四川省德阳市2020届高考数学三诊试卷2(含答案解析)

四川省德阳市2020届高考数学三诊试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合M ={−1,0，1}，N ={x|x 2≤x}，则M ∩N =A. {0}B. {0,1}C. {−1,1}D. {−1,0，1}2. 如图，若向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为z ，则复数z +4z 为( )A. 3+iB. −3−iC. 3−iD. 1+3i3. 在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为( )A. 16−π16B.12−π12C. π4D. 344. 已知等比数列{a n }中，a 5=3，a 4a 7=45，则a 7−a 9a 6−a 7的值为( )A. 30B. 25C. 15D. 105. 设向量a ⃗ =(−2,1)，a ⃗ +b ⃗ =(m,−3)，c ⃗ =(3,1)，若(a ⃗ +b ⃗ )⊥c ⃗ ，设a ⃗ 、b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=( ) A. −35 B. 35 C. √55D. −2√556. 若函数f(x)=e x (sinx +a)在区间R 上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A. [√2,+∞)B. (1,+∞)C. [−1,+∞)D. (√2,+∞)7. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)，已知函数y =|f(x)|的图象如图，则( )A. f(x)=2sin(4x +π3) B. f(x)=2sin(4x −π3) C. f(x)=2sin(43x −8π9)D. f(x)=2sin(43x +8π9)8. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB =AC ，在△BCD 中∠BCD =90°且BC =3.将△ABC 沿BC 边翻折，设点A 在平面BCD 上的射影为点M ，若AM =32，那么( )A. 平面ABD ⊥平面BCDB. 平面ABC ⊥平面ABDC. AB ⊥CDD. AC ⊥BD9.执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是()A. 2B. √10−1C. √11−1D. 2√3−110.已知双曲线x2a2−y2b2=1与圆x2+y2−5x+4=0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点(−2,0)，则双曲线的离心率为()A. √14+√2B. √14+√23C. √2 D. 2√3+√2311.将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ(又称莱洛三角形)，下列关于曲线Γ的描述中，正确的有()(1)曲线Γ不是等宽曲线；(2)曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；(3)曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；(4)在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；(5)若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.已知函数f(x)=ae2x−2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f(x1)+f(x2)<e x1+e x2+t恒成立，那么t的取值范围是()A. [−1,+∞)B. [−2−2ln2,+∞)C. [−3−1n2,+∞)D. [−5,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在二项式(x−ax)n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a=______．}的前n项和为______．14.设数列{a n}的前n项和为S n，且a n=2n−1，则数列{S nn15.某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为______万元．,−1)，直线l过抛物线C：x2=4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛16.已知点M(32物线C相切，那么线段AB的中点坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100,110)，第二组[110,120)，…第五组[140,150]，得到频率分布直方图．(1)若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；(2)若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．18.在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2，bsinC=√3a.2(1)求△ABC的面积；(2)若b：c=√3：1，求A．19.如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P−ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P−ABCD和四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高相等．(1)证明：PB//平面ADO1；(2)若∠BAD=π，AA1=A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐3二面角的余弦值．20.巳知函数f(x)=ax−2lnx−2，g(x)=axe x−4x．(1)求函数f(x)的极值；(2)当a>0时，证明：g(x)−2(lnx−x+1)≥2(lna−ln2)．21.已知动点Q到点F(1,0)的距离和到直线l：x=4的距离之比为1．2(1)求动点Q的轨迹方程C；)，过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB分别交直线x=4于(2)已知点P(1,32M、N、H．(i)证明：H恰为线段MN的中点；(ii)是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x=4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sinθ．(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；(2)射线OP：θ=α(α∈(0,π2))交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．23.已知函数f(x)=√x2+2x+1+√x2−6x+9−m≥0恒成立．(1)求m的取值范围；(2)若m的最大值为n，当正数a、b满足23a+b +1a+2b=n时，求7a+4b的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为N={x|x2≤x}={x|0≤x≤1}，M={−1,0，1}，所以M∩N={0,1}．故选B．求出集合N，然后直接求解M∩N即可．本题考查集合的基本运算，考查计算能力，送分题．2.答案：A解析：解：由题意，得z=1−i，则z+4z =1−i+41−i=1−i+4(1+i)(1−i)(1+i)=1−i+2+2i=3+i．故选：A．由已知求得z，代入z+4z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：连结AC和BD交与点O，如图示：由对称性可得，S阴影部分=S正方形ABCD−S△AOB；而△AOB的面积占整个正方形面积的14；故所求概率为：1−14=34，故选：D．求出阴影部分的面积，作商即可．本题考查了几何概型问题，考查转化思想，是一道常规题．4.答案：A解析：解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5=3，a4a7=45，则a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，则q=5，则a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)=30；故选：A．根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7=a4a6q=(a5)2q=45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有a7−a9a6−a7=q−q31−q=q(1+q)，计算即可得答案．本题考查等比数列的性质以及应用，涉及等比数列的通项公式，属于基础题．5.答案：D解析：解：∵a⃗+b⃗ =(m,−3)，c⃗=(3,1)，(a⃗+b⃗ )⊥c⃗，∴3m−3=0，可得m=1，可得a⃗+b⃗ =(1,−3)，∵a⃗=(−2,1)，∴b⃗ =(3,−4)，可得|a⃗|=√5，|b⃗ |=5，∴a⃗⋅b⃗ =−6−4=−10，∴设a⃗、b⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ ||b⃗|=√5×5=−2√55．故选：D．由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．6.答案：A解析：解：因为f(x)=e x(sinx+a)，所以f′(x)=e x(sinx+a+cosx)．要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立．即sinx+a+cosx≥0恒成立．所以a≥−sinx−cosx，因为−sinx−cosx=−√2sin(x+π4)所以−√2≤−sinx−cosx≤√2，所以a≥√2．故选：A．求函数的导数，要使函数单调递增，则f′(x)≥0恒成立，然后求出实数a的取值范围．本题主要考查导数的基本运算以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．7.答案：A解析：解：由于函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象函数y=f(x)的周期T，满足34T=2π3−7π24=9π24，解得T=8π，所以ω=4．当x=7π24时，f(7π24)=±2，整理得4×7π24+φ=kπ+π2(k∈Z)，解得φ=kπ−2π3(k∈Z)，当k=1时，φ=π3．故选：A．直接利用函数y=|f(x)|的周期为函数y=f(x)的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f(7π24)=±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．本题考查的知识要点：正弦型函数的图象和性质，函数的关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，BC=3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM=32，由AM=12BC，可得M为BC的中点，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，又CD⊥BC，AM，BC为相交直线，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．本题考查线面垂直的判定和垂直，考查推理能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：模拟执行程序框图，可得N=10，S=0，k=1S=1√2+1，满足条件k<10，k=2，S=√2+1+√3+√2，满足条件k<10，k=3，S=√2+1+√3+√2+√4+√3，…满足条件k<10，k=10，S=√2+1+√3+√2+√4+√3+⋯+√10+√9+√11+√10=√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√11=√11−1，。

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四川省德阳市2024届高三下学期“三诊”考试(理科)数学试题(含答案与解析)

