3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。
例如下列积分41arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎤=+++-+⎦+⎰ 对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法——数值积分法。
1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。
由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。
问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。
我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。
这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。
如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4-1) 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。
1_数值分析4-数值积分与微分
回忆定积分的定义
b
I f (x)dx lim In,
a
n
n
In
f
(k
)
b
n
a
k 1
n充分大时In就是I的数值积分
各种数值积分方法研究的是
k 如何取值，区间 (a,b)如何划分， 使得既能保证一定精度，计算量又小。
（计算功效：算得准，算得快）
5
数值积分
y
1.梯形公式
h
Tn
h
k 1
fk
2 ( f0
fn )
b
f (x)dx
a
b
R( f ,Tn ) I Tn f (x)dx Tn
a
梯形公式在每小段上是用线性插值函数T(x)代替 f(x)
f (x) T(x)
f
(k
2
)
(
x
xk
)(x
xk
1
),
k (xk , xk1)
(
f0
fn)
(3)
k 1
非等距分割梯形公式
Tn
n1 k 0
fk
fk 1 2
(xk 1
xk
)
(4)
8
数值积分 2.辛普森(Simpson)公式
（抛物线公式）
梯形公式相当于用分段线性插值函数代替 f (x)
提高精度
分段二次插值函数
抛物线 公式
y
y=f(x)
每段要用相邻两小区间
数值积分
数值 积分
为什么要作数值积分
• 积分是重要的数学工具，是微分方程、概率 论等的基础；在实际问题中有直接应用。
数值分析第四章数值积分与数值微分-PPT课件
二、数值积分的基本思想
1、定积分的几何意义
y
I ( f ) f ( x)dx
f x
a
b
o
a
b
x
2、数值积分的理论依据
依据积分中值定理, 对于连续函数 f x ,
在 a , b 内存在一点 ,使得
f ?
I (f) ) dx ( b a )f( ) f(x
1、问题的提出
构造或确定一个求积公式，要讨论解决的问题有: (i) 确定求积系数 A k 和求积节点 x k ； (ii) 判定求积公式精度的衡量标准； (iii) 求积公式的误差估计和收敛性分析.
2、定义
称求积公式 In ( f ) A k f (x k ) 具有m次代数精度,如
n k0
第四章
数值积分 与数值微分
§1 引 言
一、数值积分的必要性
本章主要讨论如下形式的一元函数积分
I ( f ) f ( x)dx
在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分
a
b
If () x d x F () b F () a f()
a
b
要求被积函数 F x ☞ 有解析表达式；
上述积分称为第二类椭圆积分。 What’s the It’s so Original complex that function?! we can not get it.
2. 有些被积函数其原函数虽然可以用初等函数表示成有限 形式,但表达式相当复杂,计算极不方便. 例如函数:
x2 2x2 3
并不复杂,但它的原函数却十分复杂:
上述定义中的条件(i),(ii)等价于:
k k k ( i ) R ( x ) I ( xI ) ( x 0 ,( 0 k m ) n )
数值分析(清华大学第五版) 第四章数值积分和微分
b
a
l j ( x)dx ( x x j -1 )( x x j 1 ) ( x x j 1 )( x x j 1 ) ( x xn ) ( x j xn )
dx
作变量代换， x a th ，则
n t (t 1) h (t j 1)(t j 1) (t n) 上式 dt b a 0 j ( j 1) 1(1) ( j n) 1 n t (t 1) (t j 1)(t j 1) (t n) dt n 0 j ( j 1) 1 (1) ( j n)
该积分仅与 n 有关，与 a, b, f ( x) 无关.
③ 设 n 1 个线性无关的次数 n 的多项式为 e0 ( x), 等距结点 x0 ,
过同样 , en ( x) ，
, xn , 对每一个 ei ( x) 利用 Newton Cotes 公式求积，且积分
余项均为零．即有
n b 1 b a a e0 ( x) dx c j e0 ( x j ) j 0 n 1 b e1 ( x)dx c j e( x j ) a （1） b a j 0 n b 1 b a a en ( x)dx c j en ( x j ) j 0
, n) ，
又设过该结点的次数 n 的 Lagrange插值多项式
P( x) f ( x j )l j ( x) ，
j 0
n
余项
f ( ) R( x) ( x) . (n 1)!
