中国矿业大学 概率论与数理统计
(5) A, B 与C 全不发生
(A BC )
(6) A, B 与C不全发生
( ABC)
(7) A, B 与C 至少有两个发生
(ABC A BC AB C ABC )
17
例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为 (A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销
；
推广：
;
15
注：事件的一些关系式
①设
，则
，
，
， ②
③
16
例1. 设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件
(1) A 发生, B 与C 不发生
(AB C )
(2) A 与B 发生, C 不发生 (3) A, B 与C 都发生 (4) A, B 与C 至少有一个发生
( ABC ) ( ABC ) (A B C)
事件B包含事件A
A发生必然导致B发生 A与B相等，
记为 A=B。
11
②事件的和 称为A和B的和事件
表示A与B中至少有一个发生，即： A与B中至少有一个发生时， 发生。
12
③ห้องสมุดไป่ตู้件的积
且
A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即： 当且仅当A与B同时发生时， 发生。通常简记为AB。
A B
13
④事件的差 但
二、概率的公理化定义
重点掌握利用关系式计算概率
20
一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大 量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律， 频率这一概念近似反映了这个数量规律。
一、频率
1. 定义1 设 E, S, A为E中某一事件，在相同条件进行
n次独立重复试验，事件A发生的次数记为
则比值
称为A的频率。(frequency)
一门数学分支。
4
第一章 随机事件及其概率
一、随机事件及其运算 二、频率与概率 三、等可能概型 四、条件概率 五、事件的相互独立性
5
第一章
第一节 随机事件及其运算
一、随机试验 二、随机事件与样本空间 三、事件间的关系及其运算（重点）
6
一、随机试验 例：E1 : 抛一枚硬币，观察出现正反面情况。
E2 :将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。 E3: 在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。
特殊随机事件：
1. 必然事件：每次试验中必然发生的事件,记为S；
2. 不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记；
3. 基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个 可能结果）。
例： 有两个基本事件 { H } 和 { T }
10
三、事件间的关系及其运算（重点）
1.事件的关系 ① 包含、相等关系
Ⅱ. 随机事件 定义2 样本空间的子集称为随机事件，简称事件，
一般记为 A, B, C等。 例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，
S={11,12,13, ……,61, ……,66}
A — 点数之和为7 , A={16,25,34,43,52,61}
9
事件A发生
A中的某一个样本点在试验中出现
内容与学时
第一章 随机事件及其概率 第二章 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布 第四章 随机变量的数字特征 第五章 大数定律与中心极限定理 第六章 样本及抽样分布 第七章 参数估计 第八章 假设检验
(
概 30 率学 论时
)(
数 理 统 计
)
18 学 时
1
参考学习书目： 《概率论与数理统计》 《概率论与数理统计学习辅导与习题解答》 浙江大学二、三版 高教出版社出版 答疑： 答疑地点：教一楼C300答疑室
求: A B , B C , A D, A D
解: ∵ A={2,4,6} , B={1,3,5} , C={5,6}，D={6}
A B , B C {5}
A D {2, 4, 6} A D {1,3,5, 6}
19
第一章
第二节 频率与概 率
一 、频率 概率的统计定义
2. 性质： 0≤
≤1
20
21
30 若
两两互不相容
历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过 大量掷硬币的试验，所得结果如下：
对上面的随机现象进行观察 ，具有以下特点： 1、可以在相同的条件下重复进行；
2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能 预先知道全部可能结果；
3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。
E(experimentation)
7
二、随机事件与样本空间
Ⅰ. 样本空间
定义1 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为S ,样本空间的元素,即E的每个结果，
称为样本点,记为e。
例如上页引例中：
有限个 样本点
S1 ={ H,T } S2 ={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}
连续、 不可列
S3 ={ t | t≥0}
8
注意：样本空间的元素是由 试验目的 所决定的。 例：将一枚硬币连抛三次
1) 观察正反面出现的情况, S1 ={HHH,HHT……} 2) 观察正面出现的次数, S2 ={0,1,2,3}
解 设B=“甲产品畅销”，C=“乙产品畅销”
则
，故选(D)
例3 关系( C, D )成立，则事件A与B为对立事件。
(A)
(B)
(C)
(D) 与 为对立事件
解释(D)：
18
A与B为对立事件