德阳市高中2024届高三下学期“三诊”考试数学本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. (2024,)+∞ B. )2024,[+∞C. ],2(024-∞D. ),2(024-∞2. 欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足()i πi e i 1z +⋅=+，则正确的是（） A. z 的共轭复数为i - B. z 的实部为1 C. z 的虚部为iD. z 的模为13. 在()()621x x ++的展开式中3x 的系数是（） A. 30B. 35C. 55D. 604. 已知函数()sin cos f x x x =+，且 00)1()(2f x f x ='，则0tan 2x 的值是（） A. 23-B.34C.23D. 43-5. 执行下面的程序框图，输出的s =（）A.1112 B.2524 C. 34D. 166. 已知向量()()1,0,1,1OA OB == ，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩，则2z x y =-的最大值为（）A. 2-B. 2C. 3-D. 37. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A ，B ，C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（） A. 18种B. 24种C. 36种D. 48种8. α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 A. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ B. ,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ C. ,,m αγβγα⊥⊥⊥D. ,,l m l αβαβ⊥⋂=⊥9. 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系．eax by +=(a ，b ．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（） A. 14℃B. 15℃C. 13℃D. 16℃10. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿的基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（）A. 8πB. 4πC. 2πD.4π311. 设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 是C 上异于实轴端点的任意一点，若2212||||||2PF PF OP a -=，则C 的离心率为（）A.B.C. 3D. 212. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，()()424e x f x f x --=，则不等式()()3e ln 3f x xf <的解集是（）A. ()30,eB. ()31,eC. ()3e,eD. ()3e ,+∞第 Ⅱ 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13. 已知函数 f (x )═cos(x +θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________．14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知π3C =，若向量()()4,,,4m c a b n a b c =--=-+ 满足//m n u r r，则ABC 的面积为__________．15. 已知两点(1,0),(1,0)M N -，若直线0x y m -+=上存在唯一点 P 满足 0PM PN ⋅=，则实数m 的值为__________．16. 已知F 为抛物线2:4C x y =焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A 、B ，若抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则24PF AB+的最小值为_______．的三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且{}n b 的前n 项和为()11543,22,5n S a b a a a ===-，在①()5434b b b =-，②12n n b S +=+这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在*,N m n ∈，使得n m T a =若存在，求出所有满足题意的,m n ；若不存在，请说明理由．18. 某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)：月份12 3456 广告投入量27810收益20303437他们分别用两种模型①y bx a =+，②e bx y a =进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型? （2）残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除．（i ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii ）若广告投入量x =19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)附：对于一组数据 ()()()1122,,,n n x y x y x y ，，，，其回归直线 ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1122211()(ˆˆˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybay bx x x x nx====---===---∑∑∑∑.19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 中点，过11B C 的平面交棱AB 于 E ，交 AC 于F ．（1）求证:平面1A AD ⊥平面11EB C F ；（2）若1A AD 是等边三角形，4AB =，求二面角1D AA C --正弦值．20. 已知椭圆 2222:1(0)x y a b b α+=>>的离心率为其左右焦点分别为 F F ₁、₂，下顶点为A ，右顶点为B ，1ABF 的面积为1+ （1）求椭圆 C 的方程;（2）设不过原点O 的直线交C 于M 、N 两点，且直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，求MON △ 面积的取值范围．21. 设函数()e cos ax f x x =+，()sin 2g x x =+．（1）试研究 ()()316F x x x g x =-+在区间(0,)+∞上的极值点；（2）当0x ≥时，()()f x g x ≥，求实数a 的取值范围．请考生在22、23二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． [选修4--4：坐标系与参数方程]的的22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22222111t x tt y t ⎧=+⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩(t 为参数)，直线l 的方程为10x y --=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的极坐标方程；（2）点 P 的极坐标为3π(1,)2，设直线 l 与曲线C 的交点为A 、B 两点，若线段AB 的中点为D ，求线段 PD 的长．[选修4--5:不等式选讲]23. 已知a 、b 、c 、d 均为正数，且ad bc =．（1）证明:若a d b c +>+，则||||a d b c ->-; （2）若=+，求实数 t 取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（） A. (2024,)+∞ B. )2024,[+∞C. ],2(024-∞D. ),2(024-∞【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.【详解】集合{}024|12A x x =<<，{}|B x x a =<，又A B ⊆，则2024a ≥，所以实数a 的取值范围是)2024,[+∞. 故选：B2. 欧拉公式i e cos isin θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足()i πi e i 1z +⋅=+，则正确的是（） A. z 的共轭复数为i - B. z 的实部为1 C. z 的虚部为iD. z 的模为1的【答案】D 【解析】【分析】由欧拉公式计算可得i z =-，再根据共轭复数、实部、虚部定义以及模长公式可得结果. 【详解】由i e cos isin θθθ=+可得i π1e cos πisin π=+=-，所以()()i πi 1i 1i e z z +⋅=-+⋅=+，可得()()()()221i 1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 1iz +--+---====--+-+---，所以z 的共轭复数为i ，即A 错误；z 的实部为0，即B 错误； z 的虚部为1-，所以C 错误； z 的模为1，可知D 正确. 故选：D3. 在()()621x x ++的展开式中3x 的系数是（） A. 30 B. 35 C. 55 D. 60【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理求出所有含3x 的项，计算可得系数. 【详解】由二项展开式的通项可得展开式中含3x 的项包括两项，即()333242323366662C 1C 12C C 55x x x x x ⋅⋅+⋅⋅=+=，所以展开式中3x 的系数是55. 故选：C4. 已知函数()sin cos f x x x =+，且 00)1()(2f x f x ='，则0tan 2x 的值是（） A. 23-B.34C.23D. 43-【答案】B 【解析】【分析】求出函数()f x 的导函数，利用给定等式求出0tan x ，再利用二倍角的正切计算即得. 【详解】函数()sin cos f x x x =+，求导得()cos sin f x x x '=-，由00)1()(2f x f x ='，得00001cos sin (cos sin )2x x x x -=+，解得01tan 3x =，所以00220122tan 33tan 211tan 41()3x x x ⨯===--. 故选：B5. 执行下面的程序框图，输出的s =（）A. 1112B.2524 C. 34D. 16【答案】A 【解析】【分析】由程序框图循环结构，代入计算可得结果. 【详解】根据流程框图可知，第一次计算结果为110,4822s n =+==<；第二次循环计算可得113,68244s n =+==<；第三次循环计算可得3111,884612s n =+===，不满足8n <，循环结束，此时输出1112s =.故选：A6. 已知向量()()1,0,1,1OA OB == ，O 为坐标原点，动点(),P x y 满足约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩，则2z x y =-的最大值为（）A. 2-B. 2C. 3-D. 3【答案】D 【解析】的【分析】利用向量数量积的坐标表示得出约束条件，画出可行域并利用直线的截距的几何意义求得结果.【详解】易知(),OP x y =，所以约束条件0102OP OA OP OB ⎧≤⋅≤⎪⎨≤⋅≤⎪⎩即为0102x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩，画出可行域如下图阴影部分所示：将目标函数2z x y =-变形可得1122y x z =-，当其在y 轴上的截距最小时，z 的取值最大；对直线y x =-，令1x =，则1y =-，则()1,1A -，显然当直线12y x =平移到过点()1,1A -时，z 取最大值3. 故选：D7. 2023年7月28日至8月8日，第31届世界夏季大学生运动会在成都市举行，组委会将5名大学生分配到A ，B ，C 三个路口进行引导工作，每个路口至少分配一人，每人只能去一个路口．若甲、乙要求去同一个路口，则不同的分配方案共有（） A. 18种 B. 24种 C. 36种 D. 48种【答案】C 【解析】【分析】按照分组分配问题先将5人分情况讨论并分成三组，再分配到三个路口进行计算可得结果. 【详解】第一步：先将5名大学生分成三组，每组人数为1，1，3或1，2，2；当分为1，1，3时，且甲、乙要求去同一个路口，则甲、乙必须在3人组，因此只需从剩下的3人中任选一人，其余两人各自一组，共有13C 种分法；当分为1，2，2时，且甲、乙要求去同一个路口，则将剩下的3人分成两组即可，共有1232C C 种分法；第二步：再将分好的三组人员分配到三个路口，共有33A 种分配方案；因此共()11233323C C C A 36+=种. 故选：C8. α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是 A. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ B. ,,m αγαγβγ⋂=⊥⊥ C. ,,m αγβγα⊥⊥⊥ D. ,,l m l αβαβ⊥⋂=⊥【答案】A 【解析】【详解】解：因为α，β，γ为不同的平面，m ，n ，l 为不同的直线，则m ⊥β的一个充分条件是,,n n m αβα⊥⊥⊥，选A9. 如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系．eax by +=(a ，b ．为常数)，若该果蔬在7℃的保鲜时间为288小时，在21℃ 的保鲜时间为32小时，且该果蔬所需物流时间为4天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（） A. 14℃ B. 15℃C. 13℃D. 16℃【答案】A 【解析】【分析】根据给定的函数模型建立方程组，再列出不等式即可求解.【详解】依题意，721e 288e32a b a b ++⎧=⎨=⎩，则141e 9a =，即71e 3a=，显然a<0，设物流过程中果蔬的储藏温度为t ℃，于是2172114e 963e e e e at b a b a a b a b ++-++≥=⋅=⋅=，解得14at b a b +≥+，因此14t ≤，所以物流过程中果蔬的储藏温度最高不能超过14℃. 故选：A10. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为，则该多面体外接球的表面积为（）A. 8πB. 4πC. 2πD.4π3【答案】A 【解析】【分析】将该多面体补全为正方体，得出该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，求出该正方体的棱长得出棱切球半径，计算得到表面积. 【详解】将“阿基米德多面体”补全为正方体，如下图所示：不妨取两棱中点为,E F ，由题知EF =易知,BE BF BE BF ⊥=，可得1BE BF ==，所以正方体的棱长为2，该多面体的外接球即为正方体1111ABCD A B C D -的棱切球，所以棱切球的直径为该正方体的面对角线，长度为，所以其表面积为24π8πS ==.故选：A11. 设12,F F 是双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点，O 是坐标原点，点P 是C 上异于实轴端点的任意一点，若2212||||||2PF PF OP a -=，则C 的离心率为（）A.B.C. 3D. 2【答案】D 【解析】【分析】设出点P 坐标，利用两点间距离公式，结合点P 在双曲线上及给定等式化简计算即得.【详解】令双曲线2222:1x y C a b-=的焦点12(,0),(,0)F c F c -，设000(,),0P x y y ≠，则2200221x y a b -=，即有2222002b y x b a=-，1||PF ==0||c x a a==+，同理20||||c PF x a a =-，而22x a ≥，故22222020c x a c a a-≥->，因此22222222222221200000222||||||c b a PF PF OP x a x y x y a b a a a=-=---=--=-，即223b a =，所以双曲线C的离心率2c e a ===.故选：D12. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，且()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，()()424e x f x f x --=，则不等式()()3e ln 3f x xf <的解集是（）A. ()30,eB. ()31,eC. ()3e,eD. ()3e ,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据题意可构造函数()()exf x F x =，求得()Fx 的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结的果.【详解】构造函数()()e xf x F x =，则()()()exf x f x F x '-'=；因为()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'，所以当2x >时，()()0f x f x '->，即()0F x '>，此时()F x 在()2,+∞上单调递增；当2x <时，()()0f x f x '-<，即()0F x '<，此时()F x 在(),2-∞上单调递减；又()()424exf x f x --=，所以()()44eexxf x f x --=，即()()4F x F x -=；所以函数()F x 图象上的点()(),x F x 关于2x =的对称点()()4,x F x -也在函数图象上，即函数()F x 图象关于直线2x =对称，不等式()()3e ln 3f x xf <变形为()()3ln 3e f x f x <，即()()ln 3ln 3e exf x f <；可得()()()ln 31F x F F <=，又()F x 在()2,+∞上单调递增，在(),2-∞上单调递减，所以1ln 3x <<，解得3e e x <<. 故选：C【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据()()()20x f x f x ⎡⎤-->⎣⎦'的结构特征构造函数()()e xf x F x =，判断出其单调性，再由()()424exf x f x --=得出其对称性解不等式即可.第 Ⅱ 卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡上．13. 已知函数 f (x )═cos(x +θ)是奇函数，则θ的最小正值为___________．【答案】π2【解析】【分析】根据题意可得ππ,k Z 2k θ=+∈，可求θ的最小正值. 【详解】由函数cos()y x θ=+为奇函数，可得ππ,Z 2k k θ=+∈，则θ的最小正值为π2.故答案为：π2.14. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ；已知π3C =，若向量()()4,,,4m c a b n a b c =--=-+ 满足//m n u r r，则ABC 的面积为__________．【答案】【解析】【分析】利用向量平行的坐标表示可得222216a b c ab +-=-，再由余弦定理解得16ab =，利用面积公式可得结果.【详解】根据题意由//m n u r r可得()()()()440c c a b a b -+---=，整理可得222216a b c ab +-=-；又π3C =可知222π2cos 3a b c ab +-=，即可得216ab ab -=，解得16ab =；所以ABC 的面积为1sin 2S ab C ==.故答案为：15. 已知两点(1,0),(1,0)M N -，若直线0x y m -+=上存在唯一点 P 满足 0PM PN ⋅=，则实数m 的值为__________．【答案】【解析】【分析】设出点P 的坐标，求出点P 的轨迹，再根据直线与圆相切求出m 的值.【详解】设点(,)P x y ，则)(1,),(1,PM PN x y x y ==----- ，由0PM PN ⋅=，得221x y +=，因此点P 在以原点为圆心，1为半径的圆上，显然直线0x y m -+=与此圆相切，1=，解得m =，所以实数m 的值为.故答案为：16. 已知F 为抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于不同的两点A 、B ，若抛物线C 在A 、B 两点处的切线相交于点P ，则24PF AB+的最小值为_______．【答案】5 【解析】【分析】设出直线方程并于抛物线联立，利用焦点弦公式求得AB AF BF =+的表达式，再利用导数求得切线方程得出P 点坐标，可得222444444PF k AB k +=+++，再由对勾函数性质即可得出其最小值. 【详解】由抛物线2:4C x y =可知()0,1F ，显然直线l 的斜率一定存在，可设直线l 的方程为1y kx =+，()()1122,,,A x y B x y ；如下图所示：联立抛物线和直线l 的方程241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，消去y 可得2440x kx --=；由韦达定理可得12124,4x x k x x +==-；利用焦点弦公式可得()2121212112444AB AF BF y y y y k x x k =+=+++=++=++=+；由24x y =可得24x y =，求导可得2x y '=，所以抛物线在点A 处的切线方程为()1112x y y x x -=-，由2114x y =，整理可得21124x x y x =-；同理可得点B 处的切线方程为22224x x y x =-；联立解得1212,24x x x x P +⎛⎫⎪⎝⎭，即()2,1P k -；可得()()222221144PFk k =+--=+；所以222444444PF k AB k +=+++，令[)2444,k t ∞+=∈+，则244PF t AB t+=+；利用对勾函数性质可知函数4y t t=+在[)4,∞+上单调递增，所以2444454PF t AB t +=+≥+=，当且仅当0k =时，等号成立；即24PF AB+的最小值为5. 故答案为：5【点睛】关键点点睛：在求解抛物线在某点处的切线方程时，经常利用导数的几何意义得出切线方程表达式即可解得交点坐标，再由焦点弦公式得出24PF AB+的表达式可求得最小值. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且{}n b 的前n 项和为()11543,22,5n S a b a a a ===-，在①()5434b b b =-，②12n n b S +=+这两个条件中任选其中一个，完成下面问题的解答．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;（2）设数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，是否存在*,N m n ∈，使得n m T a =若存在，求出所有满足题意的,m n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()*Nn a n n =∈，()*2,N n nbn =∈（2）1,2m n == 【解析】【分析】（1）根据等差数列定义可求得n a n =，利用等比数列定义根据条件①②列方程组解得公比可得2n n b =；（2）利用错位相减法求出222n n n T +=-，易知m a m =，又*,N m n ∈可得1,2m n ==. 【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由()154322,5a a a a ==-可得()1114532a d a d a d +=+--，解得11a d ==；所以()11n a a n d n =+-=，即数列{}n a 的通项公式为()*N n a n n =∈设等比数列{}n b 的公比为q ，若选择条件①，()5434b b b =-，由12b =且()5434b b b =-，可得()4321114b q b q b q=-，即2440q q -+=，解得2q =，所以{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列，可得()1*222N n n n b n -=⨯=∈；即数列{}n b 的通项公式为()*2N nn b n =∈；若选择条件②，12n n b S +=+，令1n =，则2124b S =+=，所以公比212b q b ==，此时122n n S +=-，经检验满足题意，即{}n b 是以12b =为首项，公比为2的等比数列，所以()*2N nn b n =∈【小问2详解】假设满足题意得,m n 存在，因231123122222n n n n n T --=+++⋅⋅⋅++，所以234111*********n n n n n T +-=+++⋅⋅⋅++，两式相减可得23411111122111231111222222222212nn n n n n n n n n T +++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=++++⋅⋅⋅+-=-=---；所以222n n n T +=-，因为22n n +>0，所以2222n nn T +=-<；所以由n m T a =可得222n n m +-=，即2m <，又*N m ∈，所以1m =，即2212n n +-=，解得2n =，因此满足题意的,m n 存在，且1,2m n ==.18. 某公司为了确定下季度的前期广告投入计划，收集并整理了近6个月广告投入量x (单位：万元)和收益y (单位：万元)的数据如表(其中有些数据污损不清)：月份12 3456 广告投入量27810收益20303437他们分别用两种模型①y bx a =+，②e bx y a =进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型?为（2）残差绝对值大于2 的数据被认为是异常数据，需要剔除．（i ）剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；（ii ）若广告投入量x =19，则（1）中所选模型收益的预报值是多少万元?(精确到0.01)附：对于一组数据 ()()()1122,,,n n x y x y x y ，，，，其回归直线 ˆˆˆy bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 1122211()(ˆˆˆ()n niii ii i nni i i i x x y y x y nx ybay bx x x x nx====---===---∑∑∑∑. 【答案】（1）模型①；（2）（i ）105405ˆ3838yx =+；（ii ）63.16. 【解析】【分析】（1）观察残差图，利用残差波动大小选择.（2）（i ）利用给定数据，计算最小二乘法公式中相关量，求出回归直线方程；（ii ）利用求得的回归方程进行数据估计. 【小问1详解】由于模型①残差波动小，应该选择模型①. 【小问2详解】（i ）剔除异常数据，即3月份的数据，剩下数据的平均数为1(767)75x =⨯⨯-=， 1(30630)305y =⨯⨯-=，5114702101260i i i x y ==-=∑，515210i i i x y x y =-=∑，52137049321i i x ==-=∑，5221576i i x x =-=∑，105105405ˆˆˆ,307383838ba y bx ==-=-⨯=，所以所选模型的回归方程为105405ˆ3838yx =+. （ii ）若广告投入量19x =，则该模型收益的预报值是10540512001963.16383819⨯+=≈(万元).19. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点，过11B C 的平面交棱AB 于 E ，交 AC 于F ．（1）求证:平面1A AD ⊥平面11EB C F ；（2）若1A AD 是等边三角形，4AB =，求二面角1D AA C --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）先证明BC⊥平面1A AD ，再证明面面垂直即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得解. 【小问1详解】连接11,A B A C ，因为1111,,A AB A AC AB AC AA AA ∠=∠==，所以11A AB A AC ≌△△，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为AB AC =，D 为BC 的中点，所以BC AD ⊥ 因为11,,A D AD D A D AD =⊂ 平面1A AD ，所以BC⊥平面1A AD ，又11//B C BC ，所以11B C ⊥平面1A AD ，又11B C ⊂平面11EB C F ，所以平面1A AD ⊥平面11EB C F .【小问2详解】取AD 的中点O ，连接1AO ，因为1A AD 是等边三角形，所以1A O AD ⊥，由(1)可知BC ⊥平面1A AD ，则1,,BC AD A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z轴建立空间直角坐标系O xyz -，如图，因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD 是等边三角形，所以13AO =，所以)()()()1,0,0,3,2,0,2,0A A B C -则()()1,2,0AA AC ==-- ，设平面1AA C 的法向量为(,,)n x y z =，由13020n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩ ，令1z =，得)3,1n =- . 易知平面1AA C 的一个法向量为()0,4,0BC =- ，记二面角1D AA C --的大小为θ，则|||cos |||||n BC n BC θ⋅=== ，故二面角1D AA C --正弦值为sin θ==. 的20. 已知椭圆 2222:1(0)x y a b b α+=>>的离心率为其左右焦点分别为 F F ₁、₂，下顶点为A ，右顶点为B ，1ABF 的面积为1+（1）求椭圆 C 的方程;（2）设不过原点O 的直线交C 于M 、N 两点，且直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列，求MON △ 面积的取值范围．【答案】（1）2214x y += （2）()0,1【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率及1ABF 的面积列式可得结果；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及条件得到m 与k 的关系，由点到直线的距离公式、弦长公式表示面积，构造函数可得结果.【小问1详解】依题意c e c a ==⇒=，又222223142a b c b a b a =+=+⇒=，又()12111112224ABF a S a c b a a a ⎛⎫⎛=+=+⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ，所以224,1a b ==，所以椭圆 C 的方程为2214x y +=. 【小问2详解】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线：(),0y kx m m =+≠，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线和椭圆2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简得()222148440k x kmx m +++-=，由题意可知()()()222Δ8414440km k m =-+->，即2214k m +>，且2121222844,1414km m x x x x k k--+==++，则()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++ ()222222224484141414m km m k k km m k k k --=-+=+++，又直线,,OM MN ON 的斜率依次成等比数列。

