《初等数论初步》
《初等数论基础》课程知识点汇总
《初等数论基础》课程知识点汇总第一章z本原勾股数组（三元组）的概念z本原勾股三元组的定理及其证明第二章z整除、公因数、最大公因数的概念z欧几里得辗转相除算法z线性方程的概念z掌握线性方程定理z掌握求解线性方程ax+by=gcd(a,b)的方法第三章z素数、合数的概念z素数整除性质及其证明z算术基本定理z掌握素数分解的几种方法及其各自的优缺点第四章z同余式的概念，及其性质z求解带未知数的同余式的通用方法z掌握线性同余式定理，以及求解形如ax ≡c(mod m)同余式的方法z掌握费马小定理，及其证明基本思想和应用z欧拉Φ函数的定义z欧拉公式及其证明z欧拉Φ函数公式及其计算z中国剩余定理第六章z无穷多素数定理，及其欧几里得证明基本思想z算术级数的素数狄利克雷定理z素数计数函数π(x)的定义z函数x/ln(x)逼近π(x)的素数定理第七章z梅森素数、完全数、σ函数的定义zσ函数公式定理及其证明和应用z欧拉φ函数求和公式及其证明第八章z a模p的次数(阶)的定义，以及求次数的方法z次数整除性质及其应用z原根概念、指标的概念和法则z掌握求解一个素数所有原根的方法z二次剩余(QR)和二次非剩余(NR)的定义z二次乘法法则定理（2种版本）z掌握判断一个整数是素数p的QR还是NR的方法z佩尔方程的定义z佩尔方程定理z狄利克雷丢番图逼近定理（2种版本）第十章z高斯整数的概念z高斯整数基本运算的封闭性z高斯整数的整除性定义及性质z单位和相伴的定义z高斯素数的定义，及其判断的基本方法z高斯整数的唯一分解定理，以及高斯整数的整除性质第十一章z连分数的基本概念。
4.质因数分解-湘教版选修4-6初等数论初步教案
4.质因数分解-湘教版选修4-6初等数论初步教案课程目标1.引导学生了解基本的质因数分解概念和方法。
2.帮助学生掌握质因数分解的求解方法。
3.培养学生的逻辑思维和数学思维，提高分析和解决问题的能力。
教学重难点1.教学重点：了解质因数分解的概念和方法，学会使用分解的方法进行简单的数学运算。
2.教学难点：对多项式的质因数分解进行深入的理解。
教学内容1. 质因数分解的概念质因数分解是将一个正整数分解成多个质数的积的过程。
例如，正整数12可以被分解为2×2×3。
2. 质因数分解的方法质因数分解的方法主要有两种：辗转相除法和分解质因数法。
2.1 辗转相除法辗转相除法也叫欧几里得算法，是一种求最大公因数的算法。
其基本思想是，用较大的数去除以较小的数，将较小的数除以所得余数，再用余数去除之前的较小数，如此反复，直到余数为零为止。
例如，求最大公约数（gcd）的过程：gcd(2366,2736)= gcd(2736,2366 % 2736) = gcd(2736,370)= gcd(370,2736 % 370) = gcd(370,46)= gcd(46,370 % 46) = gcd(46,18)= gcd(18,46 % 18) = gcd(18,10)= gcd(10,18 % 10) = gcd(10,8)= gcd(8,10 % 8) = gcd(8,2)= gcd(2,8 % 2) = gcd(2,0)= 2可以看出，最后得出的余数为0时，前一个被除数即为最大公因数。
2.2 分解质因数法分解质因数法是将一个正整数分解成多个质数的积的过程。
该方法的基本思路是，将正整数先分解为两个不同质因数的积，然后将这两个质因数再分别分解为各自的质因数，直到无法分解。
例如，将正整数364分解为质数的积：364 ÷ 2 = 182182 ÷ 2 = 9191 ÷ 7 = 1313 ÷ 13 = 1将364分解为2×2×7×13的积。
湘教版高中数学选修4-6初等数论初步：余数的判别
12345678 0 9 9 4 mod 5
ห้องสมุดไป่ตู้
因此，除以5的余数是4，就是被除数的 末位数9除以5的余数。再由100≡0（mod4） 得如下。
123456789 1234567 100 89
1234567 0 89 89 1mod 4
因此，除以4的余数是1，就是被除数 的末两位数89除以4的余数。
余数的判别
例1 12345678分别除以5，4的余数各是多少？
大家可以想一想，心里大概计算出答案。
解：解由于10≡0（mod5），在模5的同 余式中可以将10（以及10的倍数）替换成0。 也就是说：在被除数中只保留个位数，将十 位及其以上位数的数字全部扔掉，不影响余 数。如图所示。
123456789 12345678 10 9
3 18 5 15 3 5 2 9mod11
余数是9.
