第七章 复数式章末测试(解析版)
人教A版高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷含答案解析 (39)
高一数学必修第二册第七章《复数》单元练习题卷9（共22题）一、选择题（共10题）1.设z=−3+2i，则在复平面内z对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.已知a,b∈R，复数a+bi=2i1+i，则a+b=( )A．2B．1C．0D．−23.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=3+4i，则z1z2=( )A．−25B．25C．7−24i D．−7−24i4.已知复数z=x+yi(x,y∈R)满足∣z−2∣=√3，则yx最大值为( )A．12B．√33C．√32D．√35.复数z=1−i（i为虚数单位）的三角形式为( )A．z=√2(sin45∘−icos45∘)B．z=√2(cos45∘−isin45∘)C．z=√2[cos(−45∘)−isin(−45∘)]D．z=√2[cos(−45∘)+isin(−45∘)]6.已知x∈R，当复数z=√2x+(x−3)i的模最小时，z的虚部为( )A．√2B．2C．−2D．−2i7.设复数z=a+2i(a∈R)的共轭复数为z，且z+z=2，则复数∣z∣2−ai在复平面内对应点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8.已知复数z满足(1+√3i)z=i，则z=( )A．√32−i2B．√32+i2C．√34−i4D．√34+i49. 当 z =√2时，z 100+z 50+1 的值是 ( )A ． 1B ． −1C ． iD ． −i10. 若 1+√2i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx +c =0 有一个复数根，则 ( ) A ． b =2，c =3 B ． b =2，c =−1 C ． b =−2，c =−1D ． b =−2，c =3二、填空题（共6题）11. 已知复数 z =(2a +i )(1−bi ) 的实部为 2，其中 a ，b 为正实数，则 4a+(12)1−b的最小值为 ．12. 已知 i 是虚数单位，若复数 z 满足 (z −i )(1−i )=2，则 ∣z ∣= ．13. 若 z =1+√3i，则 1+z +z 2+⋯+z 2000的值为 ．14. 如果一个复数与它的模的和为 5+√3i ，那么这个复数是 ．15. 设复数 2019z−25z−2019=3+4i 满足（i 是虚数单位），则 ∣z ∣= ．16. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 (2,1)，则复数 z = ．三、解答题（共6题）17. 已知复数 z 1=a +3i ，z 2=2−ai （a ∈R ，i 是虛数单位）．(1) 若 z 1−z 2 在复平面内对应的点落在第一象限，求实数 a 的取值范围； (2) 若虚数 z 1 是实系数一元二次方程 x 2−6x +m =0 的根，求实数 m 的值．18. 已知两个复数集合 A ={z∣ ∣ z −2∣ ≤2}，B ={z∣ z =iz 12+b,z 1∈A,b ∈R}．(1) 若 A ∩B =∅，求 b 的取值范围； (2) 若 A ∩B =B ，求 b 的取值范围．19. 计算：(1)(1+2i )2+3(1−i )2+i；(2) 1−i(1+i)2+1+i(1−i)2；(3) 1−√3i(√3+i)2．20.已知复数z1=1+2i，z2=−2+i，z3=−1−2i，它们在复平面内的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数．21.复数z1=a+5+(10−a2)i，z2=1−2a+(2a−5)i，其中a∈R．(1) 若a=−2，求z1的模；(2) 若z1+z1是实数，求实数a的值．22.m为何实数时，复数z=(2+i)m2−3(i+1)m−2(1−i)是：(1) 实数；(2) 虚数；(3) 纯虚数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】C【解析】由 z =−3+2i ，得 z =−3−2i ，则 z 在复平面内对应的点 (−3,−2) 位于第三象限．故选C ．【知识点】复数的几何意义2. 【答案】A【解析】由题意得 a +bi =2i (1−i )2=1+i ，所以 a =b =1，a +b =2． 【知识点】复数的乘除运算3. 【答案】A【知识点】复数的几何意义、复数的乘除运算4. 【答案】D【解析】因为 ∣z −2∣=√3，故 ∣(x −2)+yi ∣=√3，即 (x −2)2+y 2=3． 又 yx 的几何意义为 (x,y ) 到 (0,0) 的斜率．故当过原点的直线与 (x −2)2+y 2=3 切于第一象限时 yx 取得最大值． 此时设切线的倾斜角为 θ 则 sinθ=√32，易得 θ=π3．故 yx 的最大值为 tan π3=√3． 故选：D ．【知识点】复数的几何意义5. 【答案】D【解析】依题意得 r =√12+(−1)2=√2，复数 z =1−i 对应的点在第四象限，且 cosθ=√22，因此 argz =315∘，结合选项知D 正确． 【知识点】复数的三角形式、复数的乘除运算6. 【答案】C【解析】依题意可得，∣z ∣=√(√2x)2+(x −3)2=√3x 2−6x +9=√3[(x −1)2+2]，当 x =1 时，∣z ∣ 取得最小值，此时 z =√2−2i ，所以 z 的虚部为 −2． 【知识点】复数的几何意义7. 【答案】A【解析】 z +z =2a =2⇒a =1，∣z∣2−ai=∣1+2i∣2−i=√5(2+i )5= 2√55+√55i ， 所以对应点位于第一象限．【知识点】复数的乘除运算、共轭复数、复数的几何意义8. 【答案】D【解析】因为 (1+√3i)z =i ， 所以 z =1+√3i=√3i)(1+√3i)(1−√3i)=√3+i4． 【知识点】复数的乘除运算9. 【答案】D【知识点】复数的乘除运算10. 【答案】D【解析】由题意 1+√2i 是关于 x 的实系数方程 x 2+bx +c =0， 所以 1+2√2i −2+b +√2bi +c =0，即 −1+b +c +(2√2+√2b)i =0， 所以 {−1+b +c =0,2√2+√2b =0,解得 b =−2，c =3． 故选：D ．【知识点】复数的乘除运算二、填空题（共6题）11. 【答案】 2√2【解析】复数 z =(2a +i )(1−bi )=2a +b +(1−2ab )i 的实部为 2，其中 a ，b 为正实数，所以 2a +b =2, 所以 b =2−2a. 则 4a+(12)1−b=4a +21−2a =4a +24a ≥2√4a ×24a =2√2,当且仅当 a =14，b =32时取等号．【知识点】复数的乘除运算12. 【答案】 √5【解析】设 z =a +bi ，(a +bi −i )(1−i )=a +bi −i −ai +b −1=a +b −1+(b −a −1)i =2，所以 {a +b −1=2,b −a −1=0, 解得，{a =1,b =2,所以 ∣z ∣=∣1+2i ∣=√5．【知识点】复数的乘除运算13. 【答案】 0【知识点】复数的乘除运算14. 【答案】115+√3i【解析】设这个复数为 x +yi (x,y ∈R )， 则 x +yi +√x 2+y 2=5+√3i ， 所以 {x +√x 2+y 2=5,y =√3,所以 {x =115,y =√3,所以 x +yi =115+√3i ．【知识点】复数的加减运算、复数的几何意义15. 【答案】 5【解析】设 z =a +bi （a,b ∈R ）， 因为2019z−25z−2019=3+4i ，所以 ∣∣2019z−25z−2019∣∣=∣3+4i ∣，即 5√(a −2019)2+b 2=√(2019a −25)2+(2019b )2，25×(a 2−4038a +20192+b 2)=20192a 2−50×2019a +625+20192b 2， 25(a 2+b 2)+25×20192=20192(a 2+b 2)+625，√a 2+b 2=√25×20192−62520192−25=5，即 ∣z ∣=5， 故答案为 5．【知识点】复数的乘除运算16. 【答案】 2−i【知识点】共轭复数、复数的几何意义三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 由题意得，z 1−z 2=a −2+(3−a )i ， 因为 z 1−z 2 在复平面内对应的点落在第一象限， 所以 {a −2>0,3−a >0,解得 a ∈(2,3)．(2) 由 z 12−6z 1+m =0 得 (a +3i )2−6(a +3i )+m =0，即 a 2−6a +m −9+(6a −18)i =0， 所以 {a 2−6a +m −9=0,6a −18=0,解得 {a =3,m =18.【知识点】实系数一元二次方程（沪教版）、复数的几何意义18. 【答案】(1) 若 A ∩B =∅，则两圆圆心 d =√(b −2)2+1>2+1，即 b >2+2√2 或 b <2−2√2．(2) 若 A ∩B =B ，则两圆圆心 d =√(b −2)2+1≤1，即 b =2． 【知识点】复数的乘除运算、复数的几何意义19. 【答案】(1)(1+2i )2+3(1−i )2+i=−3+4i+3−3i 2+i=i 2+i =i (2−i )5=15+25i.(2)1−i (1+i )2+1+i(1−i )2=1−i 2i +1+i−2i =1+i −2+−1+i 2=−1.(3)1−√3i (√3+i)2=(√3+i)(−i )(√3+i)2=√3+i=(−i )(√3−i)4=−14−√34i.【知识点】复数的乘除运算20. 【答案】设复数 z 1，z 2，z 3 在复平面内所对应的点分别为 A ，B ，C ，正方形的第四个顶点 D对应的复数为 x +yi (x,y ∈R )，如图．则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y )−(1,2)=(x −1,y −2)． BC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2)−(−2,1)=(1,−3)． 因为 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 {x −1=1,y −2=−3, 解得 {x =2,y =−1,故点 D 对应的复数为 2−i ． 【知识点】复数的加减运算21. 【答案】(1) 由 a =−2，得 z 1=3+6i ， 则 ∣z 1∣=√32+62=√45=3√5， 所以 z 1 的模为 3√5．(2) z 1+z 2=a +5+(10−a 2)i +1−2a +(2a −5)i =(6−a )+[(10−a 2)+(2a −5)]i=(6−a )+(−a 2+2a +5)i. 因为 z 1+z 2 是实数，所以 −a 2+2a +5=0，解得 a =1±√6． 【知识点】复数的加减运算22. 【答案】(1) 因为z =(2+i )m 2−3(i +1)m −2(1−i )=2m 2+m 2i −3mi −3m −2+2i =(2m 2−3m −2)+(m 2−3m +2)i,所以（1）由 m 2−3m +2=0，得 m =1，或 m =2， 即 m =1 或 2 时，z 为实数，(2) 由 m 2−3m +2≠0，得 m ≠1，且 m ≠2， 即 m ≠1，且 m ≠2 时，z 为虚数．(3) 由 {2m 2−3m −2=0,m 2−3m +2≠0,得 m =−12，即m=−1时，z为纯虚数．2【知识点】复数的加减运算。