( n 1)
代数精确度
b n
定义 设求积公式 f ( x)dx A j f ( x j ) R(a, b, f ) ．
数值方法中的数值微分和数值积分
泰勒展开法：将函数 在某点处展开成泰勒 级数，然后利用级数 的各项系数计算数值 微分
牛顿插值法：利用牛 顿插值多项式计算数 值微分，其思想是通 过构造插值多项式ห้องสมุดไป่ตู้ 逼近导数函数
数值微分的误差分析
数值微分的基本概念
数值微分误差的来源
数值微分误差的估计
减小误差的方法
数值微分的应用
计算物理量的变化 率
应用领域的比较
数值微分的应用领域：主要应用于求解微分方程的近似解，例如在物理学、 工程学和经济学等领域。
数值积分的应用领域：主要应用于求解定积分、不定积分等积分问题，例 如在计算面积、体积、物理实验数据处理等领域。
比较：数值微分和数值积分在应用领域上存在差异，但两者都是数值计算 中的重要工具，可以相互补充。
矩形法：将积分区 间划分为若干个小 的矩形，用矩形面 积的和近似积分
梯形法：将积分区 间划分为若干个小 的梯形，用梯形面 积的和近似积分
辛普森法：将积分 区间划分为若干个 等分的子区间，用 抛物线面积的和近 似积分
牛顿-莱布尼茨法 ：利用定积分的定 义和牛顿-莱布尼 茨公式，通过求和 的方式计算定积分
预测函数的变化趋 势
优化问题中的梯度 计算
机器学习中的梯度 下降算法
Part Three
数值积分
数值积分的概念
数值积分定义：用数值方法近似计算定积分的值 常用方法：矩形法、梯形法、辛普森法等 近似误差：与使用的数值方法有关，通常误差随迭代次数增加而减小 应用领域：科学计算、工程、数学建模等
数值积分的计算方法
数值积分的误差分析
算法稳定性：数值积分方法的稳定性和误差控制 步长选择：步长对误差的影响和最佳步长选择 收敛性：数值积分方法的收敛速度和误差收敛性 误差来源：数值积分中误差的来源和减小误差的方法
数值分析4数值积分与数值微分
第4 章4数与数微数值积分与数值微分本章内容411.1 光波的特性4.1 引言4.2 Newton-Cotes 公式1.2 光波在介质界面上的反射和折射4.3 Romverg 算法4.4Gauss 1.3 光波在金属表面上的反射和折射4.4 Gauss 公式4.5 数值微分2本章要求主要内容：机械求积、牛顿柯特斯公式、龙贝格算法、高斯公式、•—数值微分。
•基本要求–(1)了解数值微分公式的导出方法及常用的数值微分公式。
–(2) 掌握数值积分公式的导出方法，截断误差；理解代数精度的概念，会用待定系数法。
–(3) 掌握梯形求积公式，抛物线求积公式，牛顿－柯特斯公式的构造及使用，并会应用公式求积分。
(4)熟悉复化梯形公式复化辛普生公式–(4) 熟悉复化梯形公式，复化辛普生公式。
–(5) 会用龙贝格积分法。
–(6) 了解高斯型求积公式的概念及导出方法，能构造简单问题的高精度求积公式，会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算。
积公式会使用常见的几种高斯型求积公式进行计算•重点、难点重点牛顿柯特斯公式–重点：牛顿－柯特斯公式；–难点：代数精度的概念。
3414114.1 引言4.1.1 数值求积的基本思想一、问题,d)(∫=b a xxfI数学分析中的处方法由微积分学基本定当如何求积分数学分析中的处理方法：由微积分学基本定理，当f(x)在[a, b]上连续时，存在原函数F(x)，牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：).()(d)(aFbFxxf ba−=∫但有时用上面的方法计算定积分有困难但有时用上面的方法计算定积分有困难。
441N-L4.1 引言N L公式失效的情形：这时，N-L公式也不能直接运用。
因此有必要研究问题即用数值方法计算定积分因此，有必要研究数值积分问题，即用数值方法计算定积分的近似值.541二、构造数值积分公式的基本思想4.1 引言、构造数值积分公式的基本思想问题：点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出的值，怎么办？f(ξ)641采用不同的近似计算方法从而得到各种不同的4.1 引言)对f(ξ)采用不同的近似计算方法，从而得到各种不同的数值求积公式。
数值分析-第八章数值微分与数值积分
ab
f
x dx
n
i1
xxii1
f
x dx
n
i1
xi
xi1 2
f
xi1
f
xi
h 2
n
i1
f
xi1
f
xi
h 2
f
a
n1
2
i1
f
a ih
f
b
Tn
11
复合梯形公式的误差:
RTn
f
n h3 f i1 12
i
h3 nf 12
ba3
12
1 n2
f
二 复合Simpson公式
ab f x dxin1xxii1 f xdx
n
i1
xi
xi1 6
我们的目的是导出一组与函数无关的求导系数和求积系数.
