工程电磁场2-2
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工程电磁场导论课件
距离远等优点。
电磁场在医疗领域的应用
要点一
总结词
电磁场在医疗领域的应用包括核磁共振成像、微波治疗、 电磁波透视等，为疾病诊断和治疗提供了重要手段。
要点二
详细描述
核磁共振成像是一种无创的影像学检查方法，利用强磁场 和射频脉冲使人体组织中的氢原子发生共振，从而产生人 体结构的图像。微波治疗则利用特定频率的电磁波对病变 组织进行加热，达到治疗肿瘤、炎症等疾病的目的。电磁 波透视则用于观察人体内部器官的形态和功能。
时变电磁场
04
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的理论基础， 包括描述电场和磁场变化的微分方程。
麦克斯韦方程组还包括安培环路定律、法拉第电 磁感应定律和洛伦兹力定律等基本物理规律。
这些方程组揭示了电磁场之间的相互依赖关系， 以及它们随时间变化的规律。
波动方程与电磁波速
01
时变电磁场中的波动方程描述了电场和磁场随时间和空间的变 化规律。
电场中的电位差与电动势
电位差
两点之间的电位之差，等于两点之间的电压。
电动势
电源内部非静电力克服静电力做功将其他形式的能转化为电能的本领，其方向由电源负极指向正极。
恒定磁场
03
磁感应强度与磁场强度
磁感应强度
描述磁场强弱和方向的物理量，用B 表示，单位是特斯拉（T）。
磁场强度
描述电流产生磁场能力的物理量，用 H表示，单位是安培/米（A/m）。
静电场
02
电场强度与电位
电场强度
描述电场力的矢量，其方向与电场中 某点的电场方向相同，大小等于单位 正电荷在该点所受的电场力。
电位
描述电场中某点的能量状态，其大小 与电场强度和位置有关，其定义式为 $V = int_{0}^{r}Edl$。
电磁场在医疗领域的应用
要点一
总结词
电磁场在医疗领域的应用包括核磁共振成像、微波治疗、 电磁波透视等，为疾病诊断和治疗提供了重要手段。
要点二
详细描述
核磁共振成像是一种无创的影像学检查方法，利用强磁场 和射频脉冲使人体组织中的氢原子发生共振，从而产生人 体结构的图像。微波治疗则利用特定频率的电磁波对病变 组织进行加热，达到治疗肿瘤、炎症等疾病的目的。电磁 波透视则用于观察人体内部器官的形态和功能。
时变电磁场
04
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述时变电磁场的理论基础， 包括描述电场和磁场变化的微分方程。
麦克斯韦方程组还包括安培环路定律、法拉第电 磁感应定律和洛伦兹力定律等基本物理规律。
这些方程组揭示了电磁场之间的相互依赖关系， 以及它们随时间变化的规律。
波动方程与电磁波速
01
时变电磁场中的波动方程描述了电场和磁场随时间和空间的变 化规律。
电场中的电位差与电动势
电位差
两点之间的电位之差，等于两点之间的电压。
电动势
电源内部非静电力克服静电力做功将其他形式的能转化为电能的本领，其方向由电源负极指向正极。
恒定磁场
03
磁感应强度与磁场强度
磁感应强度
描述磁场强弱和方向的物理量，用B 表示，单位是特斯拉（T）。
磁场强度
描述电流产生磁场能力的物理量，用 H表示，单位是安培/米（A/m）。
静电场
02
电场强度与电位
电场强度
描述电场力的矢量，其方向与电场中 某点的电场方向相同，大小等于单位 正电荷在该点所受的电场力。
电位
描述电场中某点的能量状态，其大小 与电场强度和位置有关，其定义式为 $V = int_{0}^{r}Edl$。
工程电磁场第1章 静电场new
Gauss’s Theorem
F qt
q
4π 0 R 2
eR
V/m
一般表达式为
Ep (r)
4π 0
q r
r
'2
r r
r r
' '
q
4π0 r r ' 3 (r r ') 5/169
点电荷的物理模型和数学模型
点电荷是电荷体分布的极限 情况，可以把它看成是一个体积 很小，电荷密度很大，总电量不 变的带电小球体。
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
dq dV
1 dV
E
4π 0
V
R2 eR
dq dS
1 dS
E
4π 0
S
R2 eR
dq dl
E 1
4π 0
l
dl
R2
e
R
例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电
荷线密度为 ,试求P 点的电场。
2
)3 2
dz
E
L2 L1
4π
o
(
z2
2
)3 2
dz
1
1
(
)
4πo L22 2 L12 2
( L2 L1 ) 4πo L22 2 L12 2
例题讨论
当L L1 L2
E(,, z)
时,
0
E e Ezez
单位点电荷的密度分布
当 a→0时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数d表 示点电荷的密度分布。
F qt
q
4π 0 R 2
eR
V/m
一般表达式为
Ep (r)
4π 0
q r
r
'2
r r
r r
' '
q
4π0 r r ' 3 (r r ') 5/169
点电荷的物理模型和数学模型
点电荷是电荷体分布的极限 情况，可以把它看成是一个体积 很小，电荷密度很大，总电量不 变的带电小球体。
体电荷分布 面电荷分布 线电荷分布
dq dV
1 dV
E
4π 0
V
R2 eR
dq dS
1 dS
E
4π 0
S
R2 eR
dq dl
E 1
4π 0
l
dl
R2
e
R
例1.1.1 真空中有一长为L的均匀带电直导线，电
荷线密度为 ,试求P 点的电场。
2
)3 2
dz
E
L2 L1
4π
o
(
z2
2
)3 2
dz
1
1
(
)
