通信原理新讲稿第3章随机过程精品PPT课件
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通信原理ppt课件——第三章
输出信号
两条路径信道模型
34
频域表示 信道传输函数为
35
信道幅频特性为
若两条路径的相对时 延差 固定，则信 道的幅频特性为：
36
若两条路径的相对时延差相对时延
差
是随机参量 ，则信道的幅
频特性为：
多径传播信道的相关带宽 ——信道传输特性相邻两个零点之间的频率间隔
信道最大多径时延差
37
• 如果信号的频谱比相关带宽宽，则会产生严重的频率 选择性衰落，为了减少频率选择性衰落，就应使信号 的频谱小于相关带宽（通常选择信号带宽为相关带宽 的1/3~1/5）
（噪声）。
根据以上几条性质，调制 信道可以用一个二端口线 性时变网络来表示，该网 络称为调制信道模型：
调制信道模型
4
二端口的调制信道模型，其输出与输入的关系有
一般情况下，
可以表示为信道单位冲激响应c(t)与输入
பைடு நூலகம்
信号的卷积， c(t)的傅里叶变换C(w)是信道传输函数：
或
可看成是乘性干扰
根据信道传输函数 的时变特性的不同，将物理信道分为
21
➢自由空间传播 ——当移动台和基站天线在视距范围之内，这时
电波传播的主要方式是直射波，其传播可以按自由 空间传播来分析。
设发射机输入给天线功率为 (W)，则接收天线 上获得的功率为
22
自由空间传播损耗定义为 当发射天线增益和接收天线增益都等于1时
用 dB可表示为
自由空间传播损耗与距离d的平 方成正比，距离越远损耗越大
发送信号
单一频率正弦波
陆地移动多径传播
多径信道一共有n条路径，各条 路径具有时变衰耗和时变传输 时延且各条路径到达接收端的 信号相互独立，则接收端接收 到的合成波为
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
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随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
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随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
随机过程第三课件PPT资料(正式版)
2
为止已发生的“事件A”的总数，且N 泊松过程的基本性质
分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。
(t)满足下列条件：
3 泊松过程的应用举例
(1) N (t) 0 ; 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示时刻事件A发生（顾客出现）的次数，
(2) 时间间隔与等待时间的分布
<
n
，求在
[
0
,
s
]
内事件A发生
k
次的概率。
F(t)P{Tt} 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ( Tn )。
n
0, t0 Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间
随机过程第三课件
引言
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，
而取各个值的概率为
P {Xk}ke, k0,1 ,2, (0 为常 ) 数
k! 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E (X ) , D (X )
3.1 泊松过程的定义
已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数 的泊松过程。
(2) 时间间隔与等待时间的分布
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示时刻事件A 发生（顾客出现）的次数，
T1 T2 T3
Tn
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间
Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
(3) 到达时间的条件分布 分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
第三章通信原理 随机过程
或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P
、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
通信原理课件第3章_随机过程
严平稳随机过程的数字特征： （1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 4.广义平稳随机过程 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 意义： ●具有各态历经性平稳随机过程－－十分有趣，非常有用。
●平稳随机过程的统计特性不随时间的推移而改变，即它的 一维分布函数与时间t无关：
f1 ( x1 , t1 ) f1 ( x1 )
●而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) f 2 ( x1 , x2 ; )
3. 数字特征
E (t ) x1 f1 ( x1 )dx1 a
2017/2/12
通信原理
6
第3章 随机过程
概括：
随机过程ξ(t)的含义／属性有两点： （1）ξ(t)是t 的函数； （2）ξ(t)在任一时刻 t1上的取值ξ(t1)不是确定的，是一个 随机变量。即每个时刻上的函数值是按照一定的概率分布 的。 概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
