04第四章线性规划的求解法
04第四章线性规划的求解法
第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多，而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时，大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得： 1. 中心部位具有单位子块； 2. 右列元素非负；这时可以先用容许的运算使由列为非负，然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述： 例4.1123123123123min 32..323624,,0z x x x s tx x x x x x x x x =-+++-=-+-=-≥ （4.1.1）列成表格：上述第三张表中人工增加了两个变量45,x x ，称为人工变量，即把原来的约束条件改为：1234123512345..323624,,,,0s tx x x x x x x x x x x x x +-+=-++=≥ （4.1.2） 式（4.1）和（4.2）的约束方程组并不同解，但（4.1）的解和（4.2）中450x x ==的解是相对应的。
只要找到以（4.2）为约束条件，且人工变量45,x x 均为自由变量的基本可行解，也就找到了（4.1）的基本可行解，于是，要设法迫使450x x ==。
以上途径通过修改（4.1）的目标函数来实现。
具体修改为：12345min 32z x x x Mx Mx =-++++ （4.1.3）其中M 为足够大的正数，然后以（4.2）为约束条件，求（4.3）的最小值。
只要45,x x 不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M 倍。
由于M 为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在45,x x 取正值时达到最小值。
本例中把表改为：通过运算使它具备第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0，然后再严格按照单纯形法的步骤求解：由于M 为足够大的正数，所以-3-4M 应视为负数，故选它。
线性规划问题求解例题和知识点总结
线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。
下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。
一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。
其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。
二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。
1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。
步骤如下：画出直角坐标系。
画出约束条件所对应的直线。
确定可行域（满足所有约束条件的区域）。
画出目标函数的等值线。
移动等值线，找出最优解。
例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
第四章 线性规划
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0 , K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
Z c j x j c j x j o xn k
j 1 j 1 n n
某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜 黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农 用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8 吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运 费360元，问两种车各租多少辆时，可全部 运完黄瓜，且运费最低．并求出最低运费．
多目标规划
例1
甲 金工 装配 收益 4 2 100 乙 2 4 80
线性规划解的性质
⑴线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。 ⑵可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本 可行解。
⑶若可行解集有界，则线性规划问题的最优值 一定可以在其顶点上达到。
因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有 限个顶点中去寻找。
四、线性规划问题的求解方法——单纯形法
（一）单纯形表
根据以上讨论，令 N [ pm1 , pm2 ,, pn ]，则 A [ B, N ]
a
i 1
m
i
b
j 1
n
j
如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使 总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：
设xij表示由产地i供给销地j 的物资数量，求一组实值变量 xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足：
m xij b j ( j 1,2, , n) i 1 n xij a i (i 1,2, , m) j 1 x 0(i 1,2, , m; j 1,2, , n) ij
线性规划问题求解的基本方法
线性规划问题求解的基本方法线性规划是一种重要的数学方法，可用来解决许多实际问题。
它的核心是寻找目标函数下的最优解，同时满足一组线性等式或不等式约束条件。
在实际应用中，我们通常使用线性规划求解器来解决这些问题。
本文将介绍线性规划问题求解的基本方法。
一、线性规划问题的标准形式线性规划问题可以写成如下的标准形式：$$ \begin{aligned} &\text{最小化} \quad \mathbf{c}^T \mathbf{x} \\ &\text{满足} \quad A \mathbf{x} = \mathbf{b}, \mathbf{x} \geq\mathbf{0} \end{aligned} $$其中，$ \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n $ 是一个 $ n $ 维向量，$ \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n $ 是目标函数的系数向量，$ A \in\mathbb{R}^{m \times n} $ 是约束条件矩阵，$ \mathbf{b} \in\mathbb{R}^m $ 是约束条件的右侧向量。