2024_2025学年新教材高中数学第七章复数章末检测练习含解析新人教A版必修第二册
第七章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 1．(2024年南充模拟)12－i ＝( )A ．－25＋15iB ．－25－15iC ．25＋15iD ．25－15【答案】C 【解析】12－i ＝2＋i (2－i )(2＋i )＝25＋15i.故选C ．2．i 是虚数单位，则i1＋i 的虚部是( )A ．12iB ．－12iC ．12D ．－12【答案】C 【解析】i1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝1＋i 2＝12＋12i.故选C ．3．已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i.若(a ＋b i)2＝2i ，则a ＝b ＝－1或a ＝b ＝1.故“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．故选A ．4．(2024年海口月考)若复数z ＝i1－i ，其中是i 虚数单位，则z ＝( )A ．12＋12iB ．12－12iC ．－12＋12iD ．－12－12i【答案】D 【解析】由z ＝i1－i ＝i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－12＋12i ，得z ＝－12－12i.故选D ．5．(2024年景德镇月考)已知i 为虚数单位，若21＋i ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则a 2 019＋b 2 020＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】由21＋i ＝1－i ＝a ＋b i ，得a ＝1，b ＝－1，∴a 2 019＋b 2 020＝12 019＋(－1)2 020＝2.故选C ．6．(2024年宜宾模拟)已知i 是虚数单位，复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)【答案】A 【解析】∵复数m ＋1＋(2－m )i 在复平面内对应的点在其次象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1<0，2－m >0，解得m ＜－1.∴实数m 的取值范围是(－∞，－1)．故选A ．7．(2024年汉中月考)z ＝5i1－2i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．2－iB ．2＋iC ．－2－iD ．－2＋i【答案】C 【解析】∵z ＝5i1－2i ＝5i (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5i (1＋2i )5＝－2＋i ，∴z ＝－2－i.故选C ．8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0151＋i ，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】因为i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，i 5＋i 6＋i 7＋i 8＝0，…，i 2009＋i 2010＋i 2011＋i 2012＝0，i 2013＋i 2014＋i 2015＝i －1－i ＝－1，所以z ＝－11＋i ＝－12＋12i ，所以对应点⎝⎛⎭⎫－12，12在其次象限．故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．已知复数z ＝2－1＋i，则( ) A ．|z |＝2 B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1【答案】BD 【解析】∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴A ：|z |＝2，B ：z 2＝2i ，C ：z 的共轭复数为－1＋i ，D ：z 的虚部为－1.故选BD ．10．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的为( ) A ．|z |＝ 2 B ．z ＝1－i C ．z 的虚部为iD ．z 在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD 【解析】复数z ＝1＋i ，则|z |＝2，故A 正确；z ＝1－i ，故B 正确；z 的虚部为1，故C 错误；z 在复平面上对应点的坐标为(1,1)，在第一象限，故D 正确．故选ABD ．11．已知z 1与z 2互为共轭复数，以下四个命题为真命题的是( )A ．z 21＜|z 2|2B ．z 1z 2＝|z 1z 2|C ．z 1＋z 2∈RD ．z 1z 2∈R【答案】BC 【解析】z 1与z 2互为共轭复数，设z 1＝a ＋b i ，z 2＝a －b i(a ，b ∈R )．z 21＝a2－b 2＋2ab i ，复数不能比较大小，因此A 不正确；z 1z 2＝|z 1z 2|＝a 2＋b 2，B 正确；z 1＋z 2＝2a ∈R ，C 正确；z 1z 2＝a ＋b i a －b i ＝(a ＋b i )2(a －b i )(a ＋b i )＝a 2－b 2a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2i 不肯定是实数，因此D 不肯定正确．故选BC ．12．设z 1，z 2是复数，则下列命题中是真命题的是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22【答案】ABC 【解析】对A ，若|z 1－z 2|＝0，则z 1－z 2＝0，z 1＝z 2，所以z 1＝z 2为真；对B ，若z 1＝z 2，则z 1和z 2互为共轭复数，所以z 1＝z 2为真；对C ，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，若|z 1|＝|z 2|，则a 21＋b 21＝a 22＋b 22，z 1·z 1＝a 21＋b 21，z 2·z 2＝a 22＋b 22，所以z 1·z 1＝z 2·z 2为真；对D ，若z 1＝1，z 2＝i ，则|z 1|＝|z 2|，而z 21＝1，z 22＝－1，所以z 21＝z 22为假．故选ABC ．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上) 13．已知复数z ＝3＋2i 2－3i ，i 为虚数单位，则z 的共轭复数z ＝________.【答案】－i 【解析】(方法一)z ＝3＋2i 2－3i ＝i (2－3i )2－3i ＝i ，所以z 的共轭复数为－i.(方法二)z ＝3＋2i 2－3i ＝(3＋2i )(2＋3i )(2－3i )(2＋3i )＝13i13＝i ，所以z 的共轭复数为－i.14．已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.【答案】12 【解析】m ＋i 1＋i －12＝(m ＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )－12＝(m ＋1)＋(1－m )i 2－12＝m ＋(1－m )i 2，由已知得m 2＝1－m 2，则m ＝12.15．已知复数z 1，z 2满意|z 1|＝1，|z 2|＝5，则|z 1－z 2|的取值范围是________．【答案】[4,6] 【解析】(方法一)设z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，则易得z 1，z 2对应的点的轨迹分别是以坐标原点为圆心，1和5为半径的圆，易得|z 1－z 2|的最小值为4，最大值为6，故|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．(方法二)因为||z 1|－|z 2||≤|z 1－z 2|≤|z 1|＋|z 2|，所以|1－5|≤|z 1－z 2|≤|1＋5|，即4≤|z 1－z 2|≤6，则|z 1－z 2|的取值范围是[4,6]．16．复数z ＝21＋i(i 是虚数单位)，其共轭复数z ＝________.【答案】1＋i 【解析】∵z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝1－i ，∴z ＝1＋i. 四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知z ∈C ，解方程z ·z －3i z ＝1＋3i.解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i.依据复数相等的定义，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.∴z ＝－1或z＝－1＋3i.18．已知复数z 的模为1，求|z －1－2i|的最大值和最小值．解：∵复数z 的模为1，∴z 在复平面内的对应点是以原点为圆心，1为半径的圆．而|z －1－2i|＝|z －(1＋2i)|可以看成圆上的点Z 到点A (1,2)的距离，如图．∴|z －1－2i|min ＝|AB |＝|OA |－|OB |＝5－1，|z －1－2i|max ＝|AC |＝|OA |＋|OC |＝5＋1. 19．(2024年重庆月考)实数m 取什么数值时，复数z ＝m 2＋m －2m ＋1＋(m 2－1)i 分别是下列数？(1)实数； (2)纯虚数．解：(1)由m 2－1＝0且m ＋1≠0，得m ＝1，∴当m ＝1时，z 是实数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2m ＋1＝0，m 2－1≠0，解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 是纯虚数．