研究内容－－随机过程统计特征： 3.1.1 随机过程的分布函数 3.1.2 随机过程的数字特征
2 (t )
n (t )
t1 t2
t
图3-1 n部接收机的输出波形 讨论： ●在任一给定时刻t1上，每一个样本函数i (t)都是一个确定的 数值i (t1)，但是每个i (t1)都是不可预知的－－为随机量。 ●换句话说，随机过程在任意时刻t1的值ξ(t1)是一个随机变量。 ●因此，又可以把随机过程看作是在时间进程中处于不同时 刻的随机变量的集合。
2017/2/12
Hale Waihona Puke 通信原理7第3章 随机过程
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习53页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
精品课件-通信系统原理-第3章
(3.1)
概率的取值范围为lim0~1n，C P(AP)=(0C的)事件A称为不可能事件， P(A)=1的事件A称为必N然事N件。
第3章 随机信号分析
3.2.2 复杂事件 复杂事件是指两个或两个以上简单事件构成的事件，并且
事件之间有一个相互关系问题。其基本关系大致有如下几种： (1) 事件相等：若事件A的发生必然导致事件B的发生，而
第3章 随机信号分析
虽然随机信号和噪声都具有不可预测的波形特点，但两者 的意义完全不同。随机信号的不可预测性是它携带信息的能力， 而噪声的不可预测性则是有害的，它将使有用信号受到污染。研 究发现，随机信号和噪声的统计特性有许多差异，因此可以利用 这种差异在某种程度上把信号从噪声中提取出来，并且尽量恢复 信号所携带的信息。
当随机变量X的取值个数是有限的或者可数无限个时，则 称它为离散随机变量，否则就称为连续随机变量，即可能的取 值充满某一有限或无限区间。
第3章 随机信号分析
1. 概率分布函数和概率密度函数
假设随机变量X可以取xi=x1，x2，x3，x4四个值，并且有 x1<x2<x3<x4，相应的概率为P(xi)或P(X=xi)，则有P(X≤x2)= P(x1)+P(x2)。用P(X≤x)定义的x的函数称为随机变量X的概率 分布函数，简称分布函数，记作F(x)，即
本章将在复习概率论基本概念的基础上，对随机信号和噪 声的数学模型即随机过程进行理论分析，然后用随机过程理论来 研究实际应用问题。
第3章 随机信号分析
3.2 随机事件与概率 3.2.1 事件和概率
在概率论中，把某次试验中可能发生的和可能不发生的事 件称为随机事件，简称事件。例如，二元数字序列的某一位的 取值就是一个随机事件。对随机现象进行的这种试验，称为随 机试验。
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数字特征：
E(t) x1f1(x1)d1x a
R (t1,t2)E [(t1)(t1)]
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 特点：（1）其均值与 t 无关，为常数 a ；
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
具有以上两个特点称为广义平稳随机过程。
15
3.2 平稳随机过程
用下面函数描述:
随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1,t1)F1(xx11,t1)
偏导存在
4
3.1 随机过程基本概念
一维统计特性不能描述多个时刻上随机变量的关系， 即随机过程随时间变化的特点。
13
3.2 平稳随机过程
性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性
不随时间的推移而改变，即它的一维分布函 数与时间 t 无关：
f1(x1,t1)f1(x1)
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x 1 ,x 2 ;t1 ,t2 ) f2 (x 1 ,x 2 ;)
14
3.2 平稳随机过程
三、 随机过程的数字特征 4、协方差函数
B (t1 ,t2 ) E [(t1 ) a (t1 )][(t2) a (t2)]
[x 1 a (t1 )][x 2 a (t2 )]f2 (x 1 ,x 2 ;t1 ,t2 )d x 1 d x 2
式中 a (t1) 、 a (t2) --- 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) --- (t)的二维概率密度函数
随机过程 (t)的任意n维分布函数：
F n(x1,x2, ,xn;t1,t2, tn)
P(t1)x1,(t2)x2, ,(tn)xn
随机过程 (t)的任意n维概率密度函数：
fn(x1，x2， ，xn；t1，t2， ，tn)
偏
nFn(x1，x2， x1， x2x n； xt1n，t2， ，tn)
导 存 在
随机过程 (t)的二维分布函数：
F 2 ( x 1 , x 2 ; t 1 , t 2 , ) P ( t 1 ) x 1 , ( t 2 ) x 2
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
偏 导 存 在
5
3.1 随机过程基本概念
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值
{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处
于不同时刻的随机变量的集合。
3
3.1 随机过程基本概念
二、随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 t1的值 (t1) 是一个随机变量，随机变量的统计特性可以
6
3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
1. 均值（数学期望）：
在任意给定时刻 t1 的取值 (t1) 是随机变量，均值
E(t1)x1f1(x1,t1)dx1 由于 t1 是任取的，所以可以(把t1)的t1概直率接密写度为函t ，数