4πo L22 2 L12 2
( L2 L1 ) 4πo L22 2 L12 2
例题讨论
当L L1 L2
E(,, z)
时,
0
E e Ezez
单位点电荷的密度分布
当 a→0时，电荷密度趋近于无穷大，通常用冲击函数d表 示点电荷的密度分布。
《工程电磁场》习题答案
2
r' R
(
R d
)
2
4 R
d
R
2
8-1 一个空气介质的电容器，若保持板极间电压不变，向电容器的板极间注满介电常数为
4 0 的油，问注油前后电容器中的电场能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前
后电容器中的电场能量密度又将如何改变？ 解：
c E
s
d U d
D E c Q U we 1 1 D E E 2 2
1 br u 0 ih 2
) dr a b ln ac bc )
0
u 0 ih 2 u 0 ih 2
ar br
(ln
a (b c ) b(a c)
u 0 whI cos wt b(a c) a (b c )
d dt
m
2
ln
6-4 如题 6-4 图所示，一半径为 R 的接地体球，过球面上一点 P 作球面的切线 PQ,在 Q 点 放置点电荷 q，求 P 点的电荷面密度， 解：
E
0
2 0 r
2-8 解： E 2 r
E
r
2
0
E
r 2 0
2 0
R r
2 0
d
2-15 解：电场切向连续，电位移矢量法向连续
E 2 x 2 0, E 2 y 1 0, D 2 z 5 0 r 0
JD D t E t
U m
d
w cos wt
2 rH r J D r
2 2
wU
d
m
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(
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2
4 R
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2
8-1 一个空气介质的电容器，若保持板极间电压不变，向电容器的板极间注满介电常数为
4 0 的油，问注油前后电容器中的电场能量密度将如何改变？若保持电荷不变，注油前
后电容器中的电场能量密度又将如何改变？ 解：
c E
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D E c Q U we 1 1 D E E 2 2
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) dr a b ln ac bc )
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a (b c ) b(a c)
u 0 whI cos wt b(a c) a (b c )
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2
ln
6-4 如题 6-4 图所示，一半径为 R 的接地体球，过球面上一点 P 作球面的切线 PQ,在 Q 点 放置点电荷 q，求 P 点的电荷面密度， 解：
E
0
2 0 r
2-8 解： E 2 r
E
r
2
0
E
r 2 0
2 0
R r
2 0
d
2-15 解：电场切向连续，电位移矢量法向连续
E 2 x 2 0, E 2 y 1 0, D 2 z 5 0 r 0
JD D t E t
U m
d
w cos wt
2 rH r J D r
2 2
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d
m
工程电磁场0022解读
1 E 40
1 dV R V 1 dV C R V
1 40
上式中，常数 C 的梯度为零。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
6
工程电磁场
主讲人： 王泽忠
可知，电场强度可表示为 某个标量函数的负梯度。 把这个标量函数定义为电位，用 来表示。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
9
工程电磁场
电位的唯一性问题
主讲人： 王泽忠
可以由选择电位参考点来解决。 电位的参考点就是强迫电位为零的点。 在电荷分布于有限区域的情况下， 选择无穷远处为电位参考点，计算比较方便。 这时，前面电位计算式中的常数 C 为零。
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
z l r z l
2 2
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
33
工程电磁场
cos 2 zl r z l
2
主讲人： 王泽忠
2
r z l z l ln 2 2 4 0 r z l z l
2 2
当 z l 时
主讲人： 王泽忠
E
P
Q
dl
两点之间的电位差，又称为电压， 等于电场强度在这两点之间的线积分。 如果 Q 点的电位已知，则
P Q E dl
P
Q
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
13
工程电磁场
选择 Q 点为参考点， 令 Q 0 ， 则 P 点的电位为
主讲人： 王泽忠
2018/9/28
华北电力大学电气与电子工程学院
工程电磁场知识点总结
工程电磁场知识点总结第一章矢量分析与场论1 源点是指。
2 场点是指。
3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。
4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。