2020年四川省德阳市高考(文科)数学第二次诊断测试试卷含解析

2020年高考（文科）数学第二次诊断测试试卷一、选择题（共12小题）.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．2D．2．函数的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3} 3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．44．函数在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．5．要得到函数的图象，只须将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移6．已知，（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a7．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（）A．B．4C．2D．8．不等式组表示的平面区域为Ω，则（）A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5C．D．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，且．则向量在上的投影为（）A．2B．﹣2C．D．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．1≤a≤5B．2≤a≤5C．a≥1D．a≤512．△ABC是边长为2的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF∥BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P﹣BCFE的体积的最大值为（）A．2B．C．3D．2二、填空题13．已知函数f（x）＝x2+ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：x﹣3y+2＝0垂直，则实数a的值为14．在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是15．已知已知a、b为正实数，直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，则ab的最小值为16．在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C＝sin A，O为坐标原点，若点P的坐标为（4，0），则的取值范围为三、解答题：解答）ni写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2对一切n∈N*成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）若AB＝2，PD⊥PB，求三棱锥P﹣BDM的体积．19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产210吨该产品，以x（单位：吨，180≤x≤230）表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．（1）求实数a的值；（2）将Y表示成x的函数，并求出解析式；（3）估计销售利润不少于910万元的概率．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为抛物线y2＝4x的焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为﹣．求证：△MON的面积为定值．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，且x1＜x2．，求证：．请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA 的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；（2）若正数m、n满足m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．参考答案一、选择题：共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝（）A．B．C．2D．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解：z＝＝1﹣i．∴|z|＝＝．故选：D．2．函数的定义域为A，集合B＝{x|log2（x+1）＞1}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x≤2}B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|1＜x＜3}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：集合A＝{x|﹣2≤x≤2}，log2（x+1）＞1，可得x＞1，即B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|1＜x≤2}，故选：A．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x值的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据程序框图一步一步倒着进行运算．解：由于输出结果y＝3，根据跳出循环时条件可知：若3＝log2（x+1），解之得x＝7，符合题意；若3＝x2﹣1，解之得x＝±2，符合题意；所以x可以取7，±2，故选：C．4．函数在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性可排除选项B，再由特殊点的函数值可排除C，由函数在时的范围可排除D．解：，故函数f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，由此可排除选项B；又，故可排除C；又时，x cos x＜ln（e x+e﹣x），故，由此可排除D．故选：A．5．要得到函数的图象，只须将函数y＝sin2x的图象（）A．向左平移B．向右平移C．向左平移D．向右平移【分析】令y＝f（x）＝sin2x，则f（x+）＝sin2（x+）＝sin（2x+），从而可得答案．解：令y＝f（x）＝sin2x，则f（x+）＝sin2（x+）＝sin（2x+），∴要得到函数y＝sin2（x+）的图象，只须将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，故选：C．6．已知，（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵，，，∴c最大，∵＞，∴a＞b，∴b＜a＜c，故选：A．7．已知l为抛物线x2＝4y的准线，抛物线上的点M到l的距离为d，点P的坐标为（4，1），则|MP|+d的最小值是（）A．B．4C．2D．【分析】由抛物线的性质可得抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以当且仅当P，F，M三点共线时，且P，M在F的同一侧时|MP|+d取到最小值．解：由抛物线的方程可得P在抛物线的外部，由抛物线的性质可得：抛物线的点M到准线的距离等于到焦点的距离，所以|MP|+d≥PF＝4，当且仅当P，M，F三点共线时取等号，故选：B．8．不等式组表示的平面区域为Ω，则（）A．∀（x，y）∈Ω，x+2y＞3B．∃（x，y）∈Ω，x+2y＞5C．D．【分析】画出对应的平面区域，转化为求z＝x+2y和k＝的取值范围，数形结合求解即可．解：不等式组对应的平面区域如图：⇒A（1，2）；⇒B（2，1）；令z＝x+2y，平移x+2y＝0，则当其过点A时，z＝x+2y取最大值：1+2×2＝5，当其过点O时，z＝x+2y取最小值：0+2×0＝0；即：0≤x+2y≤5；故AB都错；∵设k＝表示平面区域内的点与定点D（1，﹣2）连线的斜率；由图可得：k≥k BD＝＝3或k≤k OD＝﹣2；∴C错D对；故选：D．9．平行四边形ABCD中，已知AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，且．则向量在上的投影为（）A．2B．﹣2C．D．【分析】根据其数量积以及已知条件可以求得cos∠DAB，再代入投影的定义求解即可．解：如图；因为AB＝4，AD＝3，点E、F分别满足，所以：AE＝2，DE＝1，DF＝FC＝2；∵＝（+）•（+）＝（+）•（﹣+）＝﹣•﹣＝×32﹣×3×4×cos∠DAB×42．∴cos∠DAB＝；向量在上的投影为：||cos∠DAB＝3×＝．故选：C．10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝60°，b＝3，AD为BC边上的中线，若AD＝，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】设CD＝DB＝x，利用两次余弦定理求得c2＝2x2+；再利用角A＝60°，即可求出c，进而求得结论．解：如图；设CD＝DB＝x；则cos∠ADC＝＝＝；①cos∠ADB＝＝＝；②∵∠ADC+∠ADB＝180°；∴①+②＝0⇒c2＝2x2+③；∵A＝60°，∴BC2＝AC2+AB2﹣2AC•AB cos∠CAB⇒（2x）2＝c2+32﹣2c×3×＝c2+9﹣3c④③④联立得：c2+3c﹣40＝0⇒c＝5（﹣8舍）；∴△ABC的面积为：bc sin A＝．故选：B．11．已知实数a＞0，a≠1，函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．1≤a≤5B．2≤a≤5C．a≥1D．a≤5【分析】根据题意，对于函数分2段分析：当x＜1，f（x）＝a x，由指数函数的性质分析可得a＞1①，当x≥1，f（x）＝x2++alnx，由导数与函数单调性的关系可得f′（x）＝2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，变形可得a≥2②，再结合函数的单调性，分析可得a≤1+4③，联立三个式子，分析可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝在R上单调递增，当x＜1，f（x）＝a x，若f（x）为增函数，则a＞1，①当x≥1，f（x）＝x2++alnx，若f（x）为增函数，必有f′（x）＝2x﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，变形可得：a≥﹣2x2，又由x≥1，分析可得﹣2x2≤2，若a≥﹣2x2在[1，+∞）上恒成立，则有a≥2，②若函数f（x）在R上单调递增，则有a≤1+4，③联立①②③可得：2≤a≤5，故选：B．12．△ABC是边长为2的等边三角形，E、F分别在线段AB、AC上滑动，EF∥BC，沿EF把△AEF折起，使点A翻折到点P的位置，连接PB、PC，则四棱锥P﹣BCFE的体积的最大值为（）A．2B．C．3D．2【分析】先根据平面AEF⊥平面EFCB时，体积才最大，再设EF＝2a；把所求体积转化为关于a的函数，利用导数，即可求出当a为何值时，四棱锥A﹣EFCB的体积最大，并求出最大值．解：要想体积最大，高得最大，底面积也得最大，当平面AEF⊥平面EFCB时，体积才最大；设EF＝2a；设O为EF的中点，如图：∵等边△ABC中，点E，F分别为AB，AC上一点，且EF∥BC，∴AE＝AF，∵O为EF的中点，∴AO⊥EF，∵平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB＝EF，∴AO⊥平面EFCB，∵EF＝2a，∴AO＝a．∴四棱锥A﹣EFCB的体积V＝××（2a+2）×（3﹣a）×a＝a（a+）（﹣a）＝3a﹣a3，∴V′＝3﹣3a2＝0，∴a＝1 （负值舍），0＜a＜1，V单调递增，＞a＞1，V单调递减，∴a＝1，四棱锥A﹣EFCB的体积最大，最大值为：3﹣1＝2．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上.13．已知函数f（x）＝x2+ax的图象在点A（1，f（1））处的切线与直线l：x﹣3y+2＝0垂直，则实数a的值为﹣5【分析】根据切线与已知直线垂直，切线的斜率可求，再利用切点处导数值就是切线斜率列出方程，求出a的值．解：f′（x）＝2x+a，切线的斜率为﹣3，所以f′（1）＝2+a＝﹣3，所以a＝﹣5，故答案为：﹣5．14．在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是【分析】现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：＝10，求出取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括的基本事件，即可得出概率．解：现从5个小球中随机取出2个小球，基本事件总数为：＝10，则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的包括以下四个基本事件：（1，3），（2，4），（3，5），（1，5）（数字没有先后顺序）．∴取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率P＝＝．故答案为：．15．已知已知a、b为正实数，直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，则ab的最小值为【分析】由已知利用垂径定理可得a+b＝1，结合a、b为正实数，得0＜a＜1，则ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，再由二次函数求最值．解：由直线x+y+1＝0截圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝4所得的弦长为，得圆心（a，b）到直线x+y+1＝0的距离d＝，即a+b＝1．∵a、b为正实数，∴0＜a＜1，则ab＝a（1﹣a）＝﹣a2+a，当a＝时，ab取得最小值为．故答案为：．16．在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C＝sin A，O为坐标原点，若点P的坐标为（4，0），则的取值范围为（12，+∞）【分析】根据sin B﹣sin C＝sin A，结合正弦定理得到点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上；设出A的坐标，代入数量积即可求解结论．解：设A（x，y），因为在△ABC中，B、C的坐标分别为，且满足sin B﹣sin C ＝sin A，所以：b﹣c＝a；即|AC|﹣|AB|＝×4＝4＜|BC|＝4；∴点A在以B，C为焦点的双曲线的左支上，且不在X轴上且a＝2，c＝2；∴﹣＝1（x＜﹣2）；则＝（﹣x，﹣y）•（4﹣x，﹣y）＝x2+y2﹣4x＝2（x﹣1）2﹣6；∵x＜﹣2；∴＞12；∴的取值范围为（12，+∞）；故答案为：（12，+∞）．三、解答题：解答）ni写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}满足：21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2对一切n∈N*成立．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和S n．【分析】本题第（1）题先将n＝1代入题干中表达式计算出a1的值，当n≥2时，由21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2，可得21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•a n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减，进一步计算可得a n的表达式，再验证下a1是否符合表达式，即可得到数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法计算出前n项和S n．解：（1）由题意，当n＝1时，21•a1＝2，解得a1＝1，当n≥2时，由21•a1+22•a2+23•a3+…+2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2，可得21•a1+22•a2+23•a3+…+2n﹣1•a n﹣1＝（n﹣2）•2n+2，两式相减，可得2n•a n＝（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n﹣2＝[2（n﹣1）﹣（n﹣2）]•2n＝n•2n，∴a n＝n，当n＝1时，a1＝1也符合上式，∴a n＝n，n∈N*．（2）由（1）知，＝＝（﹣），∴S n＝++++…++＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）+（﹣）＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）＝（1+﹣﹣）＝．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，△ABD为等边三角形，△BCD是等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，PC⊥BD，平面PBD⊥平面ABCD，M为PA中点．（1）求证：DM∥平面PBC；（2）若AB＝2，PD⊥PB，求三棱锥P﹣BDM的体积．【分析】（1）设AB的中点为N，连结MN，DN，则DN⊥AB，推导出CB⊥AB，由DN⊥AB，得DN∥BC，从而DN∥平面PBC，推导出MN∥PB，从而MN∥平面PBC，进而平面DMN∥平面PBC，由此能证明DM∥平面PBC．（2）设BD中点为O，连结AO，CO，推导出BD⊥平面PCO，三棱锥P﹣BDM的体积为：V P﹣BDM＝＝，由此能求出结果．解：（1）证明：设AB的中点为N，连结MN，DN，∵△ABD是等边三角形，∴DN⊥AB，∵DC＝CB，∠DCB＝120°，∴∠CBD＝30°，∴∠ABC＝60°+30°＝90°，∴CB⊥AB，∵DN⊥AB，∴DN∥BC，∵BC⊂平面PBC，DN⊄平面PBC，∴DN∥平面PBC，∵MN为△PAB的中位线，∴MN∥PB，∵PB⊂平面PBC，MN⊄平面PBC，∴MN∥平面PBC，∵MN，DN为平面DMN内二相交直线，∴平面DMN∥平面PBC，∵DM⊂平面DMN，∴DM∥平面PBC．（2）解：设BD中点为O，连结AO，CO，∵△ABD为等边三角形，△BCD为等腰三角形，且顶角∠BCD＝120°，∴AO⊥BD，CO⊥BD，∴A，C，O共线，∵PC⊥BD，BD⊥CO，PC∩CO＝C，PC、CO⊂平面PCO，∴BD⊥平面PCO，∵PO⊂平面PCO，∴BD⊥PO，∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，PO⊂平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∵AB＝2，∴AO＝3，∵PD⊥PB，O为BD中点，∴PO＝BD＝，∴三棱锥P﹣BDM的体积为：V P﹣BDM＝＝＝＝．19．贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指标．党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战，建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署，即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困，实现全面建成小康社会的奋斗目标．为了响应党的号召，某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作．对某种农产品加工生产销售进行指导，经调查知，在一个销售季度内，每售出一吨该产品获利5万元，未售出的商品，每吨亏损2万元．根据往年的销售．经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．设该厂在下个销售周期内．生产210吨该产品，以x （单位：吨，180≤x≤230）表示下一个销售周期市场的需求量，Y（单位：万元）表示下一个销售周期市场的销售总利润，视x分布在各区间内的频率为相应的概率．（1）求实数a的值；（2）将Y表示成x的函数，并求出解析式；（3）估计销售利润不少于910万元的概率．【分析】（1）根据频率之和为1，可解得，（2）根据题意求出每一段的解析式，（3）由（2）算出符合不少于910万元的频率，再算出概率．解：（1）由（0.01+0.015+a+0.03+0.01）×10＝1，解之得a＝0.035．（2）当x≥210时，Y＝210×5＝1050，当x＜210时，Y＝5x﹣（210﹣x）×2＝7x﹣420，∴．（3）当210≤x≤230时，Y＝1050＞910，由7x﹣420≥910得：x≥190，P（x≥190）＝1﹣0.01×10＝0.9．∴估计销售利润不少于910万元的概率为0.9．20．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点为抛物线y2＝4x的焦点F．（1）求椭圆C的标准方程；（2）O为坐标原点，过O作两条射线，分别交椭圆于M、N两点，若OM、ON斜率之积为﹣．求证：△MON的面积为定值．【分析】（1）由题意可知，c＝1，再结合离心率可求出a的值，再利用a2＝b2+c2求出b的值，即可得到椭圆C的标准方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由k OM•k ON＝﹣可得4x1x2+5y1y2＝0，当直线MN的斜率不存在时，易求S△MON＝＝，当直线MN的斜率存在时，设y＝kx+b，与椭圆方程联立，利用韦达定理代入4x1x2+5y1y2＝0，可得4+5k2＝2b2，利用弦长公式求出|MN|＝4，又原点（0，0）到直线MN的距离d＝，所以S△MON＝，故△MON的面积为定值．解：（1）由题意可知，F（1，0），∴c＝1，又∵e＝，∴a＝，b2＝a2﹣c2＝4，∴椭圆C的标准方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），∴k OM•k ON＝，∴4x1x2+5y1y2＝0，①当直线MN的斜率不存在时，x1＝x2，y1＝﹣y2，∴，又∵，∴，，∴S△MON＝＝；②当直线MN的斜率存在时，设y＝kx+b，联立方程，消去y得：（4+5k2）x2+10kbx+5b2﹣20＝0，∴，，∴y1y2＝（kx1+b）（kx2+b）＝＝，∴4x1x2+5y1y2＝+＝＝0，∴4+5k2＝2b2，∴|MN|＝＝4＝4，又∵原点（0，0）到直线MN的距离d＝，∴S△MON＝＝4•＝，综上所求，△MON的面积为定值．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x（a∈R，e为自然对数的底数）．（1）若f（x）有两个零点，求实数a的取值范围；（2）若f（x）有两个零点x1、x2，且x1＜x2．，求证：．【分析】（1）f（x）有两个零点⇔a＝有两个相异实根，构造函数，利用导数求出函数的值域，即可确定a的范围；（2）f（x）有两个零点x1、x2，可得a＝，a（x1+x2）＝lnx1+lnx2，要证x1x2＞e2，只要证lnx1+lnx2＞2，转化为lnt+﹣2＞0，再构造函数，求出函数最值即可证明．解：（1）f（x）有两个零点⇔关于x的方程e ax＝x有两个相异实根，由e ax＞0，知x＞0，∴f（x）有两个零点⇔a＝有两个相异实根，令g（x）＝，∴g′（x）＝，由g′（x）＞0，可得0＜x＜e，由g′（x）＜0，可得x＞e，∴g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴g（x）max＝g（e）＝，∵g（1）＝0，∴当0＜x＜1时，g（x）＜0，当x＞1时，g（x）＞0，当x→+∞时，g（x）→0，∴f（x）有两个零点时，实数a的取值范围为（0，）．（2）由题意可得，∴x1＞0，x2＞0，∴ax1＝lnx1，ax2＝lnx2，∴a（x1+x2）＝lnx1+lnx2，∴a（x1﹣x2）＝lnx1﹣lnx2，∵x1＜x2．∴a＝，要证x1x2＞e2，只要证lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2）＝（x1+x2）＝•ln，设t＝＞1，∴只要证lnx1+lnx2＝•lnt＞2，即证lnt＞＝2﹣，即证lnt+﹣2＞0，设h（t）＝lnt+﹣2，t＞1，∴h′（t）＝﹣＝＞0，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，∴h（t）＞h（1）＝0，∴lnt+﹣2＞0，即lnx1+lnx2＞2，故x1x2＞e2．请考生在22、23二题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知点A为圆C：（x﹣1）2+y2＝1上的动点，O为坐标原点，过P（0，4）作直线OA 的垂线（当A、O重合时，直线OA约定为y轴），垂足为M，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程为，连接OA并延长交l于B，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）设点M的极坐标为（ρ，θ），所以根据题意，在△OPM中，有ρ＝4sinθ，所以点M的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（2）设射线OA：θ＝α，（α∈（）），圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．由得到|OA|＝ρ1＝2cosα．由得：，所以＝＝＝．由于α∈（），所以，当，即，故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|．（1）求不等式f（x）≤4﹣|2x﹣3|的解集；（2）若正数m、n满足m+2n＝mn，求证：f（m）+f（﹣2n）≥8．【分析】（1）将所求不等式转化为不等式组求解即可；（2）利用基本不等式可知m+2n≥8，再利用绝对值不等式的性质即可得证．解：（1）f（x）≤4﹣|2x﹣3|等价于或或，解得或或，综上，不等式的解集为{x|0≤x≤2}；（2）证明：∵m＞0，n＞0，m+2n＝mn，∴，∴m+2n≥8，当且仅当m＝4，n＝2时取等号，∴f（m）+f（﹣2n）＝|m+1|+|﹣2n+1|≥|m+2n|≥8，当且仅当﹣2n+1≤0时取等号，∴f（m）+f（﹣2n）≥8．。

