《弧微分与曲率》PPT课件
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弧微分与曲率
tan y (设 )
2
2
得 arctan y
d (arctan y)dx
K d
ds
又 故曲率计算公式为
y K (1 y2 )32
当 y 1时, 有曲率近似计算公式 K y
注:参数方程下曲率的计算
设
x y
2
(
x
)2
x
(y
2
)2
MN MN
2
1
(y)2
x 2
s x
MN MN
2
1
(y)2
x2
N T
x x x
当x 0时, N M
lim
NM
MN MN
2
K
2 (1 4x2 )3/ 2
,
1 K
(1 4x2 )3/ 2 2
.
在点(0, 0),
Kmax
2,
min
1. 2
y
随着曲线 y x2
O2
自原点逐渐上升 (| x | 增大),
K 逐渐减小， 逐渐增大.
O1
A
O
y x2
x
求 y x2 的最小曲率半径时的曲率圆的方程.
下面求 s s( x) 的导数与微分
设N ( x x, y y)为曲线 上的另一点, s MN
y AM
s 2 x
MN x
2
MN MN
2
MN x
高等数学(同济第六版)课件 第三章 7曲率解析
解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当 x b 时，k最大。 2a
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y=f (x)在点
y
M(x,y)处的曲率为k (k 0)
D 1 y f (x)
在点M 处的曲线的法线上，
k
在凹的一侧上取一点D，使 DM 1 .
N
可用一个与转角成正比与弧长成反比的量 来描述曲线的弯曲程度。
定义：设曲线C是光滑的，M0为基点，M, N为曲线
C上的点， MN的弧长为 s， y
C
M与N点切线的夹角为 ，
N.
K s
M0
M
称为曲线段MN的平均曲率； o
x
K lim s0 s
称为曲线C在点M处的曲率。
K | d | ds
2.曲率的计算公式 设y=f(x)二阶可导，
(5) e xdx dex .
(6) a xdx 1 da x lna
(7)
1 1 x
2
dx
d
arctan
x
1
(8)
dx d arcsin x 1 x2
(9) cos xdx d sin x.
(10) sin xdx d cos x (11) sec2 xdx d tan x. (12) csc2 xdx d cot x.
第七节 曲率
一、弧微分
设 f (x)在(a,b)内有连续导数，在曲线y=f (x)上
取基点A(x0, y0), 点M(x, y)为曲线上任一点; 记弧 AM 的长度为 d ，规定： y
曲线正向与 x 增大的方向一致。
M
A
7.弧微分与平面曲线的曲率
1
,
19
三、曲率圆与曲率半径
曲率是表示曲线在一点 附近的弯曲程度的一 个数字特征.当给定曲线在某一点的 曲率，比如说 1 K ，我们还是不能很直观 地想象到曲线弯曲 3 的形象.但是，如果告诉我们某 一个圆的曲率为 1 1 K ，就可以由这个圆的半 径R 3而直观 3 K 地想象出他的弯曲形象 .因此要用具有相同曲率 的 圆来进一步刻画曲线在 某一点的弯曲程度.
2 由于ds 1 y dx , 所以
14
d K ds
y dx 2 1 y 1 y dx
2
y
y (1 y )
2 3 2
y' ' K (1 y'2 )3 2
o
曲线 C
M'
s
M0 s
M
x
15
x ( t ), 设 二阶可导, y ( t ), dy ( t ) d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) , . 2 3 dx ( t ) dx (t )
圆的弯曲程度处处相同 s 1 r s r 1 K r 圆的半径越小,K越大,圆弯 曲得越厉害.
s
M
13
下面推导曲率的计算公式. y 设 y f ( x ) 二阶可导,
曲线 C
M'
由导数的几何意义可知 ， s tan y' M0 s M arctan y' o x y d (arctany )dx dx 2 1 y
长度之比的极限等于 1，即 MN li m 1 x 0 MN
2 2
曲率及其曲率半径的计算曲率半径计算 ppt课件
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
((
D D
s x
2
MM Dx
2 |
MM 2| MM|
MM|2 (Dx)2
aa 在 liD m d存 在 的 条 件 下 K da ．
D s 0D s ds
ds
曲率的计算公式：
K da ．
ds 设曲线的直角坐标方程是yf(x)，且f(x)具有二阶导数．
因为tan a y ，所以
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
曲率及其曲率半径的计算
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
|M MM M|2(Dx)(2Dx)(2Dy)2
|M MM M|21D Dyx2
(
Ds Dx
|M MM M|21D Dyx2
y M0
M
Ds M
Dy
Dx
O x0
x x+Dx x
((
(
Ds Dx
高数弧微分与曲率
若曲线 y f (x) 在点M处的曲率K不为零，称
1
R K
为曲线在点M处的曲率半经。
8
例2 求曲线 x4 y4 2在点M (1,1) 处的曲率半径。
解 方程两边同时对x求导，整理得
x3 y3 y 0 (1)
两边再对x求导，整理得
3x2 3y2 y2 y3 y 0 (2)
将点 M (1,1) 代人（1）得 y (1,1) 1;
将点M (1,1), y (1,1) 1 代人（2）得 y (1,1) 6
故曲线在点 M (1,1) 处的曲率半径
3
(1 y2 )2
2
R
(1,1)
y
(1,1) 3 .
