【北师大版】高中数学选修2-1同步练习全集(打包53份,含答案)

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北师大版高中数学选修2-1精练：第三章圆锥曲线与方程习题课3 Word版含答案

习题课——直线与圆锥曲线的综合问题课后训练案巩固提升A组1、直线y=x+b交抛物线y=x2于A，B两点，O为抛物线顶点，OA⊥OB，则b的值为( )A、-1B、0C、1D、2详细解析:设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，将y=x+b代入y=x2，化简可得x2-2x-2b=0，故x1+x2=2，x1x2=-2b，所以y1y2=x1x2+b( x1+x2 )+b2=b2、又OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即-2b+b2=0，则b=2或b=0，经检验b=0时，不满足OA⊥OB，故b=2、正确答案:D2、( 2016·全国丙高考)已知O为坐标原点，F是椭圆C:=1( a>b>0 )的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且PF⊥x轴、过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E、若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为( )A、B、C、D、详细解析:由题意，不妨设直线l的方程为y=k( x+a )，k>0，分别令x=-c与x=0，得|FM|=k( a-c )，|OE|=ka、设OE的中点为G，由△OBG∽△FBM，得，即，整理，得，故椭圆的离心率e=，故选A、正确答案:A3、已知双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线均和圆C:x2+y2-6x+8=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为( )A、=1B、=1C、-y2=1D、x2-=1详细解析:圆C:x2+y2-6x+8=0可化为( x-3 )2+y2=1，∴圆心为( 3，0 )，半径为1、双曲线=1( a>0，b>0 )的渐近线方程为y=±x、∵双曲线的渐近线与圆C相切，∴=1、又双曲线的右焦点为圆C的圆心，∴c=3、结合c2=a2+b2解得b=1，a=2、∴双曲线的方程为-y2=1、故选C、正确答案:C4、已知双曲线=1( a>0，b>0 )与直线y=2x有交点，则双曲线的离心率的取值范围是( )A、( 1，)B、( 1，)∪( ，+∞ )C、( ，+∞ )D、[，+∞ )详细解析:直线y=2x必过原点，要使直线与双曲线有交点，则双曲线渐近线的斜率|k|>2，即>2，则有>4，所以e2=>5，所以e>、故选C、正确答案:C5、若过椭圆=1内一点( 2，1 )的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是、详细解析:设弦两端点分别为A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则=1，=1，两式相减并把x1+x2=4，y1+y2=2代入得，=-、∴所求直线的方程为y-1=-( x-2 )，即x+2y-4=0、正确答案:x+2y-4=06、过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，若|FA|+|FB|=4，=0，则双曲线C的方程为、详细解析:∵，∴FA⊥FB，∴△AFB为直角三角形、∵过原点的直线l与双曲线C:=1( a>0，b>0 )的左、右两支分别相交于A，B两点，F( -，0 )是双曲线C的左焦点，∴|AB|=2、设|FB|=x，则|FA|=4-x，∴x2+( 4-x )2=12，∴x2-4x+2=0，∴x=2±，∴|FB|=2+，|FA|=2-，∴2a=|FB|-|FA|=2，∴a=，∴b=1，∴双曲线C的方程为-y2=1、正确答案:-y2=17、设O为坐标原点，F为抛物线y2=4x的焦点，A为抛物线上一点，且=-4，则点A的坐标为、详细解析:设A，则，∵F( 1，0 )，∴、∴=-=-4、整理得，+12-64=0，∴=4，即y0=±2、∴点A坐标为( 1，±2 )、正确答案:( 1，±2 )8、焦点分别为( 0，5)和( 0，-5)的椭圆截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程、解设椭圆的方程为=1( a>b>0 )，且a2-b2=( 5)2=50，①由消去y，得( a2+9b2 )x2-12b2x+4b2-a2b2=0、设弦两端点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2=、∵，∴，即a2=3b2，②此时Δ>0、由①②得a2=75，b2=25，∴椭圆的方程为=1、9、抛物线y2=x上存在P，Q两点关于直线y-1=k( x-1 )对称，求k的取值范围、解设P( x1，y1 )，Q( x2，y2 )，∴①-②，得( y1-y2 )( y1+y2 )=x1-x2，∴∴y1+y2=-k、∴-1=k=[( y1+y2 )2-2y1y2-2]、∴-k-2=k[k2-2y1( -k-y1 )-2]，∴2k+2k2y1+k3-k+2=0，∴Δ=4k4-8k( k3-k+2 )>0，∴k( -k3+2k-4 )>0，∴k( k3-2k+4 )<0，∴k( k+2 )( k2-2k+2 )<0，∴k∈( -2，0 )、10、导学号90074086如图，已知抛物线C的顶点为O( 0，0 )，焦点为F( 0，1 )、( 1 )求抛物线C的方程;( 2 )过点F作直线交抛物线C于A，B两点、若直线AO，BO分别交直线l:y=x-2于M，N两点，求|MN|的最小值、解( 1 )由题意可设抛物线C的方程为x2=2py( p>0 )，则=1，所以抛物线C的方程为x2=4y、( 2 )设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，直线AB的方程为y=kx+1、由消去y，整理得x2-4kx-4=0，所以x1+x2=4k，x1x2=-4、从而|x1-x2|=4、由解得点M的横坐标x M=、同理，点N的横坐标x N=、所以|MN|=|x M-x N|==8、令4k-3=t，t≠0，则k=、当t>0时，|MN|=2>2、当t<0时，|MN|=2、综上所述，当t=-，即k=-时，|MN|的最小值是、B组1、等腰直角三角形ABO内接于抛物线y2=2px( p>0 )，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，点A在x轴上方，则△ABO的面积是( )A、8p2B、4p2C、2p2D、p2详细解析:由抛物线的对称性及OA⊥OB知直线OA的方程为y=x，由得A( 2p，2p )，则B( 2p，-2p )，所以|AB|=4p，所以S△ABO=×4p×2p=4p2、故选B、正确答案:B2、抛物线y=2x2上两点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )关于直线y=x+m对称，且x1·x2=-，则m等于( )A、B、2 C、D、3详细解析:依题意知k AB==-1，而y2-y1=2( )，∴x2+x1=-，且在直线y=x+m上，即+m，y2+y1=x2+x1+2m，∴2( )=x2+x1+2m，2[( x2+x1 )2-2x2x1]=x2+x1+2m，∴2m=3，m=、正确答案:A3、已知两直线x=±1分别过椭圆=1的两个焦点，则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是、详细解析:由题意知椭圆的焦点坐标为( ±，0 )，∵两直线x=±1分别经过椭圆的两个焦点，∴4-b2=1，∴b2=3、∴椭圆方程为=1、直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是将直线方程与椭圆方程联立后，所得一元二次方程的判别式Δ≤0，即方程( 4k2+3 )x2+16kx+4=0的判别式162k2-16( 4k2+3 )≤0，即k2≤，∴-≤k≤、正确答案:-≤k≤4、设F1，F2分别是椭圆+y2=1的左、右焦点，若P是该椭圆上的一个动点，则的最大值和最小值分别为、详细解析:易知a=2，b=1，c=，所以F1( -，0 )，F2( ，0 )，设P( x，y )，则=( --x，-y )·( -x，-y )=x2+y2-3=x2+1--3=( 3x2-8 )，因为x∈[-2，2]，故当x=0，即点P为椭圆的短轴端点时，有最小值-2、当x=±2，即点P为椭圆的长轴端点时，有最大值1、正确答案:1，-25、已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点，P是C的左支上一点，A( 0，6)、当△APF周长最小时，该三角形的面积为、详细解析:设双曲线的左焦点为F1，如图、由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF1|，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+( 2a+|PF1| )+|AF|=|PA|+|PF1|+( 2a+|AF| )、由于2a+|AF|是定值，要使△APF的周长最小，则应使|PA|+|PF1|最小，即P，A，F1三点共线、∵A( 0，6)，F1( -3，0 )，∴直线AF1的方程为=1，即x=-3、将其代入x2-=1得y2+6y-96=0，解得y=2或y=-8( 舍去)，因此点P的纵坐标为2、∴S△APF==·|F1F|·y A-·|F1F|·y P=×6×6×6×2=12、正确答案:126、已知椭圆+y2=1，求斜率为2的弦的中点轨迹方程、解设直线与椭圆相交所得弦为AB，A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，弦的中点为M( x，y )，则两式相减，得( x1-x2 )( x1+x2 )+2( y1-y2 )( y1+y2 )=0、因此=-=-=2，所以x+4y=0，由题意知点M( x，y )落在椭圆内部，则有+y2<1，即<1，解得-<x<，因此所求的轨迹方程为x+4y=0、7、已知点M( -2，0 )，N( 2，0 )，动点P满足条件|PM|-|PN|=2、记动点P的轨迹为W、( 1 )求W的方程;( 2 )若A，B是W上的不同两点，O是坐标原点，求的最小值、解( 1 )依题意，知点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，因此所求方程为=1( x>0 )、( 2 )当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为x=x0，此时A( x0，)，B( x0，-)，=2、当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+b，代入双曲线方程=1中，得( 1-k2 )x2-2kbx-b2-2=0，①依题意可知方程①有两个不相等的正数根，设A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，则得|k|>1，=x1x2+y1y2=x1x2+( kx1+b )( kx2+b )=( 1+k2 )x1x2+kb( x1+x2 )+b2==2+>2、综上可知的最小值为2、8、导学号90074087已知点A( x1，y1 )，B( x2，y2 )( x1x2≠0 )是抛物线y2=2px( p>0 )上的两个动点，O是坐标原点，向量满足||=||、设圆C的方程为x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、( 1 )求证线段AB是圆C的直径;( 2 )当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值、( 1 )证明因为||=||，所以( )2=( )2，即+2-2，整理，得=0，所以x1x2+y1y2=0、①设M( x，y )是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则=0，即( x-x1 )( x-x2 )+( y-y1 )( y-y2 )=0、展开上式并将①式代入，得x2+y2-( x1+x2 )x-( y1+y2 )y=0、从而可知线段AB是圆C的直径、( 2 )解设圆C的圆心坐标为( x，y )，则因为=2px( p>0 )，=2px2( p>0 )，所以x1x2=、由( 1 )知x1x2+y1y2=0，所以x1x2=-y1y2，所以-y1y2=、因为x1x2≠0，所以y1y2≠0，所以y1y2=-4p2、所以x=)=+2y1y2 )-( y2+2p2 )，所以圆心的轨迹方程为y2=px-2p2、设圆心C( x，y )到直线x-2y=0的距离为d，则d=、当y=p时，d有最小值，由题设得，所以p=2、。

