高二数学《可线性化的回归分析》ppt课件
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高中数学 第三章 统计案例 1.3 可线性化的回归分析课件 北师大版选修23
解答
当堂训练
1.指数曲线y＝3e－2x的图像为图中的
√
解析 ∵y＝3e－2x，∴y>0，排除A、C.又x∈R，排除D.
1234
解析 答案
2.对于指数曲线y＝aebx，令u＝ln y，c＝ln a，经过非线性化回归分析之
后，可以转化成的形式为
√A.u＝c＋bx
C.y＝b＋cx
B.u＝b＋cx D.y＝c＋bx
1234
解析 答案
规律与方法
1.对于具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换， 转化为线性回归问题去解决. 2.建立回归模型的步骤 (1)确定研究对象，明确变量关系. (2)画出散点图，观察变量之间的关系. (3)由经验确定回归方程的类型. (4)按一定规则估计回归方程中的参数.
本课结束
解答
(2)利用所得的函数模型，预测x＝10时y的值. 解 当 x＝10 时，y＝361.095－11.3＝－7.605.
解答
反思与感悟
实际问题中非线性相关的函数模型的选取 (1)采集数据，画出散点图. (2)根据散点图中点的分布状态，选取所有可能的函数类型. (3)作变量代换，将函数转化为线性函数. (4)作出线性相关的散点图，或计算线性相关系数r，通过比较选定函数 模型. (5)求回归直线方程，并检查. (6)作出预报.
解析 对方程y＝aebx两边同时取对数，然后将u＝ln y，c＝ln a代入，不 难得出u＝c＋bx.
1234
解析 答案
3.在一次试验中，当变量 x 的取值分别为 1，12，13，14时，变量 y 的值分别
为 2,3,4,5，则 y 与1x的回归方程为
√A.y＝1x＋1
B.y＝2x＋3
C.y＝2x＋1
北师大版高中数学选修1-2 可线性化的回归分析课件(42张) (1)
μ t μ
10.918 6 5 11.026 1
10.938 4 6 11.048 2
10.959 2 7 11.075 4
10.981 8 8 11.097 3
11.006 5 9 11.115 5
2 t ＝ 45 ， μ ＝ 110.167 0 ， t i i i ＝285， i ＝1 10 i＝1 i＝1
(1)指数函数型 y＝aebx(a>0) ①函数 y＝aebx(a>0)的图象，则图 1 ②处理方法： 两边取对数，得 lny＝ln(aebx)，即 lny＝lna＋bx.
y′＝lny 设 x′＝x，
则原方程变成 y′＝lna＋bx′.
具体计算时，先将原数据点 (xi ， yi) 转化成 (xi ， lnyi) ， i ＝ 1,2，…，n，再根据一次线性回归模型的方法得出 lna 和 b.
2．指数曲线y＝3·e－2x的图像为图中的(
)
[答案] B
[ 解析 ]
D．
∵ y ＝ 3e － 2x ， ∴ y>0 ，排除 A 、 C ，又 x∈R ，排除
3．某地今年上半年患某种传染病的人数 y(人)与月份x(月) 之间满足函数关系 ，模型为 y ＝ aebx ，确定这个函数解析式 __________________. 月份x/月 人数y/人 1 52 2 61 3 68 4 74 5 78 6 83
2 ．可线性化的回归分析：非线性回归问题的非线性回归
方程一般很难求，因此把非线性回归化为线性回归是解决问题 线性回归 ，再利用线性回归的 的好方法：把非线性回归化为__________ 方法确定参数a及b的估计值．
非线性回归问题 在大量的实际问题中，研究的两个变量不一定呈线性相关 关系，它们之间可能呈指数关系或对数关系．在某些情况下可 以借助线性回归模型研究呈非线性关系的两个变量之间的关 系．
2021年高中数学1.1.3可线性化的回归分析课件人教A版选修1_2.ppt
2．常见的函数模型及其转化 常见的函数模型有：幂函数曲线y＝axb；指数曲线y＝
b
aebx；倒指数曲线y＝ae x ；对数曲线y＝a＋blnx.