仿照上述例题中的方法，可以证明如下 的法则：
求余数的法则： 设a是整数。 1.要将a除以2，5求余数，只要将a的个 位数除以2，5求余数；
2.要将a除以4，25求余数，只要将a的 末两位数除以4，25求余数；
3.要将a除以3，9求余数，只要将a的各 位数字之和除以3，9求余数；
4.要将a除以11求余数，只要将a的从低 位到高位的奇位数字之和减去偶位数字之和， 所得的差除以11求余数。
求a=123456789除以7的余数。 解：由1000≡-1（mod7），可以在模7 的同余式中将1000换成-1，因此如下所示。
3 5 2 mod 3 300 500 000 3 5 8mod 9
因此，300500000除以3，9的余数等于它的 各位数字之和3+5除以3，9的余数，分别等于2， 8。
《初等数论》教学大纲2024
引言概述：初等数论是数学的一个重要分支，它研究整数的性质和关系，是一门基础性的课程。
本文旨在为《初等数论》课程的教学制定一份详细的大纲，以帮助教师合理安排教学内容，提高教学效果。
正文内容：一、素数与合数1.素数的定义与性质素数的定义：只能被1和自身整除的正整数。
2.合数的定义与性质合数的定义：不是素数的正整数。
二、因数与倍数1.因数的概念因数的定义：能整除一个数的整数。
因子的分类：负因数、正因数、真因数。
2.最大公因数与最小公倍数最大公因数的定义与性质：两个数公共因子中最大的一个。
最小公倍数的定义与性质：两个数公共倍数中最小的一个。
三、整数的整除性与除法算法1.整除的概念与性质整除的定义：一个数能够被另一个数整除。
整除的性质：整数除法原则、整数的对称性。
2.整数的除法算法除法算法的步骤与原理：用减法、用乘法、整数除法算法的应用。
四、余数与模运算1.余数的概念与性质余数的定义：做除法时除不尽的部分。
余数的性质：余数的范围、余数的基本性质。
2.模运算的概念与性质模运算的定义：对于整数a和正整数n，a与n的商所得的余数。
模运算的性质：模运算的加法、减法和乘法规则。
五、同余与模运算应用1.同余的定义与性质同余的定义：对于整数a、b和正整数n，当a与b对n取余相等时，称a与b模n同余。
同余的性质：同余的传递性、同余的运算性质。
2.模运算的应用模运算在代数方程中的应用：线性同余方程、模运算的性质在方程求解中的应用。
总结：本文从素数与合数、因数与倍数、整除性与除法算法、余数与模运算以及同余与模运算应用等五个大点进行阐述。
通过这些内容的学习，学生将能够了解整数的性质和关系，理解数论的基本原理，为后续数学学习打下坚实的基础。
教师在教学过程中，应注重拓展学生的数学思维、培养其解决问题的能力，并结合实际生活和其他数学知识进行应用。
通过系统的教学大纲指导，教师能够更好地组织教学内容，提高学生的学习效果。
初等数论第一章课件
(i)m是任一正整数，则
(am, bm) (a, b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a, b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1, a2 , , an是任意n个正整数，令 (a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3, , (dn1, an ) dn.
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例
当a 5, b 2时，可有
5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1;
或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0, b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac
定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3 若a1 , a2, , an都是m的倍数，q1, q2, , qn 是任意n个整数，则a1q1 a2q2 anqn是m的倍数
3、带余数除法
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b () 成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
[a1, a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3, ,[mn1, an ] mn. 于是我们有
定理5 a1, a2, , an是n个正整数，则 [a1, a2 , , an ] mn.
北师大版高中数学选修4-6初等数论初步：同余方程(组)
知识探究
（2）在3与7的公倍数中找除以5余3的数。 ∵[3，7]=21，21÷5=4（余1）， （21×3）÷5=12（余3）， ∴63就是符合条件的数。
知识探究
（3） 在3与5的公倍数中找除以7余2的数。 ∵[3，5]=15，15÷7=2（余1）， （15×2）÷7=4（余2）， ∴30就是符合条件的数。
同余方程（组）
知识探究
一、 “物不知其数”问题及其解法 大约在公元4世纪，我国南北朝时期有一 部著名的算术著作《孙子算经》，其中 就有这样一个“物不知其数”问题：
知识探究
“今有物， 不知其数， 三三数之剩二， 五五数之剩三， 七七数之剩二， 问物几何？ 答曰：二十三”。
知识探究
明朝程大位编著的《算法统宗》里 记载了此题的解法，他是用一首歌谣 叙述出来的：
知识梳理
在代数中，含有未知数的等式叫作方程， 同样地，我们把含有未知数x的同余式：
f（x）=0(modm) （其中f（x）是整系数多项式）称为模 m的同余方程。
谢谢欣赏！
三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。
知识探究
解答算式是： 70×2＋21×3＋15×2＝233， 233－105×2＝23.
