二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质---课件
二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质---课件
回顾：说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移
y=ax2
y=ax2+k
k<0 下移
y=ax2
左加 右减
y=a(x-h)2
例3.画出函数
y1(x1)2 2
1
的图像.指出它的开口方向、
顶点与对称轴、
解: 先列表
y1(x1)2 1 2
再描点
y=a(x－h)2+k
1.完成下列表格:
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 , －2 ) y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7) y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 ) 2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
口答：说出抛物线的开口方向、对称 轴、顶点，最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。
y= 2（x-3）2+3
y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
抛物线y=a(x－h)2+k有如下
特点: (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
后连线.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y1(x1)21 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线
y1(x1)2 1 2
1y
的开口方向、对称轴、顶点? -5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
（1）请表示出商品降价x元与利润y元之间的 关系？
（2）将这种商品的售价降低多少时，能使销 售利润最大？最大利润是多少？
2.某工厂的大门是一抛物线形状，门 在地面的宽AB=4米，门的最高点离地面 高度4.4米现有一辆装满货物的汽车，高 度是2.8米，宽度是2.4米。请判断这辆汽 车能否通过大门？
在一场足球比赛中，球员从球门
y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到
抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距
离要根据h、k的值来决定.
y=ax2 向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位y=a(x－h)2+k
y=ax2
向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|h|个单位
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求 此函数解析式。
练习
1. 已知抛物线y=a(x－h)2过点（-3,0）和 （0，-3）求抛物线解析式。
2. 已知抛物线的顶点在X轴上，且经过 点（1，0）和（-2，4),求它的解析式。
3. 已知抛物线的顶点(-2,0),过点（1,4）求 它的解析式。
. 直线x=n-m *
1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验
证.
1 .y 2 x 3 2 5 ; 2 .y 0 .5 x 1 2 ;
3.y3x2 1;
4
4 .y 2 x 2 2 5 ; 5 .y 0 .5 x 4 2 2 ;6.y4 3x32.
2.填写下表:
灵活变通
y B(1，3)
3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
2
∵这段抛物线经过点(3,0) ∴0=a(3－1)2＋3 解得: a=－43 因此抛物线的解析式为:
1
O
12
y= － 43(x管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
练习 1. 某商店将每件进价为80元的某种商品按 每件100元出售，一天可售出约100件，该店 想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利 润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1元，其销售量可增加约10件。
4. 已知抛物线的顶点坐标为（2，-4），它与 X轴一个交点横坐标为1，求它的解析式。
练习
5.已知二次函数y=-2x2怎样平移这个函数的图像 ，才能使它经过（0，1）和（1,6）两点？求出 平移后的新函数解析式。
6.设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点 （2，3），求它的解析式。
7.已知二次函数图像顶点坐标为C（1,0），直 线y=x+m与该二次函数交于A（3,4）和B点， B在Y轴上，求m的值和这个二次函数。
例2.要修建一个圆形喷水
池,在池中心竖直安装一
根水管.在水管的顶端安
装一个喷水头,使喷出的 y
抛物线形水柱在与池中心 3
的水平距离为1m处达到最
A 2
高,高度为3m,水柱落地处 1
离池中心3m,水管应多长? O
B(1，3)
C(3,0)
123 x
*
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)
是图中这段抛物线的顶点.
与y = ax2形状相同，位置不同。
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
CA..yy122(xx22)22 2
B. y 2x2 2 D. y5(x2)26
2.抛物线 y2(xm)2n 的顶点坐标是( C )
A. ( m， n )
B. (m，-n)
C. (m，n)
D. (m，-n)
3. 抛物线 y 5 (x m n )2 n m 的对称轴
1. 若二次函数y 1 x 2 经过平移变换后顶点坐标
2
为(-2,3)
,则平移后的函数解析式为y
1 2
(x
2)2
3.
2.在平面直角坐标系中，如果抛物线y 2 x 2 不 动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那 么在新坐标系下抛物线的解析式y是2(x2)22 .
13
*
例1按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2） （-1，0）求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但开口方向不同，顶点坐标是（1， 0）的抛物线解析式。
(3)顶点是(h,k).