从而得到能够对任意函数都通用的公式.
2
§2 数值微分 一 二点公式 给出两个点及其函数值,做一个一次插值多项式,对这个插 值多项式求导,得到:
fx0fx0,x 1 fx 1fx0,x 1
其几何意义就是用割线的斜率近似代替切线的斜率. 当然也可以用泰勒展开来导出上述公式.
a b公式
7
三 N-C公式的截断误差
Rnfa bfxdxba n Ck nfxk k0 ab f x dx ab Ln x dx
ab
f
n1 n 1!
第八章 数值微分和数值积分
数值微分与数值积分
数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析中两个重要的概念和技术。
它们在数学与工程领域中都有着广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理和应用。
1. 数值微分数值微分是指通过数值计算方法来逼近函数的导数。
在实际计算中，我们常常需要求解某一函数在特定点的导数值，这时数值微分就能派上用场了。
一种常用的数值微分方法是有限差分法。
它基于函数在离给定点很近的两个点上的函数值来逼近导数。
我们可以通过选取合适的差分间距h来求得函数在该点的导数值。
有限差分法的一般形式可以表示为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，f'(x)是函数f(x)在点x处的导数值，h是差分间距。
数值微分方法有很多种，比如前向差分、后向差分和中心差分等。
根据实际需求和计算精度的要求，我们可以选择合适的数值微分方法来进行计算。
2. 数值积分数值积分是指通过数值计算方法来近似计算函数的定积分。
在实际问题中，我们经常需要求解函数在某一区间上的积分值，而数值积分可以提供一个快速而准确的近似。
一种常见的数值积分方法是复合梯形法。
它将积分区间分割成若干个小区间，然后在每个小区间上应用梯形面积的计算公式。
最后将所有小区间上的梯形面积相加，即可得到整个积分区间上的积分值。
复合梯形法的一般形式可以表示为：∫[a, b] f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2∑(i=1 to n-1)f(x_i) + f(b)]其中，[a, b]是积分区间，h是分割的小区间宽度，n是划分的小区间个数，x_i表示第i个小区间的起始点。
除了复合梯形法，还有其他常用的数值积分方法，比如复合辛普森法、龙贝格积分法等。
根据被积函数的性质和计算精度要求，我们可以选择合适的数值积分方法来进行计算。
3. 数值微分和数值积分的应用数值微分和数值积分在科学研究和工程实践中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：3.1 物理学在物理学中，我们经常需要对物体的位置、速度和加速度进行计算。
数值分析中的数值微分与数值积分
数值分析中的数值微分与数值积分数值微分和数值积分是数值分析领域中两个重要的概念。
它们在计算机科学、工程学和物理学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍数值微分和数值积分的概念、原理以及一些常用的方法和技巧。
一、数值微分数值微分是通过数值方法来计算函数的导数。
导数是描述函数变化率的工具，它在物理学、经济学和生物学等领域中具有重要的作用。
1. 前向差分法（Forward Difference）前向差分法是一种简单而常用的计算导数的方法。
它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x))/h其中，h为步长，为了提高精度，需要选择足够小的步长。
2. 后向差分法（Backward Difference）后向差分法与前向差分法类似，不同之处在于它利用函数在某一点上的值与函数在该点附近的一个点上的值之间的差异来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x) - f(x-h))/h同样地，步长h需要选择足够小。
3. 中心差分法（Central Difference）中心差分法是一种更加准确的数值微分方法，它利用函数在某一点上的前后两个点的值来估计导数。
具体公式如下：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h))/(2h)中心差分法相对于前向差分法和后向差分法而言，具有更高的精度。
二、数值积分数值积分是通过数值方法来计算函数的积分。
积分在物理学、经济学和统计学等领域中起着重要的作用，它可以用来计算面积、体积以及概率等。
1. 矩形法（Rectangle Method）矩形法是一种简单的数值积分方法，它利用多个矩形来逼近曲线下的面积。
具体来说，将积分区间等分为若干子区间，然后在每个子区间上选择一个点作为高度，从而构造出多个矩形。
最后，将各个矩形的面积相加，即可得到近似的积分值。
2. 梯形法（Trapezoidal Method）梯形法是一种更加准确的数值积分方法，它利用多个梯形来逼近曲线下的面积。