知识探究
上面解法的步骤及理由是：
（1）先在5与7的公倍数中找除以3余1的数， 进而找到除以3余2的数。 ∵[5，7]=35，35÷3=11（余2）， （35×2）÷3=23（余1），
知识探究
∴23是满足该题的最小解， 它的所有解为:
X=105k+23(k=0,1,2, …)。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ识探究
(完整word版)《初等数论》
第一节 整数的p 进位制及其应用正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。
进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。
在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。
基础知识给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。
由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A可以表示成10的1m 次多项式，即012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。
在我们的日常生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。
但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。
特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。
为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示：012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且01 m a 。
而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。
典例分析例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与八进制，并将其表示成多项式形式。
初等数论初步(1)
二、整除的性质和概念
定义：设a,b为整数，且b≠0. 如果存在整数q，使得 a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a， 并且称b是a的因数，a是b的倍数. 如果这样的整数q 不存在，就称b不整除a，记作b | a . 性质: 若 a 0, b 0 ，则 (1)若 a | b, b | a ，则 a b或a b ； (2)若 a | b, b | c ，则 a | c ； (3)若 a | b, b | c ，则对任意整数x,y，恒有a|bx+cy； (4)若 a | b, a | c ，且a,b互质，则ab|c； (5)若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若
p | an , n N , 则p | a
结论：一个正整数的各位数字之和能被3整除， 那么这个正整数能被3整除.
请根据上面整除的性质证明这个命题.
探究：
利用类似的方法证明能被9,11,7整除的正整数的特征。 1、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正 整数能被9整除。 2、一个正整数的奇数位数字之和与偶数为数字之和的 差能被11整除，那么这个整数能被11整除. 3、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之 前的数字组成的数之差能被7(或11)整除，那么这个正 整数能被7(或11)整除.
一、最小公倍数
定义：任给两个非零整数a,b，一定存在一个 整数，它同时为a,b的倍数，这个倍数叫做a,b 的公倍数。我们把a,b的最小的正公倍数叫做 a,b的最小公倍数，记作[a，b]. 类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多 个非零整数的最小公倍数的概念，将a,b,c的 最小公倍数记作[a,b,c]，依此类推。
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1． 《初等数论初步》课程简介
人类早期就认识了自然数，它好像很简 单，可又神秘莫测. 在研究自然数的进程 中，形成了一门数学学科，叫做数论.
1． 《初等数论初步》课程简介
《初等数论初步Ａ版》 人民教育出版社
《初等数论初步Ａ版》 教师教学用书 人民教育出版 社
５． 建议
除了加密外，公开钥匙密码学最显著的成就 是实现了数字签名。数字签名可以永久地与 被签署信息结合，无法自信息上移除。数字 签名大致包含两个算法：一个是签署，使用 私密钥匙处理信息或信息的哈希值而产生签 章；另一个是验证，使用公开钥匙验证签章 的真实性。
②介绍初等数论的一些历史，激发学生学 习数论的兴趣。
《初等数论初步Ｂ版》 人民教育出版社
《初等数论初步B版》 教师教学用书 人民教育出版 社
《初等数论》潘成栋、潘成彪
1． 《初等数论初步》课程简介
一、整数的整除性
1.整除； 2.素数与合数； 3.带余除法； 4.辗转相除法与最大公约数； 5.最小公倍数； 6.算术基本定理； 7.二元一次不定方程.
1． 《初等数论初步》课程简介
二、同余
1.同余及其基本性质； 2.特殊数的整除特征； 3.剩余类及其运算； 4.剩余系和欧拉函数； 5.欧拉定理； 6.不定方程与同余.