各种形式的二次函数的关系 y = a( x - h )2 + k
我们也把这种形式的函数 称为顶点式
|k| |h|
左 位个 移右
单平
位 移上 个下 单平
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
抛物线
y1(x1)2 1
-2 -3
的开口向下, 2
-4 -5
对称轴是直线x=－1,
-6 -7
顶点是(－1, －1). y1(x1)2 2
-8 1-9
-10
(2)抛物线
y1(x1)2 1 2
y 1 x2 有什么关系
?
2
平移方法1:
1y
y
向12左x 2向平1个下移单平y位移y1(x121x)22
1 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x
平移方法2:
-8 -9
y 1 x2 2
向左平移y 1个单位
1(x 2
1)2
向下平移
1个单位
-1x0=－1
y1(x1)2 1 2
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k
与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线
前方10米处将球挑射踢起（球飞行路线
是抛物线），当球飞行的水平距离为4米
时，球高
8 3
米；当球飞行的水平距离为6
米时到达最高点，此时球高3米，已知球
门高2.44米，问能否射中球门？说明理由
谢谢观赏
回顾：说出平移方式，并指出其顶点与对称轴。
k>0 上移
y=ax2
y=ax2+k
k<0 下移
y=ax2
左加 右减
y=a(x-h)2
例3.画出函数
y1(x1)2 2
1
的图像.指出它的开口方向、
顶点与对称轴、
解: 先列表
y1(x1)2 1 2
再描点
y=a(x－h)2+k
1.完成下列表格:
向上 直线x=－3 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 向下 直线x=1 ( 1 , －2 ) y = 4(x－3)2＋7 向上 直线x=3 ( 3 , 7) y=－5(2－x)2－6 向下 直线x=2 ( 2 , －6 ) 2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
口答：说出抛物线的开口方向、对称 轴、顶点，最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。
y= 2（x-3）2+3
y= −2（x+3）2-2
y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
抛物线y=a(x－h)2+k有如下
特点: (1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下; (2)对称轴是直线x=h;
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5
后连线.
解: 先列表
x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y1(x1)21 … -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …
2
再描点、连线
直线x=－1
(1)抛物线
y1(x1)2 1 2
1y
的开口方向、对称轴、顶点? -5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
（1）请表示出商品降价x元与利润y元之间的 关系？
（2）将这种商品的售价降低多少时，能使销 售利润最大？最大利润是多少？
2.某工厂的大门是一抛物线形状，门 在地面的宽AB=4米，门的最高点离地面 高度4.4米现有一辆装满货物的汽车，高 度是2.8米，宽度是2.4米。请判断这辆汽 车能否通过大门？
在一场足球比赛中，球员从球门
y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到
抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距
离要根据h、k的值来决定.
y=ax2 向|左h|(个右单)平位移y=a(x－h)2移向|上k|(个下单)平位y=a(x－h)2+k
y=ax2
向上(下)平 y=ax2+k 移|k|个单位
向左(右)平 移|h|个单位
（3）已知二次函数图像的顶点在x轴上， 且图像经过点（2，-2）与（-1，-8）。求 此函数解析式。
练习
1. 已知抛物线y=a(x－h)2过点（-3,0）和 （0，-3）求抛物线解析式。
2. 已知抛物线的顶点在X轴上，且经过 点（1，0）和（-2，4),求它的解析式。
3. 已知抛物线的顶点(-2,0),过点（1,4）求 它的解析式。
. 直线x=n-m *
1.指出下列函数图象的开口方向,对称 轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验
证.
1 .y 2 x 3 2 5 ; 2 .y 0 .5 x 1 2 ;
3.y3x2 1;
4
4 .y 2 x 2 2 5 ; 5 .y 0 .5 x 4 2 2 ;6.y4 3x32.
2.填写下表:
灵活变通
y B(1，3)
3
y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3)
2
∵这段抛物线经过点(3,0) ∴0=a(3－1)2＋3 解得: a=－43 因此抛物线的解析式为:
1
O
12
y= － 43(x管长应为2.25m.