例4. 在掷骰子的试验中, 样本空间 S {1, 2,6}
事件A— 出现偶数点 , 事件B —出现奇数点 事件C —出现点数大于4 , 事件D —点数大于5
A与B的差事件
A-B 表示事件A发生但事件B不发生
⑤互斥事件(互不相容) ，则称A,B为互不相容事件
即：A、B不能同时发生。
基本事件都互不相容。
⑥对立事件(逆事件) 且
，则称事件A与B互为逆事件
或互为对立事件。A的对立事件记为 , =S -A。
14
2 .事件的运算法则
①交换律
；
②结合律
③分配律
④德·摩根律：
答疑时间：周二下午7-8节
2
绪言 自然界和社会中有两类现象：
①确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
例 抛一石子必然落下； 同性电荷互斥 （结果可以事先预言的）
②随机现象： 在一定条件下，可能出现这样的结果 也可能出现那样的结果；
例 抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上； （结果不可事先预言）
3
②随机现象： 在每次试验中结果具有不确定性，而在大量的重复 试验中其结果又具有某种统计规律性的现象。 研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性的
2015年中国矿业大学概率论与数理统计学硕复试分数线为国家A线
2015年中国矿业大学概率论与数理统计学硕复试分数线为国家A线2015年中国矿业大学概率论与数理统计学硕复试分数线为国家A线。
其中单科（满分=100分）国家A线，单科（满分>100分）国家A线。
一、统考生及单考生学院专业代码专业名称类别总分单科单科（满分=100分）（满分>100分）001资源与地球科学学院070503地图学与地理信息系统学术35240国家A线070800 地球物理学学术320国家A线国家A线070901矿物学、岩石学、矿床学学术国家A线国家A线国家A线070902 地球化学学术国家A线国家A线国家A线070903古生物学与地层学学术国家A线国家A线国家A线070904 构造地质学学术国家A线国家A线国家A线070905第四纪地质学学术国家A线国家A线国家A线081501水文学及水资源学术国家A线国家A线国家A线081801矿产普查与勘探学术320国家A线国家A线081802地球探测与信息技术学术国家A线国家A线国家A线081803 地质工程学术340国家A线国家A线0818Z1 ★地球信息科学学术310国家A线国家A线0818Z2 ★地下水科学与工程学术国家A线国家A线国家A线085214 水利工程专业国家A线国家A线国家A线085217 地质工程专业国家A线国家A线国家A线002矿业工程学院081901 采矿工程学术300国家A线国家A线0819Z1★资源开发规划与设计学术国家A线国家A线国家A线085218 矿业工程专业国家A线国家A线国家A线085222交通运输工程专业国家A线国家A线国家A线085236 工业工程专业322国家A线国家A线087100管理科学与工程学术国家A线国家A线国家A线003力学与建筑工程学院080101一般力学与力学基础学术国家A线国家A线国家A线080102 固体力学学术国家A线国家A线国家A线080104 工程力学学术295国家A线国家A线081302建筑设计及其理论学术302国家A线国家A线081401 岩土工程学术321国家A线国家A线081402 结构工程学术326国家A线国家A线081403 市政工程学术329国家A线国家A线081404供热、供燃气、通风及空调工程学术299国家A线国家A线081405防灾减灾工程及防护工学术国家A线国家A线国家A线程081406 桥梁与隧道工程学术国家A线国家A线国家A线083300 城乡规划学学术347国家A线国家A线085213 建筑与土木工程专业323国家A线国家A线085239 项目管理专业国家A线国家A线国家A线1201Z3 ★工程管理学术359国家A线国家A线125600 工程管理专业国家A线国家A线国家A线004化工学院070301 无机化学学术国家A线国家A线国家A线070302 分析化学学术国家A线国家A线国家A线070303 有机化学学术国家A线国家A线国家A线070304 物理化学学术国家A线国家A线国家A线080706化工过程机械学术国家A线国家A线国家A线081701 化学工程学术293国家A线国家A线081702 化学工艺学术302国家A线国家A线081703 生物化工学术国家A线国家A线国家A线081704 应用化学学术国家A线国家A线国家A线081705 工业催化学术国家A线国家A线国家A线081902矿物加工工程学术322国家A线国家A线0819Z2★洁净能源工程学术国家A线国家A线国家A线0819Z3★矿物材料工程学术国家A线国家A线国家A线085206 动力工程专业国家A线国家A线国家A线085216 化学工程专业国家A线国家A线国家A线085218 矿业工程专业国家A线国家A线国家A线085229 环境工程专业国家A线国家A线国家A线085238 生物工程专业国家A线国家A线国家A线005机电工程学院080201机械制造及其自动化学术288国家A线国家A线080202机械电子工程学术281国家A线国家A线080203机械设计及理论学术314国家A线国家A线080204 车辆工程学术311国家A线国家A线080402测试计量技术及仪器学术323国家A线国家A线085201 机械工程专业国家A线国家A线国家A线085203仪器仪表工程专业国家A线国家A线国家A线006信息与电气工程学院080800 电气工程学术343国家A线国家A线080900电子科学与技术学术国家A线国家A线国家A线081000信息与通信工程学术国家A线国家A线国家A线081100控制科学与工程学术295国家A线国家A线085207 电气工程专业328国家A线国家A线085208电子与通信工程专业306国家A线国家A线085210 控制工程专业302国家A线国家A线007管理学院020204 金融学学术339国家A线国家A线020205 产业经济学学术343国家A线国家A线020206 国际贸易学学术国家A线国家A线国家A线020209 