2020届四川省德阳市高三下学期质量检测考试(三)数学理科试题(原卷版)

阳市高中2017级质量检测考试（三）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|20}A x x x =-=，集合{1,2,3}B =，则下列结论正确的是（） A. 2()A B ⊆⋂B. 2()A B ∈⋂C. A B φ⋂=D. A B B ⋃=2.设向量(1,1),(2,)a b x =-=rr ，若//a b r r，则x =（） A. 1B. 1-C. 2D. 2-3.已知随机变量ξ服从正态分布2(2)N σ，，(4)0.84P ξ=≤，则(0)P ξ=≤（）A .0.16B. 0.32C. 0.68D. 0.844.若,a b ∈R ，则“220a b +≠”是“,a b 不全为零”（） A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件5.设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂（） A. 若l β⊥，则αβ⊥ B. 若αβ⊥，则l m ⊥ C. 若//l β，则//αβ D. 若//αβ，则//l m6.已知,x y 为正实数，则433x yx y x++的最小值为（）A.53 B.103C. 32D. 37.设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则112233202020202020202020202020C x C x C x C x+++⋅⋅⋅+=（） A. 1i +B. i -C. iD. 08.设x θ=，当函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则sin θ=（）A.B.C.D.9.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任去3张，要求这3张卡片各是一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法的种数为（） A. 472B. 256C. 232D. 48410.已知腰长为2的等腰直角三角形中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =u u u r，则PC PM ⋅u u u r u u u u r的最小值为（）A. 8-B. 8+C. 4-D. 4+11.已知()f x 是定义在(0,)2π内的函数，满足()()tan f x f x x '<恒成立，则（）A. ()()63f ππ<B.()()43ππC.()()64f ππ> D. (1)2()sin16f f π<12.设2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，O 为坐标原点，过2F 的直线交双曲线的右支于点P ，N ，直线PO 交双曲线C 于另一点M ，若2253MF PF =，且260MF N ︒∠=，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C.D.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知实数x y 、满足线性约束条件114x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩,则目标函数2z x y =+的最大值是______.14.已知函数()()33log ,01,0x x f x x x >⎧⎪=⎨-+≤⎪⎩，则((2))f f -=__________． 15.《张丘建算经》是中国古代的著名数学著作，该书表明：至迟于公元5世纪，中国已经系统掌握等差数列的相关理论，该书上卷22题又“女工善织问题”：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月曰织九匹三丈，问日益几何？”，大概意思是：有一个女工人善于织布，每天织布的尺数越来越多且成等差数列，第一天知5尺，30天共织九匹三丈，问每天增加的织布数目是多少寸？答案是__________寸．（注：当时一匹为四丈，一丈为十尺，一尺为十寸，结果四舍五入精确到寸）16.在四面体ABCD 中，=2,60,90AB AD BAD BCD =∠=︒∠=︒，二面角A BD C --的大小为150︒，则四面体ABCD 外接球的半径为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若21cos +222A bc= （1）求角C（2）BM 平分CBA ∠交AC 于点M ，且1,6BM c ==，求cos CAB ∠.18.在四棱锥P ABCD -中，1//,,2AD BC AB BC CD AD G ===是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（1）求证：CD ⊥平面GAC ；（2）求CP 与平面APG 所成角的余弦值. 19.已知函数()ln 1()f x ax x a R =--∈ （1）求()f x 的极值；（2）若0x ∃>，使得()ln f x x ≤成立，求实数a的取值范围.20.已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>经过点(4,0)A ，离心率22e =. （1）求椭圆T 的方程；（2）设点B 为椭圆与y 轴的交点，点C 为线段AB 的中点，点P 是椭圆T 上的动点（异于椭圆顶点）且直线P A ，PB 分别交直线OC 于M ，N 两点，问OM PN ⋅是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.21.2019年，中国的国内生产总值（GDP ）已经达到100亿元人民币，位居世界第二，这其中实体经济的贡献功不可没，实体经济组织一般按照市场化原则运行，某生产企业一种产品的成本由原料成本及非原料成本组成，每件产品的非原料成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据绘制了如下的散点图现考虑用反比例函数模型b y ax=+和指数函数模型dxy ce=分别对两个变量关系进行拟合，为此变换如下：令1ux=，则y a bu=+，即y与u也满足线性关系，令lnv y=，则lnv c dx=+，即,v x也满足线线关系，这样就可以使用最小二乘法求得非线性回归方程，已求得用指数函数模型拟合的回归方程为$96.54,dxy e v=与x的相关系数10.94r=-，其他参考数据如下（其中1,lni i iiu v yx==）（1）求指数函数模型和反比例函数模型中y关于x的回归方程；（2）试计算y与u的相关系数2r，并用相关系数判断：选择反比例函数和指数函数两个模型中哪一个拟合效果更好（精确到0.01）？（3）根据（2）小题的选择结果，该企业采用订单生产模式（即根据订单数量进行生产，产品全部售出），根据市场调研数据，该产品定价为100元时得到签到订单的情况如下表：订单数（千件）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11概率1012⎛⎫⎪⎝⎭912⎛⎫⎪⎝⎭812⎛⎫⎪⎝⎭712⎛⎫⎪⎝⎭612⎛⎫⎪⎝⎭512⎛⎫⎪⎝⎭412⎛⎫⎪⎝⎭312⎛⎫⎪⎝⎭212⎛⎫⎪⎝⎭121012⎛⎫⎪⎝⎭已知每件产品的原来成本为10元，试估算企业的利润是多少？（精确到1千元）参考公式：对于一组数据1122(,),(,),,(,)n nu v u v u v⋅⋅⋅，其回归直线v uαβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别是：1221,ni iiniiu v nnvv uu nuβαβ==-==-⋅-∑∑相关系数：12222211)ni iin ni ii iu v nnvru nu v nv===-=⎛⎫--⎪⎝⎭∑∑∑（22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为2212x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），曲线C的参数方程为22x ty t⎧=⎨=⎩（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度. （1）求曲线C的极坐标方程；（2）设(2,1)P ，直线l 与曲线C 交于两点，求AP BP ⋅ 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x m x m =--+的最大值为3，其中0m >．（1）求m的值；（2）若,a b R ∈，0ab >，222a b m +=，求证：331a b b a+≥。

四川省德阳市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题含解析

四川省德阳市2019-2020学年高考第三次质量检测数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由余弦函数的单调性找出cos cos A B <的等价条件为A B >，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 【详解】Q 余弦函数cos y x =在区间()0,π上单调递减，且0A π<<，0B π<<，由cos cos A B <，可得A B >，a b ∴>，由正弦定理可得sin sin A B >. 因此，“cos cos A B <”是“sin sin A B >”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题.2．我们熟悉的卡通形象“哆啦A 梦”.在东方文化中通常称这个比例为“白银比例”，该比例在设计和建筑领域有着广泛的应用.已知某电波塔自下而上依次建有第一展望台和第二展望台，塔顶到塔底的高度与第二展望台到塔底的高度之比，第二展望台到塔底的高度与第一展望台到塔底的高度之比皆等于“白银比例”，若两展望台间高度差为100米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是（） A ．400米 B ．480米 C ．520米 D ．600米【答案】B 【解析】【分析】根据题意，画出几何关系，结合各线段比例可先求得第一展望台和第二展望台的距离，进而由比例即可求得该塔的实际高度. 【详解】设第一展望台到塔底的高度为x 米，塔的实际高度为y 米，几何关系如下图所示：由题意可得1002xx +=，解得()10021x =；且满足2100yx =+ 故解得塔高()100220021480y x =+=≈米，即塔高约为480米.故选：B 【点睛】本题考查了对中国文化的理解与简单应用，属于基础题.3．已知向量a r 与向量()4,6m =u r 平行，()5,1b =-r ，且14a b ⋅=r r，则a =r （）A ．()4,6B ．()4,6--C ．213313⎝⎭D ．213313⎛ ⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】设(),a x y =r ，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a r的坐标.【详解】设(),a x y =r，且()4,6m =u r ，()5,1b =-r ，由//a m r u r得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=r r ，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--r .故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题.4．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C 【解析】【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可．【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ．【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小．5．已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为A ．240，18B ．200，20C ．240，20D ．200，18【答案】A 【解析】【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数．【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为：15024040%18.150250400⨯⨯=++故选A ．【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用．6．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.7．一个正四棱锥形骨架的底边边长为2，高为2，有一个球的表面与这个正四棱锥的每个边都相切，则该球的表面积为（） A ．43π B ．4πC ．42πD ．3π【答案】B 【解析】【分析】根据正四棱锥底边边长为2，高为2，得到底面的中心到各棱的距离都是1，从而底面的中心即为球心. 【详解】如图所示：因为正四棱锥底边边长为22，所以2OB SB == ，O 到SB 的距离为1SO OBd SB⨯==，同理O 到,,SC SD SA 的距离为1，所以O 为球的球心，所以球的半径为：1，所以球的表面积为4π. 故选：B 【点睛】本题主要考查组合体的表面积，还考查了空间想象的能力，属于中档题.8．已知曲线24x y =，动点P 在直线3y =-上，过点P 作曲线的两条切线12,l l ，切点分别为,A B ，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为（） AB ．2C ．4D．【答案】C 【解析】【分析】设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将P 点坐标代入切线方程，抽象出直线AB 方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解. 【详解】圆22650x y y +-+=可化为22(3)4x y +-=.设221212,,,,(,3)44x x A x B x P t ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,l l 的斜率分别为1212,22x xk k ==，所以12,l l 的方程为()21111:24x x l y x x =-+，即112x y x y =-，()22222:24x x l y x x =-+，即222x y x y =-，由于12,l l 都过点(,3)P t -，所以11223232x t y x t y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即()()1122,,,A x y B x y 都在直线32xt y -=-上，所以直线AB 的方程为32xt y -=-，恒过定点(0,3)，即直线AB 过圆心(0,3)，则直线AB 截圆22650x y y +-+=所得弦长为4. 故选:C. 【点睛】本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.9．复数12z i =+，若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z 等于（） A ．345i+-B ．345i+ C ．34i -+D ．345i-+ 【答案】A 【解析】【分析】先通过复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，得到22z i =-+，再利用复数的除法求解12z z . 【详解】因为复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且复数12z i =+，所以22z i =-+所以()()()122223422255+--+===---+-+--i i z i i z i i i 故选：A 【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义，属于基础题. 10．已知函数()sin(2019)cos(2019)44f x x x ππ=++-的最大值为M ，若存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则M m n ⋅-的最小值为（） A ．2019πB ．22019π C ．42019πD ．4038π【答案】B 【解析】【分析】根据三角函数的两角和差公式得到()f x =2sin(2019)4x π+，进而可以得到函数的最值，区间(m,n)长度要大于等于半个周期，最终得到结果. 【详解】函数()sin 2019cos 201944f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)sin 2019cos 2019cos 2019sin 20192x x x x +++)sin 2019cos 20192sin(2019)4x x x π=+=+则函数的最大值为2，2M m n m n ⋅-=-存在实数,m n ，使得对任意实数x 总有()()()f m f x f n ≤≤成立，则区间(m,n)长度要大于等于半个周期，即min 2220192019m n m n ππ-≥∴-=故答案为：B. 【点睛】这个题目考查了三角函数的两角和差的正余弦公式的应用，以及三角函数的图像的性质的应用，题目比较综合.11．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a –1，2a]上的偶函数，那么a+b 的值是A ．13-B ．13 C ．12-D ．12【答案】B 【解析】【分析】依照偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ），且定义域关于原点对称，a ﹣1=﹣2a ，即可得解. 【详解】根据偶函数的定义域关于原点对称，且f （x ）是定义在[a –1，2a]上的偶函数，得a –1=–2a ，解得a=13，又f （–x ）=f （x ）， ∴b=0，∴a+b=13．故选B ．【点睛】本题考查偶函数的定义，对定义域内的任意实数，f （﹣x ）=f （x ）；奇函数和偶函数的定义域必然关于原点对称，定义域区间两个端点互为相反数．12．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭U【答案】C 【解析】【分析】()f x 恰有两个极值点，则()0f x ¢=恰有两个不同的解，求出()f x ¢可确定1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，令()()e 02xg x x x =>+通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t 应满足的条件. 【详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,+?，()()221e 121x x f x t x xx -⎛⎫'=-+-⎪⎝⎭()()21e 2xx t x x ⎡⎤--+⎣⎦=()()2e 122x x x t x x ⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭=. 因为()f x 恰有两个极值点，所以()0f x ¢=恰有两个不同的解，显然1x =是它的一个解，另一个解由方程e 02x t x -=+确定，且这个解不等于1. 令()()e02xg x x x =>+，则()()()21e 02xx g x x +'=>+，所以函数()g x 在()0,+?上单调递增，从而()()102g x g >=，且()13e g =.所以，当12t >且e3t ≠时，()e 2ln x f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，即实数t 的取值范围是1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U . 故选：C 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年四川省德阳市高考(文科)数学三诊试卷 (解析版)