北师大版高中数学选修2-1同步练测：§2充要条件(含答案详解)

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.“|x|=|y|”是“x=y”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为［0，1］上的增函数”是“f(x)为［3，4］上的减函数”的A.既不充分也不必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.充要条件3.（2012·山东烟台二模）设α，β是两个不同的平面，m，n是平面α内的两条不同直线，，是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A.m∥且n∥B.m∥β且n∥C.m∥β且n∥βD.m∥β且∥α4.（2011·天津高考）设集合A={x∈R|x-2＞0},B={x ∈R|x＜0}，C={x∈R|x(x-2)＞0},则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列各小题中，p是q的充要条件的是( ) （1）p:m＜－2或m＞6，q:y=+mx+m+3有两个不同的零点；（2）p:－=1，q:y=f(x)是偶函数；（3）p:cosα=cosβ，q:tanα=tanβ；（4）p:A∩B=A，q:A.A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(1)(4)6.已知：，那么的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.7.已知集合,.若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.8.“函数在区间（）上是减函数”是“函数（且）在区间（）上是减函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）9.对于函数，，的图像关于轴对称”是“是奇函数”的_条件.10.下列四个式子：①；②；③；④.其中能使成立的充分条件有.（只填序号）11.设p，r都是q的充分条件,s是q的充分必要条件,t 是s的必要条件,t是r的充分条件,那么p是t 的条件,r是t的条件.三、解答题（本题共5小题，共45分）12.（本小题满分8分）已知是实数，求证：成立的充分条件是.该条件是不是必要条件？试证明你的结论．13.（本小题满分8分）证明：是函数在区间（- ，4上为减函数的充分不必要条件. 14.（本小题满分9分）求证：关于的方程有一根为1的充要条件是.15.（本小题满分9分）已知全集，非空集合，. （1）当时，求（）；（2）命题，命题，若是的必要条件，求实数的取值范围．16.（本小题满分11分）已知p:|1－－|≤2,q:－2x+1－≤0(m＞0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围.§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答题纸得分：______ 一、选择题二、填空题9.__________10.＿＿＿＿＿＿11._____________三、解答题12.解：13.解：14.解：15.解：16.解：§2 充分条件与必要条件（北京师大版选修2-1）答案一、选择题1.B解析：若x=y，显然有|x|=|y|成立；反之，若|x|=|y|，则x=y或x=－y.2.D解析：利用充要条件的定义直接判断.①∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称.∵f（x）为［0，1］上的增函数，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）的周期为2，∴f（x）为区间［－1+4，0+4］＝［3，4］上的减函数.②∵f（x）为［3，4］上的减函数，且f(x)的周期为2，∴f（x）为［－1，0］上的减函数.又∵f（x）在R上是偶函数，∴f（x）为［0，1］上的增函数.由①②知“f（x）为［0,1］上的增函数”是“f（x）为［3,4］上的减函数”的充要条件.3.A解析：当m∥且n∥时，由面面平行的判定定理，知α∥β.但当α∥β时，未必有m∥且n∥.4.C解析：A={x|x－2＞0}={x|x＞2}=(2,+∞)，B={x|x＜0}=(－∞,0),∴A∪B=(－∞,0)∪(2,+∞).∵C={x|x(x－2)＞0}={x|x＜0或x＞2}=(－∞,0)∪(2,+∞),∴A∪B=C.∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.5.D解析：（2）由－=1可得f(－x)=f(x)，但y=f(x)的定义域不一定关于原点对称；（3）cosα=cosβ是tanα=tanβ的既不充分也不必要条件.6.B解析：由得.设的一个必要不充分条件为，则,但,故选B.7.C解析：,因为成立的一个充分不必要条件是，所以Ü，所以，即.8.B解析：函数在区间（）上是减函数的充要条件是，函数（且）在区间（）上是减函数的充要条件是，从而易知选B.二、填空题9.必要不充分解析：若是奇函数，则的图像关于轴对称.但当是偶函数时，的图像也关于轴对称.所以“的图像关于轴对称”是“是奇函数”的必要不充分条件.10.①②④解析：当时，；当时，；当时，；当时，.所以使成立的充分条件有①②④.11.充分充要解析：由题意可画出图形，如图所示.由图形可以看出p是t的充分条件,r是t的充要条件.三、解答题12.解：是必要条件.证明如下：因为，所以.即成立的充分条件是.另一方面，若，即为，,.又,所以，即.因此是成立的充要条件．从而结论成立.13.解：当时，函数为一次函数，是减函数，因此不是必要条件.当时，二次函数的图像开口向下，而已知函数在区间（-∞，4上为减函数，这是不可能的.当时，二次函数的图像开口向上，数形结合可知，只需满足对称轴解得所以综上所述，是函数在区间（-∞，4上为减函数的充分不必要条件.14.证明：充分性：因为，所以.所以成立，故是方程的一个根．必要性：关于的方程有一个根为1，所以，所以成立．15.解：（1）当时，，.所以或，所以．（2）若是的必要条件，即，可知.由，得.当，即时，，所以，，解得；当，即时，，符合题意；当，即时，，所以，，解得.综上，．16.解：由p:|1－－|≤2－2≤x≤10,由q可得－≤(m＞0),所以1－m≤x≤1+m.所以p:x＞10或x＜－2，q:x＞1+m或x＜1－m.因为p是q的必要不充分条件,所以p，q,故只需满足－＜－或＞所以m≥9.。

高中数学选修2-1各章节课时同步练习及详解

第1章1.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．答案： ①②③6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根假三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1， ∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4. ∴x ≥4或x ≤－1. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满足的条件．方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2，求a 满足的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为 Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解． (2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， ∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2. 即a x 2－x 1x 1x 2≤0.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∴a ≤0.第1章 1.2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |. 故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，而tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．故选A.答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x ≥2且y ≥2， ∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件 (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B, A B ⇒A ∩B ≠∅. 故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2－4ac <0⇒/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．答案： (1)(2)(3) 6．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0＝{x |0<x <1}．m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ⇒q 但q ⇒/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a <45，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45.故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( ) A ．p 为真命题，p 且q 为假命题 B ．p 为假命题，q 为假命题 C ．q 为假命题，p 或q 为真命题 D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析： ∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④解析： ∵綈p ∨綈q 是假命题 ∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析： ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．“a ≥5且b ≥3”的否定是____________； “a ≥5或b ≤3”的否定是____________．答案： a ＜5或b ＜3 a ＜5且b ＞3 6．在下列命题中：①不等式|x ＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，所以非p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q 为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“非p”的形式，其中p：A⊆A∪B.因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8∉{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：∅ A尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章1.4.1、2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题．C 中当x ＝0时，x 2＝0不大于0，是假命题． D 中∀x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析： ∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )． ∴f (x )是偶函数又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R ) ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． ∴A 对，B 、C 、D 错．故选A. 答案： A 3．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x图象的上方，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2D ．－2<a <2解析：依题意：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4 a ＋2 a －1 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a 2＋a －6≥0⇔a ≥2.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________．答案： ∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题；x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴命题q 为真命题， ∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |. (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解析： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵a x>0(a >0且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示)解析：(1)∃x∈R，x>2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．(3)∃x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是无理数，则x2是无理数．(如42)(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章1.4.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B.答案： B3．“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( ) A ．∀x ∈M ，綈p (x ) B ．∀x ∉M ，p (x ) C ．∀x ∉M ，綈p (x ) D ．∀x ∈M ，p (x )答案： C4．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析： ∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题．答案：特称命题假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真6．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． (2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案： (1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 (2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0 三、解答题(每小题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a²c＝b²c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．解析：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；(2)否命题：若a²c≠b²c，则a≠b.真；命题的否定：∃a，b，c，若a²c＝b²c，则a≠b，真；(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．1章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x 2－4x ＋4＝0.其中是命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x ，不能判断真假．答案： B2．与命题：“若a ∈P ，则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈P D ．若b ∈P ，则a ∉P答案： D3．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∉∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题D ．非q 为假命题解析： ∵p 、q 都是真命题，∴綈q 为假命题．答案： D4．下列四个命题中真命题的个数为( )①若x ＝1，则x －1＝0；②“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①是真命题；②逆否命题为“若b ≠0，则ab ≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： C5．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：命题①是假命题，其逆命题为1a <1b，则a >b ，是假命题．故A 、C 错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.答案： D6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C7．“x <－1”是“x 2－1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： x 2－1>0⇒x >1或x <－1，故x <－1⇒x 2－1>0，但x 2－1>0⇒/ x <－1， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件．答案： A8．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0，由a ＋b >0有a ，b 至少一个为正，ab >0可得a 、b 同号，两者同时成立，则必有a >0，b >0.故选C. 答案： C9．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0 C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由于已知命题是全称命题，其否定应为特称命题，并且对原命题的结论进行否定，由此可知B 正确．答案： B10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0解析：依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案：真真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析：由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔ log 22x －2log 2x ＋1log 2x ≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ，原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：对∀x ∈R ，p (x )是真命题，就是不等式ax 2＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立． (1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1；(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1. 答案： a ＞1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解析： (1)p 或q ：3是质数或3是偶数；p 且q ：3是质数且3是偶数；非p ：3不是质数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题． (2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题． 17．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4，当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2>0的充分条件．18．(本小题满分14分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0－a 2－4a ＜0解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜2，0≤a ＜4.∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．第2章2.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析：代入每个点逐一验证，D 正确．答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x>0；当x <0时，y ＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π，所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个．解析：利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3.(2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析：由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π²9＝92π.所以所求图形的面积为92π.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值．解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1 2＋n ＝1， m ＋1 2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．第2章2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－1 ＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →，得4³[x －－2 ]2＋ y －0 2＋(4,0)²(x －2，y －0)＝0， ∴y 2＝－8x . 答案： A3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |得 x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0 即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S ＝4π. 答案： B4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →²M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析：设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，M B →＝(1－x ，－y )．由MA →²M B →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0，即x 2＋y 2＝1.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析：设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12，即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得 2y ＋1＝2²(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程．答案： y ＝4x 26．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则|PC |＝1－x ＋1，即 x ＋2 2＋y 2＝2－x ，整理得y 2＝－8x . 答案： y 2＝－8x三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →²A B →＝1.求P 点的轨迹方程．解析：由B P →＝2P A →，P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，∴A B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称， ∴Q (－x ，y )，且OQ →＝(－x ，y )．由O Q →²A B →＝1得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解析：如图所示，设过P 2的直线方程为y －7＝k (x －2)(k ≠0)，则过P 1的直线方程为y －5＝－1k(x －1)，所以A (5k ＋1,0)，B (0，－2k ＋7)．① 设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143，②消去k ，整理得12x ＋15y －74＝0. 故点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0.③尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．第2章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B. 答案：B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( ) A ．6 B.16 C ．24D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1， ∴x 213k ＋y 21k＝1. 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→²PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|²|PF 2|＝102－64， ∴|PF 1|²|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27. 由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝42＋22－ 27 22³4³2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP→的最大值为________．解析：椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )，则x 24＋y 23＝1， OP →²FP →＝(x ，y )²(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2 ＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →²FP →有最大值6. 答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)，。