数量经济学学术国家A线国家A线国家A线025600 资产评估专业国家A线国家A线国家A线027000 统计学学术国家A线国家A线国家A线085236 工业工程专业346国家A线国家A线085239 项目管理专业国家A线国家A线国家A线085240 物流工程专业326国家A线国家A线120100管理科学与工程学术352国家A线国家A线120201 会计学学术343国家A线国家A线120202 企业管理学术国家A线国家A线国家A线120204技术经济及管理学术国家A线国家A线国家A线125100 工商管理专业国家A线国家A线国家A线125300 会计专业211国家A线国家A线008理学院070101 基础数学学术300国家A线国家A线070102 计算数学学术国家A线国家A线国家A线070103概率论与数理统计学术国家A线国家A线国家A线070104 应用数学学术国家A线国家A线国家A线070105运筹学与控制论学术国家A线国家A线国家A线070201 理论物理学术国家A线国家A线国家A线070205 凝聚态物理学术国家A线国家A线国家A线070207 光学学术290国家A线国家A线071400 统计学学术290国家A线国家A线009文学与法政学院030107 经济法学学术302国家A线国家A线030201 政治学理论学术342国家A线国家A线035101法律（非法学）专业304国家A线国家A线035102 法律（法学）专业国家A线国家A线国家A线040100 教育学学术322国家A线国家A线050100中国语言文学学术379国家A线国家A线120400 公共管理学术367国家A线国家A线125200 公共管理专业176国家A线国家A线010外国语言文化学院050201英语语言文学学术国家A线国家A线国家A线050211外国语言学及应用语言学学术国家A线国家A线国家A线055101 英语笔译专业375国家A线国家A线011体育学院040301体育人文社会学学术国家A线国家A线国家A线040303体育教育训练学学术国家A线国家A线国家A线045201 体育教学专业国家A线国家A线国家A线045202 运动训练专业国家A线国家A线国家A线045203 竞赛组织专业国家A线国家A线国家A线045204 社会体育指导专业国家A线国家A线国家A线012安全工程学院083700安全科学与工程学术298国家A线国家A线085224 安全工程专业国家A线国家A线国家A线013电力工程学院080103 流体力学学术国家A线国家A线国家A线080701 工程热物理学术287国家A线国家A线080702 热能工程学术305国家A线国家A线080703动力机械及工程学术国家A线国家A线国家A线080704流体机械及工程学术332国家A线国家A线080705制冷及低温工程学术国家A线国家A线国家A线085206 动力工程专业329国家A线国家A线014马克思主义学院010100 哲学学术国家A线国家A线80 030501马克思主义基本原理学术328国家A线80 030505思想政治教育学术328国家A线80016环境与测绘学院070501 自然地理学学术国家A线国家A线国家A线077601 环境科学学术323国家A线国家A线081601大地测量学与测量工程学术312国家A线国家A线081602摄影测量与遥感学术301国家A线国家A线081603地图制图学与地理信息工程学术324国家A线国家A线0816Z1★数字矿山与沉陷控制学术312国家A线国家A线工程083002 环境工程学术304国家A线国家A线085215 测绘工程专业302国家A线国家A线085229 环境工程专业284国家A线国家A线120405 土地资源管理学术361国家A线国家A线017计算机科学与技术学院081201计算机系统结构学术国家A线国家A线国家A线081203计算机应用技术学术300国家A线国家A线0835Z1★软件工程技术学术国家A线国家A线国家A线0835Z2 ★信息安全学术国家A线国家A线国家A线085211 计算机技术专业国家A线国家A线国家A线085212 软件工程专业国家A线国家A线国家A线018材料科学与工程学院080501材料物理与化学学术国家A线国家A线国家A线080502 材料学学术国家A线国家A线国家A线080503材料加工工程学术国家A线国家A线国家A线085204 材料工程专业国家A线国家A线国家A线019艺术与设计学院085237工业设计工程专业国家A线国家A线国家A线130400 美术学学术345国家A线国家A线1305L1 设计艺术学学术国家A线国家A线国家A线135101 音乐专业国家A线国家A线国家A线135107 美术专业国家A线国家A线国家A线135108 艺术设计专业334国家A线国家A线报考“少数民族高层次骨干人才计划”考生进入复试的初试成绩基本要求为总分不低于245分；第一志愿报考我校与淮海工学院、常熟理工学院联合培养的考生进入复试的初试成绩为国家A线；参加我校2014年优秀大学生暑期学术夏令营并被评为优秀营员的考生进入复试的初试成绩为国家A线。
2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案
第1页(共3页)中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期《概率论与数理统计》试卷（ A 卷）答案和评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、设,A B 为两个事件，()0.4,()0.8,()0.5P A P B P AB ===，则(|)P B A =____0.75__________ 2、设随机变量X 在(3,3)-上服从均匀分布，关于t 的方程24420t Xt X +++=有实根的概率为______21_________ 3、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y _____⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⎪⎭⎫ ⎝⎛其他,00,13ln y y y f X ___________4、如果随机变量X 在)10,0(上服从均匀分布，现在对X 