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1} 2．如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i3．在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．4．已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．105．设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）7．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD9．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣110．已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．11．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个12．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜x1+x2+t 恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣ln2，+∞）D．[﹣5，+∞）二、填空题（共4小题）.13．已知f（x）＝，则f[f（3）]＝．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．15．某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为万元．16．已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…，第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．18．在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若AB＝BD＝BB1＝2，求几何体P﹣AB1C1的体积．20．巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝2时，证明：g（x）+f（x）≥0．21．已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，M＝{﹣4，0，1}，所以M∩N＝{0，1}．故选：B．2．如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，得z＝1﹣i，则z+＝1﹣i+＝1﹣i+＝3+i．故选：A．3．在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据对称性得到阴影部分的面积等于△AOB的面积；再结合面积比即可求解结论．解：由对称性可得，阴影部分的面积等于△AOB的面积；而△AOB的面积占整个正方形面积的；故选：D．4．已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．10【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7＝a4a6q＝（a5）2q＝45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有＝＝q（1+q），计算即可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5＝3，a4a7＝45，则a4a7＝a8a6q＝（a5）2q＝45，则q＝5，故选：A．5．设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．解：∵+＝（m，﹣3），＝（3，1），（+）⊥，∴3m﹣3＝0，可得m＝5，可得+＝（1，﹣3），∴＝（3，﹣4），∴设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故选：D．6．若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立，然后求出实数a 的取值范围．解：因为f（x）＝e x（sin x+a），所以f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立．所以a≥﹣sin x﹣cos x，所以﹣≤﹣sin x﹣cos x≤，故选：A．7．若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】直接利用函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）＝±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．解：由于函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象函数y＝f（x）的周期T，满足，所以ω＝4．整理得φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．8．如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．解：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．9．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣1【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S＝+++…++的值，用裂项法即可得解．解：模拟执行程序框图，可得N＝10，S＝0，k＝1满足条件k＜10，k＝2，S＝+，…不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．10．已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y＝k（x+2），可得kx﹣y+2k＝0，圆x2+y2﹣5x+3＝0的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y＝（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x2﹣5x+x+4+＝0，解得x＝2，解得a＝b＝，故选：C．11．将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽．比如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；综上，正确的有2个．故选：B．12．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜x1+x2+t 恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣ln2，+∞）D．[﹣5，+∞）【分析】由题意可得f′（x）＝（x＞0），由函数f（x）＝ax2﹣2x+lnx 有两个极值点x1，x2，可得方程2ax2﹣2x+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，由根与系数的关系可求得a的取值范围，由f（x1）+f（x2）﹣（x1+x2）═﹣﹣1﹣ln2a，令h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，利用导数研究其最大值即可．解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝（x＞0），所以方程2ax2﹣2x+5＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，因为f（x1）+f（x2）﹣（x1+x5）＝a﹣2x6+lnx1+a﹣2x2+lnx2﹣x1﹣x7＝a[（x1+x2）2﹣2x1x2]﹣2（x1+x2）+ln（x1x2）＝﹣﹣7﹣ln2a，h′（a）＝，易知h′（a）＞0在（0，）上恒成立，故h（a）＜h（）＝﹣5，所以t的取值范围是[﹣3，+∞）．故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．已知f（x）＝，则f[f（3）]＝．【分析】直接利用分段函数的解析式，由里及外逐步求解即可．解：∵f（x）＝，∴f（3）＝﹣lg100＝﹣2；故答案为：．14．设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．．【分析】通过数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，S n＝n+＝n2，可得数列{}的前n项和为1+3+3+…+n＝．故答案为：．15．某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元．【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z＝2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z＝2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为8×2+1＝5，故答案为：5．16．已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B两点，且AM恰与抛物线C相切，那么直线l的斜率为．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．解：方法一：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x5，y2），直线AB的方程为y＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，由，求导，直线AM的斜率＝＝，整理得x18﹣3x1﹣6＝0，所以或，即k＝，所以直线AB的斜率为k＝＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…，第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生．现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组，求所抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率．【分析】（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，由频率/组距×组距×总体数量即可得解；（2）由频率/组距×组距×样本容量，可分别算出第一小组由3人（记为A1，A2，B1）和第五小组有4人（记为A3，B2，B3，B4），然后用列举法写出从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况以及恰有1男1女的情况，最后由古典概型计算概率的方式即可得解．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.2，（2）第一小组共有0.006×10×50＝3人，其中2男1女，分别记为A1，A6，B1；现从第一、五组中各抽1个同学组成一个实验组的情况有：A2B3，A2B5，A3B1，B1B2，B1B3，B1B4，共12种，A2B2，A2B4，A2B4，A3B1，共7种．故抽取的2名同学中恰为一个女生一个男生的概率为．18．在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a＝2，由已知可求b sin C＝，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）＝1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值．解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝5，∵b sin C＝a＝，（5）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．19．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若AB＝BD＝BB1＝2，求几何体P﹣AB1C1的体积．【分析】（1）四边形PBO1D中，由已知证明PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点，可得四边形PBO1D是平行四边形，故PB∥DO1，再由直线与平面平行的判定可得PB∥平面ADO1；（2）连接PC1和AC交于点E，求出三角形PAE的面积，可得三角形PAC1的面积，再由等体积法求几何体P﹣AB1C1的体积．【解答】（1）证明：由已知可得，PO1⊥平面A1B1C1D1，且四棱柱ABCD﹣A2B1C1D1的侧棱与底面垂直，故PO1∥BB1∥DD6，即P、B、O1、D四点共面．可知，在四边形PBO1D中，PO1与BD的交点O为PO1的中点，也是BD的中点．又PB⊄平面ADO1，O1D⊂ADO1，（3）解：∵＝，连接PC1和AC交于点E，由△POE≌△C1CE，得OE＝，∴＝．∴几何体P﹣AB1C6的体积为．20．巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＝2时，证明：g（x）+f（x）≥0．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），再分a≤0和a＞0两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）可将g（x）+f（x）化简为2xe x﹣2ln（xe x）﹣2，要证g（x）+f（x）≥0，需证f （xe x）≥0；利用（1）中的结论可知f（x）≥0恒成立，故而得证．【解答】（1）解：∵f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，∴f'（x）＝a﹣＝，定义域为（5，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；∴极小值为f（）＝2（lna﹣ln2），无极大值．当a≤0时，函数f（x）无极值；（8）证明：当a＝2时，g（x）+f（x）＝2x﹣2lnx﹣2+2xe x﹣7x＝2xe x﹣2x﹣2lnx﹣2＝2xe x﹣7ln（xe x）﹣2，由（1）知，当a＝2时，极小值为f（）＝f（1）＝2（ln6﹣ln2）＝0，这也是f（x）的最小值，故当a＝2时，有g（x）+f（x）≥0．21．已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点．当AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y＝0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G．【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y＝﹣，得N（2，﹣3）．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，）．∴，．同理可得N（4，）．∴线段MN的中点坐标为（4，），即为H点．（ii）解：当直线AB的斜率不等于0时，|MN|＝||＝||．若存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G，由对称性可知，G一定在x轴上．则＝解得x＝1或x＝7．当直线AB的斜率等于0时，M（4，3），N（6，﹣3），H（4，0），综上，存在定点G（1，0）或（7，4），使得以MN为直径的圆过G．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标．解：（1）已知直线l：x＝4，转换为极坐标方程为ρcosθ＝4．圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．整理得ρ2＝4ρsinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2﹣3y＝0．得到A（4sinα，α），B（），若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，当时，|MN|min＝2，即最小值为4．所以点A（2），B（4）．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；（2）可令3a+b＝s，a+2b＝t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．解：（1）f（x）＝+﹣m＝|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0⇔m≤|x+1|+|x﹣2|恒成立，因为|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝5，当且仅当﹣1≤≤3时取得等号．（2）由（1）可得n ＝7，即+＝4，（a＞7，b＞0），即有+＝4，所以7a+4b ＝+＝2s+t当且仅当s＝t，即b＝2a＝时取得等号．所以7a+4b的最小值为．。

四川省德阳市2020届高三三诊考试理数试题

四川省德阳市2020届高三三诊考试理数试题数学试卷（理工农医类）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|60,B |0A x x x x x =+-<=<，则R A C B =I （）A ．{}|02x x ≤<B ．{}|32x x -<<C ．{}|60x x -<<D ．{}|0x x ≥ 2.已知,a b R ∈，且()120,a b i i -++=为虚数单位，则复数()2a bi +在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则2sin sin cos 2a A B b A a +=是2b a =的（）A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.在 5a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数等于5，则该展开式中二项式系数最大的项的系数为（）A ．20B ．-10C ．-10，10D ．105.已知P 是圆()2211x y -+=上异于坐标原点O 的任意一点，直线OP 的倾斜角为θ．若OP d =，则函数()d f θ=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6.一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A ．403 B ．203C ．40D ．20 7.若函数()()3sin 3f x x x x R ωω=-∈的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则正数ω的最小值为（）A ．32 B ．23 C ．43 D ．138.若ABC ∆5O 的内接三角形，3450OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v ，则OC AB u u u v u u u v g 为（）A ．1B ．-1C ．6D ．-6 9.设抛物线22y x =的焦点为F ，过点)3,0M的直线与抛物线相交于,A B 两点，与抛物线的准线相交于点C ，2BF =，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比BCFACFS S ∆∆=（） A ．32 B ．43 C ．45 D ．2310.已知函数()2f x x x a x =-+，若存在[]3,3α∈-，使关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实数根，则t 的取值范围为（） A ．95,84⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．251,24⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分，将答案填在答题纸上11.对任意非零实数,a b ，若a b ⊗的运算原理如图所示，则2211log 83-⎛⎫⎛⎫⊗= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭___________．12.已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的焦距是实轴长的2倍，若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为___________．13.我国古代“五行”学说认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A 表示“排列中属性相克的两种物质均不相邻”，事件A 发生的概率为__________．（结果用数值表示）14.若,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，目标函数2z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则实数a 的取值范围是__________．15.已知有限集{}()123,,,,2n A a a a a n =≥L ，如果A 中元素()1,2,3,,i a i n =L 满足1212n n a a a a a a =+++L L ，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合151522⎧-+-⎪⎨⎪⎪⎩⎭，是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且{}12,a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12a a N ∈，则{}12,a a 不可能是“复活集” ；④若*i a N ∈，则“复合集”A 有且只有一个，且3n =．其中正确的结论是___________．（填上你认为正确的所有结论的序号）三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.（本题满分12分）已知数列{}n a的前n项和是n S，且()*22n nS a n N+=∈．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设()()*31log1n nb S n N+=-∈，求12231111n nb b b b b b++++L．17.（本题满分12分）某学校为了选拔学生参加“XX市中学生知识竞赛”，先在本校进行选拔测试（满分150分），若该校有100名学生参加选拔测试，并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估算这100名学生参加选拔测试的平均成绩；（2）若通过学校选拔测试的学生将代表学校参加市知识竞赛，知识竞赛分为初赛和复赛，初赛中每人最多5次答题机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，假设参赛者甲答对每一个题的概率都是23，求甲在初赛中答题个数的分布列和数学期望．18.（本题满分12分）已知向量)33sin,1,sin,2m x x n x⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，函数()f x n m=g．（1）求函数()f x的最小正周期T及单调递增区间；（2）已知,,a b c分别为ABC∆内角,,A B C的对边，3,4a c==，且()f A是函数()f x在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值，求ABC∆的面积S．19.（本题满分12分）如图，已知边长为6的菱形0,120,ABCD ABC AC∠=与BD相交于O，将菱形ABCD沿对角线AC 折起，使32BD =．（1）若M 是BC 的中点，求证：在三棱锥D ABC -中，直线OM 与平面ABD 平行；（2）求二面角A BD O --的余弦值；（3）在三棱锥D ABC -中，设点N 是BD 上的一个动点，试确定N 点的位置，使得42CN =20.（本题满分13分）设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的右焦点到直线220x y -+=的距离为3，且过点61,⎛- ⎝⎭．（1）求E 的方程；（2）设椭圆E 的左顶点是A ，直线:0l x my t --=与椭圆E 相交于不同的两点,(,M N M N 均与A 不重合），且以MN 为直径的圆过点A ，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标． 21.（本题满分14分）已知函数()22xxa f x e x e =-．（1）求()f x 在[)0,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求证：当1a ≥时()1f x x ≤+；（3）对于在()0,1中的任一个实数a ，试探究是否存在0x >，使得()1f x x >+成立？如果存在，请求出符合条件的一个x ；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案ACBDDAABCD二、填空题11. -3 12. 216x y = 13. 11214. 42a -<< 15. ①③④ 三、解答题16.解：（1）当1n =时，11a S = ，由1122S a += 得：123a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分故()1*2112333n nn a n N -⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭g g ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由11123n n n S a ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()13131log 1log 13n n n b S n ++⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭故()()111111212n n b b n n n n +==-++++，因此122311111111111123341222n n b b b b b b n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ．．．．．．．．．．．．．．12分17.解：（1）设平均成绩的估计值为X ，则：()200.001400.004600.009800.0201000.0131200.0021400.0012080X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记甲在初赛中的答题个数为随机变量ξ，则ξ的可能值为3，4，5()()332221332213133322222210411133333327P P C C ξξ⎛⎫⎛⎫==+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯⨯-⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()222222442222228511133333327P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯+⨯-⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（或()11085132727P ξ==--=）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分则ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以ξ的数学期望11081073453272727E ξ=⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 18．解：（1）()23sin cos 2f x n m x x x ==+g1cos 2322212cos 222sin 226x x x x x π-=++=-+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 因为2ω=，所以22T ππ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分由()222262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得：()63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，故所求单调递增区间为(),63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）由（1）知，()sin 226f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴52666x πππ-≤-≤，当262x ππ-=，即3x π=时，()f x 取得最大值3，由()3f A =得：3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-，可得：211216242b b =+-⨯⨯，∴2b =，从而11sin 24sin 223S bc A π==⨯⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．（1）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点，所以O 是AC 的中点，又点M 是棱BC 的中点，所以OM 是ABC ∆的中位线，//OM AB ，因为OM ⊄平面,ABD AB ⊂平面ABD ，所以//OM 平面ABD ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）解：由题意可知，3OB OD ==，因为BD =090,BOD OB OD ∠=⊥，又因为菱形ABCD ，所以,OB AC OD AC ⊥⊥，建立空间直角坐标系O xyz-，如图所示，则()()()33,0,0,0,3,0,0,0,3A D B，所以()()33,0,3,33,3,0AB AD=-=-u u u v u u u v．设平面ABD的法向量为(),,n x y z=，则有AB nAD n⎧=⎨=⎩u u u vgu u u vg，即33303330x zx y⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x=，则3,3y z==(3,3n=．因为,AC OB AC OD⊥⊥，所以AC⊥平面BOD，平面BOD的法向量与AC平行，所以平面BOD的一个法向量为()1,0,0n=，7cos17n nn nn n===⨯gg因为二面角A BD O--的平面角是锐角所以二面角A BD O--的余弦值为77．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分（3）解：设()111,,N x y z，因为N是线段BD上的一个动点，设BN BDλ=u u u v u u u v，即()()111,,30,3,3x y zλ-=-，所以1110,3,33x y zλλ===-，则()()0,3,33,33,3,33N CNλλλλ-=-u u u v，由42CN=()222793342λλ++-=，即29920λλ-+=，解得：1233λλ==或所以N 点的坐标为()()0,1,20,2,1或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）设右焦点为(),0c3=，∴c =222a b =+，将点1,⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程可得：2222232b a a b +=， ∴222,4b a ==，故椭圆E 的方程为22142x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由0x my t --=，得：x my t =+，把它代入椭圆E 的方程得：()2222240m y mty t +++-=，()()22224424m t m t ∆=-+-，设()()1122,,,M x y N x y ，则212122224,22mt t y y y y m m -+=-=++，故()12122422tx x m y y t m +=++=+，()()()2222121212122242t m x x my t my t m y y tm y y t m -=++=+++=+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM AN ⊥，所以()()11222,2,AM AN x y x y =++u u u u v u u u vg g()()()12121222222222224244424222384223202x x x x y y t m t t m m m t t m t t m =++++--=+⨯+++++++=+++==+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分又因为,M N 均与A 不重合，所以2t ≠-，所以23t =-，故直线l 的方程是203x my -+=，直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于点T 在椭圆内部，所以满足判别式大于0，所以直线l 过定点2,03T ⎛⎫- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．13分 21．解：（1）∵[)0,x ∈+∞，∴()212x a f x e x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴()212x a f x e x ax ⎛⎫'=--+ ⎪⎝⎭，由题意()0f x '≥在[)0,+∞上恒成立，当0a =时，()0xf x e '=>恒成立，即满足条件，当0a ≠时，要使()0f x '≥，而0x e >恒成立，故只需2102a x ax --+≥在[)0,+∞上恒成立，即20200102a a a ⎧->⎪⎪⎨⎪--+≥⎪⎩g g ，解得：0a <，综上，a 的取值范围为0a ≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）当0x ≥时，要证明212x xa e x e x -≤+成立，只需证212x x a e x e x ≤++，即证2112x a x x e +≤+，① 令()212x a x g x x e +=+，得()()()211x x x x e x e x g x ax ax e e -+'=+=-g ，整理得：()1x g x x a e ⎛⎫'=-⎪⎝⎭， ∵0x ≥时，11xe ≤，结合1a ≥，得()0g x '≥， ∴()g x 在[)0,+∞上是增函数，故()()01g x g ≥=，从而①式得证，在0x ≤时，要使212x xa e x e x -≤+成立，只需证212x x a e x e x -≤++，即证()22112x x a x e x e --≤++，② 令()()2212x x ax m x e x e --=++，得()21x x m xe e a x -'⎡⎤=-+-⎣⎦，而()()1x x e a x ϕ=+-在0x ≤时为增函数，故()()010x a ϕϕ≤=-≤，从而()0m x '≤，∴()m x 在0x ≤时为减函数，则()()01m x m ≥=，从而②式得证，综上所述，原不等式212x x a e x e x -≤+，即()1f x x ≤+在1a ≥时恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分（3）要使()1f x x >+成立，即212x xa e x e x ->+，③ 要找一个0x >使③式成立，只需找到函数()2112x ax x t x e+=+-的最小值，满足()min 0t x <即可．∵()1xt x x a e ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()0t x '=得：1x e a=，则ln x a =-，在0ln x a <<-时，()0t x '<，在ln x a >-时，()0t x '>即()t x 在()0,ln a -上是减函数，在()ln ,a -+∞上是增函数，∴当ln x a =-时，()t x 取得最小值()()()2ln ln ln 112a t a a a a -=+-+-，下面只需证明：()2ln ln 102a a a a a -+-<在01a <<时恒成立即可．令()()2ln ln 12a p a a a a a =-+- 则()()21ln 02p a a '=≥，从而()p a 在()0,1上是增函数，则()()10p a p <=，从而()2ln ln 102a a a a a -+-<，得证，于是()t x 的最小值()ln 0t a -<，因此可找到一个实数()ln 01x a a =-<<，使得③式成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分。