20．(2024年重庆月考)已知复数z 满意(z －2)·(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)． (1)求复数z ；(2)求|(3＋i)·z |.解：(1)由(z －2)·(1＋i)＝1－i ，得z ＝1－i 1＋i ＋2＝(1－i )2(1＋i )(1－i )＋2＝2－i.(2)由z ＝2－i ，得|(3＋i)·z |＝|(3＋i)(2－i)|＝|7－i|＝72＋(－1)2＝5 2.21．(2024年聊城高二期末)四边形ABCD 是复平面内的平行四边形，A ，B ，C ，D 四点对应的复数分别为1＋3i ，2i,2＋i ，z ，(1)求复数z ；(2)z 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值．解：(1)复平面内A ，B ，C 对应的点坐标分别为(1,3)，(0,2)，(2,1)，设D 的坐标(x ，y )，由于AD →＝BC →，∴(x －1，y －3)＝(2，－1)．∴x －1＝2，y －3＝－1，解得x ＝3，y ＝2，故D (3，2)，则点D 对应的复数z ＝3＋2i.(2)∵3＋2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的一个根，∴3－2i 是关于x 的方程2x 2－px ＋q ＝0的另一个根，则3＋2i ＋3－2i ＝p 2，(3＋2i)(3－2i)＝q2，即p ＝12，q ＝26.22．已知关于x 的方程x 2＋4x ＋p ＝0(p ∈R )的两个根是x 1，x 2. (1)若x 1为虚数且|x 1|＝5，求实数p 的值； (2)若|x 1－x 2|＝2，求实数p 的值．解：(1)由题意知Δ<0，∴16－4p <0，解得p >4. 又x 1x 2＝p ，x 1x 2＝x 1x 1＝|x 1|2＝25，∴p ＝25.(2)x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝p .若方程的判别式Δ≥0，即p ≤4时，方程有两个实数根x 1，x 2，则|x 1－x 2|2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝16－4p ＝4，解得p ＝3；若方程的判别式Δ<0，即p >4时，方程有一对共轭虚根x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝|4p －16|＝4p －16＝2，解得p ＝5.故实数p 的值为3或5.。
2023版高中数学新同步精讲精炼(必修第二册) 第七章 复数 章末测试(基础)(教师版含解析)
第七章 复数 章末测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·江苏高邮)复数5i 2-的共轭复数是( ) A ．i 2+ B ．i 2- C ．2i -- D ．2i -【答案】B 【解析】因为()()()5i 252i i 2i 2i 2+==----+，所以复数5i 2-的共轭复数是2i -+.故选：B. 2．(2021·河北·深州长江中学高一期中)已知()12i z +=，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D 【解析】由题意22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-，对应点为(1,1)-，在第四象限．故选：D ． 3．(2021·河南·辉县市第一高级中学 )设(12)16i x y i -+=--，,x y R ∈，则||x yi -=( ) A ．6 B ．5C ．4D ．3【答案】B【解析】因为()1216i x y i -+=--，所以261x x y =-⎧⎨-=-⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，所以=|34|5x yi i --+==.故选：B.4．(2021·吉林·长春市第二十中学高一期末)设复数()311z i =--，则z =( )A ．1B ．2CD 【答案】D【解析】()()()211112112232z i i i i i i =---=+-=++=+，所以z == D.5．(2021·湖南·雅礼中学 )欧拉公式cos sin i e i θθθ=+(e 为自然底数，i 为虚数单位)是瑞士数学家欧拉最早发现的，是数学界最著名､最美丽的公式之一根据欧拉公式，复数2i e 在复平面内对应点所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由题意知：2cos 2sin 2i e i =+，而22ππ<<，∴cos 20,sin 20<>，故2i e 对应点在第二象限.故选：B6．(2021·浙江)已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“a ＝b ＝1”时，“(a +bi )2＝(1+i )2＝2i ”成立， 故“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的充分条件；当“(a +bi )2＝a 2﹣b 2+2abi ＝2i ”时，“a ＝b ＝1”或“a ＝b ＝﹣1”， 故“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的不必要条件；综上所述，“a ＝b ＝1”是“(a +bi )2＝2i ”的充分不必要条件； 故选：A7．(2021·全国·高一课时练习).已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =( ) A ．5i - B ．32i + C ．23i -+ D ．23i --【答案】D【解析】由题可知()2,3AB =-，故AB 对应的复数为23z i =-+，则23z i =--，故选：D.8．(2021·全国)若复数()2321a a a i -++-(a R ∈)不是纯虚数，则A ．2a ≠B ．1a ≠C ．1a =D ．1a ≠且2a ≠【答案】A【解析】若复数()2321a a a i -++-(a R ∈)是纯虚数，根据纯虚数的定义有：2110=2=1=232=0a a a a a a a ≠⎧-≠⎧⇒⇒⎨⎨-+⎩⎩或， 则复数()2321a a a i -++-(a R ∈)不是纯虚数，2a ≠故选A二、多选题(每题至少有2个选项为正确答案，每题5分，4题共20分) 9．(2021·江苏·滨海县八滩中学高一期中)已知复数21iz =-+，则( ) A ．||2z =B ．22i z =C ．z 的共轭复数为1i +D ．z 的虚部为1-【解析】()()()21i 21i 1i 1i 1i z --===---+-+--，所以||z A 错误；()221i 112i 2i z =--=-+=，故选项B 正确；z 的共轭复数为1i -+，故选项C 错误； z 的虚部为1-，故选项D 正确.故选：BD.10．(2021·河北·藁城新冀明中学 )已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则( ) A ．3||5z =B ．12i5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限【答案】BD【解析】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以z =A 错误；1255z i =--，故B 正确；复数z 的实部为15- ，故C 错误；复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确.故选：BD11．(2021·广东·揭阳第一中学高一期末)已知复数122,2z i z i =-=则( ) A ．2z 是纯虚数 B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =【答案】AD【解析】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +=C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD12．(2021·湖南省邵东市第三中学高一期中)已知复数1z =-(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数zw z =，则下列结论正确的有( )A ．w 在复平面内对应的点位于第二象限B ．1w =C ．w 的实部为12-D ．w 【答案】ABC【解析】对选项,A 由题得1,z =-12w ∴=-.所以复数w 对应的点为1(2-，在第二象限，所以选项A 正确；对选项B ，因为1w ==，所以选项B 正确； 对选项,C 复数w 的实部为12-，所以选项C 正确；对选项D ,w 所以选项D 错误. 故选：ABC三、填空题(每题5分，共20分)13．(2021·重庆第二外国语学校 )若i 是虚数单位，复数z 满足()12z i i +=，则z =___________.【解析】由题意，复数满足(1)2i z i +=，则()()()2122211112i i i i z i i i i ⋅-+====+++-,所以z =.14．(2021·浙江·高一单元测试)设a ∈R ，且(a ＋i )2·i 为正数，则a ＝________. 【答案】1-【解析】()()()2222121a i i a ai i a a i +⋅=+-=-+-，因为该复数为正数且a R ∈，故21020a a ⎧-=⎨->⎩，故1a =-，故答案为：1-.15．(2021·全国)已知复数(2i)(1i)a ++的实部为0，其中i 为虚数单位，则实数a 的值是_____. 【答案】2.【解析】2(a 2)(1i)222(2)i a ai i i a a i ++=+++=-++，令20a -=得2a =. 16．(2021·全国))复数11iz =+(i 为虚数单位)，则||z =________.【解析】1|||1|z i =+四、解答题(17题10分，其余每题12分，共70分)17．(2021·广东·佛山市南海区狮山高级中学)已知i 是虚数单位，复数z ＝m 2(1＋i )－m (2＋3i )－4(2＋i )，当m 分别取何实数时，z 满足如下条件？(1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)零.【答案】(1)m ＝－1或m ＝4；(2)m ≠－1且m ≠4；(3)m ＝－2；(4)m ＝4.