1． 《初等数论初步》课程简介
三、同余方程
1.同余方程的概念； 2. 一次同余方程； 3. 孙子定理； 4. 拉格朗日差值公式； 5.公开密钥码
国家选修课《初等数论初步》简介
杨良庆 李岩
1． 《初等数论初步》课程简介
（1）数论者，乃论数也。 “今天是星期五，过8天后的今天是星 期几？”
“今天是星期五，过 20112011 天后的今 天是星期几？”
1． 《初等数论初步》课程简介 （1）数论者，乃论数也。
（2）高斯认为：“数学是科学的皇后， 数论是数学中的皇冠”。
甲子年过60年后仍为甲子年 60是10和12的最小公倍数
５． 建议
魔方是大家都喜欢的益智游戏，如何操 作魔方才能更好的换角呢？
金庸先生的《射雕英雄传》 畅销全球，很多人也知道郭 靖和黄蓉的故事，但原来在 《射雕英雄传》内也有有关 数学的名题同时随小说传至 全球，这便是「孙子定理」 或称「鬼谷算」、「隔墙 算」、「剪管术」、「秦王 暗点兵」或「韩信点兵」， 但当今数学界则称之为「中 国剩余定理」 (Chinese Remainder Theorem)
2． 开设这门课程对老师的意义
①学以致用。 ②教学需要。 初等数论的知识和思想方法经常出现在
日常教学中，新教材中多处涉及初等数 论的知识，如质数、辗转相除法、人教B 版算法“1.3中国古代数学中的算法案 例” 。 ③提高能力。
３． 开设这门课程对学生的意义
①提高学生的数学素质及文化素养。 ②培养毅力。 ③对高中数学学习有帮助。 比如：学习初等数论初步可增强学生阅读理解
什么叫梅森素数？
把2p-1型的数称为“梅森数”,并 以Mp记之;如果Mp为素数,则称之 为“梅森素数”
②介绍初等数论的一些历史，激发学生学 习数论的兴趣。
有关梅森素数小故事： 1772年,有“数学英雄”美誉的欧拉在双目失
明的情况下,靠心算证明了 M31(即231-1=2147483647)是一个素数.它具有
５． 建议
数论在很长的一段时间里被认为是没有应 用的，纯数学的，优美的理论，一直到 1976年。当时在美国斯坦福大学的迪菲 （Diffie）和赫尔曼(Hellman)两人提出了 公开密钥密码的新思想（论文"New Direction in Cryptography"）
５． 建议
RSA公钥系统发明于该思想提出后一年在麻 省理工学院，里维斯特(Ronald Rivest)、沙 米尔(Adi Shamir)和阿德勒曼(Len Adleman) 提出第一个较完善的公钥密码体制——RSA 体制，由三位发明人的姓氏首字母命名。这 是一种建立在大数因子分解基础上的算法。 它是第一个成熟的、迄今为止理论上最成功 的公钥密码体制。它的安全性是基于数论中 的大整数因子分解。
话说郭靖和黄蓉在离开泥沼
时，黄蓉下了三道题目挑战 号称「神算子」的瑛姑，当 中的第三道题目，便是这著 名的「鬼谷算」：「今有物 不知其数，三三数之剩二； 五五数之剩三，七七数之剩 二。问物几何？」. 如果用 白话写出，意思是：现在一 个未知数，除3时，余数是2； 除5时，余数是3；除7时， 余数是2，问这个未知数的 最小值？这道题目如此简单， 何以会是名题呢？
事实上，《射雕》里的瑛姑 不难得出答案是23, 但瑛姑 虽然得到答案，但她也得向 黄蓉请教，因为瑛姑的答案 是硬生生地试出来的，她明 白倘若余数有变的话，她便 可能要再花一段时间来试答 案了，她找不到解这道题的 普遍方法。而数学研究便是 希望找到这道题的特质，作 出普遍化的解法。你又可知 道这道名题的普遍解吗？
10位数字,堪称当时世界上已知的最大素数.欧 拉的毅力和技巧都令人赞叹不已,难怪法国大数 学家拉普拉斯向他的学生们说:“读读欧拉,他是 我们每个人的老师。
②介绍初等数论的一些历史，激发学生学 习数论的兴趣。
目前发现的最大的梅森素数： 243112609-1。 其庞大程度令人惊愕：近1300万的数位。
5
86%
2ห้องสมุดไป่ตู้
6
3
95%
1
2
6
96%
2
3
４．开设这门课程的感受
①对老师的讲授能力要求较高。 ②对数学基础不太好的同学来说较难。 ③对要参加数学竞赛的同学来说较容易。
５． 建议
①结合生活中的实际例子，帮助理解， 提高兴趣。
六十花甲子
天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 天干地支纪年 60年轮回一次，因此
能力、逻辑推理能力，高考中有时涉及到奇偶 分析（如2010年北京高考理科20题第二问）， 正是数论问题中也要涉及的。 ④对参加数学竞赛有帮助。
４．开设这门课程的感受
①对老师的讲授能力要求较高。 ②对数学基础不太好的同学来说较难。
第一次 第二次 第三次
三次笔试情况
满分人数 通过比率 考试未通过人数未拿到学分人数