北师大版高中数学选修2-1本章练测：第1章常用逻辑用语(含答案详解).docx

第一章常用逻辑用语（北京师大版选修2-1）建议用时实际用时满分实际得分120分钟150分一、选择题（本题共12小题，每小题5分,共60分）1. 下列说法中,不正确的是( )A.“若p则p”与“若p则p”是互逆命题B.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题C.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互否命题D.“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否命题以下说法错误的是( )A.如果一个命题的逆命题为真命题，那么它的否命题也必为真命题B.如果一个命题的否命题为假命题，那么它本身一定为真命题C.原命题、否命题、逆命题、逆否命题中，真命题的个数一定为偶数D.一个命题的逆命题、否命题、逆否命题可以同为假命题命题“设a，b，c∈R,若a p2>b p2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有( )A．0个B．1个C．2个D．3个（2012·山东济宁一模）已知p:|x+1|≤4;q:p2＜5x－6,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件设p：|4p−3|≤1,p：p2−(2p+1)p+p(p+1)≤0,若﹁p是﹁p的必要不充分条件，则实数p的取值范围是（）[0,12]B.(0,12)(−∞,0]∪[12,+∞)D.(−∞,0)∪(12,+∞)命题p：将函数p=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数p=sin(2p−π3)的图像；命题p：函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)的最小正周期是π，则复合命题“p或p”“p且p”“非p”中真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.37.已知命题p：“∀p∈[1,2],p2−p≥0”,命题p：“∃p∈p，p2+2pp+2−p=0”若命题“p⋀p”是真命题，则实数p的取值范围是（）A. {p|p≤−2或p=1}B.{p|p≤−2或1≤p≤2}C. {p|p≥1}D. {p|−2≤p≤1}8.给出下列命题：①若“p或p”是假命题，则“﹁p且﹁p”是真命题；②|p|>|p|⇔p2>p2；③若关于p的实系数一元二次不等式pp2+pp+p≤0的解集为p，则必有p>0且p≤0；④{p>2,p>2⇔{p+p>4，pp>4.其中真命题的个数是（）A.1B.2C.3D.49.关于p的函数p(p)=sin(pp+p)有以下命题：①∀ p∈p,p(p+2π)=p(p)；②∃ p∈p,p(p+1)=p(p)；③∀ p∈p，p(p)都不是偶函数；④∃ p∈p,使f(p)是奇函数．其中假命题的序号是（）A.①③B.①④C.②④D.②③10.下面有关命题的说法正确的是( )A.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的逆命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”B.命题“若p2－3x+2=0，则x=1”的否命题为“若x≠1，则p2－3x+2≠0”C.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∃x∈R,log2p＞0”D.命题“∃x∈R,log2p≤0”的否定为“∀x∈R,log2p＞0”11.有限集合p中元素的个数记作card(p)，设,B都是有限集合，给出下列命题：①p∩p=p的充要条件是card(p∪p)=card(p)+card(p)；②p⊆p的必要条件是card(p)≤card(p)；③p⊈p的充分条件是card(p)≤card(p)；④p=p的充要条件是card(p)=card(p).其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.312.已知命题p:∃ p∈p,使sin p=√52；命题p: ∀ p∈p,都有p2+p+1>0.给出下列结论：①命题“p∧p”是真命题；②命题“p∧(﹁p)”是假命题；③命题“(﹁p)∨p”是真命题；④命题“(﹁p)∨(﹁p)”是假命题，其中正确的是（）A.②④B.②③C.③④D.①②③二、填空题（本题共4小题，每小题4分,共16分）13.若p=p(p)为定义在D上的函数，则“存在p0∈D,使得[p(−p0)]2≠[p(p0)]2”是“函数p=p(p)为非奇非偶函数”的________条件.14.已知p:与整数的差为12的数；p:整数的12，则p是p的________条件.15.已知命题p:(p−3)(p+1)>0,命题q:p2−2p+1−p2>0(p>0),若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数p的取值范围是____________.16.下列四个结论中，正确的有 (填序号).①若A是B的必要不充分条件，则非B也是非A的必要不充分条件；②“{p＞0,p=p2－4pp≤0”是“一元二次不等式a p2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；③“x≠1”是“p2≠1”的充分不必要条件；④“x≠0”是“x＋|x|＞0”的必要不充分条件.三、解答题（本题共6小题，共74分）17.（本小题满分12分）设命题为“若p>0，则关于p的方程p2+p−p=0有实数根”,试写出它的否命题、逆命题和逆否命题，并分别判断它们的真假．18.（本小题满分12分）已知命题p：任意p∈p，pp2+2p+3≥0，如果命题﹁p是真命题，求实数p的取值范围．19.（本小题满分12分）已知P＝{x|p2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1+m}.（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围.20.（本小题满分12分）设p：实数x满足p2－4ax+3p2＜0，其中a＞0；q：实数x满足{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0.（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.21.（本小题满分12分）设P,Q,R,S四人分别获得一到四等奖，已知：（1）若P得一等奖，则Q得四等奖；（2）若Q得三等奖，则P得四等奖；（3）P所得奖的等级高于R；（4）若S未得一等奖，则P得二等奖；（5）若Q得二等奖，则R不是四等奖；（6）若Q得一等奖，则R得二等奖.问P,Q,R,S分别获得几等奖？22.（本小题满分14分）设命题p:函数p(p)=(p−32)p是R上的减函数，命题q:函数p(p)= p2−4p+3在[0,p]上的值域为[−1,3]．若“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，求p的取值范围．答题纸得分：________ 一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、解答题17.解：18.解：19.解：20.解：21.解：22.解：答案一、选择题1.B 解析：“若﹁p则﹁p”与“若p则p”是互为逆否的命题，B不正确，故选B.2.B解析：两个命题互为逆否命题，它们之间有相同的真假性；两个命题为互逆或互否命题，它们的真假性没有关系.故B错误.3.B解析：原命题正确，所以其逆否命题正确.逆命题不正确，因为当c＝0时，a p2=b p2.从而原命题的否命题也不正确.4. B解析：由|x+1|≤4⟹－4≤x+1≤4，得－5≤x≤3，即p对应的集合为[－5,3];由p2＜5x－6⟹p2－5x+6＜0，解一元二次不等式可得2＜x＜3，即q对应的集合为(2,3).因为(2,3)[－5,3]，所以p是q成立的必要不充分条件.5.A解析：由已知得若p成立，则12≤p≤1,若p成立，则p≤p≤p+1.又﹁p是﹁q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以{p≤12，1＜p+1，或{p＜12，1≤p+1.所以0≤p≤12.6.C 解析：将函数y=sin2p的图像向右平移π3个单位长度得到函数y=sin2(p−π3)=sin(2p−2π3)的图像，所以命题P是假命题，“非P”是真命题，“P且Q”是假命题.函数p=sin(p+π6)cos(π3−p)=cos(π2−p−π6)cos(π3−p)=cos2(π3−p)=cos(2p−2π3)2+12,最小正周期为π，命题Q为真命题，所以“P或Q”为真命题.故真命题有2个，选C.7.A解析：若p成立，对∀p∈[1,2],有p≤p2.因为1≤p≤2,所以1≤p2≤4,即p≤(p2)min=1.若q成立，则方程p2+2pp+2−p=0的判别式p=4p2−4(2−p)≥0,解得p≤−2或p≥1.因为命题“p∧p”是真命题，所以p真q真，故p的取值范围为{p|p≤−2或p=1}.8.B解析：“p或q”是假命题，则它的否定是真命题，即“﹁p且﹁q”是真命题，①是真命题；若|p|>|p|，则p2>p2，若p2>p2,则|p|>|p|，所以②是真命题；数形结合可得，若一元二次不等式pp2+pp+c≤0的解集是p，则必有p>0且p<0，所以③是假命题；当p>2,p>2时，必有p+p>4,pp>4.但当p= 1，y=5时，满足p+p>4,pp>4.但p<2，所以④是假命题.共有2个真命题.9. A解析：对于命题①，若p(p+2π)=sin(pp+2πp+p)=sin(pp+p)成立，p必须是整数，所以命题①是假命题；对于函数f(p)=sin(pp+p)，当p=π2时，函数为偶函数，所以命题③是假命题；同理可得，命题②④是真命题.所以选A.10. D解析：A错误，逆命题为“若x=1，则p2－3x+2=0”；B错误，否命题为“若p2－3x+2≠0，则x≠1”；C错误，否定为“∀x∈R,log2p＞0”.11.C 解析：p∩p=p，集合p和集合p没有公共元素，①正确；p⊆p，集合p中的元素都是集合p中的元素，②正确；③错误；p=p，则集合p中的元素与集合p中元素完全相同，元素个数相等，但两个集合的元素个数相等，并不意味着它们的元素相同，④错误.所以选C.12.B解析：因为√52>1，所以命题p是假命题，﹁p是真命题；由函数y=p2+p+1的图像可得，命题q是真命题，﹁p是假命题.所以命题“p∧p”是假命题, 命题“p∧(﹁p)”是假命题，命题“(﹁p)∨p”是真命题，命题“(﹁p)∨(﹁p)”是真命题.所以②③正确.二、填空题13.充分不必要解析：存在p 0∈D ,使得[p (–p 0)]2≠[p (p 0)]2,则函数p =p (p )为非奇非偶函数；若函数 p =p (p )为非奇非偶函数，可能定义域不关于原点对称，所以“存在p 0∈D ,使得[p (−p 0)]2≠[p (p 0)]2”是“函数p =p (p )为非奇非偶函数”的充分不必要条件.14.充分不必要解析：p ，p 可分别用集合p ={p |p =p +12,p ∈p },p ={p |p =p2,p ∈p }表示，集合p 表示奇数的12,集合p 表示整数的12，因为p Üp ，所以p 是p 的充分不必要条件.15.(0,2)解析：两个命题可分别表示为p : p >3或p <−1，p : p >1+p 或p <1−p ，要使命题p 是命题p的充分不必要条件，则{1+p ≤3，1−p >−1，p >0，或{1+p <3，1−p ≥−1，p >0，解得0<p <2.16.①②④解析：∵原命题与其逆否命题等价，∴若A 是B 的必要不充分条件，则非B 也是非A 的必要不充分条件.x ≠1⇏p 2≠1，反例：x ＝－1⟹p 2＝1，∴“x ≠1”是“p 2≠1”的不充分条件.x ≠0⇏x ＋|x |＞0，反例：x ＝－2⟹x ＋|x |＝0. 但x ＋|x |＞0⟹x ＞0⟹x ≠0，∴“x ≠0”是“x ＋|x |＞0”的必要不充分条件.三、解答题17.解：否命题为“若p ≤0，则关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根”；逆命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0有实数根，则p >0”；逆否命题为“若关于p 的方程p 2+p −p =0没有实数根，则p ≤0”.由方程p 2+p −p =0根的判别式p =1+4p >0，得p >−14，此时方程有实数根．因为p >0使1+4p >0，所以方程p 2+p −p =0有实数根，所以原命题为真，从而逆否命题为真.但方程p 2+p −p =0有实数根，必须p >−14，不能推出p >0，故逆命题为假,从而否命题为假.18.解：因为命题﹁p 是真命题，所以p 是假命题.又当p 是真命题，即pp 2+2p +3≥0恒成立时，应有 {p >0，p =4−12p ≤0，解得p ≥13，所以当p 是假命题时，p <13. 所以实数p 的取值范围是{p |p <13}.19.解：（1）由p 2－8x －20≤0可解得－2≤x ≤10， ∴P ={x |－2≤x ≤10}. ∵x ∈P 是x ∈S 的充要条件，∴P ＝S ， ∴{1－p =－2,1+p =10,∴{p =3,p =9.∴这样的m 不存在.（2）由题意知，x ∈P 是x ∈S 的必要不充分条件，则SP .于是有{1－p≥－2,1+p＜10或{1−p＞−2,1+p≤10,∴p≤3或p<3,∴m≤3.∴当m≤3时，x∈P是x∈S的必要不充分条件.20.解：解：由p2－4ax+3p2＜0，得(x－3a)(x－a)＜0.又a＞0，所以a＜x＜3a.（1）当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3.由{p2－p－6≤0,p2+2p－8＞0,得2＜x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3.若p∧q为真，则p真q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3.（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，即¬p⟹¬q，且¬p⇏¬p.设A={x|¬p},B={x|¬q},则A B.又A={x|¬p}={x|x≤a或x≥3a}，B={x|¬q}={x|x≤2或x＞3}，则有0＜a≤2且3a＞3，所以实数a的取值范围是1＜a≤2.21.解：由（3）知，得一等奖的只有P,Q,S之一（即R不可能是一等奖）.若P得一等奖，则S未得一等奖，与（4）矛盾；若Q得一等奖，由（6）知，R得二等奖，P只能得三等奖或四等奖，与（3）矛盾.所以只有S得一等奖.若P是二等奖，由（2）知，Q不得三等奖，只能是四等奖，所以R是三等奖；若P是三等奖，则R是四等奖，Q得二等奖，与（5）矛盾.所以S，P，R，Q分别获得一等奖，二等奖，三等奖，四等奖.22.解：由0<p−32<1得32<p<52.因为p(p)=(p−2)2−1在[0,p]上的值域为[−1,3],所以2≤p≤4. 又因为“p∧p”为假命题，“p∨p”为真命题，所以p,p一真一假．若p真p假，则32<p<2；若p假p真，则52≤p≤4.综上可得，p的取值范围是{p|32<p<2或52≤p≤4}.。