2020年四川省德阳市高考(理科)数学三诊试卷 (解析版)

2020年四川省德阳市高考数学三诊试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1} 2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．105．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣110．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为万元．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B ＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）设集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝（）A．{0}B．{0，1}C．{﹣1，1}D．{﹣1，0，1}【分析】求出集合N，然后直接求解M∩N即可．解：因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，M＝{﹣8，0，1}，所以M∩N＝{0，1}．故选：B．2．（5分）如图，若向量对应的复数为z，则复数z+为（）A．3+i B．﹣3﹣i C．3﹣i D．1+3i【分析】由已知求得z，代入z+，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由题意，得z＝1﹣i，则z+＝1﹣i+＝1﹣i+＝3+i．故选：A．3．（5分）在正方形ABCD中，弧AD是以AD为直径的半圆，若在正方形ABCD中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A．B．C．D．【分析】求出阴影部分的面积，作商即可．解：连结AC和BD交与点O，如图示：由对称性可得，S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△AOB；故所求概率为：1﹣＝，故选：D．4．（5分）已知等比数列{a n}中，a5＝3，a4a7＝45，则的值为（）A．30B．25C．15D．10【分析】根据题意，设数列{a n}的公比为q，由等比中项的性质可得a4a7＝a4a6q＝（a5）2q＝45，解可得q的值，结合等比数列的通项公式有＝＝q（1+q），计算即可得答案．解：根据题意，等比数列{a n}中，设其公比为q，若a5＝3，a4a7＝45，则a4a7＝a7a6q＝（a5）2q＝45，则q＝5，故选：A．5．（5分）设向量＝（﹣2，1），+＝（m，﹣3），＝（3，1），若（+）⊥，设、的夹角为θ，则cosθ＝（）A．﹣B．C．D．﹣【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．解：∵+＝（m，﹣3），＝（3，1），（+）⊥，∴3m﹣3＝0，可得m＝5，可得+＝（1，﹣3），∴＝（3，﹣4），∴设、的夹角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．故选：D．6．（5分）若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．[，+∞）B．（1，+∞）C．[﹣1，+∞）D．（，+∞）【分析】求函数的导数，要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立，然后求出实数a 的取值范围．解：因为f（x）＝e x（sin x+a），所以f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）．要使函数单调递增，则f′（x）≥0恒成立．所以a≥﹣sin x﹣cos x，所以﹣≤﹣sin x﹣cos x≤，故选：A．7．（5分）若函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），已知函数y＝|f（x）|的图象如图，则（）A．f（x）＝2sin（4x+）B．f（x）＝2sin（4x﹣）C．f（x）＝2sin（x﹣）D．f（x）＝2sin（x+）【分析】直接利用函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象和沿x轴的翻折，进一步利用函数f（）＝±2来求出φ的值，最后求出函数的关系式．解：由于函数y＝|f（x）|的周期为函数y＝f（x）的周期的一半，根据函数的图象函数y＝f（x）的周期T，满足，所以ω＝4．整理得φ＝kπ+（k∈Z），解得φ＝kπ﹣（k∈Z），故选：A．8．（5分）如图，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，在△BCD中∠BCD＝90°且BC ＝3．将△ABC沿BC边翻折，设点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，那么（）A．平面ABD⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面ABDC．AB⊥CD D．AC⊥BD【分析】由直角三角形的斜边的中线长为斜边的一半，以及平面的垂线和斜线的性质，判定M为BC的中点，由线面垂直的性质和判定，可得结论．解：△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，BC＝3，点A在平面BCD上的射影为点M，若AM＝，AM⊥平面BCD，则AM⊥CD，可得CD⊥平面ABC，可得CD⊥AB，故选：C．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（）A．2B．﹣1C．﹣1D．2﹣1【分析】模拟执行程序框图可知程序框图的功能是求，S＝+++…++的值，用裂项法即可得解．解：模拟执行程序框图，可得N＝10，S＝0，k＝1满足条件k＜10，k＝2，S＝+，…不满足条件k＜10，退出循环，输出S的值为﹣1．故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣＝1与圆x2+y2﹣5x+4＝0交于点P，圆在点P处的切线恰好过双曲线的左焦点（﹣2，0），则双曲线的离心率为（）A．+B．C．D．【分析】设出切线的斜率，求出切线方程，然后求解切点坐标，代入双曲线方程，然后求解双曲线的离心率即可．解：设圆在点P处的切线的斜率为k，则切线方程为：y＝k（x+2），可得kx﹣y+2k＝0，圆x2+y2﹣5x+3＝0的圆心（，0），半径为：，不妨取切线方程y＝（x+2）代入圆的方程可得：（1+）x2﹣5x+x+4+＝0，解得x＝2，解得a＝b＝，故选：C．11．（5分）将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，根据定义逐一判断即可得出结论．解：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽度为1，则圆的半径为，（1）根据定义，可以得到曲线Γ是等宽曲线，错误；（3）根据（2）得（3）错误；（5）正三角形的边长为7，则三角形对应的扇形面积为＝，则一个弓形面积S′＝﹣，而圆的面积为π＝，不相等，故错误．故选：B．12．（5分）已知函数f（x）＝ae2x﹣2e x+x有两个极值点x1，x2，若不等式f（x1）+f（x2）＜e+e+t恒成立，那么t的取值范围是（）A．[﹣1，+∞）B．[﹣2﹣2ln2，+∞）C．[﹣3﹣1n2，+∞）D．[﹣5，+∞）【分析】令e x＝m，问题可化为f（m1）+f（m2）＜m1+m2+t恒成立，设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，根据函数的单调性求出其最大值，确定t的范围即可．解：令e x＝m，则f（m）＝am2﹣2m+lnm，显然m＞0，不等式f（x8）+f（x2）＜e+e+t恒成立，由f（m）＝am2﹣2m+lnm，f′（m）＝（m＞0），所以方程2am2﹣2m+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的正实数根，因为f（m1）+f（m6）﹣（m1+m2）＝a[（m1+m2）3﹣2m1m2]﹣3（m1+m3）+ln（m1m2）设h（a）＝﹣﹣1﹣ln2a，故h（a）在（0，）上单调递增，所以t≥﹣5，故选：D．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分将等案填在答题卡上13．（5分）在二项式（x﹣）n的展开式中，二项式系数之和为64，且展开式中的常数项为20，则a＝﹣1．【分析】由已知列式求得n，写出二项展开式的通项，再由x的指数为0求得r值，由常数项为20求解a值．解：∵二项式（x﹣）n的二项式系数之和为64，∴2n＝64，即n＝6．由＝．∴，即a＝﹣8．故答案为：﹣1．14．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a n＝2n﹣1，则数列{}的前n项和为．．【分析】通过数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1判断数列是等差数列，求出数列的和，化简的表达式，然后求和即可．解：∵数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣1，所以数列是等差数列，首项为1，公差为2，S n＝n+＝n2，可得数列{}的前n项和为1+3+3+…+n＝．故答案为：．15．（5分）某车间每天能生产x吨甲产品，y吨乙产品，由于条件限制，每天两种产品的总产量不小于1吨不大于3吨且两种产品的产量差不超过1吨．若生产甲产品1吨获利2万元，乙产品1吨获利1万元，那么该车间每天的最高利润为5万元．【分析】由题意列出不等式组，画出可行域，设该车间每天的利润为z，则目标函数z＝2x+y，根据简单的二元线性规划的解决方法，即可求出每天利润的最大值．解：由题意可知，设该车间每天的利润为z，则z＝2x+y，由图可知，当目标函数过点A时，取得最大值，所以z的最大值为5×2+1＝5，故答案为：5．16．（5分）已知点M（，﹣1），直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点交抛物线C于A、B 两点，且AM恰与抛物线C相切，那么线段AB的中点坐标为（，）．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及导数的几何意义，即可求得x1，x2，求得直线l的斜率．然后求解中点坐标．解：抛物线C的焦点为（0，1），设A（x1，y1），B（x6，y2），直线AB的方程为y ＝kx+1，联立方程组，消去y，整理得：x2﹣4kx﹣4＝0，由y＝，求导y′＝x，直线AM的斜率k＝＝＝x3，整理得x12﹣3x4﹣4＝0，所以或，即k＝，AB的中点坐标为（，）．故答案为：（，）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（12分）我市某校800名高三学生在刚刚结束的一次数学模拟考试中，成绩全部在100分到150分之间，抽取其中一个容量为50的样本，将成绩按如下方式分成五组：第一组[100，110），第二组[110，120），…第五组[140，150]，得到频率分布直方图．（1）若成绩在130分及以上视为优秀，根据样本数据估计该校在这次考试中成绩优秀的人数；（2）若样本第一组只有一个女生，其他都是男生，第五组只有一个男生，其他都是女生现从第一、五组中各抽2个同学组成一个实验组，设其中男生的个数为ξ，求ξ的分布列及期望．【分析】（1）由频率分布直方图求出第四、五组的频率，乘以800得答案；（2）由（1）知，第一小组共有3人，其中2男1女；第五小组有4人，其中1男3女，可得ξ的所有取值为：1，2，3．利用古典概型求概率，可得ξ的分布列，再由期望公式求期望．解：（1）由频率分布直方图可知，成绩在130分及以上的同学在第四、五组内，其频率为（0.032+0.008）×10＝0.2，故根据样本数据可估计出该校本次数学模拟考试中成绩优秀人数为800×0.4＝320人；则ξ的所有取值为：1，2，7．P（ξ＝2）＝，故ξ的分布列为：ξ163P期望E（ξ）＝＝．18．（12分）在三角形△ABC中，内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，已知b cos C+c cos B＝2，b sin C＝a．（1）求△ABC的面积；（2）若b：c＝：1，求A．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式解得a＝2，由已知可求b sin C＝，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，化简可得sin（A+）＝1，结合A的范围，利用正弦函数的性质即可求解A的值．解：（1）∵b cos C+c cos B＝2，∴由余弦定理可得：b•+c•＝8，∵b sin C＝a＝，（2）由（1）及条件和余弦定理可得：，因为：A∈（0，π），可得：A+＝，可得A＝．19．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形，四棱锥P﹣ABCD的顶点P在平面A1B1C1D1上的投影恰为四边形A1B1C1D1对角线的交点O1，四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等．（1）证明：PB∥平面ADO1；（2）若∠BAD＝，AA1＝A1B1，求平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值．【分析】（1）连接BO1、PO1，易证得PO1∥BB1∥DD1，即P、B、O1、D四点共面；由四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，可推出四边形PBO1D为平行四边形，故PB∥O1D；再由线面平行的判定定理即可得证．（2）以O1为原点，O1A1、O1B1、O1P所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设O1B1＝1，依次写出O1、A、B、P、C的坐标，根据法向量的性质求出平面ABO1和平面PBC的法向量为与，再由cos＜，＞＝即可得解．【解答】（1）证明：连接BO1、PO1，由题知，PO1⊥平面A1B3C1D1且四棱柱ABCD﹣A1B1C1D7的侧棱与底面垂直，∵四棱锥P﹣ABCD和四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的高相等，∴四边形PBO1D为平行四边形，又O1D⊂平面ADO7，PB⊄平面ADO1，∴以O1为原点，O1A1、O1B1、O8P所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，∴O1（0，0，2），A（，0，2），B（0，1，2），P（0，0，4），C（，0，7），设平面ABO1的法向量为＝（x，y，z），则，即，同理可得，平面PBC的法向量＝（﹣2，，）．故平面PBC与平面ABO1所成的锐二面角的余弦值为．20．（12分）巳知函数f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，g（x）＝axe x﹣4x．（1）求函数f（x）的极值；（2）当a＞0时，证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）．【分析】（1）求导得f'（x）＝，定义域为（0，+∞），再分a≤0和a＞0两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性，从而求极值；（2）问题转化为g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔f（xe x）≥2lna﹣2ln2，求出函数的最小值，证明结论即可．【解答】（1）解：∵f（x）＝ax﹣2lnx﹣2，∴f'（x）＝a﹣＝，定义域为（5，+∞），当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，无极值；∴极小值为f（）＝2（lna﹣ln2），无极大值．当a≤0时，函数f（x）无极值；（3）证明：g（x）﹣2（lnx﹣x+1）≥2（lna﹣ln2）⇔axe x﹣4lne x﹣2lnx﹣2≥2lna﹣2ln2⇔f（xe x）≥2lna﹣7ln2，即f（x）≥2lna﹣2ln2恒成立，故f（xe x）≥2lna﹣2ln2，即原不等式得证．21．（12分）已知动点Q到点F（1，0）的距离和到直线l：x＝4的距离之比为．（1）求动点Q的轨迹方程C；（2）已知点P（1，），过点F的直线和曲线C交于A、B两点，直线PA、PB、AB 分别交直线x＝4于M、N、H．（i）证明：H恰为线段MN的中点；（ii）是否存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G？若存在，求出定点G的坐标，否则说明理由．【分析】（1）设Q（x，y），由题意列式，化简得答案；（2）（i）证明AB的斜率为0时，H恰为线段MN的中点．当AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得MN中点的纵坐标，即可验证H恰为线段MN的中点；（ii）当AB的斜率不为0时，求出以MN为直径的圆的方程，取y＝0可得圆过定点（1，0）或（7，0），验证AB的斜率为0时也成立，即可得到存在定点G（1，0）或（7，0），使得以MN为直径的圆过G．【解答】（1）解：设Q（x，y），由题意得：，化简可得动点Q的轨迹方程为：；直线PB：y＝﹣，得N（5，﹣3）．当直线AB的斜率不为0时，设直线AB：x＝ty+1（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），H（4，）．∴，．同理可得N（4，）．∴线段MN的中点坐标为（3，），即为H点．（ii）解：当直线AB的斜率不等于0时，|MN|＝||＝||．若存在定点G，使得以MN为直径的圆过点G，由对称性可知，G一定在x轴上．则＝解得x＝1或x＝7．当直线AB的斜率等于0时，M（4，3），N（2，﹣3），H（4，0），综上，存在定点G（1，0）或（7，6），使得以MN为直径的圆过G．请考生在22.23二题中任选-题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分作答时.请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]（本题满分10分）22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x＝4，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程；（2）射线OP：θ＝α（α∈（0，））交圆C于O、A，交直线l于B，若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，求MN长度的最小值，并求此时A、B两点的极坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把直线的普通方程转换为极坐标方程，进一步把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果，最后求出点A和B的极坐标．解：（1）已知直线l：x＝4，转换为极坐标方程为ρcosθ＝4．圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．整理得ρ2＝4ρsinθ，根据转换为直角坐标方程为x2+y2﹣3y＝0．得到A（4sinα，α），B（），若A，B两点在x轴上投影分别为M、N，当时，|MN|min＝2，即最小值为7．所以点A（2），B（4）．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知函数f（x）＝+﹣m≥0恒成立．（1）求m的取值范围；（2）若m的最大值为n，当正数a、b满足+＝n时，求7a+4b的最小值．【分析】（1）由参数分离和绝对值不等式的性质，即可得到所求范围；（2）可令3a+b＝s，a+2b＝t，用s，t表示a，b，结合乘1法和基本不等式，计算可得所求最小值．解：（1）f（x）＝+﹣m＝|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0⇔m≤|x+1|+|x﹣5|恒成立，因为|x+1|+|x﹣3|≥|x+1﹣x+3|＝6，当且仅当﹣1≤≤3时取得等号．（2）由（1）可得n＝3，即+＝4，（a ＞7，b＞0），即有+＝4，所以7a+4b＝+＝2s+t当且仅当s ＝t，即b＝2a ＝时取得等号．所以7a+4b的最小值为．。