(1)幂函数曲线、指数曲线、倒指数曲线中的a的取值都
为正值．若a为负值，则其图像应相应地关于x轴对称．
(2)在将非线性曲线转化为线性函数时，通常要对幂指 数式子两边取对数，将指数“移挪”下来，变为一次式， 即线性函数关系．
合作探究
已知模拟函数类型确定解析式
【例 1】 我国 1950～1959 年人口数据资料如下表所 示：
年份 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 1959
t/年 人口 55 56 57 58 60 61 62 64 65 67 y/万人 196 300 482 796 266 456 828 563 994 207
若 y 与 t 之间满足 y＝aeb(t－1 950)的关系，求函数解析式．若 按此增长趋势，问我国 2012 年人口将达到多少亿？
【思路探究】 本题中已知函数模型的类型，可通过变 形转化为线性关系，从而求出．
【尝试解答】 设 u＝lny，c＝lna，t′＝t－1 950，则 u＝c＋bt′.u 与 t′之间的关系数据如下表：
t′ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.9 10.9 10.9 10.9 11.0 11.0 11.0 11.0 11.0 11.1
u 18 6 38 4 59 2 81 8 06 5 26 1 48 2 75 4 97 3 15 5
t ′ ＝4.5， u ＝11.016 7，
u＝10.916 4＋0.022 3×(2 012－1 950)＝12.299， ∴y＝e12.299≈219 476.40(万人)， 即如果按此增长趋势，到 2012 年将达到 21.947 640 亿 人．
可线性化的回归分析课件
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
正式作业
课本P86习题3- 1 第3 ，4题。
第三章 §1
第三章 §1
成才之路 ·高中新ຫໍສະໝຸດ 程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
4 ．常见的非线性回归模型转化为线性回归模型如下： (1)幂函数曲线y＝axb 作变换u＝lny ，v＝lnx ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bv. (2)指数曲线y＝aebx 作变换u＝lny ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bx.
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
(2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm、体重82kg 的在校女生的体重是否正常？
[ 分析 ] 由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转
化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
[解析] (1)根据上表中的数据画出散点图如图所示．
由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝ ec1 ＋c2x 的周围，其中c1和c2是待定的参数，令z＝lny，变 换 后的样本数据表如下：
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 y 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
正式作业
课本P86习题3- 1 第3 ，4题。
第三章 §1
第三章 §1
成才之路 ·高中新ຫໍສະໝຸດ 程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t
4 ．常见的非线性回归模型转化为线性回归模型如下： (1)幂函数曲线y＝axb 作变换u＝lny ，v＝lnx ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bv. (2)指数曲线y＝aebx 作变换u＝lny ，c＝lna ，得线性函数u＝c＋bx.
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(2)若体重超过相同身高的女性体重平均值的1.2倍为偏胖， 低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高175cm、体重82kg 的在校女生的体重是否正常？
[ 分析 ] 由样本点画出散点图，找出拟合函数曲线，转
化为线性回归模型解题．注意最后要将中间变量值用x代换．
第三章 §1
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[解析] (1)根据上表中的数据画出散点图如图所示．
由图可看出，样本点分布在某条类似指数函数曲线y＝ ec1 ＋c2x 的周围，其中c1和c2是待定的参数，令z＝lny，变 换 后的样本数据表如下：
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 y 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01
第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-t 第三章 §1
高中数学线性回归方程分析PPT课件
i＝1
a＝ y －b x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35.
因此，所求的线性回归方程为y^＝0.7x＋0.35.
(10 分)
(3)由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，可得 降低的生产能耗为 90－(0.7×100＋0.35)＝19.65(吨标准煤)．
(14 分)
第17页/共27页
第8页/共27页
• 题型二 线性回归方程的求法 • 【例2】 假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y(万元)有如下统计资
料：
使用年限x(年) 2 3 4 5 6 • 若由资料知y对维x呈修线费性相用关y关(万系，元求) 线性2.回2 归3方.程8 ＝5b.x5＋a6. .5 7.0
• [思路探索] 本题已知x与y具有线性相关关系，故无需画散点图进行判断，可直接用 公式求解．
自学导引
• 1．与函数关系不同，相关关系是一种 系．
有关系，但不是 的关
•
确定性
2．能用直
线
方
程
＝
b
e
＋
a
近
似表
示
的
相
关
关
系
叫
做
线
性相
关
关
系
，
该
方
程
叫
，给出一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，线
性 回 归 方 程 中 的 系 数 a ，线b性满回足 归方程
n
n
n
n xiyi－ xi yi
总产量；④日照时间与水稻的亩产量． • 解析 正方体的棱长x和体积V存在着函数关系V＝x3；角的弧度数α和它的正弦值y存
在着函数关系y＝sin α；单产为常数a公斤/亩土地面积x(亩)和总产量y(公斤)之间也 存在着函数关系y＝ax.日照时间长，则水稻的亩产量高，这只是相关关系，应选④. • 答案 ④
高二数学北师大版选修1-2 可线性化的回归分析 课件(32张)
u 20.000 16.667 4.000 v -2.303 -1.966 0
3.226 0.113
14.286 10.000 -1.470 -0.994
u 2.632 2.326 7.143 5.000 2.128
v 0.174 0.223 -0.528 -0.236 0.255
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟已知曲线类型进行回归分析的步骤: (1)将非线性函数通过变量代换转化为线性函数. (2)将所给数据点加以转换. (3)按最小二乘法原理求线性回归方程并进行检验. (4)将线性回归方程转换为关于原始变量x,y的回归方程. (5)依据回归方程作出预报.