北师大版高中数学选修2-1充分条件同步练习.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作充分条件同步练习一、选择题：1．有三个语句：⑴2x <；⑵210x -=；⑶20,()x x R <∈，其中是真命题的为（）A ．⑴ ⑵B ．⑴ ⑶C ．⑵D ．⑶2．下列语句中是命题的为（）A ．你到过北京吗？B ．对顶角难道不相等吗？C ．啊！我太高兴啦！D ．求证：2是无理数3．有下列命题：①2004年10月1日是国庆节，又是中秋节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程21x =的解1x =±。

其中，复合命题有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．“220a b +≠”的含义为（）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为05．若命题“⌝p ”与命题“p ∨q ”都是真命题，那么（）A ．命题p 与命题q 的真值相同B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 不一定是真命题D ．命题p 不一定是真命题6．命题p ：若A B B =，则A B ⊆；命题q ：若A B ⊄，则A B B ≠。

那么命题p 与命题q 的关系是（）A ．互逆B ．互否C ．互为逆否命题D ．不能确定7．若A ：a ∈R,|a |<1, B ：x 的二次方程x 2+(a +1)x +a －2=0的一个根大于零,另一根小于零,则A 是B 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．有下列四个命题：①“若x+y=0 , 则x ,y 互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1 ,则x 2 + 2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④9．设集合A={x |x 2+x －6=0},B={x |m x +1=0} ,则B 是A 的真子集的一个充分不必要的条件是（）A ．11,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭B ．m=21-C ．110,,23m ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭D ．10,3m ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭10．设集合M={x| x>2},P={x|x<3},那么“x ∈M,或x ∈P ”是“x ∈M ∩P ”的（）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：11．命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是；12．已知各个命题A 、B 、C 、D ，若A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充分必要条件，试问D 是A 的条件（填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）；13．“△ABC 中,若∠C=90°,则∠A 、∠B 都是锐角”的否命题为；14．用“充分、必要、充要”填空：①p ∨q 为真命题是p ∧q 为真命题的______条件；②⌝p 为假命题是p ∨q 为真命题的______条件；③A ：|x － 2 |<3, B ：x 2－ 4x － 15<0, 则A 是B 的_____条件.三、解答题：15．写出下列命题的“⌝P ”命题：（1）正方形的四边相等。