二、线性规划问题的求解方法1. 单纯形法单纯形法是求解线性规划问题最常用的方法，基本思想是不断循环迭代，利用基变量与非基变量的互换来寻找可行解，并逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）将标准形式化为相应的单纯形表。
（2）从单纯形表的行中选择一个入基变量，使目标函数值减小。
（3）从入基变量所在列中选择一个出基变量。
（4）用入基变量和出基变量生成一个新的单纯形表。
（5）重复上述步骤直到达到最优解。
单纯形法的优点在于可以找到最优解，但当变量数量增多时，计算时间随之增加。
因此，对于大规模问题来说，单纯形法可能不是最优的求解方法。
2. 内点法内点法是一种比单纯形法更高效的求解线性规划问题的方法。
它选取一个内点作为初始点，逐步靠近最优解。
具体步骤如下：（1）选取一个内点作为初始点。
线性规划问题的四种求解方法
可画出直线
l0
:y
=-
2 3
x
,
把直线
l0
向右上方
平移 , 当经过可行域上点 B 时 , 直线的截距最
大 .此时 z = 12x +18y 取最大值 .解方程组
z =6x +3y +5[ 300 -(x +y)] +5(200 -x ) +9(450 -y)+6(100 +x +y)=2 x -5y +
解 设每天生产甲 、乙产品的件数分别是
维生素 B (单位 / 千克) 800 400 500
成本(单位 / 千克) 11 9 4
某食物营养所想用 x 千克甲种食物 , y 千 克乙种食物 , z 千克丙种食物配成 100 千克混合 物 , 并使混合物至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B
问题的最优解具有十分重要的现实意义 .现介
二 、等值线法
绍几种求解线性规划问题的最优解的策略 .
所谓等值线是指直线上任一点的坐标(x ,
一 、截距法
y )都使 F(x , y)=Ax +By 取等值C 的直线l :
例 1 某厂需从国外引进两种机器 .第一 Ax +By = C(A 、B 不同时为零).通过比较等
7150 作出以上不等式组所表示的平面区域即可
x +2y 4x +y
=13得 =24
B(5 , 4).故当
x
=5, y
=4
行域 .令 z = 0 , 则可画出 直线 l 0 :2x -5y + 7150 =0 .画出一组与 l 0 平行的等值线 , 比较等
第4章线性规划
f ( X ) 5 x1 4 x 2 4 x1 x 2 60 x1 x 2 24 x1 0 x2 0
(1) ( 2) ( 3) ( 4) ( 5)
例题21： • 首先由(4)，(5)二式（x1≥ 0、x2 ≥ 0）知， 其解
在第一象限所在的范围，所以在画图时将第二、
产品Ⅰ 产品Ⅱ 资源总量
设 备（台时）
原料A（公斤） 原料B（公斤）
1
4 0
2
0 4
8
16 12
利 润（百元）
2
3
线性规划范例
• 例B. 任务分配问题
表2
产品
1 23
2 21
3 19
4 17
某公司拟生产4种产品， 可分配给下属的3个工厂 生产，由于工厂的地理位 置和设备不同，每个工厂 生产每种产品的成本不相 同，加工能力也不相同。 有关数据分别由表2和表3 给出。公司应如何给下属 各工厂分配任务，才能在 保证完成每种产品的任务 的条件下，使得公司所花 费的成本最少？
例 : x2 0 y 0, y x2
对于无限制变量的处理：同时引进两个非负变量， 然后用它们的差代替无限制变量。
例 : x2无限制 x2 y1 y2 y1 , y2 0
例题20： 将下述线性规划问题化为标准形
m i n s .t . f ( X ) x1 2 x 2 3 x 3 2 x1 x 2 x 3 9 3 x1 x 2 2 x 3 4 3 x1 2 x 2 3 x 3 6 x1 0, x 2 0, x 3无限制
含量限制 原 A B C 加工费（元/kg） 料 纱线1 ≥60% 无 ≤20% 1.5 纱线2 ≥15% ≥10% ≤60% 1.2 纱线3 无 无 50% 0.9 （元/kg） 6 4.5 3 （kg/月） 2000 2500 1200 原料成本 原料限量
计量地理学第四章——线性规划和多目标规划
目标：用料最少
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划数学模型
以上例子表明，线性规划问题具有以下特征： ①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规 划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未 知变量的取值是非负的。
②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同， 常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一 种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。
二 线性规划的标准形式
（二）化为标准形式的方法
2.约束方程化为标准形式的方法
若第k个约束方程为不等式，即
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn ()bk
引入松弛变量 x nk 0, K个方程改写为：
ak1 x1 ak 2 x2 akn xn () xnk bk
则目标函数标准形式为：
非负约束
xij 0(i 1,2,, m; j 1,2,, n)
mn
z
cij xij min
i1 j1
目标：总运费最小
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例 资源利用问题 假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规
划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用 来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需 要 消 耗 的 第 i 种 资 源 的 数 量 为 aij(i=1 ， 2 ， … ， m ； j=1,2, …,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2， …，n)。 试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期 内资源利用的总产值达到最大?