【解析】z ＝m 2(1＋i )－m (2＋3i )－4(2＋i )化为()()222834z m m m m i =--+--(1)由2340m m --=，得4m =，或1m =-，∴当4m =，或1m =-时，z 是实数；(2)由2340m m --≠，得4m ≠且1m ≠-，∴当4m ≠且1m ≠-时，z 为虚数；(3)由2280m m --=，且2340m m --≠，解得2m =-，∴当2m =-时，z 为纯虚数；(4)由22280340m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得4m =，∴当4m =时，z 为零．18．(2021·河北安平中学高一月考)已知z 是复数，3i z -为实数，5i2iz --为纯虚数(i 为虚数单位). (1)求复数z ； (2)求i1z-的模.【答案】(1)13i z =-+；【解析】(1)设i z a b =+(),a b ∈R ，由3i (3)i z a b -=+-为实数，可得30b -=，即3b =. ∵()()()()2i 2i 5i 2i 22(4)i2i 2i 2i 2i 5a z a a a -+--++-===---+为纯虚数， ∴220,40a a +=-≠，即1a =-， ∴13i z =-+. (2)13i (13i)(1i)42i2i 1i 1i (1i)(1i)2z -+-++-+====-+---+，∴1iz==- 19．(2021·湖北十堰 )已知复数()3z bi b R =+∈，且()13i z +⋅为纯虚数. (1)求复数z ； (2)若2izω=+，求复数ω以及模ω.【答案】(1)3i z =+;(2)7155i ω=-，ω 【解析】(1)将3z bi =+代入()13i z +⋅得()()()()13133339i z i bi b b i +⋅=++=-++，因为()13i z +⋅为纯虚数,所以330,90,b b -=⎧⎨+≠⎩ 解得1b =，所以复数3i z =+.(2)由(1)知3i z =+，所以3(3)(2)772i 2(2)(2)555z i i i i i i i i ω++--=====-+++-，ω=20．(2021·广东·广州大学附属中学南沙实验学校)已知：复数()2211iz i i=++-，其中i 为虚数单位． (1)求z 及z ；(2)若223z az b i ++=+，求实数a ，b 的值．【答案】(1)13z i =-+，z (2)37a b =-⎧⎨=⎩【解析】(1)()()22121131iz i i i i i i=++=++=-+-，z ==(2)由223z az b i ++=+得：()()2131323i a i b i -++--+=+，即()()86323a b a i i --++--=+所以82633a b a --+=⎧⎨--=⎩，解之得37a b =-⎧⎨=⎩21．(2021·全国·高一单元测试)实数m 取什么值时,复数22(56)(215)z m m m m i =+++-- (1)与复数212i -相等(2) 与复数1216i +互为共轭复数 (3)对应的点在x 轴上方. 【答案】(1)m ＝－1 (2)m ＝1 (3)m<－3或m>5.【解析】(1)根据复数相等的充要条件得22562{21512m m m m ++=--=-解得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612{21516m m m m ++=--=-解得m ＝1. (3)根据复数z 的对应点在x 轴的上方可得m 2－2m －15>0，解得m<－3或m>5.22．(2021·安徽省郎溪中学 )已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b .(1)求实数a ，b 的值；(2)若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.【答案】(1)3a b ==；(2)min z 【解析】(1)b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根，()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b ⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==.(2)设i z x y =+(x ，y R ∈)，由332z i z --=，得()()()2222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，=z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为构成的图形是以()11,1O -为圆心，.当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，1OO =r =∴当1z i =-时，z 有最小值，且minz。
高中数学第七章复数单元检测含解析新人教A版必修第二册
单元素养检测(二)(第七章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.= ( )A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.===2-i.2.若复数z-2+3i=1-i,则∣z∣=( )A.3B.4C.5D.6【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.3.复数z=在复平面上对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选C.因为复数z===-1-i,所以复数在复平面上对应的点(-1,-1)位于第三象限.【补偿训练】(2019·天津高二检测)在复平面上,复数对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A.由题意,复数=1+i,所以复数对应的点的坐标为位于第一象限.4.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z= ( )A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【解题指南】等式两边同除以(1+i),表示出z,再利用复数的除法计算.【解析】选D.z(1+i)=2i,z===i(1-i)=1+i.5.z是纯虚数的一个充要条件是( )A.z+≠0B.z-≠0C.z·≠0D.=-z(z≠0)【解析】选D.(1)设z=bi(b≠0),则=-bi,所以z+=0,所以=-z(z≠0).(2)设z=a+bi(z≠0),则=a-bi,因为=-z,所以a-bi=-(a+bi),即a=0,又z≠0,所以b≠0,所以z是纯虚数,由(1),(2)知z是纯虚数的一个充要条件是=-z(z≠0).6.若关于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有实根,则实数m等于( )A. B. C.- D.-【解析】选A.设方程的实数根为x=a(a为实数),则a2+(1+2i)·a+3m+i=0,所以所以7.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是( )A.EB.FC.GD.H【解析】选D.由图可知z=3+i,所以====2-i,对应复平面内的点H.8.已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(a-2i)(1+i)在复平面内对应的点为M,则“a=1”是“点M在第四象限”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.z=(a-2i)(1+i)=(a+2)+(a-2)i,则点M的坐标为(a+2,a-2),当a=1时,坐标为(3,-1),即点M在第四象限,若点M在第四象限,而a=1却不一定成立,故“a=1”是“点M在第四象限”的充分而不必要条件.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.已知复数z=,则下列结论正确的是( )A.z的虚部为iB.|z|2=2C.z2为纯虚数D.=-1+i【解析】选BC.因为复数z===1+i,则z的虚部为1,A不正确.|z|2=2,B正确.z2=(1+i)2=2i为纯虚数,C正确.=1-i,D不正确.10.设z是复数,则下列命题中的真命题是( )A.若z2≥0,则z是实数B.若z2<0,则z是虚数C.若z是虚数,则z2≥0D.若z是纯虚数,则z2<0【解析】选ABD.设z=a+bi,a,b∈R⇒z2=a2-b2+2abi.对选项A:若z2≥0,则b=0⇒z为实数,所以z为实数正确.对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0⇒z为纯虚数,所以z为虚数正确.对选项C:若z为虚数,则z2不一定为实数,所以z2≥0错误.对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0⇒z2<0,所以z2<0正确.11.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是( )A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,则z=4+3iC.若z+|z|=2+i,则z=+iD.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z====4+3i,选项B是真命题.设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以选项C是真命题.若z·(2+i)=10-5i,则z====3-4i,=3+4i,选项D是假命题.12.下列复数不可能与复数+i(a∈R)相等的是( )A.-2iB.a2+iC.3-a2iD.3+a2i【解析】选ACD.由于+i不可能是纯虚数,而-2i是纯虚数,故-2i和+i不可能相等;当a2=,即a=1时,a2+i和+i相等;因为复数3-a2i的虚部-a2≤0,而+i的虚部为1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,则而此方程组无解,故二者不相等.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.定义运算=ad-bc,若复数x=,y=,则y=________.【解析】依题意,y=4i(x+i)-2xi=4i2+2xi=-4+=-4+=-4+2=-2.答案:-214.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则=________.【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,=5.答案:515.已知=b+i(a,b∈R),其中i为虚数单位,则a+b=________.【解析】因为=b+i,所以a+2i=bi-1,所以所以a+b=1.答案:116.