四川省德阳市2020届高三数学第三次诊断性考试(2020德阳“三诊”) 理

四川省德阳市高中2020级第三次诊断性考试数学（理）试题说明：1．本试卷分第I 卷和第II 卷，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效，考试结束后，将答题卡交回。

2．本试卷满分150分，120分钟完卷。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B ) 如果事件A 、B 相互独立，那么 P (A ·B )=P (A )·P (B )如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率k n k k n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式 24R S π= 其中R 表示球的半径球的体积公式 343V R π= 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．若集合{|2},{||12}M x x N x x =<=-<，则M N I =（） A ．{|12}x x -<< B ．{|2}x x <C ．{|22}x x -<<D ．{|13}x x -<< 2．若圆C 与圆22(2)(1)1x y ++-=关于点（0，0）对称，则圆C 的方程为（）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ．22(2)(1)1x y -++=C ．22(1)(2)1x y -++=D ．22(1)(2)1x y ++-=3．复数21i i -的虚部为（） A ．i B ．-i C ．1 D ．-14．已知:0,:||||p a b q a b a b ⋅=+=-，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在同一坐标系中，函数()g x 的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称，函数()()f xg x 与的图象关于y 轴对称，若()1,f m =-则m 的值是（） A ．-e B ．1e - C ．e D ．1e -- 6．若二项式53()y x +的展开式中第三项为10，则y 关于x 的函数的大致图象是（）7．若17cos(),sin(2)446ππαα=-则=（） A ．3132 B ．3132- C ．78 D ．78- 8．在北纬60︒圆上，有甲、乙两地，它们在纬度圆上的弧上等于2R π（R 为地球半径），则甲、乙两地间的球面距离为（）A ．13R π B ．22R π C ．2R π D ．32R π 9．定义在R 上的函数()f x 满足(4)1,()f f x =是导函数'()f x的图象如图所示，若两正数a 、b 满足2(2)1,2b f a b a ++<+则的取值范围为（） A ．11(,)32B ．(,)2π-∞C ．1(,3)2D ．1((,)(3,)2-∞+∞U 10．如图是一个正方体纸盒的展开图，1、2、3、4、5、6全部随机填入标有字母A 、B 、C 、D 、E 、F 的小正方形内，再折成正方体，则所得正方体恰有一个相对面的两个数之和为7的概率为（）A ．25B ．815C ．115D ．12011．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，212PF F F ⊥原点到直线PF 1的距离为11||3OF ，则双曲线的离心率为（） A ．3 BC ．2 D12．在平面直角坐标系中，定义11n n n n n nx y x y y x ++=-⎧⎨=+⎩（n 为正整数）为点(,)n n n P x y 到点111(,)n n n P x y +++的一个变换，将之称为点变换，已知1222111(0,1),(,),,(,)n n n P P x y P x y +++L …是经过点变换得到的一列点，并记1n n n a +为点P 与P 间的距离，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则limn n n S a →∞的值为（）AB．2C．1D．2 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

四川省德阳市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷含解析

四川省德阳市2019-2020学年第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（）A ．2B ．3C ．4D ．1 【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值．因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m m S -==-，解得3m =．故选B ．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，交y 轴于点M ，若1F 、M 是线段AB 的三等分点，则椭圆的离心率为( )A ．12 B．2 CD【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得,,A M B 的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，M 点为1AF 中点，1F 为BM 中点，故可得120F A M x x x +==，故可得A x c =；代入椭圆方程可得22221c y a b +=，解得2b y a =±，不妨取2A b y a=，故可得A 点的坐标为2,b c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则202b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，易知B 点坐标22,2b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将B 点坐标代入椭圆方程得225a c =，所以离心率为5，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得,,A B M 点的坐标，属中档题. 3．函数f(x)＝21xx e -的图象大致为() A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为非偶函数可排除两个选项，再根据特殊值(2)f 可区分剩余两个选项.【详解】因为f(－x)＝21x x e--≠f(x)知f(x)的图象不关于y 轴对称，排除选项B ，C. 又f(2)＝214e -＝－23e<0.排除A ，故选D. 【点睛】本题主要考查了函数图象的对称性及特值法区分函数图象，属于中档题.4．复数21i z i =-（i 为虚数单位），则z 等于（） A ．3 B ．22C ．2D ．2 【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简z ，从而求得z ，然后直接利用复数模的公式求解.【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i +===+=-+--+，所以1z i =--，2z =，故选：D.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的乘除运算，复数的共轭复数，复数的模，属于基础题目.5．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）A ．12B ．13C ．41π- D ．42π-【答案】C【解析】令圆的半径为1，则()22'41S P S ππππ--===-，故选C ． 6．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积（）A ．2493π+B ．4893π+C ．483π+D ．144183π+【答案】C【解析】【分析】由三视图知几何体是一个从圆锥中截出来的锥体,圆锥底面半径为22633()2r =+,圆锥的高22(35)3h =-截去的底面劣弧的圆心角为23π，底面剩余部分的面积为221412sin 2323S r r ππ=⋅+,利用锥体的体积公式即可求得.【详解】由已知中的三视图知圆锥底面半径为22633()62r =+=，圆锥的高22(35)36h =-=，圆锥母线226662l +=120°，底面剩余部分的面积为2222212212sin 66sin 2493323323S r r πππππ=+=⨯+⨯⨯=+11(2493)64818333V Sh ππ==⨯+⨯=+故选C.【点睛】本题考查了三视图还原几何体及体积求解问题,考查了学生空间想象,数学运算能力,难度一般.7．已知复数z 534i =+，则复数z 的虚部为（） A ．45 B ．45- C ．45i D ．45-i 【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】 ()()()53453434343455i z i i i i -===-++-，则复数z 的虚部为45-. 故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积（）A ．623+B ．622+C ．442+D ．443+【答案】C【解析】【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】解：几何体的直观图如图，是正方体的一部分，P−ABC ，正方体的棱长为2，该几何体的表面积：111122222222224422222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+ 故选C ．【点睛】本题考查三视图求解几何体的直观图的表面积，判断几何体的形状是解题的关键．9．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【详解】详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。

2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(理科) (含答案解析)