x1 改为 x ，这样 上式
E(t) xf1(x,t)dx
一、定义、性质与特点：
若一个随机过程 (t) 的任意有限维分布
函数与时间起点无关，也就是说，对于任
意的正整数 n 和所有实数 ，有
fn(x1,x2, ,xn ； t1,t2, ,tn) fn(x1,x2, ,xn ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
三、 随机过程的数字特征 3、相关函数
R(t1,t2)E[(t1)(t2)]
x1x2f2(x1,x2;t1,t2)d1x d2x
式中， (t1) 和 (t2) 分别是在 t1 和 t2 时刻
观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2) 是两个变量 t1 和 t2 的确定函数。
10
3.1 随机过程基本概念
通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数 可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机 过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且 均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻 t1 直接写成了t 。
D[(t)]Eξ2t2atξta2t E[ξ2(t)]2atEξta2(t)
E[ξ2(t于均方值与均值平方之差，表示随机过程在 t 对于
均值 a ( t ) 的偏离程度。
9
3.1 随机过程基本概念
11
3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征 相关函数与协方差函数关系为：
B(t1, t2)=R(t1, t2) - a(t1)a(t2)
由于B(t1, t2)和R(t1, t2) 是衡量同一过程的相关 程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差 函数和自相关函数。
12
3.2 平稳随机过程
是确定的时间函数。
n台示波器同时观随测机并过记程录：这 n(t台) =接{收1 (机t), 的2输(t)出, …噪, 声n波(t)形}
是全部样本函数的集合。
1 (t ) 2 (t)
n (t)
0
t1
t2
t
2
3.1 随机过程基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在任一给定时刻t1上，每一个样本函数 i (t) 都是一个 确定数值 i (t1) ，但是每个 i (t1) 都是不可预知的。
第3章 随机过程
3.1 随机过程基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声
1
3.1 随机过程基本概念
一、随机过程ξ(t) 的定义： 随时间变化的随机变量（ξ）
(t)
样本函数i (t)：随机过程的一次实现，
7
3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
1、均值
(t) 的均值是时间的确定函数，常记作 a ( t )，
(t)
它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
1 (t ) 2 (t)
n (t)
a (t )
t
0
8
3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
2、方差
D [(t) ] E [(t) a (t) ] 2
E(t) x1f1(x1)d1x a
R (t1,t2)E [(t1)(t1)]
x1x2f2(x1,x2;)d1d x2x R () 特点：（1）其均值与 t 无关，为常数 a ；
（2）自相关函数只与时间间隔 有关。
具有以上两个特点称为广义平稳随机过程。
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3.2 平稳随机过程
用下面函数描述:
随机过程 (t)的一维分布函数：
F 1 ( x 1 ,t1 ) P [( t1 ) x 1 ]
随机过程 (t)的一维概率密度函数：
f1(x1,t1)F1(xx11,t1)
偏导存在
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3.1 随机过程基本概念
一维统计特性不能描述多个时刻上随机变量的关系， 即随机过程随时间变化的特点。
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3.2 平稳随机过程
性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性
不随时间的推移而改变，即它的一维分布函 数与时间 t 无关：
f1(x1,t1)f1(x1)
而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关：
f2 (x 1 ,x 2 ;t1 ,t2 ) f2 (x 1 ,x 2 ;)
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3.2 平稳随机过程
三、 随机过程的数字特征 4、协方差函数
B (t1 ,t2 ) E [(t1 ) a (t1 )][(t2) a (t2)]
[x 1 a (t1 )][x 2 a (t2 )]f2 (x 1 ,x 2 ;t1 ,t2 )d x 1 d x 2
式中 a (t1) 、 a (t2) --- 在t1和t2时刻得到的 (t)的均值 f2 (x1, x2; t1, t2) --- (t)的二维概率密度函数
随机过程 (t)的任意n维分布函数：
F n(x1,x2, ,xn;t1,t2, tn)
P(t1)x1,(t2)x2, ,(tn)xn
随机过程 (t)的任意n维概率密度函数：
fn(x1，x2， ，xn；t1，t2， ，tn)
偏