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(选修2-1)孙敏、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72 分）1、a3>8 是a>2 的（）A .充分非必要条件要非充分条件B .必C.充要条件D.既非充分也非必要条件2、全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定是（）A. 所有被5整除的整数都不是奇数；B. 所有奇数都不能被5整除C. 存在一个被5整除的整数不是奇数；D. 存在一个奇数，不能被5整除1 23、抛物线y - x的准线方程是（）81 1A. xB. y 2C. yD. y 232 324、有下列命题：①ax2 bx c 0是一元二次方程（a 0）;②空集是任何集合的真子集；③若a R ,则a20 ;④若a,b R且ab 0 ,则a 0且b 0 .其中真命题的个数有（）A. 1B. 2C. 3D. 42 25、椭圆—y_ 1的离心率为（)25 163 r 34 r 9AA.-B. C D.5 4 5 256、以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2 y2 2x 6y 9 0的圆心的抛物线的方程是（)A . y 3x2或y 3x2B . y 3x2C . y 9x 或y 3x2 2 2D . y 3x 或y 9x7、已知a=（2，- 3，1）, b=（4，- 6, x），若a 丄b,则x 等于（定点M 与点A 、 B 、C 疋共面的疋（)uuuu UL UUU UUUrUU UUUUU UU U UU Ur A . OM OAOBOCB . OM 2O A OB OC UULU UL 1UU 1 UUUUUU U 1 UUU 1 UUU 1UUL C . OM OA —O—OC D .OM-OA -OB —233 3 310、设 a 3 ,b 6, 若a?）= 9,则 a, b等于 ( )A . 90°B .60°C .120°D.45°111、已知向量a =（ 1, 1,- 2）, b = 2,1,-，若a • b >0,则实数x 的取值 x范围为（）2 2A .（0,3）B . ©3]C .(,0) U [3,) D .(,0] U [3,)12、设 x 1 ,x 2 R ,常数 a 0 ,定义运算“* ”： X 1 2 2X 2 (X 1X 2) (X 1 X 2),若x 0,则动点P （x,. x a ）的轨迹是（）A .圆B .椭圆的一部分C .双曲线的一部分D .抛物线的一部分、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 13、命题“若x 2 4x 3 0 ,贝U x = 1或x = 3 ”的逆否命题为.14、给出下列四个命题：① x R ，是方程3x -5= 0的根；②x R,| x| 0 ; ③x R,x 21 :④ x R,都不是方程x2 3x 30的根.其中假命题的序号有 _________________ .A . —26B . — 10、如图，：空间四边形 ABCD 中，M 、则AB1BC1 =BD 等于（22A . ADB . GAC . AGD . MG9、已知 A 、B 、C 三点不共线，；C . 2D . 10ABC 外的任一点O ,下列条件中能确8G 分别是BC 、CD 的中点,2 215、若方程卫y 1表示的图形是双曲线，则k的取值范围2 k k 1为____________ •16、抛物线y2 4x的准线方程是_____________ .17、由向量a (1,0, 2) , b ( 1, 2, 1)确定的平面的一个法向量是n (x, y, 2)，贝U x= __________ , y= _________ .三、解答题(本大题共5小题，共53分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程)18、(本小题满分8分)2 2双曲线的离心率等于2,且与椭圆0 二1有相同的焦点，求此双曲线方程.25 919、(本小题满分10分)已知命题P: “若ac 0,则二次方程ax2 bx c 0没有实根”(1) 写出命题P的否命题；(2) 判断命题P的否命题的真假，并证明你的结论.20、(本小题满分11分)已知ab 0,求证a b 1的充要条件是a 3 b 3 ab a 2 b 2 021、(本小题满分12分)如图，在正方体ABCD — A i B i C i D i 中，E 、F 分别是BB i 、CD 的中点.(I)证明：AD 丄 D i F ; (U)求AE 与D i F 所成的角；(川)证明：面 AED 丄面A i FD i .22、(本小题满分i2分)2 2设椭圆务+占 i (a >b >0)的左焦点为F i ( — 2, 0),左准线L i : x 兰与 a bcx 轴交于点N ( — 3, 0),过点N 且倾斜角为300的直线L 交椭圆于A 、B 两点。

北师大版高中数学选修2-1考试题及答案(理科)

选修〔 2-1 〕学刘理论班级：姓名：座号：成绩：一、选择题〔15× 4=60 分〕1、(x+1)(x+2)>0是 (x+1)(x 2 +2)>0的〔〕条件A必要不充分 B充要C充分不必要 D 既不充分也不必要2、 p 是 r 的充分不必要条件， s 是 r 的必要条件， q 是 s 的必要条件，那么 p 是 q 成立的〔〕条件A 必要不充分B 充分不必要C 充要D 既不充分也不必要 uuur uuur3、 A 2, 5,1, B 2, 2,4 ,C 1,4,1 ，那么向量 AB 与 AC 的夹角为〔〕A 300B450C600D9004、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又 OA、OB、OC为空间的一个基底，那么〔〕A O 、 A 、B 、C 四点共线 B O 、A 、B 、C 四点共面C O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线D O 、A 、B 、C 四点不共面5、给出以下关于互不相同的直线 m 、 l 、 n 和平面α、β的四个命题：①假设m, lA,点 Am ,那么 l 与 m 不共面；②假设m 、l 是异面直线， l // , m //,且 n l , nm ,那么 n；③假设l //, m //, // , 那么 l // m ；④假设l, m, lm点 A, l // , m // , 那么 // .其中为假命题的是〔〕A ①B ②C ③D ④6、高为 3 的直棱柱 ABC — A ′ B ′ C ′的底面是边长为 1 的正三角形〔如图 1 所示〕，那么三棱锥 B ′— ABC 的体积为〔〕A1B1C3 D 342647、假设焦点在 x轴上的椭圆 x2y 2 1 的离心率为 1，那么 m=〔〕2m2A3B 3C8D2 2338、 P3cos,3sin,1 和Q2cos,2sin,1 ，那么 PQ 的取值范围是〔〕A1,5B1,5C0,5D0,259、椭圆x2y 21上一点 P 到它的右准线的距离为10, 那么点 P 到它的左焦10036点的距离是 ()A 8B 10C 12D 1410、与双曲线x2y21有共同的渐近线,且经过点 3,2 3 的双曲线的一个焦点916到一条渐近线的距离是 () A 1 B2 C 4 D 811、假设抛物线y28x 上一点P到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，那么此点 P 的横坐标为〔〕A 10B9C8D非上述答案12、坐标满足方程F〔 x， y〕 =0 的点都在曲线 C上，那么〔〕A 曲线 C上的点的坐标都适合方程F〔 x， y〕=0；B凡坐标不适合 F〔x，y〕=0 的点都不在 C上；C不在 C上的点的坐标不必适合 F〔x，y〕=0；D不在 C上的点的坐标有些适合 F〔x，y〕=0，有些不适合 F〔 x， y〕 =0。

数学北师大版高中选修2-1高二数学同步测试—圆锥曲线综合

高二数学同步测试—圆锥曲线综合一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为（）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是（）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A ．x y 3=B ．x y 3-=C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值（）A ．21B ．33C ．23D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF ，则此抛物线的方程为） A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有个. 13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 .三、解答题（本大题共6小题，共76分）15．P 为椭圆192522=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F（1）求△21PF F 的面积；（2）求P 点的坐标．（12分）16．已知抛物线x y 42=，焦点为F ，顶点为O ，点P 在抛物线上移动，Q 是OP 的中点，M 是FQ 的中点，求点M 的轨迹方程．（12分）17．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A为圆心，1为半径的圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线x y =对称．（1）求双曲线C 的方程；（2）设直线1+=mx y 与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，另一直线l 经过M （－2，0）yPO xA B 及AB 的中点，求直线l 在y 轴上的截距b 的取值范围．（12分）18．如图，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点P （x y 00,）（y 00>），作两条直线分别交抛物线于A （x y 11,），B （22,y x ）．（1）求该抛物线上纵坐标为p2的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求021y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.（12分）19．如图，给出定点A(a , 0) (a >0)和直线: x = –1 . B 是直线l 上的动点，∠BOA 的角平分线交AB 于点C . 求点C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a 值的关系.（14分）20．椭圆C 1：2222by a x +=1(a >b>0)的左右顶点分别为A 、B.点P 双曲线C 2：2222b y a x -=1在第一象限内的图象上一点，直线AP 、BP 与椭圆C 1分别交于C 、D 点.若△ACD 与△PCD的面积相等．（1）求P 点的坐标；（2）能否使直线CD 过椭圆C 1的右焦点，若能，求出此时双曲线C 2的离心率，若不能，请说明理由.（14分）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321(14． 25 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）[解析]：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①2212221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=∴∆t t S PF F （2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将433±=y 代入椭圆方程解得4135±=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)433,4135(--P 16．（12分）[解析]：设M （y x ,），P （11,y x ），Q （22,y x ），易求x y 42=的焦点F 的坐标为（1，0）∵M 是FQ 的中点，∴ 22122y y x x =+=⇒yy x x 21222=-=，又Q 是OP 的中点∴221212y y x x ==⇒yy y x x x 422422121==-==，∵P 在抛物线x y 42=上，∴)24(4)4(2-=x y ，所以M 点的轨迹方程为212-=x y .17．（12分）[解析]：（1）当时，1=a ,2x y =表示焦点为)0,41(的抛物线；（2）当10<<a 时，11)1()1(22222=-+---a a y aa a ax ，表示焦点在x 轴上的椭圆；（3）当a>1时，11)1()1(22222=-----a a y a a a a x ，表示焦点在x 轴上的双曲线. （1设双曲线C 的渐近线方程为y=kx ，则kx-y=0∵该直线与圆1)2(22=-+y x 相切，∴双曲线C 的两条渐近线方程为y=±x ．故设双曲线C 的方程为12222=-ay a x ．又双曲线C 的一个焦点为)0,2(，∴222=a ，12=a ．∴双曲线C 的方程为:122=-y x .（2）由⎩⎨⎧=-+=1122y x mx y 得022)1(22=---mx x m ．令22)1()(22---=mx x m x f∵直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f(x)=0在)0,(-∞上有两个不等实根．因此⎪⎩⎪⎨⎧>--<->∆012012022m m m且，解得21<<m ．又AB 中点为)11,1(22m m m --，∴直线l 的方程为：)2(2212+++-=x m m y ．令x =0，得817)41(2222222+--=++-=m m m b ． ∵)2,1(∈m ，∴)1,22(817)41(22+-∈+--m ，∴),2()22,(+∞---∞∈ b ．18．（12分）[解析]：（I ）当y p =2时，x p =8又抛物线y px 22=的准线方程为x p =-2由抛物线定义得，所求距离为p p p 8258--=()（2）设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB 由y px 1212=，y px 0202=相减得()()()y y y y p x x 1010102-+=-,故k y y x x py y x x PA =--=+≠101010102()同理可得k py y x x PB =+≠22020(),由PA ，PB 倾斜角互补知k k PA PB =-即221020p y y p y y +=-+,所以y y y 1202+=-, 故y y y 122+=- 设直线AB 的斜率为k AB ,由y px 2222=，y px 1212=,相减得()()()y y y y p x x 2121212-+=-所以k y y x x py y x x AB=--=+≠212112122(), 将y y y y 120020+=->()代入得k p y y py AB =+=-2120，所以k AB 是非零常数.19．（14分）[解析]：设B （－1，b ），OA l ：y=0, OB l :y=－bx,设C （x ,y ），则有x ≤0<a ，由OC 平分∠BOA ，知点C 到OA ，OB 距离相等，21b bxy y ++=∴①及C 在直线AB: ()a x ab y -+-=1②上，由①②及ax ≠得，得[0)1(2)1(222=++--y a ax x a y 若y=0,则b=0 满足0)1(2)1(22=++--y a ax x a . 20．（14分）[解析]：（1）设P(x 0,y 0)(x 0>0,y 0>0)，又有点A(－a ,0),B(a ,0). ,PCD ACD S S ∆∆=).2,2(,00y a x C AP C -∴∴的中点为得点坐标代入椭圆方程将,C 4)(220220=+-by a a x ，又1220220=-by a x 5)(220220=+-⇒a x a a x ，b y a x a x 3),(2000=∴-==∴舍去，)3,2(b a P ∴. （2）,300a b a x y K K PB PD =-== :PD 直线)(3a x a b y -=代入12222=+b y a x 03222=+-⇒a ax x )(2舍去a x ax D D ==∴，)23,2(),2,2(00b a C y a x C 即-∴∴CD 垂直于x 轴.若CD 过椭圆C 1的右焦点，则.27,23,22222=+=∴=∴-=a b a e a b b a a 故可使CD 过椭圆C 1的右焦点，此时C 2的离心率为27.。