一、 线性规划的数学模型
（一）线性规划模型之实例
资源利用问题
设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：
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第四章 线性规划的求解法当线性规划的变量和约束条件比较多， 而初始基本可行解又不知道时，是不容易用尝试的方法得到初始基本可行解的，何况有可能基本可行解根本就不存在。
在此时， 大M 法可能是应付此类情况的一个行之有效的算法。
§ 4.1 大M 法的原理当初始基本可行解不知道时，则1.，2.两个特点不能兼得，即下列两条件不能兼得:1. 中心部位具有单位子块;2. 右列元素非负；式（4.1 ）和（4.2 ）的约束方程组并不同解，但（4.1 ）的解和（4.2 ）中x 4 = x 5 = 0的解是相对应的。
只要找到以（4.2 ）为约束条件，且人工变量 x 4, x 5均为自由变量的基本可行 解，也就找到了（ 4.1 ）的基本可行解，于是，要设法迫使X 4 =X 5 =0。
以上途径通过修改（4.1 ）的目标函数来实现。
具体修改为：m in z = _3 人 x 2 2 x 3 M x 4 - M x 5 这时可以先用容许的运算使由列为非负, 然后在中心部位人为添加一个单位子块。
如下例所述: 例4.1min z = -3洛亠 x 2 亠 2x 3 s.t.3x ! 2x 2 —3x 3 = 6-x<| ■' 2 x^ _ X 3 = _4洛，X 2, X 3 _ 0(4.1.1 )列成表格:3 2 -36 32 -3 6 3 2 -3 1 0 6 ■1 2 -1 -4 => 1-2 1 4 => 1 -2 1 014 ■3 1 2 0-31 2 0 -3 1 2上述第三张表中人工增加了两个变量 X 4, X 5，称为人工变量，即把原来的约束条件改为:s.t. 3x ! 2 x 2 -3 x 3 x 4 = 6為-2X 2 X 3 X 5 =4(4.1.2)X 1，X 2，X 3，X 4, X 5 -0(4.1.3 )其中M为足够大的正数，然后以（4.2 ）为约束条件，求（4.3 ）的最小值。
只要x4,x5不为零，就一定为正数，于是目标函数的值就会增加它们和的M倍。
由于M为足够大的正数，所以只要原问题有基本可行解，就不会在x4,x5取正值时达到最小值。
本例中把表改为:3 2-31 -2 1-3 1 2形法的步骤求解:③2-3 1 061-210 14-3-4 M”12+2M0 010M由于M为足够大的正数, 所以-3-4M应视为负数，故选它。
经过一次迭代：12/3-11/3020-8/3②-1/3128*40 3 +-M_1 _2M 1 +-M0 6 _2M33再经过一次迭代：1-2/301/3030-4/31-1/31/215105/30-+M一+M762这时表已经具备四个特点，且人工变量x4, x5亦已成为自由变量，所以从表上可直接读出（4.1 ）的最优解：X t = 3, x2= 0, x3= 1，且x4= x5= 0。
把引进的自由变量略去，则最优解为x^（3, 0,1）T，最优值为z* - -7。
§ 4.2 两阶段法的原理使用单纯形方法，需要给定一个初始基本可行解，以便从这个基本可行解出发，求改进的基本可行解，最终达到最优解。
下面介绍如何求出一个初始基本可行解，设标准形式的线性规划问题. Tmin z = c xs.t. Ax =b(4.2.1)x > 0其中 A 是m X n 矩阵，b >0。
若A 中含有m 阶单位矩阵，则初始基本可行解立即可得。
比如:A= [l m ，N ]=[B , N ]，那么■x B !x— 1 —? N J!。
一就是一个基本可行解。