探究一
探究二
思维辨析
1.1.3 可线性化的回归分析
学习目标
思维脉络
1.进一步了解回归分析的 基本思想,明确建立回归模 型的基本步骤. 2.会将非线性回归模型通 过变换转化为线性回归模
型,进而进行回归分析.
一、非线性回归分析 对于一些特殊的非线性函数,可以通过变量替换,把非线性回归 转化为线性回归,然后用线性回归的方法进行研究,最后再通过相 应的变换得到非线性回归方程. 名师点拨非线性相关的变量,确定回归模型的方法: 首先要作出散点图,如果散点图中的样本点并没有分布在某个带 状区域内,则两个变量不呈现线性相关关系,不能直接利用线性回 归方程来建立两个变量之间的关系,这时可以根据已有函数知识, 观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系,选定适当的回归 模型.
u=c+bv
v=ln x u=y
u=a+bv
特别提醒常见的几种函数模型的解析式在转变为线性相关关系 时,要根据函数式的特点,灵活地换元转变为线性函数关系.在使用 常见的几种模型时要注意散点图的形状符合哪一种类型曲线的形 状,有时不太容易辨别,可采用多种模型拟合,并转变为线性回归关 系.利用线性相关系数来检验用哪一种拟合效果较好,就用哪一种 模型.
高中数学选修2-3 北师大版 可线性化的回归分析 ppt课件(26张)
身高 x/cm 120 130 140 150 160 170 体重 y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
≈0.999 8.
������∑1=01���������2��� -10������2 ������∑1=01���������2��� -10������2
由此可以得出 u 与 y 之间具有较强的线性相关关系.回归系数
10
b= ������∑=������∑1=10���1���������������������2������ ������--1100������������2������≈8.973,
a=3.14-8.973×0.224 5≈1.126, ∴y=8.973u+1.126. ∴y 对 x 的回归方程为 y=8.9������73+1.126.
根据原始数据求拟合函数应注意的事项 剖析:(1)可先由原始数据作散点图. (2)对于一些函数模型的图形要熟悉. 如:①幂函数曲线 y=axb.
【做一做 1】 x,y 的取值如下表:
x 0.2 0.6 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2
y 0.04 0.36 1 1.4 1.9 2.5 3.2 3.98 4.82
则 x,y 之间的关系可以选用函数 答案:y=x2
进行拟合.
2.对于非线性回归模型如果能化为线性回归模型,则可先将其转化为 线性回归模型,从而得到相应的回归方程.
u=c+bv.
(4)对数曲线 y=a+bln x.作变换 v=ln x,得线性函数 y=a+bv.
【做一做 2】 某种书每册的成本费 y(元)与印刷册数 x(千册)有关,经统 计得到数据如下:
北师大版数学高二课件 3.1.3 可线性化的回归分析
由散点图可观察到，变换后的样本点分布在一条直线的附近， 所以可用线性回归方程来拟合.
由z与x的数据表，可得线性回归方程： z＝0.848＋0.81x， 所以y与x之间的非线性回归方程为 y＝e0.848＋0.81x.
反思与感悟 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的 散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换， 作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示.
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x 的周围， 于是令z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示.
题型三 非线性回归模型的综合应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 试建立y与x之间的回归方程.
广告费
2
4
5
6
8
销售额 30 40 60 50 70
1234
则广告费与销售额间的相关系数为( )
A.0.819
B.0.919
C.0.923
D.0.95
答案 B
1234
3.根据统计资料，我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生 产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
由z与x的数据表，可得线性回归方程： z＝0.848＋0.81x， 所以y与x之间的非线性回归方程为 y＝e0.848＋0.81x.
反思与感悟 可线性化的回归分析问题，画出已知数据的 散点图，选择跟散点拟合得最好的函数模型进行变量代换， 作出变换后样本点的散点图，用线性回归模型拟合.
解 根据题干表中数据画出散点图如图所示.
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线y＝c1e c2x 的周围， 于是令z＝ln y.
x 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 z 1.81 2.07 2.30 2.50 2.71 2.86 3.04 3.29 3.44 3.66 3.86 4.01 画出散点图如图所示.
题型三 非线性回归模型的综合应用 例3 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x/cm 60 70 80 90 100 110 体重y/kg 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50
身高x/cm 120 130 140 150 160 170 体重y/kg 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05 试建立y与x之间的回归方程.