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第一章1 命题1[基础达标]1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为()A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2bC．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b解析：选B.把条件和结论分别加以否定．2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1 B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D.x＞1⇒/ x＞2，故选D.3.给出下列命题：①a＞|b|⇒a2＞b2；②a＞b⇒a3＞b3；③|a|＞b⇒a2＞b2.其中正确的个数是()A．0 B．2C．1 D．3解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是()A．若a∥b，则α∥βB．若α⊥β，则a⊥bC．若a，b相交，则α，β相交D．若α，β相交，则a，b相交解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．①北京是中国的首都；②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；③3n不是个大数；④sin x＞－x2；⑤0是自然数吗？⑥我希望明年考上北京大学．解析：①是命题，且是真命题．②是命题，且是真命题．③不是命题，因为无法判断其真假．④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．⑤不是命题，因为它是疑问句．⑥不是命题，因为它是祈使句．答案：①②①②7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅8.有下列四个命题：①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；④命题“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．解析：④中由A∩B＝B，应该得出B⊆A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．答案：①②③9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，∵PO⊥π，aπ，∴PO⊥a，又a⊥b，b平面P AO，PO∩b＝P，∴a⊥平面P AO，又c平面P AO，∴a⊥c.(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．[能力提升]1.下列命题正确的个数为()①已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－y的范围是[1，7]；②若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是(7－1 2，3＋12)；③如果正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是[8，＋∞)；④a＝log132，b＝log123，c＝(13)0.5的大小关系是a＞b＞c.A．1 B．2 C．3 D．4解析：选B.对①，令3x －y ＝λ(x ＋y )＋μ(x －y )＝(λ＋μ)x ＋(λ－μ)y ，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝3λ－μ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，μ＝2.∴(3x －y )min ＝1×(－1)＋2×1＝1， (3x －y )max ＝1×1＋2×3＝7， ∴3x －y ∈[1，7]，①正确；对②，令f (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，由题意f (m )＜0在[－2，2]上恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧－2（x 2－1）－2x ＋1＜02（x 2－1）－2x ＋1＜0，解得7－12＜x ＜3＋12，②正确；对③，∵a ，b ∈(0，＋∞)，∴a ＋b ≥2ab ，由ab ＝a ＋b ＋3，得ab ≥2ab ＋3. 即(ab )2－2ab －3≥0，解得ab ≥3或ab ≤－1(舍)，∴ab ≥9，③不正确；对④，∵a ＜0，b ＜0，c ＞0，∴④不正确．2.设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |.③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③3.求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2. p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.∵p ＋q ＞2，∴(p ＋q )2＞4，∴p 2＋q 2＞2.即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立． ∴若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.4．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，求实数x 的取值范围．解：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3. 由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章1 命题 2[A.基础达标]1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是()A．x＞－1B．x＞0C．x＞1 D．x＞2解析：选D. x＞1⇒/ x＞2，故选D.2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是()A．“若x<a2＋b2，则x<2ab”B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”解析：选 D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是()A．真命题B．假命题C．与所给的命题有关D．无法判断解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是()A．互逆命题B．互否命题C．互逆否命题D．不确定解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，解得：a∈[－1，3]．答案：[－1，3]8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．答案：假9．已知命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．解：逆否命题为“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a <0”．因为a ≥0，所以4a ≥0，所以方程x 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝4a ＋1>0，所以方程x 2＋x －a ＝0有实根．故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真命题．又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真．10．(1)如图，证明命题“a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥b ，则a ⊥c ”为真．(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．解：(1)证明：如图，设c ∩b ＝A ，P 为直线b 上异于点A 的任意一点，作PO ⊥π，垂足为O ，则O ∈c ，因为PO ⊥π，a π，所以PO ⊥a ，又a ⊥b ，b 平面P AO ，PO ∩b ＝P ，所以a ⊥平面P AO ，又c平面P AO ，所以a ⊥c .(2)逆命题为：a 是平面π内的一条直线，b 是平面π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在平面π上的投影，若a ⊥c ，则a ⊥b .逆命题为真命题．[B.能力提升]1．有下列四个命题：①“若a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的逆否命题； ④“矩形的对角线相等”的逆命题．其中真命题为( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．③④解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x 2＋2x ＋q ＝0无实根，则q >1”，即Δ＝4－4q <0⇒q >1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．2．原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋，则{a n }为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：选A.a n ＋a n ＋12＜a n ⇔a n ＋1＜a n ⇔{a n }为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.3．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：1－x ＋x 24＜1，若命题p 是真命题，命题q是假命题，则实数x 的取值范围是________．解析：由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3.由1－x ＋x 24＜1，得x 2－4x ＜0，解得0＜x ＜4.因为命题p 为真命题，命题q 为假命题，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，解得x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)4．设p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，q 表示下列不同的结论： ①|a ＋b |＜|a |＋|b |.②a·b ＝|a |·|b |. ③(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直．④(a·b )c ＝a (b·c )．其中，使命题“若p ，则q ”为真命题的所有序号是________．解析：由于p ：平面向量a ，b ，c 互不共线，则必有|a ＋b |＜|a |＋|b |，①正确；由于a·b ＝|a ||b |cos θ＜|a ||b |，②不正确；由于[(a·b )c －(a·c )b ]·a ＝(a·b )(c·a )－(a·c )(b·a )＝0，所以(a·b )c －(a·c )b 与a 垂直，③正确；由于平面向量的数量积不满足结合律，且a ，b ，c 互不共线，故(a·b )c ≠a (b·c )，④不正确．综上可知真命题的序号是①③. 答案：①③5．求证：若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.证明：该命题的逆否命题为：若p ＋q ＞2，则p 2＋q 2≠2.p 2＋q 2＝12[(p ＋q )2＋(p －q )2]≥12(p ＋q )2.因为p ＋q ＞2，所以(p ＋q )2＞4，所以p 2＋q 2＞2. 即p ＋q ＞2时，p 2＋q 2≠2成立．所以若p 2＋q 2＝2，则p ＋q ≤2.6．(选做题)在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项的和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．(1)写出这个命题的逆命题；(2)判断公比q 为何值时，逆命题为真？公比q 为何值时，逆命题为假？解：(1)逆命题：在公比为q 的等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．(2)因为{a n }为等比数列，所以a n ≠0，q ≠0. 由a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．得2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，所以2a m ·q 2＝a m ＋a m ·q ，所以2q 2－q －1＝0.解得q ＝－12或q ＝1.当q ＝1时，a n ＝a 1(n ＝1，2，…)，所以S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＝ma 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1，因为2(m ＋2)a 1≠ma 1＋(m ＋1)a 1，即2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1不成等差数列．即q ＝1时，原命题的逆命题为假命题．当q ＝－12时，2S m ＋2＝2·a 1（1－q m ＋2）1－q，S m ＋1＝a 1（1－q m ＋1）1－q ，S m ＝a 1（1－q m ）1－q ，所以2S m ＋2＝S m ＋1＋S m ，所以S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．即q ＝－12时，原命题的逆命题为真命题．第一章2.1-2.2 充分条件必要条件[A.基础达标]1．使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其他条件均推不出1a ＞1b，故选D.2．使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( ) A ．a ＜b B ．a ＞b C ．|a |＞|b | D ．ab ＞0 解析：选C.因为a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C. 3．下列说法不正确的是( ) A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件 B ．a ∥b 不是a ＝b 的充分条件 C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件 D ．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件解析：选C.由于θ＞0⇒/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C 的说法不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a ≥1 C ．a ＜1 D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，所以a ≤1，选D.5．如果不等式|x －a |＜1成立的充分条件但不是必要条件是12＜x ＜32，则实数a 的取值范围是( )A.12＜a ＜32B.12≤a ≤32C ．a ＞32或a ＜12D ．a ≥32或a ≤12解析：选B.|x －a |＜1⇔a －1＜x ＜a ＋1，由题意可得⎩⎨⎧a －1≤12，a ＋1≥32，即a ∈⎣⎡⎦⎤12，32. 6.a 为素数________a 为奇数的充分条件(填是或不是)．解析：由于a ＝2时不成立，所以a 为素数不是a 为奇数的充分条件．答案：不是7.若“x 2＋ax ＋2＝0”是“x ＝1”的必要条件，则a ＝________．解析：由题意x ＝1是方程的根，所以12＋a ＋2＝0，所以a ＝－3. 答案：－38.命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”中，“a 是偶数”是“a ＝4n ”的________条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．