进行4次独立重复观测，至少有3次观测值大于5的概率为____516__________ 5、设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ=______1_________6、设随机变量,X Y 相互独立，且都服从参数2θ=的指数分布，则{max{,}2}P X Y ≤=_____12(1)e --_________7、设随机变量X 的方差为2.5，由切比雪夫不等式估计概率{|()|7.5P X E X -≥≤____245_______ 8、设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 是该总体X 的一个样本，1211()n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则c =_______)1(21-n ___________9、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自正态总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量Y服从____)9(t ________分布10、设总体),(~2σμN X ，抽取容量16n =的样本n x x x ,,,21 ，经计算得均值,2.5=x 样本标准方差2=s ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为_____)266.6,134.4(____________二、(10分)设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1%和2%．现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于工厂A 生产的概率．解：设事件A 表示产品来自工厂A ，事件B 表示产品来自工厂B ，事件C 表示抽取到的产品是次品，则%1)|(=A C P ，%2)|(=B C P ，%60)(=A P ，%40)(=B P 5分从而73%2%40%1%60%1%60)|()()|()()|()()|(=∙+∙∙=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 5分第2页(共3页)三、(12分)学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的概率密度函数为21,0()20,cx x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求出在20分钟以内完成一道作业的概率．解：（1）由概率密度函数的性质()122011()248c f x dx cx x dx +∞-∞==+=+⎰⎰ 解得21c = 4分（2）由2121,0()20,x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则()2230001()()217022112xxx x F x f t dt t t dt x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==+=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰ 4分 （3）1117()()3354P X F ≤==4分 四、(10分)设,X Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别是1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求随机变量Z X Y =+的概率密度函数．解：由卷积公式()()()X Y X Y f z f x f z x dx +∞+-∞=-⎰3分易知仅当010x z x ≤≤⎧⎨->⎩ 即 01x x z≤≤⎧⎨<⎩时被积函数不为零 2分()01()00,0()011zz x X Y z x z f z e dx z e dx z --+--⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分即0,0()101(1)1zX Y z z f z ez e e z -+-<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩2分 五、(10分)设(Y X ,)具有概率密度为26,01,01(,),0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它 （1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立； （2） 求条件概率密度)(y x f YX．解：（1）1206201()(,)0X xy dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他12206301()(,)0Y xy dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立 6分（2）当10<<y 时，⎩⎨⎧<<==取其他值x x x y f y x f y x f Y Y X ,010,2)(),()( 4分第3页(共3页)六、(10分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<=其他,010,3),(x y x y x f （1）求随机变量),(Y X 的协方差cov(,)X Y ； （2）求随机变量),(Y X 的相关系数． 