C(3,0)
3x
练习 1. 某商店将每件进价为80元的某种商品按 每件100元出售，一天可售出约100件，该店 想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利 润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低 1元，其销售量可增加约10件。
4. 已知抛物线的顶点坐标为（2，-4），它与 X轴一个交点横坐标为1，求它的解析式。
练习
5.已知二次函数y=-2x2怎样平移这个函数的图像 ，才能使它经过（0，1）和（1,6）两点？求出 平移后的新函数解析式。
6.设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点 （2，3），求它的解析式。
7.已知二次函数图像顶点坐标为C（1,0），直 线y=x+m与该二次函数交于A（3,4）和B点， B在Y轴上，求m的值和这个二次函数。
例2.要修建一个圆形喷水
池,在池中心竖直安装一
根水管.在水管的顶端安
装一个喷水头,使喷出的 y
抛物线形水柱在与池中心 3
的水平距离为1m处达到最
A 2
高,高度为3m,水柱落地处 1
离池中心3m,水管应多长? O
B(1，3)
C(3,0)
123 x
*
解:如图建立直角坐标系, 点(1,3)
是图中这段抛物线的顶点.
与y = ax2形状相同，位置不同。
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是( C )
CA..yy122(xx22)22 2
B. y 2x2 2 D. y5(x2)26
2.抛物线 y2(xm)2n 的顶点坐标是( C )
A. ( m， n )
B. (m，-n)
C. (m，n)
D. (m，-n)
3. 抛物线 y 5 (x m n )2 n m 的对称轴
1. 若二次函数y 1 x 2 经过平移变换后顶点坐标
2
为(-2,3)
,则平移后的函数解析式为y
1 2
(x
2)2
3.
2.在平面直角坐标系中，如果抛物线y 2 x 2 不 动,而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那 么在新坐标系下抛物线的解析式y是2(x2)22 .
13
*
例1按下列要求求出二次函数的解析式： （1）已知抛物线y=a(x-h)2经过点（-3，2） （-1，0）求该抛物线线的解析式。 （2）形状与y=-2(x+3)2的图象形状相 同，但开口方向不同，顶点坐标是（1， 0）的抛物线解析式。
(3)顶点是(h,k).
各种形式的二次函数的关系 y = a( x - h )2 + k
我们也把这种形式的函数 称为顶点式
|k| |h|
左 位个 移右
单平
位 移上 个下 单平
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
抛物线
y1(x1)2 1
-2 -3
的开口向下, 2
-4 -5
对称轴是直线x=－1,
-6 -7
顶点是(－1, －1). y1(x1)2 2
-8 1-9
-10
(2)抛物线
y1(x1)2 1 2
y 1 x2 有什么关系
?
2
平移方法1:
1y
y
向12左x 2向平1个下移单平y位移y1(x121x)22
1 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2 -3 -4 -5 -6 -7
x
平移方法2:
-8 -9
y 1 x2 2
向左平移y 1个单位
1(x 2
1)2
向下平移
1个单位
-1x0=－1
y1(x1)2 1 2
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k
与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线
前方10米处将球挑射踢起（球飞行路线
是抛物线），当球飞行的水平距离为4米
时，球高
8 3
米；当球飞行的水平距离为6
米时到达最高点，此时球高3米，已知球
门高2.44米，问能否射中球门？说明理由
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《二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质》二次函数PPT课件
2
h 0, k 0 y ax k
2
k 0, h 0 y a x h
典例精析
例1.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，
则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是( A )
解析：根据二次函数开口向上则a＞0，根据－c是
二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＞0，故一次函数
难点：通过图象，观察抛物线y=a(x−ℎ)2 +k与抛物线y=ax2的平移规律。
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
通过描点法画出 = −
1
2
+1
2
− 1的图象？
【列表】
… -4
-3
-2
-1
0
1
2
…
…
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
…
1
= − 2 ( +
1)2 −1
-5.5
二次函数"y=a(x−ℎ)^2+k的图象
y
B.第一、二、四象限
C.第二、三、四象限
x
D.第一、三、四象限
【分析】观察图象可知二次函数y=a(x+m)2+n中a>0，m<0，n<0,所以
y=mx+n的图象经过二、三、四象限。
1
通过描点法画出 = − 2 + 1
2
− 1的图象？
x=-1
【描点】
y
根据表中x，y的数值在坐标平面中描出对应的点
0
-4
【连线】
-2
用平滑曲线顺次连接各点，就得到
二次函数y=a(x-h)^2+ k的图像与性质
3．把二次函数y=4(x－1) 2的图像, 沿 x轴向 右平移 2 个单位，得到图像的 对称轴是直线x=3.