已知+i是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的一个根,则a=________, b=________. 【解析】把+i代入方程得a+b+1=0,即+i=0.所以即解得答案:1 -四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)复平面内有A,B,C三点,点A对应的复数是3+i,向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,求B点对应的复数.【解析】因为向量对应的复数是-2-4i,向量对应的复数是-4-i,所以表示的复数是(4+i)-(2+4i)=2-3i,故=+对应的复数为(3+i)+(2-3i)=5-2i,所以B点对应的复数为5-2i.18.(12分)已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.由题意得x=4,所以z=4-2i.因为w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2,(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,所以a=-2或a=6.19.(12分)已知复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若复数z在复平面上所对应的点在第二象限,求m的取值范围;(2)求当m为何值时,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因为复数z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在复平面上所对应的点在第二象限,所以解得-3<m<-,所以m的取值范围是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m+10=5(m+1)2+5,所以当m=-1时,|z|min=.20.(12分)已知z1=cos θ+isin 2θ,z2=sin θ+icos θ,当θ为何值时:(1)z1=z2;(2)z1,z2对应点关于实轴对称;(3)|z2|<.【解析】(1)因为z1=z2,所以即解得θ=2kπ+(k∈Z).(2)因为z1与z2对应点关于实轴对称,所以即解得θ=2kπ+π(k∈Z).(3)因为|z2|<,所以<,即3sin2θ+cos2θ<2,化简得sin2θ<,解得-<sin θ<,所以kπ-<θ<kπ+(k∈Z).21.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).(1)若复数z是纯虚数,求x的值;(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围. 【解析】(1)因为z=(2+i)-=(2-x)+(1-x)i,且复数z为纯虚数,所以解得x=2.(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=x2+ai对于任意实数x,都有>恒成立,试求实数a的取值范围.【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,|z1|>|z2|⇒|z1|2>|z2|2⇒x4+x2+1>x4+a2⇒x2+1>a2⇒-1<a<1.所以实数a的取值范围是(-1,1).22.(12分)已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;(2)求证:对任意的实数θ(θ≠+kπ),原方程不可能有纯虚数根.【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0的根,则x2-xtan θ-2-i(x+1)=0.所以由②得x=-1,代入①得tan θ=1,所以锐角θ=.(2)反证法.若方程有纯虚数根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan θ+1)i=0.所以(*)因为方程-a2+a-2=0无实根,所以方程组(*)无解.故假设不成立,因此原方程无纯虚数根.。
第七章复数章节测试(B卷)(解析版)
2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A 版2019必修第二册）第七章复数章节测试(B 卷)一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知复数z =√3+i(1−√3i)2，z̅是z 的共轭复数，则z •z̅=A ．14 B ．12C ．1D ．2【答案】Az =√3+i (1−√3i)2=(√3+i)i i(1−√3i)2=√3i−1)i(1−√3i)2=i(√3i−1)=√3i+1)ii 2(√3i−1)(√3i+1)=−−√3+i4=√34−14i ，z̅=√34+14i ，z •z̅=(√34−14i)(√34+14i)=14，故答案为：A.2．设m R ∈，复数()()1z i m i =+-在复平面内对应的点位于实轴上，又函数()ln f x m x x =+，若曲线()y f x =与直线l ：21y kx =-有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为（ ）A ．{}1,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．(]{},01-∞C ．(]{},02-∞D ．()(),02,-∞+∞【答案】A由题意，复数()()()()111z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上， 所以10m -=，即1m =，所以()ln ,0f x x x x =+>，则()110f x x'=+>，所以函数()f x 单调递增，且当0x →时，()f x →-∞，作出函数()ln f x x x =+的图象，如图所示： 又由直线:21l y kx =-过点(0,1)-，设切点为000(,ln )x x x +，则在切点处的切线方程为00001ln (1)()y x x x x x --=+-，把(0,1)-代入，可得0001ln 1x x x ---=--，即0ln 0x =，即01x =， 即切线的坐标为(1,1)，代入:21l y kx =-，可得22k =，即1k =， 又由图象可知，当2(,1]k ∈-∞，即1(,]2k ∈-∞时， 曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点， 综上所述，当{}1(,]12k ∈-∞时，曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，故选A ．3．已知a 为实数，若复数2(1)(1)z a a i =-++为纯虚数，则复数z 的虚部为（ ） A ．1 B ．2iC ．±1D ．2【答案】D由已知21010a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得1a =，故2z i =，其虚部为2，故选：D.4．已知复数z 对应的向量为OZ （O 为坐标原点），OZ 与实轴正方向的夹角为120︒，且复数z 的模为2，则复数z 为（ ）A ．1+B ．13i -+C ．13i --D ．1-±【答案】D 【解析】设复数在复平面内对应的点的坐标为(),Z a b ，根据题意可画图形如图所示，2z =，且OZ 与x 轴正方向的夹角为120︒，1a ∴=-，b =即点Z 的坐标为(-或(1,-.1z ∴=-+或1z =--. 故选：D5．若复数()2321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，则（ ） A ．2a ≠ B ．1a ≠C ．1a =D ．1a ≠且2a ≠【答案】A若复数()2321a a a i -++-（a R ∈）是纯虚数，根据纯虚数的定义有：2110=2=1=232=0a a a a a a a ≠⎧-≠⎧⇒⇒⎨⎨-+⎩⎩或， 则复数()2321a a a i -++-（a R ∈）不是纯虚数，2a ≠ 故选A6．.已知()()5,1,3,2OA OB =-=，AB 对应的复数为z ，则z =（ ） A ．5i - B ．32i +C ．23i -+D ．23i --【答案】D由题可知()2,3AB =-，故AB 对应的复数为23z i =-+， 则23z i =--， 故选：D.7．计算1+i +i 2+i 3+…+i 89的值为（ ） A ．1 B ．iC ．﹣iD ．1+i【答案】D解：由等比数列的求和公式可得：1+i +i 2+i 3+…+i 89()90111i i⨯-=-，而i 90＝i 88•i 2＝i 2＝﹣1， 故1+i +i 2+i 3+…+i 89()()()()90112121111i i ii i i ⨯-+====---+1+i ， 故选：D.8．已知i 是虚数单位，设()()()222log 33log 3z m m i m m R =--+-∈，若z 对应的点在直线1122y x =+上，则m 的值是（ ）A ．BC ．D ．15【答案】B由题意，得()()222332log lo 3g 10m m m ----+=，即()22233log 13m m m --=--，()2233123m m m --∴=-，解得m =233030m m m ⎧-->⎨->⎩，解得32m >，m ∴=.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
第七章 复数(单元测试)试卷及答案