广告费
2
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8
销售额 30 40 60 50 70
1234
则广告费与销售额间的相关系数为( )
A.0.819
B.0.919
C.0.923
D.0.95
答案 B
1234
3.根据统计资料，我国能源生产发展迅速.下面是我国能源生 产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
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化成线性函数，两边取对数：lnylnabx
设 uln y,cln a，则上式变为 ucbx，
即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
精选ppt
6
yeue5.056e0.13x8
对上表数据求线性回归方程得：c5.05,6b0.13,8
即： u5.05 06 .13 x8
精选ppt
9
2. 指数曲线：y aebx
(a0,b0)
(a0,b0)
作变换 ulny,clna,
得线形函数 ucbx。
精选ppt
10
思考交流
b
3. 倒指数曲线：y ax x
(a0,b0)
(a0,b0)
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
精选ppt
11
4. 对数曲线：yablnx
b0
b0
精选ppt
7
由此可得：yeue5.056e0.13x8，曲线如图：
这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
精选ppt
8
将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。 1.幂函数：y axb
(a1,b0)
(a1,b0)
作变换 u ln y ,v ln x ,c ln a ,
得线形函数 ucbv。
精选ppt
3
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
精选ppt
4
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。
而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
精选ppt
5
分析： 考虑函数 y aebx来拟合数据的变化关系，将其转
精选ppt
1
整理：王全峰
制作：王全峰
精选ppt
2
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
n
xi yi nxy
r
i1
n
n
xi2 nx2
yi2 ny2
i1
i1
，其中 1r1。
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高；
r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0时，两变量正相关； 当 r 0时，两变量负相关； 当 r 0时，两变量线性不相关。
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
精选ppt
12
动手做一做
下表是一组实验数据：
1 试分析 y 与 x 之间是否具有线性相关关系，
若有，求 y与 x 之间的回归方程。
精选ppt
13
小结
＊ 非线性回归方程：
对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非 线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。
＊ 常见非线性回归模型：
1.幂函数：y axb
2. 指数曲线：y aebx
b
3. 倒指数曲线：y ax x 4. 对数曲线：yablnx
精选ppt
14
精选ppt
15
设 uln y,cln a，则上式变为 ucbx，
即线性回归方程，记1981年为x=1，1982年为 x=2，‥变换后的数据如下表：
精选ppt
6
yeue5.056e0.13x8
对上表数据求线性回归方程得：c5.05,6b0.13,8
即： u5.05 06 .13 x8
精选ppt
9
2. 指数曲线：y aebx
(a0,b0)
(a0,b0)
作变换 ulny,clna,
得线形函数 ucbx。
精选ppt
10
思考交流
b
3. 倒指数曲线：y ax x
(a0,b0)
(a0,b0)
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
精选ppt
11
4. 对数曲线：yablnx
b0
b0
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7
由此可得：yeue5.056e0.13x8，曲线如图：
这样一来，预测2008年的出口贸易量就容易多了。
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8
将下列常见的非线性回归模型转化为线性回归模型。 1.幂函数：y axb
(a1,b0)
(a1,b0)
作变换 u ln y ,v ln x ,c ln a ,
得线形函数 ucbv。
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3
新课讲解
下表按年份给出了1981~2001年我国出口贸易 量（亿美元）的数据，根据此表你能预测2008年我 国的出口贸易量么？
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4
从散点图中观察，数据与直线的拟合性不好， 若用直线来预测，误差将会很大。
而图像近似指数函数，呈现出非线性相关性。
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5
分析： 考虑函数 y aebx来拟合数据的变化关系，将其转
精选ppt
1
整理：王全峰
制作：王全峰
精选ppt
2
复习回顾
＊ 线性相关系数r及性质：
n
xi yi nxy
r
i1
n
n
xi2 nx2
yi2 ny2
i1
i1
，其中 1r1。
＊ r 值越大，变量的线性相关程度就越高；
r 值越接近于0，线性相关程度就越低。
＊ 当 r 0时，两变量正相关； 当 r 0时，两变量负相关； 当 r 0时，两变量线性不相关。
作怎样的变换，得到线形函数的方程如何？？
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12
动手做一做
下表是一组实验数据：
1 试分析 y 与 x 之间是否具有线性相关关系，
若有，求 y与 x 之间的回归方程。
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小结
＊ 非线性回归方程：
对某些特殊的非线性关系，可以通过变换，将非 线性回归转化为线性回归，然后用线性回归的方法进 行研究，最后再转换为非线性回归方程。
＊ 常见非线性回归模型：
1.幂函数：y axb
2. 指数曲线：y aebx
b
3. 倒指数曲线：y ax x 4. 对数曲线：yablnx
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