4．把二次函数y=－2x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y轴向下平
移2个单位，得到图像的顶点坐标是 __(-_3,_-2_)_．
抛物线y=a(x－h)2+k有如下
特点:
顶点式
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时，开口向下;
y 1和(x 1)2 1有什么y 关 系1 x?2
2
2
y 1 (x 1)2 1 2
y 1
y 1 x2 2
向下平移 y 1 x2 1
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 -2
-3
x
向左平移 1个单位
y 1 (x 1)2 1 2
-4 -5 -6
-7
平移方法2:
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
（4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 (-m,n) 。
5.如图所示的抛物线： 当x=_0_或__-_2时，y=0； 当x<－2或x>0时， y___<__0； 当x在 －__2 _< _x<_0 范围内时，y>0； 当x=___-1__时，y有最大值___3__.
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
二次函数y=a(x-h)^2的图像与性质
解析式
对称轴
顶点坐标 （1，1） （-1，1） （2，1） （-2，1） （3，-2） （-3，2）
最值
X=1 解析式 X=-1
1
1
X=2
1
X=-2
1
X=3
-2
X=-3
2
X=h
(h,k)
k
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h; (3)顶点是(h,k).
向上 向下 向下 向上
x=3 x=-3 x=2 x=-1
(3,3) (-3,-2) (2,-1) (-1,1)
3 -2 -1 1
结论: 一般地，抛物线 y = a(xh)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x －h)2＋k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
函数 y= 2（x-3）2+3 y= −2（x+3）2-2 y= −2（x-2）2-1 y= 3（x+1）2+1
开口方向对称轴顶点 Nhomakorabea最值
增减性 x<3，递减；x>3，递增 x>-3，递减；x<-3，递增 x>-2，递减；x<-2，递增 x<-1，递减；x>-1，递增
向上平移7个单位，向右平移3个单位
九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)^2+k的图象和性质》PPT
A B
？ 3m
1m
C
O
3m
合作探究（二）解决实际问题
例题：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端 安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 1 m 处达 到最高，高度为 3 m，水柱落地处离池中心 3 m，水管应多长？
y/m
3
A
2B 1
0O 1
C
2 3 x/m
九年级数学上册
二次函数 y = a(x - h)2 + k 的图象和性质（2）
学习目标
（1）理解如何由抛物线 y = ax2 通过平移变换得到抛物线 y = a(x - h)2 + k ， 体会由特殊到一般的研究数学问题的基本方法.
（2）通过图象了解二次函数 y = a(x - h)2 + k 的性质，进一步体会数形结 合思想.
与抛物线 y
1 =-
2
x2
有什么关系？
（4）
抛物线
y = - 1 x2 -1 2
与抛物线 y = - 1 x2 有什么关系？
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用
根据前面的课前准备，类比猜想：
抛物线 y 1 (x 1)2 1 是由抛物线 y 1 (x 1)2 怎样平移得到的？
2
2
合作探究（一） 猜想—验证—归纳—应用 在学案上画出二次函数 y 1 (x 1)2 1 的图象，验证猜想.
目标检测
抛物线 y 3[( x 7)2 3] 可由抛物线 y 3x2先向 下 平移 9 个 单位，再向 右 平移 7 个单位得到.
课后作业
如图，一位运动员在距篮下4米处 跳起投篮，球运行的路线是抛物线， 当球运行的水平距离为2.5米时，达到 最大高度3.5米，然后准确落入篮 圈．已知篮圈中心到地面的距离为 3.05米．若该运动员身高1.8米，在这 次跳投中，球在头顶上方0.25米处出 手，问：球出手时，他跳离地面的高 度是多少？
青岛版二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质___课件
解：∵二次函数图象的顶点是(1,-1)， ∴设抛物线解析式是y=a(x-1)2-1， ∵其图象过点(0,0)， ∴0= a(0-1)2-1， ∴a=1 ∴y= (x-1)2-1
（2）根据图象回答： x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
(2,0)
(1,-1)
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 （2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。 （3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 （4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1 y
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下 直线x=h （h，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
最值 当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
11.如图所示的抛物线： 0或-2 当x=_____时，y=0； < 当x<－2或x>0时， y_____0； 当x在－2 < x<0范围内时，y>0； _____ -1 3 当x=_____时，y有最大值_____.