5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。
6 方向导数与梯度的关系为7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。
8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。
11 高斯散度定理。
12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。
13 旋度的物理含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。
15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为。
16 斯托克斯定理17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为，18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为，19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0)第二章静电场1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。
2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。
3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。
4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。
5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。
222??RRR6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。
11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。
12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。
13 静电场中电场强度线与等位面14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。
工程电磁场导论
电磁场的近似计算方法
格林函数法
利用格林函数表示电磁场，通过求解格林函数的积分方程来得到 电磁场的近似解。
模式匹配法
将复杂的电磁场分解为若干个简单模式的叠加，对每个模式进行 单独分析，最后再综合得到整体解。
摄动法
将原问题转化为摄动问题，利用摄动展开的方法得到问题的近似 解。
电磁场实验测量方法
1 2
磁感应线
表示磁感应强度的闭合曲 线，其疏密程度表示磁场 强度的大小。
磁通量
穿过某一面积的磁感应线 的代数和，表示磁场对某 一区域的穿透程度。
磁场力
安培力
01
通电导线在磁场中受到的力，与电流和磁感应强度的方向垂直。
洛伦兹力
02
带电粒子在磁场中受到的力，与粒子速度和磁感应强度的方向
垂直。
磁场力的应用
03
磁场测量
利用磁力计、磁通门等设备测量磁场的大小和方 向。
电场测量
利用电场探头、电压表等设备测量电场的大小和 方向。
3
电磁波测量
利用天线、频谱分析仪等设备测量电磁波的强度、 频率、极化等参数。
THANKS.Βιβλιοθήκη 工程电磁场导论目录
• 工程电磁场的基本概念 • 静电场 • 恒定磁场 • 时变电磁场 • 工程电磁场中的问题和方法
工程电磁场的基本概
01
念
电磁场的定义
01
电磁场是由电荷和电流产生的物 理场，它具有能量、动量和电荷 守恒等基本物理属性。
02
电磁场由电场和磁场组成，电场 和磁场是相互依存、相互制约的 。
电磁波在传播过程中会受到介质的影响，发生折 射、反射、散射等现象。
电磁波的传播规律可用于通信、雷达、遥感等领 域。
工程电磁场(高等教育出版社,冯慈章主编)
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第 一 章
静 电 场
例
试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
解
2 p ln C 2 0 1
h12 a12 b 2 2 2 2 h a b 2 2 h h d 2 1
2 d 2 a12 a2 h1 2d 2 2 2 h d a2 a1 2 2d
电轴法electricaxismethod问题长直平行双传输线在传输线系统中导线之间的静电感应作用使导线表面的电荷分布不均匀直接求解电场分布很困边值问题导线以外的空间constconst导体导体应用镜像法求解镜像电荷长直带电细导线替代感应电荷的作用镜像电荷的位置电轴法lnln圆心坐标圆半径右半平面
第 一 章
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方程相同，边界条件相同，解唯一。
第 一 章
静 电 场
上半场域的电位和电场 q q p 4πε0 r1 4πε0 r2
r1 r2
p
注意
q q Ep 2 er 1 2 er 2 4πε0 r1 4πε0 r2
① -q 是虚设的电荷，称为镜像电荷，用来替代导板 上复杂分布的感应电荷的作用； ② 镜像电荷应放置在所求区域（有效区）以外； ③ 根据叠加原理，导板上方有任意分布的电荷时也可 作相应的镜像。
2bK a K 2 1
K 取不同值时，得到一族等电位圆。
1 K
0 K 1
b h 0 a 右半平面。 b h 左半平面。 0a