解析：命题“已知n ∈Z ，若a ＝4n ，则a 是偶数”是真命题，所以“a 是偶数”是“a ＝4n ”的必要条件，“a ＝4n ”是“a 是偶数”的充分条件．答案：必要充分9．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－32x ＋1，x ∈[34，2]}，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝(x －34)2＋716，因为x ∈[34，2]，所以716≤y ≤2. 所以A ＝{y |716≤y ≤2}．由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，所以B ＝{x |x ≥1－m 2}，因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，所以A ⊆B ，所以1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是(－∞，－34]∪[34，＋∞)． 10．分别判断下列“若p ，则q ”的命题中，p 是否为q 的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β；(2)若m ＞2，则方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根．解：(1)由于α＝β ⇒sin α＝sin β，sin α＝sin β α＝β，由逆否命题的真假性相同，得sin α≠sin β ⇒α≠β，α≠β sin α≠sin β，所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件．(2)由方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，得Δ＝m 2－4≥0⇔m ≤－2或m ≥2.由于m ＞2⇒Δ＞0⇒方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m ＞2是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的充分条件，m ＞2不是方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根的必要条件．[B.能力提升]1．已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2．设集合U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，那么点P (2，3)∈A ∩(∁U B )的既是充分条件，又是必要条件的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：选A.由P (2，3)∈A 得2×2－3＋m ＞0，即m ＞－1；由P (2，3)∈∁U B 得2＋3－n ＞0，即n ＜5.3．函数f (x )＝a －42x ＋1为奇函数的必要条件是________．解析：因为x ∈R ，f (x )为奇函数．所以f (0)＝0，即a －2＝0，所以a ＝2.答案：a ＝24．如果命题“若A ，则B ”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A 是B 的________条件．(填“充分”、“必要”)解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B ⇒A .又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A ⇒/ B ，即A 是B 的必要条件．答案：必要5．已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S .由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10，所以P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，所以S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.所以⎩⎨⎧m ≥3，m ≥9.所以m ≥9，所以实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，所以m ≤3. 所以实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．6．(选做题)设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x .(1)解不等式|f (x )－g (x )|≥2 015；(2)若|f (x )－a |＜2恒成立的充分条件是1≤x ≤2，求实数a 的取值范围．解：(1)由|f (x )－g (x )|≥2 015得|－x ＋3|≥2 015，即|x －3|≥2 015，所以x －3≥2 015或x －3≤－2 015，解得x ≥2 018或x ≤－2 012.故不等式的解集为{x |x ≤－2 012或x ≥2 018}．(2)依题意知：当1≤x ≤2时，|f (x )－a |＜2恒成立，所以当1≤x ≤2时，－2＜f (x )－a ＜2恒成立，即f (x )－2＜a ＜f (x )＋2恒成立．由于当1≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a ＜2＋2，即1＜a ＜4，所以实数a 的取值范围是(1，4)．第一章 2.2 必要条件[基础达标]1.使不等式1a ＞1b成立的充分条件是( ) A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜0D ．a ＞0，b ＜0解析：选D.a ＞0，b ＜0⇒1a ＞1b ，其它条件均推不出1a ＞1b，故选D. 2.使不等式a 2＞b 2成立的必要条件是( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．|a |＞|b |D ．ab ＞0解析：选C.∵a 2＞b 2⇒|a |＞|b |，而推不出A 、B 、D ，故选C.3.下列说法不正确的是( )A ．a ∥b 是a ＝b 的必要条件B ．a ∥b 是a ＝b 的不充分条件C ．θ＞0是sin θ＞0的充分条件D ．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件解析：选C.由于θ＞0/⇒ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C 中命题不正确，其余均正确．4.若“x ＞1”是“x ＞a ”的充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1解析：选D.由题意，需x ＞1⇒x ＞a ，∴a ≤1，选D.5.对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是( )A ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的必要条件B ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要条件C ．“ac ＞bc ”是“a ＞b ”的充分条件D ．“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的充分条件解析：选B.6.a 为素数解析：由于a＝2时不成立，∴a为素数不是a为奇数的充分条件．答案：不是7.若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________．解析：由题意x＝1是方程的根，∴12＋a＋2＝0，∴a＝－3.答案：－38.命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件，“a＝4n”是“a是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．解析：命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”是真命题，所以“a是偶数”是“a ＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件．答案：必要充分9.(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？(2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？解：(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要{x|x＜－m2}⊆{x|x＜－1或x＞3}，则只要－m2≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要{x|x＜－m2}⊇{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．10.分别判断下列“若p，则q”的命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．(1)若α≠β，则sin α≠sin β.(2)若m＞2，则方程x2＋mx＋1＝0有实数根．解：(1)由于α＝β⇒sin α＝sin β，sin α＝sin β/⇒α＝β，由逆否命题的真假性相同，得sin α≠sin β⇒α≠β，α≠β/⇒sin α≠sin β，所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件．(2)由方程x2＋mx＋1＝0有实数根，得Δ＝m2－4≥0⇔m≤－2或m≥2.由于m＞2⇒Δ＞0⇒方程x2＋mx＋1＝0有实数根，而反推不成立，所以m＞2是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的充分条件，m＞2是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的不必要条件．[能力提升]1.已知等比数列{a n }的公比为q ，则下列不是{a n }为递增数列的充分条件的是( ) ①a 1＜a 2；②a 1＞0，q ＞1；③a 1＞0，0＜q ＜1；④a 1＜0，0＜q ＜1.A ．①②B ．①③C ．③④D ．①③④解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{a n }递增的充分条件，排除C ；显然②是等比数列{a n }递增的充分条件，排除A ；当a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n }递增，排除D.故选B.2.函数f (x )＝a －42x＋1为奇函数的必要条件是________．解析：∵x ∈R ，f (x )为奇函数．∴f (0)＝0，即a －2＝0，∴a ＝2.答案：a ＝23.已知集合P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，集合S ＝{x ||x －1|≤m }．(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充分条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)由题意，x ∈P 是x ∈S 的充分条件，则P ⊆S .由x 2－8x －20≤0，解得－2≤x ≤10，∴P ＝[－2，10]．由|x －1|≤m 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴S ＝[1－m ，1＋m ]．要使P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ≥3，m ≥9.∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是{m |m ≥9}．(2)由题意x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P .由|x －1|≤m ，可得1－m ≤x ≤m ＋1，要使S ⊆P ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴m ≤3. ∴实数m 的取值范围是{m |m ≤3}．4．设函数f (x )＝x 2－2x ＋3，g (x )＝x 2－x .(1)解不等式|f(x)－g(x)|≥2 014；(2)若|f(x)－a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．解：(1)由|f(x)－g(x)|≥2 014得|－x＋3|≥2 014，即|x－3|≥2 014，所以x－3≥2 014或x －3≤－2 014，解得x≥2 017或x≤－2 011.(2)依题意知：当1≤x≤2时，|f(x)－a|＜2恒成立，所以当1≤x≤2时，－2＜f(x)－a＜2恒成立，即f(x)－2＜a＜f(x)＋2恒成立．由于当1≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a＜2＋2，即1＜a＜4，所以实数a的取值范围是(1，4)．第一章 2.3 充要条件[基础达标]1.设x ∈R ，则x ＞e 的一个必要不充分条件是( )A ．x ＞1B ．x ＜1C ．x ＞3D ．x ＜3解析：选A.∵x ＞1⇒/ x ＞e ，而x ＞e ⇒x ＞1.2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l ⊥β”是“α⊥β”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l ⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l ⊥β”，因此选A.3.设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”，是“a ，b 共线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|.4.若a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件解析：选D.a 3＋b 3－a 2b －ab 2＝(a ＋b )(a －b )2，a ＞b /⇔ a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2，故选D. 5.设{a n }是等比数列，则“a 1＜a 2＜a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设公比为q ，由a 1＜a 2＜a 3得a 1＜a 1q ＜a 1q 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴充分性成立；当{a n }递增时，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0q ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜00＜q ＜1，∴a 1＜a 2＜a 3，必要性成立．6.在△ABC 中，“sin A ＝sin B ”是“a ＝b ”的________条件．解析：在△ABC 中，由正弦定理及sin A ＝sin B 可得2R sin A ＝2R sin B ，即a ＝b ；反之也成立．答案：充要7.设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的________条件．解析：由题意知：A ⇒B ⇒C ⇔D ，∴A ⇒D .答案：必要不充分8.已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，A B ，∴由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤121＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜121＋a ≥1. ∴a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19.已知p ，q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么：(1)s 是q 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？(3)p 是q 的什么条件？