第54届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三
第54届国际数学奥林匹克中国国家集训队名单
第54届国际数学奥林匹克中国国家集训队名单姓名性别学校张灵夫男四川绵阳中学宋杰傲男上海中学刘宇韬男上海中学肖非依男华中师范大学一附中夏剑桥男郑州外国语学校陈嘉杰男华南师范大学附属中学高奕博男人大附中胥晓宇男人大附中柳何园男上海中学杨赛超男石家庄二中南校孟 涛男北京四中刘驰洲男乐清市乐成公立寄宿学校李大为男复旦大学附属中学郝晨杰男江苏省启东中学马玉聪男武汉二中余张逸航男华中师范大学一附中王 翔男深圳中学刘 潇男乐清市乐成公立寄宿学校宋一凡男石家庄二中饶家鼎男深圳市第三高级中学段柏延男人大附中陈凯文男鄞州中学顾 超男格致中学沈 澈男人大附中金 辉男镇海中学涂瀚宇男四川南充高中李辰星男郑州一中周韫坤男深圳中学陈 成男镇海中学朱晶泽男华东师范大学第二附属中学邓杨肯迪男湖南师大附中廖宇轩男郑州外国语学校任卓涵男郑州一中李 爽男育才中学高继杨男上海华育中学李 笑男湖南师大附中颜公望男武汉六中黄 开男华中师范大学一附中田方泽男中山纪念中学占 玮男合肥一中黄 迪男四川自贡蜀光中学杨卓熠男成都七中杨承业男成都七中丁允梓男上海中学姓名性别学校涂绪山男湖南师大附中王柏然女衡水中学张益深男清华附中韩松奇男耀华中学张 谦男成都市实验外国语学校董方宏男复旦大学附属中学杨羽轩男东北育才学校刘 飚男湖南师大附中张文瀚男石家庄二中李艺轩男耀华中学陈希睿男成都七中尤润琪男复旦大学附属中学张耿宇男上海中学刘 畅男上海中学姚金江男西安铁一中唐彦涛男长沙市长郡中学苏肇祺男厦门双十中学于科屹男耀华中学浦鸿铭男东北师大附中康宇衡男重庆第八中学。
根心定理
根心定理根心定理：三个两两不同心的圆，形成三条根轴，则必有下列三种情况之一：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。
该定理是平面几何上非常重要的定理。
一、点对圆的幂平面上任意一点对圆的幂定义为以下函数：考虑到圆的方程也可以写为圆心-半径的形式：由此也可以把点对圆的幂定义为：这里是点到圆心的距离，是圆的半径。
点对圆的幂的几何意义是明显的：若点在圆外，则幂为点到圆的切线长度的平方；若点在圆上，则幂为0；若点在圆内，则幂为负数，其绝对值等于过点且垂直于的弦长的一半的平方。
二、根轴平面上两不同心的圆显然，对两圆等幂的点集是直线：该直线称为两圆的根轴。
根轴必垂直于两圆的连心线。
若两圆相交，则根轴就是连接二公共点的直线；若两圆相切，则根轴就是过切点的公切线；若两圆相离或内含，则根轴完全位于两圆之外，但仍垂直于两圆的连心线。
当圆1和圆2相离或内含时，用尺规作出这两圆的根轴需要依赖“根心定理”（见第三部分）。
具体的做法是：另作一个适当的圆3与前两圆都相交，圆3分别与前两圆形成根轴，这两条根轴的交点即是圆1、圆2和圆3的根心，它必定在圆1和圆2所形成的根轴上；同理，再找一个适当的圆4，找到圆1、圆2和圆4的根心。
连接所找到的两个根心，即得到圆1和圆2的根轴。
三、根心与根心定理（解析几何证法）三个两两不同心的圆任意两圆形成一条根轴，因而共有三条根轴：这三条根轴的直线方程（以下简称为根轴方程）是线性相关的，即由其中两个根轴方程进行线性组合，可以得出第三个根轴方程。
因此：（i）若平面上某一点是其中两个根轴方程的公共解（亦即两根轴的公共点），则必定也是第三条根轴上的点。
（ii）若某两个根轴方程无公共解（即平行），则三个根轴方程中的任意两个均无公共解（即三条根轴两两平行）。
具体而言，三个两两不同心的圆的根轴，仅仅包含下面三种情况：（1）三根轴两两平行；（2）三根轴完全重合；（3）三根轴两两相交，此时三根轴必汇于一点，该点称为三圆的根心。
2023年世界少年奥林匹克数学竞赛中国区选拔赛年级试题
世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛地方海选赛试题（10月）选手须知：本卷共120分，第1-8题，每题6分，第9-10题，每题8分，第11-13题，每题10分，第14题12分，第15题14分。
比赛期间，不得使用计算工具。
比赛完毕时，试卷及草稿纸会被收回。
本卷中所有附图不一定依比例绘成。
若计算成果是分数，请化至最简，并保证为真分数或带分数，或将计算成果写成小数。
六年级试题（A卷）（本试卷满分120分，比赛时间90分钟）一、填空题（每题6分，共48分）1、如图所示，图形有___________条对称轴。
2、国庆节，小明旳妈妈带他去旅游，妈妈给他带了蓝、红2件毛衣和黑白灰3条裤子，目前他要任意拿出一件毛衣和一条裤子配成一套，恰好是蓝毛衣和白裤子旳也许性是________。
3、一种长方体，不一样旳三个面分别是35平方厘米、21平方厘米、15平方厘米，且长、宽、高都是质数。
这个长方体旳体积是_____________立方厘米。