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第 一 章
静 电 场
K 2 1 圆心坐标 x h 2 b , y 0 K 1
武汉工程大学工程电磁场第2章 静电场(二)
D 2 2 2 2 x0 R0 x0 R0 2
2
x0 －x0 d
2 R 0 R0 d x0 2d
静电场的唯一性定理及其应用
第二种情形：设封闭导体壳的内 表面为S2，对于壳内区域而言它是 一个边界面。首先，S2是一个等位 面。其次，如在壳内紧贴S2作一高 斯面S，则有
S n dS q1
（电位移矢量 D 的通量为q1）
以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅 决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯 一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可 以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外 电荷q2的影响。有时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。
2.1
静电场的唯一性定理及其应用
1、唯一性定理
唯一性定理可叙述为：对于任一静态场，在边界条件 给定后，空间各处的场也就唯一地确定了，或者说这时拉 普拉斯方程的解是唯一的。
◇ 可以证明在每一类边界条件下泊松方程或拉普拉斯方 程的解都是唯一的。这就是边值问题的唯一性定理 ◇ 唯一性定理的意义：是间接求解边值问题的理论 依据。
§2-2 平 行 双 电 轴 法
一、平行双电轴电场
平行双电轴电场是一个平行 平面场，在垂直于电轴的各个平 面上，场有完全相同的分布图形 设介质电容率为ε0的空间有两无限长平行电轴，两电轴 所带有的电荷线密度分别为 ,
E
由高斯定理可得两电轴分别产 生的电场强度表达式为
E
0
h
R'
q
q 1 1 4 0 R R '
《工程电磁场》课件
《工程电磁场》ppt课件
目录
contents
绪论电磁场的基本理论工程电磁场的数值分析方法工程电磁场的实验研究工程电磁场的应用案例
01
绪论
总结词
工程电磁场的定义、重要性及与其他学科的关系
详细描述
工程电磁场是一门研究电磁场理论及其应用的学科，它在现代工程技术和科学领域中具有非常重要的地位。工程电磁场与物理学、数学、电子学、通信工程等多个学科有着密切的联系，是这些学科的重要基础之一。
详细描述
矩量法是一种用于分析电磁场中电流分布的数值分析方法。它将连续的电流分布离散化为有限个矩量，每个矩量可以用简单的函数来表示。然后通过求解这些矩量的线性方程组，得到原电流分布的近似解。矩量法在电磁场数值分析中具有广泛的应用，尤其适用于分析复杂结构的电磁散射和辐射问题。
04
工程电磁场的实验研究
在电力工业中，电磁场被广泛应用于发电、输电、配电和电机控制等领域。发电机和变压器利用电磁场将机械能转换为电能，输电线路利用电磁场传输电能，电动机利用电磁场将电能转换为机械能。
提高电力系统的稳定性和效率
通过研究和应用电磁场理论，电力工程师可以优化电力系统的设计和运行，提高电力传输的稳定性和效率，减少能源损失，降低环境污染。
详细描述
有限元法是一种广泛应用于工程电磁场数值分析的方法。它将复杂的电磁场问题分解为多个简单的子问题，通过离散化处理，将连续的求解域转化为有限个小的互连子域，每个子域可以用简单的近似函数来表示。然后通过求解这些子域的方程组，得到原问题的近似解。
一种将连续的求解域离散化为有限个离散点，并利用差分近似表示原偏微分方程的方法。
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
目录
contents
绪论电磁场的基本理论工程电磁场的数值分析方法工程电磁场的实验研究工程电磁场的应用案例
01
绪论
总结词
工程电磁场的定义、重要性及与其他学科的关系
详细描述
工程电磁场是一门研究电磁场理论及其应用的学科，它在现代工程技术和科学领域中具有非常重要的地位。工程电磁场与物理学、数学、电子学、通信工程等多个学科有着密切的联系，是这些学科的重要基础之一。
详细描述
矩量法是一种用于分析电磁场中电流分布的数值分析方法。它将连续的电流分布离散化为有限个矩量，每个矩量可以用简单的函数来表示。然后通过求解这些矩量的线性方程组，得到原电流分布的近似解。矩量法在电磁场数值分析中具有广泛的应用，尤其适用于分析复杂结构的电磁散射和辐射问题。
04
工程电磁场的实验研究
在电力工业中，电磁场被广泛应用于发电、输电、配电和电机控制等领域。发电机和变压器利用电磁场将机械能转换为电能，输电线路利用电磁场传输电能，电动机利用电磁场将电能转换为机械能。
提高电力系统的稳定性和效率
通过研究和应用电磁场理论，电力工程师可以优化电力系统的设计和运行，提高电力传输的稳定性和效率，减少能源损失，降低环境污染。
详细描述
有限元法是一种广泛应用于工程电磁场数值分析的方法。它将复杂的电磁场问题分解为多个简单的子问题，通过离散化处理，将连续的求解域转化为有限个小的互连子域，每个子域可以用简单的近似函数来表示。然后通过求解这些子域的方程组，得到原问题的近似解。
一种将连续的求解域离散化为有限个离散点，并利用差分近似表示原偏微分方程的方法。
总结词
详细描述
总结词
详细描述
总结词
详细描述
《工程电磁场》 第二章 静电场(二)PPT课件
采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程、 边值关系和给定边界条件，则该解就是唯一的 正确解。因此对于许多具有对称性的问题，可 以不必用繁杂的数学去求解泊松方程，而是通 过提出尝试解，然后验证是否满足泊松方程、 边值关系和边界条件。满足即为唯一解，若不 满足，可以加以修改。
