数值分析-习题答案-( 数值积分与数值微分)
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值分析习题集及答案
数值分析习题集及答案数值分析习题集适合课程《数值⽅法 A 》和《数值⽅法B》)长沙理⼯⼤学第⼀章绪论1. 设 x>0, x 的相对误差为δ, 求的误差.2. 设 x 的相对误差为2％, 求的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数, 即误差限不超过最后⼀位的半个单位, 试指出它们是⼏位有效数字:4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:其中均为第 3 题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％, 问度量半径 R时允许的相对误差限是多少?6. 设按递推公式( n=1,2, ?)计算到. 若取≈( 五位有效数字), 试问计算将有多⼤误差?7. 求⽅程的两个根, 使它⾄少具有四位有效数字( ≈.8. 当 N 充分⼤时, 怎样求?9. 正⽅形的边长⼤约为100 ㎝, 应怎样测量才能使其⾯积误差不超过 1 ㎝?10. 设假定 g 是准确的,⽽对 t 的测量有±秒的误差, 证明当 t 增加时 S的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列满⾜递推关系(n=1,2, ?), 若(三位有效数字), 计算到时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算,取, 利⽤下列等式计算, 哪⼀个得到的结果最好?13. ,求f (30) 的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式计算, 求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组假定只⽤三位数计算, 问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积其中 c 为弧度,, 且测量 a , b , c 的误差分别为证明⾯积的误差满⾜第⼆章插值法1. 根据定义的范德蒙⾏列式, 令证明是 n次多项式,它的根是,且2. 当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 , 求 f ( x)的⼆次插值多项式3. 给出 f ( x)=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.4. 给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长 h =1′ =(1/60) °,若函数表具有 5 位有效数字, 研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设, k=0,1,2,3, 求.6. 设为互异节点(j =0,1, ?, n), 求证:i)ii)7. 设且, 求证8. 在上给出的等距节点函数表, 若⽤⼆次插值求的近似值, 要使截断误差不超过, 问使⽤函数表的步长应取多少?9. 若, 求及.10. 如果是次多项式, 记,证明的阶差分是次多项式, 并且为正整数).11. 证明.12. 证明13. 证明14. 若有个不同实根, 证明15. 证明阶均差有下列性质:i) 若, 则;ii) 若, 则.16. , 求及.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式, 使它满⾜并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于 4 次的函数多项式, 以便使它能够满⾜以下边界条件,,.20. 设, 把分为等分, 试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数并证明当时, 在上⼀致收敛到.21. 设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误差.22. 求在上的分段线性插值函数, 并估计误差.23. 求在上的分段埃尔⽶特插值, 并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件i)ii)25. 若, 是三次样条函数, 证明i) ;ii) 若,式中为插值节点, 且,则.26. 编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图( 可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a) 利⽤区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式.(b) 对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形, 并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较.2. 求证:（a）当时,. （b）当时,.3. 在次数不超过 6 的多项式中, 求在的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设在上连续, 求的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数,使达到极⼩, ⼜问这个解是否唯⼀?6. 求在上的最佳⼀次逼近多项式, 并估计误差.7. 求在上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取, 使在上与零偏差最⼩?是否唯⼀?9. 设, 在上求三次最佳逼近多项式.10. 令, 求.11. 试证是在上带权的正交多项式.12. 在上利⽤插值极⼩化求 1 的三次近似最佳逼近多项式.13. 设在上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为, 若有界, 证明对任何, 存在常数、, 使14. 设在上,试将降低到 3 次多项式并估计误差.15. 在上利⽤幂级数项数求的 3 次逼近多项式, 使误差不超过.16. 是上的连续奇（偶）函数,证明不管是奇数或偶数,的最佳逼近多项式也是奇（偶）函数.17. 求、使为最⼩. 并与 1 题及 6 题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. 、, 定义问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式估计的上界, 并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界, 并⽐较其结果20. 选择,使下列积分取得最⼩值:.21. 设空间,分别在、上求出⼀个元素,使得其为的最佳平⽅逼近, 并⽐较其结果.22. 在上,求在上的最佳平⽅逼近.23. 是第⼆类切⽐雪夫多项式, 证明它有递推关系24. 将在上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开, 求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把在上展成切⽐雪夫级数.26.27. ,..29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图.30. 编出改进FFT 算法的程序框图.31. 现给出⼀张记录, 试⽤改进FFT 算法求出序列的离散频谱第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精度尽量⾼, 并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1) ;(2) ;(3) ;(4) .2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分:(1) ; (2);(3); (4).3. 