2020年四川省德阳市高考数学二诊试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知i 为虚数单位，则|1+i i|=( )A. √2B. 2C. √22D. 122. 设集合A ={1,2，3，4}，B ={x|0<x <3}，则A ∩B =( )A. {1,2，3}B. {2,3}C. {1,2}D. {2,3，4}3. 已知实数x ∈[2,30]，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于103的概率为( )A. 514 B. 914 C. 59 D. 494. 函数f(x)=xe cosx (x ∈[−π,π])的图象大致是( )A.B.C.D.5. 要得到函数y =sin (2x +1)的图象，只要将函数y =sin2x 的图象( )A. 向左平移12个单位 B. 向右平移12个单位 C. 向左平移1个单位D. 向右平移1个单位6. 二项式(√x −3x)6的展开式中的常数项为( )A. −540B. 135C. 270D. 5407. 已知抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 到准线的距离为4，若抛物线上一点P 到y 轴的距离是1，则|PF|等于( )A. 2B. 3C. 4D. 58. 若不等式组：{2x −y +2≥0y −2≤0y ≥k (x +1)表示的平面区域Ω的面积为3，则实数k 的值为 ( )A. 13B. 12C. 45D. 329. 在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. 1 B. 7C. 25D. −710. 在△ABC 中，已知BC =1，B =π3，△ABC 的面积为√3，则AC 的长为( )A. 3B. √13C. √21D. √5711. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,1]B. (−∞,√2]C. [−1,+∞)D. [−√2,+∞)12. 棱长为a 的正四面体ABCD 与正三棱锥E −BCD 的底面重合，由它们构成的多面体ABC −DE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E −BCD 的表面积为( )A. 3+√34a 2B. 3+√36a 2C. 3−√36a 2D. 3−√34a 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)，若P(ξ>−2)=0.964，则P(−2≤ξ≤6)等于______． 14. 把2名医生4名护士分配到两所医院，每个医院1名医生2名护士，不同的分配方有多少种______ ．15. 圆x 2+y 2+4x −2y +a =0截直线x +y −3=0所得弦长为2，则实数a 等于___________． 16. 在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知a 2+b 2−c 2=√3ab ，且acsinB =2√3sinC ，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 己知数列{a n }的满足a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3．(Ⅰ)求数列{a n }的通项公式； (Ⅱ)设c n =1a n ⋅a n+1(n ∈N ∗)，求数列{c n }的前n 项和T n ．18.如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是菱形；PA⊥平面ABCD，PA=AD=AC，点F为PC的中点．(Ⅰ)求证：PA//平面BFD；(Ⅱ)求二面角C−BF−D的余弦值．19.在《新冠病毒肺炎诊疗标准(试行第七版)》中，出院标准为连续两次痰、鼻咽拭子等呼吸道标本核酸检测为阴性，即对患者两次核酸检测结果均为阴性，才能出院．由于病毒的含量达到一定程度才能检测出来，在少数情况下，病毒携带者可能检测为阴性，也就是常说的“假阴性”.．假定核酸检测对痊愈者检测结果一定为阴性，对病毒携带者检测结果为阳性的概率为45(1)求一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率．(2)假设有5名患者经过治疗后，仍有2名病毒携带者，现对这5名患者逐一进行核酸检测，若第一次检测为阳性，则认为该患者为未康复，不再进行检测，继续治疗，若第一次检测为阴性，第二次检测为阳性，则认为该患者未康复，继续治疗，若连续两次检测为阴性则判断为符合出院标准，可以出院，设对5名患者共需要检测的次数为X，求X的分布列及期望．20.已知椭圆C：x2a +y2b=1(a>b>0)的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，且椭圆C的离心率为12．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设O为坐标原点，P是椭圆C的右顶点，过P点作两条直线分别与椭圆C交于另一点A，B，若直线PA，PB的斜率之积为−94，求△OAB的面积的最大值．21.已知函数f(x)=x+1−ln x．(Ⅰ)求f(x)的最小值；(Ⅱ)若e x−1+x≥axf(x)，求实数a的取值范围．22.在极坐标系中，曲线C1：ρ=2sinθ，曲线C2：ρcosθ=3，点P(1,π)，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系．(1)求曲线C1和C2的直角坐标方程；(2)过点P的直线l交C1于点A，B，交C2于点Q，若|PA|+|PB|=λ|PQ|，求λ的最大值．23.已知函数f(x)=|ax−3|，不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}．(1)解不等式f(x)<2f(x+1)−1；(2)若m≥3，n≥3，f(m)+f(n)=3，求证：1m +4n≥1．【答案与解析】1.答案：A解析：解：∵1+ii =(1+i)⋅ii⋅i=1−i，∴|z|=√2，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，把复数化简到最简形式，利用复数的模的定义求出|z|．本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，复数的模的定义和求法．2.答案：C解析：解：∵集合A={1,2，3，4}，B={x|0<x<3}，∴A∩B={1,2}．故选：C．利用交集的定义能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.答案：B解析：本题主要考查了程序框图，考查学生的计算能力，属于基础题．解：由程序框图可知，经过3次循环跳出，设输入的初始值为x=x 0，则输出的x=2[2(2x 0+1)+1]+1≥103，所以8x 0≥96，即x 0≥12，故输出的x不小于103的概率为P=30−1230−2=1828=914．故选B．4.答案：B本题主要考查函数的图像，属于基础题．解：∵f(−x)=−xe cos(−x)=−xe cosx=−f(x)，∴函数f(x)为奇函数，排除A，C，又，所以，f(x)先增后减．故选B．5.答案：A解析：y=sin(2x+1)=sin[2(x+12)]，根据函数图象的“左加右减”原则，知应该将函数y=sin2x的图象向左平移12个单位．6.答案：B解析：本题考查二项展开式的特定项，属于基础题．根据题意，二项式(√x 3x)6的通项公式为T r+1=C6r(√x)6−r(−3x)r=(−3)r C6r x−3+32r，令−3+32r=0，得r=2，即可求出结果．解：由题意，二项式(x 3x)6的通项公式为T r+1=C6r(√x)6−r(−3x)r=(−3)r C6r x−3+32r，令−3+32r=0，所以r=2，所以常数项为(−3)2×C62=135．故选B．7.答案：B解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，基本知识的考查．利用抛物线的性质求的抛物线的方程，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离求解结果即可．解：抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4，可得p=4，抛物线方程为：y2=8x．抛物线上一点P到y轴的距离是1，则|PF|=1+p2=1+2=3．8.答案：B解析：【试题解析】本题主要考查二元一次不等式组与平面区域，体现了数形结合的数学思想，属于一般题．首先作出不等式组表示的平面区域，为三角形及其内部部分，其中y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线，然后求出三角形顶点坐标，利用k 表示区域面积，求出k ．解：y =k(x +1)是过定点(−1,0)的直线，由已知不等式组得到平面区域大致如图：由图得直线y =k(x +1)过第一象限，且在第一象限的部分在直线2x −y +2=0的右侧，则0<k <2，由{2x −y +2=0y =2得到A(0,2)，由{y =2y =k (x +1)得到D (2k −1,2)，所以平面区域的面积为S =12|AD|·ℎA =12×(2k −1)×2=3，解得k =12，满足0<k <2．故选B ．9.答案：D本题考查向量的数量积的运算，考查计算能力．利用向量的加减法运算，以及向量的数量积化简求解即可．解：在平行四边形ABCD 中，AB =3，AD =4， AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=9−16=−7．故选：D ．10.答案：B解析：由已知利用三角形面积公式可求AB 的值，进而利用余弦定理可求AC 的值．本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．解：∵BC =1，B =π3，△ABC 的面积为√3=12BC ⋅AB ⋅sinB =12×AB ×1×√32，∴AB =4，∴AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BC ⋅cosB =√16+1−2×4×1×12=√13．故选B ．11.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2．当a ≥0时，f(a)=−a 2+a =−(a −12)2+14≤2恒成立；当a <0时，f(a)=a 2≤2，解得−√2≤a <0，则实数a的取值范围是a≥−√2，故选：D．12.答案：A解析：本题考查了正三棱锥的表面积，属于一般题．由正三棱锥和正四面体可知球心在高线上，利用直角三角形列方程即可解得．解：棱长为a的正四面体ABCD所在的外接球直径为√62a，因为正三棱锥E−BCD与正四面体ABCD的底面重合，所以AE为外接球的直径，所以在三角形AEB中，利用勾股定理可得：AB2+BE2=AE2，解得BE=√22a，则三角形EBC的高为√12a2−14a2=12a，∴S E−BCD=12×a×12a×3+12×a2×√32=3+√34a2，故选：A．13.答案：0.928解析：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及运用函数图象对称性解决概率问题，属于基础题．根据正态分布的密度函数图象关于直线x=2对称，即可求得P(−2≤ξ≤6)．解：根据题意，正态分布N(2,σ2)的密度函数图象关于直线x=2对称，∵P(ξ>−2)=0.964，∴P(−2≤ξ≤6)=2(0.964−0.5)=0.928．故答案为0.928．14.答案：12解析：解：第一步，安排两名医生，共有A22种方法；第二步，安排四名护士，共有C42种方法故不同的分配方案共有A22×C42=2×6=12种方法故答案为：12．此问题可以分两步解决，先安排两名医生共有A22种，再安排护士共有C42种方法，再相乘求出总数本题考查计数原理的应用，正确解答本题关键是将此问题分为两步，利用乘法原理来求解．15.答案：−4解析：主要考查直线和圆的位置关系，解题的关键是灵活运用点到直线的距离公式．解：因为圆的标准方程为(x+2)2+(y−1)2=5−a，r2=5−a，则圆心(−2,1)到直线x+y−3=0的距离为√2=2√2，由12+(2√2)2=5−a，得a=−4.故答案为−4．16.答案：3解析：解：在△ABC中，∵a2+b2−c2=√3ab，∴由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =√3ab2ab=√32，则C =π6，∵acsinB =2√3sinC ，∴由正弦定理得ac ⋅b =2√3c ，即ab =2√3，则CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cosC =abcosC =2√3×√32=3，故答案为：3．根据余弦定理和正弦定理将条件进行化简，结合向量数量积的定义进行求解即可．本题主要考查向量数量积的求解，根据正弦定理和余弦定理进行化简是解决本题的关键．考查学生的转化能力．17.答案：解：(Ⅰ)∵a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3，①当n =n −1时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(2n −5)⋅2n−1+3，②，由①−②可得，2n−1a n =(2n −1)2n−1，∴a n =2n −1，当a =1时，a 1=1成立，故a n =2n −1，(Ⅱ)c n =1an a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)， ∴S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n 2n+1．解析：(1)由a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−1a n =(2n −3)⋅2n +3，①当n =n −1时，a 1+2a 2+22a 3+⋯+2n−2a n−1=(2n −5)⋅2n−1+3，②，相减求解即可得出通项公式．(2)c n =1a n a n+1=12(12n−1−12n+1)，根利用裂项求和法能求出数列S n 的前n 项和，放缩证明即可本题考查数列的通项公式和前n 项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．18.答案：(Ⅰ)证明：连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ．∵ABCD 是菱形，∴O 是AC 的中点．∵点F 为PC 的中点，∴OF //PA ．∵OF ⊂平面BFD ，PA ⊄平面BFD ，∴PA//平面BFD ．(Ⅱ)解：如图，以点A 为坐标原点，线段BC 的垂直平分线所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，令PA =AD =AC =1，则A(0,0,0),P(0,0,1),C(√32,12,0)，B(√32,−12,0),D(0,1,0)，F(√34,14,12)． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√34,34,12)．设平面BCF 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得{y =0−√34x +34y +12z =0，∴{y =0z =√32x，令x =1，则z =√32，∴n ⃗ =(1,0,√32)． ∵PA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AC ．∵OF //PA ，∴OF ⊥AC ．∵ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ．∵OF ∩BD =O ，∴AC ⊥平面BFD ．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面BFD 的一个法向量，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0)．∴cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√32√1+34×1=√217， ∴二面角C −BF −D 的余弦值是√217．解析：本题考查线面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．(Ⅰ)连结AC ，BD 与AC 交于点O ，连结OF ，利用三角形中位线的性质，证明OF//PA ，再利用线面平行的判定定理证明PA//平面BFD ；(Ⅱ)建立空间直角坐标系，求出平面BCF 、平面BFD 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角C −BF −D 的余弦值．19.答案：解：(1)由题意可得一名病毒携带者两次检测均为阴性的概率为：P =(1−4)×(1−4)=1; (2)3名康复者一定需要6次检测，2名病毒携带者可能需要2次或3次或4次检测，所以X 可能的取值为8，9，10，P(X =8)=45×45=1625，P(X =9)=15×45+45×15=825， P(X =10)=(1−45)×(1−45)=125，分布列为：所以E(X)=8×1625+9×825+10×125=425．解析：本题主要考查随机事件的概率，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．(1)利用对立事件和独立事件的概率可以得出病毒携带者两次检测均为阴性的概率；(2)由题意知3名康复者一定需要6次检测，2名病毒携带者可能需要2次或3次或4次检测，所以X可能的取值为8，9，10，分别求出相应的概率，由此求出X 的分布列和数学期望．20.答案：解：(Ⅰ)依题意：{a 2=b 2+c 2c a =12c =1，解得a =2,b =√3，即椭圆C ：x 24+y 23=1；(Ⅱ)设直线AB ：x =ty +m(−2≤m ≤2)，则{x =ty +m x 24+y 23=1⇒3(ty +m)2+4y 2=12，即(3t 2+4)y 2+6tmy +3m 2−12=0，y 1+y 2=−6mt 3t 2+4,y 1⋅y 2=3m 2−123t 2+4；设A(ty 1+m,y 1)，B(ty 2+m,y 2)，而P(2,0)，则由k PA ⋅k PB =−94得y 1ty 1+m−2⋅y 2ty 2+m−2=−94 ⇔4y 1y 2+9(ty 1+m −2)(ty 2+m −2)=0，∴(4+9t 2)y 1y 2+9t(m −2)(y 1+y 2)+9(m −2)2=0，即(4+9t 2)3m 2−123t 2+4+9t(m −2)−6mt3t 2+4+9(m −2)2=0，整理得m 2−3m +2=0，解得m =1或m =2(舍去)，∴直线AB ：x =ty +1，知直线AB 过椭圆C 的右焦点F(1,0)，S △OAB =12|OF||y 1−y 2|=12|y 1−y 2| =12√(6tm)2−4(3t 2+4)(3m 2−12)3t 2+4=12√(6t)2−4(3t 2+4)(3−12)3t 2+4=6√t 2+13t 2+4，令u =√t 2+1≥1，则S △OAB =12|OF||y 1−y 2|=6u 3u 2+1=63u+1u 注意到f(u)=63u+1u 在[1,+∞)上递减，f(u)max =f(1)=32，综上可知，△OAB 的面积的最大值为32．解析：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． (Ⅰ)利用抛物线的焦点坐标，求解椭圆的焦点坐标，结合椭圆的离心率求解椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线AB：x=ty+m(−2≤m≤2)，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，通过直线PA，PB的斜率之积为−94，求解直线方程，得到直线过定点，表示出△OAB的面积，结合函数的单调性可得答案．21.答案：解：(1)定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−1x，f′(x)=0可得x=1;当0<x<1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增;∴f min=f(1)=2，所以f(x)的最小值为2(2)由(1)得，x+1−lnx>0，∴x(x+1−lnx)>0，∴a≤e x−1+xx(x+1−lnx)=e x−1+xx2+x−xlnx令g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx ，则g′(x)=(x−1)[(x−lnx)ex−1−x](x2+x−xlnx)2，由(1)可知x−1−lnx≥0，∴x−lnx≥1，x−1≥lnx，∴e x−1≥x，∴(x−lnx)e x−1−x≥e x−1−x≥0，当且仅当x=1时等号成立∴当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增;所以g(x)最小值为g(1)=1，∴a≤1，所以实数a的取值范围(−∞,1]．解析：本题重点考查利用导数研究函数的最值，属于一般题．(1)求出定义域和导函数，得单调性，进而求得最小值；(2)分离a，构造g(x)=e x−1+xx2+x−xlnx，利用导数求出g(x)的最小值，即可得a的范围．22.答案：解：(1)曲线C1：ρ=2sinθ，所以：曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2−2y=0；曲线C2：ρcosθ=3，所以：曲线C2的直角坐标方程为：x=3．(2)P的直角坐标为(−1,0)，设直线l的倾斜角为α，(0<α<π2)，则直线l 的参数方程为：{x =−1+tcosαy =tsinα(t 为参数，0<α<π2) 代入C 1的直角坐标方程整理得，t 2−2(sinα+cosα)t +1=0，t 1+t 2=2(sinα+cosα)直线l 的参数方程与x =3联立解得，t 3=4cosα，由t 的几何意义可知，|PA|+|PB|=2(sinα+cosα)=λ|PQ|=4λcosα，整理得，4λ=2(sinα+cosα)cosα=sin2α+cos2α+1=√2sin(2α+π4)+1，由0<α<π2，π4<2α+π4<5π4，所以，当2α+π4=π2，即α=π8时，λ有最大值14(√2+1)．解析：(1)直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．(2)利用一元二次方程根与系数的关系，利用三角函数的变换求出结果．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，三角函数的关系式的恒等变换． 23.答案：(1)解：因为不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x ≤5}，则x =1和x =5是方程f(x)=|ax −3|=2的解，即{|a −3|=2|5a −3|=2，所以实数a 的值为1．不等式f(x)<2f(x +1)−1可化为|x −3|<2|x −2|−1，则{x ≥3x −3<2(x −2)−1或{2≤x <3−(x −3)<2(x −2)−1或x <2−(x −3)<−2(x −2)−1，解得x ≥3或83<x <3或x <0，所以原不等式的解集为{x|x <0或x >83}．(2)证明：因为m≥3，n≥3，所以f(m)+f(n)=|m−3|+|n−3|=m−3+n−3=3，即m+n=9．所以1m +4n=19(m+n)(1m+4n)=19(1+4+nm+4mn)≥19(5+2√nm⋅4mn)=1，当且仅当nm =4mn，即m=3，n=6时取等号．解析：(1)利用不等式f(x)≤2的解集为{x|1≤x≤5}，说明x=1和x=5是方程f(x)=|ax−3|=2的解，求出a，然后转化不等式f(x)<2f(x+1)−1为|x−3|<2|x−2|−1，通过分类讨论转化求解即可．(2)化简f(m)+f(n)=3，得到m+n=9.利用基本不等式证明即可．本题考查解绝对值不等式和利用基本不等式证明不等式．是中档题．。

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