12 大理大学工程学院罗凌霄编修
若区域内有导体存在，还要给定各导体的电位或各
导体所带的自由电量,则V内的电场唯一地确定。
注：对于空心的导体，前面所说的给定导体所带的
自由电量应改为给定导体的外表面所带的自由电量。
9 大理大学工程学院罗凌霄编修
补充说明：
在上述前提条件下：
1、如果V内有闭合的等位面，或者有不闭合的等 位面和不被电位移线穿过的曲面组成的闭合曲面， 并且这个闭合曲面内（包括闭合曲面上）的总自 由电量给定，或者电位移穿出这个闭合曲面或者 它外面无限贴近它的闭合曲面的通量给定，那么V 内扣除这个闭合曲面内所围空间后剩余区域V′内 的电场唯一地确定。
图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体
壳的外表面为S1，对于壳外区域而言， 它是一个边界面。无论壳内电荷q1在
数量上增减或作位置上的移动，由于
导体壳接地，恒有 ，始0终没有 改变壳外区域边界面上的S边1 界条件。
因此在这种情况下，壳内的电荷不影 图2-6 例2-1图
响壳外的电场。
15
大理大学工程学院罗凌霄编修
如果V的边界等位面S的电位给定，那么V内的电场 强度和电位都唯一地确定；如果V的边界等位面S 的电位没有给定，那么V内的电场强度唯一地确定， 但电位不能完全确定， 可以相差一个常量。 这个唯一性定理的表述可以用来解释静电屏蔽现 象。
11 大理大学工程学院罗凌霄编修
三、唯一性定理的意义
12 大理大学工程学院罗凌霄编修
若区域内有导体存在，还要给定各导体的电位或各
导体所带的自由电量,则V内的电场唯一地确定。
注：对于空心的导体，前面所说的给定导体所带的
自由电量应改为给定导体的外表面所带的自由电量。
9 大理大学工程学院罗凌霄编修
补充说明：
在上述前提条件下：
1、如果V内有闭合的等位面，或者有不闭合的等 位面和不被电位移线穿过的曲面组成的闭合曲面， 并且这个闭合曲面内（包括闭合曲面上）的总自 由电量给定，或者电位移穿出这个闭合曲面或者 它外面无限贴近它的闭合曲面的通量给定，那么V 内扣除这个闭合曲面内所围空间后剩余区域V′内 的电场唯一地确定。
图2-6(a)表示一种情形。设封闭导体
壳的外表面为S1，对于壳外区域而言， 它是一个边界面。无论壳内电荷q1在
数量上增减或作位置上的移动，由于
导体壳接地，恒有 ，始0终没有 改变壳外区域边界面上的S边1 界条件。
因此在这种情况下，壳内的电荷不影 图2-6 例2-1图
响壳外的电场。
15
大理大学工程学院罗凌霄编修
如果V的边界等位面S的电位给定，那么V内的电场 强度和电位都唯一地确定；如果V的边界等位面S 的电位没有给定，那么V内的电场强度唯一地确定， 但电位不能完全确定， 可以相差一个常量。 这个唯一性定理的表述可以用来解释静电屏蔽现 象。
11 大理大学工程学院罗凌霄编修
三、唯一性定理的意义
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2010-9-4
华北电力大学电气与电子工程学院
14
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
电场强度是单位电荷受到的电场力。 电场强度是单位电荷受到的电场力。 所以， 所以， P 点的电位 点移动到参考点， 表示将单位电荷从 P 点移动到参考点， 电场力所做的功。 电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏[ 电位和电压的单位是伏[特]（V）。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
2．电位与电场强度的关系
从电位计算电场强度， 从电位计算电场强度， 是求梯度的运算， 也就是求微分的运算。 是求梯度的运算， 也就是求微分的运算。
E =
从电场强度计算电位， 从电场强度计算电位， 是相反的运算，也就是求积分的运算。 是相反的运算，也就是求积分的运算。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
（2）由电场强度积分计算
q E= e 2 r 4πε0 r
q 1 2 = ∫ E dl = ∫ e dl 2 r 4 πε 0 r P1 P1
P2
P2
r2 q q r2 =∫ dr = 2 r1 4πε 0 r 4πε 0 r r1 q 1 1 q 1 q = = 1 = 4πε 0 r1 r2 4πε0 2 8πε 0
Q
P = Q + ∫ E dl
P
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工程电磁场
点为参考点， 选择 Q 点为参考点， 令 Q = 0 ， 则 P 点的电位为
Q
主讲人： 主讲人： 王泽忠
P = ∫ E dl
P
这就是说， 这就是说， 点到参考点的线积分。 P 点的电位等于电场强度从 P 点到参考点的线积分。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
3．静电场环路定理
研究静电场中电场强度的一个性质。 研究静电场中电场强度的一个性质。 对电场强度求旋度
× E = × ( ) = × ( )
根据矢量恒等式 × α = 0 ， 得
×E = 0
（电场强度的旋度为零） 电场强度的旋度为零）
20
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
电场强度线是一族有方向的线。 电场强度线是一族有方向的线。 电场强度线上每一点的切线方向 就是该点的电场强度方向。 就是该点的电场强度方向。 设 dl 为 P 点电场强度线的有向线段元 则电场强度可表示为 E = kdl 。 在直角坐标系中