解：（1）⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-====103233),()(1040210dx x ydy x dx dxdy y x xyf XY E x4333),()(1030210====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x xf dx X E x83233),()(103010====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x yf dx Y E x则3cov(,)=()()()160X Y E XY E X E Y -= 5分（2）5333),()(104031022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x f x dx X E x513),()(104021022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x f y dx Y E x8034353)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D320198351)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D 193)()(),(==Y D X D Y X Cov ρ 5分 七、(8分)一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须84个部件正常工作，求整个系统起作用的概率．解：设X 表示正常工作的部件个数，则~(100,0.9)X B ，由棣莫弗-拉普拉斯定理，近似服从(0,1)N 分布， 4分则()()908490(84)1(84)11220.977233X P X P X P --⎛⎫≥=-<=-<≈-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭4分八、(10分)设总体X 的概率密度函数为23,0,(,)0,.x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量．解：（1）由于22320()xxx E X xe dx e dx e d x x x θθθθθθθθ---+∞+∞+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰， 令X θ=，解得θ的矩估计量为11=ni i X X n θ==∑ 5分（2）似然函数为2311,0(1,2,,)()(,)0,.i n xni i i ii e x i n L f x x θθθθ-==⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏∏其他当0(1,2,,)i x i n >=时，()L θ=231inx i iexθθ-=∏，两边取对数31ln ()2ln ln ni i i L x x θθθ=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑令11ln ()21210n n i i i i d L n d x x θθθθ==⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦∑∑，解得θ的最大似然估计量为12=1ni inX θ=∑ 5分第4页(共3页)。
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计5第五章-大数定律与中心极限定理PPT课件
可知，当 n时，有
1 n
ni1
Xi
P E(X1)a
因此我们可取 n 次测量值 x1,x2, ,xn的算术平均值
5
请注意 :
Xn依概率收敛于a，意味着对任意给定的0，
当n充分大时，事件Xna的概率很大，接近于 1； 并不排除事件Xna的发生，而只是说他发生的
可能性很小 . 依概率收敛比中 高的 等普 数通 学意义下
弱些，它具有定 某性 种 . 不确
6
命题 （切比雪夫Chebyshev不等式）
设随机变量X 的数学期望 E (X )和 方 差 D （ X ） 2
n
其部分和 X i 在什么条件下以正态分布为极限 i1
分布。
3
第一节 大数定律
第五章
一、 切比雪夫Chebyshev不等式 二、几个常见的大数定律
4
定义1 设随机变量序列 X1,X2, ,Xn，如果存
在常数 a ，使得对于任意 0 有:
ln i m P{X |na|}1
则称 X n 依概率收敛于a ，记为 Xn Pa.
存在，则对任意 0, 不等式
P{|XE(X)|}D(X 2 )
或 P{|XE(X)|}1D (X 2)成立，
则称此式为切比雪夫不等式。
证明 设 X 为连续性（离散型类似），其密度为 f ( x )
7
则 P {|XE (X)|} f(x)dx |xE (X)|
|xE(X)|[xE 2(X)]2 f(x)dx
又由于各次试验相互独立，所以
X1,X2, ,Xn独立同分布, 则由辛钦大数定律可得
lim P{n| Ap|}1
n n
17
例3 如何测量某一未知的物理量a ,使得误差较小？
《概率论与数理统计》-课件 概率论的基本概念
已知 P(C ) 0.5, P( N1 C ) P( N2 C ) 0.5,
P(N1N2 C) 0.25, P(N1 C) 1, P(N2 C) 1. (1) P(N1) P(N1 C)P(C) P(N1 C)P(C)
6 3 3. 100 100 100
故 注意
p 17 10 3 1 12 . 100 2 25
只有当 B A 时才有 P( A B) P( A) P(B).
例7 设盒 I 有 6 只红球, 4 只白球; 盒 II 有7只红 球, 3只白球. 自盒 I 中随机地取一只球放入盒 II, 接着在盒 II 中随机地取一只球放入盒 I. (1) 然后在盒 I 中随机地取一只球 , 求取到的是红 球的概率. (2) 求盒 I 中仍有 6 只红球 4 只白球的概率.
以 B 记事件“至少有一个配对” , 则 B A1 A2 An .
(1) 由和事件概率公式
P(B) P( A1 A2 An )
n
n
n
P( Ai ) P( Ai Aj )
P( Ai Aj Ak )
i 1
1i jn
1i jkn
(1)n1 P( A1 A2 An ),
n n 1 n(n 2)!, 1 1 2
n n 1 n
(n 2)!