第七章复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a∈R，若复数z=a2+2a+ai是纯虚数，则a=（）A．0B．2C．−1D．−22．已知复数z=1+3i，i为虚数单位，则|z|=（）1−iA．√2B．√5C．√10D．2√53．若复数z=(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）A．−1B．0C．1D．±14．设复数z=i，则复数z的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（）1+iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5．已知z=1+i，则z(z+1)=（）A．3+i B．3−i C．1+i D．1−i6．已知复数z=(3−4i)(2−i)，则z的虚部为（）A．2B．11C．−11D．−11i7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．58．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限10.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D．复数√2z=1+i，则z2=i=i，则下列结论正确的是（）11．已知复数z满足z+1zA ．复数z 的共轭复数为−12+12iB ．z 的虚部为12C ．在复平面内z 对应的点在第二象限D ．|z |=√2212．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________.15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____.四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值．⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i，20．已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i，向量BA⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i，求：向量BC(1)点D对应的复数；(2)平行四边形ABCD的面积．−isinθ，其中i为虚数单位，θ∈R．求|z1⋅z2|的21．已知复数z1=3cosθ+isinθ，z2=√24值域．22．已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数iz的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i第七章 复数单元测试一、单选题（共8小题）1．已知a ∈R ，若复数z =a 2+2a +ai 是纯虚数，则a =（ ） A ．0 B ．2 C ．−1 D ．−2【答案】D【分析】结合复数的概念得到{a 2+2a =0a ≠0，解之即可求出结果.【详解】∵z =a 2+2a +ai 是纯虚数，∴{a 2+2a =0,a ≠0,解得a =−2. 故选：D.2．已知复数z =1+3i 1−i，i 为虚数单位，则|z |=（ ） A ．√2 B ．√5C ．√10D ．2√5【答案】B【分析】利用复数除法运算进行化简，再求得|z |. 【详解】z =(1+3i )(1+i )(1−i )(1+i )=−2+4i 2=−1+2i ，∴|z |=√(−1)2+22=√5. 故选：B3．若复数z =(1+ai)⋅(1−i)的模等于2，其中i 为虚数单位，则实数a 的值为（ ） A ．−1 B ．0 C ．1 D ．±1【答案】D【分析】先根据复数的乘法法则得z =(1+a)+(a −1)i ,再根据模的公式列方程求解即可. 【详解】∵z =(1+ai)⋅(1−i)=1−i +ai −ai 2=(1+a)+(a −1)i 则|z|=√(1+a)2+(a −1)2=√2a 2+2=2，解得：a =±1. 故选:D. 4．设复数z =i1+i ，则复数z 的共轭复数z̅在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】先求出z ，再求出z ̅，直接得复数z ̅在复平面内对应的点. 【详解】z =i 1+i=i (1-i )(1+i )(1-i )=12+12i ，则z =12−12i ，∴z ̅在复平面内对应的点为(12,−12)，位于第四象限；故选：D.5．已知z =1+i ，则z (z +1)=（ ） A ．3+i B ．3−iC ．1+iD ．1−i【答案】B【分析】根据复数的四则运算法则计算即可.【详解】z ̅(z +1)=(1−i)(1+i +1)=(1−i)(2+i)=3−i ，故选：B. 6．已知复数z =(3−4i)(2−i)，则z 的虚部为（ ）A．2B．11C．−11D．−11i【答案】C【分析】利用复数乘法求出z，即可确定其虚部.【详解】∵z=(3−4i)(2−i)=2−11i，∴z的虚部−11，故选：C7．若z=2−i，则z2−4z=（）A．-5B．-3C．3D．5【答案】A【分析】依据复数的运算法则直接求解即可；【详解】z2−4z=z(z−4)=(2−i)⋅(−2−i)=i2−4=−5，故选：A8．在复平面内，复数z1,z2所对应的点关于虚轴对称，若z1=1+2i，则复数z2=（）A．−1−2i B．−1+2iC．1−2i D．2+i【答案】B【分析】根据对应的点的特征直接求出即可.【详解】∵z1=1+2i对应的点为(1,2)，z1,z2所对应的点关于虚轴对称，∴z2对应的点为(−1,2)，∴z2=−1+2i. 故选：B.二、多选题（共4小题）9．已知复数z=1+i（其中i为虚数单位），则以下说法正确的有（）A．复数z的虚部为i B．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1−i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限【答案】BCD【分析】根据复数的概念判定A错，根据复数模的计算公式判断B正确，根据共轭复数的概念判断C正确，根据复数的几何意义判断D正确.【详解】∵复数z=1+i，∴其虚部为1，即A错误；|z|=√12+12=√2，故B正确；复数z的共轭复数z=1−i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.11.下列命题中，真命题为（）A．复数z=a+bi为纯虚数的充要条件是a=0B．复数z=1−3i的共轭复数为z=1+3iC．复数z=1−3i的虚部为−3D ．复数√2z =1+i ，则z 2=i 【答案】BCD【分析】对A,根据纯虚数的定义，可知a =0，b ≠0，故A 错.根据共轭复数，虚部的定义，可判断B,C.运用复数的四则运算，可判断D. 【详解】复数z =a +bi 为纯虚数的充要条件是a =0，b ≠0,故A 错. 复数z =1−3i 的共轭复数为z =1+3i ,复数z =1−3i 的虚部为−3,故B,C 对. 复数√2z =1+i ，则z =√2,z 2=(√2)2=2i 2=i ，故D 对.故选:BCD 11．已知复数z 满足z+1z=i ，则下列结论正确的是（ ）A ．复数z 的共轭复数为−12+12i B ．z 的虚部为12 C ．在复平面内z 对应的点在第二象限 D ．|z |=√22【答案】AD【分析】先由已知求出复数z ，然后再逐个分析判断即可 【详解】由z+1z=i ，得z +1=zi ，∴z =−11−i =−(1+i)(1−i)(1+i)=−12−12i ， ∴复数z 的共轭复数为−12+12i ，复数z 的虚部为−12，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，|z |=√(−12)2+(−12)2=√22，∴AD 正确，BC 错误，故选：AD 12．下列命题中正确的是（ ）A ．已知平面向量a ⃑满足|a ⃑|=1，则a ⃑⋅a ⃑=1B ．已知复数z 满足|z |=1，则z ⋅z =1C ．已知平面向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑−b ⃑⃑|，则a ⃑⋅b ⃑⃑=0D ．已知复数z 1，z 2满足|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则z 1⋅z 2=0 【答案】ABC【分析】结合选项逐个验证，向量的模长运算一般利用平方处理，复数问题一般借助复数的运算来进行.【详解】∵a ⃑⃑⋅a ⃑⃑=|a ⃑⃑|2=1，∴A 正确；设z =a +bi ，则z =a −bi ，∵|z |=1，∴a 2+b 2=1， ∴z ⋅z =(a +bi )(a −bi )=a 2+b 2=1，∴B 正确；∵|a ⃑⃑+b ⃑⃑|=|a ⃑⃑−b ⃑⃑|，∴a ⃑⃑2+2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2=a ⃑⃑2−2a ⃑⃑⋅b ⃑⃑+b ⃑⃑2，即a ⃑⃑⋅b ⃑⃑=0，∴C 正确； ∵|1+i |=|1−i |，然而1⋅i =i ≠0，∴D 不正确. 故选：ABC.三、填空题（共4小题）13．已知复数z 满足z ⋅(1−2i )=|3+4i |，则z =___________. 【答案】1+2i【分析】根据复数的四则运算进行整理化简即可. 【详解】解：∵z ⋅(1−2i )=|3+4i |=5 ∴z =51−2i=5(1+2i )(1−2i )⋅(1+2i )=1+2i ，故答案为：1+2i.14．已知i 为虚数单位，则i 2020+i 2021=___________. 【答案】1+i【分析】根据i n 的周期性求得正确结论. 【详解】i 2020+i 2021=i 4×505+i 4×505+1=1+i . 故答案为：1+i15．复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是________． 【答案】－6－8i【分析】由复数的几何意义得出向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，再由向量的运算得出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，进而得出其复数.【详解】∵复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA⃑⃑⃑⃑⃑ 与OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,3),OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5) 又AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,−5)−(4,3)=(−6,−8)，∴向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示的复数是－6－8i ． 故答案为：－6－8i16．已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将x =1+2i 代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到(−3−m +2n )+(4−2m )i =0，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可；【详解】解：将x =1+2i 代入方程x2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i)2－m(1＋2i)＋2n ＝0，即1+4i −4−m −2mi +2n =0，即(−3−m +2n )+(4−2m )i =0， 由复数相等的充要条件，得{−3−m +2n =04−2m =0解得{n =52m =2 ，故m +n =2+52=92. 