E = kdxe x + kdye y + kdze z = E x e x + E y e y + EZ e z
(
)
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工程电磁场
x y = dx dy
解得
主讲人： 主讲人： 王泽忠
x = C1 y ，由
y z = dy dz
解得 y = C 2 z 这是过原点的一族射线。 这是过原点的一族射线。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
3
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
1．电位
已知电荷分布计算电场强度的公式中
1 都含有 2 e R R 1 将第 1 章第 7 节推导的 梯度公式代入 R
以体电荷（普遍）情况为例
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工程电磁场
1 E= 4 πε 0
主讲人： 主讲人： 王泽忠
∫∫∫
V′
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工程电磁场
1 = 4 πε 0 qk ∑ R +C k =1 k
n
主讲人： 主讲人： 王泽忠
在 n 个点电荷的情况下
式中： q k 是第 k 个点电荷的电荷量， 个点电荷的电荷量， 式中：
Rk 是从第 k 个点电荷到场点的距离。 个点电荷到场点的距离。
的梯度在 l 方向的投影
方向的方向导数。 就是 沿 l 方向的方向导数。
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工程电磁场
Q
主讲人： 主讲人： 王泽忠
显然 P Q =
∫E
P
dl
两点之间的电位差，又称为电压， 两点之间的电位差 ，又称为电压， 等于电场强度在这两点之间的线积分。 等于电场强度在这两点之间的线积分。 点的电位已知， 如果 Q 点的电位已知 ，则
主讲人： 主讲人： 王泽忠
上式中，体积分是对源点进行的，源点变化； 上式中，体积分是对源点进行的，源点变化； 求梯度是对场点进行的，场点变化， 求梯度是对场点进行的，场点变化， 故两种运算相互独立，可以交换顺序。 故两种运算相互独立，可以交换顺序。
1 E = 4πε 0
1 dV ∫∫∫ ρ R dV ′ V′ 1 ∫∫∫ ρ R dV ′ + C V′
这是静电场环路定理的微分形式。 这是静电场环路定理的微分形式。
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工程电磁场
根据斯托克斯定理， 根据斯托克斯定理 ，有
主讲人： 主讲人： 王泽忠
∫E
l
dl = ∫ × E dS = 0
S
电场强度的闭合线积分为零， 电场强度的闭合线积分为零， 这是静电场环路定理的 积分形式。 积分形式。 对闭合曲线 acbda 应用环路定理
图中画出了 x , y 平面上电场强度矢量图。 看图可以想象将各条半径射线上的箭头相连 就可以得到一族电场强度矢量线。
பைடு நூலகம்
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工程电磁场
例 原点的点电荷 q 所产生 的静电场中，求
主讲人： 主讲人： 王泽忠
如图，在位于直角坐标系坐标
. P1 (0.0, 0.0, 10) 到
查不定积分表
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
dθ 1 ∫ sin θ = ln sinθ - ctgθ + C ，代入得
cos θ2 1 τ sin θ2 sin θ2 = ln 1 cos θ1 4πε0 sin θ1 sin θ1
1 = 4πε 0
的梯度为零。 上式中， 上式中，常数 C 的梯度为零。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
可知， 可知，电场强度可表示为 某个标量函数的负梯度。 某个标量函数的负梯度。 把这个标量函数定义为电位， 来表示。 把这个标量函数定义为电位，用 来表示。
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
工程电磁场
王泽忠
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
2
静电场的基本原理
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2
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
2.2 电位与静电场的环路定理
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工程电磁场
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4．等电位面与电场强度线
等电位面方程为
( x , y , z ) = C
点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
q =C 4 πε 0 R
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工程电磁场
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工程电磁场
得电场强度线的方程