于是
P(B) 1
1 2 nn
.
例4 将 6 只球随机地放入到3 只盒子中去, 求每 只盒子都有球的概率. 解 以 A 记事件 “每只盒子都有球” . A 发生分为三种情况 : (i) 3 只盒子装球数分别为 4, 1, 1, 所含的样本点数为
概率论与数理统计-中国矿业大学教务部
课程编号：0701106710PTMS《概率论与数理统计》(Probability and Statistics)课程教学大纲48学时 3学分一、课程的性质、目的及任务本课程是工科各专业的主要基础课之一，其目的在于使学生掌握处理随机现象的基本思想、基本理论和基本方法，提高学生的数学素质与科学思维能力，培养学生解决实际问题的能力。
二、适用专业工科、管理各专业三、先修课程高等数学线性代数四、课程的基本要求理解随机性、随机事件以及概率等基本概念。
理解随机变量及其分布，掌握离散型及连续型随机变量的特点，掌握正态分布、二项分布等几种常见分布。
理解随机变量的数字特征，掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征的基本性质和计算。
理解大数定律和中心极限定理，会利用隶莫佛一拉普拉斯定理解决有关问题。
理解样本、统计量等概念，熟悉正态总体的常见样本函数的分布定理。
掌握点估计、假设检验的基本原理与方法。
五、课程的教学内容1.概率论的基本基本概念：随机事件，事件间的关系及运算，古典概型，概率的性质。
条件概率，全概率公式与贝叶斯公式，事件的独立性。
2.随机变量及其分布：一维随机变量，分布函数，分布律，密度函数，常见分布。
3.多维随机变量及其分布：联合分布，边际分布，条件分布；随机变量的独立性，随机变量函数的分布。
4.随机变量的数字特征：数学期望，方差，协方差，相关系数，矩。
5.大数定律与中心极限定理：切比雪夫大数定律，贝努利大数定律，独立同分布的极限定理，隶莫佛—拉普拉斯极限定理。
6.抽样分布：数理统计基本思想，总体，样本统计量；样本的数字特征及其分布；抽样分布定理。
7.参数估计：矩估计，极大似然估计；估计量的评选标准；区间估计。
8.假设检验：正态总体均值的假设检验，正态总体方差的假设检验。
七、主要参考书1.周圣武，周长新，李金玉，概率论与数理统计（第二版），中国矿业大学出版社，2007。
2.盛骤，概率论与数理统计，高等教育出版社，2003。
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文
定义2 设 都是参数θ的无偏估计量，若有
则称
有效。
例：160页，例7、例8
定义3 设
为参数θ的估计量，
若对于任意θ∈Θ,当
则称
的一致估计量。
例：由大数定律知
一致性说明：对于大样本，由一次抽样得到的估 计量 的值可作θ的近似值
例5 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本,
⑴ 验证
试求θ的极大似然估计值。 解
极大似然估计的不变性
练习
1.设总体X在
上服从均匀分布，
X1 , X 2 ,L X n是来自X的样本，试求 q 的矩估计量
和最大似然估计.
2.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
其中 >0, 求 的极大似然估计.