若 A 中不包含m 阶单位矩阵，则可从两阶段法入手，先求得 个初始基本可行解。
先引入人工变量的概念。
设 A 中不包含m 阶单位矩阵，为了使约束方程的系数矩阵中 含有m 阶单位矩阵，把每一个方程增加一个非负变量，令Ax x a = b X _ 0, x a _ 0即■x ]（A ,1 m ） I l=b/ a一x - 0, x a 二 0显然（x T i b j是（423 ）的一个基本可行解。
当然式子（423 ）已经不是原来的约束，构造（423 ）式的意义在于，若从（423） 式的已知的基本可行解出发，能够求出一个使得x a = 0的基本可行解，那么也就可以得到（4.2.1 ）式的一个基本可行解。
向量x a -0是人为引进的，它的每个分量称为人工变量。
人工变量与前面介绍的松弛变量是两个不同的概念。
松弛变量的作用是把不等式约束改写为等式约束，改写前后的两个问题是等价的。
松弛变量的取值能够表达现行的可行点是在可行域的内部还是在其边界。
也就是说，在此可行解处，原来的约束是严格不等式成立还是等式成立的区别。
因此松弛变量是“合法”的变量。
而人工变量的引进，改变了原来的约束条件，从这个意义上讲，它们是(422)(423)“不合法”的变量。
两阶段法的 第一阶段 是用单纯形法消去人工变量，即把人工变量都变换成非基变量， 求出原问题的一个基本可行解。
m in f = e x a s.t. Ax 亠x a = b（4.2.4 ）x _ 0, x a _0其中e =（1,1,...,1） T 是分量全是1的m 维列向量，x a =（X n 1,..., x n ,m ）T 是人工变量构成 的m 维列向量。
由于X =0,x a =b 是线性规划（4.2.4 ）的一个基本可行解，目标函数在可 行域上有下界，因此问题（4.2.4 ）必存在最优基本可行解。
设最优基本可行解是（x T , x T ）T ，这时有三种情况。
1、x a - 0，这时线性规划（4.2.1 ）无可行解，因为如果线性规划（4.2.1 ）存在可行解x ，则是线性规划（4.2.4 ）的可行解，在这一点上，问题（4.2.4 ）的目标函数的值是线性规划（4.2.4 ）的基本可行解，因此, 行解。
3、/a =0且x a 的某些分量都是非基变量，些非基变量进基，替换出基变量中的人工变量，再开始两阶段法的第二阶段。
应当指出，为替换出基变量中的人工变量而采用的主元消去法，并不要求遵守单纯形 法确定的离基进基变量的规则。
两阶段法的第二阶段，用单纯形法求线性规划（4.2.1 ）的最优解，初始的基本可行解=0 $ 亠 e T .0 ::: e T x这和e T x a 是目标函数的最优值矛盾。
2、x a =0且x a 的分量都是非基变量，这时 m 个基变量都是原来的变量，又知:x = x 是线性规划（4.2.1 ）的一个基本可这时可以用主元消去法， 使原来变量中的某就是从第一阶段所得到的基本可行解。
例4.2用两阶段法求下列线性规划问题的最优解:max z =2x 1 -x 2 s.t. x 1x 2 _ 2石「x 2 _1x 1 _ 3X t , x 2 _ 0先引进松弛变量x 3,x 4,x 5，把问题化为标准形式。
由于标准形式中约束方程的系数矩阵并不包含三阶单位矩阵，因此还要引进人工变量x 6,x 7。
下面先求解第一阶段的问题:m in 淫亠x 7X 5X i ，X 2，X 3，X 4,卷彳6, X 7变换，使X 6，X 7所对应的底行单位子块位置的元素为0。