解：如图所示，可知：(1)因为q ⇒s ，s ⇒r ⇒q ，所以s 是q 的充要条件．(2)因为r ⇒q ，q ⇒s ⇒r ，所以r 是q 的充要条件．(3)因为q ⇒s ⇒r ⇒p ，而p ⇒/ q ，所以p 是q 的必要不充分条件．10.求证：关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件是m ≥2.证明：(1)充分性：因为m ≥2，所以Δ＝m 2－4≥0，所以方程x 2＋mx ＋1＝0有实根，设两根为x 1，x 2，由根与系数的关系知，x 1·x 2＝1＞0，所以x 1，x 2同号．又x 1＋x 2＝－m ≤－2＜0，所以x 1，x 2同为负数．即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充分条件是m ≥2.(2)必要性：因为x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根，设其为x 1，x 2，且x 1x 2＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4≥0，x 1＋x 2＝－m ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2或m ≤－2，m ＞0，所以m ≥2，即x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的必要条件是m ≥2. 综上可知，m ≥2是x 2＋mx ＋1＝0有两个负实根的充要条件．[能力提升]1.对于数列{a n }，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1，2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a n }单调递增，不一定能够说明a n ＋1＞|a n |一定成立，如a n ：{－n ，－(n －1)，…，－2，－1}显然不满足a n ＋1＞|a n |一定成立，但是该数列递增；如果a n ＋1＞|a n |＞0，那么无论a n 的值取正还是取负，一定能够得到{a n }单调递增，所以a n ＋1＞|a n |是{a n }为递增数列的充分不必要条件，选B.2.设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，∴a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2/⇒ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N /⇒ a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2. 答案：既不充分也不必要3.已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝aq n ＋b (a ≠0，q 是不等于0和1的常数)，求证数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.证明：(1)必要性．∵数列{a n }为等比数列，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝a 11－q －a 11－qq n . ∵S n ＝aq n ＋b ，∴a ＝－a 11－q ，b ＝a 11－q. ∴a ＋b ＝0.(2)充分性．∵a ＋b ＝0，∴S n ＝aq n ＋b ＝aq n －a .∵a n ＝S n －S n －1＝(aq n －a )－(aq n －1－a )＝a (q －1)q n －1(n ＞1)，∴a n ＋1a n ＝a （q －1）q na （q －1）q n －1＝q (n ＞1)．又∵a 1＝aq －a ，a 2＝aq 2－aq ，∴a 2a 1＝aq 2－aq aq －a＝q . 故数列{a n }是公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }为等比数列的充要条件是a ＋b ＝0.4．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .∴命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.∴命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．显然集合B A ，即q /⇒ p ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7.又a ＞0，所以0＜a ≤2.∴若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[A.基础达标]1．x 2＋(y －2)2＝0是x (y －2)＝0的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为x 2＋(y －2)2＝0⇒x ＝0且y ＝2，所以x (y －2)＝0成立．但由x (y －2)＝0⇒x ＝0或y ＝2，所以x 2＋(y －2)2＝0不一定成立．故x (y －2)＝0x 2＋(y －2)2＝0.2．平面α∩平面β＝l ，直线a α，直线b β，则p ：“a 和b 是异面直线”是q ：“a 与b 均与直线l 相交且交点不同”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由p ：“a 和b 是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l 平行，另一条可能与l 相交，故p 不是q 的充分条件，由a 与b 均与l 相交且交点不同，则a 与b 一定异面，故p 是q 的必要条件．3．设a ，b 都是非零向量，则“a·b ＝±|a||b|”是“a ，b 共线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C.设〈a ，b 〉＝θ，a·b ＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a 与b 共线，若a 、b 共线，则〈a ，b 〉＝0或π，则a·b ＝±|a||b|. 4．“ω＝2”是“函数y ＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选A.根据T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2，故选A.5．“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选B.a 2－2a ＜0⇔a ∈(0，2)，因为{a |0＜a ＜2}{a |a ＜2}，所以“a ＜2”是“a 2－2a ＜0”的必要不充分条件．6．函数f (x )＝a ＋sin x ＋3cos x 有零点的充要条件为a ∈________．解析：f (x )＝a ＋2sin(x ＋π3)，令f (x )＝0，得sin(x ＋π3)＝－a2，因为－1≤sin(x ＋π3)≤1，所以－2≤a ≤2.答案：[－2，2]7．已知全集S ，若p ：A B ，q ：∁S B ∁S A ，则p 是q 的________条件．解析：如图，AB ⇒∁S B∁S A ，∁S B∁S A ⇒AB ⊆S .故p 是q 的充分条件，也是必要条件，即p 是q 的充要条件．答案：充要8．已知条件p ：|x －1|＞a 和条件q ：2x 2－3x ＋1＞0，则使p 是q 的充分不必要条件的最小整数a ＝________．解析：由题意知a ＞0，设A ＝{x ||x －1|＞a }＝{x |x ＜1－a 或x ＞1＋a }，B ＝{x |2x 2－3x ＋1＞0}＝{x |x ＜12或x ＞1}，由题意，AB ，所以由数轴可得⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≤12，1＋a ＞1或⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜12，1＋a ≥1.所以a ≥12，故a 的最小整数为1.答案：19．求不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件．解：当a ＝0时，2x ＋1＞0不恒成立．当a ≠0时，ax 2＋2x ＋1＞0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a ＜0⇔a ＞1.所以不等式ax 2＋2x ＋1＞0恒成立的充要条件是a ＞1.10．已知命题p ：|x －1|＜a (a ＞0)，命题q ：x 2＋21＞10x ，且p 是q 的既不充分也不必要条件，求a 的取值范围．解：由|x －1|＜a (a ＞0)，解得1－a ＜x ＜1＋a .所以命题p 对应的集合为A ＝{x |1－a ＜x ＜1＋a ，a ＞0}．由x 2＋21＞10x ，解得x ＜3或x ＞7.所以命题q 对应的集合为B ＝{x |x ＜3或x ＞7}．显然集合BA ，即qp ，所以p 不是q 的必要条件．如果p 是q 的充分条件，则p ⇒q ，即A ⊆B ，所以1＋a ≤3或1－a ≥7. 又a ＞0，所以0＜a ≤2.所以若p 是q 的既不充分也不必要条件，应有a ＞2.[B.能力提升] 1．设a ，b 是实数，则“a >b ”是“a 2>b 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：选D.设a ＝1，b ＝－2，则有a >b ，但a 2<b 2，故a >b ⇒/ a 2>b 2；设a ＝－2，b ＝1，显然a 2>b 2，但a <b ，即a 2>b 2⇒/ a >b .故“a >b ”是“a 2>b 2”的既不充分也不必要条件．2．设0＜x ＜π2，则“x sin 2x ＜1”是“x sin x ＜1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.因为0＜x ＜π2，所以0＜sin x ＜1.由x sin x ＜1知x sin 2x ＜sin x ＜1，因此必要性成立．由x sin 2x ＜1得x sin x ＜1sin x ，而1sin x＞1，因此充分性不成立．3．设a 1、b 1、c 1、a 2、b 2、c 2均为非零实数，不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0和a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集分别为M 和N ，那么“a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2”是“M ＝N ”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．解析：如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＞0，则M ＝N ；如果a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2＜0，则M ≠N ，所以a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2⇒/ M ＝N .反之，若M ＝N ＝∅，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．因此，M ＝N a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2.答案：既不充分也不必要4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |□x －1x ＜0，B ＝{x |x 2－3x －4≤0}，C＝{x |log 12x ＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：甲：此数为小于6的正整数；乙：A 是B 成立的充分不必要条件；丙：A 是C 成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．解析：设“□”中的数为a ，由甲的描述知a 为小于6的正整数，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜1a ，B ＝{x |－1≤x ≤4}，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜12，由乙的描述知1a ≤4，由丙的描述知1a ＞12，所以14≤a ＜2，再由甲的描述知a ＝1.答案：15．已知p ：x (x －3)＜0，q ：2x －3＜m ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．解：p ：x (x －3)＜0，则0＜x ＜3； q ：2x －3＜m ，则x ＜m ＋32.令集合A ＝{x |0＜x ＜3}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＜m ＋32，在数轴上表示出集合A ，B 如图所示．由于p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即m ＋32≥3，解得m ≥3.6．(选做题)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 、b 、c ∈R ，且a ≠0)．证明方程f (x )＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0.证明：①充分性：若存在x 0∈R ，使af (x 0)＜0，则b 2－4ac ＝b 2－4a [f (x 0)－ax 20－bx 0]＝b 2＋4abx 0＋4a 2x 20－4af (x 0) ＝(b ＋2ax 0)2－4af (x 0)＞0，所以方程f (x )＝0有两个不等实数根． ②必要性：若方程f (x )＝0有两个不等实数根，则b 2－4ac ＞0，设x 0＝－b2a，a ·f (x 0)＝a ⎣⎡⎦⎤a ⎝⎛⎭⎫－b 2a 2＋b ⎝⎛⎭⎫－b2a ＋c＝b 24－b22＋ac＝4ac－b24＜0.所以存在x0∈R，使af(x0)＜0.第一章3.1-3.2 全称量词与全称命题存在量词与特称命题[A.基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数B ．存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数C ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数D ．对任意m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析：选A.由于当m ＝0时，函数f (x )＝x 2＋mx ＝x 2为偶函数，故“存在m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )为偶函数”是真命题．2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数D ．存在一个负数x ，使1x>2解析：选B.A ，C 为全称命题；对于B ，当x ＝0时，x 2＝0≤0，正确；对于D ，显然错误．3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( ) A ．每一个二次函数的图像都开口向上 B ．存在一条直线与两个相交平面都垂直 C ．存在一个实数x ，使x 2－3x ＋6＜0 D ．对任意c ≤0，若a ≤b ＋c ，则a ≤b解析：选D.对A 当二次项系数小于零时不成立，A 为假命题；B 、C 均为特称命题．故选D.4．下列命题是假命题的为( ) A ．存在x ∈R ，lg e x ＝0 B ．存在x ∈R ，tan x ＝xC ．任意x ∈(0，π2)，1tan x＞cos xD ．任意x ∈R ，e x ＞x ＋1解析：选D.对A ，x ＝0时成立，为真命题；对B ，当x ＝0时成立，为真命题；对C ，因为x ∈(0，π2)，cos x ＞0，0＜sin x ＜1，所以1tan x ＝cos xsin x＞cos x ，为真命题，故选D.5．已知正四面体A -BCD 的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是( )A ．对任意的F ∈BC ，EF ⊥ADB ．存在F ∈BC ，EF ⊥AC C ．对任意的F ∈BC ，EF ≥ 3D ．存在F ∈BC ，EF ∥AC解析：选A.因为△ABD 为等边三角形，E 为AD 中点，⎭⎪⎬⎪⎫所以BE ⊥AD同理CE ⊥AD BE ∩CE ＝E ⇒AD ⊥平面BCE ，。