4、马和骡并排走着，背上都驮着包裹，马埋怨说它驮得太多了。
骡子回答说：“你埋怨什么呢？假如我从你背上拿过一包来，我旳承担就是你旳两倍。
假如你从我背上拿一包过去，你驮得也不过和我同样多。
”骡子驮了__________个包裹。
5、如图，一种直角梯形旳上底延长5厘米，就成了一种长方形，面积增长了10平方厘米。
假如本来梯形旳下底长9厘米，那么本来梯形旳面积是__________平方厘米。
6、哈尔滨冰雪大世界每年用旳冰大概能融化成6万立方米旳水，它相称于_______个长50米，宽20米，高1.2米旳游泳池旳储水量。
7、小英从上个星期五开始观测一株风信子，当时有些花已经开了。
从这天开始，每天新开旳花朵数刚好等于这天此前已开旳花朵总数，在这个过程中没有花凋落。
假如风信子旳花朵全开旳那一天是星期四，请问花刚好开完二分之一旳那一天是星期__________。
8、用红笔在一根木头上做了三次记号：第一次把木头提成12等分，第二次把木头提成15等分，第三次把木头提成20等分。
世界青少年奥林匹克数学竞赛(中国区)选拔赛七年级数学试题(含答案)
1 / 12017春季省级初赛考生须知：本卷考试时间60分钟,共100分。
考试期间,不得使用计算工具或手机。
七年级试题(A 卷)一、填空(每题3分，共30分)1、在△ABC 中，高BD 和CE 所在直线相交于O 点，若△ABC 不是直角三角形，且∠A ＝60°，则∠BOC ＝________度.2、在等腰△ABC 中，AB=AC,一边上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为___________.3、凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是____________.4、凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，则n 的值是________.5、已知 是二元一次方程ay x -2=3的一个解，那么a 的值是________.6、若关于x 、y 的方程组 无解，则a 的值是________.7、正整数._______,698的最大值是则满足、m mn n m n m +=+8、已知关于x 的不等式组 无解，则a 的取值范围是________.9、 都是正数，那么N M 、的大小关系是________.10、若n 为不等式 的解，则n 的最小正整数的值是________.二、选择题(每题5分，共25分)11、三元方程 的非负整数解的个数有（ ）. A.20001999个 B.19992000个 C.2001000个 D.2001999个12、如图已知 分别 为ABC ∆的两个外角的平分线，给出下列结论：①CD CP ⊥; ②A D ∠-︒=∠2190;③AC PD //.其中正确的是（ ）. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③13、有一个边长为4米的正六边形客厅，用边长为50厘米的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（ ）块.A.200B.300C.384D.420 14、解方程组⎩⎨⎧=-=+472dy cx y ax 时，一个学生把a 看错后得到⎩⎨⎧==15y x ，而正确的解是⎩⎨⎧-==13y x ，则d c a 、、的值是：A.不能确定B.1,1,3===d c aC.d c 、不能确定，3=aD.2,2,3-===d c a 15、某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了( )朵.A.4380B.4200C. 4750D.3750三、计算题(16~20题每题5分，21~22题每题10分，共45分)16、已知,9,27,81614131===c b a 则c b a 、、的大小关系是多少？17、计算：20002000200020001998357153)37(++⨯18、已知=+++--a y x y xy x 1437622)(32(b y x +-x 3y ++c），试确定c b a 、、的值。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
世界青少年奥林匹克数学竞赛(YMO)(中国区)选拔赛全国总决赛八年级试卷(无答案)
A.S=2 B.S＜2 C.S＞2 D.S的值与x的取值有关
3、如果x、y、z满足 =1， =2， =3，则一定有X、Y或Z的值是（ ）
A.-3 B.-1 C.1 D.3
4、函数y=kx（k＞0）与y= 的图像相交于A、C两点，AB垂直于x轴，垂足为B，则△ABC的面积为（ ）
A.1.05B.1.25 C.1.35 D.1.15
二、填空题。
把正确答案填在横线上。每题3分，共24分.