得:11 -1 0 0 1 02 ①-1 0 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 3 * -2110 0-3由单纯形法（或主元消去法），得:0 ②-1 1 0 1 -1 1 1 -1 0 -1 0 0 1 1 01 0 1 1 0 -12 0*-21-1 0 0 2 -1再进行一次:0 1 -1/2 1/2 0 1/2 -1/2 1/2 1 0 -1/2 -1/2 0 1/2 1/2 3/2 01/2 1/2 1 -1/2 -1/2 3/2 0 0111 1 -1 0 0 1 02 1 -1 0 -1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 03 011用表格形式表示:为了满足单纯形法的第三个特点： 底行相应于单位子块位置的元素为(4.2.5)s.t.X i X 2 _X 3 X 6 =2 - x 2- x 4X 7 =1 0,对上表做初等这时已经满足单纯形法的全部条件，达到最优解。
在第一阶段的最优解中，人工变量x6, x7都是非基变量，这样得到初始基本可行解为:I 3 1 3 ）（人，X2, X3, X4, X5） = —，一，0, 0, —^2 2 2 J阶段的迭代，即求目标函数min f n/x,・x2。
01-1/21/201/210-1/2-1/203/2001/21/213/2-210000同理，为了满足单纯形法的第三个特点：底行相应于单位子块位置的元素为0,对上表做初等变换，使x,,x2所对应的底行单位子块位置的元素为0。
得:01-1/201/210-1/2-1/203/2001/21/213/200-1/2*-3/205/2上表已经具备单纯形法的三个特点，于是在底行中任选个负兀素，02-110111-10020-1①01103*-2004再进行一次迭代，得：0101121000130-11011010026上表已满足单纯形法的四个特点，从而得到线性规划（4.2.5 ）的最优解（x「x2）=（3, 0），目标函数的最优值f max=6。
§ 4.3 灵敏度分析通过一个案例来理解灵敏度的问题。
第一阶段结束后，修改最后的单纯形表，去掉人工变量x6,x7下面的列，然后开始第二例4.3 设某厂在资源甲、乙的限制下，考虑制定能使总利润达到最大的三种产品 的生产计划，其有关数据如下：解 以x 1,x 2,x 3分别表示A 、B 、C 的产量，则问题的数学模型为:m ax z = 3x t 亠 x 2 亠 4 x 3 s.t.6x 1 3x 2 5x 3 _ 45 3x 1 4x 2 5x 3 _ 30 X i ,X 2,X 3 _0化为标准形式:s.t. 6x 1 3x 2 5x 3 x 4 二 453x 1 -^4x 2 亠 5x 3 亠 x 5 =30其中x 4,x 5分别是关于资源甲、乙而引进的松弛变量，列成表格:6 3 5 1 0 45 3 4 5 0 1 30 -3-1-4用单纯形法经过两次迭代即可终止, 得1 -1/3 0 1/3 -1/3 5 0 1 1 -1/5 2/5 3 021/53/527读出的最优解为：X t = 5, x 2 = 0, x 3 = 3, x 4 = 0, x 5 = 0，标准形的最优值为f = -27，即原问题 的最大利润为z =27。
最优解为x ^(5, 0, 3) T ，即产品A 生产5吨，产品B 生产0吨，产品C 生产3吨，这时的综合利润最大，为27千元在此基础上进一步考虑一些问题，例如1、两种资源中哪种资源的拥有量是制约利润进一步提高的因素?以 x^5, x 2 = 0, x 3 =3 代入(4.4 )约束：(4.3.1 )(4.3.2)X i X 2,X 3,X 4, x 5 _0s.t.6x13x2• 5x3乞45 （资源甲的约束）3x14x2-5X3^30 （资源乙的约束）我们发现，约束条件中的不等式全部变成了等式，这说明在此生产计划下的两种资源均已用尽，故两种资源的拥有量均是制约利润进一步提高的因素。