（2）根据图象回答： x<0或x>2 时，y>0; (0,0) 当x 当x x=0或2 时，y=0; 当x 0< x<2 时，y﹤0。
(2,0)
(1,-1)
（1）抛物线y=a(x+2)2-3经过点（0，0）， 则a= 。 （2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经 过点（2，3），求它的解析式。 （3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 （4）抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-3 -1.5
-1 -1.5
-3 -5.5 …
再描点
后连线.
解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ( x 1) 2 1 … 2
-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
1 y
对称轴
顶点坐标
向上 直线x=h （h，0）
向下 直线x=h （h，0）
增减性
在对称轴的左侧,y随着x的增大 在对称轴的左侧,y随着x的增大 而减小. 在对称轴的右侧, y随 而增大. 在对称轴的右侧, y随 着x的增大而增大. 着x的增大而减小.
最值 当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
11.如图所示的抛物线： 0或-2 当x=_____时，y=0； < 当x<－2或x>0时， y_____0； 当x在－2 < x<0范围内时，y>0； _____ -1 3 当x=_____时，y有最大值_____.
《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》课件
《二次函数y=a(x-h)2+k的 图象和性质》
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
知识回顾 y＝ax2
图象
位置、开 口方向 对称性
顶点、 最值
增减性a>0yOx开口向上，在x轴上方.
a<0
y Ox
开口向下，在x轴下方.
a的绝对值越大，开口越小.
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0.
顶点坐标是（0，0）.
当x=0时，y最小值=0.
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
24
-2
-4
-6
y=−
12(x+1)
向左平移
2
1个单位长度
y=-12x2
向右平移 1个单位长度
y=-12(x-1) 2
二次函数 y=a(x±h)2(h>0) 的图象与 y=ax2 的图象的关系
y=ax2
向右平移 h 个单位长度时 向左平移 h 个单位长度时
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
左右平移规律：左加右减
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 ···
··· -4.5 -2
-1
2
0
-12 -2 -4.5 ···
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ···
-4.5 -2 ···
-12
0
-12
-2 -4.5 ···
在同一坐标系中画出函数 y=-12(x+1)2，y=-12(x-1) 2 的 图象,并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点.
2.描点
3.连线
思考：y=2x2 +1， y=2x2 -1的图象与 y=2x2 的图象有什 么关系？
10 8 6 4 2
-4 -2 -2
第11讲二次函数y=a(x-h)^2 k的图像及性质-人教版暑假班九年级数学上册教学案(教育机构专用)
圆梦堂文化培训学校精品班教案第 11 讲要点1二次函数y＝ax2＋k的图象和性质1. 二次函数y＝ax2＋k(a≠0)的图象是一条，其对称轴是轴，顶点坐标为 .2. 抛物线y＝ax2＋k，当a>0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而；当a<0时，开口向，顶点是它的最点，在对称轴左侧，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而.要点2二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的图象之间的平移当k>0时，y＝ax2＋k是将y＝ax2的图象向上平移个单位得到的；当k<0时，y＝ax2＋k是将y ＝ax2的图象向平移|k|个单位得到的.要点3二次函数y＝a(x－h)2的图象和性质1. 二次函数y＝a(x－h)2(a≠0)的图象是一条，其对称轴是，顶点坐标为.2. 抛物线y ＝a (x －h )2，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点4 二次函数y ＝a (x －h )2与y ＝ax 2图象之间的平移当h >0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向右平移 个单位得到的；当h <0时，y ＝a (x －h )2是将y ＝ax 2的图象向 平移|h |个单位得到的. 要点5 二次函数y ＝a (x －h )2+k 的图象和性质1. 二次函数y ＝a (x －h )2+k(a ≠0)的图象是一条 ，其对称轴是 ，顶点坐标为 .2. 抛物线y ＝a (x －h )2+k ，当a >0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 ；当a <0时，开口向 ，顶点是它的最 点，在对称轴左侧，y 随x 的增大而 ；在对称轴右侧，y 随x 的增大而 . 要点6 二次函数y ＝a (x －h )2+k 与y ＝ax 2图象之间的平移y ＝a (x －h )2+k 是将y ＝ax 2的图象向右(左）平移 个单位再向上（下）平移 个单位得到的；左加右减自变量；上加下减函数值。