1、当x= -1时，求出 的值等于
2、观察填空：ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)=(a+b+c)(a²+b²+c²)-
3、有盐水若干克，加入定量的清水后盐水浓度为3%，再加入同量的清水后，盐水浓度为2%，如果第三次加入同量的清水，盐水浓度为。
初中二年级试题
一、选择题。
以下每题的四个选项中只有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的
括号内。每题3分，共24分。
1、若a=2010t+2009，b=2010t+2010，c=2010t+2011，代数式a²+b²+c²-ab-bc-ca的值为（）
A.（2010t）² B.2 C.3 D.6
三、简答题。
要求写出推算过程。
1、设y是x²的正比例函数，Z是x²的反比例函数，当x=2时，y+z=340；当x=1时，z-y=1275.求z与y之间的函数解析式。（8分）
2、如图，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼
成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH=3，
EF=4，求线段AD与AB的比。（8分）
中国国家队数学选拔考试
中国国家队数学选拔考试
中国国家队数学选拔考试是针对通过中国数学奥林匹克（CMO，又称为数学冬令营）的前六十名学生的选拔考试。
这些学生已经没有升学压力，具有保送资格，基本都保送的北大或者清华。
第一阶段要经过四次考试每次4.5小时完成三个题，由成绩排名选拔出前15名左右的学生。
然后再进行第二阶段的选拔，决定6名学生代表中国参加今年7月份的国际数学奥林匹克(IMO)。
因为疫情原因，今年的选拔在线上举行，各省设置一个考点。
以上信息仅供参考，建议查阅官网获取更全面更准确的信息。
历届数学奥林匹克参赛名单
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
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∏
i =1nFra bibliotekA − ai 的最小值. di Di
的中点， Q 为 P 的对径点， I 为 ∆ABC 2、如图， ∆ABC 内接于圆 O ， P 为 BAC
的内心，PI 交边 BC 于点 D ，DAID 的外接圆交 PA 的延长线于点 F ， 点 E 在线段 PD 上， 满足 DE = DQ .记 ∆ABC 的外接圆、内切圆的半径分别为 R 、 r . . 证明：若 ∠AEF = ∠APE ，则 sin 2 ∠BAC =
第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三
第一天 2013 年 3 月 24 日上午 8:00-12:30 1 、给定整数 n ≥ 2 ，对任意互素的正整数 a1 , a2 , , an ，记 A = a1 + a2 + + an . 对 l = 1, 2, , n ，设 A 与 ai 的最大公约数为 di ； a1 , a2 , , an 中删去 ai 后余下的 n − 1 个数 的最大公约数为 Di ，求
第二天 2013 年 3 月 25 日上午 8:00-12:30 4、设 p 是一个素数， a ， k 是正整数，满足 p a < k < 2 p a .证明：存在正整数 n ，
k 使得 n < p 2 a ，且 Cn ≡ n ≡ k (mod p a )
5、设整数 n ≥ 2 ， a1 , a2 , , an ， b1 , b2 , , bn 是非负实数.证明：
1 n n 1 n 2 1 n 2 2 n a b a b + ≥ + ( ) i ∑ i ∑ i ∏ i n i 1= 1 n− = n i 1 i =1 n −1 2
6、在直角坐标平面上，设点集 P ， Q 是顶点均为整点的凸多边形区域（包括内部 和边界） ， T = P Q .证明：若 T 非空且不含整点，则点集 T 是非退化的凸四边形区域.
P
2r R
A
O E
I
F
B Q
D
C
3、有 101个人，分别持有1, 2, ,101 张卡片，按任意顺序围坐在圆桌旁，一次传递 是指某人将自己手中的一张卡片传给与其相邻的两个人之一.求最小的正整数 k ，使得不论 作词如何，总能通过不超过 k 次传递，使得每个人持有的卡片数相同.
第 54 届国际数学奥林匹克中国国家队选拔考试三