9
例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度, 且 l << R.
求此缓和曲线在其两个端点
处的曲率.
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说明: 铁路转弯时为保证行车 平稳安全, 离心力必须 连续变化 , 因此铁道的 曲率应连续变化 .
10
例3. 我国铁路常用立方抛物线 y 1 x3 作缓和曲线, 6Rl
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
5
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
x
曲率总结.ppt
内具有连续导数. 在曲线
y f (x) 上取一固定点
M0
M
M y T x R
M0 (x0, y0 )
的基点,
作为计算弧长 o x0 M (x, y)为曲线上任意一点,
x x
有向弧段
x
M⌒0 M
x
的值记为s(简称弧), 规定：
(1)曲线的正向与 x 增大的方向一致;
(2)
⌒
M0M
s,当M⌒0M的方向与曲线正向
x K (1 x2 )32
y K (1 y2 )32
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例2. 求椭圆
在何处曲率最大?
解: x asin t ; y bcost ;
x acost y bsin t
x表示对参 数 t 的导数
故曲率为
K
xy xy ( x2 y2 )32
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线; (2) 凹向一致; (3) 曲率相同 .
例3. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
y
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
x
高等数学曲率 PPT课件
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例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
解: 如图所示 ,
s R K lim 1
s0 s R
M
s
R M
可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 .
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曲率K 的计算公式
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
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二、曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 s , 对应切线
转角为 , 定义
弧段 s上的平均曲率
K
s
点 M 处的曲率
K lim d
s0 s
ds
M M s
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
)2
曲率中心
x y(1 y2 )
y
y 1 y2
y
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思考与练习
1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?
答: 有公切线 ; 凹向一致 ; 曲率相同.
2. 求双曲线 xy 1 的曲率半径 R , 并分析何处 R 最小?
解:
y
1 x2
,
y
2 x3
,
则
y
1
R
y
从而 K 取最大值 .
2 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ;
1 y 把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
y 求此缓和曲线在其两个端点
或有的地方磨不到的问题. 设 M 为曲线 C 上任一点 ,
高等数学(第四版) 上、下册(同济大学 天津大学等编)3_7 曲率-PPT课件
M 00M M M 的方向与曲线的正向一致时， s 0;当二者方向相反 M0 M s( x), 且为 x 的单 时， s 0 ，故弧 s 为 x 的函数 s M 0M 调增函数. s( x) 的微分称为弧微分.下面求函数 s( x) 的导数 和微分. 在曲线 y f ( x) 上点 M ( x, y) 的邻近取一点 M ( x x, y y) ( x (a, b), x x (a, b)),则函数 s( x) 的 增量为 s : s M M00M M M M00M M MM M M (图 3-12)
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
y A M’ R M x 图3-14
1 O s R 1 lim 从而 s 0 s R 这就是说，圆上各点处的曲率都等于半径的倒数，即处 处弯曲程度相同.半径愈小，曲率愈大，弯Biblioteka 愈甚.1M2 M1
2
M3
M1
N1
M2 N2
图3-13 （b） （a） M1 M 22 较弧 M 从图 3-13(a)看出，弧 M M 22M M33 平直.在弧 M M11M M2 2 1M 上，当动点沿曲线由点 M 1 移动到点 M 2 时，切线转过角1 ；
M2 M 33 上， 在弧 M 当动点由点 M 2 移动点 M 3 时， 切线转过角 2 ， 2M 显然 2 1 .但仅仅由切线转过的角度的大小还不足以充分
M M时 s 0， 当 ， 将 平 均 曲 率 取 极 限 （ 若 极 K 限 存 在 ） ， 称 该 极 限 值 为 曲 线 C在 点 M处 的 曲 率 ， 记 作 K lim K lim . M M s 0 s 由 导 数 定 义 得 d K (2 ) d s
例1 求直线上各点的曲率 .