故答案为：92 四、解答题（共5小题） 17．计算：(1)(1−4i )(1+i )+2+4i3+4i；(2)(1+i )51−i+(1−i )51+i；(3)(1+2i)2+3(1−i)2+i．【答案】(1)1−i ；(2)0；(3)15+25i 【分析】根据复数四则运算法则计算即可. 【详解】（1）原式=5−3i+2+4i 3+4i=7+i3+4i =(7+i )(3−4i )(3+4i )(3−4i )=25−25i 25=1−i .（2）原式=(1+i )6+(1−i )6(1−i )(1+i )=[(1+i )2]3+[(1−i )2]32=(2i )3+(−2i )32=−8i+8i2=0.（3）(1+2i)2+3(1−i)2+i=−3+4i+3−3i2+i=i 2+i=i(2−i)5=15+25i18. 已知复数z =m 2−2m −15+(m 2−9)i ，其中m ∈R ，i 为虚数单位． (1)若z 为实数，求m 的值； (2)若z 为纯虚数，求z1+i 的虚部． 【答案】(1)m =±3；(2)8【分析】（1）由题意得m 2−9=0，求解即可；（2）先由题意求得z =16i ，再根据复数的除法法则化简复数z 1+i，由此可求得答案.(1)解：若z 为实数，则m 2−9=0，解得m =±3． (2)解：由题意得{m 2−2m −15=0,m 2−9≠0,解得m =5，∴z =16i ，故z 1+i=16i 1+i=16i (1−i )(1+i )(1−i )=8+8i ，∴z1+i的虚部为8．19．已知复数z =(m 2−2m −3)+(m 2+m −2)i ，(m ∈R)． (1)若z >0，求m 的值； (2)若z 是纯虚数，求z ⋅z̅的值． 【答案】(1)m =−2；(2)4或100【分析】（1）根据复数z >0，可知z 为实数，列出方程，解得答案；（2）根据z 是纯虚数，列出相应的方程或不等式，再结合共轭复数的概念以及复数的乘法运算，求得答案. 【详解】（1）∵z >0，∴z ∈R ，∴m 2+m −2=0，∴m =−2或m =1． ①当m =−2时，z =5>0，符合题意； ②当m =1时，z =−4<0，舍去． 综上可知：m =−2．（2）∵z 是纯虚数，∴{m 2−2m −3=0m 2+m −2≠0，∴m =−1或m =3,∴z =−2i ，或z =10i ,∴z ⋅z ̅=−2i ×2i =4或z ⋅z ̅=10i ×(−10i)=100, ∴z ⋅z ̅=4或100．20．已知复平面内平行四边形ABCD ，A 点对应的复数为2+i ，向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ，向量BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ，求： (1)点D 对应的复数； (2)平行四边形ABCD 的面积． 【答案】(1)5；(2)7【分析】（1）根据复数与向量间的关系运算得BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(4,1)，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)，则OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(5,0)，从而得到其对应的复数； （2）cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=5√2，则sinB =5√2，利用平行四边形面积公式即可得到答案.【详解】（1）∵向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为1+2i ,∴向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)， BC⃑⃑⃑⃑⃑ 对应的复数为3−i ,∴向量BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,−1)， BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)+(3,−1)=(4,1)， OB⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,1)−(1,2)=(1,−1)， ∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,−1)+(4,1)=(5,0)， ∴点D 对应的复数为5 .（2）∵BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |cosB ，∴cosB =BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√5×√10=5√2， ∵B ∈[0,π]，∴sinB =5√2，∴S =|BA⃑⃑⃑⃑⃑ ||BC ⃑⃑⃑⃑⃑ |sinB =√5×√10×5√2=7.故平行四边形ABCD 面积为7.21．已知复数z 1=3cosθ+isinθ，z 2=√24−isinθ，其中i 为虚数单位，θ∈R ．求|z 1⋅z 2|的值域． 【答案】[3√24,5√24] 【分析】由复数模的定义，结合三角函数值域的求法即可求解.【详解】|z 1⋅z 2|=|(3cosθ+isinθ)⋅(√24−isinθ)|=|(3cosθ+isinθ)||(√24−isinθ)| =√(1+8cos 2θ)(18+sin 2θ)=√18+sin 2θ+cos 2θ+8sin 2θcos 2θ=√98+2sin 22θ. ∵sin 22θ∈[0,1]，∴ √98+2sin 22θ∈[3√24,5√24]，即|z 1⋅z 2|∈[3√24,5√24]. 22．已知复数z =3x −(x 2−x )i(x ∈R)的实部与虚部的差为f(x)． (1)若f(x)=8，且x >0，求复数iz 的虚部； (2)当f(x)取得最小值时，求复数z 1+2i的实部．【答案】(1)6；(2)−75【分析】（1）由复数的实部、虚部的运算，可得f(x)=x 2+2x ，再结合题意可得x =2，再确定iz 在复平面内对应的点的坐标即可；（2）先求出函数取最小值时x 对应的值，再结合复数的除法运算即可得解.【详解】（1）由题意可得f(x)=3x +(x 2−x )=x 2+2x ， ∵f(x)=8，∴x 2+2x =8， 又x >0，∴x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， ∴复数iz 的虚部为6．（2）∵f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，∴当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ，则z 1+2i=−3+2i 1+2i=−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，∴z1+2i 的实部为−75．。
人教版高中数学必修第二册第七章 复数 单元测试卷(含答案)
人教版高中数学必修第二册第七章复数单元测试卷考试时间：45分钟；满分100分一、单项选择题（共10题，每小题5分，共50分）1.已知复数512i z =-+(i 是虚数单位),则下列说法正确的是()A.复数z 的实部为5B.复数z 的虚部为12iC.复数z 的共轭复数为512i +D.复数z 的模为132．设复数z 1＝a ＋2i，z 2＝－2＋i，且|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－1,1)C．(1，＋∞)D．(0，＋∞)3.已知在复平面内，复数z 对应的点是(1,2)Z -,则复数z 的共轭复数z =()A.2i - B.2i + C.12i - D.12i+4、已知复数满足z（1+i）=i,则复数=()A、1+iB、1-iC、1122i +D、1122i -5、已知复数01cos 23sin 23z i =+和复数02cos37sin 37z i =+,则12z z ∙为()A、122+B、122i +C 、122i -D、122i -6、若2(12)(3)0x i x m i +-+->，求实数m 的取值范围（）A 、（1，+∞）B 、（1,12+∞）B 、（—∞，2）D 、（1,3-∞）7、设复数z ＝1＋b i(b ∈R)，且z 2＝－3＋4i ，则z 的共轭复数z －的虚部为()A．－2B．2i C．2D．－2i8、若复数z ＝a1＋i＋1为纯虚数，则实数a ＝()A．－2B．－1C．1D．29、若复数z 满足z (1－i)＝|1－i|＋i，则z 的实部为()A.2－12B.2－1C．1 D.2＋1210、设z ∈C，且10z z i +--=，则z i +的最小值为（）A、0B、1C、2D、12二、多项选择题（共2题，每小题5分，全部选对得5分，选不全得3分，选错0分）11、有下面四个命题，真命题的是A ：210i +=B ：若a,b ∈R,且a>b,则a+i>b+i C ：220x y +=,则x=y=0D ：两个虚数不能比较大小12、对任意复数z=x+yi（x，y ∈R），i 为虚数单位，则下列结论错误的是（）A、2z z y--=B、222z x y=+C、2z z x--≥D、z x y≤+三、填空题（共4题，每小题5分，共20分）13、复平面内三点A、B、C,点A 对应的复数2+i,BA 对应的复数为1+2i,向量BC 对应的复数为3-i,求点C 对应的复数.________14、已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ―→＝λOA ―→＋μOB ―→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是________．15、81+i =1-i（）________．16、设复数z 满足_______．341,z i z --=求的最大值四、解答题（每题10分，共20分.，解答应写出必要的文字说明、演算步骤）17、已知复数22(815)(918)z m m m m i =-++-+，实数取什么值时，（1）复数是实数；（2复数是纯虚数；（3）复数对应的点位于第三象限.18、1z w =z +-zz z 设是虚数，是实数，且1<w <2(1)求的值及的实部的取值范围1-z(2)u=u 1+z 设，证明为纯虚数参考答案与解析考试时间：45分钟；满分100分一、单项选择题（共10题，每小题5分，共50分）1.选D 解析：512i z =-+的实部是-5,虚部是12,z 的共轭复数为512i,z --的模是13，所以选项A,B,C 均错误.故选D.2.选B 解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5，∴a 2＋4<5，即a 2＋4<5，∴a 2<1，即－1<a <1.3.选D 解析：由复数的几何意义可知,12i z =-，则复数z 的共轭复数12i z =+,故选D.4.选C 解析：.考点：复数的除法运算.5.选A 解析：试题分析:∵,,∴,故选A6.选B 解答：由题意知，22(12)(3)3(21)0x i x m i x x m x i +-+-=++-+>，故221030,x x x m +=⎧⎪++>⎨⎪⎩解得12112x m ⎧=-⎪⎪⎨⎪>⎪⎩所以实数m的取值范围为112m >7选A.解析：由题意得z 2＝(1＋b i)2＝1－b 2＋2b i＝－3＋4i，b 2＝－3，b ＝4，∴b＝2，故z ＝1＋2i，z －＝1－2i，虚部为－2.故选A.8.选A 解析：因为复数z ＝a 1＋i ＋1＝(1)(1)(1)a i i i -+-＋1＝a 2＋1－a 2i 为纯虚数，所以a 2＋1＝0，且－a2≠0，解得a ＝－2.故选A.9.选A 解析：由z (1－i)＝|1－i|＋i，得z ＝2＋i 1－i ＝2＋i 1＋i 1－i 1＋i ＝2－12＋2＋12z 的实部为2－12，故选A.10.选C 解答：由1z z i +=-知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以（-1,0）和（0,1）为端点的线段的垂直平分线，即直线y=-x，而z i +表示直线y=-x 上的点到点（0，-1）的距离，其最小值等于点（0，-1）到直线y=-x 的距离，即为2二、多项选择题（共2题，每小题5分，全部选对得5分，选不全得3分，选错0分）11.选AD 解析：对于A，因为2i =-1，所以1+2i =0，故A 正确。