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dx dy dz = = Ex Ey Ez
位于坐标原点的点电荷产生的电场
q q E= e = xe x + ye y + ze z 2 r 3 4 πε 0 r 4 πε 0 r
电场强度线的方程为
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
坐标原点设在线段中心， z 轴与线段重合。 场点 P 的坐标为 ( r , α , z ) 。取电荷元 τdz ′ 源点坐标为 ( 0, α ′ , z ′ ) 。 取无穷远处为电位参考点 根据电荷分布的对称性 只需讨论 z ≥ 0 的情况 电荷元在 P 点产生的电位为
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工程电磁场
r dz ′ = dθ 2 sin θ
主讲人： 主讲人： 王泽忠
τdz ′ τ d = = dθ 4 πε 0 R 4 πε 0 sin θ
在整条线段上积分得
=∫
θ2
θ1
τ τ dθ = 4 πε 0 sin θ 4 πε 0
∫
θ2
θ1
dθ sin θ
q 解得 R = 。 4 πε 0 C
主讲人： 主讲人： 王泽忠
即等电位面是以点电荷所在点为球心， 即等电位面是以点电荷所在点为球心，
q 为半径的球面。 以 为半径的球面。 4πε 4 πε 0 C
点电荷在它所在平面上 产生电场的等电位线 是一系列的圆， 是一系列的圆，见图
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
电场强度是单位电荷受到的电场力。 电场强度是单位电荷受到的电场力。 所以， 所以， P 点的电位 点移动到参考点， 表示将单位电荷从 P 点移动到参考点， 电场力所做的功。 电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏[ 电位和电压的单位是伏[特]（V）。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
2．电位与电场强度的关系
从电位计算电场强度， 从电位计算电场强度， 是求梯度的运算， 也就是求微分的运算。 是求梯度的运算， 也就是求微分的运算。
E =
从电场强度计算电位， 从电场强度计算电位， 是相反的运算，也就是求积分的运算。 是相反的运算，也就是求积分的运算。
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工程电磁场
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（2）由电场强度积分计算
q E= e 2 r 4πε0 r
q 1 2 = ∫ E dl = ∫ e dl 2 r 4 πε 0 r P1 P1
P2
P2
r2 q q r2 =∫ dr = 2 r1 4πε 0 r 4πε 0 r r1 q 1 1 q 1 q = = 1 = 4πε 0 r1 r2 4πε0 2 8πε 0
Q
P = Q + ∫ E dl
P
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工程电磁场
点为参考点， 选择 Q 点为参考点， 令 Q = 0 ， 则 P 点的电位为
Q
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P = ∫ E dl
P
这就是说， 这就是说， 点到参考点的线积分。 P 点的电位等于电场强度从 P 点到参考点的线积分。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
3．静电场环路定理
研究静电场中电场强度的一个性质。 研究静电场中电场强度的一个性质。 对电场强度求旋度
× E = × ( ) = × ( )
根据矢量恒等式 × α = 0 ， 得
×E = 0
（电场强度的旋度为零） 电场强度的旋度为零）
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
电场强度线是一族有方向的线。 电场强度线是一族有方向的线。 电场强度线上每一点的切线方向 就是该点的电场强度方向。 就是该点的电场强度方向。 设 dl 为 P 点电场强度线的有向线段元 则电场强度可表示为 E = kdl 。 在直角坐标系中
E = kdxe x + kdye y + kdze z = E x e x + E y e y + EZ e z
(
)
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工程电磁场
x y = dx dy
解得
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x = C1 y ，由
y z = dy dz
解得 y = C 2 z 这是过原点的一族射线。 这是过原点的一族射线。
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1．电位
已知电荷分布计算电场强度的公式中
1 都含有 2 e R R 1 将第 1 章第 7 节推导的 梯度公式代入 R
以体电荷（普遍）情况为例
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1 E= 4 πε 0
主讲人： 主讲人： 王泽忠
∫∫∫
V′
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1 = 4 πε 0 qk ∑ R +C k =1 k