课堂练习
P156：5，6
作业
P178：1，2，5，6
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子 是谁打中的？
例6 袋中放有白球和黑球共4个，今进行3次有放回 抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试 估计袋中白球个数。 解 设袋中白球个数为m，
X为3次抽样中抽得的白球数，则
当袋中白球数m分别为1,2,3时， p对应的值分别为1/4,2/4,3/4， X对应的分布律见下表
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文 .ppt
第七章 参数估计
§7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 单个正态总体参数的区间估计 §7.4 两个正态总体参数的区间估计
统计推断
矩估计 点估计 最大似然估计
参数估计
最小二乘估计
区间估计
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》-课件 频率与概率 ,等可能概型(古典概型)
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
2. 概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
25
处波动较小
0.50
247 0.494
2 0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
P( A)
k n
A 包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
3.计算公式推导
设试验 E 的样本空间为S={e1,e2,...,en}，由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1 P(S)
新编中国矿业大学 概率论与数理统计第二章PPT课件
P { X x k } p k ,k 1 ,2 , RX{x1, xk}为X 的值域。
p k 满足： ⑴ p k0 ,k 1 ,2 ,
分布律的 判断条件
⑵ pk 1 k 1
称 p k 为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。
分布律也可用如下表格的形式表示
X
x1 x2
xk
Ⅱ.二项分布 1.伯努利概型（概率论中最早研究的模型之一，也是 研究最多的模型之一，在理论上一些重要的结果也由 它推导）
①n重独立试验 在相同的条件下对试验E重复做n次，若n次试验中各
结果是相互独立的，则称这n次试验是相互独立的。
②伯努利概型 设随机试验E只有 A和 A 两种可能结果，且 P(A)p
例3.某战士射击命中率为 p ,设首次击中目标所需射击
次数为 X ,则随机变量 X1 ,2,3 ,
二、随机变量函数和普通函数的区别
1. 定义域不同 随机变量定义在样本空间 S 上,定义域可以是数也可
以不是数；而普通函数是定义在实数域上的。 2. 随机变量函数的取值在试验之前无法确定,有一定
的概率；而普通函数却没有。
定义1.设随机试验的样本空间 S {e}, XX(e)是定义
在样本 S 上的实值单值函数，称 XX(e)为随机变量。
例1.对一均匀硬币抛一次，观察正反面情况。
样本空间 S{H,T},
设 XX(e)10,当 ,当eeH T.,为随机变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ。
P{X 1} 1, 其中{X 1}表示事件A：结果
2 出现正面，即
例1 某人射击每次命中的概率为 0.7, 现独立射击 5 次，求正好命中 2 次的概率。
解 PX2C520.720.330.13
中国矿业大学 概率论与数理统计课件2
P{ X xk } pk , k 1, 2, 3,
由概率的可列可加性得 X 的分布函数为
F x P{ X x}
xk x
p P{ X x }
k
xk x k
离散型的分布函数为阶梯函数；xk为间断点；
P{ X xk } F ( xk ) F ( xk 0)
8
例2.设一汽车在开往目的地的道路上需经过三盏信号 允许汽车通过,变量 灯，每盏信号灯以概率 表示汽车停车次数(设各信号灯的工作是相互独立的）, 求 的分布律。
解 由题意可知
，则
的分布律为
9
将
带入可得 的分布律为
10
二、常用的离散型随机变量及其分布（重点）
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
28
第二章
第四节 随机变量的分布函数
一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、离散型分布函数的求法
29
一、分布函数的概念
定义1 设 X 是一个随机变量， 是任意实数，则称函数 x
( x )
为X 的分布函数。
x 分布函数 F x 的函数值的含义：
表示 X 落在 (, x] 上的概率.
1! 2!
所以分布律为
2k e2 P{ X k} , k 0,1, 2, k!
27
泊松分布的应用
近数十年来，泊松分布日益显示其重要性,成为概 率论中最重要的几个分布之一。泊松分布在管理科 学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要 的地位。 ① 排队问题：在一段时间内窗口等待服务的顾客 数 X ~ ( ) ② 生物存活的个数 X ~ ( ) ③ 放射的粒子数 X ~ ( )
第概率论与数理统计课件(中国矿业大学)八章 2012
H 0 : 0.5
H1 : 0.5
x 0 统计量： Z n
x 0 z . 拒绝域：| Z | n 2
1 代入计算，x (0.497 0.512) 0.511 9 x 0 Z Z 0.025 1.96, 2.2 Z 2 1.96 2 n
H1 : 40
拒绝域为 z z x -0 3.125 计算 z / n
查表 z z0.05 1.645
z z
所以落在了拒绝域之内，拒绝H0 ，接受H1 认为工艺革新后燃烧率有显著的提高。
⒉ σ2未知，检验μ （t 检验法）
1 n 可用样本方差 S 2 ( X k X ) 2 代替σ2 n 1 k 1
H 0 : 0
H1 : 0
——U 检验
x 0 统计量：Z n
x 0 z . 拒绝域： | Z | n 2
例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖 当机器正常时, 重是一个随机变量X, 且 其均值为μ=0.5公斤, 标准差σ=0.015公斤. 某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所 包装的糖9袋,称得净重为(公斤):（=0.05） 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 问机器是否正常? 解：先提出假设 0.512
2
,
2
未知，
从中随机地抽取36位考生的成绩，平均成绩为63.5分，
标准差 s =15分，⑴ 问在显著水平0.05下是否可以认为
全体考生的平均成绩为70分？ ⑵ 求μ的置信水平为
0.95的置信区间。
解 ⑴ 先提出假设 H 0 : 0 70 H1 : 70