高中试卷-人教A版2019必修二第七章 复数 单元测试卷(Word版含解析)(含答案)
第七章 复数 单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(共40分)1、(4分)已知1i z =+, 则i i z z +=-( )A. 34i 55+ B. 34i 55+ C. 41i 5+ D. 41i 5-2、(4分)若23i z z +=+, 则 z =( )A. 1i +B. 1i -C. 1i -+D. 1i--3、(4分)已知复数()211i z a a =-++，其中R a Î，i 是虚数单位，若z 为纯虚数，则a 的值为( )A.1-B. 0C. 1D.1-或14、(4分)若复数(3)i x z =-+是（i 虚数单位，R x Î）为纯虚数，则在复平面内复数1i z x =-对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限5、(4分)若复数 i i 1i a z -=-+()a ÎR 在复平面内对应的点位于实轴上, 则 a =( )A. 4 B. 2C. 3-D. 4-6、(4分)已知复数2i 1z =-, 则 5z z += ( )A. 4i B. 4i - C. 2 D. 2-7、(4分)ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 复数z 满足123z z z z z z -=-=-,则z 对应的点是ABC △的( )A.外心B.内心C.重心D.垂心8、(4分)复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是( ).A.0a =且0b ¹B.0a ¹且0b =C.0a b ==D.0ab =9、(4分)已知i 为虚数单位，复数()()2i 1i z a =++，a ÎR ，若z 为纯虚数，则a =（ ）A ．12 B ．12- C ．2 D ．2-10、(4分)已知复数2()1ai z a R i +=Î+在复平面内对应的点在第四象限，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞) B.(－∞，2) C.(－2，1) D.(－2，2)二、填空题(共25分)11、(5分)已知,,3i a b R a Î+是关于x 的方程220x x b ++=的根，则a b +=________.12、(5分)若复数()i z a a =+ÎR 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，则a =________.13、(5分)已知2i z =-，则z =_____________，i z +=_____________．14、(5分)欧拉公式cos sin (ix e x i x i =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，5i e p 表示的复数的虚部为_________.15、(5分)已知复数12i 2iz -=+在复平面内对应的点为A ，复数2z 在复平面内对应的点为B ，若向量AB uuu v 与虚轴垂直，则2z 的虚部为_________.三、解答题(共35分)16、(8分)已知关于x 的方程()2250x px p -+=ÎR 在复数范围内的两根为1x 、2x ．（1）若8p =，求1x 、2x ；（2）若134i x =+，求p 的值．17、(9分)已知复数()()2223232i z m m m m =--+-+.当实数m 取什么值时，复数z 是：（1）实数；（2）纯虚数；18、(9分)已知1i,,z a b =+为实数.(1)若234z z w =+-，求||w .(2)若221i 1z az b z z ++=--+，求a ，b 的值.19、(9分)已知(){}221,2,3156i ,{1,3},{3}A a a a a B A B =--+--=-Ç=，求实数a 的值.参考答案1、答案：A 解析：()()()()12i 12i i 12i 34i i 12i 12i 12i 55z z ++++===-+---+. 故选A 2、答案：A解析：设(),i R z a b a b =+Î, 因为()2i 2i 3i 3i z z a b a b a b +=-++=+=+, 所以1a b ==, 故1i z =+.3、答案：C 解析：由复数z 为纯虚数可知21010a a ì-=í+¹î，解得1a =4、答案： D解析：5、答案：C解析：()()i 1i i 13i i i 1i 222a a a a z ----+=-=-=-+, 由题意可得 z 为实数, 所以30,a +=3a =-.6、答案：D解析：()5512i 12i 12i i 212iz z +=-++=-++--=--+, 故选 D 7、答案：A解析：设复数z 与复平面内的点Z 相对应,由ABC △的三个顶点所对应的复数分别为123,,z z z 及123z z z z z z -=-=-可知点Z 到ABC △的三个顶点的距离相等,由三角形外心的定义可知,点Z 即为ABC △的外心.8、答案：D解析：因为22222(i)2i (i)2a b a ab b a b ab +=++=-+为实数，所以0ab =，反之，当0ab =时，复数i(,)a b a b +ÎR 的平方是一个实数，所以复数(,)a bi a b +ÎR 的平方是一个实数的充要条件是0ab =，故选D.9、答案：C解析：10、答案：B解析：11、答案：9解析：由题可知()2(3i)23i 0a a b ++++=，即()()22966i 0a a b a +-+++=，所以2290,660,a a b a ì+-+=í+=î解得110,a b =-ìí=î所以9.a b += 12、答案：1±解析： i z a =-，因为复数z 与它的共轭复数z 所对应的向量互相垂直，所以21a =，所以1a =±13、答案：2i +；解析：14、答案：12解析：15、答案：45-解析：16、答案：（1）143i x =+，243i x =-；（2）6p =解析：（1）由题意得，2100360p D =-=-<，∴86i 43i 2x ±====±，∴143i x =+，243i x =-．（2）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=Î的一根为134i x =+，所以()()()()234i 34i 25183244i 0p p p +-++=-+-=，所以1832440p p -=-=，解得6p =．17、答案：(1) 即1m =或2m =时,复数z 为实数(2) 12m =-复数z 为纯虚数解析：(1)当2320m m -+=时，即1m =或2m =时，复数z 为实数；(2)若z 为纯虚数，则222320320m m m m ì--=í-+¹î，解得12212m m m m ì=-=ïíï¹¹î或且，12m \=-，即12m =-时，复数z 为纯虚数；18、答案：(1)||w =(2)12a b =-ìí=î解析：(1)2(1i)3(1i)41i w =++--=--，所以||w =.(2)由条件，得()(2)i 1i ia b a +++=-，所以()(2)i 1i a b a +++=+，所以1,21,a b a +=ìí+=î解得1,2.a b =-ìí=î19、答案：1a =-解析：由题意知，()223156i 3()a a a a a --+--=ÎR ，所以22313,560,a a a a ì--=í--=î即 4 1,6 1,a a a a ==-ìí==-î或或所以1a =-.。
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第七章 复数式章末测试
一、单选题（每题5分，共60分）
1．已知复数1z i =-，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【来源】2019年贵州省铜仁市第一中学高三上学期第二次模拟考试数学试题（理科)
【答案】C
【解析】由1z i =-，1i z =--()-1-1z ∴=，
选择C. 2．复数1z i
i =+(i 为虚数单位)的模是（ ）
A.12 C.1 D.2
【来源】广西柳州铁一中学、玉林高中2019-2020学年高三9月联考数学（理)试题
【答案】B
【解析】因为()()()1111111222i i i i z i i i i -+====+++-，所以2z ===，选B 。
3．若()()12z i i =+-，则复数z 的实部与虚部之和为（ ）
A.1
B.-1
C.-2
D.-4
【来源】2019年10月黑龙江省哈尔滨市第六中学第二次调研考试数学（文)试题
【答案】D
【解析】()()2
12223z i i i i i i =+-=-+-=--，所以复数z 实部为3-，虚部为1-，所以和为4-，故选D.
4．复数()()522z i i =+--，则z =（ ）
A.5
B.
C.18
D.25
【来源】河南河北两省重点高中2019-2020学年度高三上学期段性考试（三)数学文科试题
【答案】B
【解析】依题意()522133z i i =-++=+，所以z ==故选：B.
5．已知关于x 的实系数一元二次方程的一个根在复平面上对应点是(2,1)，则这个方程可以是（ ）
A.2450x x -+=
B.2450x x ++=。