直接验证柯特斯公式具有 5 次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1) ;(2) ;(3) .6. 证明梯形公式和⾟普森公式当时收敛到积分.7. ⽤复化梯形公式求积分,问要将积分区间分成多少等分, 才能保证误差不超过(设不计舍⼊误差)?8. ⽤龙贝格⽅法计算积分, 要求误差不超过.9. 卫星轨道是⼀个椭圆, 椭圆周长的计算公式是, 这⾥是椭圆的半长轴, 是地球中⼼与轨道中⼼( 椭圆中⼼) 的距离, 记为近地点距离, 为远地点距离, 公⾥为地球半径, 则.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离公⾥, 远地点距离公⾥, 试求卫星轨道的周长.10. 证明等式试依据的值, ⽤外推算法求的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分, ⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求在,和处的导数值,并估计误差. 的值由下表给出第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解相⽐较。
数值分析试卷及答案
数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。
答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。
答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。
答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。
答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。
数值分析习题集及答案[1]
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数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差. 25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+. 27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析 习题课2
I ≈ 0.5555556 × [ f (−0.7745967) + f (0.7745967)] + 0.8888889 × f (0) ≈ 10.9484
用n=3的高斯-勒让德公式计算积分：
I ≈ 0.3478548 × [ f (−0.8611363) + f (0.8611363)] +0.6521452 × [ f (−0.3399810) + f (0.3399810)] ≈ 10.95014
x+5 y= 4
，则
作变换
1
y=
1 I2 = ∫ dx, −1 x + 7 1 f ( x) = , x+7 I 2 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2876712
x+7 4
，则
作变换
1
1 1 1 I4 = ∫ dx, I3 = ∫ dx, −1 x + 11 −1 x + 9 1 1 , f ( x) = , f ( x) = x + 11 x+9 I ≈ f ( −0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.1823204 I 3 ≈ f (−0.5773503) + f (0.5773503) ≈ 0.2231405 4
R( f ) = − ≤
b − a b − a 4 (4) ( ) f (η ) 180 2
1 1 × 4 × e0 = 0.00035,η ∈ (0,1) 180 2
数理学院
SCHOOL OF MATHEMATICS AND PHYSICS
解：采用复化梯形公式时，余项为
数值分析作业答案
第2章 插值法1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。
（1）用单项式基底。
（2）用Lagrange 插值基底。
（3）用Newton 基底。
证明三种方法得到的多项式是相同的。
解：（1）用单项式基底设多项式为:2210)(x a x a a x P ++=，所以：6421111111111222211200-=-==x x x x x x A 37614421111111424113110111)()()(222211200222221112000-=-=---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2369421111111441131101111)(1)(1)(12222112002222112001=--=--==x x x x x x x x f x x f x x f a 6565421111111421311011111)(1)(1)(12222112002211002=--=---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：2652337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底)21)(11()2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l)21)(11()2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l)12)(12()1)(1())(())(()(1202102+-+-=----=x x x x x x x x x x x lLagrange 插值多项式为：372365)1)(1(314)2)(1(61)3(0)()()()()()()(22211002-+=+-⨯+--⨯-+=++=x x x x x x x l x f x l x f x l x f x L所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下：Newton 372365)1)(1(65)1(230))(](,,[)](,[)()(21021001002-+=+-+-+=--+-+=x x x x x x x x x x x x f x x x x f x f x N所以f(x)的二次插值多项式为：22652337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。
数值分析答案
x0
x1
y
f(x0)
f(x1)
y’
f’(x0)
建立差商表：
自变量
函数值
一阶差商
二阶差商
x0
f(x0)
x0
f(x0)
f’(x0)
x1
f(x1)
则由newton插值公式可得：
整理得：
其中R(x)由以下计算得到：
构造辅助函数：
有 , , 三个零点， 有 , , 三个零点，则 至少有一个零点，记作 。
则
。
(2)S”(0)=0，S”(4)=24
解：用三转角算法计算：
(1) , ,
, ,
, ,
列方程组：
则三次样条插值函数为：
=x3-8， 。
=x3-8， 。
=x3-8， 。
=x3-8， 。
(2)
列方程组：
则三次样条插值函数为：
=x3-8， 。
=x3-8， 。
=x3-8， 。
=x3-8， 。
用三弯矩算法计算：
具体计算如下：
解得最小二乘解：x1=26/11，x2=15/11
(2)
简化为：
两边同乘以系数矩阵的转置矩阵，就得到所需要的法方程组：
具体计算如下：
解得最小二乘解：x=1450/487=2.9774，y=597/487=1.2259
第四章数值积分与数值微分
4-1用四节点复化梯形公式计算积分
(1) ，(2)
误差
则用二次插值的步长应：
2-6对区间[a,b]作步长为h的剖分，且 ，证明：在任意相邻两节点间做线性插值，其误差限为 。
证明：区间上的误差限：
误差限：
2-7设 ,计算差商 , 及 .