nFn(x1，x2， x1， x2x n； xt1n，t2， ，tn)
导 存 在
随机过程 (t)的二维分布函数：
F 2 ( x 1 , x 2 ; t 1 , t 2 , ) P ( t 1 ) x 1 , ( t 2 ) x 2
随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2(x1,x2;t1,t2)2F2 (xx1 1,x2 x;2t1,t2)
偏 导 存 在
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3.1 随机过程基本概念
在一个固定时刻t1上，不同样本的取值
{i (t1), i = 1, 2, …, n} 是一个随机变量，记为 (t1)。
换句话说，随机过程在任意时刻的值是一随机变量。 因此，我们又可以把随机过程看作是在时间进程中处
于不同时刻的随机变量的集合。
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3.1 随机过程基本概念
二、随机过程的分布函数
设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻 t1的值 (t1) 是一个随机变量，随机变量的统计特性可以
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3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
1. 均值（数学期望）：
在任意给定时刻 t1 的取值 (t1) 是随机变量，均值
E(t1)x1f1(x1,t1)dx1 由于 t1 是任取的，所以可以(把t1)的t1概直率接密写度为函t ，数
x1 改为 x ，这样 上式
E(t) xf1(x,t)dx
一、定义、性质与特点：
若一个随机过程 (t) 的任意有限维分布
函数与时间起点无关，也就是说，对于任
意的正整数 n 和所有实数 ，有
fn(x1,x2, ,xn ； t1,t2, ,tn) fn(x1,x2, ,xn ； t1 ,t2 , ,tn )
则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。
三、 随机过程的数字特征 3、相关函数
R(t1,t2)E[(t1)(t2)]
x1x2f2(x1,x2;t1,t2)d1x d2x
式中， (t1) 和 (t2) 分别是在 t1 和 t2 时刻
观测得到的随机变量。可以看出，R(t1, t2) 是两个变量 t1 和 t2 的确定函数。
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3.1 随机过程基本概念
通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数 可视为平稳的随机过程。以后讨论的随机 过程除特殊说明外，均假定是平稳的， 且 均指广义平稳随机过程， 简称平稳过程。
方差常记为 2( t )。这里也把任意时刻 t1 直接写成了t 。
D[(t)]Eξ2t2atξta2t E[ξ2(t)]2atEξta2(t)
E[ξ2(t于均方值与均值平方之差，表示随机过程在 t 对于
均值 a ( t ) 的偏离程度。
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3.1 随机过程基本概念
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3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征 相关函数与协方差函数关系为：
B(t1, t2)=R(t1, t2) - a(t1)a(t2)
由于B(t1, t2)和R(t1, t2) 是衡量同一过程的相关 程度的， 因此，它们又常分别称为自协方差 函数和自相关函数。
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3.2 平稳随机过程
是确定的时间函数。
n台示波器同时观随测机并过记程录：这 n(t台) =接{收1 (机t), 的2输(t)出, …噪, 声n波(t)形}
是全部样本函数的集合。
1 (t ) 2 (t)
n (t)
0
t1
t2
t
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3.1 随机过程基本概念
角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。
在任一给定时刻t1上，每一个样本函数 i (t) 都是一个 确定数值 i (t1) ，但是每个 i (t1) 都是不可预知的。
第3章 随机过程
3.1 随机过程基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程 3.6 正弦波加窄带高斯噪声 3.7 高斯白噪声和带限白噪声
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3.1 随机过程基本概念
一、随机过程ξ(t) 的定义： 随时间变化的随机变量（ξ）
(t)
样本函数i (t)：随机过程的一次实现，
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3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
1、均值
(t) 的均值是时间的确定函数，常记作 a ( t )，
(t)
它表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心 :
1 (t ) 2 (t)
n (t)
a (t )
t
0
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3.1 随机过程基本概念
三、 随机过程的数字特征
2、方差
D [(t) ] E [(t) a (t) ] 2