高等数学(上)课件：3_7曲率
b
这说明椭圆在点( a, 0) 处曲率 a
ax
最大.
b
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 有上述可知
椭圆在
处曲率最大 ,
y
即曲率半径最小, 且为
R
(a2 sin2 t
b2
cos2
t
)
3 2
ab
t0
o
x
显然, 砂轮半径不超过 时, 才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题.
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
x asin t ;
x acost
x 表示对参
y bcost ;
y bsin t
数 t 的导数
显然
K x0 0;
K
xl
1 R
y
R
B
ol
x
y 1 x3 6Rl
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
曲率圆和曲率半径
设曲线y f ( x)在点 y
M ( x, y)处的曲率为K (K
y f (x)
0).在点 M 处的曲线的
D
法 线 上, 在 凹 的 一 侧 取 一
高等数学（上） 3.7节 曲率
主要内容
1 弧微分 2 曲率及其计算公式 3 曲率圆与曲率半径
弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 s AM s(x)
3-9弧微分与曲率
A( x0 , y0 )
o
C( x0 ,0)
x
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
有
y
x x0
1 2Rl
x02
1 l2 2Rl
l, 2R
y
y
x x0
1 Rl
x0
1l Rl
1, R
故在终端A的曲率为
y
几何意义: ds MT
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o x x dx x
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
2M2 S2 M3来自S1M1弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学.
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
x
s(x) lim s 1 ( y)2 x0 x
lim M M 1 x0 M M
ds 1 ( y)2 dx 或 ds (dx)2 (dy)2
若曲线由参数方程表示:
x
y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2 y 2 d t
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10
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性 质的数学分支——微分几何学.
基本概念: 弧微分,曲率,曲率圆.
曲线弯曲程度的描述——曲率; 曲线弧的近似代替曲率圆(弧).
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11
思考题
椭圆 x2cot,sy3sitn上哪
些点处曲率最大？
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12
思考题解答
k | y | 3
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9
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处 的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率 越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
6
3
[1 ( y)2]2 (4sin2t 9co2st)2
6
3
(4 5cos2 t)2
3
要使k最大， 必有 (45co2st)2最小，
t, 3 此时k最大，
22
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13
1
2
M2
S2
M3
S1
M1
弧段弯曲程度 越大转角越大
S1
M
M
N
S2 N
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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4
例2 铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处
的曲率突然改变 ,容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和
弯道之间接入一段
缓冲段 (如图 ), 使曲 率连续地由零过渡
到 1 (R为圆弧轨道 R
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7
有yxx0 21Rxl02
1 2 Rl
l2
l, 2R
y
y xx0 R1lx0
1 Rl
l
1, R
故在终 A的 端曲率为
1
kA
y
3
(1 y2)2
xx0
(1
R
4
l2 R
2
)
3 2
R
l A(x0,y0)
o C(x0,0) x
l 1, R
略去二次4lR2项 2 ,
得
kA
1. R
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的半径 ).
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5
通常用三次抛物线
y
1 6 Rl
x 3， x [0, x0 ]．作为
缓冲段 OA ，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段
OA 在始端 O 的曲率
为零 ,并且当 l 很小 R
( l 1) 时，在终端 R A 的曲率近似为 1 .
R
y
R
l A(x0,y0)
8
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线y f (x) 在点 y
M(x, y) 处的曲率为k(k 0). 在点M 处的曲线的法线上,
D 1
k
yf(x)
在凹的一侧取一点D, 使 DM
o
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
M
x
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
D曲率中 , 心 曲率半. 径
2
ds1(y)2dx 或 ds(d x)2(d y)2
若曲线由参数方程表示:
x
y
x(t) y(t)
则弧长微分公式为 ds x2y2dt
y
几何意义: ds M T
dx cos ; dy sin
ds
ds
T
M dy
dx
o xxdx x
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3
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
o C(x0,0) x
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6
证 如图
y
B
x的负半轴表示直道，
R
O是 A 缓冲 ,AB 是 段圆弧. 轨道
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l A(x0,y0)
在缓冲段上,
o C(x0,0) x
y 1 x2, y 1 x.
2Rl
Rl
在 x 0 处 ,y 0 ,y 0 ,故缓冲始点的 k0 曲 0.率
实际要求 l x0,
一、 弧微分
设
在(a , b)内有连续导数, 其图形为 AB,
弧长 sAM s(x)
s MMM M x MM x
M M (x)2 (y)2
MM
x
y
yf(x) M
B
A M y
x
oa x bx
xx
M M 1 (y)2
MM
x
s(x)lims 1(y)2 x0x
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limMM 1 x0 MM