n
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在 n 个点电荷的情况下
式中： q k 是第 k 个点电荷的电荷量， 个点电荷的电荷量， 式中：
Rk 是从第 k 个点电荷到场点的距离。 个点电荷到场点的距离。
的梯度在 l 方向的投影
方向的方向导数。 就是 沿 l 方向的方向导数。
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Q
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显然 P Q =
∫E
P
dl
两点之间的电位差，又称为电压， 两点之间的电位差 ，又称为电压， 等于电场强度在这两点之间的线积分。 等于电场强度在这两点之间的线积分。 点的电位已知， 如果 Q 点的电位已知 ，则
主讲人： 主讲人： 王泽忠
上式中，体积分是对源点进行的，源点变化； 上式中，体积分是对源点进行的，源点变化； 求梯度是对场点进行的，场点变化， 求梯度是对场点进行的，场点变化， 故两种运算相互独立，可以交换顺序。 故两种运算相互独立，可以交换顺序。
1 E = 4πε 0
1 dV ∫∫∫ ρ R dV ′ V′ 1 ∫∫∫ ρ R dV ′ + C V′
这是静电场环路定理的微分形式。 这是静电场环路定理的微分形式。
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根据斯托克斯定理， 根据斯托克斯定理 ，有
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∫E
l
dl = ∫ × E dS = 0
S
电场强度的闭合线积分为零， 电场强度的闭合线积分为零， 这是静电场环路定理的 积分形式。 积分形式。 对闭合曲线 acbda 应用环路定理
图中画出了 x , y 平面上电场强度矢量图。 看图可以想象将各条半径射线上的箭头相连 就可以得到一族电场强度矢量线。
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例 原点的点电荷 q 所产生 的静电场中，求
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如图，在位于直角坐标系坐标
. P1 (0.0, 0.0, 10) 到
查不定积分表
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dθ 1 ∫ sin θ = ln sinθ - ctgθ + C ，代入得
cos θ2 1 τ sin θ2 sin θ2 = ln 1 cos θ1 4πε0 sin θ1 sin θ1
1 = 4πε 0
的梯度为零。 上式中， 上式中，常数 C 的梯度为零。
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
可知， 可知，电场强度可表示为 某个标量函数的负梯度。 某个标量函数的负梯度。 把这个标量函数定义为电位， 来表示。 把这个标量函数定义为电位，用 来表示。
工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
工程电磁场
王泽忠
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
2
静电场的基本原理
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2.2 电位与静电场的环路定理
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4．等电位面与电场强度线
等电位面方程为
( x , y , z ) = C
点电荷是一种典型的电荷结构 它所产生电场的等电位面的方程为
q =C 4 πε 0 R
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得电场强度线的方程
主讲人： 主讲人： 王泽忠
dx dy dz = = Ex Ey Ez
位于坐标原点的点电荷产生的电场
q q E= e = xe x + ye y + ze z 2 r 3 4 πε 0 r 4 πε 0 r
电场强度线的方程为
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工程电磁场
主讲人： 主讲人： 王泽忠
坐标原点设在线段中心， z 轴与线段重合。 场点 P 的坐标为 ( r , α , z ) 。取电荷元 τdz ′ 源点坐标为 ( 0, α ′ , z ′ ) 。 取无穷远处为电位参考点 根据电荷分布的对称性 只需讨论 z ≥ 0 的情况 电荷元在 P 点产生的电位为
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r dz ′ = dθ 2 sin θ
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τdz ′ τ d = = dθ 4 πε 0 R 4 πε 0 sin θ
在整条线段上积分得
=∫
θ2
θ1
τ τ dθ = 4 πε 0 sin θ 4 πε 0
∫
θ2
θ1
dθ sin θ
q 解得 R = 。 4 πε 0 C
主讲人： 主讲人： 王泽忠
即等电位面是以点电荷所在点为球心， 即等电位面是以点电荷所在点为球心，
q 为半径的球面。 以 为半径的球面。 4πε 4 πε 0 C
点电荷在它所在平面上 产生电场的等电位线 是一系列的圆， 是一系列的圆，见图