函数y=a(x-h)^2+k的图象及其性质
y 2x2
y 2( x 1) 2 y 2( x 1)2 2
2 3 4 x
对称轴为：直线x= 1。 顶点坐标为： (1, 2) 抛物线y=2x2先向右平 移1个单位,再向上平 移2个单位就得到抛物 线y= 2(x-1)2+2
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
y=ａ（x-h）2+k的图象和性质
1、能作出y=a(x-h)2+k的图象，理解a、 h、k对二次函数图象的影响. 2、能说出y=a(x-h)2+k的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间 的联系.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
1 3, 2
向上 向下 向上 向下
y
1 x 12 5 3
2
1, 3,
5 5
y 2x 3 5
y 0.5x 1
3 y x2 1 4
2
1, 0
向下
向上 向上 向下
直线x=0
直线x=2 直线x=-4 直线x=3
y 2x 2
向下 向下
y 2x 1 3
y 2x 1
向 下 平 移 3 个 单 位
2
向左平移1个单位
y 2x 2
-6
-4
-2
2
4
6
x 12 y 2
-1
-2
y 2x 2
-3
-4
-5
y 2x 1 3
y 2( x 1) 2 y 2( x 1)2 2
2 3 4 x
对称轴为：直线x= 1。 顶点坐标为： (1, 2) 抛物线y=2x2先向右平 移1个单位,再向上平 移2个单位就得到抛物 线y= 2(x-1)2+2
y
y=2(x-1)2+2
y=2x2
2 1
o
y=2(x-1)2
y=ａ（x-h）2+k的图象和性质
1、能作出y=a(x-h)2+k的图象，理解a、 h、k对二次函数图象的影响. 2、能说出y=a(x-h)2+k的图象的开口 方向、对称轴和顶点坐标.以及他们之间 的联系.
二次函数y=a(x-h)2的性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向 ３.增减性与最值 根据图形填表： y=a(x-h)2 (a>0) 抛物线
1 3, 2
向上 向下 向上 向下
y
1 x 12 5 3
2
1, 3,
5 5
y 2x 3 5
y 0.5x 1
3 y x2 1 4
2
1, 0
向下
向上 向上 向下
直线x=0
直线x=2 直线x=-4 直线x=3
y 2x 2
向下 向下
y 2x 1 3
y 2x 1
向 下 平 移 3 个 单 位
2
向左平移1个单位
y 2x 2
-6
-4
-2
2
4
6
x 12 y 2
-1
-2
y 2x 2
-3
-4
-5
y 2x 1 3
26.1.3(第五课时)二次函数y=a(x-h)^2+ k的图象与性质___课件
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1 2
2
y 3x 1
2
X=1 对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=1);增减性与y= -3x2类似.
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2-2的图象和抛物 线y=-3x² ,y=-3(x-1)2有什 么关系? 它的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什 么? 2
y 3x 1 2
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y 3x 1 2
2
顶点分别是 (-1,2)和(-1,-2)..
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
对称轴仍是平行于y轴的直线 (x=-1);增减性与y= -3x2类似.
先想一想,再总结二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.
y=3x2 y=3x2
向右
向右
y=3(x-1)2 y=3(x-1)2
向上
向下
y=3(x-1)2+2 y=3(x-1)2-2
2 向右 y=-3x 2 向右 y=-3x 2 向左 y=-3x 2 向左 y=-3x
y 3x 1
2
2
y 3x
x=1
2
二次函数y=-3(x+1)2+2 与y=-3(x+1)2-2的图象 可以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向左平移1个 单位,再沿直线x=-1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.